数学二次函数中考压轴题(平行四边形)解析精选
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二次函数中考压轴题(平行四边形)解析精选
【例一】(2013•嘉兴)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=(x﹣m)2﹣m2+m的顶点为A,与y轴的交点为B,连结AB,AC⊥AB,交y轴于点C,延长CA到点D,使AD=AC,连结BD.作AE∥x轴,DE∥y轴.
(1)当m=2时,求点B的坐标;
(2)求DE的长?
(3)①设点D的坐标为(x,y),求y关于x的函数关系式?②过点D作AB的平行线,与第(3)①题确定的函数图象的另一个交点为P,当m为何值时,以,A,B,D,P为顶点的四边形是平行四边形?
考点:二次函数综合题.
专题:数形结合.
分析:(1)将m=2代入原式,得到二次函数的顶点式,据此即可求出B点的坐标;
(2)延长EA,交y轴于点F,证出△AFC≌△AED,进而证出△ABF∽△DAE,利用相似三角形的性质,求出DE=4;
(3)①根据点A和点B的坐标,得到x=2m,y=﹣m2+m+4,将m=代入y=﹣m2+m+4,即可求出二次函数的表达式;
②作PQ⊥DE于点Q,则△DPQ≌△BAF,然后分(如图1)和(图2)两种情况解答.
解答:
解:(1)当m=2时,y=(x﹣2)2+1,
把x=0代入y=(x﹣2)2+1,得:y=2,
∴点B的坐标为(0,2).
(2)延长EA,交y轴于点F,
∵AD=AC,∠AFC=∠AED=90°,∠CAF=∠DAE,
∴△AFC≌△AED,
∴AF=AE,
∵点A(m,﹣m2+m),点B(0,m),
∴AF=AE=|m|,BF=m﹣(﹣m2+m)=m2,
∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE,∠AFB=∠DEA=90°,
∴△ABF∽△DAE,
∴=,即:=,
∴DE=4.
(3)①∵点A的坐标为(m,﹣m2+m),
∴点D的坐标为(2m,﹣m2+m+4),
∴x=2m,y=﹣m2+m+4,
∴y=﹣•++4,
∴所求函数的解析式为:y=﹣x2+x+4,
②作PQ⊥DE于点Q,则△DPQ≌△BAF,
(Ⅰ)当四边形ABDP为平行四边形时(如图1),
点P的横坐标为3m,
点P的纵坐标为:(﹣m2+m+4)﹣(m2)=﹣m2+m+4,
把P(3m,﹣m2+m+4)的坐标代入y=﹣x2+x+4得:
﹣m2+m+4=﹣×(3m)2+×(3m)+4,
解得:m=0(此时A,B,D,P在同一直线上,舍去)或m=8.
(Ⅱ)当四边形ABDP为平行四边形时(如图2),
点P的横坐标为m,
点P的纵坐标为:(﹣m2+m+4)+(m2)=m+4,
把P(m,m+4)的坐标代入y=﹣x2+x+4得:
m+4=﹣m2+m+4,
解得:m=0(此时A,B,D,P在同一直线上,舍去)或m=﹣8,
综上所述:m的值为8或﹣8.
点评:本题是二次函数综合题,涉及四边形的知识,同时也是存在性问题,解答时要注意数形结合及分类
讨论.
【例二】已知抛物线的顶点为A (2,1),且经过原点O ,与x 轴的另一交点为B 。
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点C 在抛物线的对称轴上,点D 在抛物线上,且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形,求D 点的坐标;
(3)连接OA 、AB ,如图②,在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ,使得△OBP 与△OAB 相似?若存在,求出P 点的坐标;若不存在,说明理由。
A
A
B
B
O
O x
x
y y
【例三】(2013•湘潭)如图,在坐标系xOy中,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,A(1,0),B(0,2),抛物线y=x2+bx﹣2的图象过C点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)平移该抛物线的对称轴所在直线l.当l移动到何处时,恰好将△ABC的面积分为相等的两部分?(3)点P是抛物线上一动点,是否存在点P,使四边形PACB为平行四边形?若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由.
考点:二次函数综合题.
分析:如解答图所示:
(1)首先构造全等三角形△AOB≌△CDA,求出点C的坐标;然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式;
(2)首先求出直线BC与AC的解析式,设直线l与BC、AC交于点E、F,则可求出EF的表达式;根据S△CEF=S△ABC,列出方程求出直线l的解析式;
(3)首先作出▱PACB,然后证明点P在抛物线上即可.
解答:解:(1)如答图1所示,过点C作CD⊥x轴于点D,则∠CAD+∠ACD=90°.∵∠OBA+∠OAB=90°,∠OAB+∠CAD=90°,
∴∠OAB=∠ACD,∠OBA=∠CAD.
∵在△AOB与△CDA中,
∴△AOB≌△CDA(ASA).
∴CD=OA=1,AD=OB=2,
∴OD=OA+AD=3,
∴C(3,1).
∵点C(3,1)在抛物线y=x2+bx﹣2上,
∴1=×9+3b﹣2,解得:b=﹣.
∴抛物线的解析式为:y=x2﹣x﹣2.
(2)在Rt△AOB中,OA=1,OB=2,由勾股定理得:AB=.
∴S△ABC=AB2=.
设直线BC的解析式为y=kx+b,∵B(0,2),C(3,1),
∴,
解得k=﹣,b=2,
∴y=﹣x+2.
同理求得直线AC的解析式为:y=x﹣.
如答图1所示,
设直线l与BC、AC分别交于点E、F,则EF=(﹣x+2)﹣(x﹣)=﹣x.△CEF中,CE边上的高h=OD﹣x=3﹣x.
由题意得:S△CEF=S△ABC,
即:EF•h=S△ABC,
∴(﹣x)•(3﹣x)=×,
整理得:(3﹣x)2=3,
解得x=3﹣或x=3+(不合题意,舍去),
∴当直线l解析式为x=3﹣时,恰好将△ABC的面积分为相等的两部分.(3)存在.
如答图2所示,