三向量的混合积

cz
ax a y az bx b y bz cx c y cz
3. 性质 (1) 三个非零向量 a , b , c 共面的充要条件是
a b c 0
(2) 轮换对称性 :
[ a b c ] [ b c a ] [ c a b]
(可用三阶行列式推出)
a
b
c
4.
混合积的几何意义 | [abc] | | a b c | | a b | | Pr jab c | S h V
AC AB
B
c a sin B
CB CA a b sin C
所以
c
A
b
a
C
a b c sin A sin B sin C
备用题
3 1. 已知向量 a , b 的夹角 , 且 | a | 2, | b | 3, 4
解：
( a b )( a b )
a , b , c 共面
( ab )c 0
ax a y az b x b y bz 0 cx c y cz
思考与练习
1. 设 a i 2 j k , b i j , 计算 a b 及 a b , 并求 a , b 夹角 的正弦与余弦 . 答案: a b 1 ,
B A
C
解： AC ( 0 , 4 , 3 )
AB ( 0 , 2 , 2 )
三角形 ABC 的面积为 1 1 S | AC AB | (2) 2 0 2 0 2 1 2 2 1 2 2 而 | AC | 4 (3) 5, S | AC | | BD | 2 1 2 1 5 | BD | | BD | 故有 2 5
D
作业
P58 1，2，4，5
V Ah
a b c
( a b )c
2. 混合积的坐标表示 设 a (a x , a y , a z ) , b (bx , by , bz ) , c (c x , c y , c z )
i j k ax az ax a y a y az , a b ax a y az , bx b y b x bz b y bz bx b y bz ax a y ax az a y az a b c ( a b ) c b b c x b b c y b b x y x z y z
a b (a x bx , a y by , a z bz )
a ( a x , a y , a z )
a b a x bx a y by a z bz
i j k a b ax a y az
bx b y bz
ax a y az 混合积: a b c ( a b ) c bx b y bz cx c y cz 2. 向量关系: bx b y bz ab 0 ax a y az a x bx a y by a z bz 0
a b (1, 1, 3) 1 11 cos , sin 2 3 12
2. 用向量方法证明正弦定理: a b c sin A sin B sin C
B
c
A
b
a
C
证: 由三角形面积公式 1
S ABC
因
2 1 1 BA BC CB CA 2 2 AC AB b c sin A
1 6
x2 x1 y2 y1 z2 z1 x3 x1 y3 y1 z3 z1 x4 x1 y4 y1 z4 z1
例1. 证明四点 A(1,1,1) , B( 4 , 5 , 6 ), C ( 2 , 3 , 3 ) ,
D(10 ,15 ,17 ) 共面 .
解: 因
aa
2
bb
2
a 2 a b cos b 3 2 2 ( 2 ) 2 2 3 cos 3 4 17

a b 17
在顶点为 A(1, 1, 2) , B(1,1, 0) 和 C (1, 3 , 1) 的
2. 三角形中, 求 AC 边上的高 BD .
因此，三矢 a, b, c共面
ab
其混合积 [abc] = 0
h
c

Fra Baidu bibliotek
.
b
a
例1. 已知一四面体的顶点 4 ) , 求该四面体体积 .
解: 已知四面体的体积等于以向量 A1 A2 , A1 A3 , A1 A4
为棱的平行六面体体积的 故
A4 A3 A1 A2
[ A1 A2 A1 A3 A1 A4 ]
B
C
[ AB AC AD ]
3 1 9
5 4 2 2 0 14 16
A
D
故 A , B , C , D 四点共面 .
内容小结
设 a (a x , a y , a z ) , b (bx , by , bz ) , c (c x , c y , c z ) 1. 向量运算 加减: 数乘: 点积: 叉积:
ab
h c

b S=|a b|
a
4.
混合积的几何意义
| [abc] | | a b c | | a b | | Pr jab c | S h V
ab
h
c

.
b
a
4.
混合积的几何意义
| [abc] | | a b c | | a b | | Pr jab c | S h V
第一章
向量与坐标
§1.9 三向量的混合积
1. 定义
已知三向量 a , b , c , 称数量
记作
( a b )c 为 a , b , c 的混合积 .
几何意义
a b c
ab
c
a
b
以 a , b , c 为棱作平行六面体, 则其
底面积 A a b , 高 h c 故平行六面体体积为