直角三角形的判定(斜边、直角边)HL
直角边斜边定理hl证明
直角边斜边定理hl证明直角边斜边定理是一个简单而重要的几何原理，它可以帮助我们计算和理解直角三角形的性质。
在本文中，我将详细介绍直角边斜边定理的概念和证明过程，希望能帮助读者更好地理解该定理的原理和应用。
1. 何为直角边斜边定理直角边斜边定理又被称为毕达哥拉斯定理，它阐述了直角三角形的边长关系。
直角三角形是一种具有一个内角为90度的三角形，其中包括一个直角，即一个内角等于90度的角。
根据直角边斜边定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
2. 直角边斜边定理的证明过程为了证明直角边斜边定理，我们可以利用几何知识和代数运算。
假设直角三角形的两个直角边分别为 a 和 b，斜边为 c。
我们可以通过以下证明过程来得到直角边斜边定理。
证明过程：（1）根据勾股定理，我们知道在任何三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
即 a^2 + b^2 = c^2。
（2）我们可以通过几何推导来证明这一点。
假设直角边 a 为底边，在直角三角形中构造一个以 a 为底边，长度为 b 的线段 perpendicular bisector。
这个线段将底边 a 平分，并且与斜边 c 相交于直角点和直角边 b 的中点。
（3）根据几何性质，我们知道这个线段将直角三角形分成了两个全等的直角三角形。
我们可以得到两个全等三角形中的对应边长关系，即 a = b 和直角边 a 的上半部分长度为 b/2。
（4）使用平行线性质，我们还可以得出斜边 c 分成的两条线段之间的关系。
即 c = a + b/2。
（5）将这些等式代入勾股定理的公式中，我们有 a^2 + b^2 = (a + b/2)^2，然后展开和化简这个方程，我们可以得到 a^2 + b^2 =c^2。
（6）根据这个推导过程，我们证明了直角边斜边定理，即直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
3. 直角边斜边定理的应用直角边斜边定理在几何学和实际生活中具有广泛的应用。
对于任何给定两条直角边的长度，我们可以利用直角边斜边定理来计算斜边的长度。
直角三角形全等的判定(HL)说课稿
直角三角形全等的判定（HL）说课稿各位老师，大家好:我说课的课题是人教版八年级数学上册12。
2。
4直角三角形全等的判定。
我从以下四大部分来说课。
一、教材分析（一）教材所处的地位和作用:本节课探索的是直角三角形全等的条件.通过探究活动，使学生在实践中学习，是培养学生自主学习，合作交流的好素材。
三角形全等是贯穿这一章的主线，是初中阶段证线段和角相等的主要工具。
而探索斜边与直角边长度之比则是学习三角函数的基础。
因此，这节课有利于学生形成完整的数学知识结构，有利于培养学生的能力,是学习后续几何课程的基础。
（二）教学目标1学会推导斜边、直角边定理。
2.熟练利用斜边、直角边定理判断两个直角三角形是否全等，解决一些简单的实际问题。
2. 经历探索三角形全等条件的过程,进一步掌握证明几何问题和解决简单实际问题的方法。
3.通过斜边、直角边定理的推导渗透变换的思想,培养学生一题多解的思维能力，拓宽学生的知识面，并使学生在数学学习中体验数学推理证明的乐趣，获得成功的喜悦.(三) 教学重点,难点重点：“HL”公理的推导过程。
难点:如何用几何语言有条理的，清晰的阐述自己的观点。
二、教学方法的选择与应用本课采用师生互动的方式，以多媒体手段辅助教学,创设情境，以开放性的问题启发学生思考，引导学生总结出判定直角三角形全等的条件以及正确应用“HL”定理的方法。
三、学法指导充分利用素材和活动，引导学生经历观察，画图，猜想，证明等活动,体验几何学习的过程。
教学准备：圆规,直尺，多媒体.四、教学过程五、总结与反思1.今天所学的直角三角形全等的判定定理是什么？2.直角三角形全等有几种判定方法？六、作业课本P41 练习1题、2题用其它方法证明H L定理好，我今天的说课就到这里,如有不当之处,请各位老师批评、指正。
谢谢！大通民中:强玉琴2015。
10.19。
直角三角形全等判定(HL)
《11.2 三角形全等的判定》——直角三角形全等判定（HL）年级：八年级课型：新授执笔：许景初审核：时间：学生姓名：班别：学号：学习目标：1.理解判定两个直角三角形全等可以用已经学过的全等三角形判定方法来判定.2.掌握“斜边、直角边”公理，并能利用公理来判定两个直角三角形全等。
重点：熟练掌握“斜边、直角边”公理难点：利用公理来判定两个直角三角形全等学习过程：一．预习●导学1．判定两个三角形全等方法：，，，它们的共同点：2、判断：如图∠C＝∠C′＝90°,具有下列条件的Rt△ABC与Rt△A′B′C′是否全等？全等的在（）里填写理由；如果不全等的，在（）里打“×”：（1）AC＝A′C′,∠A＝A′（）（2）AC＝A′C′，BC＝B′C （）（3）AB＝A′B′，BC＝B′C （）（4）∠A＝∠A′，∠B＝∠B′（）（5）AC＝A′C′，AB＝A′B′（）3．直角三角形 (“是”/“不是”)三角形中的一类， (“具有”/“不具有”)一般三角形所具有的性质,所以判定两个直角三角形全等可以，，，，。
二．学习●研讨（一）实验探究，尝试结论：课本13—14探究8例1．如图，已知线段ａ和ｃ (ａ＜ｃ),画一个Rt△ABC使∠C＝90°，一直角边CB＝ａ，斜边AB＝ｃ。
ｃ1．判定两个直角三角形全等的公理：（斜边、直角边公理）（可以简写成“公理”或“”）2．注意：（1）“HL”公理是仅适用于Rt△的特殊方法。
因此，判断两个直角三角形全等的方法除可以使用“”、“”、“”、“”外，还可以使用“HL”。
（2）应用HL 公理时，必须先有两个Rt △。
书写格式为：在Rt △______和Rt △______中， {______________,______________,== ∴Rt △______≌Rt △______（HL ） （二）巩固练习，达成目标： 1．已知：如图：ABC 中，AB ＝AC ，AD 是高，则____≌____。
hl定理是证明两个直角三角形全等的定理,
hl定理是证明两个直角三角形全等的定理, 是的，HL定理是证明两个直角三角形全等的定理。
HL定理的内容是：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
HL定理的简写是“Hypotenuse-Leg”，其中H是斜边（Hypotenuse），L是直角边（Leg）。
这个定理是证明两个直角三角形全等的一种特殊判定方法，可以通过证明两个三角形的斜边和一条直角边对应相等来证明两个三角形全等。
它可以通过SSS （Side-Side-Side）或者SAS（Side-Angle-Side）等其他全等判定定理进行转换。
在证明两个直角三角形全等时，HL定理可以提供一种简单而有效的方法。
前提是一定要确保所比较的两个三角形都是直角三角形，否则这个定理不适用。
直角三角形判定---HL(斜边直角边
c =a +b
a =3,b=4, 求c的长度
2
2
2
勾股定理
c 10, b =8,求a的长度
在直角三角形中，已知两边，能求出第三边
a=a,b=b,c=c
能否得到两个三角形全等？
SSS
b=b,c=c
SAS
a=a,b=b
全等是否依然成立？
定理：斜边和直角边分别相等的两个直角三角形全 等，简记为HL（或斜边直角边） 只适用于直角三角形
例.在ABC中，AC=BC,C=90，DE AB，DE=DC,AB=6, 求DEB周长
Rt ACD Rt AED(HL)
DE DE DE DB DC DB CB AC
Байду номын сангаас
CB CA lDEB DE EB DB AC EB AE EB AB 6
（1）
Rt BFD Rt ACD
BD AD, ABD为等腰Rt ABC 45
(2)
CD FD, AF CD AF FD AD
例.在Rt ACD和Rt BCE中,AD=BE,DC=EC, 求证：OA=OB
B A
BOD AOE
BD AE
例.AB CD, AE BD, CF BD, AE CF. 求证 AED CFB
判定直角三角形全等的方法（SSS、AAS、ASA、SAS、HL）
SSS : 三条对应边相等 SAS : 两条直角边相等 HL : 一条斜边和直角边对应相等
AAS、ASA : 一个锐角和一条边对应相等
数学语言表达
在Rt ABC和Rt EDC中 AB ED BC DC Rt ABC Rt EDC （HL）
直角三角形的判定(HL)、全等三角形综合 04
C．AB=DC，BE=CF
D．AB=DF，BE=CF
2. [单选题] 如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF，连接BF，CE、下列说法：①CE=BF； ②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正确的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
导学一 知识点讲解 1 例题
1.
解析:AC为公共边，再结合AD=AB就可以利用HL得出Rt△ABC≌Rt△ADC。 2.
解析:求出∠EAD=∠CBA=90°，根据HL可证得Rt△ADE=Rt△ABC，由全等三角形的性质可以得到∠EDA=∠C，这样通过等量 代换就可以得到∠CBA+∠EDA=90°，接下来由三角形内角和定理即可得到∠AFD=90°，即ED⊥AC。
【学有所获】到三条两两相交的直线距离相等的点有_____个，其中在这三条直线围成的三角形区域中的 有_____个。 [学有所获答案]4；1
知识点讲解 2：角平分线的性质
概念：角平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何书写： ∵P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E ∴PD=PE
例 1. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，AC=3，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，则△BDE的周长为 __________．
2. [单选题] 已知在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是（ ）
A.AB=DE，AC=DF
B.AC=EF，BC=DF
C.AB=DE，BC=EF
D.∠C=∠F，BC=EF
导学二 ： 角平分线的画法、性质和判定
直角三角形全等的判定(HL)
S.A.S.
A.S.A.
A.A.S.
S.S.S.
直角三角 形全等的 S.A.S. 判定
A.S.A.
A.A.S.
H.L.
思考
1. 任意两直角边相等的两个直角三角形全等吗？ 全等. SAS 2. 任意两对应边相等的两个直角三角形全等吗？ 全等. SAS 或 HL 3.任意两边相等的两个直角三角形全等吗？ 不一定全等
B B`
A
C
A`
C`
动动手 画一画
画一个Rt△ABC, 使∠C=90°, 一直角边
CA=4cm, 斜边AB=5cm.
1:画线段CA=4cm; 2:画∠ACN=90°;
把你画的三角形与 邻座同学对照一下 你有什么发现？
N B B
3:以A为圆心，5cm为半径画弧， 交射线CN于B;
4:连结AB;
AA
4cm 4cm
任意两个三角形取3组对应的元素，如果有 边角边 或 角边角 或 角角边 或 边边边 分 别对应相等，那么这两个三角形一定全等。
Ａ Ａ'
Ｂ
Ｃ
Ｂ'
Ｃ'
如果是 角角角 或 边边角 也对应相等，但不能
判断这两个三角形全等。
那么在两个直角三角形中，当斜边和一条直角 边分别对应相等时，也具有“边边角”对应相等 的条件，此时这两个直角三角形能否全等？
课本练习
1. 如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥AB, DF⊥AC, 点E、F为垂足， DE=DF, A 求证：△BED≌△CFD.
E F D
B
C
课本练习
2. 如图，AC=AD，∠C=∠D＝90º ，
求证：BC=BD.
A
C
直角三角形全等的判定-HL定理
直角三角形全等的判定一、教学目标1．使学生理解判定两个直角三角形全等可用已经学过的全等三角形判定方法来判定．2．使学生掌握“斜边、直角边”公理，并能熟练地利用这个公理和一般三角形全等的判定方法来判定两个直角三角形全等．指导学生自己动手，发现问题，探索解决问题(发现探索法)．由于直角三角形是特殊的三角形，因而它还具备一般三角形所没有的特殊性质．因为这是第一次涉及特殊三角形的特殊性，所以教学时要注意渗透由一般到特殊的数学思想，从而体现由一般到特殊处理问题的思想方法．二、教学重点和难点1．重点：“斜边、直角边”公理的掌握．2．难点：“斜边、直角边”公理的灵活运用．三、教学手段利用投影仪、教具(剪好的三角形硬纸片若干个)．四、教学过程(一)复习提问，回忆旧知1．三角形全等的判定方法有哪几种？2．三角形按角的分类．前面我们学习了判定两个三角形全等的四种方法——SAS、ASA、AAS、SSS．我们也知道“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等”，这些结论适用于一般三角形．我们在三角形分类时，还学过了一些特殊三角形(如直角三角形)．特殊三角形全等的判定是否会有一般三角形不适用的特殊方法呢？我们知道，斜边和一对锐角对应相等的两个直角三角形，可以根据“ASA”或“AAS”判定它们全等，两对直角边对应相等的两个直角三角形，可以根据“SAS”判定它们全等.如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等(边边角)，这两个三角形是否能全等呢？(二)带着问题，引入新课出示问题，幻灯片上一个舞台对两边直角三角形判定是否全等。
引起学生讨论1．可作为预习内容(投影仪)如图3-43，在△ABC与△A＇B＇C＇中，若AB=A＇B＇，AC=A＇C＇，∠C=∠C＇=Rt∠，这时Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇是否全等？研究这个问题，我们先做一个实验：把Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇拼合在一起(教具演示)如图3-44，因为∠ACB=∠A＇C＇B＇=Rt∠，所以B、C(C＇)、B＇三点在一条直线上，因此，△ABB＇是一个等腰三角形，于是利用“SSS”可证三角形全等，从而得到∠B=∠B＇．根据“AAS”公理可知，Rt△ABC≌Rt△A＇B＇C＇．三．鼓励动手，提出猜想2．下面我们再用画图的方法来验证：(同学们一同画图)例1 已知线段a，c(a＞c)如图3-45，画一个Rt△ABC，使∠C=90°，一直角边CB=a，斜边AB=c．画法：(1)画∠MCN=90°如图3-45．(2)在射线CM上取CB=a．(3)以B为圆心，C为半径画弧，交射线CN于点A．(4)连结AB．△ABC就是所要画的直角三角形．此例题着重说明，如此画出的Rt△是唯一的(画出的线与射线CN只有一个交点)．3．把2中画出的三角形剪下，两位同学比较一下，看看两人剪下的Rt△是否可以完全重合，从而引出直角三角形全等判定公理——“HL”公理．(四)师生讨论，形成结论斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)．要向学生说明“斜边、直角边”公理的条件，就是两边及其中一边的对角对应相等，但所对的角是直角，这是Rt△的特有物质所决定的，对于一般三角形并不成立．这就是说，Rt△是特殊的三角形，因而它还具备一般三角形所没有的特殊性质，以后我们还会遇到它的其它特殊性质．这是直角三角形全等的一个特殊的判定公理，其他判定公理同于任意三角形全等的判定公理．练习(利用投影仪作练习1、2)五．拓宽知识，深层思考1．具有下列条件的Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇(其中∠C=∠C＇=Rt∠)是否全等？如果全等在()里填写理由，如果不全等在()里打“×”．(1)AC=A＇C＇，∠A=∠A＇ ( )(2)AC=A＇C＇， BC=B＇C＇ ( )(3)∠A=∠A＇，∠B=∠B＇ ( )(4) AB=A＇B＇，∠B=∠B＇ ( )(5) AC=A＇C＇， AB=A＇B＇ ( )2．如图3-46，已知∠ACB=∠BDA=Rt∠，若要使△ACB ≌△BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来(有几种不同的方法就写几种)．理由：( )( )( )( )3.探讨给出任意两个条件能得到两个直角三角形全等吗？设计本练习要求学生执果索因，缺什么，找什么，这即可帮助学生熟悉基本定理，又是一种逆向思维的训练．例2 已知：如图3-47，在△ABC和△A＇B＇C＇中，CD、C＇D＇分别是高，并且AC=A＇C＇，CD=C＇D＇，∠ACB=∠A＇C＇B＇．求证：△ABC≌△A＇B＇C＇．分析：要证明△ABC≌△A＇B＇C＇，还缺条件，或证出∠A=∠A＇，或∠B=∠B＇，或再证明边BC=B＇C＇，观察图形，再看已知中还有哪些条件可以利用，容易发现高CD和C＇D＇可以利用，利用它可以证明△ACD≌△A＇C＇D＇或△BCD ≌△B＇C＇D＇从而得到∠A=∠A＇或∠B=∠B＇，BC=B＇C＇．找出书写顺序．证明：(略)．*讨论(发展思维)“边边角”与全等三角形的判定．我们知道有两边和其中一边对角对应相等的两个三角形未必全等．但是当两个三角形都是直角三角形时，由“边边角”便可断言它们全等(为什么？)，那么除此以外“边边角”是否还适用于其它种类的三角形呢？事实上，对两个钝角三角形、两个锐角三角形“边边角”也是成立的(验证方法与直角三角形类似)．这样，一般地我们便有如下结论：有两边和其中一边的对角对应相等的两个钝角三角形全等．有两边和其中一边的对角对应相等的两个锐角三角形全等．具体验证留给学生们，以上两个结论都是在学习“斜边、直角边”公理时引出的思考，而得出的结论．我们要问的是：既然“边边角”对直角三角形、钝角三角形、锐角三角形都成立，那么，它为什么对一般的三角形却不成立呢？你能说出其中的奥妙吗？六．归纳总结，形成系统由于直角三角形是特殊三角形，因而不仅可以应用判定一般三角形全等的四种方法，还可以应用“斜边、直角边”公理判定两个直角三角形全等．“HL”公理只能用于判定直角三角形全等，不能用于判定一般三角形全等，所以判定两个直角三角形的方法有五种：“SAS、ASA、AAS、SSS、LH”(四)练习教材P．109中练习1、2、3．(五)作业教材P．112中习题14.1组8、9、10．(六)板书设计。
三角形全等的判定(5)——HL
几何语言描述： 在Rt△ABC与Rt△DEF中
AB=DE AC=DF（或BC=EF）
∴Rt△ABC ≌ Rt △DEF（HL）
B
C
D
E
F
小结
判断两个直角三角形全等的方法有： 第一种：SSS
第二种：SAS 第三种：ASA 第四种：AAS 第五种：HL
精练
1、已知∠ACB =∠ADB=90，要证明△ABC ≌ △BAD，还需一个什么条件？
数学（人教版） 八年级 上册
第十二章 全等三角形 12.2 三角形全等的条件
第五课时 斜边、直角边
课前回顾
判定两个三角形全等的方法： 三边分别相等的两个三角形全等。
（即 “边边边”或“SSS”） 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。 （即 “边角边”或“SAS”） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。 （即 “角边角”或“ASA”）
观察与思考
先任意画一个△ABC，再画一个△AˊBˊC，使△ABC和△AˊBˊC满足上述 六个条件中的三个。画出的这两个三角形一定全等吗？ 满足三个条件： 三个角相等 不一定全等
三条边相等
全等
两边一角相等 两边一角相等
两角一边相等
两角一边相等
两边和它们的 夹角相等Βιβλιοθήκη 全等两边和其中一 边对角相等
不一定全等
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。 （即 “角角边”或“AAS”）
学习目标
学习目标 1．探索并理解“HL” 判定方法。 2．会用“HL” 判定方法证明两个直角三角形全等。 3．通过画图、比较、验证，培养学生注重观察、不断总结的良好思维习惯。 重点 掌握“HL”判定两个直角三角形全等的方法。 难点 掌握“HL”判定两个直角三角形全等的方法。
直角三角形-的性质判定(HL)
直角三角形的性质、判定（HL ）1、如果一个△ABC 有一个角是直角，则它是直角三角形，记作Rt △ABC 。
直角三角形两锐角互余。
2、直角三角形的判定定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，则这个两个直角三角形全等，简称HL 。
3、直角三角形性质定理(一):在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.4、直角三角形性质定理(二):在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;5、直角三角形性质的逆定理（1）:如果一个三角形一边上的中线，等于这条边的一半，则这个三角形式直角三角形.（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°.二、知识运用典型例题例1：已知:△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是高, ∠A=30°.求证:BD=14AB.例2：已知:如图, △ABC 中,AB=AC,BD ⊥AC 于D 点,BD=12AC. 则∠A=_____.例3：已知:如图,AD 为△ABC 的高,E 为AC 上的一点,BE 交AD 于F,且有BF=AC,FD=CD, 求证:BE ⊥AC.例4：如图3，AD 是ΔABC 的中线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且BE=CF ， 求证：（1）AD 是∠BAC 的平分线AD CBAE DC BF 12 A12（2）AB=AC例5：已知如图，AE ⊥ED ，AF ⊥FD ，AF=DE ，EB ⊥AD ，FC ⊥AD ，垂足分别为B 、C.试说明EB=FC.例6：如图，已知BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，且BE ＝CF ．请你判断AD 是△ABC 的中线还是角平分线？请说明你判断的理由．三、知识运用课堂训练1、△ABC 中各角的度数之比如下,能够说明△ABC 是直角三角形的是( ) A.1:2:3 B.2:3:4 C.3:4:5 D.3:2:52、直角三角形中,两锐角的角平分线相交所成的角的度数为 .3、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半,则其顶角为 .4、如图,CD 为△ABC 的中线,∠ACB=90°,CE ⊥AB 于E, AE=ED,则图中30°的角有 个.ABCD FEABCD E5、如图,AC=BD,AD ⊥AC,BC ⊥BD,求证:AD=BC.6、如图所示，D 是△ABC 的边BC 上的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，且BF ＝CE 。
《直角三角形全等的判定(HL)》教案讲课教案
《直角三角形全等的判定》教学设计中心发言人：DH教学目标:（1）明确两个直角三角形的全等，可以利用“边边边，边角边，角边角，角角边”来证明；但是由于直角相等，所以两个直角三角形全等的判定，只需要增加两个条件即可。
（2）探索和掌握直角三角形全等的特殊判定方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，并会用“SSS，SAS，ASA，AAS及HL”证明两个直角三角形全等。
教学重点：探索和掌握直角三角形全等的特殊判定方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，并会用“SSS，SAS，ASA，AAS及HL”证明两个直角三角形全等。
教学难点：（1）满足“边边角”分别对应相等的两个三角形不一定全等，但满足“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形”符合“边边角”的条件，两个直角三角形却是全等的。
（2）要注意用HL直角三角形全等的证明格式集体备教教学过程：1、复习与回顾：（1）判定两个三角形全等的方法是，，，（2）回顾直角三角形的边、角的名称及相关性质。
2、尝试归纳两个直角三角形全等的判定方法：如图，AB⊥BE于B，D E⊥BE于E，（1）若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”），根据（用简写法）。
（2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”），个性补教AB CE FD根据（用简写法）。
（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”），根据（用简写法）。
（4）若∠A=∠D，AC=DF则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”），根据（用简写法）。
归纳：两个直角三角形全等的类型：ASA ,AAS ,SAS ,AAS (一锐角一直角边，一锐角一斜边，两直角边，共四种情形) 3、探究：一斜边一直角边对应相等，两直角三角形是否全等？（1）情景引入如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。
人教版八年级数学上册第12章第5课时 三角形全等的判定——HL
小结：在一线三直角模型中，推出对应角相等，进而判定全 等，得到相关线段相等，最后判断数量关系.
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数学
★12.(1)如图(1)，AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AC＝DE， 试说明 BC⊥CE 的理由； (2)如图(2)，若△ABC 向右平移，使得点 C 移到点 D，AB⊥ AD，ED⊥AD，AB＝CD，AD＝DE，探索 BD⊥CE 的结论是 否成立，并说明理由．
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10.如图，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，下列结论不成立的是 ( C) A．∠DAE＝∠CBE B．CE＝DE C．△DAE 与△CBE 不一定全等 D．∠1＝∠2
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数学
7.【例 3】如图，BD，CE 分别是△ABC 的高，且 BE＝CD， 求证：Rt△BEC≌Rt△CDB. 证明：∵BD，CE 分别是△ABC 的高，
第十二章 全等三角形
第5课时 三角形全等的判定(4)——HL
数学
目录
01 学习目标 02 知识要点 03 对点训练 04 精典范例 05 变式练习
数学
学习目标
1.掌握用 HL 证明两个三角形全等． 2．能灵活运用全等三角形的性质解决线段或角 相等的问题． 3．通过画、量、观察、比较和猜想等过程，探 索、归纳、证明两个三角形全等的条件，提高运 用知识的能力.
∴∠BEC＝∠CDB＝90°，
在 Rt△BEC 和 Rt△CDB 中，BBCE＝＝CCBD ，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB(HL).
小结：根据高的定义求出∠BEC＝ ∠CDB＝90°，再根据 HL 证明.
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数学
11.如图，在△ABC 中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F 为 AB 延 长线上一点，点 E 在 BC 上，且 AE＝CF.求证：Rt△ABE≌ Rt△CBF.
1.2直角三角形全等的判定(HL定理)(教案)
-理解HL定理的适用条件：仅适用于直角三角形，非直角三角形不适用。
-识别全等证明中的已知条件和未知条件，特别是如何从题目中提取关键信息。
-理解全等证明的逻辑顺序，如何从已知条件出发，逐步推导出全等关系。
-解决实际问题时，如何构建直角三角形模型，并将HL定理应用于问题求解。
举例：在解决一个直角三角形的斜边和一条直角边长度已知的问题时，学生可能难以直接联想到使用HL定理。难点在于如何引导学生从问题中识别出这是一个直角三角形全等的问题，并应用HL定理来求解。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“直角三角形全等在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
五、教学反思
在今天的教学中，我尝试了多种方法来帮助学生理解和掌握直角三角形全等的判定方法——HL定理。首先，通过日常生活中的例子导入新课，我发现学生的兴趣被成功激发，他们对于几何学的实际应用表现出了浓厚的兴趣。这一点让我感到欣慰，也让我认识到，将理论知识与生活实际相结合是提高学生学习兴趣的有效途径。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了直角三角形全等的判定方法——HL定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对直角三角形全等的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
直角三角新的判定-HL
D
B
C
E
F
动手实践 探索规律
已知线段a、c(a﹤c)和一个直角α，利用尺规作 一个Rt△ABC,使∠C= ∠ α、 CB=a、AB=c.
a
c
α
想一想，怎样画呢？
动动手 做一做 比比看
把我们刚画好的直角三角形剪下来，和同桌的 比比看， 这些直角三角形有怎样的关系呢？
按照下面的步骤做一做：
⑴ 作∠MCN=∠α=90°; M
书面作业：课本44页7、8题。 练习册： 完成今天所学相关题目。 课后体会：学完判定三角形全等的条件后，你 有什么收获？
我们学过的判定三角形全等的方法：
SSS SAS
ASA AAS
A
三边对应相 等的两个三角形 全等。(简写成 “边边边”或 “SSS”）
B
D
C
E
F
A
两边和它们夹角 对应相等的两个三 B 角形全等。(简写成 “边角边”或“SAS”）
E
D
C
F
A
两角和它们的夹边 对应相等的两个三 角形全等。(简写成 “角边角”或 “ASA”）
练习1 如图，AB=CD，AE ⊥BC，DF ⊥BC，
CE=BF. 求证：AE=DF.
证明：∵ AE⊥BC，DF⊥BC ∴△ＡＢＥ和△ＤＣＦ都是直角三角形。 又∵ＣＥ=ＢF D C ∴ＣＥ－ＥＦ=ＢＦ－ＥＦ 即ＣＦ=ＢＥ。 F E 在Ｒｔ△ＡＢＥ和Ｒｔ△ＤＣＦ中 ＣＥ＝ＢＦ ＡＢ＝ＤＣ
A B
Ｒｔ Ｒｔ ∴Ｒｔ△ＡＢＥ≌Ｒｔ△ＤＣＦ（ＨＬ） ∴ＡＥ＝ＤＦ
斜边、直角边公理
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 .
简写成“斜边、直角边”或“HL”
斜边、直角边公理 (HL)
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A
B
C
F
E
D （1）若 ∠A=∠D，AB=DE，则 △ABC与 △DEF 全等 填“全等”或“不全等”）根据 ______,( ________. ASA
（2）若∠A= ∠ D，BC=EF，则 △ABC与 △ DEF AAS 全等 _____ （填“全等”或“不全等”）根据 __E ⊥BE于E，
A
B
C
F
E
D
（5）若AB=DE，AC=DF，则 △ABC与△DEF 全等 HL （填“全等”或“不全等”）根据 ________
小结
拓展
一般三 角形全 等的判 定
“SAS” “ ASA ” “ AAS ” “ SSS ”
直角三 角形全 等的判 定
“ SAS ” “ ASA ” “ AAS ” “ SSS ” “ HL ”
′ B′ C, ′ 使 A′ B′ =AB, A′ C′ =AC. 画Rt△A A ′ A
B
C
B′
C′
想一想：从上面画直角三角形的过 程中，你发现了什么？
当斜边和一条直角边长确定时，所画的直角 三角形是唯一确定的。 斜边、直角边公理
当斜边和一条直角对应相等的两个直角三角 形全等。
简写成“斜边、直角边” 或“HL”
复习回顾
全等三角形的判定方法有：
边边边
A
A'
B
C
' B
C'
三边分别对应相等的两个三角形全等（SSS)
全等三角形的判定方法有：
边角边
A
A'
B
C
' B
C'
两边和它们的夹角分别对应相等的两个三角 形全等。(SAS)
全等三角形的判定方法有：
角边角
A
A′
B
C
B′
C′
两角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等 （ASA）．
A C
B′
B′ C′ (HL) ∴Rt△ABC≌ Rt△A′
A′ C′
例1
已知：如图, AC⊥BC, AD⊥BD, 垂足分别为C,D,AC=AD,求证： △ABC≌△ABD.
已知：如图, AC⊥BC, BD ⊥ AD, 垂足分别为C,D,AC=BD,求证： BC=AD.
D
C
例2
A
B
练习
1、如图，
全等三角形的判定方法有：
角角边
A
A′
B
C
B′
C′
两角和其中一个角的对边
分别对应相等的两个三角形全等（AAS).
A
′ A
B
C
′ B
C′
有两边及其中一边的对角
分别对应相等的两个三角形不一定全等 如果把∠B, ∠B ′ 改为直角呢？
A
′ A
B A
C
′ B
C′
′ A
C B′
C′
已知:Rt△ABC,∠B=90°.
A
′ A
B A
C
′ B
C′
′ A 斜边、直角边公理
只对两个直角三角形适用， 而对一般三角形不适用。 C B′ C′
注意：在这个公理使用过程中要突 出直角三角形这个前提条件。
满足 （1）斜边相等； （2）任意一条直角边对应相等。
斜边、直角边公理 (HL)
几何语言
∵∠C=∠C′=90°
B
在Rt△ABC和Rt△ ABC中 AB=AB BC=BC
灵活运用各种方法证明直角三角形全等
2、如图， AB⊥BE于B， DE ⊥BE于E，
A
B
C
F
E
D
（3）若AB=DE，BC=EF，则 △ABC与△DEF 全等 SAS （填“全等”或“不全等”）根据 ________
（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF则△ABC与 SSS △DEF全等 （填“全等”或“不全等”）,根据 __ __