初二数学培优之直角三角形

初二数学培优之直角三角形

阅读与思考

直角三角形是一类特殊三角形，有以下丰富的性质： 角的关系：两锐角互余；

边的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和；

边角关系：30所对的直角边等于斜边的一半.

这些性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面.

在现阶段，勾股定理是求线段的长度的主要方法，若图形缺少条件直角条件，则可通过作辅助垂线的方法，构造直角三角形为勾股定理的应用创造必要条件；运用勾股定理的逆定理，通过代数方法计算，也是证明两直线垂直的一种方法.

熟悉以下基本图形基本结论：

例题与求解

【例l 】（1）直角△ABC 三边的长分别是x ，1x 和5，则△ABC 的周长＝_____________.△ABC 的面积＝_____________.

（2）如图，已知Rt △ABC 的两直角边AC ＝5，BC ＝12，D 是BC 上一点，当AD 是∠A 的平分线时，则CD ＝_____________.

D

C

（太原市竞赛试题）

解题思路：对于（1），应分类讨论；对于（2），能在Rt △ACD 中求出CD 吗？从角平分线性质入手.

【例2】如图所示的方格纸中，点A ，B ，C ，都在方格线的交点，则∠ACB ＝（ ） A.120° B.135° C.150° D.165°

（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：方格纸有许多隐含条件，这是解本例的基础.

【例3】如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC＝2PB，已知∠ABC＝45°，∠APC ＝60°，求∠ACB的度数.

B C

（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：不能简单地由角的关系推出∠ACB的度数，综合运用条件PC＝2PB及∠APC ＝60°，构造出含30°的直角三角形是解本例的关键.

【例4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，分别以AB，AC为边在△ABC的外侧作等边△ABE和等边△ACD，DE与AB交于F，求证：EF＝FD.

B

A C

（上海市竞赛试题）解题思路：已知FD为Rt△FAD的斜边，因此需作辅助线，构造以EF为斜边的直角三角形，通过全等三角形证明.

【例5】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝CD，求证：222

+=

BD AB BC

B

（北京市竞赛试题）解题思路：由待证结论易联想到勾股定理，因此，三条线段可构成直角三角形，应设法将这三条线段集中在同一三角形中.

【例6】斯特瓦尔特定理：

如图，设D 为△ABC 的边BC 上任意一点，a ，b ，c 为△ABC 三边长，则

222

b BD

c DC AD BD DC a

+=-⋅.请证明结论成立.

B

解题思路：本题充分体现了勾股定理运用中的数形结合思想.

能力训练

A 级

1.如图，D 为△ABC 的边BC 上一点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，则BC ＝_____________.

第1题

2.如图，在Rt △ABC 中∠C ＝90°，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，DE 是斜边AB 的垂直平分线，且DE ＝1cm ，则AC ＝_____________cm.

第2题

3.如图，四边形ABCD 中，已知AB ∶BC ∶CD ∶DA ＝2∶2∶3∶1，且∠B ＝90°，则∠DAB ＝_____________.

第3

题

A

B

C

（上海市竞赛试题）

4.如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝13，边BC 上的中线AD ＝6，则BC 的长为

_____________.

第4题

D B

（湖北省预赛试题）

5.如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30 º，那么这个三角形的形状是（ ）

A.直角三角形

B. 钝角三角形

C. 锐角三角形

D.不能确定

（山东省竞赛试题）

6.如图，小正方形边长为1，连结小正方形的三个顶点可得△ABC ，则AC 边上的高为（ ）

B.

C.

D. 第6题

C

B

（福州市中考试题）

7.如图，一个长为25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑（ ）

A. 15分米

B. 9分米

C. 8分米

D. 5分米

第7

题

8.如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝4，AD ＝5，那么

BC

CD

等于（ ） A.1 B. 2

C.

D.

5

4

第8题

A

9. 如图，△ABC 中，AB ＝BC ＝CA ，AE ＝CD ，AD ，BE 相交于P ，BQ ⊥AD 于Q ，求证：BP ＝2PQ.

D

C

（北京市竞赛试题）

10. 如图，△ABC 中，AB ＝AC.

（1）若P 是BC 边上中点，连结AP ，求证：22BP CP AB AP ⋅=-

（2）P 是BC 边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）若P 是BC 边延长线上一点，线段AB ，AP ，BP ，CP 之间有什么样的关系？请证明你的结论.

B

P

11.如图，直线OB 是一次函数2y x =图象，点A 的坐标为（0，2），在直线OB 上找点C ，使得△ACO 为等腰三角形，求点C 的坐标.

12.已知：如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在C '处，BC '交AD 于E ，AD ＝8，AB ＝4，求△BED 的面积.