多面体旋转体

.教学内容:

1. 主要内容：多面体和旋转体

2. 考点分析：多面体和旋转体每年必考，不仅有直接求多面体和旋转体的面积和体积问题, 也有已知面积或体积求几何体中某些元素或元素间的关系问题，近年来即使是考查空间线面位 置关系的问题，也常以几何体为依托，该部分内容不仅在选择题、填空题中考，也在解答题中 出现。解答题在高考中一直保持中档题的水平，近几年高考立体几何试题多采用一题多问的形 式，降低了起点，分散了难点，既有证明，也有计算，一般要求学生先证后算，证明严谨、清 楚，计算准确。

【典型例题】

例 1.三棱锥 P —ABC ，PA =a , AB =AC =2a , N PAB =NPBC =ZBAC =60°，求这个

三棱锥的体积。

分析：由题设

ZPAB /PAC =60

.P 在平面ABC 上的射影O 必在.BAC 的平分线上

又.BAC =60，AB =AC ，可知.,

考查方向：考查三棱锥体积的常用求法。

分析一：作P 在底面上的射影O ,求PO 和丄tC 的面积

1

注意到 PA = —AB 且N PAB =60°

分析二： 2

知 PA_PB

同理PB_PC ,把PBC 作为底，贝U PA 为高

分析三：割法、补法

解法一：（用公式法解）如图，作底面三角形顶角

A 的平分线AD ，交BC 于D ，过P 点作 底面的垂线，垂足为 O ,由分析知射影 O 必在AD 上，易知△ ABC 是正三角形，AB=2a ,

过 P 作PE_AB ，垂足为 E ,连 OE ,贝U OE_AB

多面体和旋转体

-S A BC =■

- 3a

在 Rt. PAE 中，.PAE =60 , PA =a

6 在 Rt.POE 中，PO = .PE 2_OE 2 -a

3

PO

解法二：(利用等积转换法解)在厶 PAB 中

PA 二a , AB =2a , . PAB =60

.PB 2 =a 2 (2a)2 -2 a (2a)cos60'=3a 2

..PA 是直角三角形， PA_PB ，同理可证PA_PC ,又PB PC=P

.PA_平面 PBC

在 PBC 中，PB = PC =、,3a ，BC=2a

,P B C = ■- 2a

解法三：（用分割求积法解）

由解法二知，PB =PC =：j 3a , D 是BC 中点，连结PD

.「TC_PD ，BC_AD ，PD AD =D

.BC_平面 PAD

例2.如图，已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，用一平面去截它，得截面 M2B 2C 2，且AA 2=m ，

BB 2 =h 2，CC 2 =h 3,若UEC 的面积为S ，求证：

1

介于截面与下底面之间的几何体体积 V S （h 1 h 2 h 3）。

3

-V P _ABC 二V A _PBC

Js PBC PA -

3 ' 3 a 3 - V P ABC =V B -PAD 'V C -PAD = 2V B -PAD BD a 3

解法四：（用补形求积法解）延长 的

正四面体 AP 到Q ，使PQ=a ，连结QB 、QC ，可得一个棱长为 2a

V P ABC _ 1 V Q ABC

2 、、2 (2a)

3 — a 3 PE a

AE , OE 二 AE tg30

AD

.V 」S(h i h 2 h 3)

3

证法二： 连结AB 2、B 2C ，并作BE_AC 于E

；侧面AAQ j C —底面ABC

.BE_平面AA i C i C ,设AC 二a , BE =h

则 V =V B 2/BC ' V

B 2 ^A 2AC

C 2 1 1 1

= -Sh 2 -[-(h i h 3)a]h

3 3 2

1 1 1

Sh ? (h 1 h 3) ah

3 3

2

考查方向：不规则几何体体积的求法

分析：将不规则几何体割补成规则几何体是求其体积的基本方法。 证法一： 连结AB 2、B 2C 、CA 2，这样就把几何体ABC —A 1B 1G 分成三个三棱锥

-V c 人BB 2 - V B 2

^ABC Sh 2 3 V

C .AA 2B 2 _ _ _1

= V C^BA 2 =V

A 2~ABC ■ Sh i V

C 4 2B 2C 2 - V A 2 -CB 2C 2 二 V A 2-BCC 2 - V B -A 2 C 2 C _ _ _ 1 = V B -ACC 2 =V

C 2-ABC Sh

3

V =V C _ABB 2 ■ V C _A 2B 2A ■ V C _A 2B 2C 2

■ V =V

C 4BB 2 ■ V C _AA 2B 2 ' V C -A 2B 2C 2

1 c Sg ：「h2"h3)

3

小结：证法一运用了“分割”和“等积变形”的方法，将所求的几何体分割成三棱锥，然后运用三棱锥的顶点与底面的轮换，使问题得到解决，证法二引入了参数，使运算得到了简化。

例3.已知圆锥外切于半径为1的球，求当圆锥体积最小时它的表面积。

考查方向：面积最值的求法。

分析：用一个变量把目标函数表示出来。

解法一：如图，作圆锥SO的轴截面，此时球的截面是该等腰三角形的内切圆

连结OiB，设.SBO =2乙则.0!B0 »

幕SO是圆锥的高，圆0弭勺半径是1

.在Rt QiB0中，BON ctgv-ctgr

在Rt SOB 中，SO = BO tg2 v - ctg 二tg2 二

.圆锥SO的体积

1 2

V BO SO

3

二2 ■

二一ct g v ct g tg2

3

兀 2

3 tg2"1 -tg%

2兀

-3[（tg2—寸）2—*]

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4

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