二次函数的综合运用

第22课时 二次函数的综合运用 一、考点分析 1、抛物线形问题

2、二次函数与一次函数的综合

3、二次函数与存在性问题

4、二次函数与几何知识的的综合

二、典例解析

例1、（2008白银市）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为（4，3）．平行于对角线AC 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m 与矩形OABC 的两边．．分别交于点M 、N ，直线m 运动的时间为t （秒）． (1) 点A 的坐标是__________，点C 的坐标是__________； (2) 当t = 秒或 秒时，MN =

2

1

AC ； (3) 设△OMN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；

(4) 探求(3)中得到的函数S 有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由．

例2、一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从5月1•日起的50天内，它的市场售价y 1与上市时间x 的关系可用图（a ）的一条线段表示；•它的种植成本y 2与上市时间x 的关系可用图（b ）中的抛物线的一部分来表示．

（1）求出图（a ）中表示的市场售价y 1与上市时间x 的函数关系式． （2）求出图（b ）中表示的种植成本y 2与上市时间x 的函数关系式．

（3）假定市场售价减去种植成本为纯利润，问哪天上市的这种绿色蔬菜既不赔本也不赚钱？

（市场售价和种植成本的单位：元/千克，时间单位：天）

例3、(2008年西宁市) 28．如图14，已知半径为1的

1O 与x 轴交于A B ，两点，OM 为1

O 的切线，切点为M ，圆心1O 的坐标为(20)，，二次函数2

y x bx c =-++的图象经过A B ，两点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）求切线OM 的函数解析式；

（3）线段OM 上是否存在一点P ，使得以P O A ，，为顶点的三角形与1OO M △相似．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

三、考点精练

1.（2008年泰安市）在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和2

22y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．

是（ ）

2、学校要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ．O 恰好在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．且在过OA 的任意平面上的抛物线如图l －2－36所示，建立平面直角坐标系（如图l －2－37），水流喷出的高度y (m)与水面距离x (m)之间的函数关系式是2532

2

y x x =-++，请回

答下列问题：

（1）花形柱子OA 的高度；

（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至于落在池外？

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ． 图14

3、（2006年旅顺口区）已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积．

4、（08枣庄）如图，在直角坐标系中放入一个边长OC 为9的矩形纸片ABCO ．将纸片翻折后，

点B 恰好落在x 轴上，记为B ′，折痕为CE ，已知tan ∠OB ′C ＝34

． （1）求B ′点的坐标；

（2）求折痕CE 所在直线的解析式．

5、如右图，抛物线n x x y ++-=52经过点)0,1(A ，与y 轴交于点B.

（1）求抛物线的解析式；

（2）P 是y 轴正半轴上一点，且△PAB 是等腰三角形，试求点P 的坐标.

6、（2008乌鲁木齐）．如图9，在平面直角坐标系中，以点(11)

C ，为圆心，2为半径作圆，交x 轴于A B ，两点，开口向下的抛物线经过点A B ，，且其顶点P 在

C 上．

（1）求ACB ∠的大小；

（2）写出A B ，两点的坐标；

（3）试确定此抛物线的解析式；

（4）在该抛物线上是否存在一点D ，使线段OP 与CD 互相平分？若存在，求出点D 的坐

标；若不存在，请说明理由．

7、如图l －2－48，Rt △PMN 中，∠P ＝90○

，PM=PN ，MN=8cm ，矩形 ABCD 的长和宽分别为8cm 和2cm ，C 点和M 点重合，BC 和MN 在一条直线上，令 Rt △PMN 不动，矩形ABCD 沿MN 所在直线向右以每秒1cm 的速度移动(图l －2－49）直到C 点与N 点重合为止．设移动x 秒后，矩形ABCD 与△PMN 重叠部分的面积为y cm 2 ,求y 与x 之间的函数关系式．

8、如图11，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=DC=2cm ，BC=4cm ，在等腰△PQR 中，∠QPR=120°，底边QR=6cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一直线l 上，且C 、Q 两点重合，如果等腰△PQR 以1cm/秒的速度沿直线l 箭头所示方向匀速运动，t 秒时梯形ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积记为S 平方厘米 （1）当t=4时，求S 的值

（2）当4t ≤≤10，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值

图

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