勾股定理应用举例

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利用勾股定理解决问题

利用勾股定理解决问题勾股定理是数学中的一个重要定理，它被广泛应用于各种领域，能够帮助我们解决许多实际问题。

本文将介绍勾股定理的原理及应用，并以几个具体的例子来说明如何利用勾股定理解决问题。

一、勾股定理的原理勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）在公元前6世纪提出的。

它的表达方式为：在直角三角形中，直角边的平方等于其他两边平方之和。

即在一个直角三角形中，设直角边的长度为a和b，斜边的长度为c，则有a² + b² = c²。

二、勾股定理的应用1.测量直角三角形的边长勾股定理可以用于测量直角三角形的边长。

例如，如果我们已知直角三角形的斜边长度为5，其中一条直角边的长度为3，我们可以使用勾股定理来计算另一条直角边的长度。

根据勾股定理可以得到3² + b² = 5²，整理得到b = 4。

因此，另一条直角边的长度为4。

2.验证三条边是否构成直角三角形勾股定理还可以用于验证三条边是否构成直角三角形。

如果已知三条边的长度分别为a、b、c，我们可以计算a² + b²和c²的值，如果两者相等，则说明该三角形是直角三角形。

例如，已知三条边的长度分别为3、4、5。

根据勾股定理可以得到3² + 4² = 9 + 16 = 25，等于5²，因此这三条边构成直角三角形。

3.计算斜面的高度在物理实验中，有时需要测量斜面的高度。

我们可以利用勾股定理来计算斜面的高度。

例如，如果已知斜面的斜边长度为10，斜面与水平地面的夹角为30°，我们可以通过勾股定理计算出斜面的高度。

设斜面的高度为h，则有h² + 5² = 10²，整理得到h = √(10² - 5²) ≈ 8.66。

因此，斜面的高度约为8.66。

4.计算质点在斜面上的分力在物理力学中，有时需要计算质点在斜面上的分力。

如何利用勾股定理求解实际问题

如何利用勾股定理求解实际问题勾股定理是三角形中的重要定理之一，用于求解直角三角形中的边长关系。

它的数学表达式为：在一个直角三角形中，三边满足a² + b² = c²的关系，其中c表示斜边的长度，a和b表示两条直角边的长度。

勾股定理的应用非常广泛，可以用于求解各种实际问题，从建筑工程到航空航天都能看到它的身影。

本文将介绍如何利用勾股定理求解实际问题，并以具体的例子加以说明。

例一：建筑工程中的应用在建筑工程中，利用勾股定理可以解决诸如测量地基深度、墙角平齐等问题。

例如，我们要在一个长方形的院子中建造一个90度的直角园林小路。

已知长为8米，宽为6米，我们需要求解对角线的长度以确保路径的直角度。

首先，我们可以通过勾股定理求解对角线的长度。

设对角线长度为c，长方形的一条边长为a，另一条边长为b。

根据勾股定理，有a² + b²= c²。

代入已知数据，得到8² + 6² = c²。

计算可得，c² = 100，因此c = 10。

通过计算，我们得出对角线的长度为10米。

因此，我们可以在院子中建造一条对角线长度为10米的直角园林小路，以确保路径的直角度。

例二：航空航天中的应用在航空航天领域，勾股定理可以用于计算飞机的航程、导弹的射程等问题。

例如，我们想要计算一架飞机从起飞到着陆的总距离，已知飞机的平均速度为300公里/小时，飞机在空中的时间为2小时。

在这种情况下，我们可以利用勾股定理求解飞机在空中的航程。

设飞机在空中飞行的距离为d，飞机的水平速度为v，时间为t。

根据勾股定理，有d = v × t。

代入已知数据，可得d = 300公里/小时 × 2小时 = 600公里。

因此，该飞机从起飞到着陆的总距离为600公里。

总结：通过以上两个例子，我们可以看到，勾股定理在实际问题中的应用非常灵活和广泛。

利用勾股定理可以求解建筑工程、航空航天以及其他领域中的各种实际问题。

勾股定理的应用的例子

勾股定理的应用的例子：
一、圆柱侧面上两点间的最短距离圆柱侧面的展开图是一个矩形，圆柱上两点之间最短距离的求法，是把圆柱展开成平面图形，依据两点之间线段最短，以最短路线为构造直角三角形，利用勾股定理求解.
二、长方体(或正方体)表面上两点间的最短距离长方体每个面都是平面图形，所以计算同一个面上的两点之间的距离比较容易，若计算不同平面上的两点之间的距离，就变成了两个面之间的问题，必须将它们转化到同一平面内，即把四棱柱设法展开成一个平面图形，再构造直角三角形利用勾股定理解决，正方体的展开图从哪一面上展开都一样，而长方体的展开图一定要注意打开哪一个侧面，并且向上、下与向左、右展开会出现长度不的路线，应通过尝试从几条路线中选一条符合要求的.
三、折叠问题关于折叠问题的解题步骤：(1)利用重叠的图形传递数据(一般不用重叠的图形进行计算)；(2)选择或构造直角三角形，这个直角三角形一般一边已知，另两边可通过重叠图形找到数量关系，从而利用勾股定理列方程求解.。

勾股定理与生活

勾股定理与生活
勾股定理是数学中一个基本的定理，主要描述了在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

这个定理在生活中有非常广泛的应用：
1. 建筑和工程：在建筑和工程领域，勾股定理被用来确保结构的准确性和稳定性。

例如，工人会用它来检查墙壁、地板是否垂直或水平，或者在测量电线杆、塔等的高度时。

2. 装修设计：在室内设计中，比如确定家具的位置，计算最佳视角等，都会用到勾股定理。

3. 体育运动：在篮球、足球、田径等运动中，运动员利用勾股定理来判断投篮角度、传球距离等。

4. 导航和地理：在地图制作和导航系统中，勾股定理用于计算两点之间的最短距离。

5. 电子设备：手机、电脑等电子设备的屏幕尺寸，往往通过勾股定理来计算对角线长度。

6. 日常生活：比如测量窗户、门的尺寸，计算梯子的安全角度等，都会用到勾股定理。

7. 交通：驾驶员在倒车入库时，可以通过勾股定理判断车尾与障碍物的距离。

这些都是勾股定理在我们日常生活中的实际应用，体现了数学的实用性和普遍性。

勾股定理的应用举例

G
左（右）
D
4
G
2
F 4
前（后）
（后）右（左）
A
A 1 B
2
B A 2 A 1 （3 （1 （2 解：长方体侧面展开图一共有三种情况，如上图，其））） D
1
B
距离分别是：
第一种：
第二种：
第三种：
小试牛刀
如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离．
3 2 20 B
H
么确定呢？
G
E D
F C
A
B
例题变式：
（1）、如把正方体变成如左图的长方体，长方体底面长为2,宽为1,高为4,蚂蚁从A点沿长方体表面爬到E点有多少种爬行可能？那种爬行路径的距离最短？是多少？
H
GEF源自4CD2
A
1
B
例题变式：
H
G
E E F
F
上（下） 1
H
E
上（下） 2
G
F
前
E 4 C
4
C
H
1尺 x尺
x2 + 52 = (x+1)2
x = 12
水池
5尺
在一棵树的10米高处B有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20米的池塘A，另一只猴子爬到树顶D后直接跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过距离相等，试问这棵树有多高？
D B.
C
A
小结
你
能说说运用勾股定理的知识可以解决实际生活中哪些问题吗?
3.3 勾股定理的应用举例
思考
有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米,在圆柱下底面上的A 点有一只蚂蚁,它想从点A爬到点B , 蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少? (π的值取3)

勾股定理的应用举例

答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺。
如图，某隧道的截面是一个半径为4.2m的半圆形，一辆高3.6m，宽3m的卡车能通过该隧道吗？
例2、
随堂练习
小英想用一条36cm长的绳子围城一个直角三角形，其中一条边的长度为12cm，求另外两条边的长度。
2、一架梯子若靠墙直立时比窗户的下沿高1m，若斜靠在墙上，当梯子的下端离墙4m时，梯子的上端恰好与窗户的下沿对齐，求梯子的长度。
知识小结
1 m
4 m
在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=4cm，AD=2cm，BC=CD,E是AB上的一点，若沿CE折叠，则B,D两点重合，求△AED的面积
如图，一座城墙11.7m，墙外有一条宽为9m的护城河，那么一个长为15m的云梯能否到达城墙的顶端？
《九章算术》中的“折竹抵地”问题上：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺。问折者高几何？意思是：有一根竹子原来高1丈，竹梢部分折断，尖端落在地上，竹尖与竹根距离3尺，问折断处离地多高？
1、如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知 DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到 E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km 处？
B
D
通过今天的学习, 用你自己的话说说你的收获和体会?
宇宙星球
添加副标题
勾股定理水深AC为x尺，则这根芦苇长AD=AB=（x+1）尺，
在直角三角形ABC中，BC=5尺
由勾股定理得，BC2+AC2=AB2
即 52+ x2= (x+1)2
25+ x2= x2+2 x+1，
2 x=24，

勾股定理实例及应用

勾股定理实例及应用勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前6世纪提出的数学定理，是初中数学必学的重要内容之一。

它指出：直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的表达形式为：在一个直角三角形中，设直角边的长度分别为a、b，斜边的长度为c，则有a^2 + b^2 = c^2。

勾股定理的实例：一个常见的勾股定理实例是3、4、5的三角形。

它是一个直角三角形，其中直角边的长度分别为3和4，斜边的长度为5。

根据勾股定理，3^2 + 4^2 = 5^2，即9 + 16 = 25，成立。

因此，3、4、5三边构成了一个满足勾股定理的直角三角形。

另一个实例是5、12、13的三角形。

同样地，根据勾股定理，5^2 + 12^2 = 13^2，即25 + 144 = 169，也成立。

因此，5、12、13三边构成了另一个满足勾股定理的直角三角形。

以上两个实例展示了勾股定理在直角三角形中的应用，它可以帮助我们判断一个三角形是否为直角三角形，或者求解直角三角形的边长关系。

勾股定理的应用：勾股定理是一个非常实用的数学定理，它在日常生活中有着广泛的应用。

下面我们将介绍一些常见的应用场景。

1. 土地测量在土地测量中，勾股定理可以帮助测量直角三角形的边长。

例如，在农业生产中，农民需要测量田地的面积，可以利用勾股定理来测算田地的对角线长度，从而确定田地的面积。

2. 建筑工程在建筑工程中，勾股定理也有着重要的应用。

建筑师在规划建筑布局时，经常需要考虑到建筑物之间的距离和角度关系。

利用勾股定理，可以准确计算建筑物之间的距离和角度，确保建筑布局的合理性和美观度。

3. 导弹制导在军事领域，导弹制导是一个重要的应用领域。

通过勾股定理，可以精确计算导弹的飞行路径和目标距离，从而实现导弹制导和精确打击目标。

4. 航海导航在航海领域，勾股定理也有着重要的应用。

船舶在航海过程中，需要计算船舶的航行方向和航程，以及测算船舶与陆地或其他船舶的距离。

勾股定理的应用举例与解题方法

勾股定理的应用举例与解题方法勾股定理是一条著名的数学定理，它在几何学和代数学中具有广泛的应用。

本文将通过举例和解题方法来探讨勾股定理的应用。

一、求解直角三角形的边长勾股定理最常见的应用就是求解直角三角形的边长。

直角三角形是指一个角度为90度的三角形。

在这种三角形中，直角边即为斜边相对的两条边。

根据勾股定理，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

举例1：已知一个直角三角形的一条直角边长度为5，另一条直角边长度为12，求斜边的长度。

解题方法：根据勾股定理可以得到：斜边的平方 = 直角边1的平方 + 直角边2的平方代入已知条件可得：斜边的平方 = 5² + 12² = 25 + 144 = 169开方得到斜边的长度为13。

因此，该直角三角形的斜边长度为13。

二、验证三条边是否构成直角三角形通过勾股定理，我们还可以验证三条边是否构成直角三角形。

举例2：已知三条边的长度分别为3、4、5，判断它们是否构成直角三角形。

解题方法：按照勾股定理，如果三条边的平方和等于斜边的平方，那么它们所构成的就是直角三角形。

代入已知条件可得：3² + 4² = 9 + 16 = 25而斜边的平方为5² = 25由此可见，两者相等，所以这三条边构成了直角三角形。

三、解决几何问题勾股定理不仅可以用于解决三角形问题，还可以应用于其他几何问题。

举例3：已知一个矩形的两条边长分别为5和12，求对角线的长度。

解题方法：由于矩形的对角线可以看作是直角三角形的斜边，我们可以利用勾股定理来求解。

根据勾股定理可以得到：对角线的平方 = 矩形的一条边长的平方 +矩形的另一条边长的平方代入已知条件可得：对角线的平方 = 5² + 12² = 25 + 144 = 169开方得到对角线的长度为13。

因此，该矩形的对角线长度为13。

四、应用于物理问题勾股定理还可以应用于物理问题的求解中。

举例4：一个投射角度为45度的物体以10 m/s的速度抛出，求物体在水平方向上的飞行距离。

勾股定理的应用

勾股定理求线段求线段长的方法：1、直接求2、全等三角形的性质：对应线段相等3、勾股定理4、相似三角形5、三角函数一、勾股定理：a2 + b2 = c2例1、＋= x2＋=例2、直角三角形的周长为24，一直角边长为6，求其他两边的长及面积。

练习：1、小明想知道学校旗杆的高度，他把绳子一端挂在旗杆顶端，发现绳子垂到地面时余1米，当他把绳子下端拉开5米后，下端绳子刚好接触地面，如图，则旗杆的高度AC= .2、如图所示，一架长2.5米的梯子，斜靠在一面竖直的墙上，这时梯子底端离墙0.7米，为了安装壁灯，梯子顶端需要离地面2米，请你计算一下，此时梯子底端应再向远离墙面的方向拉多远？3、铁路上A、B两站（视为直线上两点）相距25km，C,D为两村庄（视为两个点），CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，已知CA=15千米，DB=10千米。

现要在A、B之间建一个土特产收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，此时AE= .二、勾股定理只能用于直角三角形例3、在△ABC中，∠ACB=90o，AC=9，BC=12，则AB上的高CD的长度为例4、如图所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于？1、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为2、如果Rt△两直角边的比为5∶12，则：斜边上的高与斜边的比为3、已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠1=∠2，CD=4，BD=5，则AC的长为三、折叠问题观察下列两幅图，试说明折叠与轴对称之间有怎样的关系？例5、如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6 cm，BC=8 cm．现将直角边AC沿AD折叠，使C点落在斜边AB上E处，求CD的长.1、如图所示，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，将Rt△ABC折叠，使点B 与点A重合，折痕为DE。

求：CD的长2、如图，在长方形纸片ABCD中，AD=9cm，AB=3cm，将其折叠使点D与点B重合，折叠后BE的长是（）。

勾股定理在生活中的应用

勾股定理在生活中的应用一、计算图形的周长和面积例1 图1为一个广告牌支架的示意图，其中AB=13 m，AD=12 m，BD=5 m，AC=15 m，求图中△ABC的周长和面积．图1分析：先根据直角三角形的判定得到AD⊥BC，再利用勾股定理得出DC的长，进而得出答案．解：在△ABD中，AB=13 m，AD=12 m，BD=5 m，AB2=AD2+BD2，所以AD⊥BC．在Rt△ADC中，AD=12 m，AC=15 m，AD2+DC2=AC2，所以122+DC2=152，解得DC=9 m．所m，若是则受影响，否则不受；（2）如图3，设在点C之前和之后各有一点到点A的距离是200 m，则得到等腰△ABD，根据等腰三角形的性质和勾股定理计算BD的长，最后利用时间=路程÷速度求得受到影响的时间．解：（1）如图3，过点A作AC⊥ON于点C，因为∠QON=30°，OA=320 m，所以AC= 160 m，因为160＜200，所以居民楼会受到噪音的影响．（2）如图3，设点B，D到点A的距离都是200 m，即火车从到B点直到驶离D点，对居民楼都会产生噪音影响．因为AB=200 m，AC=160 m，由勾股定理，得BC=120 m．因为AB=AD，AC⊥MN，所以BD=2BC=240 m．因为72 km/h=20 m/s，所以影响时间应是240÷20=12（秒）．图3点评：勾股定理是直角三角形的三边关系，所以只有直角三角形才能使用勾股定理，本题通过作垂线段构造了直角三角形，从而为勾股定理的使用创造了条件．三、计算最短距离例3如图4所示，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80 cm，高AB=60 cm，水深为AE=40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG=60 cm；一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵，求小虫爬行的最短距离．（鱼缸厚度忽略不计）图4分析：如图5所示，作点A关于BC的对称点A′，连接A′G交BC于点Q，小虫沿着A→Q→G的路线爬行时路程最短，然后利用勾股定理求解．解：如图5所示，作点A关于BC的对称点A′，连接A′G交BC与点Q，小虫沿着A→Q→G 的路线爬行时路程最短．则A′B=AB=60 cm，BE=60-40=20 cm，所以A′E=80 cm．在Rt△A′EG中，A′E=80 cm，EG=60 cm，所以A′G2= A′E2+EG2=802+602=10 000，所以A′G=100 cm，所以AQ+QG=A′Q+QG=A′G=100 cm．所以最短路线长为100 cm．图5点评：本题将最短路径问题与勾股定理结合在一起，本题最短路径问题是指求直线同旁两点（图中点A，G）到直线（图中BC）上一点的距离和最小，此类问题需用轴对称解决．。

勾股定理在实际问题中的应用举例

勾股定理在实际问题中的应用举例一、利用勾股定理解决立体图形问题勾股定理是揭示直角三角形的三条边之间的数量关系，可以解决许多与直角三角形有关的计算与证明问题，在现实生活中有着极其广泛的应用，下面就如何运用勾股定理解决立体图形问题举例说明，供参考。

一、长方体问题例1、如图1，图中有一长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、变形忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（）A 、41cmB 、34cmC 、50cmD 、75cm分析：图中BD 为长方体中能放入的最长的木条的长度，可先连接BC ，根据已知条件，可以判断BD 是Rt △BCD 的斜边，BD 是Rt △BCD 的斜边，根据已知条件可以求出BC 的长，从而可求出BD 的长。

解：在Rt △ABC 中，AB=5，AC=4，根据勾股定理，得BC=22AC AB +=41，在Rt △BCD 中，CD=3，BC=41，BD=22CD BC +=50。

所以选C 。

说明：本题的关键是构造出直角三角形，利用勾股定理解决问题。

二、圆柱问题例2、如图2，是一个圆柱形容器，高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 出有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度是多少？分析：勾股定理是平面几何中的一个重要定理，在遇到立体图形时，需根据具体情况，把立体图形转化为平面图形，从而使空间问题转化为平面问题。

由题意可知，S 、F 两点是曲面上的两点，表示两点间的距离显然不能直接画出，但我们知道圆柱体的侧面展开图是一个长方形，，于是我们就可以画出如图3的图，这样就转化为平面中的两点间的距离问题，从而使问题得解。

解：画出圆柱体的侧面展开图，如图3，由题意，得SB=60÷2=30（cm ），FB=18―1―1=16（cm ），在Rt △SBF 中，∠SBF=90°，由勾股定理得，SF=22FB SB +=221630+=34（cm ），所以蜘蛛所走的最短路线的长度是34cm 。

初中数学：勾股定理的15种应用

初中数学：勾股定理的15种应用
勾股定理的15种应用
应用1 勾股定理理解三角形
应用2 勾股定理与网格问题
应用3 利用勾股定理解决折叠问题
应用4 利用勾股定理证明线段的平方关系
应用5 利用勾股定理解决实际问题:求梯子滑落高度
应用6 利用勾股定理解决实际问题:求旗杆高度
应用7 利用勾股定理解决实际问题:求蚂蚁爬行距离
应用8 利用勾股定理解决实际问题:求大树折断前的高度
应用9 利用勾股定理解决实际问题:求水杯中筷子长度问题
应用10 利用勾股定理解决实际问题: 解决航海问题
应用11 利用勾股定理解决实际问题: 求河宽
应用12 利用勾股定理解决实际问题: 求台阶上的地毯长度
应用13 利用勾股定理解决实际问题:判断是否超速
应用14 利用勾股定理解决实际问题:判断是否受台风影响
应用15 利用勾股定理解决实际问题: 利用勾股定理选址使到两地距离相等
【小结】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了勾股定理．
【变式求解】。

勾股定理在实际问题中的应用举例

解：在Rt △ABC 中，AB=5，AC=4，根据勾股定理，得BC=22AC AB +=41，在Rt △BCD 中，CD=3，BC=41，BD=22CD BC +=50。

所以选C 。

说明：本题的关键是构造出直角三角形，利用勾股定理解决问题。

专题02 勾股定理的四种实际应用(解析版)

专题02 勾股定理的四种实际应用【基础知识点】勾股定理的实际应用有很多，有梯子滑落问题、最短距离问题，树枝折断问题，求三角形角度问题等等，构造直角三角形是解决问题的关键。

类型一、梯子滑落高度问题例1.如图，一架梯子AB 斜靠在一竖直的墙OA 上，这时 2.5m AO =，30OAB Ð=°．梯子顶端A 沿墙下滑至点C ，使60OCD Ð=°，同时，梯子底端B 也外移至点D ．求BD 的长度．（结果保留根号）【解析】在Rt OAB V 中， 2.5AO =Q ，30OAB Ð=°，2AB \==根据勾股定理知BO ===，60OCD Ð=°Q ，30ODC \Ð=°，在AOB D 和DOC D 中，OAB ODC AOB DOC AB DC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AOB DOC AAS \D @D ，OA OD \=，OC OB =，52BD OD OB \=-==．【变式训练1】如图，在一棵大树AB 的10m 高的D 处有两只猴子，它们同时发现地面上的点C 处有一根香蕉，一只猴子从点D 处上爬到树顶点A 处，利用拉在点A 处的滑绳AC ，滑到点C 处，另一只猴子从点D 处滑到地面点B 处，再由点B 跑到点C ，已知两只猴子所经过的路程都是15m，那么这棵树有多高？【答案】12m【详解】解：设树高AB为x m.由题意知BC=15-10=5(m)，AD=(x-10)m，AC=15-AD=15-x+10=(25-x)m.在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即x2+52=(25-x)2，解得x=12.答：这棵树有12 m高．【变式训练2】如图，一架25米长的梯子AB，斜靠在竖直的墙MO上，梯子底端B到墙底端O的距离为7米．（1）若梯子的顶端A沿墙面下滑4米，那么底端B将向外移动多少米？请写出解题过程．（2）在梯子AB滑动过程中，AB上是否存在点P，它到墙底端O的距离保持不变？若存在，请求出OP 的长；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）8米；（2）存在，252 OP m=【解析】如图，在直角△ABO中，已知AB=25米，BO=7米，则由勾股定理得：=24（米）；∵AO=AA1+OA1∴OA1=24米-4米=20米，∵在直角△A1B1O中，AB=A1B1，且A1B1为斜边，∴由勾股定理得：OB1米，∴BB1=OB1-OB=15米-7米=8米；答：梯足将向外移8米．（2）AB的中点P到O的距离始终不变，12522 OP AB m ==类型二、水杯中的筷子问题例1．将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露出在杯子外面长为h cm，则h的取值范围是（）A．0≤h≤12B．12≤h≤13C．11≤h≤12D．12≤h≤24【答案】C【详解】当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12（cm）．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB13（cm），故h＝24﹣13＝11（cm）．故h的取值范围是：11cm≤h≤12cm．故选：C．【变式训练1】如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管插在盒内部分的长度h的最大值为____________ cm．【答案】13【解析】如图所示：BC=3cm，CD=4cm，AB=12cm，连接BD、AD，在Rt△BCD中，BD=5（cm），在Rt△ABD中，AD（cm）．故吸管插在盒内部分的长度h的最大值为13cm．故答案为：13．【变式训练2】如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿AB 竖直插到水底，此时竹竿AB 离岸边点C 处的距离0.8CD =米．竹竿高出水面的部分AD 长0.2米，如果把竹竿的顶端A 拉向岸边点C 处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度BD 为（）A ．1.5米B ．1.7米C ．1.8米D ．0.6米【答案】A 【详解】解：设BD 的长度为xm ，则AB =BC =（x +0.2）m ，在Rt △CDB 中，0.82+x 2=（x +0.2）2，解得x =1.5．故选：A ．【变式训练3】如图所示是一个圆柱形饮料罐底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a 的长度x （罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计）范围是（）A ．1213x ≤≤B ．1215x ££C ．512x ££D ．513x ££【答案】A 【详解】解：由题意得：当吸管与底面圆垂直时，吸管在罐内部分a 的长度x 为最小，即为12，当吸管与底面圆的一端重合时，吸管在罐内部分a 的长度x 为最大，如图所示：∴5,12AB AC ==，∴在Rt △ABC 中，13BC ==，∴吸管在罐内部分a 的长度x 的范围是1213x ≤≤，故选A ．类型三、最短距离问题例1．如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB ＝16p ，高BC ＝12cm ，P 为BC 的中点，一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱的表面爬到P 点的最短距离为( )A ．9cmB ．10cmC ．11cmD ．12cm【答案】B 【详解】解：如图：展开后线段AB 的长度是圆柱中半圆AB 的周长，Q 圆柱底面直径16cm p 、高12BC cm =，P 为BC 的中点，\6BP cm =，1168,2AB cm p p\=´´=在Rt ABP V 中，10()AP cm ===，\蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为10cm，故选：B．【变式训练1】如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别是20dm,3dm,2dm，A和B是这个台阶相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到B处去吃食物，则这只蚂蚁爬行的最短距离为（）A．25dm B．26dm C．24dm D．27dm【答案】A【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x dm，由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，解得x=25．故选：A．【变式训练2】长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是_________．【答案】25cm【详解】解：只要将长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1：∵长方体的宽为10，高为20，点B与点C的距离是5，∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：AB=；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：AB==；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴AC=CD+AD=20+10=30，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB=∵25<<∴蚂蚁爬行的最短距离是25cm，故答案为：25cm．【变式训练3】《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的'C 处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是___________尺．【答案】12【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长AC AC x ¢==尺，则水深(1)AB x =-尺，∵10C E ¢=尺，∴5C B ¢=尺，在Rt AC B ¢V 中，2225(1)x x +-=，解得13x =，即芦苇长13尺，水深为12尺，故答案为：12．类型三、是否有影响问题例1．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB 由A 行驶向B ，已知点C 为一海港，且点C 与直线AB 上的两点A ，B 的距离分别为300AC km =，400BC km =，又500AB km =，以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域．（1）求ACB Ð的度数．（2）海港C 受台风影响吗？为什么？（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E 处时，海港C 刚好受到影响，当台风运动到点F 时，海港C 刚好不受影响，即250CE CF km ==，则台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】（1）90°；（2）海港C 受台风影响，证明见解析；（3）台风影响该海港持续的时间为7小时．【解析】（1）300AC km =Q ，400BC km =，500AB km =，222AC BC AB \+=，ABC D ∴是直角三角形，∴∠ACB=90°；（2）海港C 受台风影响，过点C 作CD AB ^，ABC D Q 是直角三角形，AC BC CD AB \´=´，300400500CD \´=´，240()CD km \=，Q 以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域，\海港C 受台风影响．（3）当250EC km =，250FC km =时，正好影响C 港口，70()ED km ==，140EF km \=，Q 台风的速度为20千米/小时，140207\¸=（小时）答：台风影响该海港持续的时间为7小时．【变式训练1】如图，有两条公路OM 、ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点160米处有一所学校A ，当重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶时，在以P 为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校A 的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A 的噪声影响最大时卡车P 与学校A 的距离是___米；重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间是____秒．【答案】80 12【解析】作AD ON ^于D ，30MON Ð=°Q ，160AO =m ，1802AD OA \==m ，即对学校A 的噪声影响最大时卡车P 与学校A 的距离80m ．如图以A 为圆心100m 为半径画圆，交ON 于B 、C 两点，AD BC ^Q ，12BD CD BC \==，在Rt △ABD 中，60BD ===m ，120BC \=m ，Q 重型运输卡车的速度为36千米/时10=米/秒，\重型运输卡车经过BC 的时间1201012=¸=（秒)，故卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间为12秒．故答案为：80，12．【变式训练2】如图，有两条公路OM 、ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点160m 处有一所医院A ，当卡车P 沿道路ON 方向行驶时，在以P 为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到噪声的影响．若已知卡车的速度为250米/分钟，则卡车P 沿道路ON 方向行驶一次时，给医院A 带来噪声影响的持续时间是__分钟．【答案】0.48．【解析】作AD ⊥ON 于D ，∵∠MON ＝30°，AO ＝160m ，∴AD ＝12OA ＝80m ，以A 为圆心100m 为半径画圆，交ON 于B 、C 两点，∵AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝12BC ，在Rt△ABD中，BD60m==，∴BC＝120m，∵卡车的速度为250米/分钟，∴卡车经过BC的时间＝120÷250＝0.48分钟，故答案为：0.48．类型四、角度问题例．已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则∠C＝（）．A．45°B．37°C．60°D．90°【答案】C【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：设CD＝x，则BD＝BC−CD＝5−x，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2−BD2，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2−CD2，∴AB2−BD2＝AC2−CD2，即：72−（5−x）2＝82−x2，解得：x＝4，∴CD＝4，∴CD＝12AC，∴∠CAD＝30°，∴∠C＝90°−30°＝60°，故选：C．【变式训练1】已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，则∠B＝（）．A．45°B．37°C．60°D．90°【答案】C【详解】解：如图，过点A作AD BC^交BC延长线于点D，∵在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝7，BC ＝3，可设CD =x ，则BC =3+x ，在Rt ACD △ 中，222227A D A C C D x =-=- ，在Rt ABD △中，()2222283A D A B B D x =-=-+，∴()2222783x x -=-+，解得：1x = ，∴BC =3+x =4，∴在Rt ABD △中，12BD AB =，∴30BAD °Ð= ，∴9060B B A D °°Ð=-Ð= ．故选 C ．【变式训练2】边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（）．A ．90°B ．150°C ．135°D ．120°【答案】D【详解】设△ABC 的三边AB =5，AC =7，BC =8，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，如图设BD =x ，则CD =8-x在Rt △ADB 中，由勾股定理得：222225AD AB BD x =-=-；在Rt △ADC 中，由勾股定理得：222249(8)AD AC CD x =-=--则得方程：222549(8)x x -=--解得：52x =即52BD =∵12BD AB =，AD ⊥BC ∴∠BAD =30゜∴∠ABD =90゜-∠BAD =60゜∴∠BAC +∠C =180゜-∠ABD =120゜∵BC >AC >AB∴∠BAC >∠ABD >∠C故最大角与最小角的和为120゜故选：D ．【变式训练3】在△ABC 中，AB ＝16，AC ＝14，BC ＝6，则△ABC 的面积为（）A ．B ．C ．48D ．112【答案】A【详解】如图，过C 作CD AB ^于D ，设BD x =，则16AD x =-，在,Rt BCD Rt ACD △△中222222,CD BC BD CD AC AD =-=-2222BC BD AC AD \-=-2222614(16)x x -=--解得x =3CD \===111622ABC S AB CD \=´=´´=△故选A。

勾股定理的典型应用举例

勾股定理的典型应用举例勾股定理，在数学中有着非常重要的应用。

下面就举例说明。

1、拼图中用勾股定理例1、(温州市)在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)。

已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝_______。

解析：设面积为S 1的正方形的边长AB=x ，面积为S 2的正方形的边长DE=y ，面积为S 3的正方形的边长PQ=m ，面积为S 4的正方形的边长ST=n ，我们易证△BAC ≌△CDE ，△GFH ≌△HMO ，△QPR ≌△RTS ，所以，根据勾股定理，得：x 2+y 2=BC 2=1，y 2+z 2=GH 2=2，z 2+m 2=QR 2=3，x 2+y 2+y 2+z 2+z 2+m 2=1+2+3，x 2+y 2 +z 2+m 2+（z 2+y 2）=1+2+3，x 2+y 2 +z 2+m 2+（z 2+y 2）=1+2+3，x 2+y 2 +z 2+m 2=4，即S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝4。

2、正方形网格上用勾股定理例2、在5×5的正方形网格上，如图2，在三角形ABC 中，三角形的三边的长分别为a ，b ，c ，则a 、b 、c 的大小的关系是：A a ＜b ＜cB c ＜a ＜bC c ＜b ＜aD b ＜a ＜c （04广州）分析：假设每个正方形的边长为1，分别在三个阴影三角形中，根据勾股定理，得：AC=b=，=+2215AB=c==，2232+13BC=a==231+10所以，b ＜a ＜c ，因此，D 是正确的。

解：选D 。

例3、在5×5的正方形网格上，如图3，在三角形ABC 中，三角形的三边的长分别为a ，b ，c ，则点B 到AC 的距离是。

分析：直接求这个距离，比较不容易，如果通过求三角形ABC 的面积，后利用面积公式求就容易多了。

勾股定理应用举例

感悟与收获
1、这一节课我的收获是________
2、我最感兴趣的地方是__________
3、我想进一步研究的问题是_________
教师寄语数学在我们的生活中无处不在, 只要你是个有心人,就一定会发现在我们的身边,我们的眼前, 还有很多象 “勾股定理”那样的知识等待我们去探索，等待我们去一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面,请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少?
1尺 x尺
水池
5尺
李叔叔想要检测雕塑底座正面的 AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，（1）你能替他想办法完成任务吗？（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB 长是40厘米，BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？
——蚂蚁怎样走最近
探究一：长方体中的最短路程
如图，有一个棱柱，它的底面是边长为6cm的正方形，侧面都是长为 9cm的长方形。在棱柱下面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与 A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？
6 6
9
蚂蚁A→B的路线
6 6 9 9 A A 6 B 6
B
探究二：圆柱体中的最短路程
在一个圆柱石凳上，小明在吃东西时留下了一点食物在B处，在A处的蚂蚁发现了这一信息，于是它想从A处爬向B处，圆柱的高等于12 厘米，底面半径等于3厘米，它爬行的最短路程是多少？（π的值取3）
我怎么走会最近呢?
B
A
归纳

勾股定理的纯数学应用

勾股定理的纯数学应用
勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

在实际生活中，勾股定理有许多应用，以下是一些常见的例子：
1.计算面积：通过使用勾股定理，可以计算出不规则图形的面积。

例如，在
计算梯形、三角形和圆形的面积时，可以使用勾股定理来确定某些边长或
半径的长度。

2.确定高度：在建筑和工程领域，勾股定理可以用于确定建筑物或构筑物的
高度。

例如，如果已知一个建筑物的底部长度和宽度，以及其高度与底部
长度的比值，可以使用勾股定理来计算其高度。

3.设计图形：在设计和艺术领域，勾股定理可以用于设计各种形状和图案。

例如，可以使用勾股定理来设计具有特定比例和对称性的图形，如等边三
角形、正方形和圆形。

4.测量距离：在测量和测绘领域，勾股定理可以用于测量距离。

例如，可以
使用勾股定理来测量两点之间的距离，或者计算某一点到某一直线的距离。

5.确定时间：在天文学领域，勾股定理可以用于确定天体的位置和时间。

例
如，可以使用勾股定理来计算太阳系中的行星和卫星的位置，以及计算地
球的自转和公转周期。

总的来说，勾股定理是数学中的一个重要工具，它在实际生活中的应用非常广泛，包括建筑、工程、设计、艺术、测量、天文学等领域。

勾股定理的应用举例

例：如图，壁虎在一座底面半径为１米，高为２
米的油桶的下底边沿Ａ处，发现油桶的另一侧的中点处有一只萤火虫，便决定捕捉它，于是它小心翼翼地向萤火虫爬去，若壁虎要在最短时间里获得一顿美餐，问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到萤火虫？
ＣＢ
Ａ
例：如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张
村Ａ和李庄Ｂ送水，已知张村Ａ、李庄Ｂ到河边的距离分别为２km和７km，且张、李二村庄距13km。
.Ｂ
Ａ.
河边
L
1、水泵站应建在什么地方，可使所用的水管最
短？请在图中设计出水泵站的位置；
２、如果铺设水管的工程费用为每千米1500元，为
使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？
例：如图：公路AB和公路CD在点P处交会，且 ∠APC=45°，点Ｑ处有一所小学，PQ＝ 120 2 m，假设拖拉机行驶时，周围130m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路AB上沿PA方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？若受影响，已知拖拉机的速度为36km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
A
E
∟
B
C D
二、勾股定理与辅助线的应用例３、如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ １＝ ∠ ２，ＣＤ＝１.５，ＢＤ＝２.５，求ＡＣ的长。
C D A
1 2
B
练习：如图，在△ABC中，∠Ａ＝90°， DE垂直平分BC，求证：
2 2 － AC AE BE ＝
2
A
E B
C
D
三、勾股定理与最值问题：
一、勾股定理与方程相结合
例 1 、如图，在矩形纸片 ABCD 中， AB＝ 12， BC
＝ 5 ，点 E 在 AB 上，将 △ DAE 沿 DE 折叠，使点

勾股定理的应用

勾股定理的应用例1 如图所示，有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m,两树相距8m,一只小鸟从一棵树的数梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？勾股定理在实际生活中的应用例2 如图所示，若在高为3m，斜坡长为5m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米？若楼梯宽2米，地每平方米地千毯30元，那么这块地毯需要花多少元？3．如图铁路上A、B两站（视为直线上两点）相距25km,C、D为两个村庄，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AC=15，DB=10，现在要在A、B之间建一个土特产品收购E，使得C、D两村到E的距离相等．（1）E应建在距A站多远处？（2）求村与土特产品收购围成的三角形的面积．如图所示，已知在三角形ABC中，腰AB=AC=13cm，底BC=24cm，求等腰三角形ABC的面积。

易误题1，在三角形ABC中，AB=3，BC=4，求AC的值。

2.在直角三角形ABC中，AC=9，BC=12，求AB2。

一定是直角三角形吗1，勾股定理的内容：2，如果用a,b和c分别表直角三角形的两条直角边和斜边，那么：直角三角形的判别条件如果三角形的三边长a,b,c满足例1，五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）D ．A ．B ．C ．例2.在三角形ABC 中，2222,2,n m c mn b n m a +==-=,其中m,n 是正整数，且m>n ，试判断△ABC 是不是直角三角形。

知识点2 勾股数满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。

常见的勾股数有：勾股数有无数组，一组勾股数中，各数的相同整数倍得到一组新的勾股数，如：3,4,5是勾股数，9,12,15也是勾股数。

注意：勾股数必须者是正整数！例3 判断下列各组数是不是勾股数：（1）3，4，7；（2）5，12，13；（3）；，，514131 （4）3，-4，5.典型例题剖析题型一数学与生活如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB=DC=8m ，AD=BC=6m ，AC=9m ，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？题型二开放探究题已知02510)13(1222=+-+-+-z z y x ,试判断以z y x ,,为三边长的三角形的形状。