第十一章Black-Scholes-Merton期权定价模型
期权定价模型
期权定价模型期权定价模型是金融衍生品定价领域的重要模型之一，它通过考虑期权的各项特性，将期权的价值与其相关的标的资产、行权价格、到期时间、波动率、无风险利率等一系列因素联系起来，从而确定期权的公平价格。
在期权定价模型中，常用的模型有布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）和它的改进模型，如布莱克-斯科尔斯-默顿模型（Black-Scholes-Merton Model）。
这些模型基于一些假设，包括市场无摩擦、无风险利率不变、标的资产价格服从几何布朗运动等。
布莱克-斯科尔斯模型是最早的期权定价模型之一，它将期权价格视为标的资产价格的函数，通过假设标的资产价格服从几何布朗运动，并应用风险中性估计，推导出了一个偏微分方程，即著名的布莱克-斯科尔斯方程。
利用该方程可以计算出欧式看涨/看跌期权的价格。
然而，布莱克-斯科尔斯模型在实际应用中存在一些限制，例如假设市场无摩擦和无风险利率不变的条件，并且假设标的资产价格服从几何布朗运动，这些假设在现实市场中并不总是成立。
因此，为了更准确地定价期权，学者们提出了一系列改进的模型。
其中，布莱克-斯科尔斯-默顿模型是对布莱克-斯科尔斯模型的一个重要改进。
该模型引入了对标的资产价格波动率的估计，通过蒙特卡洛模拟或数值方法，可以计算出更加准确的欧式期权价格。
此外，还有许多其他的改进模型，如跳跃扩散模型、随机波动率模型等，针对不同的市场和期权特性提供了更加精确的定价方法。
总之，期权定价模型是金融衍生品定价领域的重要工具，它通过考虑期权的各项特性和相关因素，计算出期权的公平价格。
布莱克-斯科尔斯模型和其改进模型是常用的期权定价模型，但也存在一些假设和限制。
为了更精确地定价期权，学者们提出了一系列改进模型，以适应不同市场和期权特性的需求。
在期权定价领域，除了布莱克-斯科尔斯模型和其改进模型外，还有许多其他的期权定价模型被广泛应用。
这些模型包括跳跃扩散模型、随机波动率模型、二叉树模型等等，它们分别在不同的金融市场和期权类型中发挥着重要的作用。
Black-Scholes模型
在标的资产无收益情况下，由于C＝c， 因此式(10)也给出了无收益资产美式看涨 期权的价值。
根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在 平价关系，可以得到无收益资产欧式看 跌期权的定价公式：
p＝Xe-r(T-t) N(—d2)—SN(—d1) (11)
由于美式看跌期权与看涨期权之间不存 在严密的平价关系，因此美式看跌期权 的定价还没有得到一个精确的解析公式。
一个小时间间隔Δt后必定没有风险。 因此该组合在Δt中的瞬时收益率一定等
于Δt中的无风险收益率。
否则的话，套利者就可以通过套利获得 无风险收益率。
因此，在没有套利机会的条件下：
ΔΠ＝rΠΔt……（6） 把式(3)和(5)代入（6）得:
5、这就是著名的布菜克——舒尔斯微分分程, 它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的 定价。
由于0.4148＜1.0元，因此在第二个除权日前有 可能提前执行
然后，要比较1年期和11个月期欧式看涨期权 价格。
对于1年期欧式看涨期权来说，由于红利的现 值为：
益资产的欧式看涨期权和看跌期权的价值。
当标的证券己知收益的现值为I时，我们 只要用(s—I)代替式(10)和(11)中的S即可 求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权 的价格。
当标的证券的收益为按连续复利计算的 固定收益率q(单位为年)时，将Se-q(T-t) 代 替式(10)和(11)中的S就可求出支付连续 复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权 的价格。从而使布莱克——舒尔斯的欧 式期权定价公式适用欧式货币期权和股 价指数期权的定价。
: 数，由伊藤引理可得
df
(
f S
S
f t
1 2
2 f S 2
2S
2
Chapter11布莱克休尔斯莫顿期权定价模型
衍生证券的定价。
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008
19
观察布莱克－舒尔斯微分方程，我们可以发现，受制于主观的 风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决 定公式中。这意味着，无论风险收益偏好状态如何，都不会对f的值 产生影响。因此我们可以作出一个可以大大简化我们工作的假设： 在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。尽管这只是一 个人为的假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风 险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。
11
由上一页的推导可知证券价格对数服从正态分布。如果
一个变量的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数
正态分布。这表明ST服从对数正态分布。根据对数正态分布 的特性，以及符号的定义，我们可以得到 E(ST ) Se (T t) 和 var(ST ) S 2e 2(T t) [e 2 (T t) 1]
S S S 2 S 2 t
代入式 dG ( G a G 1 2G b 2 )dt G bdz我们就可得到 G ln S 所
x
t 2 x 2
x
遵循的随机过程为 dG d ln S ( 2 )dt dz
2
由于dlnS是股票的连续复利收益率，得出的公式说明股票的连续
复利收益率服从期望值 ( 2 )dt ，方差为 2dt 的正态分布。
2、在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征，其均值为 aT，标准差为 b T，方差为b2T。
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普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量 x的漂移率和方差率当作)dz
black-scholes-merton 公式
black-scholes-merton 公式Black-Scholes-Merton公式是一种用于计算欧式期权价格的数学模型，由费希尔·布莱克（Fischer Black）、默顿·斯科尔斯（Myron Scholes）和罗伯特·默顿（Robert C. Merton）于1973年共同发表。
这个公式基于一些基本假设，包括市场是完全有效的、不存在无风险套利机会、股票价格的随机波动是符合几何布朗运动等。
Black-Scholes-Merton公式可以有效地计算欧式期权的理论价格，同时提供了进行风险对冲的指导。
欧式期权是指只能在到期日（欧式期权只有一个到期日）行权的权利，行权价格和到期日都是已知的。
这个公式的一般形式如下：C = S_t × N(d1) - K × e^(-r(T-t)) × N(d2)其中，C是期权的价值（即期权的理论价格）；S_t是标的资产在t时刻的价格；K是期权的行权价格；r是无风险利率；T是期权的到期时间；t是当前时间，t < T；N(d1)和N(d2)是标准正态分布函数，d1和d2的计算公式如下：d1 = (ln(S_t/K) + (r + σ^2/2)(T-t)) / (σ√(T-t))d2 = d1 - σ√(T-t)其中，σ是标的资产年化波动率（即股价的标准差）。
Black-Scholes-Merton公式的准确性与其基本假设的适用性有关。
当这些假设不满足时，公式可能会低估或高估期权价格。
例如，如果市场不是有效的，存在无风险套利机会，或股价的波动性不符合几何布朗运动，那么该公式的应用就会有问题。
尽管如此，Black-Scholes-Merton公式仍然是金融学中一个非常重要的工具，对衍生品定价和交易策略的制定有很大帮助。
它为投资者和交易员提供了一个参考标准，用于评估期权价格的合理水平，并且为制定风险对冲策略提供了指导。
Black-Scholes期权定价模型和特性
Black-Scholes期权定价模型和特性Black-Scholes期权定价模型是一个广泛应用于金融市场的数学模型，它被用来计算欧式期权的价格。
该模型是由美国经济学家费希尔·布莱克（Fischer Black）和莱蒙德·斯科尔斯（Myron Scholes）于1973年开发的，并获得了1997年诺贝尔经济学奖。
Black-Scholes模型基于一些假设，包括市场无摩擦、标的资产价格服从几何布朗运动、无风险利率恒定不变、期权可以无限制地买卖等。
它利用随机微分方程和偏微分方程来描述期权价格的变化以及与标的资产价格和时间的关系。
Black-Scholes模型的公式如下：C = S*N(d1) - X*e^(-r*T)*N(d2)P = X*e^(-r*T)*N(-d2) - S*N(-d1)其中，C代表期权的买入价格，P代表期权的卖出价格，S代表标的资产的当前价格，X代表期权的行权价格，r代表无风险利率，T代表期权的时间，在期权到期日之间的年份，N(d1)和N(d2)代表标准正态分布的累积分布函数。
Black-Scholes模型的特性有以下几点：1. 理论完备性：Black-Scholes模型是一个完备的期权定价模型，可以通过输入特定的参数来计算期权的价格。
它提供了一种可行的方法，用来解决期权定价的问题。
2. 自洽性：Black-Scholes模型是自洽的，意味着如果市场满足了模型的所有假设条件，那么模型计算的期权价格将与实际市场价格一致。
3. 敏感性分析：Black-Scholes模型可以用来分析期权价格对各个因素的敏感性。
通过改变模型中的参数，例如标的资产价格、无风险利率、期权行权价格和时间等，我们可以研究它们如何影响期权的价格。
4. 适用性：Black-Scholes模型广泛适用于欧式期权的定价，包括股票期权、货币期权和商品期权等。
然而，对于美式期权和一些特殊类型的期权，Black-Scholes模型可能不适用。
第十一章Black-Scholes-Merton期权定价模型
在一个小的时间间隔△t中，f的变化值△f满足：
f f 1 2 f 2 2 f f ( S ) t S z S S t 2 S 2 S
精选ppt第一节bsm期权定价模型的基本思路精选ppt本章涉及到随机过程等较为复杂的概念为了便于理解我们首先对bsm模型的整体思路做一个简要的归纳以便大家更好的掌握期权定价的内由于最终目标是为股票期权定价而期权是其标的资产即股票的衍生工具在已知执行价格期权有效期无风险利率和标的资产收益的情况下期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化股票价格是影响期权价格的最根本因素
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根据伊藤引理（ItôLemma，1961），当股票价格 符合几何布朗运动时，作为股票衍生品的期权价 格f将服从：
f f 1 2 f 2 2 f df ( S )dt Sdz 2 S S t 2 S S
（11.2）
可以发现，影响期权价格的随机因素也体现在等式 右边的第二项的dz上，所以，股票价格及其衍生产品— —期权价格都只受到同一种不确定性的影响，其区别在 于随机因素dz前面的系数不同，也就是随机因素变化的 反应程度不同。
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第一节 B-S-M期权定价模型的基本思路
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本章涉及到随机过程等较为复杂的概念，为了便 于理解，我们首先对B-S-M模型的整体思路做一个 简要的归纳，以便大家更好的掌握期权定价的内 容。
由于最终目标是为股票期权定价，而期权是其标 的资产（即股票）的衍生工具，在已知执行价格、 期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况 下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变 化，股票价格是影响期权价格的最根本因素。
理解Black-Scholes-Merton模型
理解Black-Scholes-Merton模型Black-Scholes-Merton模型是衍⽣品定价中⼀个⾮常基本的模型，它给出了对欧式期权的定价。
理解它对于理解量化⾦融⾮常重要。
这⾥仅介绍⼀种简单理解，因此本⽂中的所有数学细节都不严谨，仅供参考。
⼀、⾦融基础：期货（Futures）⾸先我们看wikipedia上对远期和期货的定义：In finance, a forward contract or simply a forward is a non-standardized contract between two parties to buy or to sell an asset at a specified future time at a price agreed upon today, making it a type of derivative instrument.In finance, a futures contract (more colloquially, futures) is a standardized forward contract which can be easily traded between parties other than the two initial parties to the contract.远期协议是⼀个买卖双⽅在未来以某价格交易某种资产的⼀个协议，⽽期货是⼀种标准化的远期协议，更容易来交易。
所以我们可以看到期货的⼏个要素：⼀个标的资产，⼀个价格，买卖双⽅，交割⽇。
当然，因为⼀般我们要⽤保证⾦来保证协议在未来能够被履⾏，所以还有⼀个要素是保证⾦。
例如股指期货，它的标的资产就是股票指数，⽐如沪深300指数（对沪市和深市2800只个股按照⽇均成交额和⽇均总市值进⾏综合排序，选前300名的股票作为样本，以2004年12⽉31⽇这300只成份股的市值做为基点1000点，实时计算的⼀种股票价格指数）。
对期权定价模型的偏微分方程分析--Black-Scholes期权定价模型
对期权定价模型的偏微分方程分析--Black-Scholes期权定
价模型
Black-Scholes（BS）期权定价模型是20世纪70年代由Fisher Black、Myron Scholes和Robert Merton独立发明和发展的。
BS模型将期权定价问题转化为偏微分方程问题，并提供了一种通过经济因素来解决期权定价的方法。
BS模型假设股票价格服从几何布朗运动，并使用随机微分方程来描述它们的漂移和随机波动性。
该模型还假定期权的价格服从Black-Scholes PDE：
$$\\frac{\\partial V}{\\partial
t}+\\frac{1}{2}\\sigma^2S^2\\frac{\\partial^2 V}{\\partial S^2}+rS\\frac{\\partial V}{\\partial S}-rV=0$$
其中，$V(S,t)$是期权价格，$S$是标的资产价格，
$\\sigma$是波动率，$r$是无风险利率，$t$是时间。
该方程可以被解释为投资组合在动态套利环境中的漂移和随机波动性，其中投资组合由一单股票和一个期权组成。
该方程的求解需要使用特殊函数，如Black-Scholes方程的解析解。
这个解析解有助于我们理解期权价格如何受到各种因素的影响，例如股票价格、波动率、时间和无风险利率。
总之，BS模型的偏微分方程分析提供了一种方法，使我们能够根据标的资产价格、波动率、时间和无风险利率来定价期权。
Black-Scholes期权定价模型
Black-Scholes期权定价模型Black-Scholes期权定价模型是一种能用来计算股票期权价格的数学模型。
它是由费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯于20世纪70年代初提出的，因此得名。
该模型的基本假设是市场条件持续稳定，且不存在利率和股票价格变动的趋势。
此外，它还假设股票价格服从几何布朗运动，即价格的波动是随机的。
根据这些假设，Black-Scholes模型将股票价格与利率、期权行权价、到期时间以及波动率等因素联系起来，以计算期权的合理价格。
Black-Scholes模型的公式为：C = S_0 * N(d1) - X * e^(-r * T) * N(d2)其中，C为期权的价格，S_0为股票的当前价格，N(d1)和N(d2)分别为标准正态分布函数的值，X为期权的行权价，r为无风险利率，T为期权的到期时间。
d1和d2是通过一系列数学计算得出的。
利用Black-Scholes模型，投资者可以根据个人的风险偏好和市场条件来评估一个期权的合理价格。
它对市场参与者来说是一种有用的工具，因为它能够帮助他们理解和衡量期权的价值。
然而，Black-Scholes模型也存在一些局限性。
首先，它假设市场条件持续稳定，而实际上市场是非常复杂和动态的。
其次，它假设股票价格服从几何布朗运动，这在现实中并不总是成立。
另外，模型中的波动率是一个固定的参数，而实际上波动率是随着时间和市场条件的变化而变化的。
因此，在使用Black-Scholes模型时，投资者需要慎重考虑其局限性，并结合其他因素和分析来作出投资决策。
此外，人们也一直在尝试改进这个模型，以更好地适应实际市场的复杂性和动态性。
Black-Scholes期权定价模型是金融领域中最著名的定价模型之一。
它提供了一个基于几何布朗运动的股票价格模型，可以计算欧式期权的合理价格。
该模型的公式给出了欧式期权的理论价格，而不考虑市场上的任何其他因素。
Black-Scholes模型的創始人费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯在1973年发布了这一模型，并以此获得了1997年诺贝尔经济学奖。
BLACKSCHOLES期权定价模型计算公式套用数据
BLACKSCHOLES期权定价模型计算公式套用数据Black-Scholes期权定价模型是一种用于计算欧式期权价格的数学模型，它基于以下假设：资产价格的波动性是已知且恒定的、市场无摩擦、无风险利率是已知且恒定的、欧式期权只能在到期日行使以获得支付。
根据Black-Scholes模型，欧式期权的价格可以通过以下公式计算：C=S*N(d1)-X*e^(-rT)*N(d2)P=X*e^(-rT)*N(-d2)-S*N(-d1)其中C表示认购期权的价格P表示认沽期权的价格S表示标的资产的当前价格X表示期权的行权价格r表示无风险利率T表示剩余期限，单位为年份d1 = (ln(S/X) + (r + σ^2/2)T) / (σ * √T)d2=d1-σ*√TN(d)和N(-d)是标准正态分布函数。
标准正态分布函数可以通过查找Z表或使用计算机程序进行近似计算。
在应用Black-Scholes模型时，需要提供以下数据：1.标的资产的当前价格（S）2.期权的行权价格（X）3.无风险利率（r）4.剩余期限（T）（以年为单位）5.标的资产的波动率（σ）下面举一个实例来说明如何使用Black-Scholes模型计算期权价格。
假设只股票的当前价格为100美元，期权的行权价格为105美元，无风险利率为5%，剩余期限为6个月（0.5年），股票的波动率为20%。
首先，根据给定的数据，计算d1和d2：d1 = (ln(100/105) + (0.05 + 0.2^2/2) * 0.5) / (0.2 * √0.5) d2=d1-0.2*√0.5然后，使用标准正态分布函数计算N(d1)、N(d2)、N(-d1)和N(-d2)的值。
假设N(d1)=0.6、N(d2)=0.5、N(-d1)=0.4和N(-d2)=0.3接下来，根据公式可计算出认购期权和认沽期权的价格：C=100*0.6-105*e^(-0.05*0.5)*0.5=7.16美元P=105*e^(-0.05*0.5)*0.3-100*0.4=3.84美元因此，在给定的条件下，该认购期权的价格为7.16美元，认沽期权的价格为3.84美元。
11.布莱克-舒尔斯-,默顿期权定价模型
• 遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态 过程：
– a dt为确定项，意味着x的漂移率是每单位时间为a； – b dz是随机项，代表着对x的时间趋势过程所添加的噪 音，使变量x围绕着确定趋势上下随机波动，且这种噪 音是由维纳过程的b倍给出的。
• 普通布朗运动的离差形式为 x at b t ，显然， Δx也具有正态分布特征，其均值为 at ，标准差为 b ， t 方差为 b 2 t • 1、在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征， 其均值为a T，标准差为 b T ，方差为b2T。 • 2、标准布朗运动为普通布朗运动的特例。
G G 1 2 G 2 G dG ( a b )dt bdz 2 x t 2 x x
其中，dz是一个标准布朗运动。这就是著名 的伊藤引理。
由于
dx a( x, t )dt b( x, t )dz
dS Sdt Sdz
根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：
• 弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程（Markov Stochastic Process）来表述。 • 随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化 的过程。
– 可分为离散型的和连续型的。
• 马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程。 • 如果证券价格遵循马尔可夫过程，则其未来价格的概率分 布只取决于该证券现在的价格。
i 1
z(T )- z(0) ~ N(0, T )
其中：N△t=T
当△ t0时，我们就可以得到极限的标准布朗运 动：
dz dt
• 为何使用布朗运动？ • 正态分布的使用：经验事实证明，股票价格的连续复利收 益率近似地服从正态分布 • 数学上可以证明，具备特征1 和特征2的维纳过程是一个马 尔可夫随机过程 • 维纳过程在数学上对时间处处不可导和二次变分（ Quadratic Variation）不为零的性质，与股票收益率在时间 上存在转折尖点等性质也是相符的
布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型培训
布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型培训布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型（Black-Scholes-Merton option pricing model）是金融学中最经典的期权定价模型之一。
该模型由费舍尔·布莱克（Fisher Black）、默顿·舒尔斯（Myron Scholes）和罗伯特·默顿（Robert Merton）三位学者于1973年共同提出，他们因此获得了1997年诺贝尔经济学奖。
该模型被广泛用于期权定价和风险管理。
布莱克-舒尔斯-默顿模型建立在一系列假设之上，其中包括市场允许短期空头交易、无风险利率保持恒定、市场流动性足够充足、期权不考虑红利支付等。
该模型的核心思想是使用风险中性估值来确定期权的价格，基于期权的风险与标的资产价格的相关性。
模型的数学公式为:C = S_0 * N(d1) - X * e^(-rT) * N(d2)P = X * e^(-rT) * N(-d2) - S_0 * N(-d1)其中，C为看涨期权的价格，P为看跌期权的价格，S_0是标的资产的现价，X是期权的行权价，r是无风险利率，T是期权的到期时间，N()是正态分布函数，d1和d2是根据数学公式计算得出的变量。
这个模型基于对资本市场和期权市场的理性行为假设，即市场参与者会根据可得的信息做出最优决策。
它可以用来估计欧式期权的价格，即只在到期日时才能行使的期权。
但该模型不能直接应用于美式期权，因为美式期权可以在任何时间行使。
为了使用布莱克-舒尔斯-默顿模型进行期权定价，需要计算d1和d2的值。
这两个值可以通过期权定价的一系列参量（如标的资产价格、行权价、无风险利率、到期时间和标的资产的波动率）来计算。
这些参量的准确估计对期权定价的精确性至关重要。
布莱克-舒尔斯-默顿模型的优点在于提供了一种快速而相对准确的期权定价方法，为投资者提供了一个公平的市场价值。
然而，该模型也存在一些限制，例如，该模型假设市场流动性充足，但实际市场可能存在流动性不足的情况。
Black-Scholes期权定价模型
2023/11/21
10
百分比收益率与连续复利收益率
百分比收益率： 连续复利收益率:
S 或 ST S0
S
S0
ln ST ln S0
百分比收益率的缺陷与连续复利收益率的优点：
有限责任原则：
金融学中常常存在对实际收益率（近似）服从正态分布的隐含假定，但是在有限责任（投 资者顶多赔偿全部的投资，不会损失更多）原则下，百分比收益率只在－1和＋∞ 之间变化， 不符合正态分布假定。
研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解 在特定时刻，变量取值的概率分布情况。
2023/11/21
3
随机过程
随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式 随时间变化的过程。
随机过程的分类
离散时间、离散变量 离散时间、连续变量 连续时间、离散变量 连续时间、连续变量
2023/11/21
4
几种随机过程
特征2：对于任何两个不同时间间隔Δt ，Δz的值相互独立。
特征的理解
特征1： z N 0, t ;方差为t。
特征2: 马尔可夫过程：只有变量的当前值才与未来的预测有关， 变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测 无关。
2023/11/21
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标准布朗运动（续）
考察变量z在一段较长时间T中的变化情形：
为何定义为：
z t而非z t
当我们需要考察任意时间长度间隔中的变量变化的情况时，独立的
正态分布，期望值和方差具有可加性，而标准差不具有可加性。这 样定义可以使方差与时间长度成比例，不受时间划分方法的影响。
相应的一个结果就是：标准差的单位变为 年
连续时间的标准布朗运动：
当Δt 0时，我们就可以得到极限的标准布朗运动 dz dt
《金融工程》第十一章布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型
41.09 ST 71.41
因此， 6 个月 A 股票价格落在 41.09 元到 71.41 元之间的概率
为 95% 。
30
半年后，A 股票价格的期望值为 54.71 元，标准差为 60.46 或
7.78 。
E ST 50e0.180.5 54.71
2
dGt d ln St dt dz t
2
服从期望值
d ln St
说明连续复利收益率
正态分布
注意：
d ln St
dt
2
2
方差为
2
dt 的
dSt
St
21
应用2 ： F 所遵循的随机过程
假设变量 S 服从几何布朗运动，r为常数
dSt Stdt Stdz t
几何布朗运动：扩散过程的特例
= +
其中 µ 和 σ 均为常数
一般用几何布朗运动描述股票价格的随机过程
可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾的问题
几何布朗运动意味着股票连续复利收益率服从正态分布，这与实际较
为吻合。
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伊藤引理
若变量 x 遵循伊藤过程，
= +
F
S
e
由于 t t
r T t
，则
F rT t 2 F
F
e
, 2 0,
rFt
S
S
t
运用伊藤引理可得
dFt r Fdt
Fdz
t
t
t
(完整)BLACK-SCHOLES期权定价模型
BLACK—SCHOLES期权定价模型Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model)，1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者,哈佛商学院教授罗伯特·默顿（RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。
他们创立和发展的布莱克-斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model）为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础，特别是为评估组合保险成本、可转换债券定价及认股权证估值等提供了依据。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式（看涨和看跌）。
与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。
所以,布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型（含红利的）。
默顿扩展了原模型的内涵,使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞士皇家科学协会（The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。
(一)B—S模型有5个重要的假设1、金融资产收益率服从对数正态分布;（股票价格走势遵循几何布朗运动）2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦,即不存在税收和交易成本；4、该期权是欧式期权,即在期权到期前不可实施；5、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得（该假设后被放弃)；6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。
(二）荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式)()(21d N Le d SN c rT --=其中:C-期权初始合理价格 L —期权交割价格 S —所交易金融资产现价 T —期权有效期r -连续复利计无风险利率2σ—年度化方差（波动率）N （）—正态分布变量的累积概率分布函数，（标准正态分布 μ=0）在此应当说明两点：第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。
期权定价的Black-Scholes-Merton模型
dƒ
ƒ S
mS
ƒ t
½
2ƒ S 2
s2S
2
dt
ƒ S
sS
dz
W e set up a portfolio consisting of
1: derivative
+ ƒ : shares S
22
Black-Scholes 微分方程的推导
The value of the portfolio is given by ƒ ƒ S S
函数的过d程x 。a数x,学td表t 达b式x为,t：dz
其中，参数a和b是标的变量 x 和 t 的函数。
股票价格的 Itoˆ 过程
dS mSdt sSdz
其中，m是期望收益率，s是波动率。 等价地，离散时间过程表示为
DS mSDt sS Dt蒙特卡罗模拟 蒙特卡罗模拟是一种工具，可用来评估在 未来某个时期可能实现的各种不同损益的 可能性。它是通过模拟市场价格和波动率 的变动，得到在某个指定时期该证券组合 盈亏的整个概率分布。对于包含许多不同 标的资产的证券组合，在已知这些标的资 产之间相关性的条件下，蒙特卡罗模拟可 用于评估该组合的风险。
N(d 1)e– qT 支付股息率为q 的欧式看跌期权的delta值为
e– qT [N (d 1) – 1]
39
Delta对冲
对冲策略要不断的调整，这种调整过程被 称为再平衡
Delta对冲一个书面的期权涉及到“买高, 卖低” 交易规则
40
运用期货的Delta对冲
期货合约的delta值是现货交易合约的e(r-q)T倍 因此用于delta对冲期货合约的头寸是对应现
Black-Scholes期权定价模型解析
虑任何交易成本和其他费用
二、无收益资产的期权定价公式
• （一）无收益欧式看涨期权的价格
c SN (d1) Xer(T t) N (d2 )
（1）
式中：N(d)为标准正态分布函数值。
• 使用Black-Scholes期权模型可能出现一下问题：
• 1. 计算错误； • 2. 期权市场价格偏离均衡； • 3. 使用的参数错误；
• 4. Black-Scholes期权定价模型建立在众多假定
的基础上，假设与市场实际情况有较大偏差。
d1
ln( S
/
X)
(r 2 T t
/ 2)(T
t)
d2
ln(S
/
X
)
(r T
2
t
/
2)(T
t)
d1
T t
(T-t)为期权的剩余期限，r为无风险利率，X为期权的行权价 格， σ为标的资产价格波动率，S为标的资产价格。
(二)无收益欧式看跌期权的价格
• 在标的资产无收益情况下，由于C=c，因此式（1） 也给出了无收益资产美式看涨期权的价值。
• 近似为7.2824元。
2．美式看跌期权
• 由于收益虽然使美式看跌期权提前执行的可能性减 小，但仍不排除提前执行的可能性，因此有收益美 式看跌期权的价值仍不同于欧式看跌期权，它也只 能通过较复杂的数值方法来求出。
• Black-Scholes不合用于美式期权的定价。
四、Black-Scholes微分分程
欧式期货期权的定价公式
• 对于欧式期货期权，其定价公式为：
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Robert Merton
（1944-）
对Black-Scholes公式所依赖的假设条件作了进一 步减弱，在许多方面对其做了推广，1997年诺贝尔经 济学奖获得者。
1944年出生于美国纽约，小时候对数学特别感兴 趣。 1966年毕业于哥伦比亚大学工学院，并获工程 数学学士学位。在哥伦比亚大学默顿曾经上过Chiakun Chu教授的热传导课，从而教会了他偏微分的方 程和其他高深的数学理论。也正是在这位教授的鼓舞 和推荐下，默顿大学毕业后去了加州理工学院攻读硕 士学位。在加州理工学院学习时，他仍然十分关注金 融市场。他早上6:30就去一个经纪公司进行股票和场 外期权的交易，直到8:30再去学院工作，在那里他形 成了对金融市场交易过程的直觉，这种直觉对他今后 从事的期权定价理论研究有莫大的帮助。
b2)dt
G x
bdz
（11.7）
这里，dz是一个标准布朗运动，可以看到
和 都是x和t的函数。因此，函 G
x
9
将式（11.1）和（11.2）联立方程组，在数学上
很自然地会在式（11.1）的两边同时乘上
f S
,并
将两式相减，这可以消去dz项，得到B-S-M微分
方程：
f t
rS
f S
1
2
2S 2
2 f S 2
1) X er(T t)N (d 2)
Black是位充满传奇色彩的人物。他从未受过正式 的金融和经济学训练，但却在几年之内创立了现代金 融学的基础。他在生活中处处规避风险，却在学术研 究和商业实践中勇敢的挑战前册。他能轻易地获得芝 加哥大学和MIT的终生教授头衔，也能自如地放弃， 再次投身到金融衍生品革命的大潮。他频繁地在象牙 塔和华尔街之间穿梭、游弋，给那些以为理论和实践 是两个截然世界的人出了大大的难题。
5
第一节 B-S-M期权定价模型的基本思路
6
本章涉及到随机过程等较为复杂的概念，为了便 于理解，我们首先对B-S-M模型的整体思路做一个 简要的归纳，以便大家更好的掌握期权定价的内 容。
由于最终目标是为股票期权定价，而期权是其标 的资产（即股票）的衍生工具，在已知执行价格、 期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况 下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变 化，股票价格是影响期权价格的最根本因素。
2
Fisher Black
（1938年1月11日-1995年8月30日）
美国经济学家，Black-Scholes模型的提出者之一。 他毕生坚持奋战在华尔街，在金融领域他是“搞实务 的”而不是“做学术的”，然而，他却创建了迄今为 止最正确、最经典、应用最广、成就最高的模型 （ Black-Scholes模型）。在他因肺癌去世一年后，诺 贝尔经济学奖颁给了参与创建模型的两位学者Scholes 和Merton。
8
根据伊藤引理（ItôLemma，1961），当股票价格 符合几何布朗运动时，作为股票衍生品的期权价 格f将服从：
df
( f S
S
f t
1 2
2f S2
2
S
2)dt
f S
Sdz
（11.2）
可以发现，影响期权价格的随机因素也体现在等式 右边的第二项的dz上，所以，股票价格及其衍生产品— —期权价格都只受到同一种不确定性的影响，其区别在 于随机因素dz前面的系数不同，也就是随机因素变化的 反应程度不同。
10
第二节 股票价格的变化过程
11
一、 几何布朗运动
对于股票价格的变化过程来说，人们通 常用如下公式来进行描述：
dS dt dz
S
这是B-S-M期权定价模型的基础性假设， 也是金融中最重要最普遍的假设之一。
12
★几何布朗运动图示
13
二、伊藤过程与伊藤引理
普通布朗运动假设漂移率和方差率为常数，如 果变量x的漂移率和方差率均为变量x和时间t的函 数，就说变量x服从伊藤过程（ Itôprocess）：
第十一章
Black-Scholes-Merton期权定价模型
1
本章思想的来源：
（1）Black,Fischer and Myron Scholes. The Pricing of Options and Corporate Liabilities [J]. Journal of Political Economy,1973,Vol.81 Issue 3,pp.637-654.
3
Myron Scholes
（1941-）
由于他给出了著名的Black-Scholes期权定价公式， 该法则已成为金融机构涉及金融新产品的思想方法， 由此获得1997年的诺贝尔经济学奖。
求学与供职简历：
1941年出生于加拿大；1962年在Mc-Master大学 获学士学位；1964年获芝加哥MBA学位；1968年获 芝加哥大学商学院金融学博士学位；1969年获芝加哥 大学经济学博士学位；1972-1983执教芝加哥大学； 1983年至今执教斯坦福大学。
dx a(x,t)dt b(x,t)dz （11.6）
其中，dz仍为标准布朗运动；a和b是变量x和t 的函数，变量x的漂移率为a，方差为b2。
在此基础上，伊藤进一步推导出，若变量x遵 循伊藤过程，则变量x和t的函数G(x,t)将遵循如下 过程：
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dG
(
G x
a
G t
1 2
2G x2
（2）Merton, Robert. Theory of Rational Option Pricing [J]. The Bell Journal of Economics and Management Science,1973(Spring),Vol.4 Issue 1,pp.141-183.
7
通过观察市场中的股票价格可知，股票价格的变 化是一个随机过程。相应地，受其影响的期权价 格的变化过程也必然是一个随机过程。事实上，
人们发现，股票价格的变化可以用数学上的一种 随机过程-几何布朗运动较好的加以描述，其具体 形式如下：
dS/S=μdt+σdz
（11.1）
其中，dz完全捕捉了影响股票价格变化的随机 因素。