直线与圆的方程的应用
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一根支柱支撑 .求支柱 A2P2 的高度(精确到0.01;
其中 33? 5.745 )
业精于勤,荒于嬉,行成于思,毁于随
3
解: 如图，以 AB所在直线为 x轴，以 OP 所在直线为 y轴 建立直角坐标系
则A, B, P, P2的坐标分别为（? 10,0）, (10,0),(0,4), (?2, y2 ) 设圆弧所在的圆的方程为：x2 ? ( y ? b)2 ? r 2.代入B, P两点 坐标得：
4.2.1 直线与圆的方程的应用
龙游第二高级中学:梁银军
业精于勤,荒于嬉,行成于思,毁于随
1
直线与圆的方程在生产、 生活实践以及数 学中有着广泛的应用 ,本节课我们将通过几个例 子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几 何中的应用
业精于勤,荒于嬉,行成于思,毁于随
2
例1:如图是圆拱形桥一孔圆拱的示意图 .这个圆的圆 拱跨度 AB=20m,拱高OP=4m, 建造时每间隔 4m需要用
把（ 5， y 0）代入方程得： 5 2 ?（ y 0 ? 10 .5）2 ? 14 .5 2 因为 0 ? y 0 ? 4 .... 所以 y 0 ? 3 .1 ..... 因为 3 ? 3 . 1 答 : 该船可以通过拱桥。
业精于勤,荒于嬉,行成于思,毁于随
7
例2:已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直 , 求证:圆心到一边的距离等于这条边所对边长的 一半.
??02 ?（4 ? b）2 ? r 2 ???102 ? (0 ? b)2 ? r 2 解得：b ? ? 10.5, r 2 ? 14.52 所以，圆的方程是x2 ? ( y ? 10.5)2 ? 14.52
代入点P2 (?2, y2 )的坐标得： （? 2）2 ?（y2 ? 10.5）2 ? 14.52(0 ? y2 ? 4)
直线分别为 x轴， y轴，建立直角坐标系 .设
A(a ,0), B(0, b), C (c,0), D(0, d ).
分别作O1M ,O1N,O1E垂直于AC, BD, AD,垂足分别为M , N, E ,则它们分别是弦 AC, BD, AD的中点,则由中点坐标公式可得
xO1
?
xM
?
a
? 2
c , yO1
（1）建立适当的直角坐标系，用坐标，方程表 示问题中的量；
（2）通过代数运算，解决代数问题；
（3）把代数运算结果“翻译”成实际问题或几何 结论。
业精于勤,荒于嬉,行成于思,毁于随
11
课后作业：课本144页 练习：2、4
业精于勤,荒于嬉,行成于思,毁于随
12
业精于勤,荒于嬉,行成于思,毁于随
13
用坐标法解决几何问题的步骤 :
第一步: 建立适当的平面直角坐标系 ,用坐标和方程 表示问题中的几何元素 ,将平面几何问题转化为代数问 题; 第二步:通过代数运算 ,解决代数问题 ;
第三步 : 把代数运算结果“翻译”成几何结 论.
业精于勤,荒于嬉,行成于思,毁于随
10
课堂小结： 1、熟悉直线、圆的方程； 2、用坐标系解决实际、几何问题，以及它的解题步骤
解得：y2 ? 14.52 ? 4 ? 10.5 ? 14.36 ? 10.5 ? 3.86
答：支柱 A2 P2的高度业精约于为勤,荒于3嬉.8,行6 成m于. 思,毁于随
4
注意:(用坐标系解决实际问题 ) 1、建立适当的直角坐标系，将实际量转化成数学量； ２、利用数学知识解出所要求的数学量； ３、将数学量回归实际量，下结论。
业精于勤,荒于嬉,行成于思,毁于随
5
练习1:某圆拱桥的水面跨度是 20m,拱高4m.现有一 船,宽10m,水面以上高 3m,这条船能否从桥下通过 ?
(精确到0.1;其中 741 ? 27.22 )
分析:如图所示,要判断船能否通过拱桥 ,只需判断
A1 P1或 A2 P2的高度是否超过
3m
业精于勤,荒于嬉,行成于思,毁于随
分析 :
如图，选择互相垂直的 两条对角线所在的直线 为坐标轴。 本题关键是求出圆心 O1的坐标.过O1作AC、BD、AD的垂线, 垂足为M , N, E,则它们分别是AC、BD、AD的中点,垂足M 的横坐标与 O1的横坐标一致.同法可求出 O1的纵坐标.
业精于勤,荒于嬉,行成于思,毁于随
8
证明：
如图，以四边形 ABCD互相垂直的对角线 CA, BD所在
把 B (10 , 0 ), P ( 0 , 4 ) 代入方程可得
??10 2 ? b 2 ? r 2
??? 0 2
?
(4 ?
b)2
?
.......... r2
... 解得 b ? ? 10 .5 , r 2 ? 14 . 5 2
所以，圆的方程是：
x 2 ? ( y ? 10 .5 ) 2 ? 14 .5 2
6
解：
以表示水面跨度的AB所在直线作为x轴，以表示拱高的OP所在的直线
作为y轴建立直角坐标系，其中B, P, P1, P2,的坐标分别为（10,0）,(0,4),
(?5, y0 ),(5, y0 ),则船能否通过拱桥，只需比较y0与3的大小关系。
Fra Baidu bibliotek
设圆弧所在的圆的方程
为： x 2 ? ( y ? b ) 2 ? r 2
?
yN
?
b? d 2
, xE
?
a 2
,
yE
?
d 2
所以
| O1E |?
(a ? c ? a )2 ? (b ? d ? d )2 ? 1
22
22 2
b2 ? c2
又... | BC |? b2 ? c2
所以... | O1E |?
1 | BC | ..命题得证.
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业精于勤,荒于嬉,行成于思,毁于随
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其中 33? 5.745 )
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解: 如图，以 AB所在直线为 x轴，以 OP 所在直线为 y轴 建立直角坐标系
则A, B, P, P2的坐标分别为（? 10,0）, (10,0),(0,4), (?2, y2 ) 设圆弧所在的圆的方程为：x2 ? ( y ? b)2 ? r 2.代入B, P两点 坐标得：
4.2.1 直线与圆的方程的应用
龙游第二高级中学:梁银军
业精于勤,荒于嬉,行成于思,毁于随
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直线与圆的方程在生产、 生活实践以及数 学中有着广泛的应用 ,本节课我们将通过几个例 子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几 何中的应用
业精于勤,荒于嬉,行成于思,毁于随
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例1:如图是圆拱形桥一孔圆拱的示意图 .这个圆的圆 拱跨度 AB=20m,拱高OP=4m, 建造时每间隔 4m需要用
把（ 5， y 0）代入方程得： 5 2 ?（ y 0 ? 10 .5）2 ? 14 .5 2 因为 0 ? y 0 ? 4 .... 所以 y 0 ? 3 .1 ..... 因为 3 ? 3 . 1 答 : 该船可以通过拱桥。
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例2:已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直 , 求证:圆心到一边的距离等于这条边所对边长的 一半.
??02 ?（4 ? b）2 ? r 2 ???102 ? (0 ? b)2 ? r 2 解得：b ? ? 10.5, r 2 ? 14.52 所以，圆的方程是x2 ? ( y ? 10.5)2 ? 14.52
代入点P2 (?2, y2 )的坐标得： （? 2）2 ?（y2 ? 10.5）2 ? 14.52(0 ? y2 ? 4)
直线分别为 x轴， y轴，建立直角坐标系 .设
A(a ,0), B(0, b), C (c,0), D(0, d ).
分别作O1M ,O1N,O1E垂直于AC, BD, AD,垂足分别为M , N, E ,则它们分别是弦 AC, BD, AD的中点,则由中点坐标公式可得
xO1
?
xM
?
a
? 2
c , yO1
（1）建立适当的直角坐标系，用坐标，方程表 示问题中的量；
（2）通过代数运算，解决代数问题；
（3）把代数运算结果“翻译”成实际问题或几何 结论。
业精于勤,荒于嬉,行成于思,毁于随
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课后作业：课本144页 练习：2、4
业精于勤,荒于嬉,行成于思,毁于随
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用坐标法解决几何问题的步骤 :
第一步: 建立适当的平面直角坐标系 ,用坐标和方程 表示问题中的几何元素 ,将平面几何问题转化为代数问 题; 第二步:通过代数运算 ,解决代数问题 ;
第三步 : 把代数运算结果“翻译”成几何结 论.
业精于勤,荒于嬉,行成于思,毁于随
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课堂小结： 1、熟悉直线、圆的方程； 2、用坐标系解决实际、几何问题，以及它的解题步骤
解得：y2 ? 14.52 ? 4 ? 10.5 ? 14.36 ? 10.5 ? 3.86
答：支柱 A2 P2的高度业精约于为勤,荒于3嬉.8,行6 成m于. 思,毁于随
4
注意:(用坐标系解决实际问题 ) 1、建立适当的直角坐标系，将实际量转化成数学量； ２、利用数学知识解出所要求的数学量； ３、将数学量回归实际量，下结论。
业精于勤,荒于嬉,行成于思,毁于随
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练习1:某圆拱桥的水面跨度是 20m,拱高4m.现有一 船,宽10m,水面以上高 3m,这条船能否从桥下通过 ?
(精确到0.1;其中 741 ? 27.22 )
分析:如图所示,要判断船能否通过拱桥 ,只需判断
A1 P1或 A2 P2的高度是否超过
3m
业精于勤,荒于嬉,行成于思,毁于随
分析 :
如图，选择互相垂直的 两条对角线所在的直线 为坐标轴。 本题关键是求出圆心 O1的坐标.过O1作AC、BD、AD的垂线, 垂足为M , N, E,则它们分别是AC、BD、AD的中点,垂足M 的横坐标与 O1的横坐标一致.同法可求出 O1的纵坐标.
业精于勤,荒于嬉,行成于思,毁于随
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证明：
如图，以四边形 ABCD互相垂直的对角线 CA, BD所在
把 B (10 , 0 ), P ( 0 , 4 ) 代入方程可得
??10 2 ? b 2 ? r 2
??? 0 2
?
(4 ?
b)2
?
.......... r2
... 解得 b ? ? 10 .5 , r 2 ? 14 . 5 2
所以，圆的方程是：
x 2 ? ( y ? 10 .5 ) 2 ? 14 .5 2
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解：
以表示水面跨度的AB所在直线作为x轴，以表示拱高的OP所在的直线
作为y轴建立直角坐标系，其中B, P, P1, P2,的坐标分别为（10,0）,(0,4),
(?5, y0 ),(5, y0 ),则船能否通过拱桥，只需比较y0与3的大小关系。
Fra Baidu bibliotek
设圆弧所在的圆的方程
为： x 2 ? ( y ? b ) 2 ? r 2
?
yN
?
b? d 2
, xE
?
a 2
,
yE
?
d 2
所以
| O1E |?
(a ? c ? a )2 ? (b ? d ? d )2 ? 1
22
22 2
b2 ? c2
又... | BC |? b2 ? c2
所以... | O1E |?
1 | BC | ..命题得证.
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业精于勤,荒于嬉,行成于思,毁于随
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