高中立体几何证明方法及例题

1. 空间角与空间距离 在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算”，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。

2. 立体几体的探索性问题 立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。近几年立体几何探索题考查的类型主要有：（1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么？（2）探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么。 对命题条件的探索常采用以下三种方法：（1）先观察，尝试给出条件再证明；（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（3）把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件。 对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。

（一）平行与垂直关系的论证

由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化：

⇒a c

//)

αβ

αγβγ

//,// ==⇒⎫⎬⎭

a b a b

面面平行性质

线面平行性质

a a

b a b

////αβαβ⊂=⇒⎫⎬⎪

⎭

⎪ 面面平行性质1

αβαβ

////a a ⊂⇒⎫

⎬

⎭

面面平行性质

αγβγαβ

//////⎫⎬

⎭⇒

2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：

线线⊥线面⊥面面⊥三垂线定理、逆定理

PA AO PO

a

a

OA a PO

a PO a AO

⊥

⊂

⊥⇒⊥

⊥⇒⊥

α

α

α

,为

在内射影

则

线面垂直判定1面面垂直判定

a b

a b O

l a l b

l

,

,

⊂

=

⊥⊥

⇒⊥

⎫

⎬

⎪

⎭

⎪

α

α

a

a

⊥

⊂

⇒⊥

⎫

⎬

⎭

α

β

αβ

线面垂直定义

l

a

l a

⊥

⊂

⇒⊥

⎫

⎬

⎭

α

α

面面垂直性质，推论2

αβ

αβ

β

α

⊥

=

⊂⊥

⇒⊥

⎫

⎬

⎪

⎭

⎪

b

a a b

a

,

αγ

βγ

αβ

γ

⊥

⊥

=

⇒⊥

⎫

⎬

⎪

⎭

⎪

a

a

面面垂直定义

αβαβ

αβ

=--

⇒⊥

⎫

⎬

⎭

l l

，且二面角

成直二面角

3. 平行与垂直关系的转化：

线线∥线面⊥面面∥线面垂直判定2面面平行判定2

线面垂直性质2面面平行性质3

a b

a

b

//

⊥

⇒⊥

⎫

⎬

⎭

α

α

a

b

a b

⊥

⊥

⇒

⎫

⎬

⎭

α

α

//

a

a

⊥

⊥

⇒

⎫

⎬

⎭

α

β

αβ

//

αβ

α

β

//

a

a

⊥

⊥

⎫

⎬

⎭

a

4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。”

5. 唯一性结论：

1. 三类角的定义：

（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （时，∥或）θαα=︒⊂0b b

（3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180°

2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角； （2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。

（三）空间距离： 求点到直线的距离，经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关三角形中求解。 求点到面的距离，一般找出（或作出）过此点与已知平面垂直的平面利用面面垂直的性质求之也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离，直线与平面的距离，面面距离都可转化为点到面的距离。

【典型例题】

（一）与角有关的问题

例1. （1）如图，E 、F 分别为三棱锥P —ABC 的棱AP 、BC 的中点，PC ＝10，AB ＝6，EF ＝7，则异面直线AB 与PC 所成的角为（ ）