布洛赫定理证明
布洛赫定理
布洛赫定理
波斯拉-布洛赫定理（英语：Borsuk-Ulam theorem），是数学中一个有趣的不可分性
定理，它被提出和发现是由波斯拉（Karol Borsuk）在1933年发表在波兰语论文《关于
不可分性及对抗性的定理》中。
此定理声称：任何平面内的拓扑定向闭环就是一个非可分的，即任何圆内的拓扑结构都不可能将整个平面分成两个等价的，完全等价的，分割区域。
它也被称为拓扑实例和拓扑反范例的定理，重点是强调了闭环不可分性的概念，它可
以说明一般圆集，尤其是高维的几何空间，存在不可分的性质的共性。
例如，在多维几何
空间中，给定一个闭环，它是不可能将整个空间分割成两个等价的，完全等价的，分割区
域的。
布洛赫定理也是一种抽象代数中的应用。
它被用来证明了抽象代数中的唯一性定理，
这是用来确保给定空间中的任何一个线性映射都有一种唯一的矩阵表示。
此外，由于它最早的发表，布洛赫定理还被用于图论中。
它可以用来证明许多图论有
关的定理，它可以确保在同构的图论结构中，存在特定的属性。
尽管布洛赫定理的原理很要素，但是它也用于研究和应用程序，如维基解释，精确测量，数据可视化，图像处理，机器学习和计算机视觉等。
它可以用来证明不可分性的特点，而这一特性又可用于多种数学计算和解决实际问题的场景。
同时，由于布洛赫定理的具体应用非常普遍，科学家和数学家也常常用它来作为研究
和可视化技术的一部分，这对把复杂的理论模型和理论研究的结果都可视化的有很高的效率。
综上所述，布洛赫定理是数学中一个重要的定理，它在抽象代数和图论中有重要的应用，也被用于证明抽象代数中的唯一性定理，同时它也可以用于实际应用和可视化技术。
布洛赫定理证明
对于理想晶体，原子规则排列成晶格，晶格具有周期性，由此等效势场)(r V也具有周期性，晶体中的共有化电子所满足的波动方程在坐标表象中为：)()()(2)(2r E r r V m i ψψ=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+∇-，)()(n R r V r V += 这里n R 为正格子空间是格矢量，考虑的是定态薛定谔方程。
布洛赫定理指出：当势场具有周期性时，波函数具有如下形式：)()(r eR r n R k i n ψψ⋅=+，)()(r u e r r k i ⋅=ψ，)()(r u R r u n =+ 即波函数是按晶格周期函数调幅的平面波。
具有该形式是函数又称为布洛赫函数。
布洛赫定理的证明如果用)(ˆn R T 代表使位矢r 平移到n R r +的平移操作算符（nR 为格矢），则单电子的在周期性势场中的势能具有：)()()(ˆn n R r V r V R T +=在周期场中运动的单电子满足的定态薛定谔方程为：)()()(2)(ˆ22r E r r V m r H ψψψ=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+∇-= 其中：)(2ˆ22r V mH +∇-=为体系哈密顿量。
对于任意函数)(r f在平移算符的作用下有：)()(2)](ˆ)[(ˆ22n n R r n R r f R r V m r f H R T n +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++∇-=+ )()(ˆˆ)(ˆ)()(222r f R T H R r f H R r f r V m n n n =+=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+∇-= 由此可知体系哈密顿量和平移算符是对易的，即0)(ˆˆˆ)(ˆ=-n n R T H H R T根据量子力学知识可知：哈密顿量和平移算符有共同的本征态，可选择哈密顿量的本征态)(r ψ为共同本征态。
采用波恩-卡曼周期性边界条件有：)()()(ˆ)(ˆ)(ˆ)()(ˆ)()(111111111r r a T a T a T r a N T a N r r Nψλψψψψ===+= )()()(ˆ)(ˆ)(ˆ)()(ˆ)()(222222222r r a T a T a T r a N T a N r r Nψλψψψψ===+= )()()(ˆ)(ˆ)(ˆ)()(ˆ)()(333333333r r a T a T a T r a N T a N r r N ψλψψψψ===+= 这里321,,λλλ分别为)(ˆ),(ˆ),(ˆ321a T a T a T 在本征态)(rψ的本征值；321,,a a a 分别为正格子空间的基矢。
固体物理学：4-1 布洛赫定理
一. 布洛赫定理
一个在周期场中运动的电子的波函数应具 有哪些基本特点？
在量子力学建立以后，布洛赫（F.Bloch）和 布里渊（Brillouin）等人就致力于研究周期场 中电子的运动问题。他们的工作为晶体中电子 的能带理论奠定了基础。
布洛赫定理指出了在周期场中运动的电子 波函数的特点。
4 根据周期性边界条件求本征值 周期性边界条件
对于 对于 对于
—— 整数
—— 引入矢量 满足
—— 倒格子基矢
平移算符的本征值
5 Bloch 定理的证明 平移算符的本征值
将
作用于电子波函数
电子的波函数 满足布洛赫定理
—— 布洛赫定理 —— 布洛赫函数 —— 晶格周期性函数
三、 平移算符本征值的物理意义
注：由于德布洛意关系
P h
，即
P
k
，
所以 k 空间也称为动量空间。
kx
2
L
nx
(nx 0,1,2,)
上式告诉我们，沿 k 空间的每个坐标轴方向，
电子的相邻两个状态点之间的距离都是 因此，k 空间中每个状态点所占的体积为
2
L
2 L
图 3 表示二维 k 空间每个点所占的面积是
ky
2
。
3
1、一维情况的布洛赫定理
在一维情形下，周期场中运动的电子能量E(k)
和波函数 k ( x) 必须满足定态薛定谔方程
2 2m
d2 dx 2
V ( x)
k(x) E(k)k(x)
(1)
k -------表示电子状态的角波数 V( x ) ----周期性的势能函数，它满足
V( x ) = V( x + n a ) a ---- 晶格常数 n -----任意整数
布洛赫定理
布洛赫定理（一） Bloch 定理：势场()U r →具有晶格周期性时，即()U r →=()n U r R →→+ （1） 电子的波函数满足薛定谔方程的解具有以下性质：()n r R ψ→→+=ni k R e→→·()r ψ→（2）根据()n r R ψ→→+=ni k R e→→·()r ψ→，电子的波函数()r ψ→满足：()r ψ→=ni k R e→→·()u r →其中，()u r →为与势能同周期的周期性函数，()u r →=()n u r R →→+n R →为势场的周期（二）Bloch 定理的证明： （1） 证明H ∧具有周期性。
（2） 引入平移对称算符()n T R ∧→，证明平移对称算符与哈密顿算符H ∧对易，两者具有相同的本证函数。
（3） 由平移对称的本征值方程导出··ni k R n r R e r ψψ→→→→→⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据证明（2）知r ψ→⎛⎫ ⎪⎝⎭也是哈密顿算符H ∧的本征函数，综合上述要点便可证明Bloch 定理的第一条性质。
证明：（1）H r ∧→⎛⎫ ⎪⎝⎭=—22()2r m →∇ +()U r → 在直角坐标系中：2()r →∇=222222x y z ∂∂∂++∂∂∂=222222112233()()()x n a y n a z n a →→→∂∂∂++∂+∂+∂+ =2()n r R →→∇+其中112233n R n a n a n a →→→→=++为势能的一个周期或者若干个周期。
∴()n H r R ∧→→+=—22()2n r R m →→∇+ +()n U r R →→+=—22()2r m→∇ +()U r → ∴()n H r R ∧→→+=()H r ∧→引入平移对称算符（简称平移算符）()n T R ∧→：()n T R ∧→·()f r →=()n f r R →→+()f r →为任意函数2()n T R ∧→·()f r →=()n T R ∧→·()n f r R →→+=(2)n f r R →→+ ()ln T R ∧→·()f r →=()n f r l R →→+=()n T lR ∧→·()f r →由上式知：()ln T R ∧→=()n T lR ∧→将平移算符作用到定态薛定谔方程中：()n T R ∧→·()H r ∧→·()r ψ→=()n H r R ∧→→+·()n r R ψ→→+=()H r ∧→·()n T R ∧→·()r ψ→∴()n T R ∧→·()H r ∧→=()H r ∧→·()n T R ∧→∴平移算符与哈密顿算符是对易的。
3.1布洛赫定理及能带
ˆ ˆ (2) [T , H ] 0
即平移算符与晶体中布洛赫电子的哈密顿算符对易
2 2 ˆ H V (r ) 2m
V (r ) V (r Rn ),
微分算符与坐标原点的平移无关，比如在直角坐标系中：
因此电子的波函数一般是这些平面波的线性叠加
i (k G )r ikr iG r k (r ) a(k Gh )e h e a(k Gh )e h h h iG r 设uk (r ) a(k Gh )e h
k (r ) k (r Ni ai ) e
e
ik Ni ai ik r
uk (r )
e
uk (r )
可用相应的倒格子基矢 bi 表示，即：
前面我们已知，波矢 k 空间为倒格子空间，因而，波矢 k
ik r (r ) e (r ) k uk
n
可以看出平面波
e
ik r能满足上式：
ik ( r Rn ) ik Rn ik r ik Rn (r Rn ) e e e e (r )
l1b1 l2b2 l3b3 因此矢量 k 具有波矢的意义。 k N1 N2 N3 当波矢增加一个倒格矢 Gh，平面波 ei (k Gh )r 也满足上式。
波矢 k ：
l1b1 l2b2 l3b3 k N1 N2 N3
' i
l1 , l2 , l3 为整数
' 当ki k 整数时， 相当于波矢 k 换成 k k Gh , Gh 是倒格矢。
4.1布洛赫定理、一维近自由电子近似
试求电子在该态的波矢。 解: 根据 Bloch 定理, 而
π
ψ k ( x + na) = eiknaψ k ( x)
a π
ψ k ( x + na) = sin ( x + na)
π = sin x + nπ = sin a a
所以
=e
inπ
sin
πx
a
x cos nπ
V (ξ )d ξ = Vn
否则
k ' |V | k = 0
上式中以 Vn 表示的积分实际上正是周期场 V(x) 的第 n 个 Fourier 系数
根据这个结果, 波函数考虑一级修正后可写成
ψ k = ψ k0 +ψ k(1)
= Vn 1 ikx e +∑ 2 L n ℏ 2 2π k − k + 2m a 1 e 2 L n
Tα f (r ) = f (r + aα ), α = 1, 2,3
其中 a1, a2, a3 为晶格三个基矢
显然这些算符是相互对易的
Tα Tβ f (r ) = Tα f (r + a β ) = f (r + a β + aα )
= Tβ Tα f (r )
或
Tα Tβ − Tβ Tα = 0
它具有晶格周期性
ℏ2 2 Tα Hf (r ) = − ∇ r + aα + V (r + aα ) f (r + aα ) 2m ℏ2 2 = − ∇ r + V ( r ) f ( r + aα ) 2m
= HTα f (r )
布洛赫定理知识点
布洛赫定理知识点布洛赫定理是固体物理学中的一个重要概念，它描述了晶体中电子的行为和能量分布。
通过理解和掌握布洛赫定理，可以深入了解固体物理学的许多基本原理和现象。
本文将主要介绍布洛赫定理的概念、应用以及相关知识点。
一、布洛赫定理的概念布洛赫定理是由瑞士物理学家布洛赫（Bloch）于1928年提出的。
它是描述周期性势场中粒子（如电子）行为的一种数学模型。
根据布洛赫定理，晶体中的物理特性可以由一个周期函数和平面波函数的乘积来描述。
具体而言，布洛赫定理给出了如下形式的波函数表示：ψ(r) = u(r)* exp(ik•r)其中，ψ(r)表示晶体中的波函数，u(r)是一个周期函数，k是布拉格波矢，r是晶格中的位置矢量。
根据布洛赫定理，晶体中的波函数具有周期性，即在晶体中的任意位置矢量r上，波函数的模长和相位都具有相同的周期性。
这种周期性使得我们能够用一个有限大小的晶胞作为模型来描述整个晶体的物理特性。
二、布洛赫定理的应用布洛赫定理在固体物理学中有广泛的应用。
下面将介绍一些常见的应用。
1. 能带理论布洛赫定理为解释固体中能带结构提供了重要工具。
能带结构是指能量与波矢之间的关系。
根据布洛赫定理，电子的波函数可以表示为周期函数和平面波函数的乘积，从而可以得到电子的能量本征值和能带结构。
2. 色散关系布洛赫定理可以用来描述晶体中的电子色散关系。
色散关系是能量与波矢之间的关系，描述了晶体中电子的传输性质。
布洛赫定理给出了电子波函数的表示形式，可以通过对波函数进行求解，得到电子能量与波矢的关系。
3. 赝势方法布洛赫定理在赝势方法中也有重要应用。
赝势方法是一种计算固体物理性质的近似方法，通过引入赝势将全电子问题简化为少电子问题。
布洛赫定理提供了计算周期势场中电子行为的数学模型，使得赝势方法在实际计算中得到了广泛应用。
三、布洛赫定理的相关知识点除了上述介绍的应用外，布洛赫定理还涉及一些其他重要的知识点。
1. 布洛赫矢量布洛赫矢量是用来描述布洛赫定理中波函数的平移对称性的参数。
布洛赫定理
得到：λ
1
=e
2πi
l1 N1
, λ2 = e
2πi
l2 N2
, λ3 = e
2πi
l3 N3
− − − l1 , l2 , l3
v l1 v l3 v l2 v b1 + b3 + b3 引入： k = N1 N2 N3
v v v b1 , b2 , b3
5 则平移算符的本征值可以表示为：
λ1 = e
vv ik ⋅a1
, λ2 = e
v v ik2 ⋅a2
, λ3 = e
v v ik3 ⋅a3
v v v v T ( Rm )ψ (r ) = ψ (r + Rm ) v m3 v m1 v m2 v = T1 (a1 )T2 (a2 )T3 (a3 )ψ (r ) v v v ik ⋅ Rm m1 m2 m3 = λ1 λ2 λ3 = e ψ (r )
6 则可以推导出：
7 从而得到：
v v r v v ik • Rn ψ r + Rn = e ψ (r )
(结
论
1布洛赫定理是一个普遍适用的结论。 2它在周期性势场的数学求解中可以使问题简化。 3在量子力学，激光物理中具有广泛的应用。 4在晶体物理学中具有非常直观的应用。
平移算符性质：
Tα Tβ = Tβ Tα
——各平移算符对易。
2 平移算符和哈密顿量对易
h2 v v v v 2 Tα Hf ( r ) = − ∇ r + V ( r ) f ( r + aα ) 2m v v v = Hf ( r + aα ) = HTα f ( r )
Tα H − HTα = 0
《布洛赫定理》课件
证明中的难点和关键点
难点分析
在证明过程中，如何正确运用相关数学公式和定理，以及如何处理复杂的逻辑 推理是主要的难点。
关键点总结
首先，准确理解和运用相关数学工具和概念是至关重要的；其次，构建清晰、 严密的证明逻辑是关键；最后，对定理的深入理解和分析也是不可或缺的。
04
定理的应用
在物理中的应用
量子力学
布洛赫定理在量子力学中有着广泛的应用，它为描 述粒子的波函数提供了重要的数学工具。
固体物理学
在固体物理学中，布洛赫定理常被用于研究晶体的 电子结构和性质，特别是在能带理论中。
粒子物理学
在粒子物理学中，布洛赫定理用于描述粒子的传播 和散射现象，特应用
80%
算法设计
布洛赫定理在算法设计中有着重 要的应用，特别是在动态规划和 图算法中。
100%
数据结构
通过应用布洛赫定理，可以设计 出更高效的数据结构，例如哈希 表和二叉搜索树等。
80%
计算复杂性
布洛赫定理在计算复杂性理论中 也有所应用，它有助于理解不同 算法的时间复杂度和空间复杂度 。
在其他领域的应用
经济学
布洛赫定理在经济学的某些领 域也有所应用，例如在博弈论 和决策理论中。
在实践中，布洛赫定理被广泛应用于组合数学、图论、计算机科 学等多个领域。例如，在计算机科学中，布洛赫定理可以用于解 决图形的布局和优化问题，以及网络设计和路由问题等。此外， 布洛赫定理在物理学、化学和工程学等领域也有广泛的应用。
03
定理的证明
证明的思路和步骤
思路概述
首先，明确定理的定义和要求，然后 通过数学推导和逻辑推理，逐步构建 证明的框架。
对物理学的贡献
布洛赫定理在物理学领域也有着 广泛的应用，它为研究物质波、 量子力学和相对论等领域提供了 重要的理论支持。
布洛赫定理讲解
K'K '
e dx＝L i(K’Gn K )x L
K‘ Gn ,K
得到（4）式
K'
2 K '2 2m
E
C
(
K
'
)
L
K,K
＋
'
n0
VnC(K ' )
K'
L K’Gn ,K ＝0
利用δ函数的性质，得（4）式
2K 2
2m
EC（K )
VnC(K Gn )＝0
n0
该方程实际上是
动量表象中的薛定谔方程，称作中
E
说明：
V0＝
1 a
a
V (x)dx＝V (x)
0
cons
0
∴
V ( x)＝
i 2 nx
Vne a
n0
＝ VneiGn x
(1)
n0
2.将待求的波函数ψ（r）向动量本征态
――平面波eik•x展开
(k, x)＝ C(k ' )eik‘x
(2)
K'
求和是对所有满足波恩－卡曼边界条件的波矢k’进
ˆ H
(k,r)=E(k)(k,r)
(k Gn' , x) 与 (k, x) 等价
^
^
H (k, r)＝H (k Gh, r)＝E(k Gh ) (k, r)
∴ E（k）=E(k+Gn) 可见，在波矢空间，布洛赫电子态具有倒格子
周期性，为了使波矢K和状态一一对应，通常限 制k在第一B.Z.内变化。
2. 布洛赫定理的另一种表示。
证明:
∵ （k ,x）＝u（k，x）eikx
u（k，x）＝u（k ,x+na）
bloch定理
bloch定理布洛赫定理（BlochTheorem）是物理学界最重要的定理之一，也是量子力学和物理化学领域中最基础的定理。
它是由德国物理学家费里克斯布洛赫（Fritz Bloch）在1929年发现的，概括性地描述了离散有限系统的电子状态，在量子力学领域得到了广泛的应用。
一、布洛赫定理的内容布洛赫定理指出，一个简单离散系统中电子状态的波函数，在一个周期序列上必须满足以下条件：1、波函数在周期序列的最后一节点，必须与在周期序列的第一节点处的波函数相同，即ψ (r + R) = (r)；2、波函数在周期序列的最后一节点处，其导数与在该序列的第一节点处的导数乘以1乘积，也必须相等，即 (r + R) = (r)。
二、布洛赫定理的应用布洛赫定理最主要的应用是用于计算离散系统中的能量状态，它可以用来显示特定的离散系统的电子模式。
此外，它还可以用于计算离散系统中的电子结构，如电子结构图正确性的验证，以及离子键的数量的确定。
布洛赫定理也可以应用于分子原子轨道计算中，帮助科学家们解释分子结构。
它也可以用来计算原子势能，从而实现对溶液中物质结构与化学行为的研究。
布洛赫定理还可以用于研究分子光谱，利用它可以求出离子测试的能量，从而得到分子的光谱线，从而确定分子的结构。
布洛赫定理的另一个重要应用是用来研究多电子系统中的电子交换现象。
它也可以用来研究公共电子结构、簇量子现象、多电子系统中最低能量状态等。
三、布洛赫定理的影响布洛赫定理是量子力学领域最基础的定理，其影响是广泛的。
它极大地丰富了物理科学在分子尺度上的研究，为科学家提供了一种新的思路，来实现对物质结构和化学行为的研究。
此外，布洛赫定理还可能在未来的物理、化学研究中发挥重要的作用。
比如，一些高精度的激光测量，可以用来研究离子的结构与性质，这正是布洛赫定理可以提供的帮助。
四、结论布洛赫定理自1929年以来，一直是物理学界最重要的定理之一，在量子力学领域得到了广泛的应用。
§6.1三维情况的布洛赫定理
即电子
波矢k的取值范围 二、波矢 的取值范围
1.晶体体积 和原胞数 晶体体积V和原胞数 晶体体积 和原胞数N
N = N1 ⋅ N2 ⋅ N3 , V = NΩ
2. |uk|值的大小 值的大小
rr r 1 ik⋅r r r e uk (r )归一化条件： 归一化条件： ＝ ψk (r ) N
r r r r 2 1 ∗ r ∫NΩψ (r )ψk (r )dτ = N ∫NΩ uk (r )uk (r )dτ = ∫Ω uk (r ) dτ = 1
(
( )
)
9
3.波函数 布洛赫波或布洛赫函数)的意义 波函数(布洛赫波或布洛赫函数 的意义 波函数 布洛赫波或布洛赫函数 (1)描述晶体电子状态的波函数是调幅的平面波，且调幅 描述晶体电子状态的波函数是调幅的平面波， 描述晶体电子状态的波函数是调幅的平面波 函数具有与晶体相同的周期性。 函数具有与晶体相同的周期性。 (2)由于晶体中原子的相互作用，晶体中的电子不再束缚 由于晶体中原子的相互作用， 由于晶体中原子的相互作用 于某个固定原子的周围而能在全部晶体中运动, 于某个固定原子的周围而能在全部晶体中运动 属于整个晶体。 属于整个晶体。 (3)晶体中的原子在原子之间运动时势场起伏不大，其波 晶体中的原子在原子之间运动时势场起伏不大， 晶体中的原子在原子之间运动时势场起伏不大 函数应类似于平面波。由平面波因子 来表示。 函数应类似于平面波。由平面波因子eik·r来表示。 (4)当电子运动到原子实的附近，将受到该原子较强的作 当电子运动到原子实的附近， 当电子运动到原子实的附近 使其行为接近于原子中的电子， 用 ， 使其行为接近于原子中的电子 ， 而晶体正是原子作 周期性排列而成的，因此周期性函数u 应当带有原子 周期性排列而成的 ， 因此周期性函数 k(r)应当带有原子 波函数的成分。 波函数的成分。
布洛赫定理
l1 N1
b1
—— 倒格子基矢
l2 N2
b2
满足
l3
N3 ai
b3
bj
2ij
平移算符的本征值
1 e , ika1
2
eika2 ,
eika3 3
将
作用于电子波函数
e (r ) ik (m1a1m2a2 m3a3 )
(2 )3
N
(2 )3
N
21
布洛赫
1905年10月23日出生于瑞士的苏黎世，上完中学后， 他本来想当一名工程师，于是就直接进入苏黎世的联邦 工业大学。一年后，决定转学物理，通过薛定谔、德拜 等教授的课程，他逐渐熟悉了量子力学。后来他到德国 莱比锡大学跟海森堡继续研究。1928年获得博士学位。 以晶体中电子的量子力学和金属导电理论方面的内容做 论文。1933年到美国。1934年起在斯坦福大学任教。 1939年加入了美国国籍。1952年获得诺贝尔奖。1954年 曾担任过欧洲核子研究中心的第一任主任，回到斯坦福 大学后，曾经研究过超导电性和低温下的其它现象。 1983年9月10日逝世于慕尼黑，享年78岁。
当固体中有N个原子，这N个原子的2s轨道的电子都会相 互影响。这时就必须出现N个不同的分立能级来安排所有这些 (例如2s)轨道的电子，而这些电子共有2N个。
2s轨道的N个分立的能级组合在一起，成为2s的能带。 1
电子数量增加时能级扩展成能带
2
例如Na，核外电子结构为：1s22s22p63s1。
当N个Na原子相互靠近形成一个固体时，形成能带，为1s带，
第三步简化 —— 所有离子势场和其它电子的平均场是周 期性势场
布洛赫定理的内容
布洛赫定理的内容
布洛赫定理是固体物理学中的一个重要定理，描述了周期势场中电子波函数的特性。
具体内容如下：
1. 布洛赫定理指出，在周期势场中，电子的波函数具有形式为
ψ(r) = u(r)exp(ik·r)的解，其中u(r)是一个与周期势场具体形
式相关的函数，exp(ik·r)是一个平面波因子，k是电子的晶格动量。
2. 布洛赫定理说明了电子波函数在周期势场中的行为具有周期性，即ψ(r + R) = ψ(r)，其中R是晶格常数。
3. 根据布洛赫定理，电子波函数可以用一个波矢k来标记，称
之为布洛赫矢量。
每个布洛赫矢量对应一个能量本征态，称为布洛赫能带。
4. 布洛赫定理还指出，对于周期势场中的电子，其能量本征态
具有沿晶格方向传播的特性。
这意味着，电子在周期势场中的行为可以用一系列具有不同波矢k的平面波叠加来描述，每个平面波对应不同的能量本征态。
5. 布洛赫定理基于周期势场的周期性，可以有效地描述晶体中
的电子行为，例如能带结构、导电性等。
该定理为固体物理学提供了一个重要的理论框架，对于理解和研究晶体中电子行为具有重要意义。
布洛赫定理
i 2 nx a n0
a
∴
V ( x)＝Vn e
＝Vn e
n0
iGn x
(1)
2.将待求的波函数ψ（r）向动量本征态 ――平面波eik•x展开
( k , x )＝ C ( k )e
' K'
‘ ik x
(2)
求和是对所有满足波恩－卡曼边界条件的波矢 k’进 行的。将（1）式和（2）式代入薛定谔方程得:
二．Bloch 定理的证明
1．由于势能函数V(x)具有晶格周期性，适当 选取势能零点，它可以作如下的付里叶级数 展开：
V ( x)＝ Vn en 2 Nhomakorabeai nx a
1 Vn＝ a
V ( x)e
0
a
i
2 nx a
dx
说明：
1 V0＝ a
V ( x)dx＝V ( x) cons 0
利用δ函数的性质，得（4）式
K E C（K ) 2m
2 2
V C ( K G )＝0
n0 n n
该方程实际上是
动量表象中的薛定谔方程，称作中 心方程。
K态与其相差不是一个倒格矢的 态之间无耦合
方程（4）说明，与K态系数C(K)的值有 关的态是与K态相差任意倒格矢Gn 的态 的系数C(K－Gn)……. 与K相差不是一个倒格矢的态不进入 方程（4）， 该结论也应适用于波函数 (k,x)。
3 2
1 2
D
E
2 z
K 空间中，在半径为∣ k∣的球体积内的电子态数 目，应等于球的体积乘以K空间单位体积内的电子 态数Vc/4π3，即
3
4 3 Vc Vc 2m E Z ( E )＝ K 3 ＝ 2 2 3 4 3
固体物理第5章5.1布洛赫定理
b2 2π j
b
b
倒格仍为矩形。
a2 bj
a1 ai
a
2π
b
2π
a
j
i
第一区
第二区
例4：画出面心立方第一布里渊区。设面心立方晶格常量为a。
解：面心立方正格基矢：
a1
a
2
a
3
a 2
a 2
a 2
jk ik i j
Ω a1 (a2 a3 )
1 a3 4
ak
a1
aj
倒格基矢:
b1
(a1) eia l１为整数
N1k1 a1 2l1
取
k1
l1 N1
b1
满足上式，得到
(a1 )
i
e
l1 N1
b1a1
同理可以得到
k2
l2 N2
b2
k3
l3 N3
b3
(a2
)
i
e
l2 N2
b2 a2
(a3 )
i
el3 Βιβλιοθήκη 3b3 a3令k
l1 N1
b1
l1 N2
b2
l1 N3
b3
由 (Rn ) [(a1)]n1 [(a2 )]n2 [(a3)]n3 (Rn ) eikRn
[Tˆ , Hˆ ] 0
由于对易的算符有共同的本征函数，所以如果波函数 (r)
是
Hˆ 的本征函数，那么 (r)
也一定是算符
Tˆ
(
Rn
)
的本征函数。
Tˆ(Rn ) 对应的本征值的特点是什么？
由 Tˆ(Rn ) (r) (r Rn ) (Rn ) (r)
本征值λ（Rn）必须满足等式
布洛赫定理推导
布洛赫定理推导摘要：1.布洛赫定理的定义2.布洛赫定理的证明方法3.布洛赫定理的应用正文：一、布洛赫定理的定义布洛赫定理（Bloch"s theorem）是复分析中的一个重要定理，它主要研究的是复平面上的解析函数。
该定理指出，如果一个在单位圆内解析的函数f(z)，满足f(0)=0 且f(z)=z+a（a 为常数），那么这个函数可以表示为f(z)=z+a/z 的形式。
换句话说，布洛赫定理描述了满足特定条件的解析函数的结构。
二、布洛赫定理的证明方法为了证明布洛赫定理，我们可以使用解析函数的柯西（Cauchy）积分公式。
假设f(z) 是在单位圆内解析的函数，满足f(0)=0 且f(z)=z+a/z。
我们需要证明存在常数a，使得f(z)=z+a/z。
首先，根据柯西积分公式，我们有：f(z) = 1/2πi ∫(z-a/z)dz，其中积分路径为单位圆。
将积分路径改为单位圆的半径r，则：f(z) = 1/2πi ∫(z-a/z)dz，其中积分路径为半径为r 的圆。
接下来，我们需要求解这个积分。
为了简化计算，我们可以将积分路径分为两部分：从原点出发，逆时针绕半径为r 的圆一周，再从终点出发，逆时针绕半径为1 的圆一周，回到原点。
这样，我们可以得到：f(z) = 1/2πi [∫(z-a/z)dz - ∫(1/z)dz]根据积分的线性性质，我们有：f(z) = 1/2πi [(z-a/z) - (1/z)]根据解析函数的性质，我们知道f(z) 在单位圆内解析，所以：f(z) = z+a/z通过以上证明，我们得出了布洛赫定理的结论：满足条件的解析函数可以表示为f(z)=z+a/z 的形式。
三、布洛赫定理的应用布洛赫定理在复分析中有广泛的应用，其中最主要的应用是在求解解析延拓问题时。
利用布洛赫定理，我们可以将一个在单位圆内解析的函数延拓到整个复平面。
布洛赫定理证明过程
布洛赫定理证明过程哎呀，这布洛赫定理的证明过程啊，就像是一场奇妙的冒险！咱先来说说布洛赫定理到底是啥。
它就像是一个神奇的钥匙，能帮我们打开晶体中电子运动的秘密大门。
晶体里的电子啊，可不是瞎跑的，它们有着自己独特的规律呢。
要证明这个定理，就好像要搭建一座坚固的桥梁。
我们得从最基础的概念开始，一点一点往上垒。
就好比盖房子，得先有牢固的地基呀。
想象一下，我们要在这个复杂的晶体世界里穿梭，找到那些关键的线索。
这可不是一件容易的事儿，但一旦找到了，那感觉可太棒啦！我们要考虑晶体的周期性结构，这就像是一个有规律的拼图。
每个小格子都有它的位置和作用。
然后呢，我们要运用各种数学工具，就像是拿着各种神奇的武器，去攻克一个个难题。
在这个过程中，会遇到很多挑战呢。
有时候可能会觉得走投无路，但是别灰心呀，说不定转个弯就柳暗花明啦！这就像在迷宫里找出口，虽然会迷路，但只要坚持，总会找到正确的方向。
证明布洛赫定理可不是一蹴而就的，需要我们有足够的耐心和细心。
每一个步骤都不能马虎，就像走钢丝一样，得小心翼翼的。
有时候可能会遇到一些特别复杂的式子，别害怕，慢慢分析，总能找到头绪的。
这就像是解开一团乱麻，得有耐心慢慢捋。
当我们一步一步地接近成功，那种兴奋感可别提啦！就好像终于爬上了山顶，看到了美丽的风景。
总之啊，布洛赫定理的证明过程充满了挑战和乐趣。
这是一个需要我们用心去探索的奇妙世界。
虽然会有困难，但只要我们勇敢前行，就一定能揭开它神秘的面纱，领略到其中的美妙之处！怎么样，是不是很想去试试啦？。
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对于理想晶体，原子规则排列成晶格，晶格具有周期性，由此等效势场)(r V
也具有周期性，晶体中的共有化电子所满足的波动方程在坐标表象中为：
)()()(2)(2r E r r V m i ψψ=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+∇-，)()(n R r V r V += 这里n R 为正格子空间是格矢量，考虑的是定态薛定谔方程。
布洛赫定理指出：当势场具有周期性时，波函数具有如下形
式：)()(r e
R r n R k i n ψψ⋅=+，)()(r u e r r k i ⋅=ψ，)()(r u R r u n =+ 即波函数是按晶格周期函数调幅的平面波。
具有该形式是函数又称为布洛赫函数。
布洛赫定理的证明
如果用)(ˆn R T 代表使位矢r 平移到n R r +的平移操作算符（n
R 为格矢），则单电子的在周期性势场中的势能具有：
)()()(ˆn n R r V r V R T +=
在周期场中运动的单电子满足的定态薛定谔方程为：
)()()(2)(ˆ22r E r r V m r H ψψψ=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+∇-= 其中：)(2ˆ22r V m
H +∇-=为体系哈密顿量。
对于任意函数)(r f
在平移算符的作用下有：
)()(2)](ˆ)[(ˆ22n n R r n R r f R r V m r f H R T n +⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡++∇-=+ )()(ˆˆ)(ˆ)()(222r f R T H R r f H R r f r V m n n n =+=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+∇-= 由此可知体系哈密顿量和平移算符是对易的，即
0)(ˆˆˆ)(ˆ=-n n R T H H R T
根据量子力学知识可知：哈密顿量和平移算符有共同的本征态，可选择哈密顿量的本征态)(r ψ为共同本征态。
采用波恩-卡曼周期性边界条件有：
)()()(ˆ)(ˆ)(ˆ)()(ˆ)()(111111111r r a T a T a T r a N T a N r r N
ψλψψψψ===+= )()()(ˆ)(ˆ)(ˆ)()(ˆ)()(22
2222222r r a T a T a T r a N T a N r r N
ψλψψψψ===+= )()()(ˆ)(ˆ)(ˆ)()(ˆ)()(333333333r r a T a T a T r a N T a N r r N ψλψψψψ===+= 这里321,,λλλ分别为)(ˆ),(ˆ),(ˆ321a T a T a T 在本征态)(r
ψ的本征值；321,,a a a 分别为正格子空间的基矢。
由上式可以得到：j j
N l i j e πλ2=，j l 取j N 2,1,0的整数，3,2,1=j ，引入倒矢量：33
3222111b N l b N l b N l k ++=，则有：j a k i j e ⋅=λ 于是：
)()(ˆ)(ˆ)(ˆ)()(ˆ)(3
32211r a n T a n T a n T r R T R r n n ψψψ==+
)()()(321332211321r e r a n a n a n k i n n n ψψλλλ++⋅== =)(r e n R k i ψ⋅
这里k 为简约波矢，可将其限制在简约布里渊区内取值，其在倒格子空间的取值点是均匀分布的，其在每一个布里渊区取值的个数等于晶格元胞数，在倒空间的密度为3)2(πV。
如果取：)()(r u e r r k i ⋅=ψ，代入上式有： )()()()(r u e R r u e n n R r k i n R r k i +⋅+⋅=+
则：)()(r u R r u n =+
即布洛赫波是振幅受到具有同晶格周期相同的周期性函数调制的平面波。