第6章 第36讲-不等式、推理与证明

课时达标 第36讲-不等式、推理与证明
一、选择题
1．用反证法证明命题：“若a ＋b ＋c 为偶数，则自然数a ，b ，c 恰有一个偶数”时正确的反设为( )
A ．自然数a ，b ，c 都是奇数
B ．自然数a ，b ，c 都是偶数
C ．自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数
D ．自然数a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数
D 解析 “自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”的否定是“自然数a ，b ，c 都是奇数或至少有两个偶数”．故选D.
2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设 a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”索的因应是( )
A ．a －b >0
B ．a －c >0
C ．(a －b )(a －c )>0
D ．(a －b )(a －c )<0
C 解析
b 2－a
c ＜3a ⇔b 2－ac ＜3a 2⇔(a ＋c )2－ac ＜3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2＜0
⇔－2a 2＋ac ＋c 2＜0⇔2a 2－ac －c 2＞0⇔(a －c )(2a ＋c )＞0⇔(a －c )(a －b )＞0.
3．(2019·焦作一中月考)若a ，b ∈R ，则下面四个式子中恒成立的是( ) A ．lg(1＋a 2)＞0 B ．a 2＋b 2≥2(a －b －1) C ．a 2＋3ab ＞2b 2 D.a b ＜a ＋1b ＋1
B 解析 在B 项中，因为a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋2b ＋1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，所以a 2＋b 2≥2(a －b －1)恒成立．
4．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2＞0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )
A ．恒为负值
B ．恒等于零
C ．恒为正值
D ．无法确定正负
A 解析 由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2＞0可知x 1＞－x 2，f (x 1)＜f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)＜0.
5．已知a >b >0，且 ab ＝1，若 0<c <1，p ＝log c a 2＋b 22，q ＝log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2，则p ，q 的大小关系是( )
A ．p >q
B ．p <q
C ．p ＝q
D ．p ≥q
B 解析 因为a 2＋b 22＞ab ＝1，所以p ＝log c a 2＋b 22＜0.又q ＝log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2
＝log c
1a ＋b ＋2ab
＞log c 14ab ＝log c 1
4＞0，所以q ＞p .
6．设x ，y ，z >0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋x
y ( )
A ．都大于2
B ．至少有一个大于2
C ．至少有一个不小于2
D ．至少有一个不大于2
C 解析 因为x ＞0，y ＞0，z ＞0，所以⎝⎛⎭⎫y x ＋y z ＋⎝⎛⎭⎫z x ＋z y ＋⎝⎛⎭⎫x z ＋x y ＝⎝⎛⎭⎫y x ＋x y ＋⎝⎛⎭⎫y z ＋z y ＋⎝⎛⎭⎫
x z ＋z x ≥6，当且仅当x ＝y ＝z 时，等号成立，则三个数中至少有一个不小于2.故选C.
二、填空题
7．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a ，b 的大小关系为________．
解析 a ＝3＋22，b ＝2＋7两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，显然6＜7.所以a ＜b .
答案 a ＜b
8．用反证法证明命题“若实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，则a ，b ，c ，d 中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是________________．
解析 “至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“a ，b ，c ，d 中没有一个是非负数，即a ，b ，c ，d 全是负数”．
答案 a ，b ，c ，d 全是负数
9．(2019·启东中学期中)给出下列四个命题： ①
x 2＋2
x 2＋1
的最小值为2；②2－3x －4
x 的最
大值为2－43； ③log x 10＋lg x 的最小值为2；④sin 2x ＋
4
sin 2x
的最小值为4. 其中真命题的序号是________(把所有正确结论的序号填在横线上)．
解析 ①
x 2＋2
x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1
＝x 2＋1＋
1x 2
＋1
≥2，当且仅当
x 2＋1＝
1x 2
＋1
，即x
＝0时，等号成立，正确；②2－3x －4
x ＝2－⎝⎛⎭⎫3x ＋4x ≤2－23x ·4
x
＝2－43成立的前提为x ＞0，错误；③同②，缺乏前提，错误；④sin 2x ＋4sin 2x ≥4取得等号的条件为sin 2x ＝4
sin 2x ，
即sin x ＝±2，这与sin x ∈[－1,1]矛盾，错误．
答案 ① 三、解答题
10．(2019·永州一中月考)已知a ≥b ＞0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .
证明 欲要证2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b 成立，只需证2a 3－b 3－2ab 2＋a 2b ≥0，即证2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)≥0，即证(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0.因为a ≥b ＞0，所以a －b ≥0，a ＋b ＞0,2a ＋b ＞0，从而(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0成立，所以2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .
11．(2019·黄石二中期中)已知四棱锥S －ABCD 中，底面是边长为1的正方形，又SB ＝SD ＝2，SA ＝1.
(1)求证：SA ⊥平面ABCD ；
(2)在棱SC 上是否存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD ？若存在，确定点F 的位置；若不存在，请说明理由．
解析 (1)证明：由已知得SA 2＋AD 2＝SD 2，所以SA ⊥AD .同理SA ⊥AB .又AB ∩AD ＝A ，所以SA ⊥平面ABCD .
(2)假设在棱SC 上存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD .因为BC ∥AD ，BC ⊄平面SAD ，所以BC ∥平面SAD .而BC ∩BF ＝B ，所以平面FBC ∥平面SAD .这与平面SBC 和平面SAD 有公共点S 矛盾，所以假设不成立．所以不存在这样的点F ，使得BF ∥平面SAD .
12．已知数列{a n }满足a 1＝12，且a n ＋1＝a n
3a n ＋1
(n ∈N *)．
(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝a n a n ＋1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和记为T n ，证明：T n ＜1
6
.
解析 (1)由已知可得当n ∈N *
时，a n ＋1＝a n 3a n ＋1，两边取倒数得1
a n ＋1
＝3a n ＋1a n ＝1a n ＋3，
即
1
a n ＋1－1a n ＝3，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝2，公差为3的等差数列，其通项公式为1
a n ＝2＋
(n －1)×3＝3n －1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1
3n －1
.
(2)证明：由(1)知a n ＝13n －1，故b n ＝a n a n ＋1＝1(3n －1)(3n ＋2)＝13⎝⎛⎭⎫1
3n －1－13n ＋2，故T n
＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13×⎝⎛⎭⎫12－15＋13×⎝⎛⎭⎫15－18＋…＋1
3×⎝⎛⎭⎫13n －1－13n ＋2＝13⎝⎛⎭⎫12－13n ＋2＝16－
13·13n ＋2.因为13n ＋2
＞0，所以T n ＜1
6. 13．[选做题]设a ，b 是两个实数，给出下列条件： ①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2 ＋b 2>2；⑤ab >1.
其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．
解析 若a ＝12，b ＝2
3，则a ＋b ＞1，但a ＜1，b ＜1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b
＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2＞2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab ＞1，故⑤推不出；对于③，即a ＋b ＞2，则a ，b 中至少有一个大于1，反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b ＞2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1，故③能推出．
答案 ③。