二次函数的上下左右移动
专题05二次函数中的平移、旋转、对称(五大题型)解析版
专题05二次函数中的平移、旋转、对称（五大题型）通用的解题思路：1.二次函数的平移变换平移方式（n＞0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y＝a(x–h)2＋k平移口诀向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n)2+k左加向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k右减向上平移n个单位y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n上加向下平移n个单位y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n下减2.平移与增加性变化如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小)值.只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值.只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.3.二次函数的翻转问题的解题思路：①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性；④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。
4.二次函数图象的翻折与旋转y=a(x-h)²+k绕原点旋转180°y=-a(x+h)²-k a、h、k 均变号沿x 轴翻折y=-a(x-h)²-k a、k 变号，h 不变沿y 轴翻折y=a(x+h)²+ka、h 不变，h 变号题型一：二次函数中的平移问题1．（2024•牡丹区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21(0)y ax bx a a=+-<与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．（1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）．（2）当B 的纵坐标为3时，求a 的值；（3）已知点11(,2P a-，(2,2)Q ，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，请结合函数图象求出a 的取值范围．【分析】（1）令0x =，求出点A 坐标根据平移得出结论；（2）将B 的纵坐标为3代入求出即可；（3）由对称轴为直线1x =得出212y ax ax a =--，当2y =时，解得1|1|a a x a ++=，2|1|a a x a-+=，结合图象得出结论；【解答】解：（1）在21(0)y ax bx a a =+-<中，令0x =，则1y a =-，∴1(0,)A a-，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，则1(2,)B a-．（2）B 的纵坐标为3，∴13a-=，∴13a =-．（3）由题意得：抛物线的对称轴为直线1x =，2b a ∴=-，∴212y ax ax a=--，当2y =时，2122ax ax a=--，解得1|1|a a x a ++=，2|1|a a x a-+=，当|1|2a a a -+≤时，结合函数图象可得12a ≤-，抛物线与PQ 恰有一个公共点，综上所述，a 的取值范围为12a ≤-．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．2．（2024•平原县模拟）已知抛物线212:23C y ax ax a =++-．（1）写出抛物线1C 的对称轴：．（2）将抛物线1C 平移，使其顶点是坐标原点O ，得到抛物线2C ，且抛物线2C 经过点(2,2)A --和点B （点B 在点A 的左侧），若ABO ∆的面积为4，求点B 的坐标．（3）在（2）的条件下，直线1:2l y kx =-与抛物线2C 交于点M ，N ，分别过点M ，N 的两条直线2l ，3l 交于点P ，且2l ，3l 与y 轴不平行，当直线2l ，3l 与抛物线2C 均只有一个公共点时，请说明点P 在一条定直线上．【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式直接可得出答案．（2）根据抛物线2C 的顶点坐标在原点上可设其解析式为2y ax =，然后将点A 的坐标代入求得2C 的解析式，于是可设B 的坐标为21(,)2t t -且(2)t <-，过点A 、B 分别作x 轴的垂线，利用4ABO OBN OAM ABNM S S S S ∆∆∆=--=梯形可求得t 的值，于是可求得点B 的坐标．（3）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立抛物线与直线1l 的方程可得出12x x k +=-，124x x =-．再利用直线2l 、直线3l 分别与抛物线相切可求得直线2l 、直线3l 的解析式，再联立组成方程组可求得交点P 的纵坐标为一定值，于是可说明点P 在一条定直线上．【解答】解：（1）抛物线1C 的对称轴为：212ax a=-=-．故答案为：1x =-．故答案为：1x =-．（2） 抛物线1C 平移到顶点是坐标原点O ，得到抛物线2C ，∴可设抛物线2C 的解析式为：2y ax = 点(2,2)A --有抛物线2C 上，22(2)a ∴-=⋅-，解得：12a =-．∴抛物线2C 的解析式为：212y x =-．点B 在抛物线2C 上，且在点A 的左侧，∴设点B 的坐标为21(,)2t t -且(2)t <-，如图，过点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足为点M 、N ．ABO OBN OAM ABNMS S S S ∆∆∆=-- 梯形2211111()()22(2)(2)22222t t t t =⨯-⨯-⨯⨯-⨯+⨯--32311122424t t t t =--++++212t t =+，又4ABO S ∆=，∴2142t t +=，解得：13t +=±，4(2t t ∴=-=不合题意，舍去），则2211(4)822t -=-⨯-=-，(4,8)B ∴--．（3）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立方程组：2122y xy kx ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，整理得：2240x kx +-=，122x x k ∴+=-，124x x =-．设过点M 的直线解析式为y mx n =+，联立得方程组212y xy mx n⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，整理得2220x mx n ++=．①过点M 的直线与抛物线只有一个公共点，∴△2480m n =-=，∴212n m =．∴由①式可得：221112202x mx m ++⨯=，解得：1m x =-．∴2112n x =．∴过M 点的直线2l 的解析式为21112y x x x =-+．用以上同样的方法可以求得：过N 点的直线3l 的解析式为22212y x x x =-+，联立上两式可得方程组2112221212y x x x y x x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得1212212x x x y x x +⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，12x x k +=- ，124x x =-．∴(,2)2k P -∴点P 在定直线2y =上．（如图）【点评】本题考查了抛物线的对称轴、求二次函数的解析式、解一元二次方程、一元二次方程的根的情况、求直线交点坐标等知识点，解题的关键是利用所画图形帮助探索解法思路．3．（2024•和平区一模）已知抛物线21(y ax bx a =+-，b 为常数．0)a ≠经过(2,3)，(1,0)两个点．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）抛物线的顶点为；（Ⅲ）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线．【分析】（Ⅰ）利用待定系数法即可求解；（Ⅱ）根据抛物线的顶点式即可求得；（Ⅲ）利用平移的规律即可求得．【解答】解：（1） 抛物线21y ax bx =+-经过(2,3)，(1,0)两个点，∴421310a b a b +-=⎧⎨+-=⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为21y x =-；（Ⅱ） 抛物线21y x =-，∴抛物线的顶点为(0,1)-，故答案为：(0,1)-；（Ⅲ）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线2(1)12y x =---，即2(1)3y x =--．故答案为：2(1)3y x =--．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．4．（2024•礼县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++交y 轴于点A ，且过点(1,2)B -，(3,0)C ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求ABC ∆的面积；（3）将抛物线向左平移(0)m m >个单位，当抛物线经过点B 时，求m的值．【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）先求出点A 的坐标，然后切成直线BC 的解析式，求出点D 的坐标，再根据ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+求出ABC ∆的面积；（3）由（1）解析式求出对称轴，再求出点B 关于对称轴的对称点B '，求出BB '的长度即可；【解答】解：（1）把(1,2)B -，(3,0)C 代入23y ax bx =++，则933032a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数解析式为211322y x x =-++；（2） 抛物线23y ax bx =++交y 轴于点A ，(0,3)A ∴，设直线BC 的解析式为y kx n =+，把(1,2)B -，(3,0)C 代入y kx n =+得230k n k n -+=⎧⎨+=⎩，解得1232k n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线BC 的解析式为1322y x =-+，设BC 交y 于点D，如图：则点D 的坐标为3(0,)2，33322AD ∴=-=，113()(31)3222ABC ABD ACD C B S S S AD x x ∆∆∆∴=+=-=⨯⨯+=，（3）211322y x x =-++ ，∴对称轴为直线122b x a =-=，令B 点关于对称轴的对称点为B '，(2,2)B ∴'，3BB ∴'=，抛物线向左平移(0)m m >个单位经过点B ，3m ∴=．【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、三角形面积等知识，关键是掌握二次函数的性质和平移的性质．5．（2024•珠海校级一模）已知抛物线223y x x =+-．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m 的值．【分析】（1）化成顶点是即可求解；（2）根据平移的规律得到2(1)4y x m =-+-+，把原点代入即可求得m 的值．【解答】解：（1）2223(1)4y x x x =+-=+- ，∴抛物线的顶点坐标为(1,4)--．（2）该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，得到的新抛物线对应的函数表达式为2(1)4y x m =+--， 新抛物线经过原点，20(01)4m ∴=+--，解得3m =或1m =-（舍去），3m ∴=，故m 的值为3．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，求得平移后的抛物线的解析式是解题的关键．6．（2024•关岭县一模）如图，二次函数212y x bx c =++与x 轴有两个交点，其中一个交点为(1,0)A -，且图象过点(1,2)B ，过A ，B 两点作直线AB ．（1）求该二次函数的表达式，并用顶点式来表示；（2）将二次函数212y x bx c =++向左平移1个单位，得函数2y =；函数2y 与坐标轴的交点坐标为；（3）在（2）的条件下，将直线AB 向下平移(0)n n >个单位后与函数2y 的图象有唯一交点，求n 的值．【分析】（1）将点(1,0)A -，点(1,2)B 坐标代入抛物线解析式即可求出b 、c 值，再转化为顶点式即可；（2）根据抛物线平移规则“左加右减”得到2y 解析式，令20y =求出与x 轴的交点坐标即可；（3）利用待定系数法求出直线AB 解析式，再根据直线平移法则“上加下减”得到直线平移后解析式，联立消去y ，根据判别式为0解出n 值即可．【解答】解：（1）将点(1,0)A -，点(1,2)B 坐标代入抛物线解析式得：2022b c b c -+=⎧⎨++=⎩，解得11b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为2219212()48y x x x =+-=+-．∴抛物线解析式为：21192()48y x =+-．（2）将二次函数1y 向左平移1个单位，得函数22592()48y x =+-，令20y =，则2592(048x +-=，解得112x =-，22x =-，∴平移后的抛物线与x 轴的交点坐标为1(2-，0)(2-，0)．故答案为：22592()48y x =+-，1(2-，0)(2-，0)．（3）设直线AB 的解析式为y kx b =+，将(1,0)A -，点(1,2)B 代入得：02k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得11k b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 解析式为：1y x =+．将直线AB 向下平移(0)n n >个单位后的解析式为1y x n =+-，与函数2y 联立消去y 得：2592(148x x n +-=+-，整理得：22410x x n +++=，直线AB 与抛物线有唯一交点，△1642(1))0n =-⨯+=，解得1n =．【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握函数的平移法则是解答本题的关键．7．（2024•温州模拟）如图，直线122y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，抛物线2y x mx =-+经过点A ．（1）求点B 的坐标和抛物线的函数表达式．（2）若抛物线向左平移n 个单位后经过点B ，求n 的值．【分析】（1）由题意可得点A 、B 的坐标，利用待定系数法求解二次函数的表达式即可解答；（2）根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”得到平移后的抛物线的表达式，再代入B 的坐标求解即可．【解答】解：（1）令0x =，则1222y x =-+=，(0,2)B ∴，令0y =，则1202y x =-+=，解得4x =，(4,0)A ∴，抛物线2y x mx =-+经过点A ，1640m ∴-+=，解得4m =，∴二次函数的表达式为24y x x =-+；（2）224(2)4y x x x =-+=--+ ，∴抛物线向左平移n 个单位后得到2(2)4y x n =--++，经过点(0,2)B ，22(2)4n ∴=--++，解得2n =±，故n 的值为2-2+【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征等知识，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解答的关键．8．（2024•巴东县模拟）已知二次函数2y ax bx c =++图象经过(2,3)A ，(3,6)B 、(1,6)C -三点．（1）求该二次函数解析式；（2）将该二次函数2y ax bx c =++图象平移使其经过点(5,0)D ，且对称轴为直线4x =，求平移后的二次函数的解析式．【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；（2）利用平移的规律求得平移后的二次函数的解析式．【解答】解：（1）把(2,3)A ，(3,6)B 、(1,6)C -代入2y ax bx c =++，得：4239366a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴该二次函数的解析式为223y x x =-+；（2）若将该二次函数2y ax bx c =++图象平移后经过点(5,0)D ，且对称轴为直线4x =，设平移后的二次函数的解析式为2(4)y x k =-+，将点(5,0)D 代入2(4)y x k =-+，得2(54)0k -+=，解得，1k =-．∴将二次函数的图象平移后的二次函数的解析式为22(4)1815y x x x =--=-+．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，熟知待定系数法和平移的规律是解题的关键．9．（2024•郑州模拟）在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过点(1,2)A ，(2,1)B ．（1）求抛物线的解析式；（2）直线y x m =+经过点A ，判断点B 是否在直线y x m =+上，并说明理由；（3）平移抛物线2y x bx c =-++使其顶点仍在直线y x m =+上，若平移后抛物线与y 轴交点的纵坐标为n ，求n 的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）利用待定系数法求得直线y x m =+的解析式，然后代入点B 判断即可；（3）设平移后的抛物线为2()1y x p q =--++，其顶点坐标为(,1)p q +，根据题意得出2221511()24n p q p p p =-++=-++=-++，得出n 的最大值．【解答】解：（1） 抛物线2y x bx c =-++经过点(1,2)A ，(2,1)B ，∴12421b c b c -++=⎧⎨-++=⎩，解得21b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为：221y x x =-++；（2）点B 不在直线y x m =+上，理由：直线y x m =+经过点A ，12m ∴+=，1m ∴=，1y x ∴=+，把2x =代入1y x =+得，3y =，∴点(2,1)B 不在直线y x m =+上；（3）∴平移抛物线221y x x =-++，使其顶点仍在直线1y x =+上，设平移后的抛物线的解析式为2()1y x p q =--++，其顶点坐标为(,1)p q +， 顶点仍在直线1y x =+上，11p q ∴+=+，p q ∴=，抛物线2()1y x p q =--++与y 轴的交点的纵坐标为21n p q =-++，2221511(24n p q p p p ∴=-++=-++=-++，∴当12p =-时，n 有最大值为54．54n ∴ ．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，题目有一定难度．10．（2024•鞍山模拟）已知抛物线2246y x x =+-．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m 的值．【分析】（1）将二次函数的解析式改写成顶点式即可．（2）将抛物线与x 轴的交点平移到原点即可解决问题．【解答】解：（1）由题知，2222462(21)82(1)8y x x x x x =+-=++-=+-，所以抛物线的顶点坐标为(1,8)--．（2）令0y =得，22460x x +-=，解得11x =，23x =-．又因为将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，所以30m -+=，解得3m =．故m 的值为3．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，熟知利用配方法求二次函数解析式的顶点式及二次函数的图象与性质是解题的关键．11．（2023•原平市模拟）（1）计算：3211()(5)|2|3--+---⨯-；（2）观察表格，完成相应任务：x3-2-1-012221A x x =+-21-2-1-①72(1)2(1)1B x x =-+--721-2-②2任务一：补全表格；任务二：观察表格不难发现，当x m =时代数式A 的值与当1x m =+时代数式B 的值相等，我们称这种现象为代数式B 参照代数式A 取值延后，相应的延后值为1：换个角度来看，将代数式A ，B 变形，得到(A =③2)2-，22B x =-将A 与B 看成二次函数，则将A 的图象④（描述平移方式），可得到B 的图象．若代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3，则代数式P =⑤．【分析】（1）先算乘方，负整数指数幂，绝对值，再算乘法，最后算加减法即可求解；（2）①把1x =分别代入代数式A ，B 即可求得；②根据代数式B 参照代数式A 取值延后，相应的延后值为1，即可得出二次函数A 、B 平移的规律是向右平移1个单位，据此即可得出代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3的P 的代数式．【解答】解：（1）原式19(5)2=-+--⨯19(10)=-+--1910=-++18=；（2）任务一：将1x =代入2212A x x =+-=；代入2(1)2(1)11B x x =-+--=-，故答案为：①2，②1-；任务二：将代数式A ，B 变形，得到2(1)2A x =+-，22B x =-将A 与B 看成二次函数，则将A 的图象向右平移1个单位（描述平移方式），可得到B 的图象．若代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3，则代数式22(13)2(2)2P x x =+--=--．故答案为：①2；②1-；③1x +；④向右平移1个单位；⑤2(2)2P x =--．【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，理解题意，能够准确地列出解析式，并进行求解即可．12．（2024•南山区校级模拟）数形结合是解决数学问题的重要方法．小明同学学习二次函数后，对函数2(||1)y x =--进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：【观察探究】：方程2(||1)1x --=-的解为：；【问题解决】：若方程2(||1)x a --=有四个实数根，分别为1x 、2x 、3x 、4x ．①a 的取值范围是；②计算1234x x x x +++=；【拓展延伸】：①将函数2(||1)y x =--的图象经过怎样的平移可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象？画出平移后的图象并写出平移过程；②观察平移后的图象，当123y时，直接写出自变量x 的取值范围．【分析】（1）根据图象即可求得；（2）根据“上加下减”的平移规律，画出函数21(|21)3y x =---+的图象，根据图象即可得到结论．【解答】解：（1）观察探究：①由图象可知，当函数值为1-时，直线1y =-与图象交点的横坐标就是方程2(||1)1x --=-的解．故答案为：2x =-或0x =或2x =．（2）问题解决：①若方程2(|1)x a --=有四个实数根，由图象可知a 的取值范围是10a -<<．故答案为：10a -<<．②由图象可知：四个根是两对互为相反数．所以12340x x x x +++=．故答案为：0．（3）拓展延伸：①将函数2(||1)y x =--的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象，②当123y 时，自变量x 的取值范围是04x ．故答案为：04x．【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键．13．（2023•花山区一模）已知抛物线2y x ax b =++的顶点坐标为(1,2)．（1）求a ，b 的值；（2）将抛物线2y x ax b =++向下平移m 个单位得到抛物线1C ，存在点(,1)c 在1C 上，求m 的取值范围；（3）抛物线22:(3)C y x k =-+经过点(1,2)，直线(2)y n n =>与抛物线2y x ax b =++相交于A 、B （点A 在点B 的左侧），与2C 相交于点C 、D （点C 在点D 的左侧），求AD BC -的值．【分析】（1）根据对称轴公式以及当1x =时2y =，用待定系数法求函数解析式；（2）根据（1）可知抛物线2223(1)2y x x x =-+=-+，再由平移性质得出抛物线1C 解析式，然后把点(,1)c 代入抛物线1C ，再根据方程有解得出m 的取值范围；（3）先求出抛物线2C 解析式，再求出A ，B ，C ，D 坐标，然后求值即可．【解答】解：（1）由题意得，1212aa b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，解得23a b =-⎧⎨=⎩；（2）由（1）知，抛物线2223(1)2y x x x =-+=-+，将其向下平移m 个单位得到抛物线1C ，∴抛物线1C 的解析式为2(1)2y x m =-+-，存在点(,1)c 在1C 上，2(1)21c m ∴-+-=，即2(1)1c m -=-有实数根，10m ∴- ，解得1m，m ∴的取值范围为1m；（3） 抛物线22:(3)C y x k =-+经过点(1,2)，2(13)2k ∴-+=，解得2k =-，∴抛物线2C 的解析式为2(3)2y x =--，把(2)y n n =>代入到2(1)2y x =-+中，得2(1)2n x =-+，解得1x =1x =(1A ∴-，)n ，(1B +)n ，把(2)y n n =>代入到2(3)2y x =--中，得2(3)2n x =--，解得3x =或3x =+(3C ∴)n ，(3D +，)n ，(3(12AD ∴=+--=+，(1(32BC =+--=-+，(2(24AD BC ∴-=+--+=．【点评】本题考查二次函数的几何变换，二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式，直线和抛物线交点，关键对平移性质的应用．14．（2023•环翠区一模）已知抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)和点(0,3)．（1）求此抛物线的解析式；（2）当自变量x 满足13x -时，求函数值y 的取值范围；（3）将此抛物线沿x 轴平移m 个单位长度后，当自变量x 满足15x时，y 的最小值为5，求m 的值．【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）先求出1x =-及3x =时的函数值，结合函数的性质得到答案；（3）设此抛物线沿x 轴向右平移m 个单位后抛物线解析式为(2)2y x m l =---，利用二次函数的性质，当25m +>，此时5x =时，5y =，即(52)215m ---=，设此抛物线沿x 轴向左平移m 个单位后抛物线解析式为(2)21y x m =-+-，利用二次函数的性质得到2m l -<，此时1x =时，5y =，即(12)215m ---=，然后分别解关于m 的方程即可．【解答】解：（1） 抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)和点(0,3)，∴103b c c ++=⎧⎨=⎩，解得43b c =-⎧⎨=⎩，∴此抛物线的解析式为243y x x =-+；（2）当1x =-时，1438y =++=，当3x =时，91230y =-+=，2243(2)1y x x x =-+=-- ，∴函数图象的顶点坐标为(2,1)-，∴当13x -时，y 的取值范围是18y - ；（3）设此抛物线x 轴向右平移m 个单位后抛物线解析式为(2)y x m =--21-，当自变量x 满足15x时，y 的最小值为5，25m ∴+>，即3m >，此时5x =时，5y =，即(52)m --215-=，解得13m =+，23m =-（舍去）；设此抛物线沿x 轴向左平移m 个单位后抛物线解析式为(2)y x m =-+21-，当自变量x 满足15x时，y 的最小值为5，21m ∴-<，即1m >，此时1x =时，5y =，即2(12)15m ---=，解得11m =-+，21m =--（舍去），综上所述，m 的值为3+1+【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式，也考查了二次函数的性质．15．（2023•南宁一模）如图1，抛物线21y x c =-+的图象经过(1,3)．（1）求c 的值及抛物线1y 的顶点坐标；（2）当132x - 时，求1y 的最大值与最小值的和；（3）如图2，将抛物线1y 向右平移m 个单位(0)m >，再向上平移2m 个单位得到新的抛物线2y ，点N 为抛物线1y 与2y 的交点．设点N 到x 轴的距离为n ，求n 关于m 的函数关系式，并直接写出当n 随m 的增大而减小时，m 的取值范围．【分析】（1）把(1,3)代入抛物线解析式求得c 的值；根据抛物线解析式可以直接得到顶点坐标；（2）根据抛物线的性质知：当0x =时，1y 有最大值为4，当3x =-时，1y 有最小值为5-．然后求1y 的最大值与最小值的和；（3）根据平移的性质“左加右减，上加下减”即可得出抛物线2y 的函数解析式；然后根据抛物线的性质分两种情况进行解答：当06m < 时，0y ，2211(2)4344n m m m =--+=-++．当6m >时，0y <，2211(2)4344n y m m m =-=--=--．【解答】解：（1）抛物线21y x c =-+的图象经过(1,3)，∴当0x =时，2113y c =-+=，解得4c =．∴214y x =-+．顶点坐标为(0,4)；（2）10-< ，∴抛物线开口向下．当0x =时，1y 有最大值为4．当3x =-时，21(3)45y =--+=-．当12x =时，21115()424y =-+=．∴当3x =-时，1y 有最小值为5-．∴最大值与最小值的和为4(5)1+-=-；（3）由题意知，新抛物线2y 的顶点为(,42)m m +，∴22()42y x m m =--++．当12y y =时，22()424x m m x --++=-+，化简得：2220mx m m -+=．又0m > ，∴112x m =-．∴2211(1)4(2)424y m m =--+=--+．当21(2)404m --+=时，解得12m =-；26m =， 104-<，∴抛物线开口向下．当06m < 时，0y ，2211(2)4344n m m m =--+=-++．当6m >时，0y <，2211(2)4344n y m m m =-=--=--．∴综上所述2213,06413,64m m m n m m m ⎧-++<⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩ （或21|(2)4|)4n m =--+．当26m <<时，n 随m 的增大而减小．【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的图象与性质以及二次函数最值的求法．难度偏大．16．（2023•奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =，顶点为A ，与x 轴分别交于点B 和点C （点B 在点C 的左边），与y 轴交于点D ，其中点C 的坐标为(3,0)．（1）求抛物线的表达式；（2）将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为E ，联结DE ．①如果//DE AC ，求四边形ACDE 的面积；②如果点E 在直线DC 上，点Q 在平移后抛物线的对称轴上，当DQE CDQ ∠=∠时，求点Q的坐标．【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）①依据题意画出图形，利用A ，C ，D 的坐标，等腰直角三角形的判定与性质和平行线的性质求得点E ，F 坐标，再利用四边形ACDE 的面积DFC EFCA S S ∆=+平行四边形解答即可；②依据题意画出图形，利用A ，C ，D 的坐标，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理求得点E 坐标和线段DE ，再利用等腰三角形的判定与性质求得线段FQ ，则结论可求．【解答】解：（1） 抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =，经过点(3,0)C ，∴229330b a a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的表达式为243y x x =-+；（2）①2243(2)1y x x x =-+=-- ，(2,1)A ∴-．设抛物线的对称轴交x 轴于点G ，1AG ∴=．令0x =，则3y =，(0,3)D ∴，3OD ∴=．令0y =，则2430x x -+=，解得：1x =或3x =，(1,0)B ∴．如果//DE AC ，需将抛物线向左平移，设DE 交x 轴于点F ，平移后的抛物线对称轴交x 轴于点H ，如图， 点C 的坐标为(3,0)，3OC ∴=．由题意：45ACB ∠=︒，//DE AC ，45DFC ACB ∴∠=∠=︒．3OF OD ∴==，(3,0)F ∴-，由题意：1EH =，1FH EH ∴==，(4,1)E ∴--．//AE x 轴，//DE AC ，∴四边形EFCA 为平行四边形，2(4)6AE =--= ，616EFCA S ∴=⨯=平行四边形．1163922DFC S FC OD ∆=⨯⋅=⨯⨯= ，∴四边形ACDE 的面积6915DFC EFCA S S ∆=+=+=平行四边形；②如果点E 在直线DC 上，点Q 在平移后抛物线的对称轴上，DQE CDQ ∠=∠，如图，当点Q 在x 轴的下方时，设平移后的抛物线的对称轴交x 轴于F ，由题意：1EF =．3OD OC == ，45ODC OCD ∴∠=∠=︒，45FCE OCD ∴∠=∠=︒，1CF EF ∴==，(4,1)E ∴-．CD ==，CE ==DE CD CE ∴=+=DQE CDQ ∠=∠ ，EQ DE ∴==1QF EF EQ ∴=+=，(4,1)Q ∴-；当点Q 在x 轴的上方时，此时为点Q '，DQ E CDQ ∠'=∠' ，EQ DE ∴'==，1Q F EQ EF ∴'='-=，(4Q ∴'，1)-．综上，当DQE CDQ ∠=∠时，点Q 的坐标为(4,1)--或(4，1)-．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，三角形面积，直角三角形性质，勾股定理，相似三角形判定和性质等，解题的关键是熟练运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．17．（2023•下城区校级模拟）如图已知二次函数2(y x bx c b =++，c 为常数）的图象经过点(3,1)A -，点(0,4)C -，顶点为点M ，过点A 作//AB x 轴，交y 轴于点D ，交二次函数2y x bx c =++的图象于点B ，连接BC ．（1）求该二次函数的表达式及点M 的坐标：（2）若将该二次函数图象向上平移(0)m m >个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC ∆的内部（不包括ABC ∆的边界），求m 的取值范围；（3）若E 为y 轴上且位于点C 下方的一点，P 为直线AC 上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q ，使以C 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的横坐标：若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点(3,1)A -，点(0,4)C -代入2y x bx c =++，即可求解；（2）求出平移后的抛物线的顶点(1,5)m -，再求出直线AC 的解析式4y x =-，当顶点在直线AC 上时，2m =，当M 点在AB 上时，4m =，则24m <<；（3）设(0,)E t ，(,4)P p p -，2(,24)Q q q q --，分三种情况讨论：当CE 为菱形对角线时，CP CQ =，22222342(2)p q t q q q q q q =-⎧⎪=--⎨⎪=+-⎩，Q 点横坐标为1；②当CP 为对角线时，CE CQ =，22222824(4)(2)p q p t q q t q q q =⎧⎪-=+--⎨⎪+=+-⎩，Q 点横坐标为2；③当CQ 为菱形对角线时，CE CP =，222284(4)2p q q q t p t q =⎧⎪--=+-⎨⎪+=⎩，Q点横坐标为3【解答】解：（1）将点(3,1)A -，点(0,4)C -代入2y x bx c =++，∴4931c b c =-⎧⎨++=-⎩，解得24b c =-⎧⎨=-⎩，224y x x ∴=--，2224(1)5y x x x =--=-- ，∴顶点(1,5)M -；（2）由题可得平移后的函数解析式为2(1)5y x m =--+，∴抛物线的顶点为(1,5)m -，设直线AC 的解析式为y kx b =+，∴431b k b =-⎧⎨+=-⎩，解得14k b =⎧⎨=-⎩，4y x ∴=-，当顶点在直线AC 上时，53m -=-，2m ∴=，//AB x 轴，(1,1)B ∴--，当M 点在AB 上时，51m -=-，4m ∴=，24m ∴<<；（3）存在一点Q ，使以C 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，理由如下：设(0,)E t ，(,4)P p p -，2(,24)Q q q q --，点E 在点C 下方，4t ∴<-，Q点在第四象限，01q ∴<<，①当CE 为菱形对角线时，CP CQ =，∴22222342(2)p q t q q q q q q =-⎧⎪=--⎨⎪=+-⎩，解得334q p t =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩（舍)或116p q t =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，Q ∴点横坐标为1；②当CP 为对角线时，CE CQ =，∴22222824(4)(2)p q p t q q t q q q =⎧⎪-=+--⎨⎪+=+-⎩，解得222q p t =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，Q ∴点横坐标为2，不符合题意；③当CQ 为菱形对角线时，CE CP =，∴222284(4)2p q q q t p t q =⎧⎪--=+-⎨⎪+=⎩，解得332p q t ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-+⎪⎩（舍)或332p q t ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=--⎪⎩，Q ∴点横坐标为3-综上所述：Q 点横坐标为1或3-【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，菱形的性质，分类讨论是解题的关键．18．（2023•即墨区一模）如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为243y x x =-+．已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(0,3)A ，(1,0)B ，．求该二次函数的解析式．（1）请根据已有信息添加一个适当的条件：(2,1)C -（答案不唯一）；（2）当函数值6y <时，自变量x 的取值范围：；（3）如图1，将函数243(0)y x x x =-+<的图象向右平移4个单位长度，与243(4)y x x x =-+ 的图象组成一个新的函数图象，记为L ．若点(3,)P m 在L 上，求m 的值；（4）如图2，在（3）的条件下，点A 的坐标为(2,0)，在L 上是否存在点Q ，使得9OAQ S ∆=．若存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）只需填一个在抛物线图象上的点的坐标即可；（2）求出6y =时，对应的x 值，再结合图象写出x 的取值范围即可；（3）求出抛物线向右平移4个单位后的解析式为2(6)3y x =--，根据题意可知3x =时，P 点在抛物线2(6)3y x =--的部分上，再求m 的值即可；（4）分两种情况讨论：当Q 点在抛物线2(6)3y x =--的部分上时，设2(,1233)Q t t t -+，由212(1233)92OAQ S t t ∆=⨯⨯-+=，求出Q 点坐标即可；当Q 点在抛物线243y x x =-+的部分上时，设2(,41)Q m m m -+，由212(41)92OAQ S m m ∆=⨯⨯-+=，求出Q 点坐标即可．【解答】解：（1）(2,1)C -，故答案为：(2,1)C -（答案不唯一）；（2）243y x x =-+ ，∴当2436x x -+=时，解得2x =2x =-∴当6y <时，22x <<+，故答案为：22x -<<+；（3）2243(2)1y x x x =-+=-- ，∴抛物线向右平移4个单位后的解析式为2(6)1y x =--，当3x =时，点P 在抛物线2(6)1y x =--的部分上，8m ∴=；（4）存在点Q ，使得9OAQ S ∆=，理由如下：当Q 点在抛物线2(6)1y x =--的部分上时，设2(,1235)Q t t t -+，212(1235)92OAQ S t t ∆∴=⨯⨯-+=，解得6t =+6t =，4t ∴<，6t ∴=-(6Q ∴-，9)；当Q 点在抛物线243y x x =-+的部分上时，设2(,43)Q m m m -+，212(43)92OAQ S m m ∆∴=⨯⨯-+=，解得2m =+或2m =-4m ，2m ∴=+，2Q ∴，9)；综上所述：Q 点坐标为(6，9)或2+，9)．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，数形结合解题是关键．19．（2023•武侯区模拟）定义：将二次函数l 的图象沿x 轴向右平移t ，再沿x 轴翻折，得到新函数l '的图象，则称函数l '是函数l 的“t 值衍生抛物线”．已知2:23l y x x =--．（1）当2t =-时，①求衍生抛物线l '的函数解析式；②如图1，函数l 与l '的图象交于(M ，)n ，(,N m -两点，连接MN ．点P 为抛物线l '上一点，且位于线段MN 上方，过点P 作//PQ y 轴，交MN 于点Q ，交抛物线l 于点G ，求QNG S ∆与PNG S ∆存在的数量关系．（2）当2t =时，如图2，函数l 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ．函数l '与x 轴交于D ，E 两点，与y 轴交于点F ．点K 在抛物线l '上，且EFK OCA ∠=∠．请直接写出点K 的横坐标．【分析】（1）①利用抛物线的性质和衍生抛物线的定义解答即可；②利用待定系数法求得直线MN 的解析式，设2(,23)P m m m --+，则得到(,2)Q m m -，2(,23)G m m m --，利用m 的代数式分别表示出PQ ，QG 的长，再利用同高的三角形的面积比等于底的比即可得出结论；（2）利用函数解析式求得点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标，进而得出线段OA ，OC ，OD ，OE ，AC ，OF 的长，设直线FK 的解析式为5y kx =-，设直线FK 交x 轴于点M ，过点M 作MN EF ⊥于点N ，用k 的代数式表示出线段OM ．FM ，ME 的长，利用EFK OCA ∠=∠，得到sin sin EFK OCA ∠=∠，列出关于k 的方程，解方程求得k 值，将直线FK 的解析式与衍生抛物线l '的函数解析式联立即可得出结论．。
二次函数中的平移与缩放
二次函数中的平移与缩放在数学中，二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数是一种非常重要的函数类型，它在几何图形的描述以及物理、经济等领域中都有广泛的应用。
本文将探讨二次函数中的平移与缩放，以帮助读者更好地理解和应用二次函数。
一、平移平移是指二次函数在坐标平面上沿着x轴或y轴方向上的移动。
平移可以使得二次函数在图像上上下左右地移动，而函数的形状保持不变。
我们将分别讨论二次函数在x轴和y轴方向上的平移。
1. x轴方向上的平移对于二次函数y = ax^2 + bx + c，我们可以通过改变c的值来实现在x轴方向上的平移。
当c的值增大时，二次函数的图像向上平移；当c的值减小时，二次函数的图像向下平移。
例如，考虑二次函数y = x^2。
当我们将c的值从0增至1时，二次函数的图像将在坐标平面上向上平移一个单位。
同样地，当我们将c的值从0减至-1时，二次函数的图像将向下平移一个单位。
2. y轴方向上的平移除了在x轴方向上的平移，我们还可以通过改变b的值来实现在y轴方向上的平移。
当b的值增大时，二次函数的图像向左平移；当b的值减小时，二次函数的图像向右平移。
以二次函数y = x^2为例，当我们将b的值从0增至1时，二次函数的图像将在坐标平面上向左平移一个单位。
反之，当我们将b的值从0减至-1时，二次函数的图像将向右平移一个单位。
二、缩放缩放是指二次函数图像的整体尺寸的改变。
通过改变a的值，我们可以实现二次函数图像在x轴和y轴方向上的缩放。
1. x轴方向上的缩放对于二次函数y = ax^2 + bx + c，当a > 1时，二次函数图像在x轴方向上被压缩；当0 < a < 1时，二次函数图像在x轴方向上被拉伸。
例如，考虑二次函数y = 2x^2。
与y = x^2相比，这个函数图像在x轴方向上被压缩了。
这意味着二次函数图像的峰值更尖锐，曲线更陡峭。
二次函数图像的平移问题
索罗学院
二次函数图像的平移问题
疑点：二次函数的图像如何才能正确平移?
解析：平移在考试中会考，但是分值不会太大，重点是考察一般形式下的二次函数。
平移口诀：上加下减，左加右减。
一般情况下，不用担心h，k的正负情况。
只去看向上向下还是向左向右移就可以了。
1、上下平移将抛物线y=ax²向上移动k个单位，那么得到y=ax²+k
将抛物线y=ax²向下移动k个单位，那么得到y=ax²-k
2、左右平移将抛物线y=ax²向右移动h个单位，那么得到y=a(x-h)²
将抛物线y=ax²向左移动h个单位，那么得到y=a(x+h)²
记住上面4条就可以了。
例如：将抛物线y=ax²向右平行移动1个单位，再向上移动2个单位，就可以得到
y=a(x-1)²+2的图象;
也许你会担心h，k的正负情况，其实不用担心，只需遵循前面那4条，直接把h，k 的值代入式子中。
结论：上加下减，左加右减。
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二次函数的变换规律
二次函数的变换规律二次函数是高中数学中的重要内容，它是一种常见的数学函数形式。
在学习二次函数时，我们需要了解二次函数的变换规律，即通过对函数中的参数进行变化，能够改变函数的形状和位置。
在本文中，我将详细介绍二次函数的变换规律，以加深对该主题的理解。
1. 平移变换平移变换是指通过改变二次函数的平移量，使函数图像在坐标平面上上下左右移动。
二次函数的标准形式为f(x) = ax² + bx + c，在平移变换中，平移量为h和k，表示在横轴和纵轴上的平移距离。
1.1 沿x轴平移二次函数沿x轴正方向平移h个单位，相当于将函数图像向左移动h个单位；沿x轴负方向平移h个单位，相当于将函数图像向右移动h个单位。
平移后的函数可表示为f(x) = a(x-h)² + bx + c，其中h代表横轴的平移量。
1.2 沿y轴平移二次函数沿y轴正方向平移k个单位，相当于将函数图像向上移动k个单位；沿y轴负方向平移k个单位，相当于将函数图像向下移动k个单位。
平移后的函数可表示为f(x) = ax² + bx + (c-k)，其中k代表纵轴的平移量。
2. 缩放变换缩放变换是指通过改变二次函数的参数a和导致函数图像的纵向和横向的缩放。
二次函数的标准形式为f(x) = ax² + bx + c，在缩放变换中，缩放因子为p和q，表示纵向和横向的缩放比例。
2.1 纵向缩放当缩放因子p大于1时，二次函数的图像会纵向收缩；当p在0和1之间时，二次函数的图像会纵向拉伸。
缩放后的函数可表示为f(x) = pax² + bx + c，其中p表示纵向缩放因子。
2.2 横向缩放当缩放因子q大于1时，二次函数的图像会横向拉伸；当q在0和1之间时，二次函数的图像会横向收缩。
缩放后的函数可表示为f(x) =a(qx)² + bx + c，其中q表示横向缩放因子。
3. 翻转变换翻转变换改变了二次函数图像的方向。
二次函数左右平移
二次函数左右平移
二次函数是数学中一个非常重要的函数形式，它的一般形式为
y=a(x-h)²+k，其中a、h、k分别是二次函数的参数。
在二次函数中，参数h和k可以分别对应二次函数的左右平移和
上下平移。
本文将针对二次函数的左右平移进行详细讲解，从而让大
家更好地掌握这一知识点。
首先，我们需要了解二次函数的对称轴。
对称轴是指二次函数图
像的中心轴线，对称轴的方程可以使用h来表示，即x=h。
当我们对二次函数进行左右平移时，实际上就是通过改变h来实
现的。
如果需要将二次函数向左平移k单位，我们只需要将h的值减
少k即可，即h' = h-k；相反，如果需要将二次函数向右平移k单位，我们只需将h的值增加k，即h' = h+k。
在进行左右平移时，需要注意的是，平移后的对称轴和平移前的
对称轴仍然是相等的。
这意味着，二次函数的左右平移不会影响对称
轴的位置，只会改变函数图像的位置。
二次函数的左右平移可以用来实现很多实际应用，比如在数据分
析中，我们可以通过对数据进行左右平移，来进行比较和分析；在图
像处理中，我们可以使用左右平移来调整图像的位置和大小。
总的来说，二次函数的左右平移是一项重要的数学知识点，在学
习中我们需要深入理解它的原理和应用。
同时，我们也需要不断练习，
加深对左右平移的掌握和运用能力，以便在未来的工作和学习中能够更好地利用这一知识点。
二次函数的像变换
二次函数的像变换二次函数是数学中的一种特殊函数形式，其表达式为f(x) = ax^2 +bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像呈现出一种特殊的形状——拱形或抛物线，且拥有一条对称轴。
在学习二次函数时，我们会涉及到像变换，即通过对函数图像进行平移、缩放或翻转等操作，从而改变函数图像的位置、大小和方向。
一、平移变换平移变换指的是将函数图像沿x轴或y轴方向进行移动，可以使图像向左、向右、向上或向下平移。
1. 向左平移将函数图像沿x轴的正方向平移k个单位，可记作f(x - k)，其中k为平移的距离。
例如，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，向左平移k个单位后的新函数为y = a(x + k)^2 + b(x + k) + c，图像相对于原函数的平移方向相反，距离为k。
2. 向右平移将函数图像沿x轴的负方向平移k个单位，可记作f(x + k)，其中k为平移的距离。
例如，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，向右平移k个单位后的新函数为y = a(x - k)^2 + b(x - k) + c，图像相对于原函数的平移方向相反，距离为k。
3. 向上平移将函数图像沿y轴的正方向平移k个单位，可记作f(x) + k，其中k 为平移的距离。
例如，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，向上平移k个单位后的新函数为y = a(x)^2 + b(x) + (c + k)，图像相对于原函数的平移方向相同，距离为k。
4. 向下平移将函数图像沿y轴的负方向平移k个单位，可记作f(x) - k，其中k 为平移的距离。
例如，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，向下平移k个单位后的新函数为y = a(x)^2 + b(x) + (c - k)，图像相对于原函数的平移方向相同，距离为k。
二、缩放变换缩放变换指的是改变函数图像的大小，可以使图像变窄或变宽，变高或变矮。
二次函数向上下左右平移规律
二次函数向上下左右平移规律二次函数可以通过平移来改变其位置，包括向上、向下、向左、向右平移。
在进行二次函数平移时，需要调整函数的常数项和线性项，而二次项保持不变。
首先，我们来讨论二次函数向上平移的规律。
当二次函数向上平移时，整个函数图像相对于标准的二次函数图像整体上移。
要进行向上平移，可以通过增加函数的常数项来实现。
如果标准二次函数为f(x) = ax^2 +bx + c，我们可以将其向上平移h个单位，得到新的二次函数为f(x) =ax^2 + bx + (c + h)。
这样，整个函数图像的每个点都上移了h个单位。
接下来，我们来讨论二次函数向下平移的规律。
当二次函数向下平移时，整个函数图像相对于标准的二次函数图像整体下移。
要进行向下平移，可以通过减少函数的常数项来实现。
如果标准二次函数为f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以将其向下平移h个单位，得到新的二次函数为f(x) =ax^2 + bx + (c - h)。
这样，整个函数图像的每个点都下移了h个单位。
接下来，我们来讨论二次函数向左平移的规律。
当二次函数向左平移时，整个函数图像相对于标准的二次函数图像整体左移。
要进行向左平移，可以通过增加函数的线性项来实现。
如果标准二次函数为f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以将其向左平移k个单位，得到新的二次函数为f(x) =a(x + k)^2 + b(x + k) + c。
这样，整个函数图像的每个点都左移了k个单位。
最后，我们来讨论二次函数向右平移的规律。
当二次函数向右平移时，整个函数图像相对于标准的二次函数图像整体右移。
要进行向右平移，可以通过减少函数的线性项来实现。
如果标准二次函数为f(x) = ax^2 +bx + c，我们可以将其向右平移k个单位，得到新的二次函数为f(x) = a(x - k)^2 + b(x - k) + c。
这样，整个函数图像的每个点都右移了k 个单位。
二次函数的平移
二次函数的平移
平移遵循的规则是：上加、下减、左加、右减。
（1）上加、下减，即图像上下平移解析式作相应的变化。
例如：y=ax²+b往上平移2个单位，即变为y=ax²+b+2；y=ax²+b往下平移3个单位，即变为y=ax²+b-3。
（2）左加、右减，即图象左右平移时解析所作的相应变化。
例如：y=ax²+b往左平移1个单位，即变为y=a(x+1)²+b；y=ax²+b往右平移4个单位，即变为y=a(x-4)²+b。
扩展资料
二次函数的性质
二次函数（以下称函数）y=ax²+bx+c(a≠0)，当y=0时，二次函数为关于x 的一元二次方程（以下称方程），即ax²+bx+c=0(a≠0)。
此时，函数图像与x 轴有无交点即方程有无实数根，函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
a、b、c值与图像关系：
a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下。
当抛物线对称轴在y轴左侧时a，b同号，当抛物线对称轴在y轴右侧时a，b 异号。
c>0时，抛物线与y轴交点在x轴上方；c<0时，抛物线与y轴交点在x轴下方。
a=0时，此图像为一次函数。
b=0时，抛物线顶点在y轴上。
c=0时，抛物线在x轴上。
当抛物线对称轴在y轴左侧时a，b同号，当抛物线对称轴在y轴右侧时a，b 异号。
二次函数的平移问题
二次函数的平移问题关于二次函数的平移变换问题二次函数的平移变换可以分为上下平移和左右平移两种情况。
1.上下平移对于原函数y=ax²+bx+c，若要进行上下平移，可以进行以下变换：向上平移m个单位，得到平移后的函数y=ax²+bx+c+m；向下平移m个单位，得到平移后的函数y=ax²+bx+c-m。
需要注意的是，m为正数，若m为负数，则对应的加（减）号需要改为减（加）号。
一般称这种变换为上加下减或上正下负。
2.左右平移对于原函数y=ax²+bx+c，若要进行左右平移，可以进行以下变换：先将函数化为顶点式y=a(x-h)²+k；向左平移n个单位，得到平移后的函数y=a(x-h+n)²+k；向右平移n个单位，得到平移后的函数y=a(x-h-n)²+k。
需要注意的是，n为正数，若n为负数，则对应的加（减）号需要改为减（加）号。
一般称这种变换为左加右减或左正右负。
例题：1.将抛物线y=-x²向左平移一个单位，再向上平移三个单位，平移后的表达式为（）A。
y=-(x-1)²+3B。
y=-(x+1)²+3C。
y=-(x-1)²-3D。
y=-(x+1)²-32.抛物线y=x²+bx+c向右平移两个单位，再向下平移三个单位，得到的抛物线表达式为y=x²-2x-3，则b、c的值分别为（）A。
b=2，c=2B。
b=2，c=0C。
b=-2，c=-1D。
b=-3，c=23.将函数y=x²+x的图像向右平移a（a>0）个单位，得到函数y=x²-3x+2的图像，则a的值为（）A。
1B。
2C。
3D。
44.已知二次函数y=x²-bx+1（-1≤b≤1），当b从-1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动。
下列关于抛物线移动方向的描述中，正确的是（）A。
二次函数的平移与伸缩
二次函数的平移与伸缩二次函数是一种常见的数学函数，在数学和物理等领域有广泛的应用。
平移和伸缩是二次函数的重要性质，它们可以改变函数图像的位置和形状。
本文将详细介绍二次函数的平移和伸缩的概念、性质及其在图像变化中的应用。
一、平移的概念与性质平移是指将函数图像沿着坐标轴的方向上下或左右移动，而不改变函数的形状。
对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，平移的一般形式可以表示为 f(x - h) + k，其中 (h, k) 表示平移的距离和方向。
1. 水平平移：当 h > 0 时，函数图像向右平移 h 个单位；当 h < 0 时，函数图像向左平移 |h| 个单位。
2. 垂直平移：当 k > 0 时，函数图像向上平移 k 个单位；当 k < 0 时，函数图像向下平移 |k| 个单位。
平移的性质：平移后的函数图像与原函数图像相似，但位置发生了变化。
平移不改变二次函数的对称轴和开口方向。
二、伸缩的概念与性质伸缩是指将函数图像在坐标轴的方向上拉长或压缩，通过改变函数的系数实现。
对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，伸缩的一般形式可以表示为 f(px) = a(p·x)^2 + b(p·x) + c，其中 p 表示伸缩的比例。
1. 水平伸缩：当 p > 1 时，函数图像在 x 轴方向上被压缩；当 0 < p < 1 时，函数图像在 x 轴方向上被拉长。
2. 垂直伸缩：当 a > 1 时，函数图像在 y 轴方向上被拉伸；当 0 < a< 1 时，函数图像在 y 轴方向上被压缩。
伸缩的性质：伸缩后的函数图像与原函数图像相似，但形状和大小发生了改变。
伸缩改变了二次函数的开口程度，但不改变二次函数的对称轴。
三、平移与伸缩的应用1. 位置调整：通过平移可以将函数图像移动到坐标系中合适的位置，使得图像与实际问题相符合。
二次函数的平移与缩放
二次函数的平移与缩放二次函数是一种常见的数学函数形式，其一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
在这篇文章中，我们将探讨二次函数的平移和缩放以及如何在二维平面中对其进行图形变换。
一、平移平移是指将函数图像沿着坐标轴上下左右方向移动的操作。
对于二次函数y=ax^2+bx+c来说，平移可以通过改变常数b和常数c实现。
1. 沿x轴平移当我们想要将二次函数沿x轴平移时，只需要改变常数c的值即可。
若c>0，则图像向上平移；若c<0，则图像向下平移。
平移的距离与常数c的绝对值成正比。
2. 沿y轴平移相对于沿x轴平移，沿y轴平移需要更改常数b的值。
当b>0时，图像向右平移；当b<0时，图像向左平移。
平移的距离与常数b的绝对值成正比。
3. 综合平移如果我们需要进行综合平移，即同时沿x轴和y轴方向移动，我们可以同时改变常数b和常数c的值。
二、缩放缩放是指通过改变二次函数中的参数a的值来改变函数图像的形状和幅度。
1. a的绝对值大于1当a的绝对值大于1时，函数图像会在x轴的方向上发生压缩，图像将变得更瘦高。
a的绝对值越大，图像的压缩程度也越高。
2. 0 < a的绝对值 < 1当0 < a的绝对值 < 1时，函数图像会在x轴的方向上发生伸展，图像将变得更矮胖。
a的绝对值越小，图像的伸展程度也越高。
3. a的值为负数当a的值为负数时，函数图像将上下翻转。
这种情况下，函数图像的顶点将变为最低点，变为最低点处的y值也会变为最高点处的y值。
三、综合平移与缩放在实际应用中，我们常常需要同时进行平移和缩放来对二次函数进行变换。
这样可以更好地适应我们的需求，并绘制出我们想要的图像形状和位置。
综上所述，二次函数的平移与缩放是通过改变函数中的常数a、b和c的值来实现的。
平移是通过改变常数b和常数c的值来实现图像在坐标轴上的上下左右移动。
缩放是通过改变常数a的值来改变函数图像的形状和幅度。
二次函数像的变化规律与应用
二次函数像的变化规律与应用二次函数是高中数学中的一个重要概念，它具有丰富的变化规律和实际应用。
本文将围绕二次函数像的变化规律和应用展开讨论，探索其在数学和实际生活中的重要性。
一、二次函数像的基本变化规律在讨论二次函数像的变化规律之前，我们首先需要了解二次函数的标准形式：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$、$b$、$c$为常数，且$a$不等于零。
1. 平移变化二次函数像的平移变化是指将二次函数的图像上下左右移动，形成新的函数图像。
具体而言，对于标准形式的二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$：（1）平移上下：当$c$的值发生变化时，二次函数的图像在纵轴方向上发生平移。
若$c$为正数，则函数图像向上平移；若$c$为负数，则函数图像向下平移。
（2）平移左右：当$b$的值发生变化时，二次函数的图像在横轴方向上发生平移。
若$b$为正数，则函数图像向左平移；若$b$为负数，则函数图像向右平移。
2. 缩放变化二次函数像的缩放变化是指改变二次函数在横轴和纵轴方向上的比例，从而改变函数图像形状的大小。
具体而言，对于标准形式的二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$：（1）纵向缩放：当$a$的值发生变化时，二次函数的图像在纵轴方向上发生缩放。
若$a$的绝对值大于1，则函数图像纵向收缩；若$a$的绝对值小于1，则函数图像纵向拉长。
（2）横向缩放：当$a$的值发生变化时，二次函数的图像在横轴方向上发生缩放。
若$a$为正数，则函数图像横向收缩；若$a$为负数，则函数图像横向翻转。
二、二次函数像的应用二次函数不仅仅是抽象的数学概念，还在实际生活中有着广泛的应用。
以下将介绍二次函数在物理学、经济学和工程学中的应用。
1. 抛物线的运动模型抛物线运动是物理学中常见的一种运动形式，例如抛体的自由落体运动和抛射物的运动轨迹等。
而抛物线恰好是二次函数的图像，它描述了物体在运动过程中的位置变化。
二次函数图象的左右上下平移
3
变换后的图象
经过同时进行的平移变换后，二次函数图象在平面上发生了水平和垂直方向上的 移动。
练习题举例
例题1
已知二次函数图象表示为y = x^2 + 2，进行向右 平移2个单位。
例题3
已知二次函数图象表示为y = x^2 - 4，进行向上 平移4个单位。
例题2
已向 左平移3个单位。
2
向下平移
将二次函数图象整体向下平移，纵坐标减小，表示向下移动。
3
平移距离
平移距离由平移量确定，平移量为正时向上平移，为负时向下平移。
同时进行的平移规律及图象
1
水平和垂直同时平移
可以同时进行水平和垂直方向的平移变换，改变二次函数图象的位置。
2
平移距离
水平方向和垂直方向的平移距离由平移量决定，正值表示向右上方移动，负值表 示向左下方移动。
二次函数图象的左右上下 平移
二次函数的标准式
二次函数的基本形态
标准形态
二次函数图象呈现典型的抛物线 形态，开口方向由函数的二次项 系数决定。
尖峰或平坦
当二次项系数大于零时，抛物线 开口向上，呈现尖峰形态；当二 次项系数小于零时，抛物线开口 向下，呈现平坦形态。
平移变换
通过平移变换，可以改变抛物线 的位置，使其在平面上上下左右 移动。
例题4
已知二次函数图象表示为y = -x^2 + 2，进行向 下平移2个单位。
左右平移规律及图象
1
向左平移
2
将二次函数图象整体向左平移，横坐标
增加，表示向负方向移动。
3
向右平移
将二次函数图象整体向右平移，横坐标 减小，表示向正方向移动。
平移距离
二次函数图像上下和左右平移
函数y=-x2-2的图 象可由y=-x2的图 象沿y轴向下平移2 个单位长度得到.
4
y y=-x2+3
2
-5
O
5
x
10
-2 y=-x2
-4
-6
y=-x2-2
图象向上移还是向下移,移多少个单位-8 长度,有什么规律吗?
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+c (a≠0)的图象形 状相同 ，只是_位__置__不同；当c>0时，函数y=ax2+c 的图象可由y=ax2的图象向 上平移 c 个单位得到， 当c<0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象
向上平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。
（3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的 抛物线的函数式是 y=4x2+3 。
将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的 抛物线的函数式是 y=-5x2-4 。
（4）抛物线y=-3x2+5的开口 下 ，对称轴是 y轴 ， 顶点坐标是 (0,5)，在对称轴的左侧，y随x的增大 而 增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而 减小， 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 5 。
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来,
|a|越大,抛物线的开口就越小.
x ….. -2 y=x2 …… 4
y=x2+1 …… 5
函数y=x2+1的图 象可由y=x2的图象 沿y轴向上平移1个
单位长度得到.
相同
-10
-5
-1 0 10
20
y
8
12 14
二次函数的平移规律
.
• 分析：把把x轴，y轴分别向上、向右平移2个 单位，也可以看成把抛物线向下，向左平移2 个单位.
例3.如果要得到 y x2 6x 7 的图像，需
将 y x2 的 图像（ ）
A.先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单 位长度
B.先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单 位长度
C.先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单 位长度
例1.在平面直角坐标系中，将抛物线 y 2x 2
向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位
长度，所得抛物线的解析式是
.
y 2x2向下平移3个单位得 y 2x2 3
y 2x2 3
例2.在平面直角坐标系中，如果抛物线 y 2x2 不动， 而把x轴，y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在
新坐标系下抛物线的解析式是
D.先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单 位长度二次函数一般式直接平移
• 例4.已知抛物线 y x2 2x 1 向右平移
3个单位长度，向下平移2个单位长度得到
的函数解析式是
.
总结：二次函数的平移规律： 上下平移后变化，上加下减； 左右平移括号里面变化，左加右减. 也可以说成： 上下平移函数值y变化，上加下减； 左右平移自变量x变化，左加右减
九年级数学上册
二次函数的平移规律
二次函数的平移规律
• 二次函数的解析式一共有5种形式
1 y ax2 2y ax2 k
3y ax h2
4y ax h2 k
5y ax2 bx c
1 y ax2 2y ax2 k 3y ax h2 4y ax h2 k 5y ax2 bx c
由（1）经过上下平移得到（2）， 即上下平移后变化，上加下减 由（1）经过左右平移得到（3） 即左右平移括号里面变化，左加右减. 由（1）经过上下平移和左右平移得到（4） （4）式和（5）式可以互相转化.
二次函数的平移缩放与反转变换解析
二次函数的平移缩放与反转变换解析二次函数是高中数学中的重要知识点，它在数学和物理等学科中都有广泛应用。
在解析几何中，我们经常需要对二次函数进行平移、缩放和反转等变换操作，以便更好地研究其特性和性质。
本文将详细介绍二次函数的平移缩放与反转变换的解析方法。
一、平移变换平移是指改变二次函数的图像位置，使其在平面上上下左右移动。
平移变换可以通过改变二次函数的形式来实现。
对于一般形式的二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，如果我们希望将图像向右平移$h$个单位，可以将$x$替换为$x-h$，即$f(x-h) = a(x-h)^2 + b(x-h) + c$。
同样地，如果我们希望将图像向左平移$h$个单位，可以将$x$替换为$x + h$，即$f(x+h) = a(x+h)^2 + b(x+h) + c$。
例如，考虑二次函数$f(x) = x^2$，我们希望将其向右平移3个单位。
根据平移变换的原理，我们将$x$替换为$x-3$，得到$f(x-3) = (x-3)^2$。
这样，原来的函数图像$f(x) = x^2$向右平移3个单位后，变成了$f(x-3) = (x-3)^2$的图像。
同样地，我们可以将二次函数向上或向下平移$k$个单位。
具体操作是将整个函数加上或减去$k$，即$f(x) + k$或$f(x) - k$。
例如，如果要将函数$f(x) = x^2$向上平移2个单位，我们可以令$y = f(x) + 2 = x^2 + 2$，这样原来的函数图像$f(x) = x^2$向上平移2个单位后，变成了$y = x^2 + 2$的图像。
二、缩放变换缩放是指改变二次函数图像的形状和大小，使其变得更高或更扁。
缩放变换可以通过改变二次函数的系数来实现。
对于一般形式的二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，如果我们希望将图像垂直方向缩放$k$倍，可以将$f(x)$替换为$k \cdot f(x)$，即$kf(x) = k(ax^2 + bx + c)$。
二次函数的平移与翻折
二次函数的平移与翻折二次函数是高中数学中的重要内容，它在数学和实际问题中有着广泛的应用。
在学习二次函数的过程中，我们不仅需要掌握它的基本性质和图像，还需要了解二次函数的平移与翻折的概念和方法。
本文将详细介绍二次函数的平移与翻折的概念，以及如何应用这些概念解决实际问题。
一、二次函数的平移平移是指二次函数图像在平面上上下左右移动的过程。
平移可以改变函数图像的位置，但不会改变函数的形状。
在二次函数的标准形式y = ax^2 + bx + c中，平移的规律如下：1. 当b>0时，二次函数图像向左平移；2. 当b<0时，二次函数图像向右平移；3. 当c>0时，二次函数图像向上平移；4. 当c<0时，二次函数图像向下平移。
例如，考虑函数y = x^2，当我们加上一个正数c，即y = x^2 + c，这样二次函数的图像会向上平移c个单位；若我们加上一个负数c，即y = x^2 - c，二次函数的图像则会向下平移c个单位。
二、二次函数的翻折翻折是指由二次函数y = ax^2 + bx + c得到二次函数y = -ax^2 + bx+ c的过程。
翻折只改变了二次函数图像的形状，而不改变其位置。
类似于平移，二次函数的翻折也有规律：1. 当a>0时，二次函数图像开口朝上，翻折后开口朝下；2. 当a<0时，二次函数图像开口朝下，翻折后开口朝上。
例如，考虑函数y = x^2，当我们在其系数a前加上负号，即y = -x^2，二次函数的图像将翻折，开口由朝上变为朝下。
同样地，若我们在二次函数的标准形式y = ax^2 + bx + c中加上负号，即y = -ax^2 + bx + c，则二次函数图像也会发生翻折。
三、平移和翻折的综合应用在实际问题中，我们经常需要根据具体情况对二次函数进行平移和翻折，以求得更加准确的结果。
例如，考虑一个抛物线y = x^2，现在我们要将其向右平移3个单位，并使开口朝下。
二次函数平移变换
二次函数平移变换二次函数是数学中一个重要的函数类型，它的一般形式是y=ax^2+bx+c。
其中，a、b、c为常数，而x、y为变量。
在数学中，我们通常会进行二次函数的平移变换，通过对a、b、c的变化来改变函数的图像在坐标平面上的位置。
二次函数平移变换主要有水平平移和垂直平移两种。
水平平移指的是将二次函数的图像沿x轴的方向移动，移动的距离和方向由平移向量（h，0）决定，其中h为水平平移的距离，正表示向右平移，负表示向左平移。
对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c 来说，进行水平平移后的函数为y=a(x-h)^2+b(x-h)+c，其中h为平移的距离。
垂直平移指的是将二次函数的图像沿y轴的方向移动，移动的距离和方向由平移向量（0，k）决定，其中k为垂直平移的距离，正表示向上平移，负表示向下平移。
对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c 来说，进行垂直平移后的函数为y=a(x-h)^2+b(x-h)+c+k，其中k为平移的距离。
具体来说，对于二次函数y=ax^2+bx+c，如果想要将其图像向右平移h个单位，则对应的平移变换为y=a(x-h)^2+b(x-h)+c；如果想要将其图像向左平移h个单位，则对应的平移变换为y=a(x+h)^2+b(x+h)+c。
同理，如果想要将其图像向上平移k个单位，则对应的平移变换为y=a(x-h)^2+b(x-h)+c+k；如果想要将其图像向下平移k个单位，则对应的平移变换为y=a(x-h)^2+b(x-h)+c-k。
二次函数的平移变换可以通过改变a、b、c以及平移的距离h和k 来实现。
在实际应用中，二次函数的平移变换往往可以用来描述物体的运动轨迹、水平和垂直方向上的位移以及图像的位置调整等。
总之，二次函数的平移变换是一个重要的概念，在数学和实际应用中都具有广泛的意义。
通过理解和掌握二次函数的平移变换，我们可以更好地分析和描述函数图像的位置变化，更准确地解决与函数平移相关的问题。
二次函数向上下左右平移规律
二次函数向上下左右平移规律二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数且a≠0。
二次函数的向上、下、左、右平移是指对函数图像进行上下、左右平移的操作。
下面将详细介绍二次函数的向上下左右平移规律。
一、向上平移：对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c来说，向上平移就是把整个图像沿y轴的负方向平移h个单位。
形式上可以表示为f(x) = a(x - x0)^2 + c，其中(x0, c)是平移后图像上任意一点的坐标。
二、向下平移：向下平移是指把整个图像沿y轴的正方向平移h个单位，可以使用f(x)=a(x+x0)^2+c进行表示，其中(x0,c)是平移后图像上任意一点的坐标。
三、向左平移：对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，向左平移就是把整个图像沿x轴的正方向平移k个单位，可以使用f(x) = a(x +k)^2 + b(x + k) + c进行表示。
四、向右平移：向右平移是指把整个图像沿x轴的负方向平移k个单位，可以使用f(x)=a(x-k)^2+b(x-k)+c进行表示。
接下来，我们将详细分析每种平移的规律。
1.向上平移规律：在二次函数f(x) = ax^2 + bx + c中，向上平移可以通过改变c的值来实现。
当c的值增加时，整个图像沿y轴的负方向平移；当c的值减少时，整个图像沿y轴的正方向平移。
2.向下平移规律：向下平移可以通过改变c的值来实现。
当c的值增加时，整个图像沿y轴的正方向平移；当c的值减少时，整个图像沿y轴的负方向平移。
3.向左平移规律：向左平移可以通过改变b的值来实现。
当b的值增加时，整个图像沿x轴的正方向平移；当b的值减少时，整个图像沿x轴的负方向平移。
4.向右平移规律：向右平移可以通过改变b的值来实现。
当b的值增加时，整个图像沿x轴的负方向平移；当b的值减少时，整个图像沿x轴的正方向平移。
需要注意的是，向上、下、左、右平移所改变的是函数图像的位置，而不改变图像的形状。
二次函数与二元二次方程的像与变换
二次函数与二元二次方程的像与变换二次函数和二元二次方程是数学中重要的概念，在不同领域和问题中都有广泛的应用。
本文将探讨二次函数与二元二次方程的像与变换，旨在帮助读者理解二次函数和二元二次方程的性质和应用。
一、二次函数的像与变换二次函数是指以自变量的平方项为最高次幂的函数，一般的表达式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
二次函数在坐标系中呈现出抛物线的形状，其图像的像与变换主要包括平移与缩放。
1. 平移变换平移变换是指将函数的图像在坐标系中上下左右移动。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，若a、b、c均不为零，则平移变换可表示为f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为平移量。
平移量(h, k)的正负决定了平移的方向，水平方向的平移由h确定，垂直方向的平移由k确定。
平移变换可以改变函数的位置，但不会改变抛物线的形状。
2. 缩放变换缩放变换是指将函数的图像在坐标系中沿着x轴或y轴方向进行拉伸或压缩。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，若a、b、c均不为零，则缩放变换可以表示为f(x) = a(cx)^2 + b(cx) + c，其中c为缩放比例。
缩放比例c的值大于1时，会使抛物线变得更陡峭；而c的值小于1时，则会使抛物线变得更平缓。
缩放变换会改变函数的形状，但不会改变函数的位置。
二、二元二次方程的像与变换二元二次方程是指具有两个变量和二次项的方程，一般的表达式为ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f = 0，其中a、b、c、d、e、f为常数。
1. 平移变换二元二次方程的平移变换与二次函数类似，是将方程在坐标系中上下左右移动。
平移变换可以用一组式子表示，如(x - h)^2 + (y - k)^2 =r^2，其中(h, k)为平移量，r为半径。
平移量(h, k)决定了平移的方向和距离，使方程在坐标系中相对原位置发生改变。
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二次函数的图像及其性质（五）
温故：
1、二次函数y=-3x2+2的图像向下平移两个单位后，它的顶点坐标为，对称轴为，解析式为。
2、抛物线y=-3（x+3）2向右平移5个单位后，它的顶点坐标为，对称轴为，解析式为。
3、抛物线y=ax2+c可以看作由抛物线y=ax2通过向平移得到，抛物线y=a（x+h）2可以看作由抛物线y=ax2通过向平移得到。
4、抛物线上下平移时，图像上每一点的坐标不变；左右平移时，图像上每一点的坐标。
知新：观察右边的函数图象，完成下列表格：
思考：函数y=2(x-3)2＋3图象与函数y=2(x-3)2图象有什么关系?
函数y＝2(x-3)2＋3的图象可以看成是将函数y=2(x-3)2的图象向平移个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x2的图象向平移个单位再向平移个单位得到的；对称轴是，顶点坐标是。
图中其它图像间通过怎样的平移可以重合呢？
试一试：在下图中的几条抛物线形状相同，试写出各抛物线的解析式：
由此可得二次函数y=a(x －h)2＋k 的图象的性质：
⑴a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y 都随x 的增大而减小,在对称轴右侧,y 都随 x 的增大而增大，当x= 时函数有最小值，是 ；a<0时, 开口向下,在对
称轴左侧,y 都随x 的增大而增大,在对称轴右侧,y 都随 x 的增大而减小，当 x= 时函数有最大值，是 。
⑵对称轴是 ，顶点坐标是 ；
⑶二次函数y=a(x －h)2＋k 的图象可以看作是把函数y=ax ²的图象先沿x 轴整体 平移 个单位(当h>0时,向 平移;当h<0时,向 平移),再沿对称轴整体 平移 个单位 (当k>0时向 平移;当k<0时,向 平移)得到的。
思考：已知抛物线y=4(x-3)2-16
⑴写出它的开口方向，对称轴，顶点坐标。
⑵写出函数的增减性和函数的最值。
巩固提高：
1、把抛物线()322++=x y 向左平移5个单位，再向下平移7个单位所得的抛物线解析式是
2.已知s =–(x +1)2
–3，当x 为 时，s 取最 值为 。
3、一个二次函数的图象与抛物线23x y =形状，开口方向相同，且顶点为()1,4，那么这个函数的解析式是
小结：
1、一般地，抛物线y ＝a(x －h)2与()k h x a y +-=2的图象特点；
2、二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数2)(h x a y -=+k 中k 的值；左右平移，只影响h 的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．
y=-3x 2
y=-3（x+ ）2+
y=-3x 2
+
y=-3x 2
-
y=-3（x+ ）2
y=-3（x- ）2
y=-3（x+ ）2- y=-3（x- ）2+
y=-3（x- ）2-。