高中数学知识要点重温(11)不等式的性质与证明知识点分析

高中数学知识要点重温（11）不等式的性质与证明

1．在不等式两边非负的条件下能同时平方或开方，具体的：当a>0,b>0时，a>b ⇔an>bn ； 当a<0,b<0时，a>b ⇔a2b2⇔|a|>|b|。在不等式两边同号的条件下能同时取倒数，但不等号的方向要改变，如：由x 1<2推得的应该是：x>21或x<0，而由x 1

>2推得的应该是： 0

（别漏了“0

[举例]若)(x f =x 2,则)(31)(x f x g -=的值域为 ；3)(11)(++=x f x h 的值域

为 。

解析：此题可以“逆求”：分别用g(x)、h(x)表示f(x)，解不等式f(x)>0即可。以下用“取倒数”

求：3-f(x)<3，分两段取倒数即0<3-f(x)<3得)(31x f ->31

或3-f(x)<0得)(31x f -<0,

∴g(x)∈(-∞,0)∪(31,+∞)；f(x)+3>3⇒0<3)(1+x f <31⇒1

。

[巩固1] 若011<③b a <；④2>+b a a b 中，

正确的不等式有 （ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

[巩固2] 下列命题：①若a>b,则ac2>bc2；②若ac2>bc2,则a>b ；③若a>b,c>d 则a-d>b-c ；

④若a>b,则a3>b3；⑤若a>b,则

),1lg()1lg(22+>+b a ⑥若aab>b2； ⑦若a|b|；⑧若a；⑨若a>b 且

b a 11>,则a>0,b<0； ⑩若c>a>b>0,则b

c b a c a ->

-；其中正确的命题是 。

[迁移]若a>b>c 且a+b+c=0，则：①a2>ab ，②b2>bc ，③bc

,1)， ⑤a c 的取值范围是：（-2，-21

）。上述结论中正确的是 。

2．同向不等式相加及不等式的“传递性”一般只用于证明不等式，用它们求变量范围时要求两个不等式中的等号能同时成立。同向不等式一般不能相乘，需增加“两不等式的两边均为正数”才可相乘。

[举例]已知函数

c ax x f +=2)(，且满足－2≤f(1)≤－1,2≤f(2)≤3,则f(3)的取值范围是： 。

解析：解决本题的一个经典错误如下：－2≤a+c ≤－1 ①； 2≤4a+c ≤3 ② 由①得： 1≤－a －c ≤2 ③ 4≤－4a －4c ≤8 ④

由③+②得：1≤a ≤35 ⑤ 由④+②得：

311-≤c ≤－2 ⑥ 由⑤×9+⑥得：316≤9a+c ≤13 ⑦，即316

≤f(3)≤13。错误的原因在于：

当且仅当1=－a －c 且2=4a+c 时⑤式中的1=a 成立，此时，a=1，c=－2；

当且仅当－4a －4c=8 且4a+c=3 时⑥式中的311-

=c 成立，此时，a=35，c=311-

； 可见⑤⑥两式不可能同时成立，所以⑦中的316

=9a+c 不成立；同理，9a+c=13也不成立。

正解是待定系数得f(3)=35-f(1)+38f(2)，又：35≤35-

f(1)≤310；316≤38f(2)≤8 ∴7≤f(3)≤334。在此过程中虽然也用了“同向不等式相加”，但由错解分析知：当a=1，

c=－2时，不等式35≤35-

f(1)和316≤38f(2)中的等号同时成立，即f(3)=7成立；而当a=35，

c=311-时，不等式35-

f(1)≤310和38f(2)≤8中的等号同时成立，即f(3)=334成立；所以这个解法是没有问题的。可见，在求变量范围时也并非绝对不能用“同向不等式相加”，只要“等号”能同时成立即可；对不含等号的同向不等式相加时则需它们能同时“接近”。

注：本题还可以用“线性规划”求解：在约束条件－2≤f(1)≤－1,2≤f(2)≤3下求目标函数f(3)的最大、最小值。

[巩固]设正实数a 、b 、c 、x 、y ，且a 、b 、c 为常数，x 、y 为变量，若x+y=c ，则ax +by 的最大值是：

A ．c b a )(+

B ．2c b a ++

C ．c b a ⋅+2

D ．2)(2b a +

3．关注不等式||x|-|y||≤|x±y|≤|x|+|y|及其等号成立的条件；具体的：xy ≥0⇔

|x+y|=|x|+|y|；xy ≥0且|x|≥|y|⇔|x-y|=|x|-|y|；xy ≥0且|x|≤|y|⇔|x-y|=|y|-|x|； xy ≤0⇔|x-y|=|x|+|y|；xy ≤0且|x|≥|y|⇔|x+y|=|x|-|y|；xy ≤0且|x|≤|y|⇔

|x+y|=|y|-|x|。

[举例1]若m>0,则|x-a|

A ．充分而不必要条件，

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不是充分条件也不是必要条件。

解析：|x-a|m,∴|x-a|

[举例2]不等式|2x-log2x|<2x+|log2x|的解集为 。

解析：x>0，不等式|2x-log2x|<2x+|log2x|等价于：|2x-log2x|<|2x|+|log2x|⇔2xlog2x>0⇒ log2x>0⇔x>1 ∴不等式的解集为（1，+∞)。

[巩固1]a,b 都是非零实数，下列四个条件：①|a+b|<|a|+|b|；②|a+b|<|a|-|b|；

③||a|-|b||<|a+b|； ④||a|-|b||<|a-b|；则与|a-b|=|a|+|b|等价的条件是： （填条件序号）。

[巩固2]方程|12++

-x x x |=||2-x +|1+x x |的解集是 。

4．若a 、b ∈R+，则222b a +≥2b a +≥ab ≥b a ab

+2；当且仅当a =b 时等号成立；

其中包含常用不等式：22b a +≥2)(2b a +；

)11)((b a b a ++≥4以及基本不等式： 2b a +≥ab ，基本不等式还有另外两种形式：若a ≤0、b ≤0，则2b

a +≤a

b ；

若：a 、b ∈R ，则2

2b a +≥2a b ；用基本不等式求最值时要关注变量的符号、放缩后是否为定值、等号能否成立（即：一正、二定、三相等，积定和小、和定积大）。 [举例1] 若直线ax+2by-2=0(a,b>0)始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长，则b a 21+

的最小值为 。

解析：圆心（2，1），“直线始终平分圆”即圆心在直线上，∴a+b=1,

b a 21+=2232322+≥++=+++b a a b b b a a b a ,当且仅当a=b=21时等号成立。

[举例2]正数a,b 满足a+3=b(a-1),则ab 的最小值是 ，a+b 的最大值是 。 解析：ab=a+b+3≥2ab +3⇒ab -2ab -3≥0⇒ab ≥3⇒ab ≥9，当且仅当a=b=3时等

号成立。a+b=ab-3≤2)2(

b a +-3⇒012)(4)(2≥-+-+b a b a ⇒ a+b ≥6, 当且仅当a=b=3时等号成立。

注：该方法的实质是利用基本不等式将等式转化为不等式后，解不等式；而不是直接用基本不等式放缩得到最值，因此不存在放缩后是否为定值的问题。