02 张量概念 @@1
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对于单位矢量，点积ei· ej = ij ； 其他关于Kronecker符号的描述可以参考孙炳楠的《工程弹 塑性力学》及相关张量的其他文献。
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02
张量概念
ij 的作用与计算示例：
(1) ii 11 22 33 3
(2) ij ij (11 )2 ( 22 )2 ( 33 )2 3
ai bi xi
是违约的，求和时要保留求和号
a b x
i 1
n
i i i
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02
张量概念
例题：利用求和约定缩写下面线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
(6) ij l j li ij l j ij l j ( ij ij )l j
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张量概念
若e1，e2，e3是相互垂直的单位矢量，则
ei e j = ij ii ei ei = e1 e1 + e2 e2 + e3 e3 = 11 22 33 3
i 1 j 1 j 1 3 3
i 1 3 3
展开式（3项）
a21b2c1 a22b2c2 a33b2c3
a31b3c1 a32b3c2 a33b3c3
S aijk xi x j xk aijk xi x j xk
i 1 j 1 k 1
3
3
3
展开式（9项）
展开式（27项）
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3 j 1
张量概念
3 2
2 2 2 2 2 aii aii a11 a22 a33
ii
2
ii ( 11 22 33 )2 i 1
3 3 i 1 j 1
R3 C3 E3
规定： 出现双重指标但不求和时，在指标下方加划线 以示区别，或用文字说明（如 i 不求和）。
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又如，方程
2 1 2 2 2 3
张量概念
111 2 22 3 33
用指标法表示，可写成
i i i i i i i i i i i
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02
矢量V 的方式表示：
张量概念
V (v1 ,v2 ,v3 )
v1e1 v2e2 v3e2 vi ei i 1 vi
3
vi 代表矢量V 的所有分量，即当V 写作vi 时，指标的值 从1到3变化。又：
f (X ) f (xi )=f (x j )=f (x1,x2 ,x3 )
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1.1 张量概念
张量概念
◆ 张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介质力学的 重要数学工具。 ◆ 张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。 ◆ 任一物理现象都是按照一定的客观规律进行的，它们是 不以人们的意志为转移的。 ◆ 分析研究物理现象的方法和工具的选用与人们当时对客 观事物的认识水平有关，会影响问题的求解与表述。
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02
张量定义
张量概念
设（a1,a2,a3）、（b1,b2,b3）、……、（s1,s2,s3）是矢 量，Ti1i2…in是与坐标选择有关的3n个独立变量，若当 坐标变换时，n一次式
F ... Ti1i2 ...in ai1 bi2 ......sin
i1 1 i2 1 in 1
ij ij ij ij
1111 1212 1313 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33
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张量概念
关于下标的约定可以总结为以下三条规则：
采用交替的图解，也可以确定交错张量的符号。
U V eijku j vk ei
证明
U V eijku j vk ei
xi 和 xj 代表同一个矢量。
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02
1.3 求和约定
张量概念
关于哑标号应理解为取其变程N内所有数值，然后再 求和，这就叫做求和约定。
ai bi ai bi a1b1 a2b2 a3b3
aij b j aij b j ai1b1 ai 2b2 ai 3b3 aij bi c j aij bi c j a11b1c1 a12b1c2 a13b1c3
ei ei = i i
注意：ii是一个数值（3）
ij的作用：1）换指标；2）选择求和。
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例1：完成变换 Ai→Ak
张量概念
ki Ai kk Ak Ak
思路：把要被替换的指标 i 变成哑标，哑标能用 任意字母，因此可用变换后的字母 k 表示。
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……
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02
母可以任意改变。
张量概念
关于求和标号（哑标）说明：
◆ 由于哑指标在求和之后就不再出现，所以哑指标字
S ai xi a j x j ak xk
or or
◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。
◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前就
ij是张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号，亦称单
位张量,也叫置换算子.其定义为：
1, ij 0,
当 i j 时； 当 i j 时；
或：
1 0 0 ij 0 1 0 0 0 1
ijvj = vi 即在将ij 应用于vj 只是将vj中的j 用i 置换；
例2：完成变换 Tkj→Tij
ikTkj iiTij Tij 特别地 ik kj ij
ik kj jm im
例3 ：
Ami Anj
代表34=81个数，求 m=n时各项的和。
mn Ami Anj Ani Bnj Ami Bmj
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(3) ij jk i11k i 2 2k i 3 3k ik (4) aij ij a1111 a22 22 a33 33 aii (5) ai ij a11 j a2 2 j a3 3 j a j (即a1 , 或a2 , 或a3 )
1. 如果在一个方程或表达式的一项中，一种下标只出现一次， 则称之为自由指标，这种自由指标在表达式或方程的每一 项中必须只出现一次。 2. 如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标正好出现两 次，则称之为哑标，它表示从1到3求和。哑标在其他任何 项中可以刚好出现两次，也可以不出现。 3. 如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标出现的次数 多于两次，则是错误的。
先求和。
aii a a a
2 2 11 2 22 2
2 33 2
(aii ) (a11 a22 a33 )
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02
例外情况
张量概念
R1 C1E1 R2 C2 E2
Ri Ci E i C i Ei
这里 i 相当于一个自由指 标，而 i 只是在数值上等 于 i，并不与 i 求和。
解：作为第一步缩写，可以写成： a1 j x j b1
a 2 j x j b2 a3 j x j b3
最后可以缩写为： aij x j bi 其中i 称为自由标，j 称为哑标。
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02
张量概念
例题：Cij=AikBjk，的意义。
Cij=AikBjk，则表明i ，j为自由指标，k 为哑标 表示9个方程：
◆ 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向的物
理量，称为矢量（Vector） 。例如速度、加速度等。
◆ 绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需三个
分量来确定。
◆ 若我们以r 表示维度（如三维空间），以n 表示阶数，
则描述一切物理恒量的分量数目M 可统一地表示成：
M r
n
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别该张量的所有分量。
◆ 不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标号在其
方程内只罗列不求和。以自由标号的数量确定张量的 阶次。 ◆ 重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称为哑标 号或假标号。哑标号在其方程内先罗列，再求和。
◆ 如不特意说明，今后张量下标符号的变程，仅限于三
维空间，即变程为3。
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3
3
3
保持不变，则取决于脚标的3n个量Ti1i2…in 的集合称 为 n 阶张量，其中每个元素称为此张量的分量。 由一组坐标系变换到另一组坐标系时，研究对象的分量 若能按照一定规律变化，则称这些分量的集合为张量。
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02
1.2 指标记法
张量百度文库念
◆ 在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表示和区
02
张量概念
HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY
弹塑性力学
土木工程学院
工程力学学科组
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02
第1节
张量概念
张量概念及其基本运算
自然界的物质的性质和规律是一种客观存在， 不受描述它的方法的影响。 数学方法描述时，会引入坐标系。不同的坐标 系的选择，会使问题简单化或复杂化。 希望有某些数学量在描述物理现象时，尽量摆 脱具体坐标系的影响。
02
张量概念
◆ 统一称这些物理量为张量（Tensor） 。 当n = 0时，零阶张量，M = 1，标量； 当n = 1时，一阶张量，M = 31，矢量； 当n = 2时，二阶张量，M = 32，矩阵； 当取 n 时，n 阶张量，M = 3n。
◆ 二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直观的几何意
义，但它做为物理恒量，其分量间可由坐标变换关系式来 解决定义。
e123 e231 e312 1 e321 e213 e132 1 e111 e121 e232 0
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02
a11 a 21 a31 a12 a 22 a32
张量概念
a13 a 23 e rst a r1a s 2 a t 3 a33
◆ 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。
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02
张量概念
◆ 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明的物
理量，统称为标量（Scalar ）。例如温度、质量、功 等，在坐标变换时其值保持不变的量，即满足
, x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x3 ) ( x1
C11 A1k B1k A11B11 A12 B12 A13 B13 C12 A1k B2k A11B21 A12 B22 A13 B23 C13 A1k B3k A11B31 A12 B32 A13 B33 C21 A2k B1k A21B11 A22 B12 A23 B13 C33 A3k B3k A31B31 A32 B32 A33 B33
i 不参与求和，只在数值上等于 i
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02
关于自由标号：
标号字母相同。
张量概念
◆ 在同一方程式中，各张量的自由标号相同，即同阶且 ◆ 自由标号的数量确定了张量的阶次。
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02
1.4
张量概念
Kronecker delta（ij）符号
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02
1.5
张量概念
交错张量或置换符号(erst 符号)
erst 符号有33 = 27个元素，这些元素根据下标值规定为+1， -1，0。这种定义是根据将下标交换成1，2，3自然顺序所 需交换的次数而定的。如果下标交换次数为偶数，则元素 的值为1；若下标交换的次数为奇数，则元素的值为-1；若 下标出现重复，则元素的值为0。
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张量概念
ij 的作用与计算示例：
(1) ii 11 22 33 3
(2) ij ij (11 )2 ( 22 )2 ( 33 )2 3
ai bi xi
是违约的，求和时要保留求和号
a b x
i 1
n
i i i
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张量概念
例题：利用求和约定缩写下面线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
(6) ij l j li ij l j ij l j ( ij ij )l j
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张量概念
若e1，e2，e3是相互垂直的单位矢量，则
ei e j = ij ii ei ei = e1 e1 + e2 e2 + e3 e3 = 11 22 33 3
i 1 j 1 j 1 3 3
i 1 3 3
展开式（3项）
a21b2c1 a22b2c2 a33b2c3
a31b3c1 a32b3c2 a33b3c3
S aijk xi x j xk aijk xi x j xk
i 1 j 1 k 1
3
3
3
展开式（9项）
展开式（27项）
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3 j 1
张量概念
3 2
2 2 2 2 2 aii aii a11 a22 a33
ii
2
ii ( 11 22 33 )2 i 1
3 3 i 1 j 1
R3 C3 E3
规定： 出现双重指标但不求和时，在指标下方加划线 以示区别，或用文字说明（如 i 不求和）。
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又如，方程
2 1 2 2 2 3
张量概念
111 2 22 3 33
用指标法表示，可写成
i i i i i i i i i i i
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矢量V 的方式表示：
张量概念
V (v1 ,v2 ,v3 )
v1e1 v2e2 v3e2 vi ei i 1 vi
3
vi 代表矢量V 的所有分量，即当V 写作vi 时，指标的值 从1到3变化。又：
f (X ) f (xi )=f (x j )=f (x1,x2 ,x3 )
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1.1 张量概念
张量概念
◆ 张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介质力学的 重要数学工具。 ◆ 张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。 ◆ 任一物理现象都是按照一定的客观规律进行的，它们是 不以人们的意志为转移的。 ◆ 分析研究物理现象的方法和工具的选用与人们当时对客 观事物的认识水平有关，会影响问题的求解与表述。
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张量定义
张量概念
设（a1,a2,a3）、（b1,b2,b3）、……、（s1,s2,s3）是矢 量，Ti1i2…in是与坐标选择有关的3n个独立变量，若当 坐标变换时，n一次式
F ... Ti1i2 ...in ai1 bi2 ......sin
i1 1 i2 1 in 1
ij ij ij ij
1111 1212 1313 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33
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张量概念
关于下标的约定可以总结为以下三条规则：
采用交替的图解，也可以确定交错张量的符号。
U V eijku j vk ei
证明
U V eijku j vk ei
xi 和 xj 代表同一个矢量。
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1.3 求和约定
张量概念
关于哑标号应理解为取其变程N内所有数值，然后再 求和，这就叫做求和约定。
ai bi ai bi a1b1 a2b2 a3b3
aij b j aij b j ai1b1 ai 2b2 ai 3b3 aij bi c j aij bi c j a11b1c1 a12b1c2 a13b1c3
ei ei = i i
注意：ii是一个数值（3）
ij的作用：1）换指标；2）选择求和。
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例1：完成变换 Ai→Ak
张量概念
ki Ai kk Ak Ak
思路：把要被替换的指标 i 变成哑标，哑标能用 任意字母，因此可用变换后的字母 k 表示。
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……
13 / 50
02
母可以任意改变。
张量概念
关于求和标号（哑标）说明：
◆ 由于哑指标在求和之后就不再出现，所以哑指标字
S ai xi a j x j ak xk
or or
◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。
◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前就
ij是张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号，亦称单
位张量,也叫置换算子.其定义为：
1, ij 0,
当 i j 时； 当 i j 时；
或：
1 0 0 ij 0 1 0 0 0 1
ijvj = vi 即在将ij 应用于vj 只是将vj中的j 用i 置换；
例2：完成变换 Tkj→Tij
ikTkj iiTij Tij 特别地 ik kj ij
ik kj jm im
例3 ：
Ami Anj
代表34=81个数，求 m=n时各项的和。
mn Ami Anj Ani Bnj Ami Bmj
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(3) ij jk i11k i 2 2k i 3 3k ik (4) aij ij a1111 a22 22 a33 33 aii (5) ai ij a11 j a2 2 j a3 3 j a j (即a1 , 或a2 , 或a3 )
1. 如果在一个方程或表达式的一项中，一种下标只出现一次， 则称之为自由指标，这种自由指标在表达式或方程的每一 项中必须只出现一次。 2. 如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标正好出现两 次，则称之为哑标，它表示从1到3求和。哑标在其他任何 项中可以刚好出现两次，也可以不出现。 3. 如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标出现的次数 多于两次，则是错误的。
先求和。
aii a a a
2 2 11 2 22 2
2 33 2
(aii ) (a11 a22 a33 )
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例外情况
张量概念
R1 C1E1 R2 C2 E2
Ri Ci E i C i Ei
这里 i 相当于一个自由指 标，而 i 只是在数值上等 于 i，并不与 i 求和。
解：作为第一步缩写，可以写成： a1 j x j b1
a 2 j x j b2 a3 j x j b3
最后可以缩写为： aij x j bi 其中i 称为自由标，j 称为哑标。
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张量概念
例题：Cij=AikBjk，的意义。
Cij=AikBjk，则表明i ，j为自由指标，k 为哑标 表示9个方程：
◆ 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向的物
理量，称为矢量（Vector） 。例如速度、加速度等。
◆ 绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需三个
分量来确定。
◆ 若我们以r 表示维度（如三维空间），以n 表示阶数，
则描述一切物理恒量的分量数目M 可统一地表示成：
M r
n
4 / 50
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别该张量的所有分量。
◆ 不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标号在其
方程内只罗列不求和。以自由标号的数量确定张量的 阶次。 ◆ 重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称为哑标 号或假标号。哑标号在其方程内先罗列，再求和。
◆ 如不特意说明，今后张量下标符号的变程，仅限于三
维空间，即变程为3。
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3
3
3
保持不变，则取决于脚标的3n个量Ti1i2…in 的集合称 为 n 阶张量，其中每个元素称为此张量的分量。 由一组坐标系变换到另一组坐标系时，研究对象的分量 若能按照一定规律变化，则称这些分量的集合为张量。
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1.2 指标记法
张量百度文库念
◆ 在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表示和区
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张量概念
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弹塑性力学
土木工程学院
工程力学学科组
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第1节
张量概念
张量概念及其基本运算
自然界的物质的性质和规律是一种客观存在， 不受描述它的方法的影响。 数学方法描述时，会引入坐标系。不同的坐标 系的选择，会使问题简单化或复杂化。 希望有某些数学量在描述物理现象时，尽量摆 脱具体坐标系的影响。
02
张量概念
◆ 统一称这些物理量为张量（Tensor） 。 当n = 0时，零阶张量，M = 1，标量； 当n = 1时，一阶张量，M = 31，矢量； 当n = 2时，二阶张量，M = 32，矩阵； 当取 n 时，n 阶张量，M = 3n。
◆ 二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直观的几何意
义，但它做为物理恒量，其分量间可由坐标变换关系式来 解决定义。
e123 e231 e312 1 e321 e213 e132 1 e111 e121 e232 0
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a11 a 21 a31 a12 a 22 a32
张量概念
a13 a 23 e rst a r1a s 2 a t 3 a33
◆ 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。
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◆ 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明的物
理量，统称为标量（Scalar ）。例如温度、质量、功 等，在坐标变换时其值保持不变的量，即满足
, x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x3 ) ( x1
C11 A1k B1k A11B11 A12 B12 A13 B13 C12 A1k B2k A11B21 A12 B22 A13 B23 C13 A1k B3k A11B31 A12 B32 A13 B33 C21 A2k B1k A21B11 A22 B12 A23 B13 C33 A3k B3k A31B31 A32 B32 A33 B33
i 不参与求和，只在数值上等于 i
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关于自由标号：
标号字母相同。
张量概念
◆ 在同一方程式中，各张量的自由标号相同，即同阶且 ◆ 自由标号的数量确定了张量的阶次。
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张量概念
Kronecker delta（ij）符号
21 / 50
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1.5
张量概念
交错张量或置换符号(erst 符号)
erst 符号有33 = 27个元素，这些元素根据下标值规定为+1， -1，0。这种定义是根据将下标交换成1，2，3自然顺序所 需交换的次数而定的。如果下标交换次数为偶数，则元素 的值为1；若下标交换的次数为奇数，则元素的值为-1；若 下标出现重复，则元素的值为0。