第2讲 整式的运算与因式分解

第2讲整式的运算与因式分解

一、选择题

1.(2017济宁)单项式9x m y3与单项式4x2y n是同类项,则m+n的值是( D )

(A)2 (B)3 (C)4 (D)5

解析:根据“含有相同字母,相同字母的指数相同的单项式是同类项”,因为单项式9x m y3与单项式4x2y n是同类项,所以m=2,n=3,则m+n=5. 故选D.

2.(2017泸州)下列各式计算正确的是( B )

(A)2x·3x=6x (B)3x-2x=x

(C)(2x)2=4x (D)6x÷2x=3x

解析:2x·3x=6x2,故A错误;3x-2x=x,故B正确;(2x)2=4x2,故C错误;6x÷2x=3,故D错误.故选B.

3.(2017宁夏)如图,从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形,将阴影部分沿虚线剪开,拼成右边的矩形,根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是( D )

(A)(a-b)2=a2-2ab+b2

(B)a(a-b)=a2-ab

(C)(a-b)2=a2-b2

(D)a2-b2=(a+b)(a-b)

解析:用两种不同的方式表示阴影部分的面积,从左图看,是边长为a 的大正方形减去边长为b的小正方形,阴影面积是a2-b2;从右图看,是一个长为(a+b),宽为(a-b)的长方形,面积是(a+b)(a-b),所以a2-b2= (a+b)(a-b).故选D.

二、填空题

4.(2017青海)若单项式2x2y m与-x n y4可以合并成一项,则n m=

16 .

解析:由题意知2x2y m与-x n y4是同类项,

∴m=4,n=2,则n m=24=16.

5.(2017安顺)若代数式x2+kx+25是一个完全平方式,则k=

±10 .

解析:∵代数式x2+kx+25是一个完全平方式,

∴k=±10.

6.(2017南通)已知x=m时,多项式x2+2x+n2的值为-1,则x=-m时,该多项式的值为 3 .

解析:当x=m时,m2+2m+n2=-1,

则(m+1)2+n2=0,

∴m+1=0,n=0.∴m=-1,n=0.

则x=-m=-(-1)=1时,

x2+2x+n2=1+2+0=3.

7.因式分解:

(1)mx2-4m= m(x+2)(x-2) ;

(2)a2b-4ab+4b= b(a-2)2;

(3)x2-2x+(x-2)= (x+1)(x-2) .

解析:(1)mx2-4m=m(x2-4)=m(x2-22)

=m(x+2)(x-2).

(2)a2b-4ab+4b=b(a2-4a+4)=b(a-2)2.

(3)x2-2x+(x-2)=x(x-2)+(x-2)

=(x-2)(x+1).

三、解答题

8.(1)(2017重庆)计算:(x+y)2-x(2y-x);

(2)(2017宁波)先化简,再求值:(2+x)(2-x)+(x-1)(x+5),其中x=. 解:(1)(x+y)2-x(2y-x)=x2+2xy+y2-2xy+x2=2x2+y2.

(2)(2+x)(2-x)+(x-1)(x+5)=4-x2+x2+4x-5=4x-1,

当x=时,原式=4×-1=5.

9.(2017河北)发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数.

验证(1)(-1)2+02+12+22+32的结果是5的几倍?

(2)设五个连续整数的中间一个为n,写出它们的平方和,并说明是5的倍数.

延伸任意三个连续整数的平方和被3除余数是几呢?请写出理由.

解:验证(1)∵(-1)2+02+12+22+32=1+0+1+4+9=15=5×3,∴结果是5的3倍.

(2)若五个连续整数的中间一个为n,则其他4个依次为n-2,n-1,n+1, n+2,则其平方和为(n-2)2+(n-1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2=5n2+10=5(n2+2),∵n为整数,∴这个和一定是5的倍数.

延伸余数是2.理由如下:

若中间一个数为n,则(n-1)2+n2+(n+1)2=3n2+2,故被3除余2.

10.(2017贵阳)下面是小颖化简整式的过程,仔细阅读后解答所提出的问题.

解:x(x+2y)-(x+1)2+2x

=x2+2xy-x2+2x+1+2x第一步

=2xy+4x+1第二步

(1)小颖的化简过程从第步开始出现错误;

(2)对此整式进行化简.

解:(1)一

(2)x(x+2y)-(x+1)2+2x=x2+2xy-(x2+2x+1)+2x

=x2+2xy-x2-2x-1+2x

=2xy-1.

11.(2017湘潭)由多项式乘法:(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,将该式从

右到左使用,即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式:x2+ (a+b)x+ab=(x+a)(x+b).

实例:分解因式:x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3).

(1)尝试:分解因式:x2+6x+8=(x+ )(x+ );

(2)应用:请用上述方法解方程:x2-3x-4=0.

解:根据十字相乘法的定义求解.

(1)x2+6x+8=(x+2)(x+4).

(2)x2-3x-4=(x-4)(x+1)=0,

所以x-4=0或x+1=0,即x=4或x=-1.