布洛赫定理证明

对于理想晶体，原子规则排列成晶格，晶格具有周期性，由此等效势场)(r V

也具有周期性，晶体中的共有化电子所满足的波动方程在坐标表象中为：

)()()(2)(2r E r r V m i ψψ=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+∇-，)()(n R r V r V += 这里n R 为正格子空间是格矢量，考虑的是定态薛定谔方程。 布洛赫定理指出：当势场具有周期性时，波函数具有如下形

式：)()(r e

R r n R k i n ψψ⋅=+，)()(r u e r r k i ⋅=ψ，)()(r u R r u n =+ 即波函数是按晶格周期函数调幅的平面波。具有该形式是函数又称为布洛赫函数。

布洛赫定理的证明

如果用)(ˆn R T 代表使位矢r 平移到n R r +的平移操作算符（n

R 为格矢），则单电子的在周期性势场中的势能具有：

)()()(ˆn n R r V r V R T +=

在周期场中运动的单电子满足的定态薛定谔方程为：

)()()(2)(ˆ22r E r r V m r H ψψψ=⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡+∇-= 其中：)(2ˆ22r V m

H +∇-=为体系哈密顿量。 对于任意函数)(r f

在平移算符的作用下有：

)()(2)](ˆ)[(ˆ22n n R r n R r f R r V m r f H R T n +⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡++∇-=+ )()(ˆˆ)(ˆ)()(222r f R T H R r f H R r f r V m n n n =+=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+∇-= 由此可知体系哈密顿量和平移算符是对易的，即

0)(ˆˆˆ)(ˆ=-n n R T H H R T

根据量子力学知识可知：哈密顿量和平移算符有共同的本征态，可选择哈密顿量的本征态)(r ψ为共同本征态。

采用波恩-卡曼周期性边界条件有：

)()()(ˆ)(ˆ)(ˆ)()(ˆ)()(111111111r r a T a T a T r a N T a N r r N

ψλψψψψ===+= )()()(ˆ)(ˆ)(ˆ)()(ˆ)()(22

2222222r r a T a T a T r a N T a N r r N

ψλψψψψ===+= )()()(ˆ)(ˆ)(ˆ)()(ˆ)()(333333333r r a T a T a T r a N T a N r r N ψλψψψψ===+= 这里321,,λλλ分别为)(ˆ),(ˆ),(ˆ321a T a T a T 在本征态)(r

ψ的本征值；321,,a a a 分别为正格子空间的基矢。 由上式可以得到：j j

N l i j e πλ2=，j l 取j N 2,1,0的整数，3,2,1=j ，引入倒矢量：33

3222111b N l b N l b N l k ++=，则有：j a k i j e ⋅=λ 于是：

)()(ˆ)(ˆ)(ˆ)()(ˆ)(3

32211r a n T a n T a n T r R T R r n n ψψψ==+

)()()(321332211321r e r a n a n a n k i n n n ψψλλλ++⋅== =)(r e n R k i ψ⋅

这里k 为简约波矢，可将其限制在简约布里渊区内取值，其在倒格子空间的取值点是均匀分布的，其在每一个布里渊区取值的个数等于晶格元胞数，在倒空间的密度为3)2(πV

。

如果取：)()(r u e r r k i ⋅=ψ，代入上式有： )()()()(r u e R r u e n n R r k i n R r k i +⋅+⋅=+

则：)()(r u R r u n =+

即布洛赫波是振幅受到具有同晶格周期相同的周期性函数调制的平面波。