反比例函数在重庆中考中的题型分析及解题策略

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重庆全国中考数学反比例函数的综合中考模拟和真题分类汇总

重庆全国中考数学反比例函数的综合中考模拟和真题分类汇总一、反比例函数1．如图．一次函数y=x+b的图象经过点B（﹣1，0），且与反比例函数（k为不等于0的常数）的图象在第一象限交于点A（1，n）．求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）当1≤x≤6时，反比例函数y的取值范围．【答案】（1）解：把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b得： 0=﹣1+b，∴b=1，∴一次函数解析式为：y=x+1，∵点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，∴n=1+1，∴n=2，∴点A的坐标是（1，2）．∵反比例函数的图象过点A（1，2）．∴k=1×2=2，∴反比例函数关系式是：y=（2）解：反比例函数y= ，当x＞0时，y随x的增大而减少，而当x=1时，y=2，当x=6时，y= ，∴当1≤x≤6时，反比例函数y的值：≤y≤2【解析】【分析】（1）根据题意首先把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b求出一次函数解析式，又点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，再利用一次函数解析式求出点A的坐标，然后利用代入系数法求出反比例函数解析式，（2）根据反比例函数的性质分别求出当x=1，x=6时的y值，即可得到答案．2．如图，P1、P2（P2在P1的右侧）是y= （k＞0）在第一象限上的两点，点A1的坐标为（2，0）．（1）填空：当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将________（减小、不变、增大）（2）若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形，①求反比例函数的解析式；②求出点P2的坐标，并根据图象直接写在第一象限内，当x满足什么条件时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值．【答案】（1）减小（2）解：①如图所示，作P1B⊥OA1于点B，∵A1的坐标为（2，0），∴OA1=2，∵△P1OA1是等边三角形，∴∠P1OA1=60°，又∵P1B⊥OA1，∴OB=BA1=1，∴P1B= ，∴P1的坐标为（1，），代入反比例函数解析式可得k= ，∴反比例函数的解析式为y= ；②如图所示，过P2作P2C⊥A1A2于点C，∵△P2A1A2为等边三角形，∴∠P2A1A2=60°，设A1C=x，则P2C= x，∴点P2的坐标为（2+x， x），代入反比例函数解析式可得（2+x） x= ，解得x1= ﹣1，x2=﹣﹣1（舍去），∴OC=2+ ﹣1= +1，P2C= （﹣1）= ﹣，∴点P2的坐标为（ +1，﹣），∴当1＜x＜ +1时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值【解析】【解答】解：（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，点P1离x轴的距离变小，而OA1的长度不变，故△P1OA1的面积将减小，故答案为：减小；【分析】（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，点P1离x轴的距离变小，而OA1的长度不变，故△P1OA1的面积将减小；（2）①由A1的坐标为（2，0），△P1OA1是等边三角形，求出P1的坐标，代入反比例函数解析式即可；②由△P2A1A2为等边三角形，求出点P2的坐标，得出结论.3．如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y= 与直线y=﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点．AB⊥x轴于B，且S△ABO= ．（1）求这两个函数的解析式；（2）求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．【答案】（1）解：设A点坐标为（x，y），且x＜0，y＞0，则S△ABO= •|BO|•|BA|= •（﹣x）•y= ，∴xy=﹣3，又∵y= ，即xy=k，∴k=﹣3．∴所求的两个函数的解析式分别为y=﹣，y=﹣x+2；（2）解：由y=﹣x+2，令x=0，得y=2．∴直线y=﹣x+2与y轴的交点D的坐标为（0，2），A、C两点坐标满足∴交点A为（﹣1，3），C为（3，﹣1），∴S△AOC=S△ODA+S△ODC= OD•（|x1|+|x2|）= ×2×（3+1）=4．【解析】【分析】两解析式的k一样，根据面积计算双曲线中的k较易，由公式=2S△ABO,可求出k；（2）求交点就求两解析式联立的方程组的解，可分割△AOC为S△ODA+S△ODC，即可求出.4．函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一，请解决下面的问题．（1）分别求出当2≤x≤4时，三个函数：y=2x+1，y= ，y=2（x﹣1）2+1的最大值和最小值；（2）若y= 的值不大于2，求符合条件的x的范围；（3）若y= ，当a≤x≤2时既无最大值，又无最小值，求a的取值范围；（4）y=2（x﹣m）2+m﹣2，当2≤x≤4时有最小值为1，求m的值．【答案】（1）解：y=2x+1中k=2＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x=2时，y最小=5；当x=4时，y最大=9．∵y= 中k=2＞0，∴在2≤x≤4中，y随x的增大而减小，∴当x=2时，y最大=1；当x=4时，y最小= ．∵y=2（x﹣1）2+1中a=2＞0，且抛物线的对称轴为x=1，∴当x=1时，y最小=1；当x=4时，y最大=19（2）解：令y= ≤2，解得：x＜0或x≥1．∴符合条件的x的范围为x＜0或x≥1（3）解：①当k＞0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最大值，有最小值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最大值，无最小值，②当k＜0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最小值，有最大值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最小值，无最大值，∴当k＜0，a＜0时，此时，y= 既无最大值，又无最小值，综上所述，a的取值范围是a＜0（4）解：①当m＜2时，有2（2﹣m）2+m﹣2=1，解得：m1=1，m2= （舍去）；②当2≤m≤4时，有m﹣2=1，解得：m3=3；③当m＞4时，有2（4﹣m）2+m﹣2=1，整理得：2m2﹣15m+29=0．∵△=（﹣15）2﹣4×2×29=﹣7，无解．∴m的值为1或3．①当k＞0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最大值，有最小值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最大值，无最小值，②当k＜0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最小值，有最大值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最小值，无最大值，∴当k＜0，a＜0时，此时，y= 既无最大值，又无最小值，综上所述，a的取值范围是a＜0；【解析】【分析】（1）根据k=2＞0结合一次函数的性质即可得出：当2≤x≤4时，y=2x+1的最大值和最小值；根据二次函数的解析式结合二次函数的性质即可得出：当2≤x≤4时，y=2（x﹣1）2+1的最大值和最小值；（2）令y= ≤2，解之即可得出x的取值范围；（3）①当k＞0时，如图得当0＜x≤2时，得到y= 无最大值，有最小值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，得到y≤ 有最大值，无最小值，②当k＜0时，如图得当0＜x≤2时，y=无最小值，有最大值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最小值，无最大值，于是得到结论；（4）分m＜2、2≤m≤4和m＞4三种情况考虑，根据二次函数的性质结合当2≤x≤4时有最小值为1即可得出关于m的一元二次方程（一元一次方程），解之即可得出结论．5．如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣2）.（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC 的形状并证明你的结论.【答案】（1）解：设反比例函数的解析式为（k＞0）∵A（m，﹣2）在y=2x上，∴﹣2=2m，∴解得m=﹣1。

中考压轴题-反比例函数综合(八大题型+解题方法)—冲刺2024年中考数学考点(全国通用)(解析版)

中考压轴题反比例函数综合（八大题型+解题方法）1.求交点坐标联立反比例函数与一次函数图象的解析式进行求解，特别地，反比例函数与正比例函数图象的两个交点关于原点对称.2.结合图象比较函数值的大小如图，一次函数y=k1x+b与反比例函数图象交于A,B 两点，过点A,B分别作y 轴的平行线，连同y 轴，将平面分为I,Ⅱ,Ⅲ,IV 四部分，在I,Ⅲ区域内，y₁<y₂,自变量的取值范围为x<x B或0<x<x A;在Ⅱ,IV区域内，y1>y₂,自变量的取值范围为x B<x<0或x>x A.3.反比例函数系数k的几何意义及常用面积模型目录：题型1：反比例函数与几何的解答证明题型2：存在性问题题型3：反比例函数的代数综合题型4：动态问题、新定义综合题型5：定值问题题型6：取值范围问题题型7：最值问题题型8：情景探究题（含以实际生活为背景题）题型1：反比例函数与几何的解答证明1．（2024·湖南株洲·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，4OA =，2OC =（不与B ，C 重合），反比例函数()0,0k y k x x=＞＞的图像经过点D ，且与AB 交于点E ，连接OD ，OE ，DE ．(1)若点D 的横坐标为1． ①求k 的值；②点P 在x 轴上，当ODE 的面积等于ODP 的面积时，试求点P 的坐标； (2)延长ED 交y 轴于点F ，连接AC ，判断四边形AEFC 的形状【答案】(1)①2；②15,04⎛⎫ ⎪⎝⎭或15,04⎛⎫− ⎪⎝⎭(2)四边形AEFC 是平行四边形，理由见解析【分析】（1）①根据矩形的性质得到90BCO B AOC ∠=∠=∠=︒，得()1,2D ，把()1,2D 代入()0,0ky k x x=＞＞即可得到结论；②由D ，E 都在反比例函数ky x =的图像上，得到1COD AOE S S ==△△，根据三角形的面积公式得到1111315241243222224ODE S =⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯=△，设(),0P x ，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（2）连接AC ，根据题意得到,22k D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,4k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设EF 的函数解析式为y ax b =+，解方程得到84k OF +=，求得24kCF OF AE =−==，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．【解析】（1）解：①∵四边形ABCO 是矩形，4OA =， ∴90BCO B AOC ∠=∠=∠=︒，4BC OA ==， ∵2OC =，点D 的横坐标为1， ∴()1,2D ，2AB OC ==，∵反比例函数()0,0ky k x x =＞＞的图像经过点D ，∴122k =⨯=， ∴k 的值为2； ②∵()1,2D ，∴1CD =，∵D ，E 都在反比例函数2y x =的图像上，∴1COD AOE S S ==△△，∴111422AOE S OA AE AE==⋅=⨯△，∴12AE =，∴13222BE AB AE =−=−=， ∴1111315241243222224ODES =⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯=△，∵点P 在x 轴上，ODE 的面积等于ODP 的面积，设(),0P x ，∴115224ODP S x =⨯⨯=△，解得：154x =或154x =−，∴点P 的坐标为15,04⎛⎫ ⎪⎝⎭或15,04⎛⎫− ⎪⎝⎭；（2）四边形AEFC AEFC 是平行四边形．理由：连接AC ，∵4OA =，2OC =，D ，E 都在反比例函数()0,0ky k x x =＞＞的图像上，∴,22k D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,4k E ⎛⎫⎪⎝⎭，设EF 的函数解析式为：y ax b =+，∴2244k a b k a b ⎧⨯+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：1284a kb ⎧=−⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∴EF 的函数解析式为：1824k y x +=−+，当0x =时，得：84ky +=，∴84k OF +=， ∴24kCF OF AE =−==，又∵CF AE ∥，∴四边形AEFC 是平行四边形．【点睛】本题是反比例函数与几何的综合，考查待定系数法确定解析式，反比例函数图像上的点的坐标的特征，矩形的性质，平行四边形的判定，三角形的面积等知识点．掌握反比例函数图像上的点的坐标的特征，矩形的性质是解题的关键．题型2：存在性问题2．（2024·四川成都·二模）如图①，O 为坐标原点，点B 在x 轴的正半轴上，四边形OACB 是平行四边形，4sin 5AOB ∠=，反比例函数(0)ky k x =>在第一象限内的图象经过点A ，与BC 交于点F ．(1)若10OA =，求反比例函数解析式；(2)若点F 为BC 的中点，且AOF 的面积12S =，求OA 的长和点C 的坐标；(3)在（2）中的条件下，过点F 作EF OB ∥，交OA 于点E （如图②)，点P 为直线EF 上的一个动点，连接PA ，PO ．是否存在这样的点P ，使以P 、O 、A 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)48(0)y x x =>C(3)存在，满足条件的点P 或(或或(【分析】（1）先过点A 作AH OB ⊥，根据4sin 5AOB ∠=，10OA =，求出AH 和OH 的值，从而得出A 点坐标，再把它代入反比例函数中，求出k 的值，即可求出反比例函数的解析式；（2）先设(0)OA a a =>，过点F 作FM x ⊥轴于M ，根据4sin 5AOB ∠=，得出45AH a =，35OH a=，求出AOHS △的值，根据12AOF S =△，求出平行四边形AOBC 的面积，根据F 为BC 的中点，求出6OBF S =△，根据12BF a =，FBM AOB ∠=∠，得出12BMFS BM FM =⋅，23650FOM S a =+△，再根据点A ，F 都在k y x =的图象上，12AOHSk=，求出a ，最后根据AOBC S OB AH =⋅平行四边形，得出OB AC ==C 的坐标；（3）分别根据当90APO ∠=︒时，在OA 的两侧各有一点P ，得出1P ，2P ；当90PAO ∠=︒时，求出3P ；当90POA ∠=︒时，求出4P 即可．【解析】（1）解：过点A 作AH OB ⊥于H ，4sin 5AOB ∠=，10OA =，8AH ∴=，6OH =，A ∴点坐标为(6,8)，根据题意得：86k=，可得：48k =，∴反比例函数解析式：48(0)y x x =>；（2）设(0)OA a a =>，过点F 作FM x ⊥轴于M ，过点C 作CN x ⊥轴于点N ，由平行四边形性质可证得OH BN =，4sin 5AOB ∠=，45AH a ∴=，35OH a=， 2143625525AOHS a a a ∴=⋅⋅=△，12AOF S =△，24AOBC S ∴=平行四边形，F 为BC 的中点，6OBFS∴=，12BF a=，FBM AOB ∠=∠，25FM a ∴=，310BM a =，2112332251050BMF S BM FM a a a ∴=⋅=⋅⋅=△，23650FOMOBFBMFSSSa ∴=+=+，点A ，F 都在ky x =的图象上，12AOH FOM S S k ∴==△△，∴226362550a a =+，a ∴OA ∴=AH ∴=OH =24AOBC S OB AH =⋅=平行四边形，OB AC ∴==ON OB OH ∴=+=C ∴；（3）由（2）可知A ，B 0)，F ．存在三种情况：当90APO ∠=︒时，在OA 的两侧各有一点P ，如图，设PF 交OA 于点J ，则J此时，AJ PJ OJ ==，P ∴，(P '，当90PAO ∠=︒时，如图，过点A 作AK OB ⊥于点K ，交PF 于点L ．由AKO PLA △∽△，可得PLP ，当90POA ∠=︒时，同理可得(P ．综上所述，满足条件的点P 的坐标为或(或或(．【点睛】此题考查了反比例函数的综合，用到的知识点是三角函数、平行四边形、反比例函数、三角形的面积等，解题的关键是数形结合思想的运用．3．（2024·广东湛江·一模）【建立模型】（1）如图1，点B 是线段CD 上的一点，AC BC ⊥，AB BE ⊥，ED BD ⊥，垂足分别为C ，B ，D ，AB BE =．求证：ACB BDE ≌；【类比迁移】（2）如图2，点()3,A a −在反比例函数3y x=图象上，连接OA ，将OA 绕点O 逆时针旋转90︒到OB ，若反比例函数k y x =经过点B ．求反比例函数ky x=的解析式；【拓展延伸】（3）如图3抛物线223y x x +−与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点，已知点()0,1Q −，连接AQ ，抛物线上是否存在点M ，便得45MAQ ∠=︒，若存在，求出点M 的横坐标．【答案】（1）见解析；（2）3y x =−；（3）M 的坐标为39,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,4−−．【分析】（1）根据题意得出90C D ABE ︒∠=∠=∠=，A EBD ∠=∠，证明()AAS ACB BDE ≌，即可得证；（2）如图2，分别过点A ，B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，垂足分别为C ，D ．求解()3,1A −−，1AC =，3OC =．利用ACO ODB ≌△△，可得()1,3B −；由反比例函数ky x =经过点()1,3B −，可得3k =−，可得答案；（3）如图3，当M 点位于x 轴上方，且45MAQ ∠=︒，过点Q 作QD AQ ⊥，交MA 于点D ，过点D 作DE y⊥轴于点E ．证明AQO QDE ≌，可得AO QE =，OQ DE =，可得()1,2D ，求解1322AM y x =+：，令2132322x x x +=+−，可得M 的坐标为39,24⎛⎫ ⎪⎝⎭；如图，当M 点位于x 轴下方，且45MAQ ∠=︒，同理可得()1,4D −−，AM 为26y x =−−．由22623x x x −−=+−，可得M 的坐标是()1,4−−．【解析】证明：（1）如图，∵AC BC ⊥，AB BE ⊥，ED BD ⊥， ∴90C D ABE ︒∠=∠=∠=，∴90,90ABC A ABC EBD ∠+∠=︒∠+∠=︒， ∴A EBD ∠=∠，又∵AB BE =， ∴()AAS ACB BDE ≌．（2）①如图2，分别过点A ，B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，垂足分别为C ，D ．将()3,A a −代入3y x =得：1a =−，∴()3,1A −−，1AC =，3OC =．同（1）可得ACO ODB ≌△△， ∴1OD AC ==，3BD OC ==， ∴()1,3B −，∵反比例函数ky x =经过点()1,3B −，∴3k =−， ∴3y x =−；（3）存在；如图3，当M 点位于x 轴上方，且45MAQ ∠=︒，过点Q 作QD AQ ⊥，交MA 于点D ，过点D 作DE y ⊥轴于点E ．∵45MAQ ∠=︒，QD AQ ⊥， ∴45MAQ ADQ ∠=∠=︒， ∴AQ QD =，∵DE y ⊥轴，QD AQ ⊥，∴90AQO EQD EQD QDE ∠+∠=∠+∠=︒，90AOQ QED ∠=∠=︒， ∴AQO QDE ∠=∠， ∵AQ QD =， ∴AQO QDE ≌， ∴AO QE =，OQ DE =，令2230y x x =+−=，得13x =−，21x =，∴3AO QE ==，又()0,1Q −，∴1OQ DE ==， ∴()1,2D ，设AM 为y kx b =+，则230k b k b +=⎧⎨−+=⎩，，解得：1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴1322AM y x =+：令2132322x x x +=+−，得132x =，23x =−(舍去)，当32x =时，233923224y ⎛⎫=+⨯−= ⎪⎝⎭， ∴39,24M ⎛⎫⎪⎝⎭；如图，当M 点位于x 轴下方，且45MAQ ∠=︒，同理可得()1,4D −−，AM 为26y x =−−．由22623x x x −−=+−，得11x =−，23x =−(舍去)∴当=1x −时，()()212134y =−+⨯−−=−，∴()1,4M −−．综上：M 的坐标为39,24⎛⎫⎪⎝⎭或()1,4−−．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，反比例函数的应用，二次函数的性质，一元二次方程的解法，熟练的利用类比的方法解题是关键．题型3：反比例函数的代数综合4．（2024·湖南长沙·一模）若一次函数y mx n =+与反比例函数ky x=同时经过点(),P x y 则称二次函数2y mx nx k +=-为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P 为共享点．(1)判断21y x =−与3y x=是否存在“共享函数”，如果存在，请说明理由；(2)已知：整数m ，n ，t 满足条件8t n m ＜＜，并且一次函数()122=+++y n x m 与反比例函数2024y x=存在“共享函数”()()2102024y m t x m t x ++−=-，求m 的值．(3)若一次函数y x m =+和反比例函数213m y x+=在自变量x 的值满足的6m x m ≤≤+的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．【答案】(1)3,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,3P −−，见解析 (2)2(3)2429y x x =+−或(29155y x x −−−=【分析】（1）判断21y x =−与3y x =是否有交点，计算即可；（2）根据定义，12210n m tm m t +=+⎧⎨+=−⎩，得到39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，结合8t n m ＜＜，构造不等式组解答即可．（3）根据定义，得“共享函数”为()22225131324m m y x mx m x ⎛⎫+−+=+−− ⎪⎝⎭=结合6m x m ≤≤+，“共享函数”的最小值为3，分类计算即可．本题考查了新定义，解方程组，解不等式组，抛物线的增减性，熟练掌握定义，抛物线的增减性是解题的关键．【解析】（1）21y x =−与3y x =存在“共享函数”，理由如下：根据题意，得213y x y x =−⎧⎪⎨=⎪⎩，解得322x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，13x y =−⎧⎨=−⎩，故函数同时经过3,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,3P −−，故21y x =−与3y x =存在“共享函数”．（2）∵一次函数()122=+++y n x m 与反比例函数2024y x =存在“共享函数”()()2102024y m t x m t x ++−=-，∴12210n m tm m t +=+⎧⎨+=−⎩，解得39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∵8t n m ＜＜， ∴82489869n n m n n +⎧=⎪⎪⎨+⎪⎪⎩＜＞，解得24n 6＜＜， ∴327n +9＜＜， ∴339n +1＜＜，∴13m ＜＜， ∵m 是整数， ∴2m =．（3）根据定义，得一次函数y x m =+和反比例函数213m y x +=的“共享函数”为 ()22225131324m m y x mx m x ⎛⎫+−+=+−− ⎪⎝⎭=，∵()22225131324m m y x mx m x ⎛⎫+−+=+−− ⎪⎝⎭=．∴抛物线开口向上，对称轴为直线2mx =−，函数有最小值25134m −−，且点与对称轴的距离越大，函数值越大，∵6m x m ≤≤+，当62mx m =−+≥时，即4m ≤−时，∵11622m m m m ⎛⎫⎛⎫−−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞， ∴6x m =+时，函数取得最小值，且为2225613182324m m y m m m ⎛⎫=++−−=++ ⎪⎝⎭，又函数有最小值3，∴218233m m ++=，解得99m m =−=−故9m =− ∴“共享函数”为(29155y x x −−−=当2m x m =−≤时，即0m ≥时，∵11622m m m m ⎛⎫⎛⎫−−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜， ∴x m =时，函数取得最小值，且为2225131324m m y m m ⎛⎫=+−−=− ⎪⎝⎭，又函数有最小值3，∴2133m −=，解得4,4m m ==−（舍去）；故4m =，∴“共享函数”为2429y x x =+−；当62mm m −+＜＜时，即40m −＜＜时，∴2mx =−时，函数取得最小值，且为25134m y =−−，又函数有最小值3，∴251334m −−=，方程无解，综上所述，一次函数y x m =+和反比例函数213m y x += 的“共享函数”为2429y x x =+−或(29155y x x −−−=5．（2024·江苏南京·模拟预测）若一次函数y mx n =+与反比例函数ky x=同时经过点(,)P x y 则称二次函数2y mx nx k =+−为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P 为共享点．(1)判断21y x =−与3y x=是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由； (2)已知：整数m ，n ，t 满足条件8t n m <<，并且一次函数(1)22y n x m =+++与反比例函数2024y x=存在“共享函数” 2()(10)2024y m t x m t x =++−−，求m 的值．(3)若一次函数y x m =+和反比例函数213m y x+=在自变量x 的值满足的6m x m ≤≤+的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．【答案】(1)点P 的坐标为：3(2，2)或(1,3)−−；(2)2m =(3)222(13)(9(155y x mx m x x =+−+=+−−+或2429y x x =+−．【分析】（1）联立21y x =−与3y x =并整理得：2230x x −−=，即可求解；（2）由题意得12210n m t m m t +=+⎧⎨+=−⎩，解得39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，而8t n m <<，故624n <<，则9327n <+<，故13m <<，m 是整数，故2m =；（3）①当162m m +≤−时，即4m ≤−，6x m =+，函数取得最小值，即22(6)(6)133m m m m +++−−=，即可求解；②当162m m m <−<+，即40m −<<，函数在12x m=−处取得最小值，即22211()13322m m m −−−−=，即可求解；③当0m ≥时，函数在x m =处，取得最小值，即可求解．【解析】（1）解：（1）21y x =−与3y x =存在“共享函数”，理由如下：联立21y x =−与3y x =并整理得：2230x x −−=，解得：32x =或1−，故点P 的坐标为：3(2，2)或(1,3)−−；（2）解：一次函数(1)22y n x m =+++与反比例函数2024y x =存在“共享函数”2()(10)2024y m t x m t x =++−−，依据“共享函数”的定义得： 12210n m tm m t +=+⎧⎨+=−⎩，解得：39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， 8t n m <<，∴8698249n n n n +⎧<⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩，解得：624n <<；9327n ∴<+<， 13m ∴<<，m 是整数，2m ∴=；（3）解：由y x m =+和反比例函数213m y x +=得：“共享函数”的解析式为22(13)y x mx m =+−+，函数的对称轴为：12x m=−； ①当162m m+≤−时，即4m ≤−， 6x m =+，函数取得最小值，即22(6)(6)133m m m m +++−−=，解得9m =−9−②当162m m m <−<+，即40m −<<，函数在12x m =−处取得最小值，即22211()13322m m m −−−−=，无解；③当0m ≥时，函数在x m =处，取得最小值，即222133m m m +−−=，解得：4m =±（舍去4)−，综上，9m =−4，故“共享函数”的解析式为222(13)(9(155y x mx m x x =+−+=+−−+或2429y x x =+−．【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，一次函数与反比例函数图象上点的坐标的特征，二次函数的性质，一元一次不等式组的解法，一元二次方程的解法．本题是阅读型题目，理解题干中的定义并熟练应用是解题的关键．6．（2024·湖南长沙·模拟预测）我们规定：若二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）与x 轴的两个交点的横坐标1x ，2x 满足122x x =−，则称该二次函数为“强基函数”，其中点()1,0x ，()2,0x 称为该“强基函数”的一对“基点”．(1)判断：下列函数中，为“强基函数”的是______（仅填序号）．①228y x x =−−；②21y x x =++．(2)已知二次函数()2221y x t x t t =−+++为“强基函数”，求：当12x −≤≤时，函数22391y x tx t =+++的最大值．(3)已知直线1y x =−+与x 轴交于点C ，与双曲线()20y x x=−<交于点A ，点B 的坐标为()3,0−．若点()1,0x ，()2,0x 是某“强基函数”的一对“基点”，()12,P x x 位于ACB △内部．①求1x 的取值范围；②若1x 为整数，是否存在满足条件的“强基函数”2y x bx c =++？若存在，请求出该“强基函数”的解析式；若不存在，请说明理由．【答案】(1)① (2)当23t =−时函数最大值为8或当13t =−时函数最大值为4；(3)①1x 的取值范围是：120x −<<或110x −<<；②21122y x x =+−【分析】（1）根据抛物线与x 轴的交点情况的判定方法分别判定①与②与x 轴的交点情况，再求解交点坐标，结合新定义，从而可得答案；（2）由()22210y x t x t t =−+++=时，可得1x t=，21x t =+，或11x t =+，2x t=，当122x x =−时，根据新定义可得23t =−或13t =−，再分情况求解函数的最大值即可；（3））①先得到点A 、B 、C 的坐标，然后分122x x =−或212x x =−两种情况，列出关于1x 的不等式组，然后解不等式组即可；②根据1x 为整数，先求出1x 的值，然后根据二次函数的交点式直接得到二次函数的解析式即可．【解析】（1）解：①∵228y x x =−−； ∴()()2Δ2418432360=−−⨯⨯−=+=>，∴抛物线与x 轴有两个交点，∵228=0x x −−，∴14x =，22x =−，∴122x x =−，∴228y x x =−−是“强基函数” ②∵21y x x =++， ∴214111430∆=−⨯⨯=−=−<，∴抛物线与x 轴没有交点，∴21y x x =++不是“强基函数” 故答案为：①；（2）∵二次函数()2221y x t x t t=−+++为“强基函数”，∴()()22Δ21410t t t ⎡⎤=−+−+=>⎣⎦，∵()22210y x t x t t =−+++=时， ∴1x t=，21x t =+，或11x t =+，2x t=，当122x x =−时，∴()21t t =−+或12t t +=−，解得：23t =−或13t =−，当23t =−时，函数为225y x x =−+，如图，∵12x −≤≤，此时当=1x −时，函数最大值为1258y =++=；当13t =−时，函数为22y x x =−+，如图，∵12x −≤≤，此时当=1x −或2x =时，函数最大值为1124y =++=；（3）①联立()201y x x y x ⎧=−<⎪⎨⎪=−+⎩，解得：12x y =−⎧⎨=⎩， ∴点A 的坐标为：()1,2−，把0y =代入 1y x =−+得：10x −+=，解得：1x =，∴点C 的坐标为()1,0，设直线AB 为1y kx b =+，∴11302k b k b −+=⎧⎨−+=⎩，解得：113k b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为：3y x =+， ∵点()1,0x ，()2,0x 是某“强基函数”的一对“基点”， ()12,P x x 位于ACB △内部．当122x x =−时， ∴111,2P x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭， ∴点P 在直线2xy =−上，∵点111,2P x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭位于以A 、B 、C 三点所构成的三角形内部，如图，∴1111103212x x x x x ⎧⎪<⎪⎪−+⎨⎪⎪−−+⎪⎩＜＜，解得：120x −<<；当212x x =−时，∵P 点坐标为()11,2x x −，∴点P 在直线2y x =−上，∵点P 位于以A 、B 、C 三点所构成的三角形内部，如图，∴1111102321x x x x x <⎧⎪−<+⎨⎪−<−+⎩，解得：110x −<<；综上分析可知，1x 的取值范围是：120x −<<或110x −<<；②存在；理由如下：∵1x 为整数，∴当120x −<<时，11x =−，∴此时212x =，此时，“强基函数”的一对“基点”为()1,0−，1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴“强基函数”为()21111222y x x x x ⎛⎫=+−=+− ⎪⎝⎭；当110x −<<时，则没有符合条件的整数1x 的值，不存在符合条件的“强基函数”；综上，“强基函数”为21122y x x =+−．【点睛】本题考查的是一次函数，反比例函数，二次函数的综合应用，新定义的含义，本题难度大，灵活应用各知识点，理解新定义的含义是解题的关键．题型4：动态问题、新定义综合7．（2024·山东济南·一模）如图1，直线14y ax =+经过点()2,0A ，交反比例函数2k y x=的图象于点()1,B m −，点P 为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．(1)求反比例函数2y 的表达式；(2)过点P 作PC x ∥轴交直线AB 于点C ，连接AP ，BP ，若ACP △的面积是BPC △面积的2倍，请求出点P 坐标；(3)平面上任意一点(),Q x y ，沿射线BA Q '，点Q '怡好在反比例函数2k y x=的图象上；①请写出Q 点纵坐标y 关于Q 点横坐标x 的函数关系式3y =______；②定义}{()()min ,a a b a b b a b ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数{}13min ,Y y y =的最大值为______．【答案】(1)26y x =−(2)点P 坐标为1,122⎛⎫− ⎪⎝⎭或3,42⎛⎫− ⎪⎝⎭ (3)①3621y x =−++；②8【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形，解题的关键是运用分类讨论的思想．（1）先根据点()2,0A 求出1y 的解析式，然后求出点B 的坐标，最后将点B 的坐标代入2y 中，求出k ，即可求解；（2）分两种情况讨论：当点P 在AB 下方时，当点P 在AB 上方时，结合“若ACP △的面积是BPC △面积的2倍”，求出点C 的坐标，将点C 的纵坐标代入反比例函数解析式，即可求解；（3）①根据题意可得：(),Q x y 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点Q '，则()1,2Q x y +'−，将其代入26y x =−中，即可求解；②分为：当{}131min ,Y y y y ==时，13y y ≤；当{}133min ,Y y y y ==时，13y y >；分别解不等式即可求解．【解析】（1）解：直线14y ax =+经过点()2,0A ，，∴240x +=，解得：2a =−，∴124y x =−+，点()1,B m −在直线124y x =−+上，∴()2146m =−⨯−+=，∴()1,6B −，∴166k =−⨯=−， ∴26y x =−；（2）①当点P 在AB 下方时，2ACP BPC S S =，∴:2:1AC BC =，过点C 作CH x ⊥轴于点H ，过点B 作BR x ⊥轴于点R ，∴23AC CH AB BR ==， ∴23C B y y =，()1,6B −，∴4C y =，把4C y =代入26y x =−中，得：32C x =−， ∴3,42P ⎛⎫− ⎪⎝⎭； ②当点P 在AB 上方时，2ACP BPC S S =，∴:1:1AB BC =，∴B 为AC 的中点，()2,0A ，()1,6B −，∴()4,12C −，把12y =代入26y x =−中，得：12x =−， ∴1,122P ⎛⎫− ⎪⎝⎭，综上所述，点P 的坐标为1,122⎛⎫− ⎪⎝⎭或3,42⎛⎫− ⎪⎝⎭；（3）① 由(),Q x y ，沿射线BA Q '，得：(),Q x y 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点Q '，∴()1,2Q x y +'−，点()1,2Q x y +'−恰好在反比例函数26y x =−的图象上， ∴621y x −=−+， ∴3621y x =−++；②a ．当{}131min ,Y y y y ==时，13y y ≤，即62421x x −+≤−++，当1x >−时，()()()2141621x x x x −+++≤−++，解得：2x ≥或2x ≤−（舍去），∴2x =时，函数{}131min ,Y y y y ==有最大值，最大值为2240−⨯+=；当1x <−时，()()()2141621x x x x −+++≥−++，解得：21x −≤<−，∴2x =−时，函数{}131min ,Y y y y ==有最大值，最大值为()2248−⨯−+=；b ．当{}133min ,Y y y y ==时，13y y >，即62421x x −+>−++，当1x >−时，()()()2141621x x x x −+++>−++，解得：2x >或<2x −（舍去）， ∴362021y >−+=+，即0Y >；当1x <−时，()()()2141621x x x x −+++<−++，解得：2<<1x −−，∴328y <<，即28Y <<；综上所述，函数{}13min ,Y y y =的最大值为8，故答案为：8．8．（2024·四川成都·一模）如图，矩形OABC 交反比例函数k y x=于点D ，已知点()0,4A ，点()2,0C −，2ACD S =△．(1)求k 的值；(2)若过点D 的直线分别交x 轴，y 轴于R ，Q 两点，2DRDQ =，求该直线的解析式； (3)若四边形有一个内角为60︒，且有一条对角线平分一个内角，则称这个四边形为“角分四边形”．已知点P在y 轴负半轴上运动，点Q 在x 轴正半轴上运动，若四边形ACPQ 为“角分四边形”，求点P 与点Q 的坐标．【答案】(1)4k =−；(2)26y x =+或22y x =−+；(3)(()020P ,,Q ,−或 ()()04320P ,,−或()()040P ,,Q −【分析】（1）利用面积及矩形的性质，用待定系数法即可求解；（2）分两种情况讨论求解：R 在x 轴正半轴上和在负半轴上两种情况分别求解即可；（3）分三种情况：当AO 平分CAQ ∠，60CPQ ∠=︒时，当CO 平分ACP ∠，60CPQ ∠=︒时，当CO 平分ACP ∠，60AQP ∠=︒时，分别结合图形求解. 【解析】（1）解：2ACD S =△，即122AD OA ⨯⨯=， ()0,4A ，1422AD ∴⨯=，1AD ∴=，()1,4D ∴−， 41k∴=−，4k ∴=−；（2）①如图，当2DR DQ =时，13DQ RQ =，AD OR ，13DQ AD RQ OR ∴==，1AD =，3OR ∴=，()3,0R ∴−，设直线RQ 为11y k x b =+，把()3,0R −，()1,4D −代入11y k x b =+，得1111304k b k b −+=⎧⎨−+=⎩，解得1126k b =⎧⎨=⎩，直线RQ 为26y x =+，②如图，当2DR DQ =时，1DQ RQ =，AD OR ，1DQ AD RQ OR ∴==，1AD =，1OR ∴=，()1,0R ∴，设直线RQ 为22y k x b =+，把()1,0R ，()1,4D −代入22y k x b =+，得222204k b k b +=⎧⎨−+=⎩，解得2222k b =−⎧⎨=⎩，直线RQ 为22y x =−+，综上所述，直线RQ 的表达式为26y x =+或22y x =−+；（3）解：①当AO 平分CAQ ∠，60CPQ ∠=︒时，CAO QAO AO AOAOC AOQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩，()ASA AOC AOQ ∴≌， CO QO ∴=即AP 垂直平分CQ ，()2,0Q ∴，60CPQ ∠=︒，30CPO ∴∠=︒，tan30OC OP ∴===︒，(0,P ∴−，②当CO 平分ACP ∠，60CPQ ∠=︒时，同理ACO PCO ≌，得4OA OP ==，()0,4P ∴−，PC == 作CM PQ ⊥于M ，60CPQ ∠=︒，1cos602PM PC ∴=⨯︒==sin60CM PC =⨯︒== 90POQ CMQ ,PQO PQO ∠=∠=︒∠=∠，CMQ POQ ∴∽，MQ CM OQ OP ∴=，即MQ OQ =，)2222OQ OP PQ MQ +==② ，联立①，②，解得32OQ =或32OQ =(舍），()32,0Q ∴，③当CO 平分ACP ∠，60AQP ∠=︒时，同理 ACO PCO ≌，得4OA OP ==，AC CP = 同理ACQ PCQ ≌，得AQ PQ =∴APQ 是等边三角形()0,4P ∴−，8AP AQ PQ ,===OQ =， ()Q ∴，综上所述，P 、Q 的坐标为(()0,,2,0P Q −或 ()()0,4,32,0P Q −或()()0,4,P Q −.【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，解直角三角形，求一次函数解析式，相似三角形的性质和判定，正确作出辅助线，解方程组，灵活运用待定系数法求函数解析式是解本题的关键．题型5：定值问题9．（2024·山东济南·模拟预测）如图①，已知点()1,0A −，()0,2B −，ABCD Y 的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 的中点，双曲线k y x=经过C 、D 两点．(1)求k 的值；(2)点P 在双曲线k y x=上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q 的坐标；(3)以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图③），点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN HT ⊥，交AB 于N ，当点T 在AF 上运动时，MN HT 的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．【答案】(1)4k =(2)()0,6或()0,2或()0,6− (3)12MN HT =，其值不发生改变，证明见解析【分析】（1）根据中点坐标公式可得，1D x =，设()1,D t ，由平行四边形对角线中点坐标相同可知()2,2C t −，再根据反比例函数的性质求出t 的值即可；（2）由（1）知4k =可知反比例函数的解析式为4y x =，再由点P 在双曲线4y x =上，点Q 在y 轴上，设()0,Q q ，4P p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，再分以AB 为边和以AB 为对角线两种情况求出x 的值，故可得出P 、Q 的坐标；（3）连NH 、NT 、NF ，易证NF NH NT ==，故NTF NFT AHN ∠=∠=∠，90TNH TAH ∠=∠=︒，12MN HT =由此即可得出结论．【解析】（1）解：∵()1,0A −，E 为AD 中点且点E 在y 轴上，1D x ∴=，设()1,D t ，()C m n ，，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC BD 、的中点坐标相同， ∴101222022m t n +−⎧=⎪⎪⎨−+⎪=⎪⎩， ∴22m n t ==−，()22C t ∴−，，∵C 、D 都在反比例函数4y x =的图象上，()22k t t ∴==−，4t ∴=， 4k ∴=；（2）解：由（1）知4k =，∴反比例函数的解析式为4y x =，点P 在双曲线4x 上，点Q 在y 轴上，∴设()0,Q q ，4P p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，①当AB 为边时：如图1，若ABPQ 为平行四边形，则1002240422p q p −++⎧=⎪⎪⎨−⎪−=⎪⎩，解得16p q =⎧⎨=⎩，此时()11,4P ，()10,6Q ；如图2，若ABQP 为平行四边形，则1002242022p q p −++⎧=⎪⎪⎨−+⎪+=⎪⎩，解得16p q =−⎧⎨=−⎩，此时()21,4P −−，()20,6Q −；②如图3，当AB 为对角线时，则010*******p q p +−+⎧=⎪⎪⎨+⎪−=⎪⎩解得12p q =−⎧⎨=⎩，()31,4P ∴−−，()30,2Q ；综上所述，满足题意的Q 的坐标为()0,6或()0,2或()0,6−；（3）解：12MN HT =，其值不发生改变，证明如下：如图4，连NH 、NT 、NF ，∵M 是HT 的中点，MN HT ⊥，∴MN 是线段HT 的垂直平分线，NT NH ∴=，四边形AFBH 是正方形，45ABF ABH ∴∠=∠=︒，在BFN 与BHN △中，BF BH NBF NBH BN BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS BFN BHN ∴≌，NF NH NT ∴==，BFN BHN ∠=∠，∵90BFA BHA ==︒∠∠，NTF NFT AHN ∴∠=∠=∠，∵180ATN NTF ∠+∠=︒，∴180ATN AHN ∠+∠=︒，∴3601809090TNH ∠=︒−︒−︒=︒．12MN HT ∴=， ∴12MN HT =．三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.10．（2024·山东济南·二模）如图①，已知点(1,0)A −，(0,2)B −，ABCD Y 的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 的中点，双曲线k y x=经过C 、D 两点．(1)求k 的值；(2)点P 在双曲线k y x=上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q 的坐标；(3)以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图③)，点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN HT ⊥，交AB 于N ，当点T 在AF 上运动时，MN HT的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．【答案】(1)4k =(2)1(0,6)Q ，2(0,6)Q −，3(0,2)Q(3)结论：MN HT 的值不发生改变，12MN HT =证明见解析【分析】（1）设(1,)D t ，由DC AB ∥，可知(2,2)C t −，再根据反比例函数的性质求出t 的值即可；（2）由（1）知4k =可知反比例函数的解析式为4y x =，再由点P 在双曲线4y x =上，点Q 在y 轴上，设(0,)Q y ，4(,)P x x ，再分以AB 为边和以AB 为对角线两种情况求出x 的值，故可得出P 、Q 的坐标；（3）连NH 、NT 、NF ，易证NF NH NT ==，故NTF NFT AHN ∠=∠=∠，90TNH TAH ∠=∠=︒，12MN HT =由此即可得出结论．【解析】（1）解：(1,0)A −，(0,2)B −，E 为AD 中点， 1D x ∴=，设(1,)D t ，又DC AB ∥，(2,2)C t ∴−，24t t ∴=−，4t ∴=，4k ∴=；（2）解：由（1）知4k =，∴反比例函数的解析式为4y x =，点P 在双曲线4x 上，点Q 在y 轴上，∴设(0,)Q y ，4(,)P x x ， ①当AB 为边时：如图1，若ABPQ 为平行四边形，则102x −+=，解得1x =，此时1(1,4)P ，1(0,6)Q ；如图2，若ABQP 为平行四边形，则122x −=，解得=1x −，此时2(1,4)P −−，2(0,6)Q −；②如图3，当AB 为对角线时，AP BQ =，且AP BQ ∥； ∴122x −=，解得=1x −，3(1,4)P ∴−−，3(0,2)Q ；故1(1,4)P ，1(0,6)Q ；2(1,4)P −−，2(0,6)Q −；3(1,4)P −−，3(0,2)Q ；（3）解：结论：MNHT 的值不发生改变，理由：如图4，连NH 、NT 、NF ，MN 是线段HT 的垂直平分线，NT NH ∴=，四边形AFBH 是正方形，ABF ABH ∴∠=∠，在BFN 与BHN △中，BF BH ABF ABH BN BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BFN BHN SAS ∴≌，NF NH NT ∴==， NTF NFT AHN ∴∠=∠=∠，四边形ATNH 中，180ATN NTF ∠+∠=︒，而NTF NFT AHN ∠=∠=∠，所以，180ATN AHN ∠+∠=︒，所以，四边形ATNH 内角和为360︒，所以3601809090TNH ∠=︒−︒−︒=︒．12MN HT ∴=， ∴12MN HT =．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.题型6：取值范围问题11．（2024·江苏宿迁·二模）中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线．在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点()11,P x y 是图形1G 上的任意一点，点()22,Q x y 是图形2G 上的任意一点，若存在直线()0l y kx b k =+≠∶满足11y kx b ≤+且22y kx b ≥+，则直线(0)y k b k =+≠就是图形1G 与2G 的“楚河汉界线”．例如：如图1，直线4l y x =−−∶是函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的一条“楚河汉界线”．(1)在直线①2y x =−，②41y x =−，③23y x =−+，④31y x =−−中，是图1函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的“楚河汉界线”的有______；（填序号） (2)如图2，第一象限的等腰直角EDF 的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D 的坐标是()2,1，EDF 与O 的“楚河汉界线”有且只有一条，求出此“楚河汉界线”的表达式；(3)正方形1111D C B A 的一边在y 轴上，其他三边都在y 轴的右侧，点(2,)M t 是此正方形的中心，若存在直线2y x b =−+是函数2)304(2y x x x =−++≤≤的图像与正方形1111D C B A 的“楚河汉界线”，求t 的取值范围．【答案】(1)①④；(2)25y x =−+；(3)7t ≤−或9t ≥．【分析】（1）根据定义，结合图象，可判断出直线为3y x =−或31y x =−−与双曲线6(0)y x x =<及正方形ABCD最多有一个公共点，即可求解；（2）先作出以原点O 为圆心且经过EDF 的顶点D 的圆，再过点D 作O 的切线，求出该直线的解析式即可；（3）先由抛物线与直线组成方程组，则该方程组有唯一一组解，再考虑直线与正方形有唯一公共点的情形，数形结合，分类讨论，求出t【解析】（1）解：如图，从图可知，2y x =−与双曲线6(0)y x x =<和正方形OABC 只有一个公共点，31y x =−−与双曲线6(0)y x x =<和正方形OABC 没有公共点，41y x =−、23y x =−+不在双曲线6(0)y x x =<及正方形ABCD 之间，根据“楚河汉界线”定义可知，直线2y x =−，31y x =−−是双曲线6(0)y x x =<与正方形OABC 的“楚河汉界线”，故答案为：①④；（2）解：如图，连接OD ，以O 为圆心，OD 长为半径作O ，作DG x ⊥轴于点G ，过点D 作O 的切线DM ，则MD OD ⊥，∵MD OD ⊥，DG x ⊥轴， ∴90ODM OGD ∠=∠=︒， ∴90MOD OMD ∠+∠=︒， ∵90MOD DOG ∠+∠=︒， ∴OMD DOG ∠=∠， ∴tan tan OMD DOG ∠=∠， ∵()2,1D ，∴1DG =，2OG =，∴1tan tan 2DG OMD DOG OG ∠=∠==，OG ==∵tan ODOMD DM ∠=，∴12=，∴1122MN DM ∴==⨯=∴5OM =，∴()0,5M ，设直线MD 的解析式为y mx n =+，把()0,5M 、()2,1D 代入得，521n m n =⎧⎨+=⎩，解得25m n =−⎧⎨=⎩，∴25y x =−+，∴EDF 与O 的“楚河汉界线”为25y x =−+；（3）解：由2223y x b y x x =−+⎧⎨=−++⎩得，2430x x b −+−=， ∵直线与抛物线有唯一公共点， ∴0=，∴164120b −+=，解得7b =， ∴此时的“楚河汉界线”为27y x =−+，当正方形1111D C B A 在直线27y x =−+上方时，如图，∵点()2,M t 是此正方形的中心，∴顶点()10,2A t −，∵顶点()10,2A t −不能在直线27y x =−+下方，得27t −≥，解得9t ≥；当正方形1111D C B A 在直线27y x =−下方时，如图，对于抛物线223y x x =−++，当0x =时，3y =；当4x =时，5y =−； ∴直线23y x =−+恰好经过点()0,3和点()4,5−；对于直线23y x =−+，当4x =时，5y =−，由()12,2C t +不能在直线23y x =−+上方，得25t ≤−+，解得7t ≤−；综上所述，7t ≤−或9t ≥．【点睛】此题考查了一次函数、正方形的性质、三角函数、一次函数的应用、二元二次方程组，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．题型7：最值问题12．（2024·辽宁·一模）【发现问题】随着时代的发展，在现代城市设计中，有许多街道是设计的相互垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到目的地，只能按直角拐弯的方式行走．我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy ，对两点()11,A x y 和()22,B x y ，用以下方式定义两点间的“折线距离”：()1212,d A B x x y y =−+−．【提出问题】（1）①已知点()4,1A ，则(),d O A =______；②函数()2630y x x =+−≤≤的图象如图1，B 是图象上一点，若(),5d O B =，则点B 的坐标为______；（2）函数()30y x x=>的图象如图2，该函数图象上是否存在点C ，使(),2d O C =？若存在，求出其坐标；若不存在，请说明理由；【拓展运用】（3）已知函数()21460y x x x =−+≥和函数()2231y x x =+≥−的图象如图3，D 是函数1y 图象上的一点，E是函数2y 图象上的一点，当(),d O D 和(),d O E 分别取到最小值的时候，请求出(),d D E 的值．【答案】（1）①5；②()14，（2）不存在，理由见解析（3）()15,4d D E =【分析】本题在新定义下考查了一次方程和分式方程的解法，二次函数的最值，关键是紧靠定义来构造方程和函数．（1）①代入定义中的公式求； ②设出函数()2630y x x =+−≤≤的图象上点B 的坐标，通过(),5d O B =建立方程，解方程；（2）设出函数()30y x x =>的图象上点C 的坐标，通过(),2d O C =建立方程，看方程解的情况；（3）设出函数()21460y x x x =−+≥的图象上点D 的坐标，将()d O D ，表示成函数，利用二次函数的性质求函数最值，可求得点D 的坐标；设出函数()2231y x x =+≥−的图象上点E 的坐标，利用一次函数的性质，可求得点E 的坐标；再按定义求得(),d D E 的值即可．【解析】解：（1）①∵点()4,1A ，点()00O ，，∴()40105d O A =−+−=，；故答案为：5； ②设点()26B x x +，，∵(),5d O B =， ∴265x x ++=，∵30x −≤≤， ∴265x x −++=， ∴=1x −， ∴点()14B ，．故答案为：()14，；（2）不存在，理由如下：设点3C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∵(),2d O C =，∴32m m +=，∵0m >， ∴32m m +=，∴2230m m −+=，∵80∆=−<，∴此方程没有实数根， ∴不存在符合条件的点C ；（3）设点D 为()246n nn −+，，∴()246d O D n n n =+−+，，∵0n ≥，()2246220n n n −+=−+>，∴()222315463624d O D n n n n n n ⎛⎫=+−+=−+=−+⎪⎝⎭，， ∴当32n =时，()d O D ，最小，最小值为154，此时点D 坐标为3924⎛⎫ ⎪⎝⎭，．设点E 为()23e e +，，∴()23d O Ee e =++，，当10e −≤<时，()233d O Ee e e =−++=+，，∴当1e =−时，()d O E ，最小，最小值为2；当0e ≥时，()2333d O Ee e e =++=+，，∴当0e =时，()d O E ，最小，最小值为3；∴此时点E 坐标为()11−，．∴()395515,1124244d D E =−−+−=+=．13．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知直线132y x =−与反比例函数ky x=的图象交于点()8,Q t ，与y 轴交于点R ，动直线()08x m m =<<与反比例函数的图象交于点K ，与直线QR 交于点T ．(1)求t 的值及反比例函数的表达式；(2)当m 为何值时，RKT △的面积最大，且最大值为多少？ (3)如图2，ABCO 的顶点C 在反比例函数()0ky x x=>的图象上，点P 为反比例函数图象上一动点，过点P 作MN x ∥轴交OC 于点N ，交AB 于点M ．当点P 的纵坐标为2，点C 的横坐标为1且8OA =时，求PNPM的值．【答案】(1)1t =，反比例函数的表达式为8y x =； (2)当3m =时，RKT △的面积最大，且最大值为254；(3)1517PN PM =【分析】（1）将()8,Q t 代入直线132y x =−，求出t 的值，再将点Q 的坐标代入反比例函数，求出k 的值，即可得到反比例函数解析式；（2）设8,K m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,32T m m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，则81813322KT m m m m ⎛⎫=−−=−+ ⎪⎝⎭，进而表示出 RKT RTKQTKS SS=+△()2125344m =−−+，结合二次函数的性质，即可求出最值；（3）先求出P 、C 两点的坐标，再利用待定系数法求出直线OC 的解析式，进而得到点N 的坐标，得出PN的长，然后利用平行四边形的性质，得出PM 的长，即可求出PNPM 的值．【解析】（1）解：()8,Q t 在直线132y x =−上，18312t ∴=⨯−=，()8,1Q ∴，()8,1Q 在反比例函数ky x =上，818k ∴=⨯=，。

中考重点反比例函数方程的解法

中考重点反比例函数方程的解法反比例函数是数学中的一个重要概念，它是指两个变量之间的关系满足某种比例关系，其中一个变量的值的增加导致另一个变量的值的减少，反之亦然。

在中考中，反比例函数方程的解法是一个重要的考点，本文将详细介绍中考重点反比例函数方程的解法。

一、基本概念反比例函数表示为y = k/x，其中k是一个常数。

该函数的图像是一个直角双曲线，曲线关于y轴和x轴对称。

当x的值是正无穷大或负无穷大时，y的值趋近于0；当x的值趋近于0时，y的值趋近于正无穷大或负无穷大。

二、解法步骤解决反比例函数方程的关键是确定常数k的值，常常使用已知的函数值或称为条件来求解。

以下是解决反比例函数方程的一般步骤：1. 根据题意确定函数关系式。

根据问题中给出的条件，建立反比例函数关系式y = k/x。

2. 代入已知条件求解常数k。

将已知条件中的函数值代入函数关系式中，求解常数k的值。

3. 根据已知条件求解未知量。

将已知的函数值代入函数关系式中，求解未知量的值。

4. 核对解答。

将求得的值代入原方程核对，确保解答的准确性。

三、实例分析接下来通过一个实例来说明解决反比例函数方程的具体步骤。

例题：已知y = 8/x是反比例函数，当x = 4时，求y的值。

解题步骤：1. 根据题意确定函数关系式。

根据已知条件建立反比例函数关系式y = k/x。

2. 代入已知条件求解常数k。

已知当x = 4时，y = 8，将已知条件代入函数关系式得到8 = k/4，解方程得到k = 32。

3. 根据已知条件求解未知量。

已知当x = 4时，代入函数关系式y = 32/4，计算得到y = 8。

4. 核对解答。

将求得的值代入原方程核对，即8 = 32/4，等式左边等于右边，解答正确。

四、解题技巧在解决反比例函数方程时，需要注意以下几点技巧：1. 注意符号。

当已知条件中的函数值处于负半轴时，解方程时要注意符号的运用。

2. 注意约束条件。

有些题目中，可能会给出函数定义的范围，解决方程时要注意符合约束条件。

重庆中考反比例函数

反比例函数1．已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b （a ≠0）的图象与反比例函数(0)ky k x =≠的图象交于一、三象限内的A 、B 两点，与x 轴交于C 点，点A 的坐标为（2，m ），点B 的坐标为（n ，﹣2），tan ∠BOC=25．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在x 轴上有一点E （O 点除外），使得△BCE 与△BCO 的面积相等，求出点E 的坐标．2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=mx+1与双曲y=kx（k ＞0）相交于点A 、B ，点C 在x 轴正半轴上，点D （1，﹣2），连结OA 、OD 、DC 、AC ，四边形AODC 为菱形．（1）求k 和m 的值；（2）根据图象写出反比例函数的值小于2时x 的取值范围；（3）设点P 是y 轴上一动点，且OAPOACD SS =菱形，求点P 的坐标．3．如图，已知直线y 1=x+m 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，与双曲线2ky x =（x ＜0）分别交于点C 、D ，且C 点的坐标为（﹣1，2）．（1）分别求出直线AB 及双曲线的解析式；（2）求出点D 的坐标；（3）利用图象直接写出：当x 在什么范围内取值时，y 1＞y 2？4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=3x+2的图象与y 轴交于点A ，与反比例函数y=x k（k ≠0）在第一象限内的图象交于点B ，且点B 的横坐标为1．过点A 作AC ⊥y 轴交反比例函数y=x k（k ≠0）的图象于点C ，连接BC ．（1）求反比例函数的表达式．（2）求△ABC 的面积．5．如图，已知一次函数b kx y +=1的图象与反比例函数xy m2=的图象的两个交点是A （－2，－4）,C （4，n ），与y 轴交于点B ，与x 轴交于点D ．（1）求反比例函数xy m2=和一次函数b kx y +=1的解析式；（2）连结OA ，OC ，求△AOC 的面积．6．如图，直线y=2x+2与y 轴交于A 点，与反比例函数y=kx（x ＞0）的图象交于点M ，过M 作MH ⊥x 轴于点H ，且tan ∠AHO=2．（1）求k 的值；（2）点N （a ，1）是反比例函数y=kx（x ＞0）图象上的点，在x 轴上是否存在点P ，使得PM+PN 最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，一次函数y=kx+b 与反比例函数y=（x ＞0）的图象交于A （m ，6），B （3，n ）两点（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使kx+b ＜成立的x 的取值范围；（3）求△AOB 的面积．8．如图，已知直线x y 21=与双曲线x k y =交于A 、B 两点，点B 的坐标为(-4，-2)，C为第一象限内双曲线x k y =上一点，且点C 在直线x y 21=的上方．(1)求双曲线的函数解析式；(2)若△AOC 的面积为6，求点C 的坐标．9．如图一次函数的图象与反比例函数xm=y 的图象交于A （-4，a ）、B 两点，点B 的横坐标比点A 的横坐标大2，且6S AOB =△．（1）求m 的值；（2）求直线AB 的解析式；（3）指出一次函数值大于反比例函数值时x 的取值范围．10．如图，已知一次函数y=ax+b 的图象与反比例函数y=的图象相交于点A （﹣2，m ）和点B （4，﹣2），与x 轴交于点C（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△AOB 的面积．11．如图，一次函数y=kx+b 与反比例函数的图象交于A （m ，6），B （3，n ）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出的x的取值范围；（3）求△AOB的面积．12．已知函数y=6x-1与函数y=kx交于点A（2，b）、B（-3，m）两点（点A在第一象限），（1）求b，m，k的值；（2）函数y=6x-1与x轴交于点C，求△ABC的面积．13．如图，已知直线y=12x与双曲线y=kx交于A、B两点，点B的坐标为（﹣4，﹣2），C为第一象限内双曲线y=kx上一点，且点C在直线y=12x的上方．（1）求双曲线的函数解析式；（2）若△AOC 的面积为6，求点C 的坐标．14．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，直线 AB 分别与 x 轴、y 轴交于 B 和 A ，与反比例函数的图象交于 C 、D ，CE ⊥x 轴于点 E ，tan ∠ABO=21，OB=4，OE=2．（1）求直线 AB 和反比例函数的解析式；（2）求△OCD 的面积．15．（2015秋•昆明校级期末）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，直线AB 分别与x 轴、y 轴交于B 和A ，与反比例函数的图象交于C 、D ，CE ⊥x 轴于点E ，tan ∠ABO=，OB=4，OE=2．（1）求直线AB 和反比例函数的解析式；（2）求△OCD 的面积；（3）直接写出使一次函数值小于反比例函数值的x的取值范围．。

重庆市中考数学题型复习题型四反比例函数综合题类型一与一次函数结合课件.ppt

AO ∴A(－1，0)．
∵点A在一次函数y＝ax＋2的函数图象上，
∴0＝－a＋2.
∴a＝2.
∴一次函数的表达式为y＝2x＋2；
(2)【思维教练】由(1)可知一次函数表达式，根据点C、D是一次函数与反比例函数的交点可求得点C，D坐标，再将点C或点 D代入y＝ k (k≠0)中求出k的值，即可得到反比例函数表达
x 式；要求S△COD，可用面积和差求解：S△COD＝S△AOD＋S△AOC.
【自主作答】
题型四反比例函数综合题
类型一与一次函数结合
典例精讲
例 1 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋数y＝ k (k≠0)
x 的图象相交于C(1，m)，D(n，－2)两点，连接OD，OC.其中 tan∠BAO＝2.
(1)求一次函数的表达式；
(2)求反比例函数的表达式和△COD的面积．
(1)【思维教练】已知一次函数y＝ax＋2(a≠0)，要求解析式，只需求出点A的坐标即可，由一次函数解析式可得B(0，2)，结合tan∠BAO＝2，可得点A的坐标，代入y＝ax＋2中求出a的值，即可得到一次函数表达式．
【自主作答】
解：∵y＝ax＋2(a≠0)交 y 轴于点B，∴B(0，2)． ∵tan∠BAO＝ BO ＝2，∴AO＝1.

九年级反比例函数题常见题型及解析

反比例函数常见题型反比例函数求k值反比例函数怎么求k值？在众多的题目中，可以总结为几个常见的方法。

1、利用反比例函数图像上的点的具体坐标，横纵坐标相乘即可得到k值。

2、用k表示反比例函数图像上的点的坐标，然后构造关于k的方程，解方程即可求出k的值。

3、利用k的几何意义，即过图像上的点分别做x轴、y轴的垂线段，围成矩形的面积即为k的绝对值，然后利用图像所在的象限即可判断k的正负，从而求出k 的值。

经典例题1、【分析】根据题意可以设出点A的坐标，从而以得到点C和点B的坐标，再根据△AOB 的面积为1，即可求得k的值．经典例题2、【分析】先求出点A，B的坐标，再根据AC△BD△y轴，确定点C，点D的坐标，求出AC，BD，最后根据，△OAC与△ABD的面积之和为3/2，即可解答．经典例题3、【分析】以PQ为边，作矩形PQQ′P′交双曲线于点P′、Q′，联立直线AB及双曲线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，由PQ的长度可得出点P的坐标（点P在直线y=﹣x上找出点P的坐标），由图形的对称性结合点A、B和P的坐标可得出点P′的坐标，再利用反比例函数图像上点的坐标特征即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．反比例函数与面积利用k的几何意义，即可求出各种图形的面积。

【分析】先根据反比例函数图像上点的坐标特征及A，B两点的横坐标，求出A（2，2），B（4，1）．再过A，B两点分别作AC△x轴于C，BD△x轴于D，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOC=S△BOD=1/2×4=2．根据S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S，得出S△AOB=S梯形ABDC，利用梯形面积公式求出S梯形ABDC=1/2（BD+AC）CD=1/2梯形ABDC（1+2）×2=3，从而得出S△AOB=3．反比例函数综合反比例函数综合，常见的题型为①求函数表达式；②求点的坐标；③求面积；④求不等式的解集；⑤动点问题。

初三数学反比例函数解题技巧

初三数学反比例函数解题技巧初三数学考试中，反比例函数是一道常见的数学题，许多同学常常会被它难住。

在解决反比例函数的题目时，重要的是要注意各种细节，下面来介绍一些反比例函数解题的技巧。

一、理解反比例函数的概念首先，我们需要理解反比例函数的概念，即当两个量X、Y进行运算时，它们的乘积始终保持不变。

换句话说，当X增加时，Y必然减少，而当X减少时，Y必然增加。

也就是说，反比例函数是一种保证两个变量的比例始终相等的运算方式。

二、找到反比例函数的解题模式当同学们遇到反比例函数的题目时，要首先找到反比例函数的解题模式。

比如，关于“p、q成反比例，p=3时，q=4，求p=5时q的值”的题目，我们需要找到解题基本模式，首先列出反比例函数的公式：p×q = k，然后再根据所给出的已知条件进行代入运算，最终算出结果。

在反比例函数中，解题模式是非常重要的，因为它可以直接影响到答题的正确性。

三、熟练使用反比例函数的公式在解决反比例函数的题目时，我们需要熟练掌握反比例函数的公式，因为只有通过公式的运算，才能再一次确认解题的正确性。

在反比例函数的公式中，我们会看到p×q = k 的式子，其中k表示一个定值。

那么，如果题目中已经指定了p和q中的某个值，我们就可以通过代入运算来求出另一个值。

如果题目中没有指定任何值，我们就可以借助公式来知道它们之间的关系，快速地计算出所有值。

四、利用图像解析反比例函数在理解反比例函数的过程中，我们可以通过绘制图像来更好地了解其运作原理。

如果两个变量之间的关系是反比例函数，那么它们在图像中的表现就是一条相对于坐标轴原点的反比例函数曲线。

因此，如果我们能够绘制出反比例函数的图像，那么我们就可以更加清晰地了解它的性质，并且更加确定正确答案。

总之，在解决初三数学反比例函数的题目时，同学们需要充分理解反比例函数的概念，并且要熟练掌握其公式及运算方法，找到解题模式并充分利用图形分析地形式含义，相信这样就能够轻松应对反比例函数解题了。

专题三反比例函数试题的解题思路

专题三反比例函数试题的解题思路一、方法简述初中学生首先学习的曲线就是反比例函数的图象，中考的反比例函数试题一般是与一次函数相结合，由于解析式的特征，不但能以函数图象为载体考查几何，而且能够以解析式为载体考查代数，如分式的变形运算等，是中考的热门题型，解决此类问题的关键是数形结合思想、函数与方程思想以及代入法，代定系数法的灵活应用。

二、常用方法1.求反比例函数解析式的方法：①求反比例函数图象经过一点的坐标，利用代入法；②利用几何图形的数量关系来确定；③利用实际问题中的数量关系来确定；2.从反比例函数x ky =的图象上一点，作两坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形面积为k ； 3.反比例函数xky =图象上的两个点1P （1x ，1y ）、2P （2x ，2y ），则k y x y x =⋅=⋅2211。

三、典例分析例1：如图，直线b kx y +=1与双曲线xmy =2相交于(21)(1)A B n -，，，两点．（1）当x 为何值时？21y y > ；（2）把直线b kx y +=1平移，使平移后的直线与坐标轴围成的三角形面积为2，求平移后得到的直线解析式. 解：（1）根据图象，当2-<x 或10<<x 时，21y y > （2）∵212-=⨯-=m ∴xy 22-= 21-=⨯n -=n ∴B (1，-2)根据题意得：⎩⎨⎧-=+=+-212b k b k …解得：⎩⎨⎧-==1b k 1直线11--=x y 与坐标轴的交点分别为C （0，-1）、D （-1，0) 方法一：设把直线11--=x y 向上平移a 个单位长度，所得到的直线为1-+-=a x y 该直线与x 轴相交于F ，于y 轴相交于E ,则E （0，1-a ） ∵EF ∥DC ∴1-==a OF OE ∴EOF S ∆=2)1(212=-a 解得：31=a ，12-=a 所以平移后所得到的直线为2+-=x y 或2--=x y 方法二：设把直线11--=x y 向右平移a 个单位长度，所得到的直线为1)(---=a x y 即1-+-=a x y该直线与x 轴相交于F ，于y 轴相交于E ,则E （0，1-a ） ∵EF ∥DC ∴1-==a OF OE∴EOF S ∆=2)1(212=-a解得：31=a ，12-=a所以平移后所得到的直线为2+-=x y 或2--=x y评析：第（1）小题，实际上是求直线在双曲线上方部分的自变量x 的取值范围，所以要先求出点B 的坐标，然后根据图象就可以直接写出自变量x 的取值范围；第（2）小题只要求出平移后的直线与坐标轴的交点坐标问题就迎刃而解，要注意平移方向与平移距离a 之间的关系。

重庆市中考数学第二部分题型研究一、选填重难点突

第二部分题型研究
一、选填重难点突破
目
题型四反比例函数综合题
类型一反比例函数与几何图形结合
录
类型二反比例函数、一次函数及几何图形结合
第二部分题型研究
一、选填重难点突破
题型四反比例函数综合题
类型一反比例函数与几何图形结合
典例精讲
例如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的边OB在y轴上，
∠ABO=90°，AB=3，点C在AB上，BC= AB1，且
∠BOC=∠A，若反比例函数
Байду номын сангаас
yk x
3
经过点C，则k的值
为
()
A. 5
B. 3
C. 1
D. 2
【解析】BC= 1 AB=1，即C的横坐标是1.
3
∵在Rt△ABO和Rt△OBC中，
∠ABO=∠OBC，∠BOC=∠A，
∴△ABO∽△OBC，∴
o ∴DO' FO , DO' m ,解得DO′=1，∴ （1，2），设
DO OE 2 2m
反比例函数解析式为,则
y k ，则k=1×2=2,
∴y 2 .
x
x
【答案】C
AB OB
OB BC
，
∴OB2=AB·BC=3×1=3，∴OB= 3 ，则点C
的坐标是（1，3），代入 y
k x
，得k=
3
.
【答案】B
第二部分题型研究
一、选填重难点突破
题型四反比例函数综合题
类型二反比例函数、一次函数及几何图形结合
典例精讲
例（2016原创）如图，在平面直角坐标系中，矩形OBCD 的边OD＝2，且OB、OD分别在x轴，y轴的正半轴上，直线y - 1 x m与x轴交于E、与y轴交于F，将矩形沿直线EF

重庆市中考数学一轮复习《3.4反比例函数》讲解含答案

第四节反比例函数课标呈现、指引方向1．结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式．2．能面出反比例函数的图象，根据图象和表达式y＝kx(k≠0)探索并理解k>0和k<0时，图象的变化情况．3．能用反比例函数解决简单实际问题．考点梳理、夯实基础1．一般的，形如的函数叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成：、的形式．【答案】y＝kx(k是常数，k≠0)；y＝k·1x ；xy＝k．2．自变量x的取值范围是，函数值y的取值范围是．【答案】x≠0，y≠0．3．反比例函数的图象是，双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交．（1）当k>0时，图象的两个分支在第象限，在每个象限内，y随x的；（2）当k<0时，图象的两个分支在第象限．在每个象限内，y随x的．【答案】双曲线；一、三；增大而减小；二、四；增大而增大．4．反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，有两条对称轴分别是直线和，它的对称中心是．【答案】y＝x、y＝－x；坐标原点．5．反比例函数y＝kx(k≠0)中比例系数k的几何意义是：过双曲线y＝kx(k≠0)上任意一点，分别引x轴、y轴的垂线，两垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．【答案】｜k｜如图，设点P(a，b)是双曲线y＝kx上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是；△POA和△POB的面积都是．【答案】｜k｜；12｜k｜．6．若反比例函数与正比例函数的图形有两个交点，则这两个交点关于为对称．【答案】原点7．(1)描述反比例函数的增减情况时，必须指出“在每个象限内”，也就是说，研究反比例函数的增减性，只能在每个分支所在的象限内讨论，尽管这两个分支的增减情况一样，但合在一起说就会出现矛盾，就会导致错误．(2)反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由比例系数k 的符号决定的．反过来，由双曲线所在位置或函数的增减性，也可以推断出k 的符号，如，已知双曲线y ＝kx 在第二、四象限，则可知k <0．第一课时考点精析、专项突破考点一：求反比例函数的解析式【例l 】（淮安）若点A （一2，3）、B （m ，-6）都在反比例函数y ＝kx （k ≠0）的图象上，则m 的值是．【答案】1．解题点拨：反比例函数只有一个参数，所以只需要一个条件就可以求出其解析式，解法一先求解析式，再代点求解；解法二用xy =k 直接列方程求解．考点二反比例函数的图象和性质【例2】（连云港）姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．甲：函数图象经过第一象限；乙：函数图象经过第三象限；丙：在每一个象限内，y 值随x 的增大而减小．根据他们的描述，姜老师给出的这个函数表达式可能是（）A ．y ＝3xB ．y ＝3xC ．y ＝一1x D ．y ＝2x【答案】B ．解题点拨：反比例函数图象的增减性要抓住关键词“每一个象限”，其内涵是在两个部分分别增（减），切不可理解为“一直”增（减）．反比例函数中k 的正负决定了图象经过的象限，“正一三，负二四” ．【例3】（山西）已知点( m －l ，1y )，（m －3，2y ）是反比例函数y ＝mx (m ＜0)图象上的两点，则1y 2y （填“>”或“=”或“<”）．解题点拨：反比例函数的图象是分别增（减），所以要判断两点：一是图象是增还是减，二是点是否在同一个象限．【答案】＞【例4】（大庆）已知A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），C （3x ，3y ）是反比例函数y ＝2x 上的三点，若1x ＜2x ＜3x ，2y ＜1y ＜3y ，则下列关系式不正确的是（）A ．1x ·2x ＜0B ．1x ·3x ＜0C ．2x ·3x ＜0D ．1x ＋2x ＜0 【答案】A ．解题点拨：逆用图象的增减性，先画图，再从A 、B 两点必然同在第三象限突破本题，最后判断点C 必在第一象限．【例5】（烟台）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y＝kx的图象上，则k的值为．【答案】一6．解题点拨：反比例函数中k的几何意义要注意两点：一是指矩形面积；二是要注意符号．【例6】（长春）如图，在平面直角坐标系中，点P(l，4)、Q(m，n)在函数y＝kx（x>0）的图象上，当m>l时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x 轴、y轴的垂线，垂足为点C、D．QD交PA于点E，随着m的增大，四边形ACQE的面积( ) A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小解题点拨：利用几何意义找到所求图形的面积与四边形OAED的面积的变化相关．【答案】B．课堂训练、当堂检测1．（孝感）“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现，科学证实：近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x(m)成反比例，如果500度近视眼镜片的焦距为0.2m，则表示y 与x函数关系的图象大致是（）【答案】B．2．（云南）位于第一象限的点E在反比例函数y ＝kx的图象上，点F在x轴的正半轴上，O是坐标原点，若EO＝EF，△EOF的面积等于2，则k＝（）A．4 B．2 C．1 D．－2【答案】B．3．（桂林）如图，以ABCO的顶点O为原点，边OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点A、C的坐标分别是(2，4)、(3，0)，过点A的反比例函数y＝kx的图象交BC于D．连接AD，则四边形AOCD的面积是．【答案】94．（鄂州）如图，△OBA是直角三角形．∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在反比例函数y＝1 x的图象上，若点B 在反比例函数y＝kx的图象上，求反比例函数y＝kx的解析式．解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．设点A的坐标是(m，n)，则AC=n，OC=m，∵∠AOB＝90°，∴∠AOC＋∠BOD＝90°，∵∠DBO＋∠BOD＝90°，∴∠AOC ＝∠DBO，∵∠BDO＝∠ACO＝90°，∴△BDO∽△OCA，∴2BODOCAS BOS AO⎛⎫= ⎪⎝⎭＝4，∵OCAS＝12，∴BODS＝2，∴｜k｜＝4，∵点B在第二象限，∴y＝4x -．中考达标、模拟自测A 组基础训练一、选择题1．（达州）下列说法中不正确的是( ) A ．函数y ＝2x 的图象经过原点B ．函数y ＝1x 的图象位于第一、三象限C ．函数y ＝3x －1的图象不经过第二象限D ．函数y ＝3x的值随x 的值的增大而增大【答案】D ．2．（无锡）若点A （m －3，－4）、B （一2，m ）在同一个反比例函数的图象上，则m 的值为( )A ．6B ．－6C ．12D ．－12 【答案】A ．3．（苏州）已知点A (2，1y )、B (4，2y )都在反比例函数y ＝kx （k ＜0）的图象上，则1y 、2y 的大小关系为( )A ．1y ＞2yB ．1y ＜2yC ．1y ＝2yD ．无法确定【答案】B ．4．（）已知A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）是反比例函数y ＝kx（k ≠0）图象上的两个点，当1x ＜2x ＜0时，1y ＞2y ，那么一次函数y ＝kx －k 的图象不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B ．二、填空题5．（呼和浩特）已知函数y ＝一1x，当自变量x 的取值为一l<x <0或x ≥2，函数值y 的取值为．【答案】y >1或一12≤y <06．（江西）如图，直线l ⊥x 轴于点P ，且与反比例函数1y ＝1k x （x >0）及2y ＝2kx（x >0）的图象分别交于点A 、B ，连接OA 、OB ，已知△OAB 的面积为2，则1k 一2k ＝．【答案】4．7．（齐齐哈尔）如图，已知点P (6，3)，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，反比例函数y ＝kx 的图象交PM 于点A ，交PN 于点B ．若四边形OA PB 的面积为12．则k ＝．【答案】6．三、解答题8．（吉林）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y ＝kx（x >0）的图象上有一点A (m ，4)，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，将点B 向右平移2个单位长度得到点C ，过点C 作y 轴的平行线交反比例函数的图象于点D ，CD ＝43．（1）点D 的横坐标为（用含m 的式子表示）；（2）求反比例函数的解析式．解：（1）∵A(m，4)，AB⊥x轴于点B，∴B的坐标为(m，0)，∵将点B向右平移2个单位长度得到点C，∴点C的坐标为(m+2，0)，∵CD∥y轴，∴点D的横坐标为：m+2．（2）∵CD∥y轴，CD＝43，∴点D的坐标为：(m+2，43)，∵A，D在反比例函数y＝kx（x>0）的图象上，∴4m＝43(m+2)，解得：m =1．∴点A的坐标为(1，4)，∴反比例函数的解析式为：y＝4x．9．（丽水）如图，点A在双曲线23yx=（x>0）上，点B在双曲线kyx=（x>0）上（点B在点A的右侧），且AB//x轴，若四边形OABC是菱形，且∠AOC= 60o，求点B所在双曲线的解析式，解：点A在双曲线3yx= (x>0)上，设A点坐标为（a，23a），四边形OABC是菱形，且∠AOC=60o，∴OA =2a．可得B点坐标为（3a，3a），可得：k=3a3a⨯=63，∴y=3xB组提高练习10．如图，菱形OABC的顶点C的坐标为(3，4)，顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数kyx=(x>0）的图象经过顶点B，则k的值为 ()A．12 B．20 C．24 D．32【答案】D(提示：过C点作CD⊥x轴，垂足为D. 点C的坐标为(3，4)，∴OD=3．CD=4. ∴DC=222234OC OD CD=+=+=5. ∴OC=BC=5. ∴点B坐标为(8，4)，∴k=32．）11．（金华）如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数kyx=（x>0）的图象经过该菱形对角线的交点A．且与边BC交于点F．若点D的坐标为(6，8)，则点F的坐标是.【答案】8 (12,)3(提示：菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，点D的坐标为(6，8)，∴OD=DC=OB= 2268+∴点B的坐标为(10，0)，点C的坐标为(16，8). 菱形的对角线的交点为点A，∴点A的坐标为(8，4)．反比例函数kyx=(x>0)的图象经过点A，∴k＝8⨯4＝32，∴反比例函数为32yx=．设直线BC的解析式为y＝mx+n，∴168100m n m n +=⎧⇒⎨+=⎩43403m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ∴直线BC 的解析式为44033y x =-．联立4403332y x y x ⎧=-⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩1283x y =⎧⎪⎨=⎪⎩. ∴点F 的坐标是(12，83).） 12．（菏泽）如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO ＝∠ADB ＝90o，反比例函数6yx=在第一象限的图象经过点B ．求△OAC 与△BAD 的面积之差．解：设△OAC 和△BAD 的直角边长分别为a 、b ，则点B 的坐标为（a +b ，a -b ）．点B 在反比例函数6yx=的第一象限图象上， ∴(a +b )×(a -b )=a 2-b 2=6.第12题S △OAC -S △BAD =221122a b -=221()2a b -= 162⨯=3 笫二课时考点精析专项突破考点四反比例函数与一次函数综合问题【例7】（鄂州）如图，已知直线y =k 1x +b 与x 轴、y 轴相交于P 、Q 两点，与2k yx =的图象相交于A （-2，m ）、B (1，n )两点，连接OA 、OB ．给出下列结论：①k 1k 2<0；②m +12n =0；③S △AOP =S △BOQ ；④不等式k 1x +b >2k x的解集是x <-2或0<x <1，其中正确的结论的序号是.【答案】②③④解题点拨：①直接考查函数图象与系数的关系：②m ，n 是纵坐标，故求其关系，则要找点的特征，由于反比例函数的参数更少，故从点在双曲线上入手：③所求三角形都有一边与坐标轴平行，易表示面积，难点在于如何消元来比较大小：④将不等式转化为函数图象问题即可．解：③令x =0，则y =b ，所以Q (0，b )，则S △BOQ =12⨯1⨯|b |=12b -；将A （-2,m ）、B (1，n )分别代入y=k 1x +b ，解得13n m k -=，所以y =3n m x -+b ；令y =0，则x =3bm n-，所以P （3b m n -，o ），则S △AOP =12⨯|3b m n -|⨯|m |=12b -；所以S △AOP = S △BOQ ，故③正确，【例8】（临沂）如图，直线y =-x +5与双曲线kyx=（x >0）相交于A ．B 两点，与x 轴相交于C 点，△BOC 的面积是52，若将直线y =一x +5向下平移1个单位，则所得直线与双曲线ky x=(x >0)的交点有 () A ．0个 B ．1个C ．2个 D ．0个，或1个，或2个【答案】B解题点拨：先由面积这一条件求出点B 坐标，进而求得反比例函数的解析式，根据上加下减求得平移后的直线解析式．交点问题的代数解法就是联立方程组求解，解的个数即交点个数．【例9】（孝感）如图，已知双曲线kyx=与直线y =-x +6相交于A ，B 两点，过点A 作x 轴的垂线与过点B作y轴的垂线相交于点C，若△ABC的面积为8．则k的值为．【答案】5解题点拨：利用△ABC是等腰直角三角形可得AC、BC的长，即找到了A、B点坐标的关系，设B（a，-a+6），则A（a-4，- a+10），利用A、B两点同在双曲线上列方程即可，考点五反比例函数的实际应用【例10】（衡阳）某药品研究所开发一种抗菌新药，以多年动物实验，首次用于临床试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克／毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．(1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式．(2)问血液中药物浓度不低于4微克／毫升的持续时间是多少小时？解题点拨：(1)用待定系数法求正比例函数和反比例函数的解析式；(2)用图象加方程的方法解决未知不等式问题，解：(1)当0≤x≤4时，设直线解析式为y=kx，将(4，8)代入得8=4k，解得k=2．故直线解析式为y=2x，当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为ayx =，将(4，8)代入上式解得a= 32，故反比例函数解析式为32 yx =．(2)当y=4，则4=2x，解得x=2，当y=4，4=32x，解得x=8，8-2 =6（小时），∴血液中药物浓度不低于4微克／毫升的持续时间是6小时．课堂训练当堂检测1．（曲靖）如图，双曲线kyx=与直线y=－12x交于A、B两点，且A（-2，m），则点B酌坐标是 ( )A．（2，-1） B．（1，-2） C．(12，-1)D．（-l，12）【答案】A2．（朝阳）如图，在直角坐标系中，直线y1= 2x-2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线2kyx=（x>0）交于点C，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，且OA =AD，则以下结论：①S△AOB=S△ADC；②当0<x<3时，y1<y2；③如图，当x=3时，EF=8 3；④当x>0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小．其中正确结论的个数是 ( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C3．（扬州）如图，点A在函数4yx=（x>0）的图象上，且OA=4，过点A作AB⊥x轴于点B，则△ABO的周长为．【答案】264+4．（白贡）如图，已知A（-4，n），B（2，-4）是一次函数y= kx+b和反比例函数m yx =的图象的两个交点，(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)观察图象，写出方程kx+b-mx=0的解；(3)求△AOB的面积；(4)观察图象，写出不等式kx+b-mx<0的解集.解：(1) B（2，-4）在myx=上，∴m= -8．∴反比例函数的解析式为8 yx =-点A（-4，n）在8yx=-上，∴n=2．∴A（-4，2）．y =kx+b经过A（-4，2），B（2，-4），∴4224k bk b-+=⎧⎨+=-⎩．解得：12kb=-⎧⎨=-⎩∴一次函数的解析式为y=-x-2．(2)A（-4，n），B（2，-4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=mx的图象的两个交点，∴方程kx+b-mx=0的解是x1=-4，x2=2．(3)当x =0时，y =-2． ∴点C （0，-2）． ∴OC =2．∴S △AOB =S △ACO +S △BCD =112422622⨯⨯+⨯⨯=(4)不等式kx +b -mx<0的解集为-4<x <0或x >2．中考达标模拟自测 A 组基础训练一、选择题1．（牡丹江）在同一直角坐标系中，函数y =mx与y =ax +l (a ≠0)的图象可能是 ( )【答案】B2．（仙桃）如图，正比例函数y 1=k 1x ，戈和反比例函数22k y x=的图象交于A (1，2)，B 两点，给m 下列结论：①k l <k 2；②当x <-l 时，y 1<y 2；③当y 1>y 2时，x >l ；④当x <0时，y 2随x 的增大而减小．其中正确的有 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C3．（内江）如图，正方形ABCD 位于第一象限，边长为3，点A 在直线y =x 上，点A 的横坐标为l ，正方形ABCD 的边分别平行于x 轴、y 轴，若双曲线ky x=（k ≠0)与正方形ABCD 有公共点，则k 的取值范围为( )A.1<k <9B.2≤k ≤34C.1≤k ≤16D.4≤k <16【答案】C4．（十堰）如图，将边长为10的正三角形OAB放置于平面直角坐标系xOy中，C是AB边上的动点（不与端点A，B重合），作CD⊥OB于点D，若点C，D都在双曲线kyx=上（k>0，x>0），则k的值为( )A．253B．183C．93 D．9【答案】C二、填空题5．（昆明）如图，反比例函数kyx=（k≠0）的图象经过A，B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，连接AO，连接BO交AC于点E，若OC=CD，四边形BDCE的面积为2，则k的值为.【答案】16 3 -6．（达州）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC=3：2，点A(3，0)，B(0，6)分别在x轴，y轴上，反比例函数kyx=（x>0）的图象经过点D，则k= ．【答案】147．如图，M 为双曲线3yx=上的一点，过点M 作x 轴、y 轴的垂线，分别交直线y = -x +m 于D 、C 两点，若直线y =-x +m 与y 轴交于点A ，与x 轴相交于点B ，则ADBC 的值为 .【答案】23 三、解答题8．如图所示，直线AB 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C (0，2)，且与反比例函数8y x=-的图象在第二象限内交于点B ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，OD ＝2. （1）求直线AB 的解析式；（2）若点P 是线段BD 上一点，且PBC 的面积等于3，求点P 的坐标.解：（1）OD ＝2，B 点的横坐标是－2，当x =-2时，82y=--=4 ∴B 点坐标是（－2，4），设直线AB 的解析式是y =kx +b ，图象过（-2，4）、(0，2)，242k b b -+=⎧⎨=⎩，解得12k b =-⎧⎨=⎩∴直线AB 的解析式为y =-x +2；(2)OD =2，S △PBC =12PBOD =3， ∴BP =3．∴PD =BD -BP =4-3=1．∴P 点坐标是（-2，1）．9．（乐山）如图，反比例函数kyx=与一次函数y =ax +b 的图象交于点A (2，2)、B (12，n )．(1)求这两个函数解析式；(2)将一次函数y = ax +b 的图象沿y 轴向下平移m 个单位，使平移后的图象与反比例函数ky x=的图象有且只有一个交点，求m 的值解：(1)A (2，2)在反比例函数ky x=的图象上，∴k =4． ∴反比例函数的解析式为4y x =又B (12，n )在反比例函数4y x=的图象上，∴12n =4，得n =8，由A (2，2)、B (12，8)在一次函教y =ax +b 的图象上，得22182a ba b =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得a =-4 ，b =10. ∴一次函数的解析式为y = -4x +10．(2)将直线y =-4x +10向下平移m 个单位得直线的解析式为y =-4x +10 -m ．直线y =-4x +l 0-m 与双曲线4yx=有且只有一个交点，令- 4x +10-m =4x ，得4x 2+（m -10）x +4=0，∴△=(m -10)2-64=0，解得m =2或18.B 组提高练习10．（济宁改编）如图，O 为坐标原点，四边形OACB 是菱形，OB 在x 轴的正半轴上，sin∠AOB=45，反比例函数48yx=在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．则△AOF的面积等于（）A．60 B．80 C．34 D.40【答案】D（提示：过点A作AM⊥x轴于点M，如图所示．设OA=a，在Rt△OAM中，∠AM0=90o，OA=a，sin∠AOB=45，∴AM=OAsin∠AOB=45a，OM＝2235OA AM a-=，∴点A的坐标为(35a，45 a)，∵点A在反比例函数48yx=的图象上，∴3455a a⨯＝21225a＝48，解得：a=10，或a=-10（舍去）．∴AM=8，OM =6．∵四边形OACB是菱形，∴OA =OB=10，∴S△AOF＝S△AOB＝12×10×8=40，故选D．）11．（荆门）如图，已知点A(l，2)是反比例函数kyx=图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点：若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是. 【答案】（-3，0）或(5，0)或(3，0)或（-5，0)（提示：∵反比例函数ky x=图象关于原点对称，∴A 、B 两点关于O 对称，∴O 为AB 的中点，且B （-1，-2），∴当△PAB 为等腰三角形时有PA =AB 或PB =AB ，设P 点坐标为(x ，0)，∵A (1，2)，B （-1，-2），∴AB =22[1(1)][2(2)]25--+--=，PA =22(1)2x -+，PB =22(1)(2)x ++-，当PA =AB 时，则有22(1)2x -+25=，解得x =-3或5，此时P 点坐标为（-3，0）或(5，0)；当PB =AB 时，则有22(1)(2)x ++-25=，解得x =3或-5，此时P 点坐标为(3，0)或(-5，0)；综上可知P 点的坐标为（-3，0）或(5，0)或(3，0)或（-5，0）．）12．如图，已知矩形OABC 的一个顶点B 的坐标是(4，2)，反比例函数kyx=（x >0）的图象经过矩形的对称中心E ．且与边BC 交于点D ． (1)求反比例函数的解析式和点D 的坐标；(2)若过点D 的直线y =mx +n 将矩形OABC 的面积分成3:5的两部分，求此直线的解析式．解：(1)∵矩形OABC 的顶点B 的坐标是(4，2)，E 是矩形ABCD 的对称中心，∴点E 的坐标为(2，1)，代入反比例函数解析式得2k ＝2，解得k =2．∴反比例函数解析式为2y x=，∵点D 在边BC 上，∴点D 的纵坐标为2，∴y ＝2时，2x＝2，解得x =1．∴点D 的坐标为(1，2)； (2)如图，设直线与x 轴的交点为F ，矩形OABC 的面积=4×2=8． ∵矩形OABC 的面积分成3:5的两部分，∴梯形OFDC 的面积为335+×8=3，535+×8=5， ∵点D 的坐标为(1，2)， ∴若(1+OF ) 122⨯⨯=3，解得OF =2．此时点F 的坐标为(2，0)，若(1+OF ) 122⨯⨯=5，解得OF =4，此时点F 的坐标为(4，0)，与点A 重合，当D(1，2)，F(2，0)时，220m nm n+=⎧⎨+=⎩，解得24mn=-⎧⎨=⎩此时，直线解析式为y= -2x+4，当D(1，2)，F(4，0)时，240m nm n+=⎧⎨+=⎩，2383mn⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩此时，直线解析式为2833 y x=-+，综上所述，直线的解析式为y＝-2x+4或2833 y x=-+.。

反比例函数在中考中的常见题型

06
解题技巧与备考建议
审题技巧和方法
仔细阅读题目，理解题意
在解题前，首先要认真阅读题目，理解题目所给的条件和要求，明确问题的背景和求解目标。
分析问题，寻找突破口
根据题目所给的信息，分析问题，找出问题的关键点和突破口，确定解题思路。
画图分析，数形结合
对于涉及反比例函数的问题，可以通过画图的方式进行分析，将问题转化为图形问题，数形结合，更直观地理解问题。
在完成答题后，要仔细检查答案，确保答案的正确性和完整性。对于不确定的答案，可以进行复查和验证。
备考策略和心态调整
01
系统复习，掌握基础知识
在备考阶段，要系统复习反比例函数的相关知识，包括定义、性质、图像等基础知识。只有掌握了基础知识，才能更好地应对各种题型。
02
多做练习，提高解题能力
通过大量的练习，可以熟悉各种题型的解题方法和技巧，提高解题能力和速度。同时，也可以通过练习发现自己的不足之处，及时进行弥补。
结合根与系数的关系和图像变换规律，解决反比例函数与二次函数综合题中的最值问题。
图形变换规律
掌握基本图形变换规律，如平移、对称、旋转等，理解其对反比例函数图像的影响。
结合图形变换规律，研究反比例函数图像的对称性和周期性。
利用图形变换规律解决反比例函数与二次函数综合题中的图像问题，如图像的交点、顶点、最值等。
答题规范和时间管理
规范书写，清晰表达
在答题时，要注意书写规范，字迹清晰，表达准确。对于解题过程中的关键步骤和结论，要用准确的数学语言进行描述。
时间分配合理，避免超时
在中考中，时间是非常宝贵的资源。因此，在答题时，要合理分配时间，避免在某个题目上花费过多时间而导致其他题目无法完成。

重庆备战中考数学压轴题专题反比例函数的经典综合题

重庆备战中考数学压轴题专题反比例函数的经典综合题一、反比例函数1．如图，一次函数y=kx+b（k＜0）与反比例函数y= 的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A（4，1）（1）求反比例函数的解析式；（2）连接OB（O是坐标原点），若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式．【答案】（1）解：∵点A（4，1）在反比例函数y= 的图象上，∴m=4×1=4，∴反比例函数的解析式为y=（2）解：∵点B在反比例函数y= 的图象上，∴设点B的坐标为（n，）．将y=kx+b代入y= 中，得：kx+b= ，整理得：kx2+bx﹣4=0，∴4n=﹣，即nk=﹣1①．令y=kx+b中x=0，则y=b，即点C的坐标为（0，b），∴S△BOC= bn=3，∴bn=6②．∵点A（4，1）在一次函数y=kx+b的图象上，∴1=4k+b③．联立①②③成方程组，即，解得：，∴该一次函数的解析式为y=﹣x+3【解析】【分析】（1）由点A的坐标结合反比例函数系数k的几何意义，即可求出m的值；（2）设点B的坐标为（n，），将一次函数解析式代入反比例函数解析式中，利用根与系数的关系可找出n、k的关系，由三角形的面积公式可表示出来b、n的关系，再由点A在一次函数图象上，可找出k、b的关系，联立3个等式为方程组，解方程组即可得出结论．2．如图，已知一次函数y= x+b的图象与反比例函数y= （x＜0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B，点C在y轴上．（1）当△ABC的周长最小时，求点C的坐标；（2）当 x+b＜时，请直接写出x的取值范围．【答案】（1）解：作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求，如图所示．∵反比例函数y= （x＜0）的图象过点A（﹣1，2），∴k=﹣1×2=﹣2，∴反比例函数解析式为y=﹣（x＜0）；∵一次函数y= x+b的图象过点A（﹣1，2），∴2=﹣ +b，解得：b= ，∴一次函数解析式为y= x+ ．联立一次函数解析式与反比例函数解析式成方程组：，解得：，或，∴点A的坐标为（﹣1，2）、点B的坐标为（﹣4，）．∵点A′与点A关于y轴对称，∴点A′的坐标为（1，2），设直线A′B的解析式为y=mx+n，则有，解得：，∴直线A′B的解析式为y= x+ ．令y= x+ 中x=0，则y= ，∴点C的坐标为（0，）（2）解：观察函数图象，发现：当x＜﹣4或﹣1＜x＜0时，一次函数图象在反比例函数图象下方，∴当 x+ ＜﹣时，x的取值范围为x＜﹣4或﹣1＜x＜0【解析】【分析】（1）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求．由点A为一次函数与反比例函数的交点，利用待定系数法和反比例函数图象点的坐标特征即可求出一次函数与反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点A、B的坐标，再根据点A′与点A关于y轴对称，求出点A′的坐标，设出直线A′B的解析式为y=mx+n，结合点的坐标利用待定系数法即可求出直线A′B的解析式，令直线A′B解析式中x为0，求出y的值，即可得出结论；（2）根据两函数图象的上下关系结合点A、B的坐标，即可得出不等式的解集．3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b（a≠0）的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2= （c≠0）的图象相交于点B（3，2）、C（﹣1，n）．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）根据图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围；（3）在y轴上是否存在点P，使△PAB为直角三角形？如果存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：把B（3，2）代入得：k=6∴反比例函数解析式为：把C（﹣1，n）代入，得：n=﹣6∴C（﹣1，﹣6）把B（3，2）、C（﹣1，﹣6）分别代入y1=ax+b，得：，解得：所以一次函数解析式为y1=2x﹣4（2）解：由图可知，当写出y1＞y2时x的取值范围是﹣1＜x＜0或者x＞3．（3）解：y轴上存在点P，使△PAB为直角三角形如图，过B作BP1⊥y轴于P1，∠B P1 A=0，△P1AB为直角三角形此时，P1（0，2）过B作BP2⊥AB交y轴于P2∠P2BA=90，△P2AB为直角三角形在Rt△P1AB中，在Rt△P1 AB和Rt△P2 AB∴∴P2（0，）综上所述，P1（0，2）、P2（0，）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点C坐标，最后用再用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用图象直接得出结论；（3）分三种情况，利用勾股定理或锐角三角函数的定义建立方程求解即可得出结论．4．已知点A，B分别是x轴、y轴上的动点，点C，D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A，B，C，D各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图象的“伴侣正方形”．例如：在图1中，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个“伴侣正方形”．（1）如图1，若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有“伴侣正方形”的边长；（2）如图2，若某函数是反比例函数（k＞0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数的解析式；（3）如图3，若某函数是二次函数y=ax2+c（a≠0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，C，D中的一个点坐标为（3，4），请你直接写出该二次函数的解析式．【答案】（1）解：（I）当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时：正方形ABCD的边长为．（II）当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时：设正方形边长为a，易得3a= ，解得a= ，此时正方形的边长为．∴所求“伴侣正方形”的边长为或（2）解：如图，作DE⊥x轴，CF⊥y轴，垂足分别为点E、F，易证△ADE≌△BAO≌△CBF．∵点D的坐标为（2，m），m＜2，∴DE=OA=BF=m，∴OB=AE=CF=2﹣m．∴OF=BF+OB=2，∴点C的坐标为（2﹣m，2）．∴2m=2（2﹣m），解得m=1．∴反比例函数的解析式为y=（3）解：实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在（3，4）的左侧，而开口向下时，另一点都在（3，4）的右侧，与上述解析明显不符合a、当点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，点C坐标为（3，4）时：另外一个顶点为（4，1），对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ；b、当点A在x 轴正半轴上，点 B在 y轴正半轴上，点D 坐标为（3，4）时：不存在，c、当点A 在 x 轴正半轴上，点 B在 y轴负半轴上，点C 坐标为（3，4）时：不存在d、当点A在x 轴正半轴上，点B在y轴负半轴上，点D坐标为（3，4）时：另外一个顶点C为（﹣1，3），对应的函数的解析式是y= x2+ ；e、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D的坐标是（7，﹣3）时，对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ；f、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D 的坐标是（﹣4，7）时，对应的抛物线为y= x2+ ；故二次函数的解析式分别为：y= x2+ 或y=﹣ x2+ 或y=﹣ x2+ 或y= x2+【解析】【分析】（1）先正确地画出图形，再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计算正方形的边长.（2）因为ABCD为正方形，所以可作垂线得到等腰直角三角形，利用点D（2，m）的坐标表示出点C的坐标，可求出m的值，即可得到反比例函数的解析式．（3）由抛物线开口既可能向上，也可能向下．当抛物线开口向上时，正方形的另一个顶点也是在抛物线上，这个点既可能在点（3，4）的左边，也可能在点（3，4）的右边，过点（3，4）向x轴作垂线，利用全等三角形确定线段的长即可确定抛物线上另一个点的坐标；当抛物线开口向下时也是一样地分为两种情况来讨论，即可得到所求的结论．5．如图，四边形OP1A1B1、A1P2A2B2、A2P3A3B3、…、A n﹣1P n A n B n都是正方形，对角线OA1、A1A2、A2A3、…、A n﹣1A n都在y轴上（n≥1的整数），点P1（x1，y1），点P2（x2，y2），…，P n（x n， y n）在反比例函数y= （x＞0）的图象上，并已知B1（﹣1，1）．（1）求反比例函数y= 的解析式；（2）求点P2和点P3的坐标；（3）由（1）、（2）的结果或规律试猜想并直接写出：△P n B n O的面积为 ________ ，点P n的坐标为________ （用含n的式子表示）．【答案】（1）解：在正方形OP1A1B1中，OA1是对角线，则B1与P1关于y轴对称，∵B1（﹣1，1），∴P1（1，1）．则k=1×1=1，即反比例函数解析式为y=（2）解：连接P2B2、P3B3，分别交y轴于点E、F，又点P1的坐标为（1，1），∴OA1=2，设点P2的坐标为（a，a+2），代入y=得a=-1，故点P2的坐标为（-1，+1），则A1E=A2E=2-2，OA2=OA1+A1A2=2，设点P3的坐标为（b，b+2），代入y=（>0）可得b=-，故点P3的坐标为（-，+）（3）1；（-，+）【解析】【解答】解：（3）∵=2=2×=1，=2=2×=1，…∴△P n B n O的面积为1，由P1（1，1）、P2（﹣1， +1）、P3（﹣，+ ）知点P n的坐标为（﹣，+ ），故答案为：1、（﹣， +）．【分析】（1）由四边形OP1A1B1为正方形且OA1是对角线知B1与P1关于y轴对称，得出点P1（1，1），然后利用待定系数法求解即可；（2）连接P2B2、P3B3，分别交y轴于点E、F，由点P1坐标及正方形的性质知OA1=2，设P2的坐标为（a，a+2），代入解析式求得a的值即可，同理可得点P3的坐标；（3）先分别求得S△P1B1O、S△P2B2O的值，然后找出其中的规律，最后依据规律进行计算即可.6．如图1，已知一次函数y=ax+2与x轴、y轴分别交于点A，B，反比例函数y= 经过点M．（1）若M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合）．当a=﹣3时，设点M的横坐标为m，求k与m之间的函数关系式．（2）当一次函数y=ax+2的图象与反比例函数y= 的图象有唯一公共点M，且OM= ，求a的值．（3）当a=﹣2时，将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位长度得到Rt△A′O′B′，如图2，M是Rt△A′O′B′斜边上的一个动点，求k的取值范围．【答案】（1）解：当a=﹣3时，y=﹣3x+2，当y=0时，﹣3x+2=0，x= ，∵点M的横坐标为m，且M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合），∴0＜m＜，，DANG则，﹣3x+2= ，当x=m时，﹣3m+2= ，∴k=﹣3m2+2m（0＜m＜）（2）解：由题意得：，ax+2= ，ax2+2x﹣k=0，∵直线y=ax+2（a≠0）与双曲线y= 有唯一公共点M时，∴△=4+4ak=0，ak=﹣1，∴k=﹣，则，解得：，∵OM= ，∴12+（﹣）2=（）2，a=±（3）解：当a=﹣2时，y=﹣2x+2，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，2），∵将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位得到Rt△A′O′B′，∴A′（2，1），B′（1，3），点M是Rt△A′O′B′斜边上一动点，当点M′与A′重合时，k=2，当点M′与B′重合时，k=3，∴k的取值范围是2≤k≤3【解析】【分析】（1）当a=﹣3时，直线解析式为y=﹣3x+2，求出A点的横坐标，由于点M的横坐标为m，且M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合）从而得到m的取值范围，由﹣3x+2= ,由X=m得k=﹣3m2+2m（0＜m＜）；（2）由ax+2= 得ax2+2x﹣k=0，直线y=ax+2（a≠0）与双曲线y= 有唯一公共点M时，△=4+4ak=0，ak=﹣1，由勾股定理即可；（3）当a=﹣2时，y=﹣2x+2，从而求出A、B两点的坐标，由平移的知识知A′，B′点的坐标，从而得到k的取值范围。

2024中考压轴题02 反比例函数的综合问题(3题型+解题模板+技巧精讲)(原卷版)

压轴题解题模板02反比例函数的综合问题目录题型一反比例函数与一次函数交点问题题型二反比例函数与一次函数图像面积问题题型三反比例函数与几何图形结合题型1题型2题型3题型一反比例函数与一次函数交点问题解题模板：技巧精讲：利用函数图象确定不等式的解集：【例1】（2023·四川攀枝花·统考中考真题）如图，点(),6A n 和()3,2B 是一次函数1y kx b =+的图象与反比例x(1)求m 的值和反比例函数解析式； (2)当12y y >时，求x 的取值范围．题型二反比例函数与一次函数图像面积问题解题模板：x求AOB的面积；请根据图象直接写出不等式【变式2-1】（2023·A B象交于(4,1),若OBD的)0m>的个单位长度后与反比例函数图象，求ACD的面积．题型三反比例函数与几何图形结合解题模板：x轴上，ABP是以x使ABP是以点统考中考真题）如图，在平面直角坐标系的图象的一个交点为x上，且ABC的面积为上一点，连接P A，以，使它与PAB位似，相似比为好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．一、解答题x轴上一点，若PAB的面积为统考中考真题）恰好落在反比例函数x，使ABP周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．如图，正比例函数ABC 的面积．6．（2023·tan 2AOB ∠的对称点，OAC 的面积是x(1)m=______，k=______，点C的坐标为______．(2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与AOC相似，求点P的坐标．。

2020年重庆中考数学第10题反比例函数(含答案)-个人用心整理

反比例函数一、反比例的定义反比例的三种表达式①y=xk（k ≠0） ②y=kx -1(k ≠0) ③xy=k(定值)（k ≠0）例1、已知函数y=3mx m+4是反比例函数，则m=_________ 二、反比例函数的图像与性质xk y =k ＞0k ＜0图象性质当k ＞0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大；y 随x 的增大而减小是错误的例2、已知反比例函数xky -=3函数图象位于第一、三象限，则k .例3、当a≠0时，函数y=ax+1与函数y=在同一坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．三、用待定系数法求反比例的解析式例4、.已知：如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x+b的图象交于点A（1，4）、点B（﹣4，n）．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△OAB的面积；四、K的几何意义2.与k相关的面积问题的基本图形例5.如图， Rt AOB 的一条直角边OB 在x OA 中点C ，与另一直角边交于点D ，若9OCDS =，则k 的值为__________．例3.如图，在平面直角坐标系中， Rt ABO ∆的顶点O 与原点重合，顶点B 在x 轴上，90ABO ∠=︒, OA 与反比例函数()0ky k x=≠的图像交于点D ，且2OD AD =，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点C .若ABCD S 四边形=10，则k 的值为___________2019年真题（A 卷）9．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴、y 轴上，对角线BD ∥x 轴，反比例函数y ＝（k ＞0，x ＞0）的图象经过矩形对角线的交点E ．若点A （2，0），D （0，4），则k 的值为（）A ．16B ．20C ．32D ．409．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点A（10，0），sin∠COA＝．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）经过点C，则k的值等于（）A．10 B．24 C．48 D．502018年真题（A卷）11.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在反比例函数kyx=（0k>，x>）的图象上，横坐标分别为1，4，对角线BD x∥轴．若菱形ABCD的面积为452，则k的值为（）A. 54B.154C. 4D. 511如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C，D．若点C的横坐标为5，BE=3DE，则k的值为（）A. B. 3 C. D. 52017年真题（A卷）22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y=k x（k≠0）的图象交于第一、三象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点B作BM⊥x轴，垂足为M，BM=OM，A的纵坐标为4．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接MC，求四边形MBOC的面积．22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =ax +b （a ≠0）的图象与反比例函数（k ≠0）的图象交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ，过点A 作AH ⊥x 轴于点H ，点O 是线段CH 的中点，AC =，cos∠ACH =，点B 的坐标为（4，n ）（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△BCH 的面积．[来源:学+科+网]重庆八中2019级数学初三下入学考试9．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 的坐标为（﹣1，1），点B 在x 轴正半轴上，点D 在第三象限的双曲线y ＝上，过点C 作CE ∥x 轴交双曲线于点E ，连接BE ，则△BCE 的面积为（）A ．5B ．6C ．7D ．8k y x4555答案解析2019年真题（A卷）9．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0），D（0，4），则k的值为（）A．16 B．20 C．32 D．40【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B（x，4）．利用矩形的性质得出E为BD中点，∠DAB＝90°．根据线段中点坐标公式得出E（x，4）．由勾股定理得出AD2+AB2＝BD2，列出方程22+42+（x﹣2）2+42＝x2，求出x，得到E点坐标，代入y＝，利用待定系数法求出k．【解答】解：∵BD∥x轴，D（0，4），∴B、D两点纵坐标相同，都为4，∴可设B（x，4）．∵矩形ABCD的对角线的交点为E，∴E为BD中点，∠DAB＝90°．∴E（x，4）．∵∠DAB＝90°，∴AD2+AB2＝BD2，∵A（2，0），D（0，4），B（x，4），∴22+42+（x﹣2）2+42＝x2，解得x＝10，∴E（5，4）．∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点E，∴k＝5×4＝20．故选：B．2019年B卷9．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点A（10，0），sin∠COA＝．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）经过点C，则k的值等于（）A．10 B．24 C．48 D．50【分析】由菱形的性质和锐角三角函数可求点C（6，8），将点C坐标代入解析式可求k的值．【解答】解：如图，过点C作CE⊥OA于点E，∵菱形OABC的边OA在x轴上，点A（10，0），∴OC＝OA＝10，∵sin∠COA＝＝．∴CE＝8，∴OE＝＝6∴点C坐标（6，8）∵若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）经过点C，∴k＝6×8＝48故选：C．2018年真题（A卷）11.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在反比例函数kyx=（0k>，x>）的图象上，横坐标分别为1，4，对角线BD x∥轴．若菱形ABCD的面积为452，则k的值为（）A. 54B.154C. 4D. 5【答案】D 【解析】【分析】设A(1，m)，B(4，n)，连接AC交BD于点M，BM=4-1=3，AM=m-n，由菱形的面积可推得m-n=154，再根据反比例函数系数的特性可知m=4n，从而可求出n的值，即可得到k的值.【详解】设A(1，m)，B(4，n)，连接AC交BD于点M，则有BM=4-1=3，AM=m-n，∴S菱形ABCD=4×12 BM•AM，∵S菱形ABCD=452，∴4×12×3（m-n）=452，∴m-n=154，又∵点A，B在反比例函数kyx ，∴k=m=4n，∴n=54，∴k=4n=5，故选D.【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义、菱形的性质、菱形的面积等，熟记菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键.2018年真题（B卷）11.如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C，D．若点C的横坐标为5，BE=3DE，则k的值为（）A. B. 3 C. D. 5【答案】C【解析】【分析】由已知，可得菱形边长为5，设出点D坐标，即可用勾股定理构造方程，进而求出k值．【详解】过点D做DF⊥BC于F，由已知，BC=5，∵四边形ABCD是菱形，∴DC=5，∵BE=3DE，∴设DE=x，则BE=3x，∴DF=3x，BF=x，FC=5-x，在Rt△DFC中，DF2+FC2=DC2，∴（3x）2+（5-x）2=52，∴解得x=1，∴DE=1，FD=3，设OB=a，则点D坐标为（1，a+3），点C坐标为（5，a），∵点D、C在双曲线上，∴1×（a+3）=5a，∴a=，∴点C坐标为（5，）∴k=.故选C．2017年真题（A卷）22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y=k x（k≠0）的图象交于第一、三象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点B作BM⊥x轴，垂足为M，BM=OM，A的纵坐标为4．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接MC，求四边形MBOC的面积．【答案】（１）反比例函数的解析式为y=4x，一次函数的解析式为y=2x+2；（2）4.【解析】试题分析：（1）根据题意可得B的坐标，从而可求得反比例函数的解析式，进行求得点A 的坐标，从而可求得一次函数的解析式；学*科网（2）根据（1）中的函数关系式可以求得点C，点M，点B，点O的坐标，从而可求得四边形MBOC的面积．试题解析：（1）由题意可得，BM=OM，∴BM=OM=2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2），[来源:学科网ZXXK]即一次函数的解析式为y=2x+2；（2）∵y=2x+2与y轴交与点C，∴点C的坐标为（0，2），∵点B（﹣2，﹣2），点M（﹣2，0），点O（0，0），∴OM=2，OC=2，MB=2，∴四边形MBOC的面积是：2222 2222OM OC OM MB⨯⨯⨯⨯+=+＝4．考点：反比例函数与一次函数的交点问题. 2017年真题（B卷）22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，过点A作AH⊥x轴于点H，点O是线段CH的中点，AC=ACH=，点B的坐标为（4，n）（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△BCH的面积．【答案】（1），y=﹣2x+4；（2）8．试题解析：（1）∵AH⊥x轴于点H，AC=，cos∠ACH=，∴，解得：HC=4，∵点O是线段CH的中点，∴HO=CO=2，∴AH=8，∴A（﹣2，8），∴反比例函数解析式为：，∴B（4，﹣4），∴设一次函数解析式为：y=kx+b，则：，解得：，∴一次函数解析式为：y=﹣2x+4；（2）由（1）得：△BCH的面积为：×4×4=8．kyx=516yx=-45555545HCAC==22AC HC-16yx=-2844k bk b-+=⎧⎨+=-⎩24kb=-⎧⎨=⎩12考点：反比例函数与一次函数的交点问题；解直角三角形．重庆八中2019级数学初三下入学考试9．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，1），点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线y＝上，过点C作CE∥x轴交双曲线于点E，连接BE，则△BCE的面积为（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】作辅助线，构建全等三角形：过D作GH⊥x轴，过A作AG⊥GH，过B作BM⊥HC于M，证明△AGD≌△DHC≌△CMB，根据点D的坐标表示：AG＝DH＝﹣x﹣1，由DG＝BM，列方程可得x的值，表示D和E的坐标，根据三角形面积公式可得结论．【解答】解：过D作GH⊥x轴，过A作AG⊥GH，过B作BM⊥HC于M，设D（x，），∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，易得△AGD≌△DHC≌△CMB（AAS），∴AG＝DH＝﹣x﹣1，∴DG＝BM，∵GQ＝1，DQ＝﹣，DH＝AG＝﹣x﹣1，由QG+DQ＝BM＝DQ+DH得：1﹣＝﹣1﹣x﹣，解得x＝﹣2，∴D（﹣2，﹣3），CH＝DG＝BM＝1﹣＝4，∵AG＝DH＝﹣1﹣x＝1，∴点E的纵坐标为﹣4，当y＝﹣4时，x＝﹣，∴E（﹣，﹣4），∴EH＝2﹣＝，∴CE＝CH﹣HE＝4﹣＝，∴S△CEB＝CE•BM＝××4＝7；故选：C．。

重庆备战中考数学压轴题专题反比例函数的经典综合题

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图．一次函数y=x+b的图象经过点B（﹣1，0），且与反比例函数（k为不等于0的常数）的图象在第一象限交于点A（1，n）．求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）当1≤x≤6时，反比例函数y的取值范围．【答案】（1）解：把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b得： 0=﹣1+b，∴b=1，∴一次函数解析式为：y=x+1，∵点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，∴n=1+1，∴n=2，∴点A的坐标是（1，2）．∵反比例函数的图象过点A（1，2）．∴k=1×2=2，∴反比例函数关系式是：y=（2）解：反比例函数y= ，当x＞0时，y随x的增大而减少，而当x=1时，y=2，当x=6时，y= ，∴当1≤x≤6时，反比例函数y的值：≤y≤2【解析】【分析】（1）根据题意首先把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b求出一次函数解析式，又点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，再利用一次函数解析式求出点A的坐标，然后利用代入系数法求出反比例函数解析式，（2）根据反比例函数的性质分别求出当x=1，x=6时的y值，即可得到答案．2．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y= （k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（，2）．（1）求k的值；（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的一个顶点恰好落在函数y= （k＞0，x ＞0）的图象上时，求菱形ABCD平移的距离．【答案】（1）解：作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F，∵点D的坐标为（，2），∴DO=AD=3，∴A点坐标为：（，5），∴k=5 ；（2）解：∵将菱形ABCD向右平移，使点D落在反比例函数y= （x＞0）的图象上D′，∴DF=D′F′=2，∴D′点的纵坐标为2，设点D′（x，2）∴2= ，解得x= ，∴FF′=OF′﹣OF= ﹣ = ，∴菱形ABCD平移的距离为，同理，将菱形ABCD向右平移，使点B落在反比例函数y= （x＞0）的图象上，菱形ABCD平移的距离为，综上，当菱形ABCD平移的距离为或时，菱形的一个顶点恰好落在函数图象上．【解析】【分析】（1）根据菱形的性质和D的坐标即可求出A的坐标，代入求出即可；（2）B和D可能落在反比例函数的图象上，根据平移求出即可．3．如图，点P（x，y1）与Q（x，y2）分别是两个函数图象C1与C2上的任一点．当a≤x≤b 时，有﹣1≤y1﹣y2≤1成立，则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”，否则称它们在a≤x≤b 上是“非相邻函数”．例如，点P（x，y1）与Q （x，y2）分别是两个函数y=3x+1与y=2x﹣1图象上的任一点，当﹣3≤x≤﹣1时，y1﹣y2=（3x+1）﹣（2x﹣1）=x+2，通过构造函数y=x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性质，得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立，因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”．（1）判断函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是否为“相邻函数”，并说明理由；（2）若函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，求a的取值范围；（3）若函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，直接写出a的最大值与最小值．【答案】（1）解：是“相邻函数”，理由如下：y1﹣y2=（3x+2）﹣（2x+1）=x+1，构造函数y=x+1，∵y=x+1在﹣2≤x≤0，是随着x的增大而增大，∴当x=0时，函数有最大值1，当x=﹣2时，函数有最小值﹣1，即﹣1≤y≤1，∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”（2）解：y1﹣y2=（x2﹣x）﹣（x﹣a）=x2﹣2x+a，构造函数y=x2﹣2x+a，∵y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+（a﹣1），∴顶点坐标为：（1，a﹣1），又∵抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上，∴当x=1时，函数有最小值a﹣1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a﹣1≤y≤a，∵函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即，∴0≤a≤1（3）解：y1﹣y2= ﹣（﹣2x+4）= +2x﹣4，构造函数y= +2x﹣4，∵y= +2x﹣4∴当x=1时，函数有最小值a﹣2，当x=2时，函数有最大值，即a﹣2≤y≤ ，∵函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即，∴1≤a≤2；∴a的最大值是2，a的最小值1【解析】【分析】（1）y1﹣y2=（3x+2）﹣（2x+1）=x+1，构造函数y=x+1，因为y=x+1在﹣2≤x≤0，是随着x的增大而增大，所以当x=0时，函数有最大值1，当x=﹣2时，函数有最小值﹣1，即﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1，即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”；（2）y1﹣y2=（x2﹣x）﹣（x﹣a）=x2﹣2x+a，构造函数y=x2﹣2x+a，因为y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+（a﹣1），所以顶点坐标为：（1，a﹣1），又抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上，所以当x=1时，函数有最小值a﹣1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a﹣1≤y≤a，因为函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，所以﹣1≤y1﹣y2≤1，即0≤a≤1；（3）当x=1时，函数有最小值a﹣2，当x=2时，函数有最大值，因为函数y=与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，﹣1≤y1﹣y2≤1，即1≤a≤2，所以a的最大值是2，a 的最小值1.4．如图，已知直线y=x+k和双曲线y= （k为正整数）交于A，B两点．（1）当k=1时，求A、B两点的坐标；（2）当k=2时，求△AOB的面积；（3）当k=1时，△OAB的面积记为S1，当k=2时，△OAB的面积记为S2，…，依此类推，当k=n时，△OAB的面积记为S n，若S1+S2+…+S n= ，求n的值．【答案】（1）解：当k=1时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+1和y= ，解得，，∴A（1，2），B（﹣2，﹣1）（2）解：当k=2时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+2和y= ，解得，，∴A（1，3），B（﹣3，﹣1）设直线AB的解析式为：y=mx+n，∴∴，∴直线AB的解析式为：y=x+2∴直线AB与y轴的交点（0，2），∴S△AOB= ×2×1+ ×2×3=4；（3）解：当k=1时，S1= ×1×（1+2）= ，当k=2时，S2= ×2×（1+3）=4，…当k=n时，S n= n（1+n+1）= n2+n，∵S1+S2+…+S n= ，∴ ×（…+n2）+（1+2+3+…n）= ，整理得：，解得：n=6．【解析】【分析】（1）两图像的交点就是求联立的方程组的解；（2）斜三角形△AOB的面积可转化为两水平（或竖直）三角形（有一条边为水平边或竖直边的三角形称为水平或竖直三角形）的面积和或差；（3）利用n个数的平方和公式和等差数列的和公式可求出.5．平面直角坐标系xOy中，已知函数y1= （x＞0）与y2=﹣（x＜0）的图象如图所示，点A、B是函数y1= （x＞0）图象上的两点，点P是y2=﹣（x＜0）的图象上的一点，且AP∥x轴，点Q是x轴上一点，设点A、B的横坐标分别为m、n（m≠n）．（1）求△APQ的面积；（2）若△APQ是等腰直角三角形，求点Q的坐标；（3）若△OAB是以AB为底的等腰三角形，求mn的值．【答案】（1）解：过点P、A、Q分别作PM x轴交x轴于点M，PN x轴交x轴于点N，QR AP轴交AP轴于点R，则四边形APMN、四边形PMQR、四边形ARQN是矩形，如图所示：∵点A的横坐标为m,且在函数上，AP∥x轴,且点P在函数上，∴点A（m, ）,点P（－m, ）,∴MN=m-(-m)=2m,PM= ,∴S矩形PMNA＝2m╳ =8,∵四边形PMQR、四边形ARQN是矩形,∴S△PQM＝S△PRQ， S△ANQ＝S△ARQ,∴S△APQ＝S△PRQ+ S△ARQ＝ S矩形PMNA=4（2）解：当PQ x轴时，则PQ＝，,AP=2m,∵PQ=AP∴2m= ,∴m=∴ ,当PQ＝AQ时，则（3）解：∵△OAB是以AB为底的等腰三角形，∴OA＝OB，∵A（m, ）,B(n, )，∴∴mn=4.【解析】【分析】（1）过点P、A、Q分别作PM ⊥ x轴交x轴于点M，PN ⊥ x轴交x轴于点N，QR ⊥ AP轴交AP轴于点R，则四边形APMN、四边形PMQR、四边形ARQN是矩形，根据点A的横坐标为m，利用函数解析式表示出点A的坐标和点P的坐标，最后用三角形的面积公式即可得出结论。

中考数学反比例函数的命题分析与复习策略.

中考数学反比例函数的命题分析与复习策略中考知识梳理1.反比例函数的概念反比例函数y=(k≠0中的是一个分式，自变量x≠0，函数与x轴、y轴无交点，y=也可写成y=kx-1(k≠0，注意自变量x的指数为-1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数k≠0这一限制条件。

2.反比例函数的图象在用描点法画反比例函数y=的图象时，应注意自变量x的取值不能为。

运用函数图象（草图即可），比较函数值的大小，根据自变量（或函数0值）的取值确定函数值（或自变量）的范围是非常有用的。

3.反比例函数图象性质图象分布象限；反比例函数增减性；反比例函数图象是关于原点成中心对称；反比例函数图象关于直线成轴对称。

4.反比例函数y=中k的意义注意:反比例函数y=(k≠0中比例系数k的几何意义，即过双曲线y=(k≠0上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为│k│。

5.反比例函数经常与一次函数、二次函数等知识相联系.综观2007年全国各地的中考数学试卷，反比例函数的命题放在各个位置都有，突出考查学生的数形结合思想、学科内综合、学科间综合、实际应用题、新课程下出现的新题等方面，在考查学生的基础知识和基本技能等基本的数学素养的同时，加强对学生数学能力的考查，突出数学的思维价值。

函数题型富有时代特征和人文气息，很好地践行了新课程理念，“学生的数学学习内容应当是现实的，有意义的，富有挑战性的。

”1.反比例函数的基本题(江苏省淮安市例1．在函数中，自变量x的取值范围是（）。

A、x≠0B、x≥2C、x≤2D、x≠2分析：根据反比例函数y=(k≠0，自变量的取值范围,X-2≠0,得x≠2。

答案：D点评：此题考查的是基本概念，体现新课程注重双基。

(浙江台州例2．反比例函数图象上一个点的坐标是。

分析：按照要求写一对符合函数的有序实数。

答案：略。

点评：函数图象的点与符合函数的有序实数对一一对应，这是一道结论开放的填空题，新颖、独特，也让学生感受数学的灵动性，感受数学的无限魅力。

重庆中考数学备考之反比例函数压轴突破训练∶培优易错难题篇

重庆中考数学备考之反比例函数压轴突破训练∶培优易错难题篇一、反比例函数1．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y= （k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（，2）．（1）求k的值；（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的一个顶点恰好落在函数y= （k＞0，x ＞0）的图象上时，求菱形ABCD平移的距离．【答案】（1）解：作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F，∵点D的坐标为（，2），∴DO=AD=3，∴A点坐标为：（，5），∴k=5 ；（2）解：∵将菱形ABCD向右平移，使点D落在反比例函数y= （x＞0）的图象上D′，∴DF=D′F′=2，∴D′点的纵坐标为2，设点D′（x，2）∴2= ，解得x= ，∴FF′=OF′﹣OF= ﹣ = ，∴菱形ABCD平移的距离为，同理，将菱形ABCD向右平移，使点B落在反比例函数y= （x＞0）的图象上，菱形ABCD平移的距离为，综上，当菱形ABCD平移的距离为或时，菱形的一个顶点恰好落在函数图象上．【解析】【分析】（1）根据菱形的性质和D的坐标即可求出A的坐标，代入求出即可；（2）B和D可能落在反比例函数的图象上，根据平移求出即可．2．一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y= （k≠0）的图象相交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，点D的坐标为（﹣1，0），点A的横坐标是1，tan∠CDO=2．过点B作BH⊥y轴交y轴于H，连接AH．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△ABH面积．【答案】（1）解：∵点D的坐标为（﹣1，0），tan∠CDO=2，∴CO=2，即C（0，2），把C（0，2），D（﹣1，0）代入y=ax+b可得，，解得，∴一次函数解析式为y=2x+2，∵点A的横坐标是1，∴当x=1时，y=4，即A（1，4），把A（1，4）代入反比例函数y= ，可得k=4，∴反比例函数解析式为y=（2）解：解方程组，可得或，∴B（﹣2，﹣2），又∵A（1，4），BH⊥y轴，∴△ABH面积= ×2×（4+2）=6．【解析】【分析】（1）先由tan∠CDO=2可求出C坐标，再把D点坐标代入直线解析式，可求出一次函数解析式，再由直线解析式求出A坐标，代入双曲线解析式，可求出双曲线解析式；（2）△ABH面积可以BH为底，高=y A-y B=4-(-2)=6.3．如图，一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y= 的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA=OB．（1）求函数y=kx+b和y= 的表达式；（2）已知点C（0，5），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB=MC，求此时点M 的坐标．【答案】（1）解：把点A（4，3）代入函数y= 得：a=3×4=12，∴y= ．OA= =5，∵OA=OB，∴OB=5，∴点B的坐标为（0，﹣5），把B（0，﹣5），A（4，3）代入y=kx+b得：解得：∴y=2x﹣5．（2）解：∵点M在一次函数y=2x﹣5上，∴设点M的坐标为（x，2x﹣5），∵MB=MC，∴解得：x=2.5，∴点M的坐标为（2.5，0）．【解析】【分析】（1）先求反比例函数关系式，由OA=OB，可求出B坐标，再代入一次函数解析式中求出解析式；（2）M点的纵坐标可用x 的式子表示出来，可套两点间距离公式，表示出MB、MC，令二者相等，可求出x .4．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边，顶点坐标为，点坐标为 .（1）点的坐标是________，点的坐标是________（用表示）；（2）若双曲线过平行四边形的顶点和，求该双曲线的表达式；（3）若平行四边形与双曲线总有公共点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）解：∵双曲线过点和点，∴，解得，∴点的坐标为，点的坐标为，把点的坐标代入，解得，∴双曲线表达式为（3）解：∵平行四边形与双曲线总有公共点，∴当点在双曲线，得到，当点在双曲线，得到，∴的取值范围 .【解析】【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到A与B纵坐标相同，C与D纵坐标相同，横坐标相差2，得出B、C坐标即可；（2）根据B与D在反比例图象上，得到C与D横纵坐标乘积相等，求出b的值确定出B坐标，进而求出k的值，确定出双曲线解析式；（3）抓住两个关键点，将A坐标代入双曲线解析式求出b的值；将C坐标代入双曲线解析式求出b的值，即可确定出平行四边形与双曲线总有公共点时b的范围．5．如图，已知直线y＝ x与双曲线y＝交于A、B两点，且点A的横坐标为 .（1）求k的值；（2）若双曲线y＝上点C的纵坐标为3，求△AOC的面积；（3）在坐标轴上有一点M，在直线AB上有一点P，在双曲线y＝上有一点N，若以O、M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，请写出所有满足条件的点P的坐标.【答案】（1）解：把x= 代入，得y= ，∴A（，1），把点代入，解得：；（2）解：∵把y=3代入函数，得x= ，∴C ，设过，两点的直线方程为：，把点，，代入得：，解得：，∴，设与轴交点为，则点坐标为，∴；（3）解：设点坐标，由直线解析式可知，直线与轴正半轴夹角为，∵以、、、为顶点的四边形是有一组对角为的菱形，在直线上，∴点只能在轴上，∴点的横坐标为，代入，解得纵坐标为：，根据，即得：，解得： .故点坐标为：或 .【解析】【分析】（1）先求的A点纵坐标，然后用待定系数法求解即可；（2）先求出C 点坐标，再用待定系数法求的直线AC的解析式，然后求得直线AC与x的交点坐标，再根据求解即可；（3）设点坐标，根据题意用关于a的式子表示出N的坐标，再根据菱形的性质得，求出a的值即可.6．如图，在平面直角坐标系中，矩形OADB的顶点A，B的坐标分别为A（﹣6，0），B（0，4）．过点C（﹣6，1）的双曲线y= （k≠0）与矩形OADB的边BD交于点E．（1）填空：OA=________，k=________，点E的坐标为________；（2）当1≤t≤6时，经过点M（t﹣1，﹣ t2+5t﹣）与点N（﹣t﹣3，﹣ t2+3t﹣）的直线交y轴于点F，点P是过M，N两点的抛物线y=﹣ x2+bx+c的顶点．①当点P在双曲线y= 上时，求证：直线MN与双曲线y= 没有公共点；②当抛物线y=﹣ x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，求t的值；③当点F和点P随着t的变化同时向上运动时，求t的取值范围，并求在运动过程中直线MN在四边形OAEB中扫过的面积．【答案】（1）6；-6；（﹣，4）（2）解：①设直线MN解析式为：y1=k1x+b1由题意得：解得∵抛物线y=﹣过点M、N∴解得∴抛物线解析式为：y=﹣ x2﹣x+5t﹣2∴顶点P坐标为（﹣1，5t﹣）∵P在双曲线y=﹣上∴（5t﹣）×（﹣1）=﹣6∴t=此时直线MN解析式为：联立∴8x2+35x+49=0∵△=352﹣4×8×48=1225﹣1536＜0∴直线MN与双曲线y=﹣没有公共点．②当抛物线过点B，此时抛物线y=﹣ x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点∴4=5t﹣2，得t=当抛物线在线段DB上，此时抛物线与矩形OADB有且只有三个公共点∴，得t=∴t= 或t=③∵点P的坐标为（﹣1，5t﹣）∴y P=5t﹣当1≤t≤6时，y P随t的增大而增大此时，点P在直线x=﹣1上向上运动∵点F的坐标为（0，﹣）∴y F=﹣∴当1≤t≤4时，随者y F随t的增大而增大此时，随着t的增大，点F在y轴上向上运动∴1≤t≤4当t=1时，直线MN：y=x+3与x轴交于点G（﹣3，0），与y轴交于点H（0，3）当t=4﹣时，直线MN过点A．当1≤t≤4时，直线MN在四边形AEBO中扫过的面积为S=【解析】【解答】解：（1）∵A点坐标为（﹣6，0）∴OA=6∵过点C（﹣6，1）的双曲线y=∴k=﹣6y=4时，x=﹣∴点E的坐标为（﹣，4）故答案为：6，﹣6，（﹣，4）【分析】（1）根据A点的坐标即可得出OA的长，将C点的坐标代入双曲线y=，即可求出k的值，得出双曲线的解析式，根据平行于x轴的直线上的点的坐标特点得出点E的纵坐标为4，将y=4代入双曲线的解析式即可算出对应的自变量的值，从而得出E点的坐标；（2）①用待定系数法求出直线MN解析式，将M,N两点的坐标代入抛物线y=﹣x2+bx+c，得出关于b,c的方程组，求解得出b,c的值，根据顶点坐标公式表示出P点的坐标，再将P点的坐标代入双曲线即可求出t的值，从而得出直线MN解析式，解联立直线MN解析式与双曲线的解析式组成的方程组，根据根的判别式的值小于0，得出直线MN与双曲线没有公共点；②当抛物线过点B，此时抛物线y=﹣x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，故4=5t﹣2，求解得出t的值，当抛物线在线段DB上，此时抛物线与矩形OADB有且只有三个公共点，故,求解得出t的值，综上所述得出答案；③根据P点的坐标判断出当1≤t≤6时，y P随t的增大而增大，此时，点P在直线x=﹣1上向上运动进而表示出F点的坐标，将F点的纵坐标配成顶点式，得出当1≤t≤4时，随者y F随t的增大而增大，此时，随着t的增大，点F在y轴上向上运动，故1≤t≤4，当t=1时，直线MN：y=x+3与x轴交于点G（﹣3，0），与y轴交于点H（0，3），当t=4﹣时，直线MN过点A．根据割补法算出当1≤t≤4时，直线MN在四边形AEBO中扫过的面积。

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