第2讲整式的运算与因式分解

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考点02 整式与因式分解【无答案】

考点02 整式与因式分解中考数学中，整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考察整式的基本概念，对整式的复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大。

因式分解作为整式乘法的逆运算，在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以简单选择、填空题的形式出现，而且一般只考察因式分解的前两步，拓展延伸部分基本不考，所以学生在复习这部分内容时，除了要扎实掌握好基础，更需要甄别好主次，合理安排复习方向。

考向一、整式的加减；考向二、幂的运算考向三、整式的乘除考向四、因式分解考向一：整式的加减1.整式的概念及注意事项：【易错警示】1．（2022秋•泉州期中）单项式﹣2πr3的系数和次数分别是（）A．﹣2，4B．﹣2，3C．﹣2π，3D．2π，32．（2022秋•包河区期中）已知单项式2x3y m与单项式﹣9x n y2是同类项，则m﹣n的值为（）A．﹣1B．7C．1D．113．（2022秋•陇县期中）下列说法中，错误的是（）A．数字1也是单项式B．单项式﹣5x3y的系数是﹣5C．多项式﹣x3+2x﹣1的常数项是1D．3x2y2xy+2y3是四次三项式4．（2022秋•高邮市期中）已知代数式3a﹣b2的值为3，则8﹣6a+2b2的值为．5．（2022秋•鄂州期中）若多项式a（a﹣1）x2+（a﹣1）x+2是关于x的一次多项式，则a的值为（）A．0B．1C．0或1D．不能确定2.整式的加减【易错警示】1．（2022秋•黄石期中）下列计算正确的是（）A．6a﹣5a＝1B．a+2a2＝3aC．﹣（a﹣b）＝﹣a+b D．2（a+b）＝2a+b2．（2022秋•老河口市期中）一个长方形的周长为6a+8b，其中一边长为2a﹣b，则与其相邻的一边长为（）A．a+5b B．a+b C．4a+9b D．a+3b3．（2022秋•江都区期中）如图，长方形ABCD是由四块小长方形拼成（四块小长方形放置时既不重叠，也没有空隙）．其中②③两块小长方形的长均为a，宽均为b，若BC＝2，则①④两块长方形的周长之和为（）幂的运算A ．8B ．2a +2bC ．2a +2b +4D ．164．（2022秋•沈北新区期中）化简：6x 2﹣[4x 2﹣（x 2+5）]＝．5．（2022秋•北碚区校级期中）若关于x 的多项式3ax +7x 3﹣bx 2+x 不含二次项和一次项，则a +b 等于（）A ．﹣B ．C ．3D ．﹣36．（2022秋•扬州期中）化简：（1）x 2﹣3x ﹣4x 2+5x ﹣6；（2）3（2x 2﹣xy ）﹣（x 2+xy ﹣6）．7．（2022秋•黔东南州期中）阅读材料：“如果代数式5a +3b 的值为﹣4，那么代数式2（a +b ）+4（2a +b ）的值是多少？”我们可以这样来解：原式＝2a +2b +8a +4b ＝10a +6b ．把式子5a +3b ＝﹣4两边同乘以2．得10a +6b ＝﹣8．仿照上面的解题方法，完成下面的问题：（1）已知a 2+a ＝0，求a 2+a +2022的值；（2）已知a ﹣b ＝﹣3．求3（a ﹣b ）﹣a +b +5的值；（3）已知a 2+2ab ＝﹣2，ab ﹣b 2＝﹣4，求2a 2+5ab ﹣b 2的值．考向二：幂的运算1．（2022秋•朝阳区校级期中）下列运算正确的是（）A ．a 3+a 6＝a 9B ．a 6•a 2＝a 12()()是正整数）且）＞且都是正整数为正整数）都是正整数）都是正整数）p a a a a a n m n m a a a a n b a ab n m a a n m a a a p p n m n m n n n mn n m n m n m ,0(1)0(1,,,0((,(,(0≠=≠=≠=÷===•--+C．（a3）2＝a5D．a4•a2+（a3）2＝2a62．（2022秋•浦东新区校级期中）计算（﹣）2021•（﹣）2022的结果是（）A．B．C．D．3．（2022秋•闵行区校级期中）已知a m＝2，a2n＝3，求a m+2n＝．4．（2022秋•永春县期中）若a m＝2，a n＝3，a p＝5，则a m+n﹣p＝．5．（2022秋•朝阳区校级期中）（1）计算：（a4）3+a8•a4；（2）计算：[（x+y）m+n]2；（3）已知2x+3y﹣2＝0，求9x•27y的值．6．（2022秋•浦东新区期中）阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘a•a…，记为a n．如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b（即log a b＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．（1）计算以下各对数的值：log24＝，log216＝，log264＝．（2）写出（1）log24、log216、log264之间满足的关系式．（3）由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：log a M+log a N＝（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）．（4）设a n＝N，a m＝M，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．考向三：整式的乘除➢两个乘法公式可以从左到右应用，也可以从右到左应用；1．（2022春•南海区校级月考）下列各式中，计算正确的是（）A．2a2•3a3＝5a6B．﹣3a2（﹣2a）＝﹣6a3C．2a3•5a2＝10a5D．（﹣a）2•（﹣a）3＝a52．（2022秋•阳信县期中）下列计算中，能用平方差公式计算的是（）A．（x﹣2）（2﹣x）B．（﹣1﹣3x）（1+3x）C．（a2+b）（a2﹣b）D．（3x+2）（2x﹣3）3．（2022秋•铁西区校级月考）若（x+3）（2x﹣m）＝2x2+nx﹣15，则（）A．m＝﹣5，n＝1B．m＝﹣5，n＝﹣1C．m＝5，n＝1D．m＝5，n＝﹣14．（2022秋•思明区校级期中）设M＝（x﹣1）（x﹣2），N＝（2x﹣3）（x﹣2），则M与N的大小关系为（）A．MN B．M≥N C．M＝N D．M≤N5．（2022•雁塔区校级开学）如图，一块矩形土地的面积是x2+5xy+6y2（x＞0，y＞0），长为x+3y，则宽是（）A．x﹣y B．x+y C．x﹣2y D．x+2y6．（2022秋•东城区校级期中）若（s﹣t）2＝4，（s+t）2＝16，则st＝．7．（2022秋•阳信县期中）（1）先化简，再求值：x（x﹣4y）+（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x＝﹣2，y＝﹣1．（2）利用乘法公式简算：20212﹣2020×2022．8．（2022秋•西湖区校级期中）如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为l1，图2中阴影部分周长为l2．（1）若a＝7，b＝5，c＝3，则长方形的周长为；（2）若b＝7，c＝4，①求l1﹣l2的值；②记图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，求S2﹣S1的值．考向四：因式分解基本概念公因式多项式各项都含有的相同因式因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做把这个多项式因式分解一般步骤“一提”【即：提取公因式】“二套”【即：套用乘法公式】222222)())((babababababa+±=±-=-+完全平方公式：平方差公式：“三分组”【即：分组分解因式】基本不考，如果考，多项式项数一般在四个及以上“二次三项想十字”【即：十字相乘法】()()()qxpxqpxqpx++=•+++2➢由定义可知，因式分解与整式乘法互为逆运算；➢公因式是各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积；单独的公因数也是公因式；➢将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式；➢乘法公式里的字母，可以是单独的数字，也可以是一个单项式或者多项式；➢分解因式必须分解彻底，即分解到每一个多项式都不能再分解为止；1．（2022春•三水区校级期中）若二次三项式x2+mx﹣8可分解为（x﹣4）（x+2），则m的值为（）A．1B．﹣1C．﹣2D．22．（2022秋•张店区期中）将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．将图2所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式a2+3ab+2b2分解因式为（）A．（a+b）（2a+b）B．（a+b）（3a+b）C．（a+b）（a+2b）D．（a+b）（a+3b）3．（2022秋•南安市期中）已知a＝2020x+2020，b＝2020x+2021，c＝2020x+2022，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（）A．0B．1C．2D．34．（2022春•顺德区校级月考）三角形三边长分别是a，b，c，且满足a2﹣b2+ac﹣bc＝0，则这个三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．形状不确定5．（2022秋•长宁区校级期中）因式分解：＝．6．（2022秋•肇源县期中）因式分解：（1）15a3+10a2；（2）﹣3ax2﹣6axy+3ay2．7．（2022秋•巴南区校级期中）对于一个三位数，若其各个数位上的数字都不为0且互不相等，并满足十位数字最大，个位数字最小，且以各个数位上的数字为三边可以构成三角形，则称这样的三位数为“三角数”．将“三角数”m任意两个数位上的数字取出组成两位数，则一共可以得到6个两位数，其中十位数字大于个位数字的两位数叫“全数”，十位数字小于个位数字的两位数叫“善数”，将所有“全数”的和记为Q（m），所有“善数”的和记为S（m），例如：Q（562）＝62+52+65＝179，S（562）＝26+25+56＝107；（1）判断：342 （填“是”或“不是”）“三角数”，572 （填“是”或“不是”）“三角数”，若是，请分别求出其“全数”和“善数”之和．（2）若一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若“三角数”n满足Q（n）﹣S（n）和都是完全平方数，请求出所有满足条件的n．1．（2022•攀枝花）下列各式不是单项式的为（）A．3B．a C．D．x2y2．（2022•巴中）下列运算正确的是（）A．＝﹣2B．（）﹣1＝﹣C．（a2）3＝a6D．a8÷a4＝a2（a≠0）3．（2022•淄博）计算（﹣2a3b）2﹣3a6b2的结果是（）A．﹣7a6b2B．﹣5a6b2C．a6b2D．7a6b24．（2022•百色）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．（ab）2＝a2b25．（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1B．x2﹣1＝（x﹣1）2C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）D．x（x﹣1）＝x2﹣x6．（2022•河池）多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（）A．x（x﹣4）+4B．（x+2）（x﹣2）C．（x+2）2D．（x﹣2）27．（2022•台湾）多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+2c之值为何？（）A．﹣12B．﹣3C．3D．128．（2022•广州）分解因式：3a2﹣21ab＝．9．（2022•宜宾）分解因式：x3﹣4x＝．10．（2022•巴中）因式分解：﹣a3+2a2﹣a＝．11．（2022•益阳）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是．12．（2022•大庆）已知代数式a2+（2t﹣1）ab+4b2是一个完全平方式，则实数t的值为．13．（2022•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．14．（2022•六盘水）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的面积为M．（1）用含a，M的代数式表示A中能使用的面积；（2）若a+b＝10，a﹣b＝5，求A比B多出的使用面积．15．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是；（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．1．（2022•徐州）下列计算正确的是（）A．a2•a6＝a8B．a8÷a4＝a2C．2a2+3a2＝6a4D．（﹣3a）2＝﹣9a2 2．（2022•黔西南州）计算（﹣3x）2•2x正确的是（）A．6x3B．12x3C．18x3D．﹣12x33．（2022•荆门）对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是（）A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2）D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）4．（2022•南通）已知实数m，n满足m2+n2＝2+mn，则（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为（）A．24B．C．D．﹣45．（2022•临沂）计算a（a+1）﹣a的结果是（）A．1B．a2C．a2+2a D．a2﹣a+16．（2022•重庆）对多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…，给出下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．以上说法中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．37．（2022•绵阳）因式分解：3x3﹣12xy2＝．8．（2022•丹东）因式分解：2a2+4a+2＝．9．（2022•黔东南州）分解因式：2022x2﹣4044x+2022＝．10．（2022•德阳）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，则xy＝．11．（2022•乐山）已知m2+n2+10＝6m﹣2n，则m﹣n＝．12．（2022•安顺）（1）计算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣|﹣．（2）先化简，再求值：（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1），其中x＝．13．（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．14．（2022•河北）发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证如，（2+1）2+（2﹣1）2＝10为偶数．请把10的一半表示为两个正整数的平方和；探究设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．15．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，求出满足条件的所有数A．1．（2022•肥东县校级模拟）下列各式中计算结果为x2的是（）A．x2•x B．x+x C．x8÷x4D．（﹣x）22．（2022•雁塔区模拟）下列计算正确的是（）A．（12a4﹣3a2）÷3a2＝4a2B．（﹣3a+b）（b﹣a）＝﹣2ab﹣3a2+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．（b+2a）（2a﹣b）＝﹣b2+4a23．（2022•环江县模拟）如图，某底板外围呈正方形，其中央是边长为x米的空白小正方形，空白小正方形的四周铺上小块正方形花岗石（即阴影部分），恰好用了144块边长为0.8米的正方形花岗石，则边长x 的值是（）A．3米B．3.2米C．4米D．4.2米4．（2022•路南区三模）在化简3（a2b+ab）﹣2（a2b+ab）◆2ab题中，◆表示+，﹣，×，÷四个运算符号中的某一个．当a＝﹣2，b＝1时，3（a2b+ab）﹣2（a2b+ab）◆2ab的值为22，则◆所表示的符号为（）A．÷B．×C．+D．﹣5．（2022•蓬江区一模）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（）A．a2+b2B．a2﹣4b2C．a2﹣2ab+b2D．﹣a2﹣b26．（2022•峨眉山市模拟）若把多项式x2+mx﹣12分解因式后含有因式x﹣6，则m的值为（）A．2B．﹣2C．4D．﹣47．（2022•五华区校级模拟）观察后面一组单项式：﹣4，7a，﹣10a2，13a3，…，根据你发现的规律，则第7个单项式是（）A．﹣19a7B．19a7C．﹣22a6D．22a68．（2022•张店区二模）如图，在矩形ABCD中放入正方形AEFG，正方形MNRH，正方形CPQN，点E在AB上，点M、N在BC上，若AE＝4，MN＝3，CN＝2，则图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为（）A．5B．6C．7D．89．（2022•邯郸二模）若20222022﹣20222020＝2023×2022n×2021，则n的值是（）A．2020B．2021C．2022D．202310．（2022•碑林区模拟）计算：（2x+1）（2x﹣1）（4x2+1）＝．11．（2022•玉树市校级一模）分解因式：a2﹣16＝．12．（2022•五华区校级模拟）已知x+y＝2，xy＝﹣3，则x2y+xy2＝．13．（2022•丽水二模）如图1，将一个边长为10的正方形纸片剪去两个全等小长方形，得到图2，再将剪下的两个小长方形拼成一个长方形（图3），若图3的长方形周长为30，则b的值为．14．（2022•潮安区模拟）一个长方形的面积为10，设长方形的边长为a和b，且a2+b2＝29，则长方形的周长为．15．（2022•雁塔区校级模拟）化简：（x﹣3）2﹣（x+1）（x﹣4）．16．（2022•南关区校级模拟）已知a2+2a﹣2＝0，求代数式（a﹣1）（a+1）+2（a﹣3）的值．17．（2022•安徽模拟）某学习小组在研究两数的和与这两数的积相等的等式时，有下面一些有趣的发现：①由等式3+＝3×发现：（3﹣1）×（﹣1）＝1；②由等式+（﹣2）＝×（﹣2）发现：（﹣1）×（﹣2﹣1）＝1；③由等式﹣3+＝﹣3×发现：（﹣3﹣1）×（﹣1）＝1；…按照以上规律，解决下列问题：（1）由等式a+b＝ab猜想：，并证明你的猜想；（2）若等式a+b＝ab中，a，b都是整数，试求a，b的值．18．（2022•万州区校级一模）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数M为“团圆数”，并把数M分解成M＝A×B 的过程，称为“欢乐分解”．例如：∵572＝22×26，22和26的十位数字相同，个位数字之和为8，∴572是“团圆数”．又如：∵334＝18×13，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于8，∴234不是“团圆数”．（1）判断195，621是否是“团圆数”？并说明理由．（2）把一个“团圆数”M进行“欢乐分解”，即M＝A×B，A与B之和记为P（M），A与B差的绝对值记为Q（M），令G（M）＝，当G（M）能被8整除时，求出所有满足条件的M的值．。

第2讲整式与因式分解

第2讲整式与因式分解1.下列代数式中,是整式的是( A )A.x+1B.1x+1C.√x2+1D.x+1x2.(2021河北)下列不一定相等的一组是( D )A.a+b与b+aB.3a与a+a+aC.a3与a·a·aD.3(a+b)与3a+b3.下列说法中,正确的是( C )A.m 2n4不是整式B.-3abc2的系数是-3,次数是1C.-3与a都是单项式D.多项式2x2y-xy是五次二项式4.对于①x-3xy=x(1-3y),②(x+3)(x-1)=x2+2x-3,从左到右的变形,表述正确的是( C )A.都是因式分解B.都是乘法运算C.①是因式分解,②是乘法运算D.①是乘法运算,②是因式分解5.(2022东营三模)下列运算正确的是( C )A.x2+x3=x5B.(x-y)2=x2-y2C.(x2)3=x6D.x6÷x3=x26.(2022聊城)下列运算正确的是( D )A.(-3xy)2=3x2y2B.3x2+4x2=7x4C.t(3t2-t+1)=3t3-t2+1D.(-a3)4÷(-a4)3=-17.(2021玉林)下列计算正确的是( D )A.a5+a5=a10B.-3(a-b)=-3a-3bC.(ab)-3=ab-3D.a6÷a2=a48.(2022重庆)把菱形按照如图所示的规律拼图案,其中第①个图案中有1个菱形,第②个图案中有3个菱形,第③个图案中有5个菱形……按此规律排列下去,则第⑥个图案中菱形的个数为( C )A.15B.13C.11D.99.(2022赤峰)已知(x+2)(x-2)-2x=1,则2x2-4x+3的值为( A )A.13B.8C.-3D.510.(2022台州)一个垃圾填埋场,它在地面上的形状为长80 m,宽60 m 的矩形,有污水从该矩形的四周边界向外渗透了3 m,则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为( B )A.(840+6π)m2B.(840+9π)m2C.840 m2D.876 m211.若7a x b2与-a3b y的和为单项式,则y x= 8 .12.计算:(1)(-6x2)2+(-3x)3·x= 9x4;(2)(-5)16×0.2×(-2)15= -1015.13.(2022河口二模)因式分解:-3am2+12an2= -3a(m+2n)(m-2n) .14.(2022广安)已知a+b=1,则代数式a2-b2+2b+9的值为10 .15.(2021广安)若x,y满足{x-2y=-2,x+2y=3,则代数式x2-4y2的值为-6 .16.若多项式x y|m-n|+(n-2)x2y2+1是关于x,y的三次多项式,则mn的值为0或8 .17.老师在黑板上书写了一个正确的演算过程,随后用手掌捂住了一个二次三项式,形式如下:-3x=x2-5x+1.(1)求所捂的二次三项式;(2)若x=√6+1,求所捂二次三项式的值.解:(1)设所捂的二次三项式为A,则A=x2-5x+1+3x=x2-2x+1.(2)若x=√6+1,则A=(x-1)2=(√6+1-1)2=6.18.分解因式:(1)(2021齐齐哈尔)-3xy3+12xy;(2)(2021河池模拟)(x-1)2+2(x-5).解:(1)原式=-3xy(y2-4)=-3xy(y+2)(y-2).(2)原式=x2-2x+1+2x-10=x2-9=(x+3)(x-3).19.(2022南充)先化简,再求值:(x+2)(3x-2)-2x(x+2),其中x=√3-1. 解:原式=(x+2)(3x-2-2x)=(x+2)(x-2)=x2-4.当x=√3-1时,原式=(√3-1)2-4=-2√3.)的值.20.(2022苏州)已知3x2-2x-3=0,求(x-1)2+x(x+23x解:原式=x2-2x+1+x2+23x+1.=2x2-43∵3x2-2x-3=0,x=1,∴x2-23x)+1∴原式=2(x2-23=2×1+1=3.21.按一定规律排列的单项式:a,-2a,4a,-8a,16a,-32a,…,第n个单项式是( A )A.(-2)n-1aB.(-2)n aC.2n-1aD.2n a22.已知3m=4,32m-4n=2.若9n=x(x>0),则x的值为( C )A.8B.4C.2√2D.√223.南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a+b)n(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下,后人也将其称为“杨辉三角”.(a+b)0=1(a+b)1=a+b(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…则(a+b)9展开式中所有项的系数和是( C )A.128B.256C.512D.1 02424.分解因式:(2a+b)2-(a+2b)2= 3(a+b)(a-b) .25.若x2+2(m-3)x+16是关于x的完全平方式,则m的值为-1或7 .26.(2022乐山)已知m2+n2+10=6m-2n,则m-n= 4 .27.(2020山西)如图所示是一组有规律的图案,它们是由边长相等的正三角形组合而成,第1个图案有4个三角形,第2个图案有7个三角形,第3个图案有10个三角形……按此规律摆下去,第n个图案有(3n+1) 个三角形.(用含n的代数式表示)28.(2022十堰)如图所示,某链条每节长为2.8 cm,每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1 cm,按这种连接方式,50节链条总长度为91 cm.1节2节50节29.(2022金华)如图①所示,将长为2a+3,宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形,拼成“赵爽弦图”(如图②所示),得到大、小两个正方形.(1)用含a的代数式表示图②中小正方形的边长;(2)当a=3时,该小正方形的面积是多少?①②解:(1)∵直角三角形较短的直角边=1×2a=a,2较长的直角边=2a+3,∴小正方形的边长=2a+3-a=a+3.(2)小正方形的面积=(a+3)2.当a=3时,小正方形的面积=(3+3)2=36.30.(2022宁波)将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图所示方式不重叠地放置在矩形ABCD内,其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出( C )A.正方形纸片的面积B.四边形EFGH的面积C.△BEF的面积D.△AEH的面积。

河北省中考数学系统复习第一单元数与式第2讲整式及因式分解(8年真题训练)练习

第2讲整式及因式分解命题点1 代数式及其求值1．(2018·河北T12·2分)用一根长为a(单位：cm)的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按如图所示的方式向外等距扩1(单位：cm)得到新的正方形，则这根铁丝需增加(B)A ．4 cmB ．8 cmC ．(a ＋4)cmD ．(a ＋8)cm2．(2013·河北T9·3分)如图，淇淇和嘉嘉做数学游戏：假设嘉嘉抽到牌的点数为x ，淇淇猜中的结果应为y ，则y ＝(B) A ．2 B ．3 C ．6 D ．x ＋33．(2018·河北T18·3分)若a ，b 互为相反数，则a 2－b 2＝0．4．(2012·河北T15·3分)已知y ＝x －1，则(x －y)2＋(y －x)＋1的值为1． 5．(2016·河北T18·3分)若mn ＝m ＋3，则2mn ＋3m －5mn ＋10＝1．命题点2 幂的运算6．(2018·河北T13·2分)若2n ＋2n ＋2n ＋2n＝2，则n ＝(A)A ．－1B ．－2C ．0D.14命题点3 整式的运算及求值7．(2012·河北T2·2分)计算(ab)3的结果是(C)A ．ab 3B ．a 3bC ．a 3b 3D ．3ab 8．(2016·河北T2·3分)下列运算正确的是(D)A ．(－5)0＝0B ．x 2＋x 3＝x 5C ．(ab 2)3＝a 2b 5D ．2a 2·a －1＝2a 9．(2011·河北T4·2分)下列运算正确的是(D)A ．2x －x ＝1B ．x ＋x 4＝x 5C ．(－2x)3＝－6x 3D ．x 2y ÷y ＝x 210．(2015·河北T4·3分)下列运算正确的是(D)A ．(12)－1＝－12B ．6×107＝6 000 000C ．(2a)2＝2a 2D ．a 3·a 2＝a 511．(2015·河北T21·10分)老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，形式如图：(1)求所捂的二次三项式；(2)若x＝6＋1，求所捂二次三项式的值．解：(1)设所捂的二次三项式为A，根据题意，得A＝x2－5x＋1＋3x＝x2－2x＋1.(2)当x＝6＋1时，A＝(x－1)2＝(6)2＝6.12．(2018·河北T20·8分)嘉淇准备完成题目：化简：(x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)．发现系数“”印刷不清楚．(1)他把“”猜成3，请你化简：(3x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)；(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“”是几？解：(1)(3x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)＝3x2＋6x＋8－6x－5x2－2＝－2x2＋6.(2)设“”是a，则原式＝(ax2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)＝ax2＋6x＋8－6x－5x2－2＝(a－5)x2＋6.∵标准答案的结果是常数，∴a－5＝0.解得a＝5.13．(2017·河北T22·9分)发现：任意五个连续整数的平方和是5的倍数．验证：(1)(－1)2＋02＋12＋22＋32的结果是5的几倍？(2)设五个连续整数的中间一个为n ，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．延伸：任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．解：验证：(1)∵(－1)2＋02＋12＋22＋32＝1＋0＋1＋4＋9＝15＝5×3，∴(－1)2＋02＋12＋22＋32的结果是5的3倍．(2)由题意，得(n－2)2＋(n－1)2＋(n＋1)2＋(n＋2)2＋n2＝5n2＋10＝5(n2＋2)．∵n为整数，∴五个连续整数的平方和是5的倍数．延伸：余数是2.理由：设中间的整数为n，则(n－1)2＋n2＋(n＋1)2＝3n2＋2.∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2.命题点4 乘法公式的应用14．(2018·河北T4·3分)将9.52变形正确的是(C)A．9.52＝92＋0.52B．9.52＝(10＋0.5)(10－0.5)C．9.52＝102－2×10×0.5＋0.52D．9.52＝92＋9×0.5＋0.52命题点5 因式分解15．(2013·河北T4·2分)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(D)A ．a(x －y)＝ax －ayB ．x 2＋2x ＋1＝x(x ＋2)＋1C ．(x ＋1)(x ＋3)＝x 2＋4x ＋3D ．x 3－x ＝x(x ＋1)(x －1)16．(2014·河北T3·2分)计算：852－152＝(D)A ．70B ．700C ．4 900D ．7 000 17．(2011·河北T3·2分)下列分解因式正确的是(D)A ．－a ＋a 3＝－a(1＋a 2) B ．2a －4b ＋2＝2(a －2b)C ．a 2－4＝(a －2)2D ．a 2－2a ＋1＝(a －1)2重难点1 幂的运算根据幂的运算法则，把a 6写成幂的运算形式，并说明依据哪种运算法则．(要求至少写出2种，且每种依据的运算不相同)例如：依据同底数幂的乘法可得，a 6＝a 2·a 4.【自主解答】解：答案不唯一，例如：依据同底数幂的乘法可得，a 6＝a 3·a 3＝a ·a 5……；依据同底数幂的除法可得，a 6＝a 8÷a 2＝a 7÷a ……；依据幂的乘方可得，a 6＝(a 3)2＝(a 2)3；依据单项式乘法可得，a 6＝2a ·0.5a 5…….【变式训练1】(2018·保定二模)下列计算正确的是(D)A ．a 4÷a 3＝1B ．a 4＋a 3＝a 7C ．(2a 3)4＝8a 12D ．a 4·a 3＝a 7【变式训练2】(2018·威海)已知5x ＝3，5y ＝2，则52x －3y＝(D)A.34B ．1C.23D.98方法指导我们把加减称为一级运算，乘除称为二级运算，乘方开方称为三级运算．幂的运算法则实质是把幂的运算转化为指数运算，因为指数本身处在高级位置，所以幂的运算转化为指数运算要降一级．如：同底数幂相乘(除)变为指数相加(减)，幂的乘方变为指数相乘，积的乘方就是乘方对乘法的分配律，相当于乘法分配律升级．重难点2 整式的运算(2018·邵阳)先化简，再求值：(a －2b)(a ＋2b)－(a －2b)2＋8b 2，其中a ＝－2，b ＝12.【自主解答】解：原式＝a 2－4b 2－a 2＋4ab －4b 2＋8b 2＝4ab.当a ＝－2，b ＝12时，原式＝－4.【变式训练3】【整体思想】若a 2－2a －3＝0，代数式a 2·2－a 3的值是(D)A ．0B ．－a23C ．2D ．－12【变式训练4】(2018·河北考试说明)若m ＋n ＝2，mn ＝1，则m 2＋n 2＝2．【变式训练5】【整体思想】(2018·临沂)已知m ＋n ＝mn ，则(m －1)(n －1)＝1．方法指导先观察式子的结构特征，确定解题思路，结合数学思想：整体代入、降次、数形结合、逆向思维等，使解题更加方便快捷．重难点3 因式分解把4a 2添上1项或2项，使它能够进行因式分解．(1)写出3个且要用三种不同的分解方法；(2)若要求能进行2步或2步以上分解，如何添加？请写出一个即可．【自主解答】解：(1)答案不唯一，例如：4a 2＋2a ＝2a(2a ＋1)；4a 2＋4a ＋1＝(2a ＋1)2；4a 2－1＝(2a －1)(2a ＋1)． (2)答案不唯一，例如：①4a 2－4b 2＝4(a 2－b 2)＝4(a ＋b)(a －b)；②4a 2－a 4＝a 2(4－a 2)＝a 2(2－a)(2＋a)；③4a 2－8ab ＋4b 2＝4(a 2－2ab ＋b 2)＝4(a －b)2.【变式训练6】 (2018·唐山乐亭县一模)下列各式由左到右的变形，属于因式分解的是(C)A ．a(m ＋n)＝am ＋anB ．a 2－b 2－c 2＝(a －b)(a ＋b)－c 2C ．10x 2－5x ＝5x(2x －1)D ．x 2－16＋6x ＝(x ＋4)(x －4)＋6x 【变式训练7】 (2018·河北中考预测)计算(919)2＋2×919×89＋(89)2的结果正确的是(A)A ．100B ．10 000C ．1 000D ．9 900【变式训练8】 (2018·唐山乐亭县七年级期末)2x 3y 2与12x 4y 的公因式是2x 3y ．【变式训练9】 (2018·石家庄二模)分解因式：xy 2－2xy ＋x ＝x(y －1)2．【变式训练10】【整体思想】(2018·苏州)若a ＋b ＝4，a －b ＝1，则(a ＋1)2－(b －1)2的值为12．易错提示必须分解到每一个多项式都不能再分解为止．1．(2018·荆州)下列代数式中，整式为(A)A ．x ＋1B.1x ＋1C.x 2＋1D.x ＋1x2．(2018·河北中考预测)若(x ＋3)(x ＋n)＝x 2＋mx －15，则m 等于(A)A ．－2B ．2C ．－5D ．53．(2018·河北中考预测)下列各式中，计算结果为a 8的是(C)A ．a 4＋a 4B ．a 4·a －2C ．a 10÷a 2D ．(－2a 4)24．(2018·包头)如果2xa ＋1y 与x 2yb －1是同类项，那么ab的值是(A)A.12B.32C ．1D ．35．(2018·淄博)若单项式am －1b 2与12a 2b n 的和仍是单项式，则n m的值是(C)A ．3B ．6C ．8D ．96．(2018·石家庄新华区二模)已知x 2＋4mx ＋16是完全平方式，则m 的值为(C)A ．2B ．4C ．±2D ．±47．(2018·齐齐哈尔)我们知道，用字母表示的代数式是具有一般意义的，请仔细分析下列赋予3a 实际意义的例子中，不正确的是(D)A ．若葡萄的价格是3元/千克，则3a 表示买a 千克葡萄的金额B ．若a 表示一个等边三角形的边长，则3a 表示这个等边三角形的周长C ．将一个小木块放在水平桌面上，若3表示小木块与桌面的接触面积，a 表示桌面受到的压强，则3a 表示小木块对桌面的压力D ．若3和a 分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则3a 表示这个两位数8．(2018·青岛)计算(a 2)3－5a 3·a 3的结果是(C)A ．a 5－5a 6B ．a 6－5a 9C ．－4a 6D ．4a 69．【整体思想】(2018·邢台一模)若m －x ＝2，n ＋y ＝3，则(m －n)－(x ＋y)＝(A)A ．－1B ．1C ．5D ．－510．(2018·河北考试说明)计算：552－152＝(D)A ．40B ．1 600C ．2 400D ．2 80011．(2018·重庆)按如图所示的运算程序，能使输出的结果为12的是(C)A ．x ＝3，y ＝3B ．x ＝－4，y ＝－2C ．x ＝2，y ＝4D ．x ＝4，y ＝212．(2018·枣庄)如图，将边长为3a 的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．若拿掉边长为2b 的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为(A)A ．3a ＋2bB ．3a ＋4bC ．6a ＋2bD ．6a ＋4b13．(2018·株洲)单项式5mn 2的次数为3．14．分解因式：m 3－9mn 2＝m(m －3n)(m ＋3n)．15．(2018·张家口一模)已知多项式A ＝(x ＋1)2－(x 2－4y)．(1)化简多项式A ；(2)若x ＋2y ＝1，求A 的值．解：(1)A ＝(x ＋1)2－(x 2－4y)＝x 2＋2x ＋1－x 2＋4y ＝2x ＋4y ＋1. (2)∵x ＋2y ＝1，由(1)，得A ＝2x ＋4y ＋1＝2(x ＋2y)＋1， ∴A ＝2×1＋1＝3.16．(2018·唐山乐亭县七年级期末)下列说法：①(－2)101＋(－2)100＝－2100；②2 0182＋2 018一定可以被2 019整除；③16.9×18＋15.1×18能被4整除；④两个连续奇数的平方差是8的倍数．其中说法正确的有(A)A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个17．(2018·河北中考预测)若a 2－3ab ＝－5，b 2＋ab ＝14，则a －b 的值为3或－3．18．(2018·河北中考预测)如图，已知大正方形的边长为a ＋b ＋c ，利用图形的面积关系可得：(a ＋b ＋c)2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac.当大正方形的边长为a ＋b ＋c ＋d 时，利用图形的面积关系可得：(a ＋b ＋c ＋d)2＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋2ab ＋2ac ＋2ad ＋2bc ＋2bd ＋2cd.一般地，n 个数的和的平方等于这n 个数的平方和加上它们两两乘积的2倍．根据以上结论解决下列问题：(1)若a ＋b ＋c ＝6，a 2＋b 2＋c 2＝14，则ab ＋bc ＋ac ＝11；(2)从－4，－2，－1，3，5这五个数中任取两个数相乘，再把所有的积相加，若和为m ，求m 的值．解：∵－4－2－1＋3＋5＝1，∴两边平方后得(－4－2－1＋3＋5)2＝(－4)2＋(－2)2＋(－1)2＋32＋52＋2m＝55＋2m＝1.∴m＝(1－55)÷2＝－54÷2＝－27.19．(2018·保定一模)若3×9m×27m＝321，则m的值为(B)A．3 B．4 C．5 D．620．(2018·张家口一模)若x＋3y＝0，则2x·8y＝1．21．(2018·河北模拟)在一次数学课上，李老师对大家说：“你任意想一个非零数，然后按下列步骤操作，我会直接说出你运算的最后结果．”(1)若小明同学心里想的是数5，请帮他计算出最后结果；(2)老师说：“同学们，无论你们心里想的是什么非零数，按照以上步骤进行操作，得到的最后结果都相等．”小明同学想验证这个结论，于是，设心里想的数是a(a≠0)，请你帮小明完成这个验证过程．解：(1)第一步：(5＋1)2－(5－1)2＝20；第二步：20×25＝500；第三步：500÷5＝100.∴小明计算出最后结果为100.(2)∵[(a＋1)2－(a－1)2]×25÷a＝(a＋1＋a－1)(a＋1－a＋1)×25÷a＝4a×25÷a＝100，∴结论成立．。

2019年中考数学专题复习第二讲整式、因式分解 (共68张PPT)精品物理

∴原式=2(a-b)-1=2-1=1.
答案:1
(3)由题意可知:m=-1,n=0,c=1, ∴原式=(-1)2015+2016×0+12017=0. 答案:0
【答题关键指导】整体代入法求代数式值的三种方法 (1)直接整体代入求值:如果已知的代数式与要求的代数式之间都含有相同的式子,只要把已知式子的值直接代入到要求的式子中,即可得出结果.
(3)(2017·济宁中考)分解因式: ma2+2mab+mb2=____________.
【思路点拨】(1)先提取公因式,再利用平方差公式进行分解. (2)通过两次提取公因式,来进行因式分解. (3)先提取公因式,再利用完全平方公式进行分解.
【自主解答】 (1)x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1). (2)原式=x(x-2)+(x-2)=(x+1)(x-2). (3)原式=m(a2+2ab+b2)=m(a+b)2.
【答题关键指导】幂的运算的应用 (1)同底数幂的乘除法应用的前提是底数必须相同,若底数互为相反数时,要应用积的乘方处理好符号问题, 转化成同底数,再应用法则.
(2)同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方混合运算的时候要注意三个方面:一是运算顺序,二是正确选择法则,三是运算符号.
【变式训练】
2.(2017·潍坊中考)下列计算正确的是 ( )
A.a3×a2=a6
B.a3÷a=a3
C.a2+a2=a4
D.(a2)2=a4
【解析】选D.选项A是同底数幂的乘法,结果为a5,故选项A错误;选项B是同底数幂的除法,结果为a2,故选项B 错误;选项C是合并同类项,结果为2a2,故选项C错误;选项D是幂的乘方,底数不变,指数相乘,故选项D正确.

人教版2021中考数学总复习第2讲整式与因式分解

=12mn+10n
11. （2019·广州）分解因式： x2y+2xy+y＝____y_（__x_+_1_）__2__________________. 12. （2019·深圳）分解因式： ab2－a=________a_（__b_+_1_）__（__b_-_1_）_____________. 13.(2020·广东）分解因式： xy－x=_________x_(_y_－__1_)____________________．
14.(2020·长春）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成
人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m张成人票和n张儿童
票，则共需花费___（__3_0_m_+_12+2m=1，则4m2+8m-3的值是（ D ）
A．4
B．3
C．2
D．1
分层训练
变式诊断
9. （2019·深圳）下列运算正确的是（ C ）
A. a2+a2=a4
B. a3·a4=a12
C. (a3)4=a12
D. (ab)2=ab2
10.(2020·南通）计算：
（2m+3n）2-（2m+n）（2m-n）.
解：原式=4m2+12mn+9n2-（4m2-n2）
=4m2+12mn+9n2-4m2+n2
续表 4. 因式分解的步骤(概括为“一提，二套，三检查”)： (1)提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c). (2)套公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，a2±2ab+b2=(a±b)2(乘法公式的逆运算). (3)检查:分解因式要分解到每一个多项式都不能再分解为止.

第02课时整式及因式分解 23年中考一轮复习数学苏教版

11.[2022·沭阳县一模]已知长方形的周长为12,面积为8.若长方形
的长为a,宽为b,则a2b+ab2=
48
.
[解析] ∵长方形的周长为12,面积为8,∴2(a+b)=12,ab=8.
∴a+b=6,ab=8.∴a2b+ab2=ab(a+b)=6×8=48.
考向五
乘法公式的几何背景
例 9 如图2-1,根据图形计算正方形ABCD的面积,可以说明下列哪
∴第9行最后一个数为90.
∴第10行第5个数是90+2×5=100.
图2-3
通性通法
(1)若一列正整数1,2,3,4,5,…,n(n≥1,且n为整数),则这n个数的和为
(+)

;
(2)若一列数:1,3,5,7,9,…,2n-1(n≥1,且n为整数),则这n个数的和为
n2
;
(3)若一列数:2,4,6,8,10,…,2n(n≥1,且n为整数),则这n个数的和为
[解析] ∵m+2n=1,
∴3m2+6mn+6n=3m(m+2n)+6n=3m×1+6n
=3m+6n=3(m+2n)=3×1=3.
3
.
考向精练
10.[2018·菏泽]若a+b=2,ab=-3,则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为
-12
.
[解析] ∵a+b=2,ab=-3,
∴a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2=-3×4=-12.
∴(a+b)(a-b)=a2-b2.

2022年广西桂林中考数学复习课件：第2讲整式、因式分解

3．(2021·青海中考)已知单项式 2a4b－2m＋7 与 3a2mbn＋2 是同类项，则 m＋n＝__3__．
幂的运算【示范题 2】(2021·北部湾中考)下列运算正确的是(A ) A．a2·a3＝a5 B．(a2)3＝a5 C．a6÷a2＝a3 D．3a2－2a＝a2
1．(2021·安徽中考)计算 x2·(－x)3 的结果是(D )
A．2 025 B．2 023 C．2 021 D．2 019
3．(2021·嘉兴中考)观察下列等式：1＝12－02，3＝22－12，5＝32－22，…按此规律，则第 n 个等式为 2n－1＝__n_2_－__(_n_－__1_)_2__．
4．(2021·江西中考)如表在我国宋朝数学家杨辉 1261 年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全表第四行空缺的数字是__3__．
(3)(2021·荆门中考)把多项式x3＋2x2－3x因式分解，结果为___x_(_x_＋__3_)(_x_－__1_)__．
3．(1)(2021·十堰中考)已知xy＝2，x－3y＝3，则2x3y－12x2y2＋18xy3＝__3_6____．
(2)(2021·苏州中考)若m＋2n＝1，则3m2＋6mn＋6n的值为__3____．
3．(2021·金华中考)已知 x＝16 ，求(3x－1)2＋(1＋3x)(1－3x)的值．【解析】(3x－1)2＋(1＋3x)(1－3x) ＝9x2－6x＋1＋1－9x2＝－6x＋2，当 x＝61 时，原式＝－6×16 ＋2＝－1＋2＝1.
考点四因式分解【示范题4】(1)(2021·贺州中考)多项式2x3－4x2＋2x因式分解为(A ) A．2x(x－1)2 B．2x(x＋1)2 C．x(2x－1)2 D．x(2x＋1)2 (2)①(2021·衡阳中考)因式分解：3a2－9ab＝___3_a_(a_－__3_b_)___． ②(2021·北部湾中考)分解因式：a2－4b2＝__ _(a_＋__2_b_)_(a_－__2_b_)___． ③(2021·陕西中考)分解因式：x3＋6x2＋9x＝__x_(_x_＋__3_)_2 __．

第2课整式及其运算因式分解(2)

解析：a3－ab2＝a(a2－b2)＝a(a＋b)(a－b)．
4．(2011·金华)下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是( D A．x2＋1 C．x2＋x＋1 ) B．x2＋2x－1 D．x2＋4x＋4
解析：只有x2＋4x＋4＝x2＋2·2x＋22＝(x＋2)2是完全
平方式．
5．(2011·天津)若实数x、y、z满足(x－z)2－4(x－y)(y－z)
＝(x＋2)(2x＋2)＝2(x＋2)(x＋1)
(3)(2011·芜湖)因式分解：x3－2x2y＋xy2＝ x(x－y)2 ；
解析：原式＝x(x2－2xy＋y2)＝x(x－y)2
(4)在实数范围内分解因式：x4－4.
解：原式＝(x2＋2)(x2－2)
＝(x2＋2)(x＋ 2 )(x－ 2 )．
题型五
2 ①－4x3y2＋28x2y－2xy＝－2xy(2x y－14x＋1) ；
②6a2(x－y)2－3a(y－x)3＝ 3a(x－y)2(2a＋x－y) . 解析：①－4x3y2＋28x2y－2xy ＝－(4x3y2－28x2y＋2xy)
＝－2xy(2x2y－14x＋1)．
②6a2(x－y)2－3a(y－x)3 ＝6a2(x－y)2＋3a(x－y)3 ＝3a(x－y)2·[2a＋(x－y)] ＝3a(x－y)2(2a＋x－y)．
1 代入原式，可求得k. 2
知能迁移5
(1)(2011·衡阳)若m－n＝2，m＋n＝5，则m2－n2
．
的值为 10
解析：m2－n2＝(m＋n)(m－n)＝5×2＝10. (2)若△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，判断 △ABC的形状．
解：∵a＋2ab＝c＋2bc，

浙江专版2023中考数学第一章数与式第2讲整式与因式分解精讲本pptx课件

1．(2021·温州)某地居民生活用水收费标准：每月用水量不
超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米(a＋1.2)元
．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为( D)
A．20a元
B．(20a＋24)元
C．(17a＋3.6)元
D．(20a＋3.6)元
2．(2021·杭州二模)已知a＝1，则a2＋4a＋4＝__9__．
1．(2021·湖州)计算：x(x＋2)＋(1＋x)(1－x).
解：原式＝x2＋2x＋1－x2 ＝2x＋1.
2．(2021·长沙)先化简，再求值：(x－3)2＋(x＋3)(x－3)＋ 2x(2－x)，其中 x＝－12 .
解：原式＝x2－6x＋9＋x2－9＋4x－2x2＝－2x，当 x＝－12 时，原式＝－2×(－12 )＝1.
11．(2021·常州)计算：2a2－(a2＋2)＝ a2－2 ．
12．(2021·宁波)计算：(1＋a)(1－a)＋(a＋3)2. 解：原式＝1－a2＋a2＋6a＋9
＝6a＋10.
考点四因式分解
13．(2021·温州)分解因式： 2m2－18＝ 2(m＋3)(m－3)．
14．(2021·菏泽)因式分解：－a3＋2a2－a＝－a(a－1)2 ．
第一章数与式
第2讲整式与因式分解
考点扫描
考点一代数式及代数式求值
1．列代数式 (1)定义：一般地，用含有数、① 字母及运算符号的式子把问题中的数量关系表示出来，就是列代数式．
(2)列代数式常见模型
问题描述原价a的x折
质量a的n倍多(少)m
列代数式
a·1x0
an±m
质量a增长(减少)x%
(2)100x2－4＝2＝ (2a＋3b)(2a－3b) ；

整式的运算与因式分解

整式的运算与因式分解1. 概述整式是数学中的一种常见形式，由数字、字母和运算符号组成。

本文将介绍整式的运算和因式分解两个主题。

2. 整式的基本运算整式的基本运算包括加法、减法、乘法和除法。

下面我们逐个介绍每种运算。

2.1 加法整式的加法就是把相同变量的项进行合并，例如：2x² + 3x + 5 + 4x² - 2x - 3合并同类项结果为：(2x² + 4x²) + (3x - 2x) + (5 - 3)6x² + x + 22.2 减法整式的减法与加法类似，合并同类项后进行相减，例如：(3x² + 2x - 7) - (x² - 4x + 2)合并同类项结果为：(3x² - x²) + (2x + 4x) + (-7 - 2)2x² + 6x - 92.3 乘法整式的乘法是将每个项相乘，并合并同类项，例如：(2x + 3)(x - 4)展开并合并同类项结果为：2x² - 8x + 3x - 122x² - 5x - 122.4 除法整式的除法是指定一个整式为除数，将被除数做整除运算得到商和余数。

例如：(2x³ - 5x² + 3) ÷ (x - 2)使用长除法进行计算，得到商为2x² - x + 1，余数为5。

3. 整式的因式分解因式分解是将一个整式写成多个因式相乘的形式。

下面我们介绍几种常见的因式分解方法。

3.1 公因式提取法对于给定的整式，如果每一项都有相同的因子，那么可以先提取出公因式，例如：6x² + 9x这里的公因式是3x，提取后得到：3x(2x + 3)3.2 完全平方公式对于一个二次整式（二项式的平方），可以使用完全平方公式进行因式分解，例如：x² + 4x + 4这里的完全平方是(x + 2)²，因此可以写成：(x + 2)²3.3 平方差公式平方差公式可以将一个差的平方整式进行因式分解，例如：x² - 4这里可以使用差的平方公式：(x + 2)(x - 2)4. 示例与应用现在我们通过一些示例来展示整式的运算和因式分解的应用。

第2讲整式与因式分解-2021年中考数学一轮复习知识考点习题课件(22张)

第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学.
请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为__7__.
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20.(2020·常德)阅读理解：对于x3－(n2＋1)x＋n这类特殊的代数式，可以按下
面的方法分解因式.
解： x3－(n2＋1)x＋n
＝x3－n2x－x＋n
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9.(2020·枣庄)图1是一个长为2a，宽为2b(a＞b)的长方形，用剪刀沿图中虚线
(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那
样拼成一个正方形，则中间空余部分的面积是( C ) A.ab
B.(a＋b)2
C.(a－b)2
D.a2－b2
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10.(2020·新疆)分解因式：am2－an2＝___a_(_m_＋__n_)_·_(m__－__n_)_____. 11.(2020·哈尔滨)把多项式m2n＋6mn＋9n分解因式的结果是___n_(_m__＋__3_)2___. 12.(2020·成都)已知a＝7－3b，则代数式a2＋6ab＋9b2的值为___4_9____. 13(2020·衢州)定义a※b＝a(b＋1)，例如：2※3＝2×(3＋1)＝2×4＝8，则(x
＝x(x2－n2)－(x－n)
＝x(x－n)(x＋n)－(x－n)
＝(x－n)(x2＋nx－1).
上一页下一页
理解运用：如果x3－(n2＋1)x＋n＝0，那么(x－n)(x2＋nx－1)＝0，即有x－n ＝0或x2＋nx－1＝0.因此，方程x－n＝0和x2＋nx－1＝0的所有解就是方程x3 －(n2＋1)x＋n＝0的解.
第一章数与式
第2讲整式与因式分解

第二讲_整式

3 针对训练 2 1: 计算( 2x) ÷ x的结果正确的是(
)
( A) 8x2 ( B) 6x2 ( C) 8x3 ( D) 6x3 解析: 原式= 8x3÷ x= 8x2, 故选 A. 针对训练 2 2: ( 2011 年成都)下列计算正确的是( ( A) x+x=x2 ( B) x· x= 2x
• 例1，下列各式子中，是单项式的有___①、 ②、④、⑦ • ___________（填序号
多项式的项数与次数
• • • （1）多项式的次数不是所有项的次数的和，而是它的最高次项次数；（2）多项式的每一项都包含它前面的符号；（3）再强调一次， “π”当作数字，而不是字母
• （4）一个多项式的次数最高项的次数是几，就说这个多项式是几次多项式。 • （5）.在多项式中，每个单项式都是这个多项式的项，每一项都有系数，但对整个多项式来说，没有系数的概念，只有次数的概念。
• 【例1】若单项式-5x3ym的次数是9，求m 的值. • 【思路点拨】根据单项式次数的定义得到关于m的一元一次方程，解方程得m的值. • 【自主解答】根据题意，得m+3=9, • 解得m=6.
• 3.(2010· 肇庆中考)观察下列单项式：a,2a2,4a3,-8a4, • 16a5,…按此规律第n个单项式是_____.(n 是正整数) • 【解析】由题意知第n项的系数为(1)n+12n-1, • 第n项a的次数为n, • 所以第n个单项式是(-1)n+12n-1an. • 答案：(-1)n+12n-1an
同类项
1，同类项的判定与合并同类项的法则：例1 判断下列各式是否是同类项？
(1)2a b 与2 x y
2 3
2 3

代数式、整式的运算、因式分解、分式常用知识点

第二部分式与式的运算一、代数式、整式的运算、因式分解、分式 1.代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.单独一个字母或一个数也是代数式，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做代数式的值.2.单项式：只含有数或字母的乘法（含乘方）运算的代数式叫做单项式，单独一个字母或一个数也是单项式，所有字母的指数和叫做单项式的次数.3.多项式：几个单项式的和叫做多项式，其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数.升幂排列：降幂排列：4.整式：单项式与多项式统称为整式.5.整式的加法：合并同类项. 添括号：()a b c a b c -+=-- 去括号：()a b c a b c +-=+-6.整式的乘法：（1）单项式×单项式:()()()212312325a b c abab c ab c +--+⋅==.（2）单项式×多项式:()2a b a ab a -=-. （3）多项式×多项式:()()a b c d +⋅+()()a c d b c d =⋅++⋅+ac ad bc bd =+++（4）乘法公式()()22a b a b a b +-=- ① ()2222a b a ab b ±=±+ ②a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab (a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ． (a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3 7.整式的除法()232226422624242a b a b a b a b a b a b --÷=÷== 8.因式分解：把一个多项式表示成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解.多项式=（）·…·（）常用方法有：（1）提公因式法：如()ab ac ad a b c d ++=++；（2）公式法（利用乘法公式）：如()()()22224222x y x y x y x y -=-=+-；（3）十字相乘法：因式分解：243x x ++x 1 x 3所以：()()24313x x x x ++=++ 因式分解：223x x --x 1 x 3-所以：()()22313x x x x --=+- 9、分式：（1）概念：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式. （2）分式运算的符号规律：a a a ab b b b --=-=-=--； a a a b b b--==-. （3）分式通分“根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

第二讲、代数式—整式与因式分解复习讲义

一、知识点归纳 ★整式部分（1）代数式的分类⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧无理式分式多项式单项式整式有理式代数式（2）概念：①代数式：用______把数与表示数的字母连接而成的式子叫___________．注：单独一个_____或一个_____也是代数式．②代数式的值：用_____代替代数式的字母计算后所得的_____，叫代数式的________． ③整式：分母中不含有________的_______式叫整式． ④同类项：条件是 _______________，_____________________.⑤单项式：是数与字母的______．注：★不含_____运算，★★单独的一个_____或____也是单项式．⑥多项式：是几个单项式的______．（3）运算：整式的加减：（实质是去括号，合并同类项）①合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变； ②去括号法则：括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里面各项都不变；括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都变号．③添括号法则：括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“－”号，括到括号里的各项都变号．整式的乘除：①单项式相乘：把它们的系数、相同字母分别相乘；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．②单项式与多项式相乘：就是根据分配律用单项式乘以多项式的每一项，在把所得的积相加．mc mb ma c b a m ++=++)(．③多项式与多项式相乘：方法★bn bm an am n m b a +++=++))((方法★★乘法公式（用于多项式乘法的简便运算）平方差公式：__________))((=-+b a b a ；完全平方公式：___________)(2=+b a ；___________)(2=-b a ．④单项式相除：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的因式．⑤多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． ⑥幂的运算性质（m 、n 为正整数）____=⋅n m a a ； ____=÷n m a a （0≠a ）； _____)(=n m a ；____)(=n ab ．10=a )0(≠a ，)0(1≠=-a aa n n ． ★分解因式部分：（1）概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做把这个多项式因式分解．（2）常用分解因式方法： ①提取公因式法：_____________=++mc mb ma ．其分解步骤为：★确定多项式的公因式：公因式＝各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积；★★将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式． ②运用公式法：__________22=-b a ；__________222=+±b ab a ．注意：★如果多项式中各项含有公因式，应该先提取公因式，再考虑运用公式法；★★公式中的字母，即可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者一个多项式． ③分组分解法．多项式四项及以上的考虑用这种方法．（3）分解因式的一般步骤：一提二套三分组，二次三项想十字．注：必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．（4）整式乘法与分解因式的区别和联系：互为逆变形．多项式整式的积因式分解方法 1. 提取公因式法：例：将2x 3n -20x 2n y 3+50x n y 6分解因式. 解：原式=2x n (x 2n -10x n y 3+25y 6) =2x n (x n -5y 3)2 2. 公式法：a 2-b 2=(a -b )(a +b ) a 2±2ab +b 2=(a ±b )2 a 3+b 3=(a +b )(a 2-ab +b )2 a 3-b 3=(a -b )(a 2+ab +b 2)例：64x 6-y 12解：原式=(8x 3+y 6)(8x 3-y 6)=(2x +y 2)(4x 2-2xy 2+y 4)(2x -y 2)(4x 2+2xy 2+y 4) 3. 分组分解法：例：(am +bn )2+(an -bm )2+c 2m 2+c 2n 2解：原式=a 2m 2+b 2n 2+2abmn +a 2n 2+b 2m 2-2abmn +c 2m 2+c 2n 2=a 2m 2+b 2n 2+a 2n 2+b 2m 2+c 2(m 2+n 2) =(m 2+n 2)(a 2+b 2+c 2) 4.十字相乘法：例：12x 2+10xy -12x +5y -9 解：原式=12x 2+(10y -12)x +5y -9 2x 16x 5y -9∴ 原式=(2x +1)(6x +5y -9) 5.配方法:例：将x 4+y 4+z 4-2x 2y 2-2x 2z 2-2y 2z 2分解因式。

第02讲代数式、整式与因式分解-2020年中考数学总复习专项讲解(人教版)

【试题精选】 12.(2018 年辽宁大连)因式分解：x2－x＝________________. 答案：x(x－1) 13.(2019 年湖北天门)分解因式：x4－4x2＝_____________. 答案：x2(x＋2)(x－2) 14.(2018 年四川自贡)分解因式：ax2＋2axy＋ay2_________. 答案：a(x＋y)2 15.(2017 年湖南长沙)分解因式：2a2＋4a＋2＝___________. 答案：2(a＋1)2
B.2(a－2)2 C.2(a＋2)(a－2) D.2(a＋2)2
答案：C
4.计算 x·(－x)5÷x2 的结果是__________.
答案：－x4
5.(2018 年浙江嘉兴)分解因式：m2－3m＝_____________.
答案：m(m－3)
代数式
1.(2019 年海南)当 m＝－1 时，代数式 2m＋3 的值是( )
③a5÷a5＝a；④(ab)3＝a3b3，其中结果正确的个数为( )
A.1 个
B.2 个
C.3 个 D.4 个
答案：B
整式运算
6.(2018 年四川成都)下列计算正确的是( )
A.x2＋x2＝x4
B.(x－y)2＝x2－y2
C.(x2y)3＝x6y
D.(－x)2·x3＝x5
答案：D
7.(2017 年江苏徐州)下列各式运算正确的是( )
A.b6÷b3＝b2
B.b3·b3＝b9
C.a2＋a2＝2a2
D.(a3)3＝a6
答案：C
4.(2017 年广东)下列运算正确的是( )
A.a＋2a＝3a2
B.a3·a2＝a5
C.(a4)2＝a6
D.a8÷a2＝a4

中考一轮复习数学专题02 整式与因式分解(老师版) 教案

专题02 整式与因式分解一．选择题1．（2022·福建）化简()223a 的结果是（） A ．29aB ．26aC ．49aD ．43a【答案】C 【分析】根据幂的乘方和积的乘方进行计算即可．【详解】()()222224339a a a ==，故选：C ．【点睛】本题考查幂的乘方和积的乘方，熟记幂的运算法则是解题的关键．2．（2022·湖南永州）下列因式分解正确的是（）A ．()1ax ay a x y +=++B ．()333a b a b +=+C ．()22444a a a ++=+D ．()2a b a a b +=+【答案】B【分析】根据因式分解的方法，提公因式法及公式法依次进行计算判断即可．【详解】解：A 、ax +ay =a (x +y )，故选项计算错误；B 、3a +3b =3(a +b )，选项计算正确；C 、()22442a a a ++=+，选项计算错误；D 、2a b +不能进行因式分解，选项计算错误；故选：B ．【点睛】题目主要考查因式分解的判断及应用提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．3．（2022·四川内江）下列运算正确的是（）A ．a 2+a 3＝a 5B ．（a 3）2＝a 6C ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2D ．x 6÷x 3＝x 2【答案】B【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方和同底数幂的除法法则，完全平方公式，进行判断即可．【详解】A.a 2和a 3不是同类项，不能合并，故A 不符合题意；B.（a 3）2＝a 6，故B 符合题意；C.（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2，故C 不符合题意；D.63633x x x x ÷==﹣，故D 不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握合并同类项法则，幂的乘方和同底数幂的除法法则，完全平方公式，是解题的关键．4．（2022·山东临沂）计算()1a a a +-的结果是（）A ．1B ．2aC ．22a a +D ．21a a -+【答案】B【分析】先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可．【详解】解：()1a a a +- 22a a a a ．故选B【点睛】本题考查的是整式的混合运算，单项式乘以多项式，掌握“单项式乘以多项式的运算”是解本题的关键．5．（2022·内蒙古赤峰）已知()()2221x x x +--=，则2243x x -+的值为（）A ．13B ．8C ．－3D ．5【答案】A【分析】先化简已知的式子，再整体代入求值即可．【详解】∵()()2221x x x +--=∴225x x -=∴222432(2)313x x x x -+=-+=故选：A ．【点睛】本题考查平方差公式、代数式求值，利用整体思想是解题的关键．6．（2022·江苏泰州）下列计算正确的是( )A ．325ab ab ab +=B ．22523y y -=C ．277a a a +=D ．2222m n mn mn -=-【答案】A【分析】运用合并同类项的法则∶1．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数之和，且字母连同它的指数不变．字母不变，系数相加减．2．同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．即可得出答案．【详解】解：A 、325ab ab ab +=，故选项正确，符合题意；B 、222523y y y -=，故选项错误，不符合题意；C 、78a a a +=，故选项错误，不符合题意；D 、222m n mn 和不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查合并同类项，解题的关键是知道如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，还要掌握合并同类项的运算法则．7．（2022·湖北鄂州）下列计算正确的是（）A ．b +b 2＝b 3B ．b 6÷b 3＝b 2C ．（2b ）3＝6b 3D ．3b ﹣2b ＝b 【答案】D【分析】根据积的乘方“把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”，合并同类项“把同类项的系数相减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变”，同底数幂的除法“底数不变，指数相减”进行计算即可得．【详解】解：A 、22b b b b +=+，选项说法错误，不符合题意；B 、63633b b b b -÷==，选项说法错误，不符合题意；C 、33(2)8b b =，选项说法错误，不符合题意；D 、32b b b -=，选项说法正确，符合题意；故选D ．【点睛】本题考查了积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，解题的关键是掌握这些知识点． 8．（2022·辽宁锦州）下列运算正确的是（）A ．236a a a ⋅=B ．22(2)4x x -=C ．22m mn n -= D ．2ab ab b -=【答案】B【分析】由同底数幂乘法、积的乘方、负整数指数幂的乘法、合并同类项，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：235a a a ⋅=，故A 错误；22(2)4x x -=，故B 正确；22m mn n -=，故C 错误； 2ab ab -不能合并，不D 错误；故选：B ．【点睛】本题考查了同底数幂乘法、积的乘方、负整数指数幂的乘法、合并同类项，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行判断．9．（2022·广西贵港）下例计算正确的是（）A ．22a a -=B ．2222a b a b +=C ．33(2)8a a -=D ．()236a a -= 【答案】D【分析】分别根据合并同类项、单项式除以单项式、同底数幂的乘法、幂的乘方法则进行计算即可求解．【详解】解：A. 2a −a =a ，故原选项计算错误，不符合题意；B. 2222a b a b +≠，不是同类项不能合并，故原选项计算错误，不符合题意；C. 33(2)-8a a -=，故原选项计算错误，不符合题意；D. (-a 3)2=a 6，故原选项计算正确，符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了合并同类项、单项式除以单项式、同底数幂的乘法、幂的乘方等运算，熟知运算法则是解题关键．10．（2022·湖北恩施）下列运算正确的是（）A ．236a a a ⋅=B ．321a a ÷=C ．32a a a -=D ．()236a a = 【答案】D【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项法则、幂的乘方法则逐项判断即可得．【详解】解：A 、235a a a ⋅=，则此项错误，不符题意；B 、32a a a ÷=，则此项错误，不符题意；C 、3a 与2a 不是同类项，不可合并，则此项错误，不符题意；D 、()236a a =，则此项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键． 11．（2022·黑龙江哈尔滨）下列运算一定正确的是（）A ．()22346a b a b =B ．22434b b b +=C ．()246a a =D ．339a a a ⋅=【答案】A【分析】根据积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项运算和同底数幂的乘法运算逐项验证即可得到结论．【详解】解：A 、根据积的乘方运算、幂的乘方运算法则可知()22346a b a b =，该选项符合题意； B 、根据合并同类项运算可知2224344b b b b +=≠，该选项不符合题意；C 、根据幂的乘方运算可知()244286⨯==≠a a a a ，该选项不符合题意； D 、根据同底数幂的乘法运算可知333369a a a a a +⋅==≠，该选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查整式的运算，涉及到积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项运算和同底数幂的乘法运算等知识点，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．12．（2022·内蒙古包头）若42222m ⨯=，则m 的值为（）A ．8B ．6C ．5D ．2【答案】B【分析】根据同底数幂的乘法运算计算4242622222m +⨯===，即可求解．【详解】4242622222m +⨯===，6m ∴=，故选：B ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算，即m n m n a a a +⋅=（m 、n 为正整数），熟练掌握运算法则是解题的关键．13．（2022·湖南长沙）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x 本，则购买乙种读本的费用为（）A ．8x 元B ．10(100)x -元C ．8(100)x -元D ．(1008)x -元【答案】C【分析】根据题意列求得购买乙种读本()100x -本，根据单价乘以数量即可求解．【详解】解：设购买甲种读本x 本，则购买乙种读本()100x -本，乙种读本的单价为8元/本，则则购买乙种读本的费用为8(100)x -元故选C【点睛】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键．14．（2022·山东聊城）下列运算正确的是（）A ．()22233xy x y -=B ．2243474x x x +=+C ．()2323131t t t t t -+=-+ D ．()()43341a a -÷-=- 【答案】D【分析】A 选项根据积的乘方等于乘方的积即可判断；B 选项合并同类型：字母和字母的指数比不变，系数相加；C 选项利用乘方的分配律；D 选项先用幂的乘方化简，在运用整式的除法法则．【详解】解：A 、原式229x y =，不合题意；B 、原式27x =，不合题意；C 、原式323t t t =-+，不合题意；D 、原式=-1，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查积的乘方、幂的乘方、合并同类型、乘法分配律、整式的除法，掌握相应的运算法则是解题的关键，其中每一项的符号是易错点．15．（2022·湖南岳阳）下列运算结果正确的是（）A ．23a a a +=B ．55a a a ÷=C ．236a a a ⋅=D ．437()a a =【答案】A【分析】根据合并同类项判断A 选项；根据同底数幂的除法判断B 选项；根据同底数幂的乘法判断C 选项；根据幂的乘方判断D 选项．【详解】解：A 选项，原式3=a ，故该选项符合题意；B 选项，原式4a =，故该选项不符合题意；C 选项，原式5a =，故该选项不符合题意；D 选项，原式12a =，故该选项不符合题意；故选A ．【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握()m n mn a a =是解题的关键． 16．（2022·内蒙古包头）若a ，b 互为相反数，c 的倒数是4，则334a b c +-的值为（）A ．8-B ．5-C ．1-D ．16 【答案】C【分析】根据a ，b 互为相反数，可得0a b +=，c 的倒数是4，可得14c =，代入即可求解．【详解】∵a ，b 互为相反数，∴0a b +=，∵c 的倒数是4，∴14c =， ∴334a b c +-()34a b c =+-130414=⨯-⨯=-，故选：C 【点睛】本题考查了代数式的求值问题，利用已知求得0a b +=，14c =是解题的关键． 17．（2022·贵州遵义）下列运算结果正确的是（）A ．3412a a a ⋅=B ．321ab ab -=C ．()232624ab a b -=D ．()222a b a b -=- 【答案】C 【分析】分别利用同底数幂的乘法法则，合并同类项的法则，积的乘方法则及完全平方公式分别判断即可．【详解】A ．347a a a ⋅=，故此选项计算错误，不符合题意；B ．32ab ab ab -=，故此选项计算错误，不符合题意；C ．()232624ab a b -=，此选项计算正确，符合题意；D ．()2222a b a ab b -=-+，故此选项计算错误，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则，合并同类项的法则，积的乘方法则及完全平方公式，熟练掌握相关计算法则是解答本题的关键．同底数幂相乘，底数不变，指数相加；合并同类项时，只把系数相加，所得结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；222()2a b a ab b +=++与222()2a b a ab b -=-+都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式．18．（2022·广西）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（）A ．222()2a b a ab b +=++B ．222()2a b a ab b -=-+C ．22()()a b a b a b +-=-D ．222()ab a b = 【答案】A【分析】根据大正方形的面积=边长为a 的正方形的面积+两个长为a ，宽为b 的长方形的面积+边长为b 的正方形的面积，即可解答．【详解】根据题意得：(a +b )2=a 2+2ab +b 2，故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用整体和部分两种方法表示面积是解题的关键． 19．（2022·广东深圳）下列运算正确的是（）A ．268a a a ⋅=B ．()3326a a -=C ．()22a b a b +=+D ．235a b ab +=【答案】A【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，单项式乘多项式及合并同类项的法则逐一判断即可．【详解】解：268a a a ⋅=，计算正确，故此选项符合题意；B 、33(2)8a a -=-，原计算错误，故此选项不符合题意；C 、2()22a b a b +=+，原计算错误，故此选项不符合题意；D 、23a b +，不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．20．（2022·上海）下列运算正确的是……（）A ．a ²+a ³=a 6B ．（ab ）2 =ab 2C ．（a +b ）²=a ²+b ²D ．（a +b ）（a -b ）=a ² -b 2 【答案】D【分析】根据整式加法判定A ；运用积的乘方计算关判定B ；运用完全平方公式计算并判定C ；运用平方差公式计算并判定D ．【详解】解：A.a ²+a ³没有同类项不能合并，故此选项不符合题意；B.（ab ）2 =a2b 2，故此选项不符合题意；C.（a +b ）²=a ²+2ab +b ²，故此选项不符合题意D.（a +b ）（a -b ）=a ² -b 2，故此选项符合题意故选：D ．【点睛】本题考查整理式加法，积的乘方，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握积的乘方运算法则、完全平方公式、平方差公式是解题的关键．二．填空题21．（2022·湖南长沙）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它己被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”己经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成2002个不同的数据二维码，现有四名网友对2002的理解如下：YYDS （永远的神）：2002就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；DDDD （懂的都懂）：2002等于2200；JXND （觉醒年代）：2002的个位数字是6；QGYW （强国有我）：我知道10321024,101000==，所以我估计2002比6010大．其中对2002的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）．【答案】DDDD【分析】根据乘方的含义即可判断YYDS （永远的神）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用，将2002化为1002(2)，再与2200比较，即可判断DDDD （懂的都懂）的理解是错误的；根据2的乘方的个位数字的规律即可判断JXND （觉醒年代）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用可得2001020603202(2),10(10)==，即可判断QGYW （强国有我）的理解是正确的．【详解】2002是200个2相乘，YYDS （永远的神）的理解是正确的；200100222(2)200=≠，DDDD （懂的都懂）的理解是错误的；1234522,24,28,216,232=====，∴2的乘方的个位数字4个一循环，200450÷=，∴2002的个位数字是6，JXND （觉醒年代）的理解是正确的；2001020603202(2),10(10)==，10321024,101000==，且103210>20060210∴>，故QGYW （强国有我）的理解是正确的；故答案为：DDDD ．【点睛】本题考查了乘方的含义，幂的乘方的逆用等，熟练掌握乘方的含义以及乘方的运算法则是解题的关键．22．（2022·内蒙古包头）若一个多项式加上2328xy y +-，结果得2235xy y +-，则这个多项式为___________．【答案】23y xy -+【分析】设这个多项式为A ，由题意得：22(328)235A xy y xy y ++-=+-，求解即可．【详解】设这个多项式为A ，由题意得：22(328)235A xy y xy y ++-=+-，22222(235)(328)2353283A xy y xy y xy y xy y y xy ∴=+--+-=+---+=-+，故答案为：23y xy -+．【点睛】本题考查了整式的加减，准确理解题意，列出方程是解题的关键．23．（2022·黑龙江大庆）已知代数式22(21)4a t ab b +-+是一个完全平方式，则实数t 的值为____________．【答案】52或32- 【分析】直接利用完全平方公式求解．【详解】解：∵代数式22(21)4a t ab b +-+是一个完全平方式，∴()()()222222(21)4222a t ab b a b a b a b +-+++±=±±⋅⋅=，∴214t -=±，解得52t =或32t =-，故答案为：52或32- 【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，熟记完全平方公式的特点是解题的关键．24．（2022·四川广安）已知a +b =1，则代数式a 2﹣b 2 +2b +9的值为________．【答案】10【分析】根据平方差公式，把原式化为()()29a b a b b +-++，可得9a b ++，即可求解．【详解】解：a 2﹣b 2 +2b +9()()29a b a b b =+-++29a b b =-++9a b =++19=+10=故答案为：10【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，利用整体代入思想解答是解题的关键． 25．（2022·吉林）篮球队要购买10个篮球，每个篮球m 元，一共需要__________元．（用含m 的代数式表示）【答案】10m【分析】根据“总费用=购买篮球的数量⨯每个篮球的价格”即可得．【详解】解：由题意得：一共需要的费用为10m 元，故答案为：10m ．【点睛】本题考查了列代数式，正确找出等量关系是解题关键．26．（2022·湖北恩施）观察下列一组数：2，12，27，…，它们按一定规律排列，第n 个数记为n a ，且满足21112n n n a a a +++=．则4a =________，2022a =________．【答案】15 13032【分析】由已知推出1211111n n n n a a a a +++-=-，得到202220211132a a -=，202120201132a a -=，431132a a -=，211132a a -=，上述式子相加求解即可．【详解】解：∵21112n n n a a a +++=；∴1211111n n n n a a a a +++-=-， ∵21111113212222a a -=-=-=， ∵43411113227a a a -=-=， ∴a 4=15， ∴202220211132a a -=，202120201132a a -=，211132a a -=，把上述2022-1个式子相加得2022111320212a a ⨯-=， ∴a 2022=13032，故答案为：15，13032．【点睛】此题主要考查数字的变化规律，关键是得出1211111n n n n a a a a +++-=-，利用裂项相加法求解． 27．（2022·江苏常州）计算：42÷=m m _______．【答案】2m【分析】根据同底数幂的除法运算法则即可求出．【详解】解：422m m m ÷=．故答案为：2m ．【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法法则是解题的关键． 28．（2022·辽宁锦州）分解因式：2232x y xy y -+=____________．【答案】2()y x y -【分析】先提取公因数y ，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：（a ±b ）2=a 2±2ab +b 2．【详解】解：222223(2)(2)=-++=--x y xy y x xy y y x y y ；故答案为：2()y x y -【点睛】本题考查了提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式． 29．（2022·江苏常州）分解因式：22x y xy +=______．【答案】xy (x +y )【分析】利用提公因式法即可求解．【详解】22()x y y y xy x x =++，故答案为：()xy x y +．【点睛】本题考查了用提公因式法分解因式的知识，掌握提公因式法是解答本题的关键． 30．（2022·四川内江）分解因式：a 4﹣3a 2﹣4＝_____．【答案】（a 2+1）（a +2）（a ﹣2）【分析】首先利用十字相乘法分解为()()2214a a +- ，然后利用平方差公式进一步因式分解即可．【详解】解：a 4﹣3a 2﹣4＝（a 2+1）（a 2﹣4）＝（a 2+1）（a +2）（a ﹣2），故答案为：（a 2+1）（a +2）（a ﹣2）．【点睛】本题考查利用因式分解，解决问题的关键是掌握解题步骤：一提二套三检查． 31．（2022·贵州遵义）已知4a b +=，2a b -=，则22a b -的值为__________．【答案】8【分析】根据平方差公式直接计算即可求解．【详解】解：∵4a b +=，2a b -=，∴22a b -()()428a b a b =+-=⨯= 故答案为：8 【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握平方差公式是解题的关键． 32．（2022·北京）分解因式：2xy x -=______．【答案】()()11x y y +-【分析】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案．【详解】2xy x -()21x y =-()()11x y y =+-故答案为：()()11x y y +-．【点睛】本题考查了因式分解的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的性质，从而完成求解． 33．（2022·湖北恩施）因式分解：3269x x x -+＝_______．【答案】2(3)x x -【分析】先提公因式，再利用完全平方公式解题．【详解】解：322269(69)(3)x x x x x x x x -+=-+=- 故答案为：2(3)x x -．【点睛】本题考查因式分解，涉及提公因式、完全平方公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．34．（2022·山东临沂）因式分解2242x x -+=______．【答案】22(1)x -．【详解】解：2242x x -+ =22(21)x x -+ =22(1)x -，故答案为22(1)x -．35．（2022·浙江台州）分解因式：21a -=____．【答案】()()11a a +-．【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案【详解】解：()()2111a a a -=+-．故答案为：()()11a a +-【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键． 36．（2022·江苏苏州）计算：3a a ⋅= _______．【答案】a 4【分析】本题须根据同底数幂乘法，底数不变指数相加，即可求出答案．【详解】解：a 3•a ， =a 3+1， =a 4．故答案为：a 4．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，在解题时要能灵活应用同底数幂的乘法法则，熟练掌握运算性质是解题的关键．37．（2022·黑龙江牡丹江）如图所示，以O 为端点画六条射线后OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，O 后F ，再从射线OA 上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2013个点在射线___上．【答案】OC【详解】解∶∵1在射线OA 上，2在射线OB 上，3在射线OC 上，4在射线OD 上，5在射线OE 上，6在射线OF 上，7在射线OA 上，… ∴每六个一循环． ∵2013÷6=335…3，∴所描的第2013个点在射线和3所在射线一样． ∴所描的第2013个点在射线OC 上．故答案为：OC38．（2022·吉林）计算：2a a ⋅=____．【答案】3a【详解】试题分析：根据同底数幂的乘法性质，底数不变，指数相加，可直接结算，2123a a a a +⋅==. 考点：同底数幂的乘法39．（2022·黑龙江牡丹江）下列图形是将等边三角形按一定规律排列，则第5个图形中所以等边三角形的个数是__________．【答案】485【详解】解：由图可以看出：第一个图形中5个正三角形，第二个图形中5×3+2=17个正三角形，第三个图形中17×3+2=53个正三角形，由此得出第四个图形中53×3+2=161个正三角形，第五个图形中161×3+2=485个正三角形．故答案为：48540．（2022·湖北十堰）如图，某链条每节长为2.8cm ，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm ，按这种连接方式，50节链条总长度为_________cm ．【答案】91【分析】通过观察图形可知，1节链条的长度是2.8cm ，2节链条的长度是（2.8×2-1）cm ，3节链条的长度是（2.8×3-1×2）cm ，n 节链条的长度是2.8n -1×（n -1）cm ，据此解答即可求解．【详解】解：2节链条的长度是（2.8×2-1）cm ， 3节链条的长度是（2.8×3-1×2）cm ， n 节链条的长度是2.8n -1×（n -1）cm ，所以50节链条的长度是：2.8×50-1×（50-1） =140-1×49=91(cm) 故答案为：91【点睛】此题考查的图形类规律，关键是找出规律，得出n 节链条长度为2.5×n -0.8×（n -1）． 41．（2022·广西贺州）因式分解：2312m -=__________．【答案】3(2)(2)m m +-【分析】首先提取公因数3，进而利用平方差公式进行分解即可．【详解】解：原式=3(x 2−4)=3(x +2)(x −2)；故答案为：3(x +2)(x −2)．【点睛】此题主要考查了提取公因式以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键． 42．（2022·广西玉林）计算：3a a -=_____________．【答案】2a【分析】按照合并同类项法则合并即可．【详解】3a -a =2a ，故答案为：2a ．【点睛】本题考查了合并同类项，解题关键是熟练运用合并同类项法则进行计算． 43．（2022·广东）单项式3xy 的系数为___________．【答案】3【分析】单项式中数字因数叫做单项式的系数，从而可得出答案．【详解】3xy 的系数是3，故答案为：3．【点睛】此题考查了单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式系数的定义． 44．（2022·黑龙江大庆）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是____________．【答案】49【分析】根据题意可知：第1个图案中有六边形图形：1+2+1=4个，第2个图案中有六边形图形：2+3+2=7个，……由规侓即可得答案．【详解】解：∵第1个图案中有六边形图形：1+2+1=4个，第2个图案中有六边形图形：2+3+2=7个，第3个图案中有六边形图形：3+4+3=10个，第4个图案中有六边形图形：4+5+4=13个， ……∴第16个图案中有六边形图形：16+17+16=49个，故答案为：49．【点睛】此题考查图形的变化规律，解题的关键是找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题． 45．（2022·江苏泰州）已知22222,2,()a m mn b mn n c m n m n =-=-=-≠ 用“＜”表示a b c 、、的大小关系为________. 【答案】b c a <<【分析】利用作差法及配方法配成完全平方式再与0比较大小即可求解．【详解】解：由题意可知：222222222)(2))(()(22m n mn m n a b m mn mn n m n m n ，∵m n ≠， ∴222()0m n m n ，∴b a <；22222223)()2)(4(2n m mn a c m mn n mm n n ，当且仅当002nm n 且时取等号，此时0m n ==与题意m n ≠矛盾，∴223()024n mn ∴c a <；22222223)()()24(2n m c b m n m n n mn n m n ，同理b c <，故答案为：b c a <<．【点睛】本题考查了两代数式通过作差比较大小，将作差后的结果配成完全平方式，利用完全平方式总是大于等于0的即可与0比较大小．46．（2022·黑龙江绥化）因式分解：()()269m n m n +-++=________．【答案】()23m n +-【分析】将m n 看做一个整体，则9等于3得的平方，逆用完全平方公式因式分解即可．【详解】解：()()269m n m n +-++()()22233m n m n =+-⨯⨯++()23m n =+-．【点睛】本题考查应用完全平方公式进行因式分解，整体思想，能够熟练逆用完全平方公式是解决本题的关键．47．（2022·广西梧州）若1x =，则32x -=________．【答案】1【分析】将1x =代入代数式求解即可．【详解】解：∵1x =， ∴323121x -=⨯-=，故答案为：1．【点睛】本题考查了代数式求值．解题的关键在于正确的计算． 48．（2022·贵州黔东南）分解因式：2202240442022x x -+=_______．【答案】()220221x -【分析】先提公因式，然后再根据完全平方公式可进行因式分解．【详解】解：原式=()()2220222120221x x x -+=-；故答案为()220221x -．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．49．（2022·黑龙江绥化）某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元，则有______种购买方案．【答案】3##三【分析】设购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 件，列出关系式，并求出3124yx =-，由于1≥x ，1y ≥且x ，y 都是正整数，所以y 是4的整数倍，由此计算即可．【详解】解：设：购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 件， 4348x y +=，解得3124y x =-， ∵1≥x ，1y ≥且x ，y 都是正整数， ∴y 是4的整数倍， ∴4y =时，341294x ⨯=-=，8y =时，381264x ⨯=-=， 12y =时，3121234x ⨯=-=， 16y =时，3161204x ⨯=-=，不符合题意，故有3种购买方案，故答案为：3．【点睛】本题考查列关系式，根据题意判断出y 是4的整数倍是解答本题的关键． 50．（2022·海南）因式分解：ax ay +=___________．【答案】()a x y +【分析】原式直接提取a 即可．【详解】解：ax ay +=()a x y +．故答案为：()a x y +．【点睛】本题主要考查了分解因式，正确确定公因式是解答本题的关键．三．解答题51．（2022·广西）先化简，再求值2()()(2)x x y x y xy xy x +-+-+，其中11,2x y ==．【答案】x 3-2xy +x ，1【分析】首先运用平方差公式计算，再运用单项式乘以多项式计算，最后合并同类项，即可化简，然后把x 、y 值代入计算即可．【详解】解：2()()(2)x x y x y xy xy x +-+-+ =x (x 2-y 2)+xy 2-2xy +x =x 3-xy 2+xy 2-2xy +x =x 3-2xy +x ，当x =1，y =12时，原式=13-2×1×12+1=1．【点睛】本题考查整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键． 52．（2022·湖南岳阳）已知2210a a -+=，求代数式()()()4111a a a a -++-+的值．【答案】-2【分析】先化简所求的式子，再结合已知求解即可．【详解】解：()()()4111a a a a -++-+ 22411a a a =-+-+224a a =-()222a a =-，∵2210a a -+=， ∴221a a -=-， ∴原式()212=⨯-=-．【点睛】本题考查代数式的运算，熟练掌握单项式乘多项式，平方差公式是解题的关键． 53．（2022·江苏无锡）计算：(1)(21cos 602-⨯-；(2)()()()()23a a a b a b b b +-+---．【答案】(1)1 (2)2a +3b【分析】（1）先化简绝对值和计算乘方，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后算加减即可求解；（2）先运用单项式乘以多项式法则和平方差公式计算，再合并同类项即可． (1) 解：原式=11322⨯- =3122- =1； (2)解：原式=a 2+2a -a 2+b 2-b 2+3b =2a +3b ．【点睛】本题考查实数混合运算，整式混合运算，熟练掌握实数运算法则和单项式乘以多项式法则，熟记特殊角的三角函数值、平方差公式是解题的关键．54．（2022·广西梧州）（125(3)(2)+-⨯- （2）化简：232()23a a a a a +--⋅．【答案】（1）14-；（2）24a a -【分析】（1 （2）先去括号和计算乘法运算，然后合并同类项即可．【详解】解：（1）解：原式=235(3)(2)-+-⨯- =35(3)4-+-⨯ =3512-- =14-；（2）原式=223226a a a a +-- =24a a -．【点睛】本题考查了实数的运算以及整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键． 55．（2022·北京）已知2220x x +-=，求代数式2(2)(1)x x x +++的值．【答案】５【分析】先根据2220x x +-=，得出222x x +=，将2(2)(1)x x x +++变形为()2221x x ++，最后代入求值即可．【详解】解：∵2220x x +-=， ∴222x x +=， ∴2(2)(1)x x x +++22221x x x x =++++ 2241x x =++()2221x x =++221=⨯+5=【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式，单项式乘多项式，将2(2)(1)x x x +++变形为()2221x x ++，是解题的关键．56．（2022·江苏常州）计算：(1)201(3)3---+π；(2)2(1)(1)(1)+--+x x x ．【答案】(1)43(2)2x +2【分析】（1）利用负指数公式化简，零指数公式化简，平方根定义化简，合并后即可求出值；（2）利用完全平方，以及平方差计算，再合并即可求出值．(1)201(3)3---+π＝2﹣1+13＝43； (2)2(1)(1)(1)+--+x x x＝22211x x x ++-+＝2x +2．【点睛】此题考查了乘法公式，以及实数的运算，实数的运算涉及的知识有：零指数公式，负指数公式，绝对值的代数意义，以及平方根的定义．57．（2022·吉林）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A 是关于m 的多项式．请写出多项式A ，并将该例题的解答过程补充完整．【答案】6A m =+，解答过程补充完整为26m -【分析】利用26m m +除以m 可得A ，再根据合并同类项法则补充解答过程即可．【详解】解：观察第一步可知，()26A m m m =+÷，解得6A m =+，将该例题的解答过程补充完整如下：(6)6(1)m m m +-+2666m m m =+--26m =-，故答案为：26m -．【点睛】本题考查了多项式的乘除法、合并同类项，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．58．（2022·吉林长春）先化简，再求值：()()()221a a a a +-++，其中4a =．【答案】4a +【分析】根据平方差公式与单项式乘以单项式进行计算，然后将4a 代入求值即可求解．【详解】解：原式＝224a a a -++4a =+当4a =时，原式44=【点睛】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，代数式求值，正确的计算是解题的关键．。

2020届河北省中考系统复习：第2讲整式及因式分解(8年真题训练)

第2讲整式及因式分解命题点1 代数式及其求值1．(2020·河北T12·2分)用一根长为a(单位：cm)的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按如图所示的方式向外等距扩1(单位：cm)得到新的正方形，则这根铁丝需增加(B)A ．4 cmB ．8 cmC ．(a ＋4)cmD ．(a ＋8)cm2．(2013·河北T9·3分)如图，淇淇和嘉嘉做数学游戏：假设嘉嘉抽到牌的点数为x ，淇淇猜中的结果应为y ，则y ＝(B) A ．2 B ．3 C ．6 D ．x ＋33．(2020·河北T18·3分)若a ，b 互为相反数，则a 2－b 2＝0．4．(2012·河北T15·3分)已知y ＝x －1，则(x －y)2＋(y －x)＋1的值为1． 5．(2020·河北T18·3分)若mn ＝m ＋3，则2mn ＋3m －5mn ＋10＝1．命题点2 幂的运算6．(2020·河北T13·2分)若2n ＋2n ＋2n ＋2n＝2，则n ＝(A)A ．－1B ．－2C ．0D.14命题点3 整式的运算及求值7．(2012·河北T2·2分)计算(ab)3的结果是(C)A ．ab 3B ．a 3bC ．a 3b 3D ．3ab 8．(2020·河北T2·3分)下列运算正确的是(D)A ．(－5)0＝0B ．x 2＋x 3＝x 5C ．(ab 2)3＝a 2b 5D ．2a 2·a －1＝2a 9．(2011·河北T4·2分)下列运算正确的是(D)A ．2x －x ＝1B ．x ＋x 4＝x 5C ．(－2x)3＝－6x 3D ．x 2y ÷y ＝x 210．(2020·河北T4·3分)下列运算正确的是(D)A ．(12)－1＝－12B ．6×107＝6 000 000C ．(2a)2＝2a 2D ．a 3·a 2＝a 511．(2020·河北T21·10分)老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，形式如图：(1)求所捂的二次三项式；(2)若x＝6＋1，求所捂二次三项式的值．解：(1)设所捂的二次三项式为A，根据题意，得A＝x2－5x＋1＋3x＝x2－2x＋1.(2)当x＝6＋1时，A＝(x－1)2＝(6)2＝6.12．(2020·河北T20·8分)嘉淇准备完成题目：化简：(x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)．发现系数“”印刷不清楚．(1)他把“”猜成3，请你化简：(3x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)；(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“”是几？解：(1)(3x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)＝3x2＋6x＋8－6x－5x2－2＝－2x2＋6.(2)设“”是a，则原式＝(ax2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)＝ax2＋6x＋8－6x－5x2－2＝(a－5)x2＋6.∵标准答案的结果是常数，∴a－5＝0.解得a＝5.13．(2020·河北T22·9分)发现：任意五个连续整数的平方和是5的倍数．验证：(1)(－1)2＋02＋12＋22＋32的结果是5的几倍？(2)设五个连续整数的中间一个为n ，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．延伸：任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．解：验证：(1)∵(－1)2＋02＋12＋22＋32＝1＋0＋1＋4＋9＝15＝5×3，∴(－1)2＋02＋12＋22＋32的结果是5的3倍．(2)由题意，得(n－2)2＋(n－1)2＋(n＋1)2＋(n＋2)2＋n2＝5n2＋10＝5(n2＋2)．∵n为整数，∴五个连续整数的平方和是5的倍数．延伸：余数是2.理由：设中间的整数为n，则(n－1)2＋n2＋(n＋1)2＝3n2＋2.∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2.命题点4 乘法公式的应用14．(2020·河北T4·3分)将9.52变形正确的是(C)A．9.52＝92＋0.52B．9.52＝(10＋0.5)(10－0.5)C．9.52＝102－2×10×0.5＋0.52D．9.52＝92＋9×0.5＋0.52命题点5 因式分解15．(2013·河北T4·2分)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(D)A ．a(x －y)＝ax －ayB ．x 2＋2x ＋1＝x(x ＋2)＋1C ．(x ＋1)(x ＋3)＝x 2＋4x ＋3D ．x 3－x ＝x(x ＋1)(x －1)16．(2020·河北T3·2分)计算：852－152＝(D)A ．70B ．700C ．4 900D ．7 000 17．(2011·河北T3·2分)下列分解因式正确的是(D)A ．－a ＋a 3＝－a(1＋a 2) B ．2a －4b ＋2＝2(a －2b)C ．a 2－4＝(a －2)2D ．a 2－2a ＋1＝(a －1)2重难点1 幂的运算根据幂的运算法则，把a 6写成幂的运算形式，并说明依据哪种运算法则．(要求至少写出2种，且每种依据的运算不相同)例如：依据同底数幂的乘法可得，a 6＝a 2·a 4.【自主解答】解：答案不唯一，例如：依据同底数幂的乘法可得，a 6＝a 3·a 3＝a ·a 5……；依据同底数幂的除法可得，a 6＝a 8÷a 2＝a 7÷a ……；依据幂的乘方可得，a 6＝(a 3)2＝(a 2)3；依据单项式乘法可得，a 6＝2a ·0.5a 5…….【变式训练1】(2020·保定二模)下列计算正确的是(D)A ．a 4÷a 3＝1B ．a 4＋a 3＝a 7C ．(2a 3)4＝8a 12D ．a 4·a 3＝a 7【变式训练2】(2020·威海)已知5x ＝3，5y ＝2，则52x －3y＝(D)A.34B ．1C.23D.98方法指导我们把加减称为一级运算，乘除称为二级运算，乘方开方称为三级运算．幂的运算法则实质是把幂的运算转化为指数运算，因为指数本身处在高级位置，所以幂的运算转化为指数运算要降一级．如：同底数幂相乘(除)变为指数相加(减)，幂的乘方变为指数相乘，积的乘方就是乘方对乘法的分配律，相当于乘法分配律升级．重难点2 整式的运算(2020·邵阳)先化简，再求值：(a －2b)(a ＋2b)－(a －2b)2＋8b 2，其中a ＝－2，b ＝12.【自主解答】解：原式＝a 2－4b 2－a 2＋4ab －4b 2＋8b 2＝4ab.当a ＝－2，b ＝12时，原式＝－4.【变式训练3】【整体思想】若a 2－2a －3＝0，代数式a 2·2－a 3的值是(D)A ．0B ．－a23C ．2D ．－12【变式训练4】(2020·河北考试说明)若m ＋n ＝2，mn ＝1，则m 2＋n 2＝2．【变式训练5】【整体思想】(2020·临沂)已知m ＋n ＝mn ，则(m －1)(n －1)＝1．方法指导先观察式子的结构特征，确定解题思路，结合数学思想：整体代入、降次、数形结合、逆向思维等，使解题更加方便快捷．重难点3 因式分解把4a 2添上1项或2项，使它能够进行因式分解．(1)写出3个且要用三种不同的分解方法；(2)若要求能进行2步或2步以上分解，如何添加？请写出一个即可．【自主解答】解：(1)答案不唯一，例如：4a 2＋2a ＝2a(2a ＋1)；4a 2＋4a ＋1＝(2a ＋1)2；4a 2－1＝(2a －1)(2a ＋1)． (2)答案不唯一，例如：①4a 2－4b 2＝4(a 2－b 2)＝4(a ＋b)(a －b)；②4a 2－a 4＝a 2(4－a 2)＝a 2(2－a)(2＋a)；③4a 2－8ab ＋4b 2＝4(a 2－2ab ＋b 2)＝4(a －b)2.【变式训练6】 (2020·唐山乐亭县一模)下列各式由左到右的变形，属于因式分解的是(C)A ．a(m ＋n)＝am ＋anB ．a 2－b 2－c 2＝(a －b)(a ＋b)－c 2C ．10x 2－5x ＝5x(2x －1)D ．x 2－16＋6x ＝(x ＋4)(x －4)＋6x 【变式训练7】 (2020·河北中考预测)计算(919)2＋2×919×89＋(89)2的结果正确的是(A)A ．100B ．10 000C ．1 000D ．9 900【变式训练8】 (2020·唐山乐亭县七年级期末)2x 3y 2与12x 4y 的公因式是2x 3y ．【变式训练9】 (2020·石家庄二模)分解因式：xy 2－2xy ＋x ＝x(y －1)2．【变式训练10】【整体思想】(2020·苏州)若a ＋b ＝4，a －b ＝1，则(a ＋1)2－(b －1)2的值为12．易错提示必须分解到每一个多项式都不能再分解为止．1．(2020·荆州)下列代数式中，整式为(A)A ．x ＋1B.1x ＋1C.x 2＋1D.x ＋1x2．(2020·河北中考预测)若(x ＋3)(x ＋n)＝x 2＋mx －15，则m 等于(A)A ．－2B ．2C ．－5D ．53．(2020·河北中考预测)下列各式中，计算结果为a 8的是(C)A ．a 4＋a 4B ．a 4·a －2C ．a 10÷a 2D ．(－2a 4)24．(2020·包头)如果2xa ＋1y 与x 2yb －1是同类项，那么ab的值是(A)A.12B.32C ．1D ．35．(2020·淄博)若单项式am －1b 2与12a 2b n 的和仍是单项式，则n m的值是(C)A ．3B ．6C ．8D ．96．(2020·石家庄新华区二模)已知x 2＋4mx ＋16是完全平方式，则m 的值为(C)A ．2B ．4C ．±2D ．±47．(2020·齐齐哈尔)我们知道，用字母表示的代数式是具有一般意义的，请仔细分析下列赋予3a 实际意义的例子中，不正确的是(D)A ．若葡萄的价格是3元/千克，则3a 表示买a 千克葡萄的金额B ．若a 表示一个等边三角形的边长，则3a 表示这个等边三角形的周长C ．将一个小木块放在水平桌面上，若3表示小木块与桌面的接触面积，a 表示桌面受到的压强，则3a 表示小木块对桌面的压力D ．若3和a 分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则3a 表示这个两位数8．(2020·青岛)计算(a 2)3－5a 3·a 3的结果是(C)A ．a 5－5a 6B ．a 6－5a 9C ．－4a 6D ．4a 69．【整体思想】(2020·邢台一模)若m －x ＝2，n ＋y ＝3，则(m －n)－(x ＋y)＝(A)A ．－1B ．1C ．5D ．－510．(2020·河北考试说明)计算：552－152＝(D)A ．40B ．1 600C ．2 400D ．2 80011．(2020·重庆)按如图所示的运算程序，能使输出的结果为12的是(C)A ．x ＝3，y ＝3B ．x ＝－4，y ＝－2C ．x ＝2，y ＝4D ．x ＝4，y ＝212．(2020·枣庄)如图，将边长为3a 的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．若拿掉边长为2b 的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为(A)A ．3a ＋2bB ．3a ＋4bC ．6a ＋2bD ．6a ＋4b13．(2020·株洲)单项式5mn 2的次数为3．14．分解因式：m 3－9mn 2＝m(m －3n)(m ＋3n)．15．(2020·张家口一模)已知多项式A ＝(x ＋1)2－(x 2－4y)．(1)化简多项式A ；(2)若x ＋2y ＝1，求A 的值．解：(1)A ＝(x ＋1)2－(x 2－4y)＝x 2＋2x ＋1－x 2＋4y ＝2x ＋4y ＋1. (2)∵x ＋2y ＝1，由(1)，得A ＝2x ＋4y ＋1＝2(x ＋2y)＋1， ∴A ＝2×1＋1＝3.16．(2020·唐山乐亭县七年级期末)下列说法：①(－2)101＋(－2)100＝－2100；②2 0182＋2 018一定可以被2 019整除；③16.9×18＋15.1×18能被4整除；④两个连续奇数的平方差是8的倍数．其中说法正确的有(A)A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个17．(2020·河北中考预测)若a 2－3ab ＝－5，b 2＋ab ＝14，则a －b 的值为3或－3．18．(2020·河北中考预测)如图，已知大正方形的边长为a ＋b ＋c ，利用图形的面积关系可得：(a ＋b ＋c)2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac.当大正方形的边长为a ＋b ＋c ＋d 时，利用图形的面积关系可得：(a ＋b ＋c ＋d)2＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋2ab ＋2ac ＋2ad ＋2bc ＋2bd ＋2cd.一般地，n 个数的和的平方等于这n 个数的平方和加上它们两两乘积的2倍．根据以上结论解决下列问题：(1)若a ＋b ＋c ＝6，a 2＋b 2＋c 2＝14，则ab ＋bc ＋ac ＝11；(2)从－4，－2，－1，3，5这五个数中任取两个数相乘，再把所有的积相加，若和为m ，求m 的值．解：∵－4－2－1＋3＋5＝1，∴两边平方后得(－4－2－1＋3＋5)2＝(－4)2＋(－2)2＋(－1)2＋32＋52＋2m＝55＋2m＝1.∴m＝(1－55)÷2＝－54÷2＝－27.19．(2020·保定一模)若3×9m×27m＝321，则m的值为(B)A．3 B．4 C．5 D．620．(2020·张家口一模)若x＋3y＝0，则2x·8y＝1．21．(2020·河北模拟)在一次数学课上，李老师对大家说：“你任意想一个非零数，然后按下列步骤操作，我会直接说出你运算的最后结果．”(1)若小明同学心里想的是数5，请帮他计算出最后结果；(2)老师说：“同学们，无论你们心里想的是什么非零数，按照以上步骤进行操作，得到的最后结果都相等．”小明同学想验证这个结论，于是，设心里想的数是a(a≠0)，请你帮小明完成这个验证过程．解：(1)第一步：(5＋1)2－(5－1)2＝20；第二步：20×25＝500；第三步：500÷5＝100.∴小明计算出最后结果为100.(2)∵[(a＋1)2－(a－1)2]×25÷a＝(a＋1＋a－1)(a＋1－a＋1)×25÷a＝4a×25÷a＝100，∴结论成立．。

中考数学总复习第2讲整式及因式分解二次函数(基础讲

第2讲整式及因式分解考标要求考查角度1.明确字母表示数的真实内涵及其规范的书写格式，能用代数式探索有关的规律．2．会用语言文字叙述代数式的意义，同时掌握求代数式的值的方法．3．理解同类项的概念，掌握合并同类项的法则和去括号的法则以及乘法公式，能准确地进行整式的加、减、乘、除、乘方等混合运算．4．能对多项式进行因式分解.整式作为初中数学的基础内容之一，在中考试题中多以填空题和选择题的形式命题，重点考查其基本概念及运算法则，同时也会设计一些新颖的探索与数、式有关的规律性问题.知识梳理一、整式的有关概念1．整式整式是单项式与__________的统称．2．单项式单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的________因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的____叫做单项式的次数．3．多项式几个单项式的______叫做多项式；多项式中，每一个________叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中__________项的次数就是这个多项式的次数．二、整数指数幂的运算正整数指数幂的运算法则：a m·a n＝______，(a m)n＝______，(ab)n＝a n b n，a ma n＝a m－n(m，n是正整数)．三、同类项与合并同类项1．同类项所含字母相同，并且相同字母的______也分别相同的项叫做同类项．2．合并同类项把多项式中的同类项合并成一项叫做____________，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的______，字母和字母的指数不变．四、求代数式的值1．代数式的值一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算关系计算出的结果就叫做代数式的值．2．求代数式的值的基本步骤(1)代入：一般情况下，先对代数式进行化简，再将数值代入；(2)计算：按代数式指明的运算关系计算出结果．五、整式的运算1．整式的加减(1)整式的加减实质就是合并同类项；(2)整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要______．2．整式的乘除(1)整式的乘法．①单项式与单项式相乘：把______、__________分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．②单项式与多项式相乘：m (a ＋b ＋c )＝ma ＋mb ＋mc ．③多项式与多项式相乘：(m ＋n )(a ＋b )＝ma ＋mb ＋na ＋nB ． (2)整式的除法．①单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的______作为商的一个因式．②多项式除以单项式：(a ＋b )÷m ＝a ÷m ＋b ÷m . 3．乘法公式(1)平方差公式：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2；(2)完全平方公式：(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2. 六、因式分解1．因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的____的形式，叫做多项式的因式分解． 2．因式分解的方法 (1)提公因式法．公因式的确定：第一，确定系数(取各项整数系数的最大公约数)；第二，确定字母或因式底数(取各项的相同字母)；第三，确定字母或因式的指数(取各相同字母的最低次幂)．(2)运用公式法．①运用平方差公式：a 2－b 2＝__________.②运用完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝________. 3．因式分解的一般步骤一提(提取公因式法)；二套(套公式法)．一直分解到不能分解为止．自主测试1．(2012福建福州)下列计算正确的是( )A ．a ＋a ＝2aB ．b 3·b 3＝2b 3C ．a 3÷a ＝a 3D ．(a 5)2＝a 72．下列各式中，与x 2y 是同类项的是( )A ．xy 2B ．2xyC ．－x 2yD ．3x 2y 23．(2012四川绵阳)图(1)是一个长为2m ，宽为2n (m ＞n )的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图(2)那样拼成一个正方形，则中间空白部分的面积是( )A ．2mnB ．(m ＋n )2C ．(m －n )2D ．m 2－n 24．(2012四川宜宾)分解因式：3m 2－6mn ＋3n 2＝__________.5．单项式－3π5m 2n 的系数是______，次数是______．考点一、整数指数幂的运算【例1】 (2012湖南郴州)下列计算正确的是( )A ．a 2·a 3＝a 6B ．a ＋a ＝a 2C ．(a 2)3＝a 6D ．a 8÷a 2＝a 4解析：A 项是同底数幂的乘法，a 2·a 3＝a 2＋3＝a 5，故A 项错误；B 项是整式的加减运算，a ＋a ＝2a ，故B 项错误；C 项是幂的乘方，(a 2)3＝a 2×3＝a 6，故C 项正确；D 项是同底数幂的除法，a 8÷a 2＝a 8－2＝a 6，故D 项错误．答案：C方法总结幂的运算问题除了注意底数不变外，还要弄清幂与幂之间的运算是乘、除还是乘方，以便确定结果的指数是相加、相减还是相乘．触类旁通1下列运算中，正确的是( )A ．x 3·x 2＝x 5B ．x ＋x 2＝x3C ．2x 3÷x 2＝xD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23＝x 32考点二、同类项与合并同类项【例2】单项式－13x a ＋b y a －1与3x 2y 是同类项，则a －b 的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．1解析：本题主要考查了同类项的概念及方程组的解法，由－13x a ＋b y a －1与3x 2y 是同类项，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，a －1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝0.所以a －b ＝2－0＝2. 答案：A方法总结 1.同类项必须具备以下两个条件：(1)所含字母相同；(2)相同字母的指数分别相同．二者必须同时具备，缺一不可；2．同类项与项的系数无关，与项中字母的排列顺序无关，如xy 2与－y 2x 也是同类项． 3．根据同类项概念，相同字母的指数相同，列方程(组)是解此类题的一般方法．触类旁通2如果3x 2n －1y m 与－5x m y 3是同类项，则m 和n 的取值是( ) A ．3和－2 B ．－3和2 C ．3和2 D ．－3和－2 考点三、整式的运算【例3】先化简，再求值：(a ＋b )(a －b )＋(a ＋b )2－2a 2，其中a ＝3，b ＝－13.解：(a ＋b )(a －b )＋(a ＋b )2－2a 2＝a 2－b 2＋a 2＋2ab ＋b 2－2a 2＝2ab ，当a ＝3，b ＝－13时，2ab ＝2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－2. 方法总结整式的乘法法则和除法法则是整式运算的依据，必须在理解的基础上加强记忆，并在运算时灵活运用法则进行计算．使用乘法公式时，要认清公式中a ，b 所表示的两个数及公式的结构特征，注意套用公式．触类旁通3 已知2x －1＝3，求代数式(x －3)2＋2x (3＋x )－7的值．考点四、因式分解【例4】 (2012湖南常德)分解因式：m 2－n 2＝__________. 答案：(m ＋n )(m －n )方法总结 (1)因式分解时有公因式的要先提取公因式，再考虑是否应用公式法或其他方法继续分解．(2)提取公因式时，若括号内合并的项有公因式，应再次提取；注意符号的变换y －x ＝－(x －y )，(y －x )2＝(x －y )2.(3)应用公式法因式分解时，要牢记平方差公式和完全平方公式及其特点． (4)因式分解要分解到每一个多项式不能分解为止．1．(2012湖南常德)下列运算中，结果正确的是( )A ．a 3·a 4＝a 12B ．a 10÷a 2＝a 5C ．a 2＋a 3＝a 5D ．4a －a ＝3a 2．(2012湖南益阳)下列计算正确的是( )A ．2a ＋3b ＝5abB ．(x ＋2)2＝x 2＋4C ．(ab 3)2＝ab 6D ．(－1)0＝13．(2012湖南湘潭)因式分解：m 2－mn ＝__________.4．(2012湖南益阳)写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式：__________.5．(2012湖南怀化)当x ＝1，y ＝15时，3x (2x ＋y )－2x (x －y )＝__________.6．(2012湖南株洲)一组数据为：x ，－2x 2,4x 3，－8x 4，…观察其规律，推断第n 个数据应为__________．1．将代数式x 2＋4x －1化成(x ＋p )2＋q 的形式为( )A ．(x －2)2＋3B ．(x ＋2)2－4C ．(x ＋2)2－5D ．(x ＋2)2＋42．如图所示，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a ＞b )，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式( )A ．(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2B ．(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2C ．a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )D ．(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 23．多项式__________与m 2＋m －2的和是m 2－2m .4．若3x m ＋5y 2与x 3y n 的和是单项式，则n m＝__________.5．若m －n ＝2，m ＋n ＝5，则m 2－n 2的值为__________．6．若2x ＝3,4y ＝5，则2x －2y的值为__________．7．给出3个整式：x 2,2x ＋1，x 2－2x .(1)从上面3个整式中，选择你喜欢的两个整式进行加法运算，若结果能因式分解，请将其因式分解；(2)从上面3个整式中，任意选择两个整式进行加法运算，其结果能因式分解的概率是多少？参考答案【知识梳理】一、1.多项式 2.数字和 3．和单项式次数最高二、a m ＋n a mn三、1.指数 2.合并同类项系数五、1.(2)变号2．(1)①系数同底数幂 (2)①指数六、1.积2．(2)①(a ＋b )(a －b ) ②(a ±b )2导学必备知识自主测试1．A a ＋a ＝2a ，A 项正确；b 3·b 3＝b 6，B 项错误；a 3÷a ＝a 2，C 项错误；(a 5)2＝a 10，D 项错误．2．C 只有C 选项中相同字母的指数与x 2y 分别相同．3．C 因为长方形的长为2m ，宽为2n (m ＞n )，则小长方形的长为m ，宽为n ，小正方形的边长为(m －n )，所以面积是(m －n )2.4．3(m －n )2 原式＝3(m 2－2mn ＋n 2)＝3(m －n )2.5．－3π53探究考点方法触类旁通1.A A 项是同底数幂相乘，x 3·x 2＝x3＋2＝x 5，B 项中的两项不是同类项，不能合并，C 项是单项式相除，2x 3÷x 2＝(2÷1)x 3－2＝2x ，D 项⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23＝x 323＝x38.触类旁通 2.C 此题考查同类项概念和二元一次方程组的解法，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2n －1＝m ，m ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2. 触类旁通3.分析：本题需先把2x －1＝3进行整理，得出x 的值，把代数式进行化简，再把x 的值代入即可求出结果．解：由2x －1＝3得x ＝2，又(x －3)2＋2x (3＋x )－7＝x 2－6x ＋9＋6x ＋2x 2－7＝3x 2＋2，∴当x ＝2时，原式＝14.品鉴经典考题1．D a 3·a 4＝a 7，所以A 项不正确；a 10÷a 2＝a 8，所以B 项不正确；a 2与a 3不是同类项，不能合并，所以C 项不正确；4a －a ＝3a ，D 项正确．2．D 2a 与3b 不能合并，A 项不正确；(x ＋2)2＝x 2＋4x ＋4，B 项不正确；(ab 3)2＝a 2b 6，C 项不正确；由任何一个不等于零的数的零次幂等于1，知D 项正确．3．m (m －n ) m 2－mn ＝m (m －n )．4．答案不唯一，如x 2－1.5．5 3x (2x ＋y )－2x (x －y )＝6x 2＋3xy －2x 2＋2xy ＝4x 2＋5xy .当x ＝1，y ＝15时，原式＝4×12＋5×1×15＝4＋1＝5.6．(－2)n －1x n x 的系数为1＝(－2)1－1，次数为1；－2x 2的系数为－2＝(－2)2－1，次数为2；4x 3的系数为4＝(－2)3－1，次数为3；－8x 4的系数为－8＝(－2)4－1，次数为4；….所以第n 个数据的系数为(－2)n －1，次数为n ，即(－2)n －1x n.研习预测试题1．C x 2＋4x －1＝(x 2＋4x ＋4)－4－1＝(x ＋2)2－5.2．C 因为第一个图是一个大的正方形挖去了一个小的正方形，其面积表达式为a 2－b 2.第二个图是一个梯形，下底为2a ，上底为2b ，高为(a －b )，其面积为12(2a ＋2b )(a －b )＝(a＋b )(a －b )，所以两个图验证了公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )．3．2－3m 由题意得此多项式为(m 2－2m )－(m 2＋m －2)＝m 2－2m －m 2－m ＋2＝2－3m . 4.14 由题意得m ＋5＝3，n ＝2，所以m ＝－2，所以n m ＝2－2＝122＝14. 5．10 m 2－n 2＝(m ＋n )(m －n )＝5×2＝10. 6.35 2x －2y ＝2x ÷22y ＝2x ÷4y ＝3÷5＝35. 7．解：(1)x 2＋(2x ＋1)＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2或x 2＋(x 2－2x )＝2x 2－2x ＝2x (x －1)或(2x＋1)＋(x 2－2x )＝2x ＋1＋x 2－2x ＝x 2＋1.(2)由(1)可知，概率为23.。

2023年中考数学备考学案：第2课时+《数与式》之整式与因式分解

第2课时整式与因式分解学习目标：1．掌握整式的运算法则和幂的运算性质，准确地进行整式的混合运算；2．理解因式分解的概念，准确地对多项式进行因式分解．学习过程：一、问题唤醒1．用代数式表示：一个两位数，个位上的数字为x ，十位上的数字比个位上的数字小2，则这个两位数是__________．2．单项式2372y x -的系数是_________，次数是_________． 3．下列单项式中，与2ab 是同类项的是（）A ．b a 22B ．22a bC ．2abD ．ab 34．直接写出结果：32a a ⋅＝______，37a a ÷＝______，53)(a ＝______，2)(ab ＝______．5．化简：a a 53-＝_________，22(1)m m ＝_________．6．因式分解：x x 22-＝_________，942-x ＝_________，1682++a a ＝_________，26x x ＝_________，2232x x ＝_________．二、问题导学【知识点1】：整式的混合运算例1：化简：(1))5)(1()4(+--+m m m m 225)2()2)(2(2a b a b a b a -++-+）（同质训练：先化简再求值：22)()2)((x y x y x y x -----，其中.1202312023+=-=y x ，【知识点2】：因式分解例2：将下列多项式进行因式分解（1）42-x（2）x x x 9623+-（3）)()(22y x y y x x --- （4）256x x同质训练：将下列多项式进行因式分解（1）122++a a （2）29ab a -（3）3522-+x x （4）222224)(b a b a -+（5）1)(2)(2++-+y x y x （6）)1()2)(1--+-x x x x （【知识点3】：代数式求值问题例3：已知122--a a 的值为0，则4632--a a 的值为_________.同质训练：如果22320190x x --=，那么32220222020x x x ---=_________.【知识点4】：规律题例4：如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数－2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数－2017将与圆周上的哪个数字重合（）A ．0B ．1C ．2D ．3同质训练：设 321,,a a a 是一列正整数，其中1a 表示第一个数，2a 表示第二个数，依此类推，n a 表示第n 个数(n 是正整数)，已知11=a ，221114）（）（---=+n n n a a a ，则=2022a _________.三、自主小结四、适度作业A 层：1．单项式652y x -的系数是_______，次数是_______． 2．4232a a ⋅＝______，36a a ÷＝______，32)2(a -＝______，222a a +-＝______．3．若6122=-b a ，且31=-b a ，则b a +的值为_______． 4．已知52=m ，则m 32＝_______；m +32＝_______．5．若代数式362++kx x 是一个完全平方式，则k ＝______．6．若222-=-a a ，则a a 4252-+＝_______．7．若084422=+-++b a b a ，则22-⋅b a 的值为______．8．下列运算正确的是（） A ．2532a a a =+ B ．224)2(b a b a +=+C ．632a a a =⋅D ．2336()ab a b 9. 把多项式x 2+ax +b 分解因式，得(x +1)(x -3)，则a 、b 的值分别是（） A ．a =2，b =3 B ．a =-2，b =-3C ．a =-2，b =3D ．a =2，b =-310．化简：（1）)4)(2)(2(2+-+m m m （2）22)2()2(y x y x +--（3）)1(4)12(2--+a a a （4）)1()2)(2--+-x x x x （．11．因式分解（1）a a 93- （2）ab b a 4)(2-+ （3）181222+-x x（4）32232ab b a b a +- （5）35122+-x x （6）)1()1(2---x x x12．如图，直线l 1与直线l 2所成的角∠B 1OA 1＝30°，过点A 1作A 1B 1⊥l 1交直线l 2于点B 1，OB 1＝2，以A 1B 1为边在△OA 1B 1外侧作等边三角形A 1B 1C 1，再过点C 1作A 2B 2⊥l 1，分别交直线l 1和l 2于A 2，B 2两点，以A 2B 2为边在△OA 2B 2外侧作等边三角形A 2B 2C 2，…按此规律进行下去，则第2022个等边三角形A 2022B 2022C 2022的周长为． B 层：13．已知12322--+=x ax x A ，12-+-=ax x B ，且B A 63+的值与x 无关，则a 的值为________．14．如果代数式5a +3b 的值为﹣4，则代数式2（a +b ）+4（2a +b +2）的值为． 15. 如图1是一个长为2a 、宽为2b 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）观察图2，请你直接写出下列三个代数式22(),(),a b a b ab +-之间的等量关系为_______；（2）运用你所得到的公式解答下列问题：①若m ，n 为实数，且2m n +=-，3=-mn ，求m n -的值．①如图3，21,S S ，分别表示边长为p ，q 的正方形的面积，且C B A ，，三点在一条直线上，若62021=+==+q p AB S S ，，求图中阴影部分的面积．图1 图2 图3。

中考第一轮复习第2课时代数式(1)-整式的运算与分解因式

代数式(1)-整式的运算与分解因式一、考试大纲要求： 1、了解整式的概念。

2、会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘法运算（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）。

3、会推导乘法公式：（a + b ）（a －b ）= 2a－2b ；()2b a ± = 2a ±2ab+2b ，了解公式的几何背景，并能运用公式进行简单计算。

4、会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。

根据题目特征灵活选用适当方法分解因式会区分因式分解与整式乘法的关系。

二、重点、易错点分析：1、重点：会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘法运算（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）。

因式分解的方法要灵活。

2、易错点：①加法是同类项相加，错题如2x+ 4x=6x ；②同底数幂除法是底数不变指数相减，错题如5y÷ 5y= y ；③同底数幂乘法是底数不变指数相加，错题如2a ·5a= 6a ；④负数的偶数次方是一个正数，错题如23x ×()23x －= －65x 。

⑤因式分解分解不彻底，错题如2x 2-8=2(x 2-4)三、考题集锦：一.选择题（）①2⊗（﹣2）=6，②a ⊗b=b ⊗a ，③若a+b=0，则（a ⊗a ）+（b ⊗b ）=2ab ，④若a ⊗b=0，则a=0或b=1，其中结论正确的序号是（）A ． ①④ B． ①③ C． ②③④ D． ①②④ ５．（2019•通辽,第5题3分）下列说法中，正确的是（）A ． ﹣x 2的系数是 B ． πa 2的系数是C ． 3ab 2的系数是3a D ． xy 2的系数是二.填空题１（2019江苏扬州第10题3分）因式分解：x x 93-=２（2019江苏扬州第13题3分）若532=-b a ，则=+-2015262a b３（2019江苏连云港第11题3分）已知m ＋n ＝mn ，则（m －1）（n －1）＝．４（3分）（2019•桂林）（第13题）单项式7a3b2的次数是．５（2019•营口，第11题3分）分解因式：﹣a2c+b2c= ．三.解答题1．（2019•衡阳, 第21题6分）先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2，其中a=﹣1，b=．2．（2019•济南,第22题第（1）小题3分）（1）化简：（x+2）2+x（x+3）3.（2019·湖北省咸宁市，第17题8分）（2）化简：（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a﹣b）2．４．（2019•长沙，第20题6分）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）+2xy，其中x=（3﹣π）0，y=2．四、典型例题：例１．（4分）（2019•黔南州）（第4题）下列运算正确（）A．a•a5=a5 B． a7÷a5=a3C．（2a）3=6a3 D． 10ab3÷（﹣5ab）=﹣2b2例２：计算⑴2（3x+1）－（32x+5x－7）；（2）（－m + n）(―m―n)（3 ）2ab (5a2b+ 32a b)（4）(92x y － 6x2y) ÷ (－3xy)例３、计算：分解因式（1）()23+x－2x (2) x2-2x-3 (3) 7x2-63 （4）-a2－6a-9五、随堂练习：A． a2•a=a3B．（a3）2=a6C．（2a2）2=4a4 D．a2÷a2=a３、(2019年浙江省义乌市中考,4,4分)下面是一位同学做的四道题：①ab b a 532=+；②6236)3(a a =；③326a a a =÷；④532a a a =⋅，其中做对的一道题的序号是 A. ① B. ② C. ③ D. ④４（2019•江苏镇江，第4题，2分）化简：（1﹣x ）2+2x= ．５．（2019•甘肃庆阳，第16题，3分）若﹣2x m ﹣n y 2与3x 4y 2m+n是同类项，则m ﹣3n 的立方根是．６（2019·湖北省咸宁市，第11题3分）将x 2+6x+3配方成（x+m ）2+n 的形式，则m= ．７（2019·湖北省咸宁市，第15题3分）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a 1，第二个三角数记为a 2…，第n 个三角数记为a n ，计算a 1+a 2，a 2+a 3，a 3+a 4，…由此推算a 399+a 400=８（2019·湖北省咸宁市，第12题3分）如果实数x ，y 满足方程组，则x 2﹣y 2的值为．９、若x y 3=4,9=7 ，则x 2y 3-的值为【】A ．47 B ．74 C ．3- D ．27１０、下列各式能用完全平方式进行分解因式的是（）A ．x 2+1 B.x 2+2x －1 C.x 2+x+1 D.x 2+4x+4六、本课小结：、方法：①去括号；2、方法：①去括号；②合并同类项；③幂的运算；④整式运算法则⑤分解因式3、注意事项：小结时可以采取师生问答、组内互相问答、默写等形式落实基础知识。

第2讲 整式的运算与因式分解

考点02 整式与因式分解【无答案】

第2讲 整式与因式分解

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