第6章 第36讲-不等式、推理与证明

课时达标 第36讲-不等式、推理与证明

一、选择题

1．用反证法证明命题：“若a ＋b ＋c 为偶数，则自然数a ，b ，c 恰有一个偶数”时正确的反设为( )

A ．自然数a ，b ，c 都是奇数

B ．自然数a ，b ，c 都是偶数

C ．自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数

D ．自然数a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数

D 解析 “自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”的否定是“自然数a ，b ，c 都是奇数或至少有两个偶数”．故选D.

2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设 a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”索的因应是( )

A ．a －b >0

B ．a －c >0

C ．(a －b )(a －c )>0

D ．(a －b )(a －c )<0

C 解析

b 2－a

c ＜3a ⇔b 2－ac ＜3a 2⇔(a ＋c )2－ac ＜3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2＜0

⇔－2a 2＋ac ＋c 2＜0⇔2a 2－ac －c 2＞0⇔(a －c )(2a ＋c )＞0⇔(a －c )(a －b )＞0.

3．(2019·焦作一中月考)若a ，b ∈R ，则下面四个式子中恒成立的是( ) A ．lg(1＋a 2)＞0 B ．a 2＋b 2≥2(a －b －1) C ．a 2＋3ab ＞2b 2 D.a b ＜a ＋1b ＋1

B 解析 在B 项中，因为a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋2b ＋1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，所以a 2＋b 2≥2(a －b －1)恒成立．

4．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2＞0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )

A ．恒为负值

B ．恒等于零

C ．恒为正值

D ．无法确定正负

A 解析 由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2＞0可知x 1＞－x 2，f (x 1)＜f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)＜0.

5．已知a >b >0，且 ab ＝1，若 0

A ．p >q

B ．p

C ．p ＝q

D ．p ≥q

B 解析 因为a 2＋b 22＞ab ＝1，所以p ＝log c a 2＋b 22＜0.又q ＝log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2

＝log c

1a ＋b ＋2ab

＞log c 14ab ＝log c 1

4＞0，所以q ＞p .

6．设x ，y ，z >0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋x

y ( )

A ．都大于2

B ．至少有一个大于2

C ．至少有一个不小于2

D ．至少有一个不大于2

C 解析 因为x ＞0，y ＞0，z ＞0，所以⎝⎛⎭⎫y x ＋y z ＋⎝⎛⎭⎫z x ＋z y ＋⎝⎛⎭⎫x z ＋x y ＝⎝⎛⎭⎫y x ＋x y ＋⎝⎛⎭⎫y z ＋z y ＋⎝⎛⎭⎫

x z ＋z x ≥6，当且仅当x ＝y ＝z 时，等号成立，则三个数中至少有一个不小于2.故选C.

二、填空题

7．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a ，b 的大小关系为________．

解析 a ＝3＋22，b ＝2＋7两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，显然6＜7.所以a ＜b .

答案 a ＜b

8．用反证法证明命题“若实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，则a ，b ，c ，d 中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是________________．

解析 “至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“a ，b ，c ，d 中没有一个是非负数，即a ，b ，c ，d 全是负数”．

答案 a ，b ，c ，d 全是负数

9．(2019·启东中学期中)给出下列四个命题： ①

x 2＋2

x 2＋1

的最小值为2；②2－3x －4

x 的最

大值为2－43； ③log x 10＋lg x 的最小值为2；④sin 2x ＋

4

sin 2x

的最小值为4. 其中真命题的序号是________(把所有正确结论的序号填在横线上)．

解析 ①

x 2＋2

x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1

＝x 2＋1＋

1x 2

＋1

≥2，当且仅当

x 2＋1＝

1x 2

＋1

，即x

＝0时，等号成立，正确；②2－3x －4

x ＝2－⎝⎛⎭⎫3x ＋4x ≤2－23x ·4

x

＝2－43成立的前提为x ＞0，错误；③同②，缺乏前提，错误；④sin 2x ＋4sin 2x ≥4取得等号的条件为sin 2x ＝4

sin 2x ，

即sin x ＝±2，这与sin x ∈[－1,1]矛盾，错误．

答案 ① 三、解答题

10．(2019·永州一中月考)已知a ≥b ＞0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .

证明 欲要证2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b 成立，只需证2a 3－b 3－2ab 2＋a 2b ≥0，即证2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)≥0，即证(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0.因为a ≥b ＞0，所以a －b ≥0，a ＋b ＞0,2a ＋b ＞0，从而(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0成立，所以2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .

11．(2019·黄石二中期中)已知四棱锥S －ABCD 中，底面是边长为1的正方形，又SB ＝SD ＝2，SA ＝1.

(1)求证：SA ⊥平面ABCD ；

(2)在棱SC 上是否存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD ？若存在，确定点F 的位置；若不存在，请说明理由．

解析 (1)证明：由已知得SA 2＋AD 2＝SD 2，所以SA ⊥AD .同理SA ⊥AB .又AB ∩AD ＝A ，所以SA ⊥平面ABCD .

(2)假设在棱SC 上存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD .因为BC ∥AD ，BC ⊄平面SAD ，所以BC ∥平面SAD .而BC ∩BF ＝B ，所以平面FBC ∥平面SAD .这与平面SBC 和平面SAD 有公共点S 矛盾，所以假设不成立．所以不存在这样的点F ，使得BF ∥平面SAD .

12．已知数列{a n }满足a 1＝12，且a n ＋1＝a n

3a n ＋1

(n ∈N *)．

(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝a n a n ＋1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和记为T n ，证明：T n ＜1

6

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