2015届高考数学一轮总复习 10-5古典概型与几何概型
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2015届高考数学一轮总复习 10-5古典概型与几何概型
基础巩固强化
一、选择题
1.已知α、β、γ是不重合平面,a 、b 是不重合的直线,下列说法正确的是( ) A .“若a ∥b ,a ⊥α,则b ⊥α”是随机事件 B .“若a ∥b ,a ⊂α,则b ∥α”是必然事件 C .“若α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β”是必然事件 D .“若a ⊥α,a ∩b =P ,则b ⊥α”是不可能事件 [答案] D [解析]
⎭⎪⎬⎪
⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α,故A 错;
⎭
⎪⎬⎪
⎫a ∥b a ⊂α⇒b ∥α或b ⊂α,故B 错;当α⊥γ,β⊥γ时,α与β可能平行,也可能相交(包括垂直),故C 错;如果两条直线垂直于同一个平面,则此二直线必平行,故D 为真命题.
2.(文)4张卡片上分别写有数字1、2、3、4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )
A.13
B.1
2 C.2
3 D.3
4 [答案] C
[解析] 取出两张卡片的基本事件构成集合Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}共6个基本事件.
其中数字之和为奇数包含(1,2),(1,4),(2,3),(3,4)共4个基本事件, ∴所求概率为P =46=23
.
(理)(2013·宿州质检)一颗质地均匀的正方体骰子,其六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6,将这颗骰子连续抛掷三次,观察向上的点数,则三次点数依次构成等差数列的概率为( )
A.112
B.1
18 C.136 D.7108 [答案] A
[解析] 连续抛掷三次共有63=216(种)情况,记三次点数分别为a 、b 、c ,则a +c =2b ,所以a +c 为偶数,则a 、c 的奇偶性相同,且a 、c 允许重复,一旦a 、c 确定,b 也唯一确定,故a ,c 共有2×32=18(种),所以所求概率为18216=1
12
,故选A.
3.(文)(2013·惠州调研)一个袋中装有2个红球和2个白球,现从袋中取出1个球,然后放回袋中再取出1个球,则取出的2个球同色的概率为( )
A.12
B.13
C.14
D.25
[答案] A
[解析] P =2×2+2×24×4
=1
2.
(理)(2013·皖南八校联考)一个袋子中有5个大小相同的球,其中有3个黑球与2个红球,如果从中任取两个球,则恰好取到两个同色球的概率是( )
A.1
5 B.310 C.25
D.12
[答案] C
[解析] P =C 23+C 2
2C 25
=2
5.
4.(文)(2013·郑州第一次质量预测)一数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做实验计算圆周率,他们向一个边长为1米的正方形区域均匀撒豆,测得正方形区域有豆5120颗,正方形的内切圆区域有豆4009颗,则他们所测得的圆周率为(保留三位有效数字)( )
A .3.13
B .3.14
C .3.15
D .3.16
[答案] A
[解析] 根据几何概型的定义有π·(1
2)2
1=4009
5120
,得π≈3.13.
(理)点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动,则动点P 到定点A 的距离|P A |<1的概率为( ) A.1
4 B.12 C.π4
D .π
[答案] C
[解析] 由题意可知,当动点P 位于扇形ABD 内时,动点P 到定点A 的距离|P A |<1,根据几何概型可知,动点P 到定点A 的距离|P A |<1的概率为
S 扇形ABD S 正方形ABCD =π
4
,故选C.
5.(文)(2013·石家庄质检)在圆的一条直径上,任取一点作与该直径垂直的弦,则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为( )
A.14
B.13
C.12
D.32
[答案] C
[解析] 如图,设圆的半径为r ,圆心为O ,AB 为圆的一条直径,CD 为垂直于AB 的一条弦,垂足为M ,若CD 为圆内接正三角形的一条边,则O 到CD 的距离为r
2,设EF 为与CD 平行且到圆
心O 距离为r
2的弦,交直径AB 于点N ,所以当过AB 上的点且垂直于AB 的弦的长度超过CD 时,该
点在线段MN 上移动,所以所求概率P =r 2r =1
2
,选C.
(理)(2013·湖南)已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ,使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12,则AD
AB
=( )
A.1
2 B.14
C.
32 D.74
[答案] D [解析]
由题意知AB >AD ,如图,当点P 与E (或F )重合时,△ABP 中,AB =BP (或AP ),当点P 在EF 上运动时,总有AB >AP ,AB >BP ,由题中事件发生的概率为1
2知,点P 的分界点E 、F 恰好是边CD
的四等分点,由勾股定理可得AB 2=AF 2=(34AB )2+AD 2,解得(AD AB )2=716,即AD AB =7
4
,故选D.
6.(2013·武昌区联考)若从区间(0,2)内随机取两个数,则这两个数的比不小于4的概率为( ) A.1
8 B.78 C.14
D.34
[答案] C
[解析] 设这两个数分别为x ,y ,则由条件知0 2×2 =1 4. 二、填空题 7.(2013·郑州二检)连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ,设向量a =(m ,n )与向量b =(1,-1)的夹角为θ,则θ∈⎝⎛⎤0,π 2的概率是________. [答案] 7 12