112旋转体的概念
旋转体的概念
【引入】旋转体的概念平面上一条封闭曲线所围成的区域绕着它所在平面上的一条定直线旋转而形成的几何体叫做旋转体。
该定直线叫做旋转体的轴。
如：【圆柱】将矩形ABCD绕其一边AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱AB所在的直线叫做圆柱的轴线段AD和BC旋转而成的圆面叫做圆柱的底面线段CD旋转形成的曲面叫做圆柱的侧面CD叫做圆柱的一条母线圆柱的两个底面间的距离叫做圆柱的高。
圆柱有无穷多条母线，且所有母线都与轴平行。
经过圆柱的轴的截面叫圆柱的轴截面【圆锥】将直角三角形ABC绕其一条直角边AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥AB所在的直线叫做圆锥的轴点A叫做圆锥的顶点直角边BC旋转所形成的圆面叫做圆锥的底面斜边AC旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面斜边AC叫做圆锥的一条母线圆锥的顶点到底面间的距离叫做圆锥的高圆锥有无穷多条母线，且所有母线都相交于圆锥的顶点，每条母线与轴的夹角都相等。
【问题】1、举出生活中的圆柱、圆锥的实例2、圆柱与圆锥的轴截面是什么图形？3、将圆柱或圆锥的侧面沿着一条母线剪开，并展开铺平，会得到什么样的图形？【练习】轴截面为等边三角形的圆锥，它的侧面展开图扇形的圆心角的弧度数是多少？【球】将圆心为O的半圆绕其直径AB所在的直线旋转一周，所形成的几何体叫做球，记作：球O半圆的圆弧所形成的曲面叫做球面点O叫做球心把原来圆的半径叫做球的半径与直径过球心的圆叫做球的大圆，不经过球心的圆叫做球的小圆。
O是AB上的【例1】设AB是球O的直径，AB=10，'点，平面 通过点'O，且垂直于AB，截得圆'O，当'O满足下列条件时，求圆'O 的半径：(1)'4OO = (2)'2OO =【练习】1、与球的一条直径垂直的大圆有多少个？2、在球O 上，满足下列条件的大圆有多少个?它们的相互位置如何？(1)经过球面的点P （2）经过球面上不同的两点P ，Q ，且P 、Q 、O 不共线(3)经过球面上不同的两点P ，Q ，且P 、Q 、O 共线。
旋转体的概念
侧面
AB所在直线叫做圆锥的轴。
点A叫做圆锥的顶点。 直角边BC旋转而成的圆面叫做 圆锥的底面。
斜边AC旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。 斜边AC叫做圆锥侧面的一条母线。 圆锥的顶点到底面间的距离（即AB的长度） 叫做圆锥的高。
问题1：圆锥的母线有多少条？ 它们之间有何关系？ 性质1 圆锥有无穷多条母线，所有的 母线都相交于圆锥的顶点，且与轴的 夹角都相等。 问题2：圆锥的底面有多少个？ 它们与轴有何关系？ 性质2 圆锥的底面一个是圆面， 且垂直于轴.
V
Q
F1
O2
F2
M P
O1
母 线
侧面
C 底面 B
问题1：圆柱的母线有多少条？ 它们 之间有何关系？ 性质1 圆柱有无穷多条母线，所有的 母线都相等且与轴平行
问题2：圆柱的底面有多少个？ 它们与轴有何关系？ 性质2 圆柱有两个相互平行的底面且 垂直于轴。
轴 D 底面 A
思考：
母 线
1、用垂直于轴的平面截圆柱， 所得截面是何种图形？
椭圆
双曲线
抛物线
古希腊数学家Dandelin在圆锥截 面的两侧分别放置一球，使它们 都与截面相切（切点分别为F1， F2），又分别与圆锥面的侧面相 切（两球与侧面的公共点分别构 成圆O1和圆O2）．过M点作圆锥 面的一条母线分别交圆O1，圆O2 与P，Q两点，因为过球外一点 作球的切线长相等，所以 MF1 = MP，MF2 = MQ， MF1 + MF2 ＝MP + MQ ＝ PQ＝定值
C 底面 B
侧面
2、用经过轴的平面截圆柱， 所得截面是何种图形？
3、把圆柱的侧面沿一条母线 展开，所得图形是哪种图形？
旋转体的概念
旋转体的对称 轴数量：旋转 体可以有多个 对称轴，但只 有一个主对称
轴。
旋转体的对称 性分类：根据 旋转体的几何 特性，可以分 为轴对称、中 心对称、旋转 对称等类型。
04
旋转体的物理特性
旋转体的转动惯量
定义：物体转动惯量是指物体转动时，惯性大小的量度 计算公式：I=mr^2，其中m是质量，r是质点到旋转轴的距离 物理意义：转动惯量是描述旋转体转动状态的物理量，与旋转体的质量和形状等因素有关 应用：在物理学、工程学等领域中，转动惯量是研究旋转体运动规律的重要参数
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测量技术：采用高精度测量仪器， 对旋转体的各项参数进行测量， 以评估其性能和精度。
数据处理：对实验数据进行处理 和分析，提取有用的信息，进一 步验证旋转体的性能和仿真结果 的可靠性。
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汇报人：
05
旋转体的动力学特 性
旋转体的动力学方程
旋转体的动力学 方程是描述旋转 体运动状态的重 要公式，由牛顿 第二定律推导而 来。
旋转体的动力学 方程包括角动量 守恒定律和角动 量定理，它们描 述了旋转体的转 动惯量、力矩和 角速度之间的关 系。
旋转体的动力学 方程还包括科里 奥利力和离心力 等效应，这些效 应在高速旋转或 非惯性参考系中 尤为重要。
航空航天：旋转体的 应用也涉及到航空航 天领域，如飞机的螺 旋桨、直升机的旋翼 等。
交通运输：旋转体的 应用还涉及到交通运 输领域，如汽车的轮 胎、火车的车轮等。
日常生活：旋转体 的应用也涉及到我 们的日常生活，如 电风扇的叶片、洗 衣机的工作原理等。
03
旋转体的几何特性
旋转体的几何描述
旋转体的定义：由一个平面图形绕该平面内的一条直线旋转一周形成的立体 旋转体的轴：旋转时所围绕的那条直线 旋转体的面：由旋转体上任意一点与旋转轴构成的平面 旋转体的体积：由旋转体的几何特性所决定的立体体积
旋转体的概念
O
O
圆柱的每一条母线都与轴平行
圆柱的侧面沿一条母线剪开后展开成 矩形
圆锥的结构特征
定义：将直角三角形绕其一条直角边所在直线选 转一周所形成的几何体叫做圆锥。 （1）绕其旋转的直线叫做圆锥的轴。 （2） 垂直于轴的边旋转而成的 顶点 圆面叫做圆锥的底面。
S 母 线
（3）不垂直于轴的边旋转而成 轴 的曲面叫做圆锥的侧面。 （4）无论旋转到什么位置,不 垂直于轴的边都叫做圆锥的母 线。 （5）顶点到底面的距离叫做圆锥 的高
例题讲解
例1（1）．如图，将直角梯形ABCD绕AB边所 在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪 些简单几何体构成的？
D A C B
（2）如图，将平行四边形ABCD绕AB边所在的直线 旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体 构成的？
D A B C
2、判断题：
（1）在圆柱的上下底面上各取一点，这两点的连
线是圆柱的母线．
（2）与圆柱的轴平行的截面是矩形．
（
（
）
） ）
（3）与圆锥的轴平行的截面是等腰三角形． （
例3.1）已知圆柱的底面半径是2cm，高是3cm，求 圆柱的轴截面矩形的对角线长。
2)圆柱的高为 4 cm ，底面半径为 3 cm ， 已知上底面一条半径 OA 与下底面的一条 半径 O B 成 60º角。求： （1） 直线 AB 与圆柱的轴 OO 所成的角的 正切值； （2）线段 AB 的长。
侧 面
A
O B
圆锥的性质
S
平行于底面的截面都是圆。
O
O
过轴的截面（轴截面）是全等的等腰 三角形
圆锥的每一条母线都交于顶点， 与轴的夹角都相等
圆锥的侧面沿一条母线剪开后展开成 扇形
上海高二数学下册--09—旋转体
高二数学春季班（教师版）1、旋转体的概念（1）平面上一条封闭曲线所围成的区域绕着它所在平面上的一条定直线旋转而形成的几何体叫做旋转体，该定直线叫做旋转体的轴； （2）圆柱：将矩形ABCD 绕其一边AB 所在直线旋转一周，所形成的的几何体叫做圆柱；AB 所在直线叫做圆柱的轴；线段AD 和BC 旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；线段CD 旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；CD 叫做圆柱侧面的一条母线； 圆柱的两个底面间的距离（即AB 的长度）叫做圆柱的高（3）圆锥：将直角三角形ABC （及其内部）绕其一条直角边AB 所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥；AB 所在直线叫做圆锥的轴；点A 叫做圆锥的顶点； 直角边BC 旋转而成的圆面叫做圆锥的底面； 斜边AC 旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面； 斜边AC 叫做圆锥侧面的一条母线；圆锥的顶点到底面间的距离叫做圆锥的高．旋转体知识梳理【性质】根据圆柱的形成过程易知：① 圆柱有无穷多条母线，且所有母线都与轴平行；② 圆柱有两个相互平行的底面.【性质】根据圆锥的形成过程易知：① 圆锥有无穷多条母线，且所有母线相交于圆锥的顶点；② 每条母线与轴的夹角都相等.（4）球：将圆心为O 的半圆绕其直径AB 所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做球；半圆的圆弧所形成的曲面叫做球面，把点O 称为球心，把原半圆的半径和直径分别称为球的半径和球的直径．2、侧面积、表面积和体积圆柱，圆锥的侧面积：=c l =2r l S π圆柱侧，其中r ，c 分别为圆柱的底面半径、周长，l 为母线长； 1=c l =r l2S π圆锥侧，其中r ，c 分别为圆锥的底面半径、周长，l 为母线长. 圆柱、圆锥的体积2=h =r h V S π圆柱，其中S 为底面积，h 为高，r 为底面半径； 211=h=r h 33V S π圆锥，其中S 为底面积，h 为高，r 为底面半径。
1、旋转体的概念【例1】有下列命题:①在圆柱的上､下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线； ②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线； ③过球面上任意两点和球心有且只有一个大圆； ④圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的. 其中正确的是( )A .①②；B .②③；C .①③；D .②④. 【难度】★ 【答案】D【例2】下列命题中的真命题是（ ）例题解析【补充】① 球心到球面上任意点的距离都相等； ② 任意平面与球面的交线都是圆；当平面通过球心时，所得交线是大圆；当平面不通过球心时，所得交线是小圆.A ．以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；B ．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆柱；C ．圆柱、圆锥的底面都是圆；D ．圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径． 【难度】★ 【答案】C【例3】用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是 （ ） A 、圆锥 B 、圆柱 C 、球体 D 、以上都有可能 【难度】★ 【答案】B【巩固训练】1．用一张长、宽分别为cm cm 12,8的矩形纸张卷成一个没有底面的圆柱筒，则圆柱的底面积为 ． 【难度】★ 【答案】ππ16,362．轴截面是正方形的圆柱叫等边圆柱。
旋转体的结构特征课件
旋转体制造的基本流程
准备原料
选择合适的材料，如铸铁、铸钢 、有色金属等。
模具设计
根据产品要求，设计旋转体的模 具。
模具制造
根据设计图纸，制造出精确的旋 转体模具。
加工与清理
对旋转体进行进一步的加工和清 理，以满足使用要求。
冷却与脱模
让旋转体在模具中冷却，然后从 模具中脱出。
熔炼与浇注
将金属熔炼成液态，注入旋转体 模具中。
• 详细描述：风力发电机是一种利用风能进行发电的装置，其主体结构包括叶片 、轮毂、主轴、齿轮箱、发电机等部分。其中，叶片和轮毂是风力发电机的重 要结构特征。
• 总结词：叶片是风力发电机中捕捉风能的关键部件，其形状、材料和结构对风 能利用率和发电效率有着重要影响。
• 详细描述：叶片的材料一般采用玻璃纤维或碳纤维复合材料，具有轻质、高强 度、耐腐蚀等特点。同时，叶片的形状设计也需要经过精密的计算和试验，以 确保在捕捉风能的同时，不会发生气动弹性失稳等问题。
旋转体的结构特征课件
• 旋转体概述 • 旋转体的结构组成 • 旋转体的力学特性 • 旋转体的稳定性分析 • 旋转体的制造工艺 • 旋转体的应用案例分析
01
旋转体概述
旋转体的定义
旋转体是指由一个或多个平面图 形围绕其所在平面上某条直线旋
转一周所形成的立体图形。
旋转体由底面和顶面组成，底面 和顶面可以是封闭的或不封闭的
铸造式轮毂的制造需要使用模 具和型芯等工具，因此制造成 本较低。但是，铸造过程中容 易出现气孔、缩孔等缺陷，导 致轮毂的强度和可靠性下降。
案例三：大型桥梁的支撑结构的设计
• 总结词：大型桥梁的支撑结构是桥梁安全和稳定性的重要保障，其设计需要考 虑到结构强度、稳定性、耐久性等因素。
旋转体
地球上的纬度与经度各指什么？ 北纬某 某度
横 为 纬 纵 为 经
例:已知地球的半径约为6371千米,上海的位置 约为东经121°27´,北纬31°8´,台北的位置约 为东经121°27´,北纬 25°5´.求两个城市之间 的距离.(结果精确到1千米). 同经不同纬型
672千米
例:已知北京的位置约为东经116°,北纬40°, 纽约的位置约为西经74°,北纬40°,求两个 城市之间的距离(结果精确到1千米) 同纬不同经型
旋转体
旋转体的概念
一个平面图形绕它所在平面上的一条定直 线旋转而成的几何体叫做旋转体。 该定直线叫做旋转体的轴。
A
A
D
O
B C
B C
C
一、圆柱： 1、将矩形ABCD（及其内部）绕其一条边AB所 在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆 柱。
2、圆柱的表面积与体积
S 侧 2 rh
A
D
S 全 2 rh 2 r
问题1：
与球的一条直径垂直的大圆有多少个？
一个
问题2：
在球O上，满足下列条件的大圆有多
少个？它们的相互位置如何？ 无数个 （1）经过球面上的点P; （2）经过球面上不同的两点P、Q，且 P、Q、O不共线； 一个 （3）经过球面上不同的两点P、Q，且 P、Q、O共线
无数个
球心与截面的圆心的连线垂直于截面
三、球
将圆心为O的半圆（及其内部）绕其直径所 在的直线旋转一周，所形成的几何体叫做 球，记作球O。 半圆的圆弧所形成的曲面叫做球面。 点O到球面上任意点的距离相等，把点O称 为球心。 把原半圆的半径和直径分别 称为球的半径和球的直径。
O C
空间几何中的旋转体与曲面
空间几何中的旋转体与曲面在空间几何学中，旋转体与曲面是两个重要的概念。
它们在数学、物理和工程等领域中有广泛的应用。
本文将介绍旋转体和曲面的基本概念、性质以及相关应用。
一、旋转体旋转体是指一个平面图形绕某条轴线旋转一周形成的立体图形。
其中，轴线一般为与平面图形平行且在平面图形上的一条线段。
旋转体的旋转轴可以是任意方向，但最常见的是绕坐标轴旋转。
常见的旋转体有圆柱体、圆锥体和球体等。
圆柱体是指一个平行于坐标轴的圆形截面绕着与圆形截面相交的一条轴线旋转一周形成的立体图形。
圆锥体是指一个与坐标轴相交的锥面绕着与坐标轴相交的一条轴线旋转一周形成的立体图形。
球体则是指一个半径为r的球面绕着与球面上一点相交的一条轴线旋转一周形成的立体图形。
旋转体具有一些重要的性质。
首先，旋转体的体积可以通过积分来计算。
对于平行于坐标轴的旋转体，可以通过在相应坐标轴上的积分来计算体积。
其次，旋转体的表面积也可以通过积分来计算。
对于平行于坐标轴的旋转体，可以通过在相应坐标轴上的积分来计算表面积。
最后，旋转体具有对称性，其旋转轴是旋转体上任意一点到旋转轴的垂直平分线。
旋转体在日常生活和工程设计中有广泛的应用。
例如，食品加工业中的螺旋输送器和搅拌机就是基于旋转体的原理设计的。
此外，在建筑设计中，许多建筑物的柱子、圆形窗户等也是基于旋转体的形状。
二、曲面曲面是指由平面曲线沿曲线上的点运动而成的曲线。
曲面可以是平面曲线在空间中沿其曲线方向上运动形成的曲面，也可以是曲线在空间中绕曲线旋转形成的曲面。
常见的曲面有圆锥曲面、椭球面和双曲面等。
圆锥曲面是指一个与坐标轴相交的锥面，其侧面是一条直线和一个圆锥交线。
椭球面是指一个椭球体的表面，主要用来描述地球的形状。
双曲面是指一个双曲抛物面或双曲抛物柱面的表面，其形状类似于双曲线。
曲面也具有一些重要的性质。
首先，曲面可以通过参数方程或隐函数方程来表示。
参数方程是指用一个或多个参数来表示曲面上的点，隐函数方程则是指用一个或多个未知数的方程来表示曲面上的点。
高中数学 必修2 15.3旋转体的概念
4、过圆柱轴的平面去截圆柱所得的截面（轴 截面）是矩形，这个矩形的一组对边等于圆 柱的高，另一组对边是圆柱底面直径。
思考：平行于圆柱底面的截面，经过圆 柱任意两条母线的截面分别是什么图形？
思考：经过圆柱的轴的截面称为轴截面， 你能说出圆柱的轴截面有哪些基本特征
（4）与圆锥的轴平行的截面是等腰三角形．
例题：
例1.用一张６×８的矩形纸卷成一个圆柱， 求其轴截面的面积．
例2 已知一个圆锥的轴截面是正三角形， 圆锥的底面半径为6cm，求圆锥的高。
吗？
数学运用
例2．指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的？
三、圆锥
（一）概念
定义：将直角三角形ABC
S
及其内部绕其一直角边
AB所在直线旋转一周， 所形成的几何体叫做圆锥。
母 线
名称：轴，顶点，底面，
侧面，母线，高。
A
O
记法和画法：圆锥AB
思考：圆锥有哪些性质？
顶点
轴 侧 面
底面
B
三、圆锥
•半圆的圆心叫做球心.
•一个球用它的球心字母
来表示，例如 球O.
A
O
B
•连结球心和球面上任意一点的
线段叫做球的半径.（线段OP) •连结球面上两点并经过球心的
线段叫做球的直径.（线段AB) • 球体与球面的区别？
①球面：半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面. ②球(即球体):球面所围成的几何体.
它包括球面和球面所包围的空间.
二、圆柱
（一）概念
• 定义：将矩形ABCD及其内部
绕其一边AB所在直线旋转一 周，所形成的几何体叫做圆柱。D
高中数学沪教版高三第一学期1旋转体的概念PPT全文课件
请在讲义上指出两个旋转体的轴、母线，思考它们的高如何表示？
高中数学沪教版高三第一学期1旋转体 的概念 PPT全 文课件 【完美 课件】
圆柱的性质
Q1圆柱有多少条母线？它们的位置关系怎样？
• (1)圆柱有无穷多条母线，且所有母线都与轴平行；
Q2圆柱几个底面？它们的位置关系怎样？
• (2)圆柱有两个相互平行的底面；
圆柱
圆锥
半圆 球
1．旋转体的概念
•平面上一条封闭曲线所围成的区域绕着它所在平面上的
一条定直线旋转而形成的几何体叫旋转体，该定直线叫 做旋转体的轴．
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圆柱
圆锥
圆柱定义：如图，将矩形 ABCD（及其内部）绕其一条边 AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱.
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圆锥的性质
•
请类比圆柱的性质进行提问，并得到相关结论
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例题1
高中数学沪教版高三第一学期1旋转体 Hale Waihona Puke 概念 PPT全 文课件 【完美 课件】
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Q3圆柱的轴经过那几个点？圆柱的高可以同哪条线段表示？
• (3)上下底面圆心的连线垂直圆柱的底面；
Q1圆柱的截面可能有几种？有哪些特征？
• (4)三个截面的性质——平行于底面的截面是与底面全等的圆面； • 轴截面是一个以上、下底面圆的直径和母线所组成的矩形； • 平行于轴线的截面是一个以上、下底的圆的弦和母线组成的矩形．
高一数学旋转体知识点
高一数学旋转体知识点旋转体是高中数学中一个重要的几何概念，也是学习数学的基石之一。
通过学习旋转体的知识，我们可以更深入地理解几何形体的特性和属性。
本文将以旋转体为主题，结合实际应用和数学公式，探讨旋转体的相关知识点。
1. 表面积与体积旋转体的表面积和体积是我们研究的核心内容之一。
以一个圆为例，我们将它绕着直线旋转一周，形成一个圆柱体。
对于一个任意形状的曲线，我们可以通过旋转来得到一个旋转体。
表面积和体积的计算公式如下：表面积(S) = 2π r h + π r^2体积(V) = π r^2 h其中，r表示旋转的曲线所围成的圆的半径，h表示曲线的长度。
例如，我们有一个半径为2厘米的圆弧，长为6厘米。
将其绕x轴旋转一周，可以得到一个旋转体。
根据公式，该旋转体的表面积为2π×2×6+π×2^2=104π厘米^2，体积为π×2^2×6=24π厘米^3。
2. 旋转体的分类根据旋转轴的不同，旋转体可以分为三类：圆锥、圆柱和圆盘。
圆锥是指以一个尖端为顶点，底面为底，绕一个与底面不平行的轴线旋转而成。
圆锥的侧面积可以通过求直角三角形的斜边，在乘以半径得到。
圆锥的体积计算则用的是圆柱的体积公式。
圆柱是指绕与底面平行的轴线旋转而成的旋转体。
圆柱的侧面积是一个矩形的面积，可以通过底面周长乘以高得到。
圆柱的体积被定义为底面积乘以高。
圆盘是指绕垂直于底面的轴线旋转而成的旋转体。
圆盘的表面积就是底面积的两倍，体积则等于底面积乘以高。
3. 实际应用旋转体的概念和计算在实际生活中有着广泛的应用。
以下是一些例子：水箱体积的计算：当我们需要计算一个储水箱的容量时，可以将其切割成一个个扇形，然后通过求和来计算总体积。
汽车轮胎的制造：汽车轮胎是一个复杂的曲面结构，我们可以通过旋转体来计算轮胎的重量、表面积等参数，从而合理设计轮胎的结构。
摩天大楼的造型设计：摩天大楼的建筑设计中，往往涉及到旋转体的计算。
旋转体的形心坐标公式
旋转体的形心坐标公式（实用版）目录1.旋转体的概念及性质2.形心坐标公式的定义3.形心坐标公式的推导过程4.形心坐标公式的应用实例正文一、旋转体的概念及性质旋转体是指由一个曲线绕着一个固定轴旋转形成的立体图形。
在数学中，我们通常研究旋转体的质心、形心等物理量的计算方法。
形心是指一个物体在受到外力作用时，物体各部分受到的力的矢量和的平衡点。
对于旋转体而言，形心坐标具有重要的物理意义和应用价值。
二、形心坐标公式的定义形心坐标公式是指描述一个旋转体形心位置的数学公式。
设一个旋转体由曲线 C 绕着 z 轴旋转生成，其形心坐标为 (x, y, z)。
根据定义，形心坐标满足以下条件：1.形心到旋转轴的距离等于形心到曲线 C 上任意一点的距离的平均值；2.形心坐标与曲线 C 上任意一点的连线垂直于旋转轴。
三、形心坐标公式的推导过程为了推导形心坐标公式，我们假设一个旋转体由曲线 C 绕着 z 轴旋转生成，曲线 C 的参数方程为：x = x(u, v)y = y(u, v)z = z(u, v)其中，(u, v) 是参数，x、y、z 是曲线 C 上任意一点的坐标。
设形心坐标为 (x", y", z")，我们需要求解 x"、y"和 z"关于参数 (u, v) 的表达式。
根据形心的定义，形心到旋转轴的距离等于形心到曲线 C 上任意一点的距离的平均值。
因此，我们可以建立如下方程：|x" * z"(u, v) - z(u, v)| / √(x"^2 + y"^2 + z"^2) = 1 / ∫∫|x * z(u, v) - z(u, v)| dudv其中，∫∫表示对参数 (u, v) 的二重积分。
为了进一步求解形心坐标，我们还需要引入一个辅助曲线 C_aux，使得 C_aux 与 C 在每个点处的切线平行。
设 C_aux 的参数方程为：x = x(u, v)y = y(u, v)z = c * z(u, v)其中，c 为待定常数。
旋转体的概念23页PPT
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
23
旋转体的概念
1、 舟 遥 遥 以 轻飏， 风飘飘 而吹衣 。 2、 秋 菊 有 佳 色，裛 露掇其 英。 3、 日 月 掷 人 去，有 志不获 骋。 4、 未 言 心 相 醉，不 再接杯 酒。 5、 黄 发 垂 髫 ，并怡 然自乐 。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
生活设计与数学知识——旋转体的概念
生活设计与数学知识——旋转体的概念※陈莉设计背景：很多学生常常存在“学数学有什么用”这样的疑惑。
因而新教材中已经增加了不少数学应用方面的知识，然而还是有不少学生有着“数学知识没有用处”这样的观点。
作为基础学科的数学，不得不面临这样的悲哀。
事实上生活中有很多用品，建筑等，其设计的灵感都是来源于生活中的创意和一定数学知识的依托。
如果我们善于用发现的眼光来看待这些设计，就不难从中发现一些数学的知识概念，而这些恰恰能很好的向学生展示数学之“用”。
本课从一个创意家具设计入手，从设计出发，发现数学知识概念，再由知识出发，用发现的眼光来观察身边的事物中的数学之“用”。
创意思路：只有有用的知识才有学习的价值。
只有让学生认同了知识本身的价值感，才能更好的激发学生的学习原动力。
通过创意家具的视频展示，揭示其中的数学知识，让学生在发现中学习知识，并在学习知识中发现知识的“用”，让数学课堂不在处于知识的表面，题海的深处。
设计目标：通过对生活中的创意设计的观察，让学生理解数学中旋转体的概念，并掌握圆柱、圆锥中母线等数学概念。
通过学生对数学概念的理解，发现生活中旋转体的知识应用实例。
让学生运用所学的数学知识，设计独特的实验，验证球是旋转体。
通过学习让学生最终体会数学应用之美、之巧、之妙，之“用”。
实施步骤：1．生活中的创意设计的展示一个好的设计中，往往蕴涵了不少浅显易懂的知识，而这个设计的展示，就是让学生看到知识之“用”的成果。
1.1视频展示：1.2展示后的思考：家具设计的多变和奇特，在第一时间就吸引了学生的注意力，在短短的几分中的展示过程中，学生从中发现了一个非常关键的动作――旋转，正是因为旋转，才有了各种各样不用的造型。
教师提问：椅子的S 型、U 型、圆形都是如何旋转形成的？学生的回答中不乏含有“第一个纸板”、“绕着”、“轴”等这样的词汇。
而这正与旋转体的定义不谋而合。
转体的定义：我们把平面上一条封闭曲线所围成的区域绕着它所在平面上的一条定直线旋转而形成的几何体叫做旋转体。
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思考：下列图形绕着指定直线旋转一周后的图形。。。
矩形
直角三角形
半圆
圆柱
圆锥
球
旋转体概念
旋转体的概念 由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线 旋转所形成的封闭几何体. 这条定直线叫做旋转体的轴.
圆柱定义、概念
圆柱的概念
定义：以矩形一边所在直线为旋转轴，其余三边 旋转形成的面所围成旋转体叫做圆柱。
另一个端点，走 则的 蚂最 蚁短 所路程为？
2r
h
最短 路h2程 42r2
空 折间 叠与 与平 展面 开的
转 化
题型 3 有关截面问题 【例 3】 一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面， 则在图 1-1-7 中，可能是截面的是__________．
图 1-1-7 思维突破：在组合体内取截面时，要注意交点是否在截面 上，如：当截面过对角面时，得(2)；当截面平行正方体的其中 一个侧面时，得(3)；当截面不平行于任一侧面且不过对角面时， 得(1)，只要是过球心就不可能截出(4)． 答案：(1)(2)(3)
① OO’ ⊥截面圆O’
② r R2 d2
2、大圆
ß
经过球心的截面圆
小圆 不经过球心截面圆
3. 过球的直径的大圆有 无数个
过球面上一点P的大圆有 无数个
O Rd
rO '
截面
.o
练习 1：给出下列命题，其中正确命题的个数是( C ) ①圆柱的底面是圆；②经过圆柱任意两条母线的截面是一
个矩形；③连接圆柱上下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；
探究提高 解决该类题目需准确理解几何体的定 义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通 过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错 误的，设法举出一个反例即可.
【例 4】 如图 1-1-8，甲、乙、丙、丁是不是棱锥、棱台、 圆柱、圆锥等几何体？
甲
乙
丙
丁
图 1-1-8
易错分析：致错的原因是根据相应的概念的某一个结论去 判断几何体，判断的依据不充分，应该按照空间几何体的定义 去判断，或按照与定义等价的条件去判断．
圆台表示
2、圆台的表示：用表示它的轴的字母表 示，如圆台OO′
ห้องสมุดไป่ตู้3、圆台与棱台统称为台体。
O'
底面
轴
侧面
母线
O
底面
圆台性质
圆台的性质
O’ O
平行于底面的截面都是圆。
过轴的截面（轴截面）是全等的等腰 梯形
圆台的每一条母线延长都交于一点 ，与轴的夹角都相等
圆台的侧面沿一条母线剪开后展开成 扇环
球定义、概念
其中真命题的序号是
.
思维启迪 利用有关几何体的概念判断所给命题
的真假.
解析 命题①符合平行六面体的定义,故命题①是 正确的,底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底 面不垂直,故命题②是错误的,因直四棱柱的底面 不一定是平行四边形,故命题③是错误的,命题④ 由棱台的定义知是正确的. ⑤是圆台的另一种定义 形式； ⑥中形成的是球面而不是球. 答案 ①④⑤
O
（1）旋转轴叫做圆柱的轴。
（2） 垂直于轴的边旋转而成的圆
面叫做圆柱的底面。
A’
O’
（3）平行于轴的边旋转而成的
B’ 曲面叫做圆柱的侧面。
（4）无论旋转到什么位置,平行 于轴的边都叫做圆柱的母线。
A
O
（5）底面间的距离称为圆柱的高。
B
圆柱表示
2、表示：用表示它的轴的字母表示，如 圆柱OO1。
O 3、圆柱与 棱柱统称 为柱体。
解：图甲中的六个三角形没有一个公共点，故不是棱锥， 只是一个多面体；图乙不是棱台，因为侧棱的延长线不能相交 于同一点；图丙不是圆柱，因为上、下两面不平行(或不是由一 个矩形旋转而成)；图丁不是由一个直角三角形旋转而成，故不 是圆锥．
例：已知圆柱径 的为 底 r,高 面为 h半 ,若一只蚂蚁从
母线的一个端着 点圆 出柱 发表 沿面爬该 行母 一线 周
3、圆锥与 B
O
棱锥统称为
锥体。
圆锥性质
轴 侧面 母线
A 底面
圆锥的性质
S
O
O
平行于底面的截面都是圆。
过轴的截面（轴截面）是全等的等腰 三角形
圆锥的每一条母线都交于顶点， 与轴的夹角都相等
圆锥的侧面沿一条母线剪开后展开成 扇形
圆台定义、概念
圆台的结构特征
1、定义：用一个平行于圆锥底面的平面去 截圆锥，底面与截面之间的部分，这样的 几何体叫做圆台。
球的结构特征
定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一 周形成的旋转体叫做球体，简称球，记作球O。
（1）半圆的半径和直径叫做球的半径和直径。
（2）半圆的圆心叫做球心。
A
（3）半圆的圆弧形成的曲面叫做球面。
半径
（4）球心到球面上任意一点
O
的距离都等于球的半径。
球心
B
球的截面及其性质
1.截面是一个圆面
O1
侧面
底面 轴
圆柱性质
母线
圆柱的性质
O’
O
O
两底面互相平行 平行于底面的截面都是圆。 过轴的截面（轴截面）是全等的矩形
圆柱的每一条母线都与轴平行 圆柱的侧面沿一条母线剪开后 展开成矩形
圆锥定义、概念
圆锥的概念
定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为选转轴， 其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。
母 线
A
（1）旋转轴叫做圆锥的轴。
（2） 垂直于轴的边旋转而成的 顶点 圆面叫做圆锥的底面。
S
（3）不垂直于轴的边旋转而成
轴的曲面叫做圆锥的侧面。
O B
侧 （4）无论旋转到什么位置,不
面 垂直于轴的边都叫做圆锥的母
线。
（5）顶点到底面的距离叫做圆锥
的高
圆锥表示
2、圆锥的表示
用表示它的 S 轴的字母表示， 如圆锥SO。
④圆柱的任意两条母线互相平行．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
练习 2：下列命题中正确的是( C ) A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
练习 3：A，B 为球面上相异两点，则通过 A，B 两点可作 球的大圆有( D )
A．一个 B．无穷多个 C．零个 D．一个或无穷多个 解析：“无穷多个”是指“A，B，球心在一条直线上”的 情况．
题型一 几何体的结构、几何体的定义
【例1】 设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；
②底面是矩形的平行六面体是长方体；
③直四棱柱是直平行六面体；
④棱台的相对侧棱延长后必交于一点. ⑤圆台可以看做直角梯形以其垂直于底边的腰所在直线 为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面围成的几何体； ⑥半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.