02 张量概念 @@1
张量的知识点总结
张量的知识点总结一、张量的定义张量最早由数学家黎曼引入，描述了一种可以沿任意方向变化的数学对象。
在现代数学和物理学中，张量通常被定义为一种可以描述不同维度物理量间关系的数学对象。
张量是一个多维数组，它包括0维标量、1维向量、2维矩阵等，可以描述不同级别的物理量。
二、张量的特点1. 多维性：张量可以描述多维物理量之间的关系，可以用来描述空间中的各种物理量。
2. 方向性：张量可以沿任意方向变化，可以用来描述各种不同方向的物理量。
3. 连续性：张量可以描述连续的物理量，如电磁场、应力场等连续性的物理量。
三、张量的运算1. 张量的加法和减法张量的加法和减法与普通向量和矩阵非常类似，只不过在多维情况下需要注意张量的维度和方向。
2. 张量的乘法张量的乘法包括外积和内积两种，外积用于描述不同张量的叉乘关系，内积用于描述相同张量的点乘关系。
3. 张量的导数和积分张量的导数和积分是描述张量微分和积分的运算，包括对张量的微分和积分操作。
四、张量的应用1. 物理学中的应用张量在物理学中有着广泛的应用，可以描述各种力学量、电磁场、应力场等物理量之间的关系，同时也可以描述空间对称性和不变性等物理性质。
2. 工程学中的应用在工程学中，张量广泛应用于材料力学、流体力学、弹性力学等领域，能够描述各种物理场和物理量之间的相互作用和变化。
3. 计算机科学中的应用张量在深度学习和神经网络领域有着广泛应用，能够描述各种数据结构和数据间的关系，同时也可以描述各种算法和计算模型之间的联系。
五、结语张量作为一种描述多维物理量之间关系的数学对象，在物理学、工程学和计算机科学领域有着非常重要的应用。
对张量的深入理解和运用，对于理解和描述空间中的各种物理量和数据结构是至关重要的。
希望通过本文的总结，能够帮助读者更好地理解张量的概念和运用，为相关领域的学习和研究提供一定的帮助。
张量概念与基本运算
2
3
ii
2
( 11
22
33 )2
i1
33
ij ij
ij ij
i1 j1
1111 1212 1313
21 21 22 22 23 23
31 31 32 32 33 33
★ 关于求和标号,即哑标有： ◆ 求和标号可任意变换字母表示.
◆ 求和约定只适用于字母标号,不适用于数字标号.
、 、 、 当取n时,n阶张量,M = 3n.
◆ 张量的定义为：由若干坐标系改变时满足一定 坐标转化关系的有序数组成的集合.
◆ 张量是矢量和矩阵概念的推广.标量是0阶张量, 矢量是一阶张量,矩阵是二阶张量,而三阶张量 好比立体矩阵,更高阶张量则无法用图形表示
◆ 张量出现的背景：我们的目的是要用数学量来表示 物理量,可是标量加上向量都不能完整地表达所有 的物理量,所以物理学家使用的数学量的概念就 必须扩大,于是张量就出现了.
张量概念及其基本运算
1、张量概念
◆ 张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介 质力学的重要数学工具 .
◆ 张量分析具有高度概括、形式简洁的特点.
◆ 所有与坐标系选取无关的量,统称为物理恒量.
◆ 在一定单位制下,只需指明其大小即足以被说明 的物理量,统称为标量.例如温度、质量、功等.
◆ 在一定单位制下,除指明其大小还应指出其方向 的物理量,称为矢量.例如速度、加速度等.
(3) ij jk i11k i2 2k i3 3k ik
(4) aij ij a1111 a22 22 a33 33 aii
(5) ai ij a11 j a2 2 j a3 3 j a j (即a1,或a2 ,或a3 )
(6) ijl j li ijl j ijl j ( ij ij )l j
张量的基本概念(我觉得说的比较好-关键是通俗)
向量是在一个线性空间中定义的量，当这个线性空间的基变换时，向量的分量也跟着变换。
而一个线性空间有一个伴随的对偶空间。
张量是一个同时定义在几个线性空间的量，这几个线性空间的基可同时变换，或者只是只变换几个，此时，张量的分量也跟着变换。
我们一般见到的张量是同时定义在几个线性空间及其对偶空间里的量，在实际的符号表达中，就表现为同时有几个上指标和下指标，也即线性空间及其对偶空间。
张量其实是一种线性代数，即多重线性代数，从字面上理解，也正好是上面提到的“定义在多个线性空间的量”。
在流形中，一点的切空间正好同构于一个欧氏空间，也即，与一个欧氏空间的性质一样。
而这个欧氏空间有一个伴随的对偶空间，所以可以定义张量。
要对流形上张量作微分运算，必须比较流形上相距很近两点的张量的差，这就引出了联络的概念，而联络的概念的引出，需要这两个不同的点的欧氏空间是同构的。
进而发展了张量分析。
现代数学是建立在代数与拓扑基础上的，很多概念如果代数水平不行，是很难理解的。
比如泛函分析、纤维从理论等。
代数方面的知识，最好能掌握抽象代数的概念，进而掌握交换代数的知识。
其实，线性代数是很多现代数学概念的基础，而线性代数的核心就是空间的概念。
而现在，我们国内工科学的线性代数只是讲一讲矩阵、矩阵运算、特征值、特征向量、二次形等等。
线性代数的精髓概念根本涉及不到。
这也就造成了很多同学理解现代数学中很多概念的困难。
现代数学的一个非常重要的方法论就是公理化的方法。
这是希尔伯特在其《几何基础》中最先明确提出的，这本书当初得到了彭加莱的很高的评价。
公理化思想的威力我当初是在学习《实变函数论》这门课时深刻体会到的。
武熙鸿老师的《黎曼几何初步》中，则是处处渗透着公理化的思想，读来颇有味道。
应该这样说，是低阶张量被我们找到了可以比拟的物理意义，但张量本身并不需要具有几何比拟其实，张量是有很强的几何背景的，不管是低阶的，还是高阶的。
这主要是因为现代张量的定义是建立在线性空间概念的基础上的。
《张量基础知识》课件
线性变换是指一个向量到另一个向量的映射，保持向量的加法和数乘运算。
3 奇异值分解(SVD)
奇异值分解是将矩阵分解为三个矩阵乘积的形式，被广泛应用于数据降维和信号处理。
总结
1 张量的概述
2 张量的运算和应用
张量是一种多维数组，用于表示和处理多 维数据。
《张量基础知识》PPT课 件
# 张量基础知识
什么是张量？
1 张量的定义
张量是一种多维数组， 用于表示和处理多维数 据。它具有多个轴和形 状，可以存储和计算多 维数据。
2 张量的基本特征
张量具有数据类型、维 度和形状。它可以是标 量、向量、矩阵或更高 维度的数组。
3 张量的分类
张量根据维度和形状的 不同可以分为标量、向 量、矩阵和高阶张量。
2 张量的象性
3 张量的幺模性
张量的象性描述了张量 在基向量变换下的行为。 张量的象性可以用来研 究线性变换和坐标变换。
张量的幺模性表示张量 在坐标变换中的不变性。 幺模张量在物理和拓扑 学中具有重要应用。
张量的相关概念
1 秩(rank)
秩是张量的非零元素的个数。秩为0的张量是标量，秩为1的张量是向量。
张量具有丰富的运算和广泛的应用，涵盖 物理学、数学和机器学习等领域。
3 张量的性质和相关概念的介绍
4 知识点总结
张量具有特定的性质和相关概念，如对称 性、象性和幺模性。
总结张量基础知识的关键概念和要点。
Q&A
1 相关问题解答
回答听众提出的与张量基础知识相关的问题。
2 课程结束
感谢听众参与本次张量基础知识课程， 张量乘法
张量加法是对应位置元素的相加操作。两 个形状相同的张量可以直接相加。
张量的基本概念及应用
张量的基本概念及应用张量是数学和物理学中的一个基本概念，它可以用于描述多维数据集、向量和矩阵等多种数学对象。
下面是张量的基本概念以及一些应用领域：基本概念：1.张量的阶次：张量的阶次是指它有多少个坐标轴（或维度）。
标量是零阶张量，向量是一阶张量，矩阵是二阶张量，依此类推。
2.张量的分量：张量的每个分量表示在各个坐标轴上的数值，这些分量可以是实数或复数。
3.张量的坐标系变换：张量的坐标系变换是指将张量从一个坐标系转换到另一个坐标系，这在物理学中非常常见。
张量的分量会根据坐标系的变化而变化，但张量的物理含义保持不变。
应用领域：1.相对论物理：在爱因斯坦的广义相对论中，使用度规张量来描述时空的弯曲，以及质点在弯曲时空中的运动。
2.量子力学：在量子力学中，使用态矢量（波函数）来描述粒子的状态，这可以看作是一种复数张量。
3.机器学习和深度学习：在深度学习中，神经网络中的权重和激活值可以表示为张量。
张量的高阶表示可以用于处理多维数据，如图像和时间序列数据。
4.工程学：张量在工程领域中用于处理多维数据，如应力张量用于描述物体的受力分布，流体动力学中的速度梯度张量等。
5.图像处理：在计算机视觉领域，图像通常表示为三维张量（宽度、高度、颜色通道），张量运算用于图像处理和分析。
6.地质学和地球物理学：张量在描述地质应力、地震波传播等方面有广泛的应用。
7.生物学：在分子生物学中，蛋白质折叠和DNA结构可以使用张量来建模。
8.计算流体动力学：在模拟流体行为时，使用张量来表示流体的速度梯度，从而预测流体的行为。
总之，张量是一个非常通用且强大的数学工具，它在各种学科和应用领域中都有广泛的应用，用于描述和处理多维数据和复杂的数学对象。
张量的基本概念
张量的基本概念
嘿，咱来说说“张量”是啥玩意儿哈。
有一回我看一本很复杂的物理书，里面提到了张量。
我当时就懵了，这是啥神秘的东西呢？后来我专门去研究了一下。
张量呢，简单来说就是一种比普通数字和向量更复杂的东西。
就像你玩游戏，有普通的道具，还有那种很厉害很复杂的超级道具。
张量就有点像那个超级道具。
比如说，我们平时说的速度、力这些都是向量，只有大小和方向。
但是张量呢，它可以描述更多的信息。
我记得有一次，我看到一个工程师在计算桥梁的受力情况。
他就用到了张量，因为桥梁的受力很复杂，不是简单的一个方向的力就能说清楚的。
所以啊，张量就是一种很厉害的数学和物理工具，可以帮助我们描述更复杂的情况。
下次你看到那些很复杂的科学问题的时候，说不定就有张量在里面发挥作用呢。
两点变换张量
两点变换张量摘要：一、两点变换张量的概念1.变换张量的定义2.两点变换张量的特点二、两点变换张量的性质1.线性性质2.结合律3.单位元和逆元三、两点变换张量的应用1.图像处理2.机器学习3.信号处理四、两点变换张量的局限性及发展方向1.局限性2.发展方向正文：两点变换张量（Two-point Transform T ensor）是一种在数学和物理学中广泛应用的张量，具有重要的理论和实际意义。
本文将对两点变换张量的概念、性质、应用及局限性进行探讨。
首先，我们来了解两点变换张量的概念。
变换张量是一个多元函数，用于描述各向同性物理系统中一点的物理量如何随着空间位置的变化而变化。
两点变换张量是在两个空间点之间进行变换的张量，具有以下特点：1）具有对称性，即对空间点的顺序不敏感；2）具有反对称性，即当两个空间点重合时，变换张量为零。
接下来，我们来探讨两点变换张量的性质。
1）线性性质：两点变换张量满足线性组合的性质，即任意两个变换张量相加（或相乘）仍为变换张量；2）结合律：两点变换张量的结合律满足交换律和结合律；3）单位元和逆元：存在单位元和逆元，使得任意两点变换张量可以通过单位元和逆元进行变换。
两点变换张量在许多领域都有广泛应用。
在图像处理领域，两点变换张量可以用于图像的扭曲、缩放和旋转等变换；在机器学习领域，两点变换张量可以用于特征提取和降维等任务；在信号处理领域，两点变换张量可以用于信号的时频分析。
然而，两点变换张量也存在局限性。
例如，当应用于非线性问题时，线性变换张量的性质可能不再成立。
此外，随着实际应用问题的复杂性不断增加，对两点变换张量的理论研究和发展也提出了更高的要求。
张量概念及其基本运算
张量概念•标量：不依赖于坐标系，只有大小没有方向的物理量。
如物体的质量、密度、体积及动能、应变能等。
•张量：向量的推广。
在一个坐标系下，它是由若干个数(称为分量)来表示，而在不同坐标系下的分量之间应满足一定的变换规则，如矩阵、多变量线性形式等。
一些物理量如弹性体的应力、应变以及运动物体的动量等都需用张量来表示。
张量的阶•一阶张量：由3个独立的量组成的集合称为一阶张量，又称为矢量或向量，即既有大小又有方向的物理量，如空间中某点的几何位置和位移。
•二阶张量：由9个独立的物理量组成的集合，如空间中某点的应力、应变等•n阶张量：由3n个分量组成的集合张量的阶◆现令n 为这些物理量的阶次，并统一称这些物理量为张量。
当n =0时，零阶张量，M = 1，标量；当n =1时，一阶张量，M = 3，矢量；、、、当取n 时，n 阶张量，M = 3n 。
张量的表示(下标记法)•点的坐标：(x,y,z) →x i (i=1,2,3)•应力张量：•n阶张量可以表示为：n阶张量的下标有n个。
()3,2,1;3,2,1333231232221131211==→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡j i ij σσσσσσσσσσ()3,2,1;3,2,1;3,2,1a 21i 21===n i i i i i nEinstein求和约定•求和约定：在用下标记号法表示张量的某一项时，如有两个下标相同，则表示对此下标从1-3求和,而重复出现的下标称为求和标号（哑标），不重复出现的下标称为自由标号,可取从1至3的任意值∑=++==31332211i i ii i b a b a b a b a b a ∑=++==31332211j i i i j ij j ij b a b a b a b a b a ()23322112312)(σσσσσ++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=i ii ii ∑∑===3131i j ijij ij ij εσεσ131312121111εσεσεσ++=232322222121εσεσεσ+++333332323131εσεσεσ+++2332222113122a a a a a j ii ii ++==∑=★关于求和标号，即哑标有：◆求和标号可任意变换字母表示。
张量及其性质的介绍及应用
张量及其性质的介绍及应用张量是一个线性空间到它自身或另一个线性空间的多重线性映射，是现代数学、物理学和工程学中极为重要的概念之一。
在许多领域，张量用来描述物理系统、分析数据结构和解决优化问题，因此对于张量的理解和应用是非常有意义的。
1. 张量的定义和性质1.1 张量的概念一个张量可以被定义为一个多维数组，它由一些数值构成，并且这些数值是根据某些规律排列成矩阵、向量或其他更高阶的数组。
这些规律可以通过不同的方式表示，例如作为矩阵的元素、矢量空间中的向量或在一些几何空间中的点。
1.2 张量的性质张量有一些独特的性质，包括线性性、多重线性性、对称性、反对称性等。
这些属性让它们非常适合用来描述物理现象或建模数据，并且能够应用于各种学科领域。
2. 张量的应用2.1 物理学中的应用在物理学中，张量可以用来描述物理系统的不同特征，例如电磁场、流体力学和广义相对论。
它们的应用能够使得物理学模型更为准确和精确，并且帮助科学家更好地理解基本的物理过程。
2.2 工程学中的应用在工程学中，张量常用于解决力学问题、对结构进行优化和分析，例如应力分析、材料疲劳和结构动力学。
张量的应用能够帮助工程师更好地理解和优化物理系统，从而提高系统的性能和功能。
2.3 数据分析中的应用在数据分析中，张量可以被用来解决各种优化问题，例如图像和语音处理、人工神经网络、数据压缩和信号分析。
张量的应用能够使数据分析更加准确和高效，从而提高数据处理的速度和效率。
3. 总结张量的概念和性质在数学、物理学和工程学等领域中都有重要的应用，能够被用来描述物理系统、分析数据结构和解决优化问题。
希望本文对于读者能够提供张量的基本概念及其应用的介绍，使人们更加深入地理解张量在各种学科中的应用及其优越性。
二阶张量的定义
二阶张量的定义二阶张量是线性代数中的一个重要概念。
在数学和物理学领域中，二阶张量被广泛应用于描述物质的性质、力学系统的行为以及电磁场的传播等问题。
本文将介绍二阶张量的定义和一些基本性质，以及其在实际应用中的意义。
我们来定义二阶张量。
在线性代数中，一个二阶张量可以被视为一个二维矩阵，它具有两个索引，通常用小写字母的下标表示。
一个二阶张量可以用以下形式表示：T_ij其中，i和j是张量的两个索引，可以取1、2、3等整数值。
这个二阶张量有四个分量，分别是T_11、T_12、T_21、T_22。
这些分量可以对应于矩阵的四个元素。
二阶张量的分量具有特定的变换规律。
当坐标系发生变换时，二阶张量的分量也会相应地发生变化。
具体而言，对于一个二阶张量T_ij，在坐标系变换下，其分量会按照以下规则进行变换：T_ij' = R_i^k * R_j^l * T_kl其中，T_ij'是变换后的二阶张量的分量，R_i^k和R_j^l是坐标系变换矩阵。
这个变换规律保证了二阶张量在不同坐标系下的表示是相容的。
二阶张量具有一些重要的性质。
首先，二阶张量可以进行加法和数乘运算，即两个二阶张量可以相加，一个二阶张量可以与一个标量相乘。
其次，二阶张量还可以进行张量积运算，即两个二阶张量可以进行分量乘积并相加的运算。
这些运算使得二阶张量具有了更强大的描述能力。
在实际应用中，二阶张量有着广泛的应用。
在物质力学中，二阶张量可以描述物质的应力和应变。
通过应力张量和应变张量的组合，可以得到物质的弹性模量和刚度矩阵等重要性质。
此外，在电磁学中，电磁场的张量表示也是一个二阶张量，可以用来描述电磁场的分布和传播。
二阶张量还在图像处理、机器学习等领域中有着重要的应用，例如图像的卷积运算和神经网络的权重矩阵等。
总结起来，二阶张量是线性代数中的一个重要概念，用于描述具有两个索引的二维矩阵。
二阶张量具有特定的变换规律和运算性质，可以用于描述物质的性质、力学系统的行为以及电磁场的传播等问题。
1_2张量的定义
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K
B ，通常记为
T
:
K A
6
K B
=
T
(
AK )
(3)
这里线性是指
T
(
K A
+
K B
)
=
T
(
AK )
+
T
(
K B
)
,
T
(
aAK )
=
aT
(
AK )
。设在某一个
K
坐标系中， A 用分量表示为 Aj xˆ j ，由于映射是线性的，有
K B
=
T
(
AK )
=
T
(
Aj
xˆ j
)
=
AjT
⎧+1 = ⎨⎪−1
δ kl δ km δ kn
⎪ ⎩
0
(ijk ) is an even permutation of (lmn) (ijk ) is an odd permutation of (lmn)
otherwise
(13)
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由此可得到排列符号的一些常用性质
ε ε ijk lmk
也就是说，在新的坐标系中映射T 的分量矩阵为
T ′ = λTλT
(8)
因此，所有从矢量到矢量的线性映射都是一个 2 阶张量。
( ) K
KK
最简单的线性映射是恒等映射 I : A → I A = A ，显然在任一坐标系中
其分量矩阵都是单位矩阵 Iij = δij ；主动意义下的转动也是这样一个线性映射，
张量与张量积的定义与计算
张量与张量积的定义与计算张量是现代数学与物理学中非常重要的概念。
它广泛应用于各个领域，包括线性代数、微积分、物理学、工程学等。
在本文中，我们将介绍张量的基本概念、定义以及张量积的计算方法。
一、张量的定义张量可以看作是向量和矩阵的推广。
在物理学和工程学中，张量用于描述空间中的物理量。
在数学上，张量可以定义为多维数组，在不同的坐标系下有不同的分量表示。
在线性代数中，张量的定义可以从张量空间的角度看待。
假设V是一个n维向量空间，那么V的p阶张量空间可以表示为V ⊗ V ⊗⋯⊗V（一共p个V）。
其中⊗表示张量积，它是一种多重线性映射的二元运算。
二、张量积的定义张量积是以外积的方式组合两个向量的操作。
设有两个向量a和b，它们的张量积可以表示为a⊗b。
具体来说，张量积的结果是一个矩阵，其中每个元素由两个向量的对应元素相乘而得。
如果a是一个m维列向量，b是一个n维行向量，那么a⊗b的结果是一个m×n的矩阵。
矩阵中的每个元素由a和b的对应元素相乘得到。
三、张量积的计算计算张量积需要按照一定的规则进行。
具体来说，如果矩阵a和矩阵b的大小分别是m×n和p×q，那么它们的张量积可以通过以下步骤计算：1. 创建一个大小为(m×p)×(n×q)的零矩阵。
2. 遍历矩阵a的每个元素aij。
3. 将矩阵b的每个元素乘以aij，并将结果放入零矩阵中对应的位置。
计算完所有的元素后，得到的零矩阵就是矩阵a和矩阵b的张量积。
四、应用场景张量和张量积在各个领域都有重要的应用。
例如，在物理学中，张量用于描述力、能量、电磁场等物理量。
在工程学中，张量可用于描述应力、应变、磁场等。
此外，张量积还在机器学习和神经网络中扮演重要的角色。
在深度学习中，神经网络的参数可以表示为张量，通过计算张量积可以进行复杂的运算。
总结：本文介绍了张量与张量积的定义与计算方法。
张量是一种多维数组，在物理学和工程学中被广泛应用。
张量的概念
第一章 张量的概念§ 1.1 引言什么是张量？这是读者在开始学习本课程时会提出的问题，现从读者已有的力学知识出发，举例对这个问题作一些初步的阐述，使读者对张量这个新的概念，有个初步的理解。
有三维空间，一个矢量（例如力矢量、速度矢量等）在某些参考坐标系中，有三个分量，这三个分量的集合，规定了这个矢量。
当坐标变化换时 ，这些分量按一定的变换法则变换。
在力学中还有一些更复杂的量。
例如受力物体内一点的应力状态，有9个应力分量，如以直角坐标表示，用矩阵形式列出，则有()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛σσσσσσσσσ=σzz zyzxyz yy yxxz xy xx ij 这9个分量的集合，规定了一点的应力状态，称为应力张量。
当坐标变换时，应力张量的分量按一定的变换法则变换，再如，一点的应力状态，具有和应力张量相似的性质，称为应变张量。
把上述的力矢量、速度矢量、应力张量、应变张量等量的性质抽象化，撇开它们所表示的量的物理性质，抽出其数学上的共性，便得出抽象的张量概念。
所谓张量是一个物理量或几何量，它由在某参考坐标系中一定数目的分量的集合所规定，当坐标变换时，这些分量按一定的变换法则变换。
张量有不同的“阶”和“结构”，这由它们所遵循的不同的变换法则来区分。
矢量是一阶张量；应力张量、应变张量是二阶张量；还有三阶、四阶、......等高阶张量。
可以看出，张量是矢量概念的推广。
关于张量的严密的解析定义，将在 § 1.8中讨论。
由张量的特性可以看出，它是一种不依赖于特定坐标系的表达物理定律的方式。
采用张量记法表示的方程，在某一坐标系中成立，则在容许变换的其它坐标系中也成立，即张量方程具有不变性。
这使它特别适合于表达物理定律，因为物理定律与人们为了描述它所采用的坐标系无关。
因此，张量分析为人们提供了推导基本方程的有力工具。
此外，张量记法简洁，是一种非常精炼的数学语言。
张量这个名词是沃伊特（V oigt ）首先提出的，用来表示晶体的应力（张力）状态，可见张量分析与弹性力学关系的密切。
2第02章张量分析(第01讲)
①实体记法： U 3
∑ ②分解式记法：U = u1e1 + u2e2 + u3e3 = uiei
③分量记法 ui
i =1
二阶张量的记法：
2.2 矢量
2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5
矢量代数 标量积 矢量积 三重积 标量场和矢量场
2.2.1 矢量代数
矢量既有大小又有方向，在坐标系中通 常用箭头表示。
哈密顿算子
式中
∇=(∂ , ∂ , ∂ )
∂x ∂y ∂z
拉普拉斯算子
Δ = ∇⋅∇ = ∂2 + ∂2 + ∂2
∂x2 ∂y2 ∂z2
• 矢量的散度：
∇ ⋅V = ∂v1 + ∂v2 + ∂v3 ∂x ∂y ∂z
• 矢量的旋度：
e1
e2
∇ ×V = curlV = ∂ / ∂x ∂ / ∂y
v1
U ×V = −(V ×U ) U × (V ×W) ≠ (U ×V) ×W • 一个矢量与其自身的矢量积为零矢量。
• 应用：力F作用于位置矢量为r的点A，则力 F绕原点的力矩为：
M =r×F
2.2.4 三重积
• 三重标量积：
u1 u2 u3 U ⋅ (V ×W) = v1 v2 v3 = (U ×V) ⋅W
∂f ∂l
= lim
ρ →0
f ( x + Δx, y + Δy, z + Δz) − ρ
f ( x, y, z) ,
（ 其中 ρ = (Δx)2 + (Δy)2 + (Δz)2 ）
设方向 L 的方向角为α , β , γ .
当函数在此点可微时，那么函数在该点沿任意方
张量基础知识分解
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率 张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定 律可表示为
J E
11 12 13 21 22 23 31 32 33
张量的定义：一般来说，在物理学中，有一些量需要用9个分
量来描述，这种物理量就是二阶张量。
2.2 张量的数学定义
描述物理量的矢量和张量应与坐标轴的选择无关。就是 说，当坐标轴变换时，矢量和张量的所有分量都随之变换， 但作为描述物理量的矢量和张量本身是不变的。因此，分量
的变换必有一定的规律。接下来我们就来讨论一下坐标变换
时分量变换的规律。
一、坐标变换 如图所示，设有直角坐标
称9的a的分量组成的方阵称为坐标变换矩阵或方向余弦矩阵， 它简明的表示出了新老坐标之间变换的规律。
二、矢量分量的变换 设有一矢量p,其在旧坐标系中的分量为p1,p2,p3, 在新坐标系中的分量为p1*,p2*,p3*,由于是同一个 矢量p,故有
p p1e1 p 2e2 p 3e3 p * 1e * 1 p * 2e * 2 p * 3e * 3
点操作时发生改变，这称为赝标量。
二、矢量
有一些物理量，它既有大小，又有方向，如力、速度、
电场强度等，这些物理量需要指明其大小和方向才能完全描 述，称为矢量。取直角坐标系OX1X2X3,设有矢量 f ，在三 个坐标轴方向上的投影分别为 f 1, f 为： f ( f 1, f 2, f 3) 。
或表示成分量形式
Ji ijEj （i 1, 2 , 3 )
j 1
3
矩阵形式
J 1 11 12 13 J 2 21 22 23 J 3 31 32 33
《张量基础知识》课件
提供数学工具
详细描述
弹性力学中的张量提供了丰富的数学工具，用于描述和 计算弹性材料的应力和变形，如弹性波传播、材料稳定 性等。
04
张量在机器学习中的应用
深度学习中的张量
深度学习中的张量用于表示多维 数据，如图像、语音和文本等。
张量可以高效地存储和计算大规 模数据，支持自动微分和反向传 播算法，使得深度学习模型能够
总结词
描述微观粒子的自旋和角动量
详细描述
量子力学中的张量也用于描述微观粒子的自旋和角动量等 性质，这些性质在量子力学中非常重要，是理解微观粒子 行为的关键。
总结词
提供数学工具
详细描述
量子力学中的张量提供了丰富的数学工具，用于描述和计 算微观粒子的状态和相互作用，如量子纠缠、量子门操作 等。
弹性力学中的张量
张量的分类
根据不同的分类标准，可以将张量分为多种类型。
根据张量的阶数，可以分为零阶张量（即标量）、一阶张量（即向量）、二阶张量（即矩阵）等。根据张量的变数个数，可 以分为纯量张量、二阶张量、三阶张量等。根据张量的对称性，可以分为对称张量、反对称张量、正交张量等。根据张量的 具体应用领域，可以分为物理张量、工程张量、医学张量等。
总结词
提供数学工具
详细描述
广义相对论中的张量提供了丰富的数学工具，用于描述 和计算引力场中的物理现象，如光线传播、星体运动等 。
量子力学中的张量
总结词
描述微观粒子的状态和相互作用
详细描述
在量子力学中，张量被用来描述微观粒子的状态和相互作 用，如狄拉克符号中的矩阵和向量等。这些张量提供了描 述微观粒子波函数的数学工具。
快速训练和优化。
张量在深度学习中还用于实现各 种复杂的神经网络结构，如卷积 神经网络、循环神经网络和注意
张量的概念及基本运算
张量的概念及基本运算
张量是一种多维数组或矩阵的扩展，它在数学和物理学中被广泛使用。
它具有多个维度，可以表示向量、矩阵、高维数据等。
在数学中，张量可以用来描述线性映射和向量空间中的向量运算。
它有以下几个重要的基本运算：
1. 张量加法：对应位置上的元素相加。
例如，对于两个2×2的张量A和B，其加法运算可以表示为A + B = [a11+b11, a12+b12; a21+b21, a22+b22]。
2. 张量乘法：张量的乘法分为两种情况，即内积和外积。
- 内积：也称为点积或数量积，用于计算两个张量之间的标量结果。
对于两个向量A和B，内积可以表示为A·B = a1b1 + a2b2 + ... + anbn。
- 外积：也称为叉积或向量积，用于计算两个向量之间的向量结果。
对于两个向量A和B，外积可以表示为A×B = [a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1]。
3. 张量的转置：将张量的行和列进行交换，得到的新张量。
例如，对于一个2×3的张量A，其转置可以表示为A^T = [a11, a21; a12, a22; a13, a23]。
4. 张量的缩并：也称为张量的收缩，是指对张量中的某些维度进行求和运算。
例如，对于一个3维的张量A，可以通过缩并某个维度，得到一个降维后的张量。
这些是张量的一些基本概念和运算，它们在数学、物理学、计算
机科学等领域都有广泛的应用。
02 张量概念
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02 张量概念
1.2 指标记法
在张量的讨论中，都采用下标字母符号， ◆ 在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表示和区 别该张量的所有分量。 别该张量的所有分量。 不重复出现的下标符号称为自由标号 自由标号。 ◆ 不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标号在其 方程内只罗列不求和。以自由标号的数量确定张量的 方程内只罗列不求和。 阶次。 阶次。 重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称为哑标 ◆ 重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称为哑标 号或假标号。哑标号在其方程内先罗列，再求和。 假标号。哑标号在其方程内先罗列，再求和。 如不特意说明，今后张量下标符号的变程， ◆ 如不特意说明，今后张量下标符号的变程，仅限于三 维空间，即变程为3。 维空间，即变程为3
i =1 j =1
j =1 3 3
+a21b2c1 + a22b2c2 + a33b2c3
+a31b3c1 + a32b3c2 + a33b3c3
aijk xi x j xk = ∑∑∑aijk xi x j xk
i =1 j =1 k =1
3
3
3
展开式（ 项 展开式（9项）
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展开式（ 项 展开式（27项）
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02 张量概念
若我们以r 表示维度（如三维空间）， ），以 表示阶数， ◆ 若我们以 表示维度（如三维空间），以n 表示阶数， 则描述一切物理恒量的分量数目M 可统一地表示成： 则描述一切物理恒量的分量数目 可统一地表示成：
M =r
n
统一称这些物理量为张量（ 统一称这些物理量为张量（Tensor） 。 ） 0时 零阶张量， 1，标量； 当n = 0时，零阶张量，M = 1，标量； 矢量； 当n = 1时，一阶张量，M = 31，矢量； 时 一阶张量， 当n = 2时，二阶张量，M = 32，矩阵； 时 二阶张量， 矩阵； 阶张量， 当取 n 时，n 阶张量，M = 3n。
哈工大弹塑性力学02_张量概念
◆ 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。
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张量概念
◆ 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明的物
理量，统称为标量（Scalar ）。例如温度、质量、功 等，在坐标变换时其值保持不变的量，即满足
, x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x3 ) ( x1
哈工大 土木关于下标的约定可以总结为以下三条规则：
1. 如果在一个方程或表达式的一项中，一种下标只出现一次， 则称之为自由指标，这种自由指标在表达式或方程的每一 项中必须只出现一次。 2. 如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标正好出现两 次，则称之为哑标，它表示从1到3求和。哑标在其他任何 项中可以刚好出现两次，也可以不出现。 3. 如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标出现的次数 多于两次，则是错误的。
i 1 3 3
展开式（3项）
a21b2c1 a22b2c2 a33b2c3
a31b3c1 a32b3c2 a33b3c3
aijk xi x j xk aijk xi x j xk
i 1 j 1 k 1
3
3
3
展开式（9项）
展开式（27项）
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张量概念
HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY
弹塑性力学
土木工程学院
工程力学学科组
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第1 节
1.1 张量概念
张量概念
张量概念及其基本运算
◆ 任一物理现象都是按照一定的客观规律进行的，它们是 不以人们的意志为转移的。
两点变换张量
两点变换张量【原创版】目录1.介绍两点变换张量的概念2.阐述两点变换张量的性质和特点3.讨论两点变换张量在计算机视觉和图像处理领域的应用4.总结两点变换张量的重要性和发展前景正文1.介绍两点变换张量的概念两点变换张量，又称为仿射变换张量，是一种在计算机图形学和计算机视觉领域中常用的数学概念。
它是一种描述空间中点或者物体的变换关系的矩阵，主要用于描述从一个参考系到另一个参考系的空间变换。
在二维或三维空间中，一个点经过仿射变换后，其变换后的位置可以通过原始位置、变换矩阵和变换向量来计算。
2.阐述两点变换张量的性质和特点两点变换张量的主要性质有：线性性、齐次性、不变性等。
其中，线性性是指变换矩阵与变换向量的乘积可以得到变换后的向量；齐次性是指变换矩阵与标量相乘可以得到缩放后的变换矩阵；不变性是指变换矩阵在变换过程中保持不变。
两点变换张量的特点有：可以描述平移、旋转、缩放等空间变换；具有较强的通用性和适应性；可以通过变换矩阵和变换向量实现对变换效果的控制。
3.讨论两点变换张量在计算机视觉和图像处理领域的应用在计算机视觉和图像处理领域，两点变换张量被广泛应用于图像变换、特征提取、目标检测和跟踪等任务。
例如，在图像变换中，可以通过变换矩阵实现对图像的平移、旋转、缩放等操作；在特征提取中，可以通过变换矩阵对特征点进行变换，从而提高特征匹配的准确性；在目标检测和跟踪中，可以通过变换矩阵对目标的位置进行预测和更新。
4.总结两点变换张量的重要性和发展前景两点变换张量在计算机视觉和图像处理领域具有重要意义，它为空间变换提供了一种通用的数学描述方法。
随着计算机视觉和图像处理技术的不断发展，两点变换张量在许多任务中发挥着越来越重要的作用。
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1.1 张量概念
张量概念
◆ 张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介质力学的 重要数学工具。 ◆ 张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。 ◆ 任一物理现象都是按照一定的客观规律进行的，它们是 不以人们的意志为转移的。 ◆ 分析研究物理现象的方法和工具的选用与人们当时对客 观事物的认识水平有关，会影响问题的求解与表述。
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02
矢量V 的方式表示：
张量概念
V (v1 ,v2 ,v3 )
v1e1 v2e2 v3e2 vi ei i 1 vi
3
vi 代表矢量V 的所有分量，即当V 写作vi 时，指标的值 从1到3变化。又：
f (X ) f (xi )=f (x j )=f (x1,x2 ,x3 )
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02
3 j 1
张量概念
3 2
2 2 2 2 2 aii aii a11 a22 a33
ii
2
ii ( 11 22 33 )2 i 1
3 3 i 1 j 1
例2：完成变换 Tkj→Tij
ikTkj iiTij Tij 特别地 ik kj ij
ik kj jm im
例3 ：
Ami Anj
代表34=81个数，求 m=n时各项的和。
mn Ami Anj Ani Bnj Ami Bmj
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张量定义
张量概念
设（a1,a2,a3）、（b1,b2,b3）、……、（s1,s2,s3）是矢 量，Ti1i2…in是与坐标选择有关的3n个独立变量，若当 坐标变换时，n一次式
F ... Ti1i2 ...in ai1 bi2 ......sin
i1 1 i2 1 in 1
ij ij ij ij
1111 1212 1313 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33
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张量概念
关于下标的约定可以总结为以下三条规则：
别该张量的所有分量。
◆ 不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标号在其
方程内只罗列不求和。以自由标号的数量确定张量的 阶次。 ◆ 重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称为哑标 号或假标号。哑标号在其方程内先罗列，再求和。
◆ 如不特意说明，今后张量下标符号的变程，仅限于三
维空间，即变程为3。
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ai bi xi
是违约的，求和时要保留求和号
a b x
i 1
n
i i i
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张量概念
例题：利用求和约定缩写下面线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
(3) ij jk i11k i 2 2k i 3 3k ik (4) aij ij a1111 a22 22 a33 33 aii (5) ai ij a11 j a2 2 j a3 3 j a j (即a1 , 或a2 , 或a3 )
C11 A1k B1k A11B11 A12 B12 A13 B13 C12 A1k B2k A11B21 A12 B22 A13 B23 C13 A1k B3k A11B31 A12 B32 A13 B33 C21 A2k B1k A21B11 A22 B12 A23 B13 C33 A3k B3k A31B31 A32 B32 A33 B33
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张量概念
◆ 统一称这些物理量为张量（Tensor） 。 当n = 0时，零阶张量，M = 1，标量； 当n = 1时，一阶张量，M = 31，矢量； 当n = 2时，二阶张量，M = 32，矩阵； 当取 n 时，n 阶张量，M = 3n。
◆ 二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直观的几何意
义，但它做为物理恒量，其分量间可由坐标变换关系式来 解决定义。
i 不参与求和，只在数值上等于 i
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关于自由标号：
标号字母相同。
张量概念
◆ 在同一方程式中，各张量的自由标号相同，即同阶且 ◆ 自由标号的数量确定了张量的阶次。
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1.4
张量概念
Kronecker delta（ij）符号
R3 C3 E3
规定： 出现双重指标但不求和时，在指标下方加划线 以示区别，或用文字说明（如 i 不求和）。
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又如111 2 22 3 33
用指标法表示，可写成
i i i i i i i i i i i
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1.5
张量概念
交错张量或置换符号(erst 符号)
erst 符号有33 = 27个元素，这些元素根据下标值规定为+1， -1，0。这种定义是根据将下标交换成1，2，3自然顺序所 需交换的次数而定的。如果下标交换次数为偶数，则元素 的值为1；若下标交换的次数为奇数，则元素的值为-1；若 下标出现重复，则元素的值为0。
解：作为第一步缩写，可以写成： a1 j x j b1
a 2 j x j b2 a3 j x j b3
最后可以缩写为： aij x j bi 其中i 称为自由标，j 称为哑标。
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张量概念
例题：Cij=AikBjk，的意义。
Cij=AikBjk，则表明i ，j为自由指标，k 为哑标 表示9个方程：
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张量概念
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第1节
张量概念
张量概念及其基本运算
自然界的物质的性质和规律是一种客观存在， 不受描述它的方法的影响。 数学方法描述时，会引入坐标系。不同的坐标 系的选择，会使问题简单化或复杂化。 希望有某些数学量在描述物理现象时，尽量摆 脱具体坐标系的影响。
◆ 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向的物
理量，称为矢量（Vector） 。例如速度、加速度等。
◆ 绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需三个
分量来确定。
◆ 若我们以r 表示维度（如三维空间），以n 表示阶数，
则描述一切物理恒量的分量数目M 可统一地表示成：
M r
n
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◆ 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。
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张量概念
◆ 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明的物
理量，统称为标量（Scalar ）。例如温度、质量、功 等，在坐标变换时其值保持不变的量，即满足
, x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x3 ) ( x1
ij是张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号，亦称单
位张量,也叫置换算子.其定义为：
1, ij 0,
当 i j 时； 当 i j 时；
或：
1 0 0 ij 0 1 0 0 0 1
ijvj = vi 即在将ij 应用于vj 只是将vj中的j 用i 置换；
3
3
3
保持不变，则取决于脚标的3n个量Ti1i2…in 的集合称 为 n 阶张量，其中每个元素称为此张量的分量。 由一组坐标系变换到另一组坐标系时，研究对象的分量 若能按照一定规律变化，则称这些分量的集合为张量。
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1.2 指标记法
张量概念
◆ 在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表示和区
(6) ij l j li ij l j ij l j ( ij ij )l j
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张量概念
若e1，e2，e3是相互垂直的单位矢量，则
ei e j = ij ii ei ei = e1 e1 + e2 e2 + e3 e3 = 11 22 33 3
ei ei = i i
注意：ii是一个数值（3）
ij的作用：1）换指标；2）选择求和。
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例1：完成变换 Ai→Ak
张量概念
ki Ai kk Ak Ak
思路：把要被替换的指标 i 变成哑标，哑标能用 任意字母，因此可用变换后的字母 k 表示。
采用交替的图解，也可以确定交错张量的符号。
U V eijku j vk ei
证明
U V eijku j vk ei
i 1 j 1 j 1 3 3
i 1 3 3
展开式（3项）
a21b2c1 a22b2c2 a33b2c3
a31b3c1 a32b3c2 a33b3c3
S aijk xi x j xk aijk xi x j xk