2020年浙江高考数学一轮复习：椭 圆

2
3 .
答案：B
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课 堂 考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
考点一 椭圆的标准方程
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பைடு நூலகம்
[题组练透]
基础送分型考点——自主练透
1．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，
则该椭圆的标准方程为
()
A．x52＋y2＝1
B．x42＋y52＝1
C．x52＋y2＝1或x42＋y52＝1
一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( )
A．1－
3 2
B．2－ 3
C．
3－1 2
解析：在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60°，
D． 3－1
不妨设椭圆焦点在x轴上，且焦距|F1F2|＝2，
则|PF2|＝1，|PF1|＝ 3， 由椭圆的定义可知，方程xa22＋by22＝1中，
B.x32＋y2＝1
()
C.1x22 ＋y82＝1
D.1x22 ＋y42＝1
解析：由题意及椭圆的定义知4a＝4
3，则a＝
3，又ac ＝
c 3
＝ 33，∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程为x32＋y22＝1，选A. 答案：A
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2．(2018·永康适应性测试)已知F1(－1,0)，F2(1,0)，且△PF1F2 的周长为6，则动点P的轨迹C的方程为________． 解析：由F1(－1,0)，F2(1,0)，△PF1F2的周长为6， 得|PF1|＋|PF2|＝4＞|F1F2|，∴点P的轨迹是F1，F2为焦点的 椭圆(不包括左右顶点)．∵2a＝4，c＝1， ∴a＝2，b＝ 3，∴轨迹C的方程为x42＋y32＝1(y≠0)． 答案：x42＋y32＝1(y≠0)
的焦点，由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝ 10，易知|PM|＋|PN|＝(|PM|＋|MF1|)＋(|PN| ＋|NF2|)－2，则其最小值为|PF1|＋|PF2|－2＝8，最大值为 |PF1|＋|PF2|＋2＝12. 答案：C
2．F1，F2是椭圆x92＋y72＝1的两个焦点，A为椭圆上一点， 返回
1，则点P的坐标为________． 解析：设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)， 由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，
把y＝±1代入x52＋y42＝1，得x＝± 215，
又x＞0，所以x＝ 215，∴点P坐标为 215，1或 215，－1. 答案： 215，1或 215，－1
标为P(x，y)时，|x|≤a，|y|≤b，这往往在求与点P有关的
最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错
误的原因．
[小题纠偏]
1．椭圆xm2＋y42＝1的焦距为2，则m的值为
A．5
B．3
C．5或3
D．8
解析：当m＞4时，m－4＝1，
∴m＝5；当0＜m＜4时，4－m＝1，
∴m＝3，故m的值为5或3.
又因为b2＝a2－c2，所以 3c2＋2ac－ 3a2＝0，
即 3e2＋2e－ 3＝0，解得e＝ 33或e＝－ 3，
又因为e∈(0,1)，所以e＝
3 3.
答案：B
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3．(2018·温州十校联考)已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
2．过椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭
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圆于点P，F2为椭圆的右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭
圆的离心率为
()
2 A. 2
3 B. 3
1
1
C.2 D.3
解析：由题意，可设P－c，ba2.
因为在Rt△PF1F2中， |PF1|＝ba2，|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝60°，所以2ba2c＝ 3.
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考点三 椭圆的几何性质
题点多变型考点——多角探明 [锁定考向] 椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现， 常见的命题角度有： (1)求离心率的值或范围； (2)根据椭圆的性质求参数的值或范围．
[题点全练]
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角度一：求离心率的值或范围
1．(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的
∴|AF1|＝72.
∴△AF1F2的面积
S＝12×72×2 2× 22＝72. 答案：C
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[由题悟法] 椭圆定义的应用技巧
求方 通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点P满足 程 椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程
求焦 利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角 点三 形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理．其 角形 中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧 求最 抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到基本不等式求
得a2＝8，b2＝6，
ac＝12 故椭圆方程为x82＋y62＝1.
答案：x82＋y62＝1
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[谨记通法] 求椭圆标准方程的 2种常用方法
根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位 定义法
置可写出椭圆方程 若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结 待定系 合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需 数法 要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设 椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)
x2 16
＋
my22＝1(m＞0)，若该椭圆的焦点在
x轴上，则实数m的取值范围是________．
解析：由题可得，m2＜16，因为m＞0，所以0＜m＜4. 故实数m的取值范围为(0,4)．
答案：(0,4)
3．(教材习题改编)已知点P是椭圆x52＋
y2 4
＝1上y轴右侧的一
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点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于
因为椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2，
则可设A(1，y0)，代入椭圆方程可得y02＝94，所以y0＝±32.
设P(x1，y1)，则―F1→P ＝(x1＋1，y1)，―F2→A ＝(0，y0)，
所以―F1→P ·―F2→A ＝y1y0.
因为点P是椭圆C上的动点，所以－ 3≤y1≤ 3，
故―F1→P ·―F2→A 的最大值为3
解析：设椭圆的标准方程为xa22＋by22＝1(a＞b＞0)． 由点P(2， 3)在椭圆上知a42＋b32＝1. 又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|， 即2a＝2×2c，ac＝12，又c2＝a2－b2，
a42＋b32＝1， 联立c2＝a2－b2，
D．以上答案都不对
解析：直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，
由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1， ∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为x52＋y2＝1. 当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，∴a2＝5， 所求椭圆的标准方程为y52＋x42＝1. 答案：C
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2．(易错题)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上， P(2， 3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差 数列，则椭圆的标准方程为________________．
答案：C
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()
2．已知椭圆C：
x2 4
＋
y2 3
＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭
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圆C上的点A满足AF2⊥F1F2，若点P是椭圆C上的动点，
则―F1→P ·―F2→A 的最大值为
()
3
33
9
15
A. 2
B. 2
C.4
D. 4
解析：由椭圆方程知c＝ 4－3＝1，所以F1(－1,0)，F2(1,0)．
(1)当 2a＞|F1F2| 时，P点的轨迹是椭圆； (2)当 2a＝|F1F2| 时，P点的轨迹是线段； (3)当 2a＜|F1F2| 时，P点不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
xa22＋by22＝1(a＞b＞0)
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ay22＋xb22＝1(a＞b＞0)
图形
范围
x∈[__－___a_，____a_]___ y∈_[_－___b__，___b__]__
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必过易错关
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1．椭圆的定义中易忽视2a＞|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2| 其轨迹为线段F1F2，当2a＜|F1F2|不存在轨迹．
2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设
方程为xa22＋by22＝1(a＞b＞0)．
3．注意椭圆的范围，在设椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a＞b＞0)上点的坐
x∈_[_－___b__，___b__]__， y∈_[__－___a_，____a_]__
性 对称性
对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点 ，
质
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率
e＝ac，且e∈_(_0_,1_)_
且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为
()
7
7
75
A.7
B.4
C.2
D. 2
解析：由题意得a＝3，b＝ 7，c＝ 2，
∴|F1F2|＝2 2，|AF1|＋|AF2|＝6. ∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos 45°＝ |AF1|2－4|AF1|＋8， ∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8.
第六 节
椭圆
课前·双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
课堂·考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
课后·三维演练
基础练、题型练、能力练、全练力保全能
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课 前 双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
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必过 教材 关
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1．椭圆的定义 平面内到两定点F1，F2的距离的和 等于常数 (大于|F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的 焦点 ． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0， c＞0，且a，c为常数．
2a＝1＋ 3，2c＝2，得a＝1＋2 3，c＝1，
所以离心率e＝ac＝1＋2
＝ 3
3－1.
答案：D
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角度二：根据椭圆的性质求参数的值或范围 2．椭圆x92＋2y52 ＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，
则m的最大值为________． 解析：记椭圆的两个焦点分别为F1，F2， 则|PF1|＋|PF2|＝2a＝10. 则m＝|PF1|·|PF2|≤|PF1|＋2 |PF2|2＝25， 当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5时等号成立， 即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25. 答案：25
a，b，c的关系
c2＝_a_2_－__b_2_
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[小题体验]
1．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：xa22＋y42＝1的一个焦点为(2,0)，
则C的离心率为
()
A.13
B.12
C.
2 2
D.2 3 2
解析：∵a2＝4＋22＝8，
∴a＝2
2，∴e＝ac＝2
2
＝ 2
2 2.
答案：C
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2．已知椭圆的方程为
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[演练冲关]
1．(2018·瑞安期末)已知椭圆
x2 a2
＋
y2 12
＝1(a＞0)的一个焦点与
抛物线y2＝8x的焦点重合，则该椭圆的离心率为 ( )
1
1
3
3
A.4
B.2
C. 2
D. 4
解析：由题可得，抛物线的焦点坐标为(2,0)，所以a2＝12＋4
＝16，所以a＝4，所以离心率e＝ac＝24＝12. 答案：B
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[通法在握] 1．应用椭圆几何性质的2个技巧 (1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即 使画不出图形，思考时也要联想到一个图形． (2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如－ a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，在求椭圆的相关量的范围 时，要注意应用这些不等关系． 2．求椭圆离心率的方法 (1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解． (2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝ a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．
考点二 椭圆的定义及其应用
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[典例引领]
重点保分型考点——师生共研
1．设P是椭圆2x52 ＋y92＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋
y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最
大值分别为
()
A．9,12 B．8,11 C．8,12 D．10,12 解析：如图所示，因为两个圆心恰好是椭圆
值 |PF1|·|PF2|的最值；利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或 变形，借助三角形性质求最值
[即时应用]
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1．已知椭圆C：
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为
F1，F2，离心率为 33，过F2的直线l交C于A，B两点．
若△AF1B的周长为4 3，则C的方程为
A.x32＋y22＝1