理想气体压强公式的推导

理想气体压强公式的推

导

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理想气体压强公式的推导

摘要：压强是热力学中描述平衡态下气体状态的一个重要力学参量。从理想气体的微观模型出发，分析理想气体压强的产生原因，采用合理的统计方法，推导出理想气体的压强公式。在推导的过程中，加强对统计概念及理想气体压强实质的认识。 关键词：理想气体；统计方法；压强公式。

1引言

推导理想气体压强公式，首先要建立正确的理想气体微观模型；其次在理想气体微观模型的基础上，分析理想气体对容器器壁的压强和理想气体内部压强的产生原因；最后根据理想气体压强的产生原因，采用合理的统计方法推导理想气体的压强公式。

2 理想气体的微观模型及其压强的产生原因

德国物理学家克劳修斯1857年提出了理想气体的微观模型，即分子本身的线度比起分子间的距离可以忽略不计；可以认为除碰撞的一瞬间外，分子之间及分子与容器器壁之间都无相互作用；分子之间及分子与容器器壁之间的碰撞都是完全弹性的。 根据理想气体的微观模型，我们可以把理想气体看为由大量分子所组成的热学系统，粒子可近似地看作质点。理想气体施于容器器壁的压强是大量分子对器壁不断碰撞的结果，而理想气体内部的压强是垂直于截面方向的热运动动量交换所引起的。并且理想气体的微观模型认为平衡态下理想气体内的分子是均匀分布的，向各个方向运动的几率是相等的，即具有混沌性。所以在此基础上我们就可以运用合理的统计方法对理想气体的压强公式进行推导。

3 推导理想气体对容器器壁的压强

理想气体施于容器器壁的压强是大量分子对器壁不断碰撞的结果，在平衡态下，器壁上各处的压强相等，其大小等于单位时间单位面积器壁所受的冲量。

设在任意形状的容器中贮有一定量的理想气体，体积为V ，共含有N 数个分子，单位体积内的分子数为V N n ,每个分子的质量为m 。建立直角坐标系xyz,在垂直于x 轴的器壁上任意取一小块面积dA （图1），来计算它所受的压强。

图1

一个速度分量为x v 的分子与容器器壁碰撞，容器器壁所受的冲量为x mv 2；dt 时间内，dA 面积上，速度分量在x x x dv v v +→之间能与容器器壁碰撞的分子数为()dAdt nv dv v f dN x x x ⋅=，这些分子对容器器壁的冲量为()dAdt nv dv v f mv dI x x x x ⋅⋅=2；dt 时间内，dA 面积上，速度分量在∞~0之间能与容器器壁碰撞的分子对容器器壁的冲量为

()dAdt nv dv v f mv I x x x x ⋅⋅=⎰∞

02 , (1) 麦克斯韦速度分布律

()kT mv x x e kT m v f 22122-⎪⎭

⎫ ⎝⎛=π , (2) 单位时间，单位面积，容器器壁所受的冲量为

dAdt

I P = , (3) 速度平方的平均值 m kT v 32=

, (4) (1)(2)(3)(4)联立，解得

εn v m n v nm P 3

221323122=⎪⎭⎫ ⎝⎛== , (5) 4推导理想气体内部的压强

因为理想气体内部的压强是垂直于截面方向的热运动动量交换所引起的，所以在平衡态下，理想气体内部的压强等于单位时间单位面积垂直于截面方向交换的热运动动量。

X

设想在处于平衡态的气体，任意取一个截面dA 把气体分为A 、B 两部分，建立直角坐标系xyz,垂直于x 轴任意取一小块面积dA （图2）,来计算它所受的压强。

图2

就A 部来说，如果失去一个从左向右运动的速率为v 的分子，为了保持热力学系统的平衡，就会获得一个从右向左运动的速率为v 的分子，分子热运动动量应该变mv 2，动量该变的方向垂直于dA 面指向A 部；根据分子运动的无规则性做一种简单的假设：分子等分成三队，分别平行x 、y 、z 三轴运动，dt 时间内，速率在dv v v +→之间能通过dA 面的分子通过dA 面，A 、B 交换的分子对数为()nvdAdt dv v f dN ⋅=

61，A 部总的动量改变量为()nvdAdt dv v f mv dK ⋅⋅=6

12；dt 时间内，速率在∞~0之间能通过dA 面的分子通过dA 面，A 部总的动量改变量为 ()nvdAdt dv v f mv K ⋅⋅=⎰∞6

120 , (6) 麦克斯韦速率分布律

()kT mv e kT m v v f 2232224-⎪⎭

⎫ ⎝⎛=ππ , (7) 单位时间，单位面积，垂直于截面方向交换的热运动动量为

dAdt

k p = , (8) 速度平方的平均值 m kT v 32=

, (4) (6)(7)(8)(4)联立，解得 εn v m n v nm P 3

221323122=⎪⎭⎫ ⎝⎛== . (9)

5小结 以上分别推导出理想气体对容器器壁的压强和理想气体内部的压强均为

εn p 3

2=。在推导过程中，充分地认识理想气体微观模型建立过程中把握的主要因素及忽略的次要因素，并在此基础上选择合理的统计方法进行统计是整个推导过程的关键。例如推导理想气体对容器器壁压强时，对 ()dAdt nv dv v f mv I x x x x ⋅⋅=⎰∞0

2积分时积分上下限为∞~0，这是因为根据理想气体的微观模型0

1根据分子运动的无规则性所做的假设，即分子等分成三队，分别平行x 、y 、z 三轴运动也是符合理想气体的微观模型的。所以选择统计方法的过程，有助于我们认识不同统计方法的优劣，提高统计方法的运用能力，加强对统计概念的理解。

此外在上面讨论中我们没有考虑分子间碰撞而被折回的情况，但这并不影响结果，就大量分子的统计效果来讲，有某分子因碰撞而改变运动方向，则必然有分子因碰撞而替代它的作用。

另外在推到理想气体压强公式的过程中，也加强了我们对理想气体压强实质的认识。理想气体压强公式构建立了宏观状态参量P 微观量n ﹑ε的关系，揭示了理想气体压强决定于单位体积的分子数n 和分子的平均平动能ε，n 和ε越大，P 就越大。而一定量的理想气体n 与体积V 有关，平均平动能ε与温度T 有关，进而构建了状态参量P ﹑V ﹑T 的关系。

参考文献：

[1]李椿，章立源，钱尚武.热学[M].北京:高等教育出版社，2008.