江苏省南京市新城中学2021届九年级上学期数学第一次月考试卷

江苏省南京市新城中学2021届九年级上学期数学第一次月考试卷
一、单选题（共6题；共12分）
1.已知⊙O的半径为4，点A和圆心O的距离为3，则点A与⊙O的位置关系是（）
A. 点A在⊙O内
B. 点A在⊙O上
C. 点A在⊙O外
D. 不能确定
2.一元二次方程y2－4y+3＝0配方后可化为（）
A. 2＝3
B. 2＝0
C. 2＝2
D. 2＝1
3.如图，AB，BC，CD，DA都是⊙O的切线，已知AD＝2，BC＝5，则AB＋CD的值是（）
A. 14
B. 12
C. 9
D. 7
4.关于x的方程（为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（）
A. 两个正根
B. 两个负根
C. 一个正根，一个负根
D. 无实数根
5.如图，某小区在一块长为16m，宽为9m的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得花草区域占地面积为120m2.设小路的宽度为xm，则下列方程：
①（16﹣2x）（9﹣x）＝120
②16×9﹣9×2x﹣（16﹣2x）x＝120
③16×9﹣9×2x﹣16x+x2＝120.
其中正确的是（）
A. ①
B. ②
C. ①②
D. ①②③
6.如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”.如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
二、填空题（共10题；共13分）
7.方程的根是________.
8.将方程x2－2＝7x化成x2＋bx＋c＝0的形式，则b＝________.
9.某种商品原价是100元,经两次降价后的价格是64元,则平均每次降价的百分率为________
10.已知x= 是关于x的方程的一个根，则m＝________.
11.如图，BC是⊙O的直径，A、D是⊙O上的两点，若∠ABC＝25°，则∠D的度数是________°.
12.如图，⊙O半径为2，弦AB∥弦CD，AB＝2，CD＝2 ，则AB和CD之间的距离________.
13.如图所示，AB是⊙O的直径，弦于H，，则⊙O的半径是
________．
14.如图，PA、PB是的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上.若∠P＝102°，则∠A＋∠C＝
________°.
15.如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝36°，点D为斜边BC的中点，将线段DC绕着点D逆时针旋转任意角度得到线段DE（点E不与A、B、C重合），连接EA，EC，则∠AEC＝________°.
16.如图，矩形ABCD中，AD＝4，AB＝2.点E是AB的中点，点F是BC边上的任意一点（不与B、C重合），△EBF沿EF翻折，点B落在B'处，当DB'的长度最小时，BF的长度为________.
三、解答题（共11题；共60分）
17.解方程：.
18.解方程（x+1）2＝（2x+1）2.
19.已知：当x=2时，二次三项式x2﹣2mx+4的值等于﹣4.当x为何值时，这个二次三项式的值是﹣1？
20.已知关于x的一元二次方程x2－2mx＋2m－1＝0（m为常数）.
（1）若方程的一个根为0，求m的值和方程的另一个根；
（2）求证：不论m为何值，该方程总有实数根.
21.如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D.
（1）求证AC＝BD；
（2）若AC＝3，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD的长度是________.
22.如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，且AB＝CD，求证：BM＝DM.
23.如图，已知⊙O，利用直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹.
（1）如图①，点P在⊙O上，过点P作⊙O的切线；
（2）如图②，点P在⊙O外，过点P作⊙O的切线.
24.某公司在商场购买某种比赛服饰，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降价2元，但单价不得低于50元，按此优惠条件，该公司一次性购买这种比赛服装付了1200元，请问购买了多少件这种比赛服饰？25.用两种方法证明“圆的内接四边形对角互补”.
已知：如图①，四边形ABCD内接于⊙O.
求证：∠B＋∠D＝180°.
证法1：如图②，作直径DE交⊙O于点E，连接AE、CE.
∵DE是⊙O的直径，
∴（）.
∵∠DAE＋∠AEC＋∠DCE＋∠ADC＝360°，
∴∠AEC＋∠ADC＝360°－∠DAE－∠DCE＝360°－90°－90°＝180°.
∵∠B和∠AEC所对的弧是，
∴（）.
∴∠B＋∠ADC＝180°.
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2.
证法2：
26.如图，在中，，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作
，交⊙O于点F，求证：
（1）四边形DBCF是平行四边形
（2）
27.在△ABC中，∠C= ，⊙O是△ABC的内切圆，⊙P分别与CA的延长线、CB的延长线以及直线AB均相切，⊙O的半径为m，⊙P的半径为n.
（1）当=90°时，AC=6，BC=8时，m=________，n=________.
（2）当取下列度数时，求△ABC的面积（用含有m、n的代数式表示，并直接写出答案）.①如图，=90°；②如图，=60°.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
二、填空题
7.【答案】x1＝0，x2＝2
8.【答案】-7
9.【答案】20%
10.【答案】1
11.【答案】65
12.【答案】﹣或+
13.【答案】2
14.【答案】219
15.【答案】36或144
16.【答案】
三、解答题
17.【答案】解：因式分解得：（x+1）（x-3）=0，
即x+1=0或x-3=0，
解得：x1=-1，x2=3
18.【答案】解：两边开方得：x+1=±（2x+1），解得：x1=0，x2=－.
19.【答案】解：由题意得4﹣4m+4=﹣4，即3﹣m=0，
解得m=3；
∴x2﹣6x+4=﹣1，
∴（x﹣1）（x﹣5）=0，
得x1=1，x2=5.
20.【答案】（1）解：把x＝0代入原方程，得2m－1＝0 ，
解得：m＝.
∴x2-x＝0，
x1＝1，x2＝0.
∴另一个根是1.
（2）证明：b2－4ac＝4m2－4(2m－1)＝4m2－8m＋4，
∵4m2－8m＋4＝4 (m－1)2≥0.
∴对于任意的实数m，方程总有实数根.
21.【答案】（1）证明：作CH⊥CD于H，如图，
∵OH⊥CD，∴CH=DH，AH=BH，∴AH﹣CH=BH﹣DH，∴AC=BD；（2）
22.【答案】证明：连接BD.
∵AB＝CD
∴＝
∴－＝－，即＝
∴∠D＝∠B
∴BM＝DM
23.【答案】（1）解：如图：∴MN即为所求
（2）解：如图：∴PD、PE即为所求
24.【答案】解：，购买的数量超过了10件，
设多购买了x件，则每件价格是元，
，，
列式，
解得，（舍去），
（件），
答：购买了20件这种比赛服饰.
25.【答案】解：证法1：如图②，作直径DE交⊙O于点E，连接AE、CE.
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DAE＝∠DCE＝90°.
∵∠DAE＋∠AEC＋∠DCE＋∠ADC＝360°，
∴∠AEC＋∠ADC＝360°－∠DAE－∠DCE＝360°－90°－90°＝180°. ∵∠B和∠AEC所对的弧是，
∴∠AEC＝∠B..
∴∠B＋∠ADC＝180°.
证法2：连接OA、OC
∵∠B、∠1所对的弧是，
∠D、∠2所对的弧是，
∴∠B＝∠1，∠D＝∠2
∵∠1＋∠2＝360°，
∴∠B＋∠D＝(∠1＋∠2)＝×360°＝180°.
26.【答案】（1）证明：，
，
，
，
又,
四边形是平行四边形.
（2）证明：如图，连接
，
四边形是的内接四边形
27.【答案】（1）2；12
（2）解：①如图，
- 11 -
由（
1）可知，
，
，即 ， 由这两个式子可得 ；
②如图，设点D 、E 、F 分别是3个切点，连接PD 、PE 、PF
、CP ，
由切线长定理得 ， ∵ ， ， ∴ 平分 ， ∴
， ∴ ，
∵
，
∴ .。