考研数学高数资料—无条件极值
多元函数的无条件极值和条件极值
多元函数的无条件极值和条件极值多元函数的无条件极值和条件极值在数学中是重要的概念。
它们帮助我们确定函数的最大值和最小值，并在优化问题中起到关键作用。
在本文中，我们将介绍无条件极值和条件极值的概念，以及如何找到它们。
首先，我们来看无条件极值。
一个多元函数的无条件极值是指在整个定义域上的最大值和最小值。
换句话说，无论函数在哪个点取值，它们的值都是最大或最小的。
要找到一个函数的无条件极值，我们可以使用多元微积分中的极值判定法。
举个例子，假设有一个二元函数 f(x, y) = x^2 + y^2。
我们想要找到这个函数的无条件极值。
首先，我们计算函数关于 x 和 y 的偏导数，分别是∂f/∂x = 2x 和∂f/∂y = 2y。
然后，我们令这两个偏导数等于零，并解方程组。
解得 x = 0 和 y = 0。
将这些解代入原函数 f(x, y) = x^2 + y^2，我们得到 f(0, 0) = 0。
所以，函数 f(x, y) = x^2 + y^2 在点 (0, 0) 上取得无条件极小值，即最小值为 0。
接下来，让我们来看条件极值。
条件极值是指在给定一组条件下的最大值和最小值。
在求解条件极值时，我们需要使用拉格朗日乘数法。
这个方法允许我们将约束条件纳入考虑，并找到函数在满足约束条件的情况下的最优解。
假设有一个条件极值的例子，我们要最小化函数 f(x, y) = x^2+ y^2，同时满足约束条件 g(x, y) = x + y = 1。
首先，我们定义一个拉格朗日函数L(x, y, λ) = f(x, y) - λg(x, y)，其中λ 是拉格朗日乘子。
然后，我们计算L(x, y, λ) 关于 x、y 和λ 的偏导数，并将它们都设为零。
解方程组后，得到 x = 1/2、y = 1/2 和λ = -2。
接下来，我们将这些解代入函数 f(x, y) = x^2 + y^2 中，得到f(1/2, 1/2) = 1/2。
无条件极值判别式
无条件极值判别式
无条件极值的判别方法有多种，其中一种常用的方法是判别式法。
这种方法基于一元函数极值的必要条件，通过构建判别式来判定极值的存在性。
具体步骤如下：
1.计算一元函数的导数，得到f'(x)。
2.计算二阶导数，得到f''(x)。
3.构建判别式Δ=b²-4ac，其中a=f''(x)，b=f'(x)，c=-f'(x)。
4.根据判别式的值进行判断：
o当Δ>0时，存在极小值；
o当Δ<0时，不存在极值；
o当Δ=0时，需要进一步分析。
通过这种方法，可以判断一元函数是否存在无条件极值，以及极值的具体位置。
对于多元函数，无条件极值的判别方法更加复杂，需要使用梯度向量和海森矩阵等工具进行判断。
考研数学-专题14多元函数极值与最值
在 (0,3) 点
AC − B2 = −9 < 0, 无极值;
在 (3,0) 点
AC − B2 = −9 < 0, 无极值;
在 (1,1) 点
AC − B2 = 3 > 0, 有极值.
故应选(D).
【例 2】设函数 f (x) ， g(x) 均有二阶连续导数，满足 f (0) > 0 ， g(0) < 0 ，且 f ′(0)
【解】
⎧ ⎨ ⎩
z z
x y
= =
y(3 x(3
− −
2x 2y
− −
y) x)
= =
0 0
(0,0), (0,3), (3,0), (1,1). 都满足上式.
zxx = −2 y, zyy = −2x, zxy = 3 − 2x − 2 y.
在 (0,0) 点
AC − B2 = −9 < 0, 无极值;
【例 3】 已知函数 z = f (x, y) 的全微分 dz = (ay − x2)dx + (ax − y2)dy, (a > 0) ，则函数
f (x, y)
(A)无极值点；
(B)点 (a, a) 为极小值点；
(C)点 (a, a) 为极大值点；
(D)是否有极值点与 a 的取值有关。
【解】由 dz = (ay − x2)dx + (ax − y2)dy 知， ∂z = ay − x2, ∂z = ax − y2
专题 14：多元函数的极值与最值
（一）无条件极值
定义 设函数 z = f (x, y) 在点 P(x0, y0 ) 的某邻域内有定义，若对该邻域内任 意的点 P(x, y) 均有
f (x, y) ≤ f (x0, y0 ) （或 f (x, y) ≥ f (x0, y0 ) ）， 则称 (x0, y0 ) 为 f (x, y) 的极大值点（或极小值点）；称 f (x0, y0 ) 为 f (x, y) 的极大
考研高等数学D5极值与最值
• 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的 可疑点是否为最大 值点或最小值点 .
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例3. 求函数 上的最大值和最小值 . 解: 显然
3 2
在闭区间
且
1 2
5 2
x0 (2 x 9 x 12 x) , 1 4 3 2 51 2 x 9 x 12 x , 0 x 4 2
x3 不是极值点
o a x1 x2 x3 x4
x5 b
x
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定理 1 (极值第一判别法)
设函数 f ( x) 在 x0 的某邻域内连续 , 且在空心邻域 内有导数, 当x由小到大通过 x0 时, (1) f ( x) “左正右负” ,则 f ( x) 在 x0 取极大值 .
(2) 类似可证 .
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例2. 求函数 解: 1) 求导数
的极值 .
f ( x) 6 x ( x 2 1) 2 ,
f ( x) 6 ( x 2 1)(5 x 2 1)
2) 求驻点 令 f ( x) 0 , 得驻点 x1 1, x2 0 , x3 1 3) 判别
~ 定理3 的条件.
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二、最大值与最小值问题
则其最值只能
在极值点或端点处达到 .
求函数最值的方法: (1) 求 在 内的极值可疑点
(2) 最大值
M max
最小值
f (a) , f (b)
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无条件极值点
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考研用到的高数基础知识
考研用到的高数基础知识高等数学是考研数学的重要部分，那些重点难点在下文中均有讲述，复习要掌握好一些基础知识. 考研必备高数基础知识在下文列出.第一章函数、极限与连续1、函数的有界性2、极限的定义(数列、函数)3、极限的性质(有界性、保号性)4、极限的计算(重点)(四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、泰勒公式、重要极限、单侧极限、夹逼定理及定积分定义、单调有界必有极限定理)5、函数的连续性6、间断点的类型7、渐近线的计算第二章导数与微分1、导数与微分的定义(函数可导性、用定义求导数)2、导数的计算(“三个法则一个表”：四则运算、复合函数、反函数，基本初等函数导数表;“三种类型”：幂指型、隐函数、参数方程;高阶导数)3、导数的应用(切线与法线、单调性(重点)与极值点、利用单调性证明函数不等式、凹凸性与拐点、方程的根与函数的零点、曲率(数一、二))第三章中值定理1、闭区间上连续函数的性质(最值定理、介值定理、零点存在定理)2、三大微分中值定理(重点)(罗尔、拉格朗日、柯西)3、积分中值定理4、泰勒中值定理5、费马引理第四章一元函数积分学1、原函数与不定积分的定义2、不定积分的计算(变量代换、分部积分)3、定积分的定义(几何意义、微元法思想(数一、二))4、定积分性质(奇偶函数与周期函数的积分性质、比较定理)5、定积分的计算6、定积分的应用(几何应用：面积、体积、曲线弧长和旋转面的面积(数一、二)，物理应用：变力做功、形心质心、液体静压力)7、变限积分(求导)8、广义积分(收敛性的判断、计算)第五章空间解析几何(数一)1、向量的运算(加减、数乘、数量积、向量积)2、直线与平面的方程及其关系3、各种曲面方程(旋转曲面、柱面、投影曲面、二次曲面)的求法第六章多元函数微分学1、二重极限和二元函数连续、偏导数、可微及全微分的定义2、二元函数偏导数存在、可微、偏导函数连续之间的关系3、多元函数偏导数的计算(重点)3、方向导数与梯度5、多元函数的极值(无条件极值和条件极值)6、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线第七章多元函数积分学(除二重积分外，数一)1、二重积分的计算(对称性(奇偶、轮换)、极坐标、积分次序的选择)2、三重积分的计算(“先一后二”、“先二后一”、球坐标)3、第一、二类曲线积分、第一、二类曲面积分的计算及对称性(主要关注不带方向的积分)4、格林公式(重点)(直接用(不满足条件时的处理：“补线”、“挖洞”)，积分与路径无关，二元函数的全微分)5、高斯公式(重点)(不满足条件时的处理(类似格林公式))6、斯托克斯公式(要求低;何时用：计算第二类曲线积分，曲线不易参数化，常表示为两曲面的交线)7、场论初步(散度、旋度)第八章微分方程1、各类微分方程(可分离变量方程、齐次方程、一阶线性微分方程、伯努利方程(数一、二)、全微分方程(数一)、可降阶的高阶微分方程(数一、二)、高阶线性微分方程、欧拉方程(数一)、差分方程(数三))的求解.2、线性微分方程解的性质(叠加原理、解的结构)3、应用(由几何及物理背景列方程)第九章级数1、收敛级数的性质(必要条件、线性运算、“加括号”、“有限项”)2、正项级数的判别法(比较、比值、根值，p级数与推广的p级数)3、交错级数的莱布尼兹判别法4、绝对收敛与条件收敛5、幂级数的收敛半径与收敛域6、幂级数的求和与展开7、傅里叶级数(函数展开成傅里叶级数，狄利克雷定理)考研高数怎样学?考研数学考三个科目，分别为高等数学、线性代数、概率论与数理统计. 但是备考数学的考生们总喜欢从高数开始复习，这是为什么呢?原因有二：其一，高等数学在试卷中所占分值最高，达整张卷面分值的百分之五十六，而且难度也居三科之首. 其二，科目之间的先后联系导致先复习高数.线性代数和概率论与数理统计，尤其是概率论与数理统计是以高数为基础的学科，不学高数难以很明白的学习后继学科，大学数学在课程设置上也是按次顺序进行，可见其科学性.为了更好的了解考研高等数学这一科目，在复习它之前我们应该了解一下它的知识体系是很有必要的. 这样我们可以有一个全局观，能清晰的知道每一章节之间的联系和侧重点.高等数学从大的方面分为一元函数微积分和多元函数微积分.一元微积分中包括极限、导数、不定积分、定积分;多元函数微积分包括多元函数微分学(主要是二元函数)和多元函数积分学. 另外还有微分方程和级数，这两章内容可看成是微积分的应用.除此之外还有向量代数与空间解析几何. 其中数一单独考查的内容为向量代数与空间解析几何和多元函数积分学中的三重积分、曲线积分、曲面积分，另外是数一数二数三公共部分，公共部分中也有一些细微差别，下面我们分章去介绍.一、一元微积分1.极限极限是高等数学中非常重要的一章，此概念贯穿整个高等数学始末，导数、定积分、偏导数、多元函数积分、级数等概念都是用极限来定义的.正是有了极限的概念数学才从有限升华到无限，这也是高等数学与初等数学的分水岭. 在考研数学中极限也是每年必考的内容，直接考查的分值高达14-18分.2.倒数有了极限的概念，那么导数的概念就有了理论根基，导数是一元函数微分学的灵魂，在考研中这章是重点，每年必考，而且灵活性和综合性较强. 这一章可从导数微分概念、计算、应用、中值定理三方面学复习.3.不定时积分不定积分本质上是求导的逆运算，本章重点是计算，其重要性怎样描述都不为过. 因为积分是决定高数学习成败的一个关键章节，后继章节如定积分、二重积分、三重积分、曲线曲面积分、微分方程中都会用到.4.定积分定积分是微积分所说的积分，除了掌握基本概念，还要掌握其计算相关内容及定积分的应用，每年必考. 微分方程本质上还是不定积分的计算. 二、多元微积分多元函数的微积分体系上与一元类似，微分学包括基本概念(二重极限、偏导数、可微)、偏导数计算、偏导数应用.多元函数积分学包括二重积分、三重积分、曲线曲面积分，考试重点在计算，属于每年必考题目. 最后一章级数包括三部分常数项级数(主要考查敛散性判别)，幂级数(主要考查展开与求和)、傅里叶级数(数一单独考查)，本章也属必考内容.►高数该怎样学?虽然考研数学考查的知识点比较多，但是考查各个学科的内容层次却很清晰，想要在有限的时间内快速的掌握各学科知识，就必须要抓住主干知识，突出考试重点，注重知识点之间的联系和综合，做到有的放矢.由于高等数学的主干知识是微分学和积分学，所以一元函数微积分和多元函数微积分就是我们考试考查的重点知识，在复习备考的过程中必须对该部分知识点做到熟练自如，了然于胸. 同时极限作为微积分的理论基础，贯穿于整个高等数学知识体系中，因此极限的计算就显得尤为重要了. 最后研究生入学考试毕竟是为国家选拔人才而设置的，为了考查大家对知识的综合运用能力，知识点间的联系必须非常清楚，尤其是要掌握微分、积分与微分方程，无穷级数的内在联系，这样才能预测哪些知识可以结合起来来命制大题，做到心中有数.考研数学怎样自学成功?(一)抓住主干，突破重点，注重综合虽然考研数学考查的知识点比较多，但是考查各个学科的内容层次却很清晰，想要在有限的时间内快速的掌握各学科知识，就必须要抓住主干知识，突出考试重点，注重知识点之间的联系和综合，做到有的放矢. 以高等数学为例，由于高等数学的主干知识是微分学和积分学，所以一元函数微积分和多元函数微积分就是我们考试考查的重点知识，在复习备考的过程中必须对该部分知识点做到熟练自如，了然于胸.同时极限作为微积分的理论基础，贯穿于整个高等数学知识体系中，因此极限的计算就显得尤为重要了. 最后研究生入学考试毕竟是为国家选拔人才而设置的，为了考查大家对知识的综合运用能力，知识点间的联系必须非常清楚，尤其是要掌握微分、积分与微分方程，无穷级数的内在联系，这样才能预测哪些知识可以结合起来来命制大题，做到心中有数.(二)注重联想记忆，筑起框架体系由于考试时间紧，复习任务重，知识点零散，很多知识都是会了但过了一段时间又忘了，想要做到长效记忆，就必须注重联想记忆，建立知识框架体系. 以线性代数为例，线性代数作为一门全新的学科，知识点分散，概念抽象，性质定理众多，如何快速的掌握所有考试要求的知识，这就需要我们先筑起知识框架，建立知识点间的联系，看到任何一个概念的时候都要多去发散，联想出跟它相关的所有知识点.比如当我们看到实对称矩阵的时候，我们就要想到实对称矩阵的三条重要性质：①实对称矩阵的特征值为实数，它主要应用于已知一个关于方阵A的矩阵方程去求矩阵A的特征值;②实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交，它在考试中应用的非常频繁，基本题目出现实对称矩阵八九不离十就是要利用这条性质;③实对称矩阵必能相似对角化，它主要用来判断一个矩阵是否可以相似对角化的问题. 只要这样重复的联想记忆，你就会对所有的知识点形成条件反射，运用起来才会毫无障碍.(三)突出核心考点，加强题型训练根据考研数学考试历年命题规律，有些知识点考查的相当频繁，甚至于每年都考，对于这样的知识点我们应该予以重视，作为我们最后冲刺阶段主攻的地方，通过加强该部分知识点大量题型训练，总结对应的解题技巧和方法，从而实现对该知识点的突破.以概率论与数理统计为例，二维连续型随机变量是历年考试的重点，因此与该知识点相关的所有题型都要掌握，相关题型主要有：①已知联合概率密度求边缘概率密度、条件概率密度，进而求随机变量的数字特征;②已知联合概率密度求二维随机变量落在区域D内的概率;③判断两个随机变量是否独立等，通过对相关题型的大量训练，总结解题套路，我们就能攻克该知识点.考研数学总体复习计划基础阶段基础阶段的主要任务是复习基础知识，掌握基本解题能力. 主要工作是把课本上的重要公式、定理、定义概念等熟练掌握，将课本例题和习题研究透彻. 复习完基础知识之后要做课后习题，进行知识巩固，确保能够准确、深刻地理解每一个知识点.【切忌】1.先做题再看书.2.做难题. 这一阶段不易做难题. 难的题目往往会打击考生基础阶段复习的信心，即使答案弄懂了也达不到复习的效果.【复习建议】1.以教材中的例题和习题为主，不适宜做综合性较强的题目. 做习题时一定要把题目中的考点与对应的基础知识结合起来，达到巩固基础知识的目的，切忌为了做题而做题.2.在考研大纲出来之前，不要轻易放弃任何一个知识点. 在基础复习阶段放弃的知识点，非常有可能成为后期备考的盲点，到最后往往需要花更多的时间来弥补.3.准备一个笔记本，用来整理复习当中遇到过的不懂的知识点. 弄懂后，写上自己的理解，并且将一些易出错、易混淆的概念、公式、定理内容记录在笔记本上，定期拿出来看一下，避免遗忘出错.4.对于基本知识、基本定理和基本方法，关键在理解，并且存在理解程度的问题. 所以不能仅仅停留在“看懂了”的层次上. 对一些易推导的定理，有时间一定要动手推一推;对一些基本问题的描述，特别是微积分中的一些术语的描述，一定要自己动手写一写. 这些基本功都很重要，到临场考试时就可以发挥作用了.PS：复习不下去的时候建议看看数学视频.【基础阶段复习教材】高数：同济版，讲解比较细致，例题难度适中，涉及内容广泛，是当前高校中采用比较广泛的教材，配套的辅导教材也很多.线代：同济版，轻薄短小，简明易懂，适合基础不好的学生;清华版，适合基础比较好的学生.概率论与数理统计：浙大版，基本的题型课后习题都有覆盖.强化阶段强化阶段的主要任务是建立完整的知识体系，提高综合解题能力.强化阶段的复习是提高考试成绩的关键，但是，如果没有基础阶段的知识储备，强化阶段的复习是很难取得良好效果的. 所以小伙伴们一定要注意，数学复习是环环相扣、步步承接的. 【强化阶段复习资料】以数学复习全书和历年考研数学真题为主. 要把考研中的题型归类练习，熟练掌握每一类题型的解题方法.(一)强化训练第一轮以题型与常考知识模块复习为主，通过练习测试巩固所学知识.【学习方法】1.使用教材配套的复习指导或习题集，通过做题巩固知识，遇到不会或似懂非懂的题目不要直接看参考答案，应当先温习教材相关章节，弄懂基本知识.2.按要求完成练习测试后，要留有一些时间对教材的内容进行梳理，对重点、难点做好笔记，以便之后的复习. 对于典型性、灵活性、启发性和综合性的题目要特别注重理解思路和技巧的培养.3.试题虽千变万化，知识结构却基本相同，题型也相对固定. 归纳题型与常考知识模块以便提高解题的针对性，进而提高解题速度和准确性.(二)强化训练第二轮通过综合基础题及考研真题来查漏补缺，训练解题速度.【需要做到】1.加大对综合题和应用题解题能力的训练，力求在解题思路上有所突破. 在综合题的解答中，迅速找到解题的切入点是关键，为此需要熟悉规范的解题思路，以便能够对做过的题目进行归纳分类、延伸拓展.2.在复习备考时对所学知识进行重组，搞清有关知识的纵向和横向联系，转化为自己掌握的东西. 应用题的解题步骤是认真理解题意，建立相关数学模型，如微分方程、函数关系、条件极值等，将其转化为某个数学问题求解.【注】基础阶段与强化阶段的终极目标是对考研数学内容建立一个知识网，熟练掌握考研各常见考试题型与解题方法.冲刺阶段强化阶段完成后，实际上考研数学的复习已经基本完成. 这个时候大家应该已经熟悉考研数学中的每一类题型以及对应的解题方法，而且已经具备较强的计算能力. 因此抽时间要做真题、模拟题培养考试状态，进入冲刺阶段的复习.【注意事项】冲刺阶段需要通过真题和模拟题的训练体验实战感觉，找到做题技巧并摸索出题特点，以便更利于临场发挥. 这一阶段要做到：1.要记忆，不要脱离教材. 对考研数学必需掌握的基本概念、公式、定理进行记忆，尤其是平时记忆模糊的公式，都需要重新回到教材找出原型来记忆.2.要总结、思考. 这一阶段不能搞题海战术，需要对上一轮复习中做过的历年真题和模拟题进行总结(包括理清基本的解题思路，对遗忘的知识点查漏补缺)3.要练习考研数学的套题. 坚持练套题到最后，手不能生. 最后阶段一定要做高质量的模拟题，尽量少做难题、偏题、怪题.【冲刺阶段复习资料】这一阶段的主要任务是查漏补缺，培养考试状态. 所以，建议的复习资料是基础阶段和强化阶段总结的复习笔记，历年真题与模拟题.。
2023考研数学高数重要知识点：极值与最值的求解方法
2023考研数学高数重要知识点：极值与最值的求解方法2023考研数学高数重要知识点：极值与最值的求解方法在数学中，极值和最值都是非常重要的概念。
简单来说，极值是指一个函数在某一点处的取值最大或最小，而最值则是指整个区间内的取值最大或最小。
在我们的学习和研究中，极值和最值的求解方法是必须要掌握的重要知识点。
今天，我们就来详细探讨一下2023考研数学高数重要知识点：极值与最值的求解方法。
一、极值的求解方法1. 一阶导数法我们可以通过求导数的方法来求解极值。
首先，我们需要计算出函数的一阶导数，然后让其等于零，求出函数的极值点。
接着，我们再利用二阶导数进行判断，确定是极大值还是极小值。
如何判断？设函数f(x) 在(x0,y0) 处取得极值，且在x0处可导，若f‘(x0) > 0，则 f(x) 在x0 处取得极小值；若f‘(x0) < 0，则f(x) 在x0 处取得极大值。
2. 二阶导数法在使用二阶导数法求解极值时，我们需要先求出函数的二阶导数。
然后，我们需要判断二阶导数的符号。
如果二阶导数大于零，则函数在该点处存在极小值；如果二阶导数小于零，则函数在该点处存在极大值。
如何判断？设函数f(x) 在(x0,y0) 处取得极值，且在x0处可导，若f‘‘(x0) > 0，则 f(x) 在x0 处取得极小值；若f‘‘(x0) < 0，则 f(x) 在x0 处取得极大值。
二、最值的求解方法1. 边界法最值的求解方法有很多种，其中比较简单的是边界法。
所谓边界法，是指在左右端点以及函数在区间上的极值点中，寻找最大值和最小值。
2 讨论法讨论法是最值问题中常用的方法。
对于一个函数f(x)，我们可以考虑：① 若有且仅有一极值点，则该点为极大值或极小值；② 若有多个极值点，则在这些极值点中，函数最大值和最小值一定存在其中；③ 若该函数在一定区间内无极值点，则函数最大值和最小值一定在区间的两个端点上。
三、总结以上就是2023考研数学高数重要知识点：极值与最值的求解方法。
无条件极值定义法
无条件极值定义法
无条件极值定义法是一种数学方法，用于确定函数的极小值或极大值，而不依赖于导数或其他条件。
这种方法通常用于在没有导数或其他约束条件的情况下找到函数的最值。
以下是无条件极值定义法的一般步骤：
1.确定极值范围：首先确定函数的定义域，确定在哪个区间
或范围内寻找极大值或极小值。
2.找到候选点：找到函数在给定范围内的所有可能的极值点，
包括内部点和边界点。
这可以通过观察函数图像或计算函
数在特定点的值来实现。
3.比较候选点：对于找到的所有候选点，比较它们的函数值，
找出最大值或最小值。
如果需要找到最大值，找到最大的
函数值；如果需要找到最小值，找到最小的函数值。
需要注意的是，无条件极值定义法可能只能找到局部的极值，而不能找到全局的极值。
如果需要找到函数在整个定义域内的全局最值，可能需要使用其他方法，如导数法、约束优化等。
另外，在使用无条件极值定义法时，也应注意函数是否连续、定义域是否有界以及是否存在间断点或不可导的点等特殊情况，这些因素可能会影响极值的存在和计算过程。
因此，在具体问题中，综合考虑各种因素并结合具体的数学工具选择最适合的方法是很重要的。
考研数学高数资料—无条件极值
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模块十四多元函数微分学的应用
1设D 0P 的点(),x y .
2(1定理：0,)0y =.
(2定理：，又设0(,x f x y '（1）若20AC B ->，则函数(,)z f x y =在00(,)x y 点具有极值.当0A >时取得极小值；当0A <时取得极大
值.
（2）若2
0AC B -<，则函数(,)z f x y =在00(,)x y 点不能取到极值.
（3）若20AC B -=，则函数(,)z f x y =在00(,)x y 点可能有极值，也可能没有极值.
【例1】：设可微函数(,)u f x y =在点00(,)x y 取得极小值，则下列结论中正确的是（）. ()A 0(,)f x y 在0y y =处的导数等于0
()B 0(,)f x y 在0y y =处的导数大于0
()C 0(,)f x y 在0y y =处的导数小于0
()D 0(,)f x y 在0y y =处的导数不一定存在
答案：().A
【例2】：设函数(,)z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点(0,0).
()A
()C 是z 答案：(【例3（1）f 答案：（【例4答案：【例5.。
考研高数求极值方法精辟解法
二、函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x )在点 x0 处具有导数,且 在 x0 处取得极值, 那末必定 f ' ( x0 ) 0. 定义 使导数为零的点 (即方程 f ( x ) 0 的实根)叫
做函数 f ( x ) 的驻点.
注意: 可导函数 f ( x) 的极值点必定是它的驻 点,
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例1 求出函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值. 解
2 f ( x ) 3 x 6 x 9 3( x 1)( x 3)
令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 列表讨论
x
f ( x )
f ( x ) x 3 3 x 2 24 x 20 图形如下
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M
m
注意: f ( x0 ) 0时, f ( x )在点x0处不一定取极值 ,
仍用定理2.
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注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.
例3 解
求出函数 f ( x ) 1 ( x 2) 的极值.
第五节
函数的极值及其求法
一、函数极值的定义 二、函数极值的求法
三、小结 思考题
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一、函数极值的定义
y
y f ( x)
ax
y
1
o
x2
x3
x4
x5
x6
b
x
y
o
x0
x
o
x0
x
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定义
设函数f ( x)在区间(a, b)内有定义, x0是
(a, b)内的一个点 ,
极值的方法与技巧(1)
求极值的方法与技巧极值一般分为无条件极值和条件极值两类。
无条件极值问题即是函数中的自变量只受定义域约束的极值问题；条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外，还受其他条件限制的极值问题。
一、求解无条件极值的常用方法1．利用二阶偏导数之间的关系和符号判断取不取极值及极值的类型定理1(充分条件) 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, 又f x (x 0, y 0)=0, f y (x 0, y 0)=0, 令f xx (x 0, y 0)=A , f xy (x 0, y 0)=B , f yy (x 0, y 0)=C ,则f (x , y )在(x 0, y 0)处是否取得极值的条件如下：(1) AC -B 2>0时具有极值, 且当A <0时有极大值, 当A >0时有极小值； (2) AC -B 2<0时没有极值；(3) AC -B 2=0时可能有极值, 也可能没有极值。
极值的求法：第一步 解方程组f x (x , y )=0, f y (x , y )=0, 求得一切实数解, 即可得一切驻点。
第二步 对于每一个驻点(x 0, y 0), 求出二阶偏导数的值A 、B 和C 。
第三步 定出AC -B 2的符号, 按定理1的结论判定f (x 0, y 0)是否是极值、是极大值 还是极小值。
应注意的几个问题：⑴对于二元函数z =f (x , y ),在定义域内求极值这是一个比较适用且常用的方法, 但是这种方法对三元及更多元的函数并不适用；⑵AC -B 2=0时可能有极值, 也可能没有极值，还需另作讨论；⑶如果函数在个别点处的偏导数不存在，这些点当然不是驻点，但也可能是极值点，讨论函数的极值问题时这些点也应当考虑。
例1求函数2222()()xy z x y e -+=+的极值。
解 令222222()22()2(1)02(1)0x y x y z x x y e xz y x y e y -+-+∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩得驻点(0,0)及22 1.x y +=又由22222222()2[2(13)4(1)]x y zy x x x y e x-+∂=-----∂22222()4(2)x y zxy x y e x y-+∂=---∂∂22222222()2[2(13)4(1)]x y zx y y x y e y-+∂=-----∂22(0,0)2,z A x∂==∂ 2(0,0)0,zB x y∂==∂∂ 22(0,0)2zC y∂==∂240,0B AC A ∆=-=-<> 故(0,0)0f =为极小值。
无条件极值讲义版
f x = 2 x − 2 y = 0, f y = − 2 x + 2 = 0 求得 f 在 D 内部的唯一驻点 (1, 1), 且 f (1, 1) = 1. y 其次求函数 f ( x , y ) 在 L 3 D 的边界上的最大值 (3,2) (0,2) 和最小值 . 如图所示 . L4 L2 D 区域 D 的边界包含四 L1 (3,0) x (0,0) 条直线段 L1 , L2 , L3 , L4 .
y
(0,2)
L3
(3,2)
L4
(0,0)
D
L2
(3,0) x
L1
f ( 3, 0 ) = 9,
最小值为 f (0,0) = 0.
例4
2 求函数 f ( x , y ) = x − 2 xy + 2 y 在矩形域
D = {( x , y ) | 0 ≤ x ≤ 3,0 ≤ y ≤ 2}
上的最大值和最小值. 易得最大值、最小值分别为 解 同样在 L2 和 L4 上 f 也是单调的一元函数,
§6 无条件极值
教学目的与要求： (1) 能够根据二元函数的极值的必要条件与 充分条件寻找二元函数的极值与最大(小)值． (2) 掌握二元函数的极值的必要条件 充分条件定理的证明． 教学重点，难点： 重点：二元函数的极值的必要条件与充分条件 难点：判别二元函数的极值问题
y
y = f ( x)
ax
y
最小值 f ( 2, 2) = 0.
2 2 3 f ( x , y ) = 3 x + 3 y − x 在区域 例5 求函数 2 2 D : x + y ≤ 16 上的最小值. 解 先求 f ( x , y ) 在 D 内的极值. 由 2 ′ f x ( x , y ) = 6 x − 3 x , f y′ ( x , y ) = 6 y ,
无条件极值
无条件极值
无条件极值：函数中的自变量只受定义域约束。
无条件极值：不存在条件极值点。
无条件极值：应用于一元函数。
一元无条件极值，顾名思义，就是只有一个自变量的函数，求下面函数的极值问题，一般极值问题分两种，一种是通过单调性判别极值，另一种就是通过无条件极值，相当于公式,一元无条件极值用的就是第二充分条件。
一元函数的极值，首先对方程的两边对x求一阶导数，再令函数的一阶导为0求得驻点，再次对函数进行求导，得到有二阶导数的方程，然后将一阶导数等于0和驻点带入，求得二阶导数具体数值，当二阶导数大于0为极小值点，当二阶导数小于0为极大值点。
多元函数求取无条件极值在工程应用中很多,在一些化学试剂的配方也常常使用。
数学分析ch12-6无条件极值
0, 5y4
0.yຫໍສະໝຸດ 求得驻点 (0,0) 。再计算二阶偏导数，
2 f 2, 2 f 4y, 2 f 4x 12y2 20y3 ，
其次，偏导数不存在的点也可能是极值点。如柱面方程 f (x, y) | x | ，整个 y 轴上的每一点 (0, y) 都是 f 的极小值点。但在 y 轴上 的任一点 (0, y) 处， f 关于 x 的偏导数都不存在（见图 12.6.2）。
z
O
y
x
图 12.6.2
那么，要加上什么条件才能保证驻点是极值点呢？我们先对二元
2 f 2y, 2 f a 2x 2y, 2 f 2x ，
x 2
xy
y 2
得到计算结果
A
B
C
H
( 0,0)
0
a
0
a2
(a,0)
0
a
2a
a2
(0, a)
2a
a
0
a2
a , a
2a
a
2a
1 a2
3 3
3
3
3
3
从表中可以看出， (0,0), (a,0) 和 (0, a) 都不是 f 的极值点。而在
a , a 点处，当 a 0 时，f a , a a3 为极大值；当 a 0时，f a , a a3
3 3
3 3 27
3 3 27
为极小值。
例 12.6.2 讨论 f (x, y) x2 2xy 2 y 4 y5 的极值。 解 解方程组
f
x f
2x 2y2 4xy 4 y3
那么
A H
B AC B2 ，
BC
（1）若 H 0 ： A 0时 f (x0 , y0 ) 为极小值； A 0 时 f (x0 , y0 ) 为极大 值；
考研必看考研数学基础知识点梳理(高数篇)
考研数学基础知识点梳理(高数篇) 第一章函数、极限与连续1、函数的有界性2、极限的定义(数列、函数)3、极限的性质(有界性、保号性)4、极限的计算(重点)(四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、泰勒公式、重要极限、单侧极限、夹逼定理及定积分定义、单调有界必有极限定理)5、函数的连续性6、间断点的类型7、渐近线的计算第二章导数与微分1、导数与微分的定义(函数可导性、用定义求导数)2、导数的计算(“三个法则一个表”：四则运算、复合函数、反函数，基本初等函数导数表;“三种类型”：幂指型、隐函数、参数方程;高阶导数)3、导数的应用(切线与法线、单调性(重点)与极值点、利用单调性证明函数不等式、凹凸性与拐点、方程的根与函数的零点、曲率(数一、二)) 第三章中值定理1、闭区间上连续函数的性质(最值定理、介值定理、零点存在定理)2、三大微分中值定理(重点)(罗尔、拉格朗日、柯西)3、积分中值定理4、泰勒中值定理5、费马引理第四章一元函数积分学1、原函数与不定积分的定义2、不定积分的计算(变量代换、分部积分)3、定积分的定义(几何意义、微元法思想(数一、二))4、定积分性质(奇偶函数与周期函数的积分性质、比较定理)5、定积分的计算6、定积分的应用(几何应用：面积、体积、曲线弧长和旋转面的面积(数一、二)，物理应用：变力做功、形心质心、液体静压力)7、变限积分(求导)8、广义积分(收敛性的判断、计算)第五章空间解析几何(数一)1、向量的运算(加减、数乘、数量积、向量积)2、直线与平面的方程及其关系3、各种曲面方程(旋转曲面、柱面、投影曲面、二次曲面)的求法第六章多元函数微分学1、二重极限和二元函数连续、偏导数、可微及全微分的定义2、二元函数偏导数存在、可微、偏导函数连续之间的关系3、多元函数偏导数的计算(重点)4、方向导数与梯度5、多元函数的极值(无条件极值和条件极值)6、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线第七章多元函数积分学(除二重积分外，数一)1、二重积分的计算(对称性(奇偶、轮换)、极坐标、积分次序的选择)2、三重积分的计算(“先一后二”、“先二后一”、球坐标)3、第一、二类曲线积分、第一、二类曲面积分的计算及对称性(主要关注不带方向的积分)4、格林公式(重点)(直接用(不满足条件时的处理：“补线”、“挖洞”)，积分与路径无关，二元函数的全微分)5、高斯公式(重点)(不满足条件时的处理(类似格林公式))6、斯托克斯公式(要求低;何时用：计算第二类曲线积分，曲线不易参数化，常表示为两曲面的交线)7、场论初步(散度、旋度)第八章微分方程1、各类微分方程(可分离变量方程、齐次方程、一阶线性微分方程、伯努利方程(数一、二)、全微分方程(数一)、可降阶的高阶微分方程(数一、二)、高阶线性微分方程、欧拉方程(数一)、差分方程(数三))的求解2、线性微分方程解的性质(叠加原理、解的结构)3、应用(由几何及物理背景列方程)第九章级数(数一、数三)1、收敛级数的性质(必要条件、线性运算、“加括号”、“有限项”)2、正项级数的判别法(比较、比值、根值，p级数与推广的p级数)3、交错级数的莱布尼兹判别法4、绝对收敛与条件收敛5、幂级数的收敛半径与收敛域6、幂级数的求和与展开7、傅里叶级数(函数展开成傅里叶级数，狄利克雷定理)。
2025年考研数学微积分重点知识点
2025年考研数学微积分重点知识点微积分是考研数学中的重要内容，也是许多考生感到头疼的部分。
为了帮助大家更好地备考 2025 年考研数学，下面我们来梳理一下微积分中的重点知识点。
一、函数、极限与连续1、函数的概念和性质函数的定义、定义域、值域函数的单调性、奇偶性、周期性反函数、复合函数2、极限的概念和计算数列极限和函数极限的定义极限的性质和运算法则两个重要极限：lim(x→0) （sin x ／ x) ＝ 1 和lim(x→∞）（1 ＋1/x)＾x ＝ e无穷小量和无穷大量的概念及性质，无穷小量的比较3、函数的连续性函数连续的定义和间断点的类型连续函数的性质：有界性、最值定理、介值定理、零点定理二、导数与微分1、导数的概念导数的定义、几何意义可导与连续的关系2、求导法则基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数求导法则隐函数求导法则对数求导法3、高阶导数高阶导数的定义和计算常见函数的 n 阶导数4、微分的概念微分的定义、几何意义函数的微分与导数的关系三、中值定理与导数的应用1、中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理中值定理的应用：证明等式和不等式2、函数的单调性和极值利用导数判断函数的单调性函数的极值的定义和求法函数的最值的求法3、函数的凹凸性和拐点函数凹凸性的定义和判断方法拐点的定义和求法4、函数图形的描绘利用导数和函数的性质描绘函数的图形5、曲率和曲率半径曲率的定义和计算公式曲率半径的计算四、不定积分1、不定积分的概念和性质原函数和不定积分的定义不定积分的基本性质2、基本积分公式掌握常见函数的不定积分公式3、换元积分法第一类换元法（凑微分法）第二类换元法4、分部积分法五、定积分1、定积分的概念和性质定积分的定义、几何意义定积分的基本性质2、牛顿莱布尼茨公式利用牛顿莱布尼茨公式计算定积分3、定积分的换元法和分部积分法4、反常积分无穷限反常积分无界函数的反常积分5、定积分的应用求平面图形的面积求旋转体的体积求曲线的弧长六、多元函数微积分1、多元函数的概念和性质多元函数的定义、定义域、值域多元函数的偏导数和全微分多元函数的连续性和可微性2、多元函数的偏导数和全微分的计算3、多元复合函数和隐函数的求导法则4、多元函数的极值和条件极值无条件极值的求法条件极值的拉格朗日乘数法5、二重积分二重积分的概念和性质二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算6、三重积分三重积分的概念和性质三重积分在直角坐标系、柱坐标系和球坐标系下的计算七、无穷级数1、数项级数级数的收敛和发散的概念正项级数的审敛法：比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法交错级数的审敛法：莱布尼茨定理绝对收敛和条件收敛2、幂级数幂级数的概念和性质幂级数的收敛半径和收敛区间的求法函数展开成幂级数。
第14-1章 极值和条件极值隐函数
第十四章 极值和条件极值在工程技术领域，经常会遇到诸如用料最省、收益最大、效率最高等问题，尽管这些问题具体背景不同，但其实质是函数的极值问题，在单变元微积分学中，我们已经建立了一元函数的极值理论。
本章我们采用类似的思想，以二元函数为例，建立多元函数的极值理论。
§1 无条件极值一、基本概念：设),(y x f u =定义在区域D 上，D y x M ∈),(000。
定义1：若在0M 的某领域)(0M U 内成立：≤),(y x f ),(00y x f ，对任意(,)x y ∈)(0M U ，称),(y x f 在0M 点达到极大值),(00y x f ，点),(000y x M 称为),(y x f 的极大值点。
注：类似可定义极小值（点）。
注：极值是一个局部概念，且只有区域的内点才有可能成为极值点。
类似一元函数的极值理论，我们先建立极值点的必要条件。
设),(000y x M 为),(y x f 的极值点且设),(y x f 在),(000y x M 点的偏导数存在。
考虑一元函数),(0y x f ，则),(0y x f 在0x 点取得极值，因而：00(,)|x df x y dx=0， 由多元函数偏导数的定义，则0(,)|0M f x y x∂=∂。
类似：0(,)|0M f x y y∂=∂。
故，若0M 是极值点，则必有0(,)|M f x y x∂=∂0， 0(,)|0M f x y y ∂=∂。
定义2：若),(y x f 在),(000y x M 点的偏导数存在，且满足0(,)|M f x y x∂=∂0，0(,)|0M f x y y ∂=∂，称0M 为函数),(y x f 的驻点。
定理1：设),(y x f 在),(000y x M 点的偏导数存在，则点0M 是)(M f 的极值点的必要条件是0M 是)(M f 的驻点。
上述定理1给出了偏导数存在的条件下点),(000y x M 成为极值点的必要条件。
多元函数的无条件极值课件
故f (x0 )不是极小值.
综上,H f x0 (x x0)不定, f (x0)不是极值.
*(4)若H f (x0) 0半正定,则存在y n,s.t. yTH f (x0 ) y 0, y 1.
[否则, y n,yT H f (x0 ) y 0.记H f (x0 ) (aij ).令
(0, ),取x
x0
1 2
y,则
x x0
,且
f (x) f (x0 ) x x0 T H f x0 (x x0 ) x x0
1 2 yTH
4
f
x0
(x
x0 )
y
0.
故f (x0 )不是极大值.
13
同理,取x x0
1 z,则
2
x x0
,且
f (x) f (x0 ) 0.
f (x, y)
H f (0,0)
(0, 0)
x2 y3
2
0
0
0
半正定
不是f 的极值点
x2 y3
2
0
0 0
半负定
不是f 的极值点
Remark:求函数f 的极值,先求出f 的所有驻点,再逐 个判断他们是否为极值点.
18
4.例题 例1: x2 y2 z2 2x 2 y 4z 10 0确定隐函数
f
x0
(x
x0 )
(x x0 )T H f x0 (x x0 ) (x x0 )
11
f (x) f (x0 )
(x x0 )T H f x0 (x x0 ) (x x0 )
(1)若H f (x0)正定,则其各阶主子式都 0.由f 的二
阶连续可微性,存在 0,当 x x0 时,
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模块十四 多元函数微分学的应用
一、无条件极值
1、基本概念
设D 是二元函数(,)z f x y =的定义域，()000,P x y 是D 的内点，若存在0P 的邻域0()U P ，使得对任意异于0P 的点()0,()x y U P ∈均有()00,(,)f x y f x y <（或()00,(,)f x y f x y >），则称函数(,)z f x y =在点0P 处取得极大值（或极
小值），点0P 称为函数(,)z f x y =的极大值点（或极小值点），极大值点
与极小值点统称为极值点.
2、常用公式、定理
(1）极值的必要条件：
定理：设函数(,)z f x y =在00(,)x y 点具有偏导数，且在该点能够取到极值，则有0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==.
(2）极值的充分条件：
定理：设函数(,)z f x y =在00(,)x y 点的某邻域内具有连续的一阶及二阶偏导数，又设0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==.令
（1）若20AC B ->，则函数(,)z f x y =在00(,)x y 点具有极值.当0A >时
取得极小值；当0A <时取得极大值.
（2）若20AC B -<，则函数(,)z f x y =在00(,)x y 点不能取到极值.
（3）若20AC B -=，则函数(,)z f x y =在00(,)x y 点可能有极值，也可能没有极值.
【例1】：设可微函数(,)u f x y =在点00(,)x y 取得极小值，则下列结论中正确的是（）.
()A 0(,)f x y 在0y y =处的导数等于0
()B 0(,)f x y 在0y y =处的导数大于0
()C 0(,)f x y 在0y y =处的导数小于0
()D 0(,)f x y 在0y y =处的导数不一定存在
答案：().A
【例2】：设函数(,)z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点(0,0).
()A 不是(,)z f x y =的连续点；()B 不是(,)z f x y =的极值点
()C 是(,)z f x y =的极大值点；()D (,)z f x y =的极小值点
答案：().D
【例3】：计算下列函数的极值
（1）22(,)4()f x y x y x y =---；（2）222(,)(2).x f x y e x y y =++
答案：（1）8 极大值;（2）1515e 极小值.
【例4】：求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值.
答案：1e
-极小值.
【例5】：设函数()1cos y y z e x ye =+-，证明：函数(,)z f x y =有无穷多个极大值点，而无极小值点.
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