数学二次函数中考压轴题(平行四边形)解析精选

二次函数中考压轴题（平行四边形）解析精选

【例一】（2013•嘉兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x﹣m）2﹣m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．

（1）当m=2时，求点B的坐标；

（2）求DE的长？

（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？

考点：二次函数综合题．

专题：数形结合．

分析：（1）将m=2代入原式，得到二次函数的顶点式，据此即可求出B点的坐标；

（2）延长EA，交y轴于点F，证出△AFC≌△AED，进而证出△ABF∽△DAE，利用相似三角形的性质，求出DE=4；

（3）①根据点A和点B的坐标，得到x=2m，y=﹣m2+m+4，将m=代入y=﹣m2+m+4，即可求出二次函数的表达式；

②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，然后分（如图1）和（图2）两种情况解答．

解答：

解：（1）当m=2时，y=（x﹣2）2+1，

把x=0代入y=（x﹣2）2+1，得：y=2，

∴点B的坐标为（0，2）．

（2）延长EA，交y轴于点F，

∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE，

∴△AFC≌△AED，

∴AF=AE，

∵点A（m，﹣m2+m），点B（0，m），

∴AF=AE=|m|，BF=m﹣（﹣m2+m）=m2，

∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°，

∴△ABF∽△DAE，

∴=，即：=，

∴DE=4．

（3）①∵点A的坐标为（m，﹣m2+m），

∴点D的坐标为（2m，﹣m2+m+4），

∴x=2m，y=﹣m2+m+4，

∴y=﹣•++4，

∴所求函数的解析式为：y=﹣x2+x+4，

②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，

（Ⅰ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1），

点P的横坐标为3m，

点P的纵坐标为：（﹣m2+m+4）﹣（m2）=﹣m2+m+4，

把P（3m，﹣m2+m+4）的坐标代入y=﹣x2+x+4得：

﹣m2+m+4=﹣×（3m）2+×（3m）+4，

解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=8．

（Ⅱ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图2），

点P的横坐标为m，

点P的纵坐标为：（﹣m2+m+4）+（m2）=m+4，

把P（m，m+4）的坐标代入y=﹣x2+x+4得：

m+4=﹣m2+m+4，

解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=﹣8，

综上所述：m的值为8或﹣8．

点评：本题是二次函数综合题，涉及四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意数形结合及分类

讨论．

【例二】已知抛物线的顶点为A (2，1)，且经过原点O ，与x 轴的另一交点为B 。

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；

(3)连接OA 、AB ，如图②，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。

A

A

B

B

O

O x

x

y y

【例三】（2013•湘潭）如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x2+bx﹣2的图象过C点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

考点：二次函数综合题．

分析：如解答图所示：

（1）首先构造全等三角形△AOB≌△CDA，求出点C的坐标；然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式；

（2）首先求出直线BC与AC的解析式，设直线l与BC、AC交于点E、F，则可求出EF的表达式；根据S△CEF=S△ABC，列出方程求出直线l的解析式；

（3）首先作出▱PACB，然后证明点P在抛物线上即可．

解答：解：（1）如答图1所示，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD+∠ACD=90°．∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，

∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD．

∵在△AOB与△CDA中，

∴△AOB≌△CDA（ASA）．

∴CD=OA=1，AD=OB=2，

∴OD=OA+AD=3，

∴C（3，1）．

∵点C（3，1）在抛物线y=x2+bx﹣2上，

∴1=×9+3b﹣2，解得：b=﹣．

∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．

（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=．

∴S△ABC=AB2=．

设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1），

∴，

解得k=﹣，b=2，

∴y=﹣x+2．

同理求得直线AC的解析式为：y=x﹣．

如答图1所示，

设直线l与BC、AC分别交于点E、F，则EF=（﹣x+2）﹣（x﹣）=﹣x．△CEF中，CE边上的高h=OD﹣x=3﹣x．

由题意得：S△CEF=S△ABC，

即：EF•h=S△ABC，

∴（﹣x）•（3﹣x）=×，

整理得：（3﹣x）2=3，

解得x=3﹣或x=3+（不合题意，舍去），

∴当直线l解析式为x=3﹣时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分．（3）存在．

如答图2所示，