2015届高考数学一轮总复习 10-5古典概型与几何概型

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高考数学一轮总复习 第10章 概率与统计 第二节 古典概型与几何概型课件 文 新人教A版

高考数学一轮总复习 第10章 概率与统计 第二节 古典概型与几何概型课件 文 新人教A版

2.几何概型的特点 (1)无限性:试验中所有可能出现的结果(基本事件)有 无限多 个; (2)等可能性:每个基本事件出现的可能性相等. 因此,用几何概型求解的概率问题和古曲概型的思路是相 同 的 , 同 属 于 “ 比 例 解 法 ”, 即 随 机 事 件 A 的 概 率 可 以 用 “事件A包含的基本事件所占的图形面积(或体积、长度)” 与“试验的基本事件所占总面积(或总体积、总长度)”之比 来表示.
►一个关键:几何概型概率求解.
(2)[解决几何概型的求概率问题,关键是要构造出随机事件对
应的几何图形.利用图形的几何度量来求随机事件的概率]已知
球O内切于棱长为2的正方体,若在正方体内任取一点,则这 π
一点不在球内的概率为__1_-___6__.
解析 由题意知球的半径为 1,其体积为 V 球=4π 3 ,正方体
=1-6×6 6=56.
答案
5 6
知识点二 几何概型
1.几何概型的概念 (1)如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的几何度 量(长度、面积或体积 )成比例,则称这样的概率模型为几何 概率模型,简称 几何概型 . (2)几何概型中的几何度量可以是空间中或直线上的有限区 域,相应的概率是体积之比、面积之比或长度之比.
3.古典概型的概率公式
A包含的基本事件的个数 P(A)= 基本事件的总数
►一个易错点:误解基本事件的等可能性致误.
(1)[解决古典概型的重要前提是求基本事件的总数,这些基本 事件必须是等可能的]同时掷两个骰子,向上点数不相同的概 率为________.
解析 掷两个骰子一次,向上的点数共 6×6=36 个可能的结 果,其中点数相同的结果共有 6 个,所以点数不同的概率 P

的体积为 V 正方体=23=8,则这一点不在球内的概率 P=1-

古典概型与几何概型的异同点

古典概型与几何概型的异同点

古典概型与几何概型的异同点一、背景和定义1. 古典概型:基于等可能性的最直观概率模型。

若一个试验只有有限个基本事件,且每个基本事件发生的可能性相同,则该试验称为古典概型。

2. 几何概型:当试验的可能结果不是有限可数时,或者每个结果发生的可能性不都是相等的,这时候就需要用到几何概型。

它是基于长度、面积、体积等几何量与概率的结合。

二、相同点1. 两者都是概率模型,用于描述随机试验中各种结果出现的可能性。

2. 在每种模型下,每个基本事件(或样本点)的概率都是非负的,并且它们的和都等于1。

三、不同点1. 试验的基本事件数量:古典概型是有限可数的,而几何概型则可能无限不可数。

2. 概率的定义方式:在古典概型中,概率是基于等可能的假设来定义的。

而在几何概型中,概率是通过与某个几何量(如长度、面积、体积等)的关联来定义的。

3. 概率的计算方法:在古典概型中,概率通常是直接计算基本事件的数量来得到。

而在几何概型中,概率的计算可能需要使用几何知识,如长度、面积或体积等。

4. 适用范围:古典概型适用于具有有限个等可能结果的情况,例如掷骰子、抽签等。

而几何概型适用于试验结果连续且无限的情况,例如在一定范围内的随机落点、随机选择一条线段上的点等。

5. 公平性:古典概型假定每个基本事件的发生是公平的,即每个基本事件的概率都是相等的。

而几何概型中,公平性的概念可能不那么直观,因为基本事件的发生可能与空间的分布有关。

6. 概率的取值:在古典概型中,概率的取值是离散的,通常是0或1。

而在几何概型中,概率的取值是连续的,可以在0到1之间任意取值。

7. 问题的复杂性:对于一些复杂的问题,如复杂的多因素决策问题,可能需要考虑更复杂的概率模型,而不仅仅是古典概型或几何概型。

四、例子1. 古典概型例子:抛掷一枚硬币,正面朝上或反面朝上的概率都是0.5;从一副扑克牌中抽取一张牌,每种花色的概率都是1/4。

这些例子都是基于等可能的假设,每个基本事件的发生概率都是相等的。

2015届高三数学一轮总复习课件:10.6几何概型

2015届高三数学一轮总复习课件:10.6几何概型
件 A 满足的不等式或不等式组,在图形中画出事件 A 发生的区域,利用公式可
求.
题型一
题型二
题型三
解题策略
第十五页,编辑于星期五:八点 三十三分。
重点难点
题型二
与面积有关的几何概型
例2
点拨提示
迁移训练2
点 P 在边长为 1 的正方形 ABCD 内运动,则动点 P 到顶点 A 的距离
|PA|≤1 的概率为(
自我检测
第七页,编辑于星期五:八点 三十三分。
考点基础
自我检测
3
1-2
4
5
4.在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,邻边长分别等于线段
AC,CB 的长,则该矩形面积大于 20 cm2 的概率为(
1
A.
6
2
C.
3
1
B.
3
4
D.
5
)
答案:C
解析:此概型为几何概型,由于在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C,因此
= 0 无实根 中随机
地取一元素 m,恰使式子 lg m 有意义的概率为
.
思路分析:合 A 和 lg m 有意义将问题转化成几何概型.
答案:
4
5
解析:由 Δ=m2-4
3
m+1
4
<0 得-1<m<4,
即 A={m|-1<m<4}.
由 lg m 有意义知 m>0,即使 lg m 有意义的范围是(0,4),
2.一个路口的红绿灯,红灯的时间为 30 秒,黄灯的时间为 5 秒,绿灯的时间为
40 秒,当某人到达路口时看见的是红灯的概率是(

2015届高考数学一轮复习(回扣主干知识+提升学科素养)第十章 第六节 几何概型教案 文

2015届高考数学一轮复习(回扣主干知识+提升学科素养)第十章 第六节 几何概型教案 文

第六节 几 何 概 型[考纲下载]1.了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率. 2.了解几何概型的意义.1.几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,那么称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.2.几何概型的概率公式P (A )=构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.1.几何概型有什么特点?提示:(1)无限性:试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限个.(2)等可能性:每个基本事件出现的可能性相等.2.几何概型和古典概型有什么区别?提示:几何概型和古典概型中基本事件发生的可能性都是相等的,但古典概型的基本事件有有限个,而几何概型的基本事件有无限个.1.(2014·漳州模拟)在区间[20,80]内随机取一实数a ,那么实数a 属于区间[50,75]的概率是( )A.14B.34C.512D.712解析:选C 显然,该问题属于几何概型,实数a 属于区间[50,75]的概率为75-5080-20=2560=512. 2.地铁列车每10 min(含在车站停车时间)一班,在车站停1 min ,那么乘客到达站台立即乘上车的概率是( )A.110 B.19 C.111 D.18解析:选A 试验的所有结果构成的区域长度为10 min ,而构成所求事件的区域长度为1 min ,故P =110.3.有四个游戏盘,将它们水平放稳后,在上面扔一颗玻璃小球,假设小球落在阴影部分,那么可中奖,小明要想增加中奖机会,应选择的游戏盘是( )解析:选A 选项A 的概率为38;选项B 的概率为28=14;选项C 的概率为26=13;选项D的概率为13,故增加中奖机会的应为A 选项.4.点A 为周长等于3的圆周上一个定点,假设在该圆周上随机取一点B ,那么劣弧AB 的长度小于1的概率为________.解析:劣弧AB 的长度为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,32,其中长度小于1的概率为132=23. 答案:235.如下图,矩形长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300颗黄豆,数得落在椭圆外的黄豆数为96,以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为________.解析:由随机模拟的思想方法,可得黄豆落在椭圆内的概率为300-96300=0.68.由几何概型的概率计算公式,可得S 椭圆S 矩形=0.68, 而S 矩形=6×4=24,那么S 椭圆=0.68×24=16.32. 答案:16.32前沿热点(十七)几何概型与线性规划问题的交汇1.几何概型常常与构成该事件区域的长度、面积、体积或角度等有关,在高考中经常涉及面积区域的问题,而面积区域的确定又与线性规划有关.因此,高考命题常常在此交汇.2.因为面积经常涉及一个封闭图,解题时一定要注意各边界对应的直线(或曲线)方程,各端点的坐标,求面积时,还要注意对图形的分割等.[典例] (2012·北京高考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2,0≤y ≤2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点,那么此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4 B.π-22 C.π6 D.4-π4[解题指导] 先画出平面区域D ,再找出几何区域的形状,分析其几何概型所对应的量,然后解决问题.[解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2,0≤y ≤2表示坐标平面内的一个正方形区域,设区域内点的坐标为(x ,y ),那么在区域内取点,此点到坐标原点的距离大于2表示的区域就是圆x 2+y 2=4的外部,即图中的阴影部分,故所求的概率为4-π4.[答案] D[名师点评] 1.此题有以下创新点:(1)考查方式的创新:由常规方式转换为以线性规划为载体考查几何概型的计算; (2)考查内容的创新:此题将几何概型与线性规划及圆求面积完美结合起来,角度独特,形式新颖,又不失综合性.2.在解决以几何概型为背景的创新交汇问题时,应注意以下两点:(1)要准确判断一种概率模型是否是几何概型,为此必须了解几何概型的含义及特征; (2)运用几何概型的概率公式时,要注意验证事件是否具备等可能性.实数x ∈[-1,1],y ∈[0,2],那么点P (x ,y )落在区域⎩⎪⎨⎪⎧2x -y +2≥0,x -2y +1≤0,x +y -2≤0内的概率为( )A.316 B.38 C.34 D.32解析:选B 不等式组表示的平面区域如下图(阴影部分),其面积为12×3×2-12×3×1=32,那么所求概率为322×2=38.。

2015届高考数学(理科)一轮总复习课件:10-5 古典概型(人教A版)

2015届高考数学(理科)一轮总复习课件:10-5 古典概型(人教A版)

菜 单
隐 藏
高考总复习 A 数学(理)
抓主干 考 点 解 密
研考向 要 点 探 究 悟典题 能 力 提 升 提素能 高 效 训 练
反思总结 计算古典概型事件的概率可分三步 (1)算出基本事件的总个数n;(2)求出事件A所包含的基本事件个数
m;(3)代入公式求出概率P.
菜 单
隐 藏
高考总复习 A 数学(理)
研考向 要 点 探 究 悟典题 能 力 提 升 提素能 高 效 训 练
基本事件的特点 1.任何两个基本事件是 互斥 的. 2.任何事件都可以表示成 基本事件的和 (除不可能事件).
菜 单
隐 藏
高考总复习 A 数学(理)
抓主干 考 点 解 密
研考向 要 点 探 究 悟典题 能 力 提 升 提素能 高 效 训 练
(1,4) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (4,1) , (4,2) ,
(4,3),(4,4). (3) 事件 “出现点数相等 ” 包含以下 4 个基本事件: (1,1) , (2,2) ,
(3,3),(4,4).
菜 单
隐 藏
高考总复习 A 数学(理)
抓主干 考 点 解 密
研考向 要 点 探 究 悟典题 能 力 提 升 提素能 高 效 训 练
解析:用事件C表示“至少有1道乙类题”,则C包含的基本事 件有{1,5},{1,6},{2,5},{2,6},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6}, 9 3 {5,6},共9个,所以P(C)=15=5.
其中x表示第1个正四面体玩具出现的点数,y表示第2个正四面体玩具
出现的点数.试写出: (1)试验的基本事件;

高考数学一轮复习 第10章第2节 古典概型及几何概型课件 文 新课标

高考数学一轮复习 第10章第2节 古典概型及几何概型课件 文 新课标
解:(1)分别记白球为1、2、3号,黑球为4、5号,从 中摸出2个球,有如下基本事件(摸到1、2号球用(1,2)表示): (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5), (4,5).
所以共有10个基本事件.
考点二 与长度有关的几何概型的求法 【案例2】 (2010·湖南)在区间[-1,2]上随 机取一个数x,则x∈[0,1]的概率为________.
1、纪律是集体的面貌,集体的声音,集体的动作,集体的表情,集体的信念。 2、知之者不如好之者,好之者不如乐之者。 3、反思自我时展示了勇气,自我反思是一切思想的源泉。 4、在教师手里操着幼年人的命运,便操着民族和人类的命运。一年之计,莫如树谷;十年之计,莫如树木;终身之计,莫如树人。 5、诚实比一切智谋更好,而且它是智谋的基本条件。 6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底,就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/302022/1/302022/1/301/30/2022 7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信,人不欺我;对事以诚信,事无不成。2022/1/302022/1/30January 30, 2022 8、教育者,非为已往,非为现在,而专为将来。2022/1/302022/1/302022/1/302022/1/30
解:以O为起点作射线OC是随机的,而射 线落在∠AOB内的任何位置是等可能的 ,作 ∠AOD=∠BOE=30°,则OC落在∠DOE内符 合题目要求,OC落在∠DOE内只与∠DOE的大 小有关,符合几何概型的特点.
设事件 A 为“射线 OC 落在∠DOE 内”,事件 A 的度
量是 90°-30°-30°=30°,试验的全部结果的度量是 90°,

2015届高考数学总复习第十章 第六节古典概型课件 理

2015届高考数学总复习第十章 第六节古典概型课件 理

复杂的古典概型的概率 【例 3】 袋中装有黑球和白球共 7 个,从中任取 2 个球 都是白球的概率为 1 .现有甲、乙两人从袋中轮流摸球,甲先 7 取,乙后取,然后甲再取……取后不放回,直到两人中有1人 取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能 的. (1)求袋中原有白球的个数; (2)求取球2次即终止的概率; (3)求甲取到白球的概率.
④所有可能的基本事件共 27个,如下图.
所以,只有④正确.故选D. 答案:D
简单的古典概型的概率 【例2】 (1)一个盒子中有2n个完全相同的球,分别标以
号码1,2,3,…,2n,从中任取一球,则此球的号码为偶数的概 率为________. (2)(2013· 安徽六校联考)连续投掷两次骰子得到的点数分别 π,则 为m,n,向量a=(m,n)与向量b=(1,0)的夹角记为α 0, 4 α∈的概率为________.
次和第 5 次取白球. ∴ P(B) = P(A1∪A3∪A5) = P(A1) + P(A3)
每个矩形只涂一种颜色,则所有基本事件有27个
A.①③ B.②③ C.③ D.④
1 1 解析:①摸到红球的概率为2,摸到黑球的概率为3,摸到白 1 球的概率为6. 4 3 ②取到小于 0 的数字的概率为7, 不小于 0 的数字的概率为7. ③抽签有先有后,但每人抽到某号的概率是相同的.理由: 1 假设 5 号签为中奖签,甲先抽到中奖签的概率为5;乙接着抽,其 4 1 1 抽中 5 号签的概率为5×4=5.
解析:(1)从5根竹竿中,一次随机抽取2根竹竿的方
法数为10( 个) .而满足它们的长度之差小于 0.3的方法数
为7个,即2.5和2.6,2.6和2.7,2.7和2.8,2.8和2.9,2.5和2.7,2.6 7 和2.8,2.7和2.9.由古典概型的求法得P= . 10 (2)若方程有两实根,则a2-4b≥0⇒a2≥4b,则满足 条件的(a ,b) 的基本事件有: (1,0), (2,- 1),(2,0) , (1, -1),(1,-2),(2,-2),(2,1),共有7种情况,而整个 基本事件空间共有10种情况,故方程有实根的概率为 7 10 7 7 答案:(1)10 (2)10 .

2015届高三数学一轮总复习课件:10.5古典概型

2015届高三数学一轮总复习课件:10.5古典概型

(1)一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特征
——有限性和等可能性,只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型.正确地
判断试验的类型是解决概率问题的关键.
(2)古典概型是一种特殊的概率模型,但并不是所有的试验都是古典概型.
5.探求一次试验中所有基本事件的常用方法
(1)列举法:适合于较简单的试验.
重点难点
题型二 古典概型的概率
例2
点拨提示
迁移训练2
(2)记 F 为标号为 0 的绿色卡片,从六张卡片中任取两张的所有可能的 结果 为:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),( D,E),(D,F),(E,F),共 15 种.
题型一 题型二 题型三
第十四页,编辑于星期五:八点 三十三分。
题型二 古典概型的概率
重点难点
例2
点拨提示
迁移训练2
解:(1)标号为 1,2,3 的三张红色卡片分别记为 A,B,C,标号为 1,2 的两张 蓝色卡片分别记为 D,E,从五张卡片中任取两张的所有可能的结果 为:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共 10 种.
A.12
B.13
C.23
D.1
答案:C
解析:基本事件总数为(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共三种,甲被选中共 2
种,则 P=23.
2.掷一颗骰子,观察掷出的点数,则掷得奇数点的概率为( )
A.13
BБайду номын сангаас14
C.12
D.23

高中数学高考总复习----古典概型与几何概型巩固练习题(含答案解析)

高中数学高考总复习----古典概型与几何概型巩固练习题(含答案解析)

高中数学高考总复习----古典概型与几何概型巩固练习题(含答案解析)1.(2015广东高考)已知5件产品有两件次品,其余为合格品.现从5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为()A.0.4B.0.6C.0.8D.12.在由数字1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的二位数中,得到的数不能被5和2整除的概率为()A.0.2B.O.4C.0.6D.0.83.已知三棱锥S­ABC,在三棱锥内任取一点P,使得V P-ABC<V S­ABC的概率是()A. B.C. D.4.1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,则从2号箱取出红球的概率是()A. B.C. D.5.平面上画了一些彼此相距2a的平行线,把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上,求硬币不与任何一条平等线相碰的概率是()A. B.C. D.6.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,A=30°,若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,所得的点数分别为a、b,则满足条件的三角形有两个解的概率是()A. B.C. D.7.有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A. B.C. D.8.在区间(0,1)内任取两个实数,则这两个实数的和大于的概率为()A. B.C. D.9.以连续两次抛掷一枚骰子得到的点数、得点,则点在圆内的概率为.10.某大学有包括甲、乙两人在内的5名大学生,自愿参加2010年上海世博会的服务,这5名大学生中3人被分配到城市足迹馆,另2人被分配到沙特馆.如果这样的分配是随机的,则甲、乙两人被分配到同一馆的概率是________.11.甲乙两人一起去游“2011西安世园会”,他们约定,各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览,每个景点参观1小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是________.12.在边长为2的正三角形ABC内任取一点P,则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________.13.(2015重庆高考)在区间上随机地选择一个数p,则方程有两个负根的概率为.14.若不等式组表示的平面区域为M,x2+y2≤1所表示的平面区域为N,现随机向区域M内抛一粒豆子,则豆子落在区域N内的概率为________.15.(2015菏泽一模)某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图,其中甲班学生的平均分是85,乙班学生成绩的中位数是83.(1)求x和y的值;(2)计算甲班7位学生成绩的方差s2;(3)从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生,求甲班至少有一名学生的概率.16.已知函数f(x)=-x2+ax-b.(1)若a,b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数,求上述函数有零点的概率;(2)若a,b都是从区间[0,4]任取的一个数,求f(1)>0成立时的概率.【参考答案】1.【答案】B【解析】这是一个古典概型,从5件产品任取2件的取法为;基本事件总数为10;设“选的2件产品中恰有一件次品”为事件A,则A包含的基本事件个数为故选B.2.【答案】B【解析】总的事件数为,得到的数不能被5和2整除的个位数只能为1或3,有,故所求概率为0.4.3.【答案】A【解析】当P在三棱锥的中截面与下底面构成的三棱台内时符合要求,由几何概型知,4.【答案】A【解析】5.【答案】A【解析】∵硬币的半径为r,∴当硬币的中心到直线的距离d>r时,硬币与直线不相碰.∴6.【答案】A【解析】要使△ABC有两个解,需满足的条件是,因为A=30°,所以,满足此条件的a,b的值有b=3,a=2;b=4,a=3;b=5,a=3;b=5,a=4;b=6,a=4;b=6,a=5,共6种情况,所以满足条件的三角形有两个解的概率是7.【答案】B【解析】记三个兴趣小组分别为1、2、3,甲参加1组记为“甲1”,则基本事件为“甲1,乙1;甲1,乙2;甲1,乙3;甲2,乙1;甲2,乙2;甲2,乙3;甲3,乙1;甲3,乙2;甲3,乙3”,共9个.记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”,其中事件A有“甲1,乙1;甲2,乙2;甲3,乙3”,共3个.因此8.【答案】A【解析】设这两个实数分别为x,y,则,满足的部分如图中阴影部分所示.所以这两个实数的和大于的概率为9.【答案】【解析】连续两次抛掷一枚骰子得到的结果有种,点落在圆内的有,,,共4种,故所求的概率为.10.【答案】【解析】依题意得,甲、乙两人被分到同一馆的概率是.11.【答案】【解析】若用{1,2,3,4,5,6}代表6处景点,显然甲、乙两人在最后一个小时浏览的景点可能为{1,1}、{1,2}、{1,3}、…、{6,6},共36种;其中满足题意的“同一景点相遇”包括{1,1}、{2,2}、{3,3}、…、{6,6},共6个基本事件,所以所求的概率为.12.【答案】【解析】以A、B、C为圆心,以1为半径作圆,与△ABC交出三个扇形,当P落在其内时符合要求.∴13.【答案】【解析】方程有两个负根等价于解关于p的不等式组可得或所求概率为14.【答案】解析:如图,△AOB为区域M,扇形COD为区域M内的区域N,A(3,3),B(1,-1),S△AOB=,S扇形COD=,所以豆子落在区域N内的概率为15.【解析】(1)∵甲班学生的平均分是85,∴,∴x=5,∵乙班学生成绩的中位数是83,∴y=3;(2)甲班7位学生成绩的方差为s2==40;(3)甲班成绩在90分以上的学生有两名,分别记为A,B,乙班成绩在90分以上的学生有三名,分别记为C,D,E,从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)其中甲班至少有一名学生共有7种情况:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E).记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生,甲班至少有一名学生”为事件M,则.答:从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生,甲校至少有一名学生的概率为.16.【解析】(1)a,b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数的基本事件总数为N=5×5=25个.函数有零点的条件为Δ=a2-4b≥0,即a2≥4b.因为事件“a2≥4b”包含(0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),(4,0),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),所以事件“a2≥4b”的概率为,即函数f(x)有零点的概率为.(2)a,b都是从区间[0,4]任取的一个数,f(1)=-1+a-b>0,即a-b>1,此为几何概型.所以事件“f(1)>0”的概率为【巩固练习】1.(2015鄂州三模)已知函数若a是从1,2,3三个数中任取的一个数,b 是从0,1,2三个数中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为()A. B. C. D.2.某公共汽车每15分钟一班,乘客甲随机的到达车站,则甲等待的事件不超过3分钟的概率为()A. B. C. D.3.从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于()A. B.C. D.4.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,A=30°,若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,所得的点数分别为a、b,则满足条件的三角形有两个解的概率是()A. B.C. D.5.在长为10的线段AB上任取一点M,以AM为半径作圆,则该圆的面积在和之间的概率为()A. B. C. D.6.有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A. B.C. D.7.已知P是△ABC所在平面内一点,++2=0,现将一粒黄豆随机撒在△PBC内,则黄豆落在△PBC内的概率是()A. B.C. D.8.在区间(0,1)内任取两个实数,则这两个实数的和大于的概率为()A. B.C. D.9.一个盒子内部有如图所示的六个小格子,现有桔子、苹果和香蕉各两个,将这六个水果随机地放入这六个格子里,每个格子放一个,放好之后每行、每列的水果种类各不相同的概率是()A. B.C. D.10.在区间[-π,π]内随机取两个数分别记为a,b,则使得函数f(x)=x2+2ax-b2+π有零点的概率为()A. B.C. D.11.(2015江西二模)在区间内随机取两个数a,b,则使得函数有零点的概率为.12.若m∈(0,3),则直线(m+2)x+(3-m)y-3=0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于的概率为________.13.(2015河东区一模)袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率;(2)现往袋中再放入一张标号为0的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和不大于4的概率.14.(14分)设有关于的一元二次方程.(Ⅰ)若是从1,2,3,4,5四个数中任取的一个数,是从1,2,3,4三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率.(Ⅱ)若是从区间[1,5]任取的一个数,是从区间[1,4]任取的一个数,求上述方程有实根的概率.15.已知复数z=x+y i(x,y∈R)在复平面上对应的点为M.(1)设集合P={-4,-3,-2,0},Q={0,1,2},从集合P中随机取一个数作为x,从集合Q中随机取一个数作为y,求复数z为纯虚数的概率;(2)设x∈[0,3],y∈[0,4],求点M落在不等式组:所表示的平面区域内的概率.【参考答案】1.【答案】D【解析】求导可得要满足题意需有两个不等实根即即,又a,b的取法共种,其中满足的有共6种故所求的概率为故选D.2.【答案】A【解析】甲等待的事件不超过3分钟的概率为.3.【答案】D【解析】在正六边形中,6个顶点选取4个,共有15种结果.选取的4点能构成矩形只有对边的4个顶点(例如AB与DE),共有3种,故所求概率为.4.【答案】A【解析】要使△ABC有两个解,需满足的条件是,因为A=30°,所以,满足此条件的a,b的值有b=3,a=2;b=4,a=3;b=5,a=3;b=5,a=4;b=6,a=4;b=6,a=5,共6种情况,所以满足条件的三角形有两个解的概率是5.【答案】A【解析】以半径为准,概率为.6.【答案】A【解析】记三个兴趣小组分别为1、2、3,甲参加1组记为“甲1”,则基本事件为“甲1,乙1;甲1,乙2;甲1,乙3;甲2,乙1;甲2,乙2;甲2,乙3;甲3,乙1;甲3,乙2;甲3,乙3”,共9个.记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”,其中事件A有“甲1,乙1;甲2,乙2;甲3,乙3”,共3个.因此P(A)=7.【答案】D【解析】由题意可知,点P位于BC边的中线的中点处.记黄豆落在△PBC内为事件D,则P(D)=8.【答案】A【解析】设这两个实数分别为x,y,则,满足的部分如图中阴影部分所示.所以这两个实数的和大于的概率为9.【答案】A【解析】依题意,将这六个不同的水果分别放入这六个格子里,每个格子放入一个,共有A66=720种不同的放法,其中满足放好之后每行、每列的水果种类各不相同的放法共有96种(此类放法进行分步计数:第一步,确定第一行的两个格子的水果放法,共有种放法;第二步,确定第二行的两个格子的水果放法,有种放法,剩余的两个水果放入第三行的两个格子),因此所求的概率等于10.【答案】B【解析】因为f(x)=x2+2ax-b2+π有零点,所以Δ=4a2-4(π-b2)≥0,即a2+b2-π≥0,由几何概型的概率计算公式可知所求概率为11.【答案】【解析】两个数a、b在区间内随机取,以a为横坐标、b为纵坐标建立如图所示直角坐标系,可得对应的点(a,b)在如图的正方形OABC及其内部任意取,其中A(0,4),B(4,4),C(4,0),O为坐标原点,若函数有零点,则解之得,满足条件的点(a,b)在直线a-2b=0的下方,且在正方形OABC内部的三角形,其面积为正方形OABC的面积为函数有零点的概率为12.【答案】【解析】直线与两个坐标轴的交点分别为(,0),(0,),又当m∈(0,3)时,,∴··<,解得0<m<2,∴P=三、解答题13.【解析】(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种:红1红2,红1红3,红1蓝,1红1蓝2,红2红3,红2蓝1,红2蓝2,红3蓝1,红3蓝2,蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况,故所求的概率为.(II)加入一张标号为0的绿色卡片后,从六张卡片中任取两张,除上面的10种情况外,多出5种情况:红1绿0,红2绿0,红3绿0,蓝1绿0,蓝2绿0,即共有15种情况,其中颜色不同且标号之和不大于4的有10种情况,所以概率为.14.【解析】设事件为“方程有实根”.当,时,方程有实根的充要条件为.(Ⅰ)基本事件共20个:事件中包含个基本事件,所以事件发生的概率为.(Ⅱ)试验的全部结果构成的区域为,∴,构成事件的区域为,∴,所以所求的概率为.15.【解析】(1)记“复数z为纯虚数”为事件A.∵组成复数z的所有情况共有12个:-4,-4+i,-4+2i,-3,-3+i,-3+2i,-2,-2+i,-2+2i,0,i,2i,且每种情况出现的可能性相等,属于古典概型,其中事件A包含的基本事件共2个:i,2i,∴所求事件的概率为P(A)==.(2)依条件可知,点M均匀地分布在平面区域内,属于几何概型,该平面区域的图形为下图中矩形OABC围成的区域,面积为S=3×4=12.而所求事件构成的平面区域为其图形如图中的三角形OAD(阴影部分).又直线x+2y-3=0与x轴、y轴的交点分别为A(3,0)、D(0,),∴三角形OAD的面积为S1==.∴所求事件的概率为。

2015高考数学(文)一轮总复习课件:10.2 古典概型

2015高考数学(文)一轮总复习课件:10.2 古典概型

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规范解答:
从这 6 个点中随机选取 3 个点的所可能结果是: x 轴上取 2 个点的有 A1A2B1,A1A2B2,A1A2C1,A1A2C2,共 4 种; y 轴上取 2 个点的有 B1B2A1,B1B2A2,B1B2C1,B1B2C2,共 4 种; z 轴上取 2 个点的有 C1C2A1,C1C2A2,C1C2B1,C1C2B2,共 4 种. 所选取的 3 个点在不同坐标轴上有 A1B1C1, A1B1C2, A1B2C1, A1B2C2, A2B1C1, A2B1C2,A2B2C1,A2B2C2,共 8 种.因此从这 6 个点中随机选取 3 个点的所有可 能结果共 20 种.(4 分) (1)选取的这 3 个点与原点 O 恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有: A1B1C1,A2B2C2,共 2 种,因此这 3 个点与原点 O 恰好是正三棱锥的四个顶点的 概率为 P1= 2 20 = .(6 分) 10 1
A 体重 指标
B
C
D
E 1.82 20.9
身高 1.69 1.73 1.75 1.79 19.2 25.1 18.5 23.3
(1)从该小组身高低于1.80 m的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78 m以 下的概率; (2)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70 m 以上且体重指标都 在[18.5,23.9)中的概率. 思路点拨: (1)找出身高低于1.80 m的同学,并用坐标的形式(但无需顺序)列出所有可能, 从中找出身高在1.78 m以下的情况,利用古典概型的公式求概率.(2)首先列 出5人中任取两人的所有可能,再找出满足“选到的2人身高都在1.70 m以上 且体重指标都在[18.5,23.9)中”的事件,最后利用古典概型的公式求概率.

2015高考数学(理)一轮复习配套课件10-5古典概型

2015高考数学(理)一轮复习配套课件10-5古典概型
不成立.当n≥4时,两个数之
和为5有两种情况:(1,4),(2,3). 2 1 由题意知C2=14,即n(n-1)=56,解得n=8. n
3 (2)当每两节文化课之间都有一节艺术课时,共有2A3 3A3=72
种排法;
1 2 2 3 当有两节文化课排在一起时,共有C 2 C 3 3 A 2 A 2 A 3 =216种排
[填一填] (1)从数字 1,2,3 中任取两个不同的数字组成一个 1 两位数,则这个两位数大于 21 的概率是 2 . (2)一个袋子中有 5 个大小相同的球,其中有 3 个黑球与 2 个红球,如果从中任取两个球,则恰好取到两个同色球的概率 2 是 5 .
02突破4个热点考向
考向一 例1
简单的古典概型的求法
第十章 计数原理、概率、 随机变量及其分布
第5讲 古典概型
1.理解古典概型及其概率计算公式. 2. 会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.
1点必知关键——解决古典概型问题的关键 一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的 两个特征——有限性和等可能性,只有同时具备这两个特点的 概型才是古典概型.正确的判断试验的类型是解决概率问题的 关键.
[学以致用] 1.[2013· 重庆高考]若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则 甲、乙两人相邻而站的概率为________.
2 A2 4 2 2A2 解析:P= A3 =6=3. 3
2 答案:3
2.
[2014· 洛阳调研]锅中煮有芝麻馅汤圆6个,花生馅汤圆5
个,豆沙馅汤圆4个,这三种汤圆的外部特征完全相同.从中任 意舀取4个汤圆,则每种汤圆都至少取到1个的概率为( 8 A. 91 48 C. 91 25 B. 91 60 D. 91 )

第十章 统计与概率10-5古典概型与几何概型

第十章  统计与概率10-5古典概型与几何概型

x 2 y 解析:(1)由题意可得,18=36=54,所以x=1,y=3. (2)记从高校B抽取的2人为b1,b2,从高校C抽取的3人为 c1,c2,c3,则从高校B,C抽取的5人中选2人作专题发言的基 本事件有 (b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2, c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3)共10种. 设选中的2人都来自高校C的事件为X,则X包含的基本事 3 件有(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3)共3种.因此P(X)= . 10 3 故选中的2人都来自高校C的概率为10.
根据几何概型的计算公式可知
2 2 - --1+1- 3 3
P=

1--1
1 =3,故选A.
答案:A

(文)(2010·青岛市质检)已知区域Ω={(x, y)|x+y≤10,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x- y≥0,x≤5,y≥0},若向区域Ω内随机投1个 点,则这个点落入区域A内的概率P(A)= ________.



[例4] (09·天津)为了了解某市工厂开展群 众体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法 从A、B、C三个区中抽取7个工厂进行调 查.已知A、B、C区中分别有18、27、18 个工厂. (1)求从A、B、C区中应分别抽取的工厂个 数; (2)若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进 行调查结果的对比,用列举法计算这2个工 厂中至少有1个来自A区的概率.




2.古典概型 满足以下两个条件的随机试验的概率模型称 为古典概型: (1)有限性:在一次试验中,可能出现的不 同的基本事件只有有限个; (2)等可能性:每个基本事件的发生都是等 可能的. 古典概型中事件的概率计算

几何概型与古典概型的区别

几何概型与古典概型的区别

与长度有关的几何概型 [例 1] (2012·辽宁高考)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取
一点 C.现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC,CB 的长,则
该矩形面积大于 20 cm2 的概率为
1
1
A.6
B.3
()
2
4
C.3
D.5
1.在区间-π2,π2上随机取一个数 x,则 cos x 的值介于 0 到12之 间的概率为________.
求解与长度有关的几何概型的两点注意 (1)求解几何概型问题,解题的突破口为弄清是长度 之比、面积之比还是体积之比; (2)求与长度有关的几何概型的概率的方法,是把题 中所表示的几何模型转化为线段的长度,然后求解,应 特别注意准确表示所确定的线段的长度.
与面积(体积)有关的几何概型
[例 2] (1)已知平面区域 U={(x,y)|x+y≤6,x≥0,
2.已知集合 A={x|-1<x<5},B=xx3- -2x>0 ,在集合 A 中 任取一个元素 x,则事件“x∈A∩B”的概率是_______.
在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C,并以线段 AC 为边作正方形,则这个正方形的面积介于 36 cm2 与 81 cm2 之间的概率是多少?
y≥0},A={(x,y)|x≤4,y≥0,x-2y≥0},若向区域 U 内
随机投一点 P,则点 P 落入区域 A 的概率为________. (2)(2012·湖北高考)如图所示,在圆心角
为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为
直径作两个半圆,在扇形 OAB 内随机取一
点,则此点取自阴影部分的概率是 ( )
B.9
1
1
4.点CA.4为周长等于 3 的圆周上一个D.定2 点,若在该圆周上随

古典概型和几何概型的区别

古典概型和几何概型的区别

古典概型和几何概型的区别
相同点:古典概型与几何概型中每一个基本事件发生的可能性都是相等的。

不同点:古典概型要求随机试验的基本事件的总数必须是有限多个;几何概型要求随机试验的基本事件的个数是无限的,而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关。

(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个。

(2)每个基本事件出现的可能性相等。

(3)几何概型求事件A的概率公式:
PA=构成事件A的区域长度面积或体积/实验的全部结果所构成的区域长度面积或体积(1)试验中所有可能出现的基本事件是有限的。

(2)每个基本事件出现的可能性相等。

(3)古典概型求事件A的概率公式:
PA=事件A可能发生的结果数/实验发生的所有等可能的结果数
例题:某人午觉醒来发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率。

分析:收音机每小时报时一次,某人午觉醒来的时刻在两次整点报时之间都是等可能的,且醒来的时刻有无限多个的,因而适合几何概型。

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2015高考数学(理)一轮复习配套文档:第10章 第5节 古典概型

2015高考数学(理)一轮复习配套文档:第10章 第5节 古典概型

第五节 古 典 概 型【考纲下载】1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所含的基本事件及事件发生的概率.1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的;(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 2.古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型. (1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (2)等可能性:每个基本事件出现的可能性相等. 3.古典概型的概率公式 P (A )=A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.1.在一次试验中,其基本事件的发生一定是等可能的吗?提示:不一定.如试验一粒种子是否发芽,其发芽和不发芽的可能性是不相等的. 2.如何判断一个试验是否为古典概型?提示:关键看这个实验是否具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性.1.一枚硬币连掷2次,恰有一次正面朝上的概率为( ) A.23 B.14 C.13 D.12解析:选D 一枚硬币连掷2次,其结果共有正正,正反,反正,反反四种结果,恰有一次正面朝上的有正反、反正两种结果.因此,恰有一次正面朝上的概率为24=12.2.甲、乙、丙三名同学站成一排,甲站在中间的概率是( ) A.16 B.12 C.13 D.23解析:选C 甲、乙、丙三名同学站成一排共有如下6种情况:甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲,而甲站在中间的共有乙甲丙,丙甲乙两种情况,因此,甲站在中间的概率为26=13.3.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ,从{1,2,3}中随机选取一个数为b ,则b >a 的概率是( )A.45B.35C.25D.15解析:选D 依题意可知a ,b 共有如下15种情况:(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),其中b >a 的共有3种情况.所以b >a 的概率为315=15.4.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ,n 作为点P 的横、纵坐标,则点P 在直线x +y =5的下方的概率为________.解析:点P 在直线x +y =5下方的情况有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)6种可能,故P =66×6=16.答案:165.在集合A ={2,3}中随机取一个元素m ,在集合B ={1,2,3}中随机取一个元素n ,得到点P (m ,n ),则点P 在圆x 2+y 2=9内部的概率为________.解析:点P (m ,n )共有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)6种情况,只有(2,1),(2,2)这两种情况满足在圆x 2+y 2=9内部,所以所求概率为26=13.答案:13考点一简单古典概型的求法[例1] (1)(2013·江西高考)集合A ={2,3},B ={1,2,3},从A ,B 中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是( )A.23B.12C.13D.16(2)(2013·新课标全国卷Ⅰ)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )A.12B.13C.14D.16[自主解答] (1)从A ,B 中各任意取一个数,共有6种取法,其中两数之和为4的是(2,2),(3,1).所以两数之和等于4的概率为26=13.(2)任取两个数共有6种取法,取出两个数之差的绝对值为2的有(1,3),(2,4)2种结果. 所以概率为26=13.[答案] (1)C (2)B【互动探究】在本例(1)中,若将“则这两数之和等于4的概率”改为“则这两数之和等于5的概率”,则结果如何?解:由原题知从A ,B 中各任意取一个数共有6种取法,其中两数之和等于5的是(2,3),(3,2),故其概率为26=13.【方法规律】1.求古典概型概率的基本步骤 (1)算出所有基本事件的个数n .(2)求出事件A 包含的所有基本事件数m . (3)代入公式P (A )=mn,求出P (A ). 2.基本事件个数的确定方法(1)列举法:此法适合于基本事件较少的古典概型.(2)列表法:此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成是坐标法.(2014·重庆模拟)有编号为A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6的6位同学,进行100米赛跑,得到下面的成绩:编号 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 成绩(秒)12.212.411.813.111.813.3(1)从上述6名同学中,随机抽取一名,求这名同学成绩优秀的概率;(2)从成绩优秀的同学中,随机抽取2名,用同学的编号列出所有可能的抽取结果,并求这2名同学的成绩都在12.3秒内的概率.解:(1)由所给的成绩可知,优秀的同学有4名,设“从6名同学中随机抽取一名是优秀”为事件A ,则P (A )=46=23.(2)优秀的同学编号是A 1,A 2,A 3,A 5,从这4名同学中抽取2名,所有的可能情况是:(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,A 5),(A 2,A 3),(A 2,A 5),(A 3,A 5);设“这2名同学成绩都在12.3以内”为事件B ,符合要求的情况有:(A 1,A 3),(A 1,A 5),(A 3,A 5),所以P (B )=36=12.考点二较复杂古典概型的概率[例2] (1)(2013·安徽高考)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为( )A.23B.25C.35D.910(2)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别,公司准备了两种不同的饮料共5杯,其颜色完全相同,并且其中3杯为A 饮料,另外2杯为B 饮料,公司要求此员工一一品尝后,从5杯饮料中选出3杯A 饮料.若该员工3杯都选对,则评为优秀;若3杯选对2杯,则评为良好;否则评为合格.假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力.①求此人被评为优秀的概率; ②求此人被评为良好及以上的概率.[自主解答] (1)记事件A 为“甲或乙被录用”.从五人中录用三人,基本事件有(甲,乙,丙)、(甲,乙,丁)、(甲,乙,戊)、(甲,丙,丁)、(甲,丙,戊)、(甲,丁,戊)、(乙,丙,丁)、(乙,丙,戊)、(乙,丁,戊)、(丙,丁,戊),共10种可能,而A 的对立事件A -仅有(丙,丁,戊)一种可能,则A 的对立事件A -的概率为P (A -)=110.故P (A )=1-P (A -)=910.(2)将5杯饮料编号为:1,2,3,4,5,编号1,2,3表示A 饮料,编号4,5表示B 饮料,则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共有10种.令D 表示事件“此人被评为优秀”,E 表示事件“此人被评为良好”,F 表示事件“此人被评为良好及以上”,则①P (D )=110.②因为P (E )=610=35,所以P (F )=P (D )+P (E )=710.[答案] (1)D 【方法规律】求较复杂事件的概率问题的方法(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件,再利用互斥事件的概率加法公式求解. (2)先求其对立事件的概率,再利用对立事件的概率公式求解.甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率;(2)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一学校的概率.解:(1)甲校两名男教师分别用A ,B 表示,女教师用C 表示;乙校男教师用D 表示,两名女教师分别用E ,F 表示.从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为:(A ,D ),(A ,E ),(A ,F ),(B ,D ),(B ,E ),(B ,F ),(C ,D ),(C ,E ),(C ,F ),共9种.从中选出两名教师性别相同的结果有:(A ,D ),(B ,D ),(C ,E ),(C ,F ),共4种,所以选出的2名教师性别相同的概率为P =49.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为:(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(A ,E ),(A ,F ),(B ,C ),(B ,D ),(B ,E ),(B ,F ),(C ,D ),(C ,E ),(C ,F ),(D ,E ),(D ,F ),(E ,F ),共15种.从中选出两名教师来自同一学校的结果有:(A ,B ),(A ,C ),(B ,C ),(D ,E ),(D ,F ),(E ,F ),共6种.所以选出的2名教师来自同一学校的概率为P =615=25.高频考点 考点三 古典概型与统计的综合应用1.古典概型与统计的综合应用,是高考命题的热点,多以解答题的形式呈现,试题难度不大,多为容易题或中档题.2.高考对古典概型与统计的综合应用的考查主要有以下几个命题角度: (1)由频率来估计概率;(2)由频率估计部分事件发生的概率; (3)求方差(或均值)等.[例3] (2013·天津高考)某产品的三个质量指标分别为x ,y ,z ,用综合指标S =x +y +z 评价该产品的等级.若S ≤4, 则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下: 产品编号 A 1A 2A 3A 4A 5质量指标 (x, y, z ) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) 产品编号 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 质量指标(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)(x, y, z)(2)在该样本的一等品中,随机抽取2件产品,①用产品编号列出所有可能的结果;②设事件B为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S都等于4”,求事件B 发生的概率.[自主解答](1)计算10件产品的综合指标S,如下表:产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10 S 446345453 5其中S≤4的有A1,A2,A4,A5,A7,A9,共6件,故该样本的一等品率为610=0.6,从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中,随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A7},{A1,A9},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A7},{A2,A9},{A4,A5},{A4,A7},{A4,A9},{A5,A7},{A5,A9},{A7,A9},共15种.②在该样本的一等品中,综合指标S等于4的产品编号分别为A1,A2,A5,A7,则事件B发生的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A5},{A1,A7},{A2,A5},{A2,A7},{A5,A7},共6种.所以P(B)=615=25.古典概型与统计综合应用的常见类型及解题策略(1)由频率来估计概率.利用频率与概率的关系来估计.(2)由频率来估计部分事件发生的概率.往往结合题设条件.注意事件的互斥、对立,利用概率的加法公式求解.(3)求方差(或均值).结合题设中的数据、方差(或均值公式)求解.一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):轿车A 轿车B 轿车C舒适型100150z标准型300450600A类轿车10辆.(1)求z的值;(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;(3)用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下: 9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2,把这8辆轿车的得分看成一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.解:(1)依据条件可知,轿车A 、B 的抽样,A 类轿车抽样比为10100+300.因此本月共生产轿车40010×50=2 000(辆).故z =2 000-(100+300+150+450+600)=400(辆). (2)设所抽取样本中有a 辆舒适型轿车, 由题意得4001 000=a5,则a =2.因此抽取的容量为5的样本中,有2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车.用A 1,A 2表示2辆舒适型轿车,用B 1,B 2,B 3表示3辆标准型轿车,用E 表示事件“在该样本中任取2辆,其中至少有1辆舒适型轿车”,则基本事件空间包含的基本事件有:(A 1,A 2),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,B 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,B 3),(B 1,B 2),(B 1,B 3),(B 2,B 3),共10个.事件E 包含的基本事件有:(A 1,A 2),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,B 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,B 3),共7个. 故P (E )=710,即所求概率为710.(3)样本平均数x -=18×(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9.设D 表示事件“从样本中任取一个数,该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”,则基本事件空间中有8个基本事件,事件D 包含的基本事件有:9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0,共6个,所以P (D )=34,即所求概率为34.————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————3种方法——基本事件个数的确定方法 (1)列举法:(见本节考点一[方法规律]); (2)列表法:(见本节考点一[方法规律]);(3)树状图法:树状图是进行列举的一种常用方法,适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探求.2个技巧——求解古典概型问题概率的技巧(1)较为简单问题可直接使用古典概型的概率公式计算;(2)较为复杂的概率问题的处理方法:一是转化为几个互斥事件的和,利用互斥事件的加法公式进行求解;二是采用间接法,先求事件A的对立事件A的概率,再由P(A)=1-P(A)求事件A的概率.1个构建——构建不同的概率模型解决问题(1)原则:建立概率模型的一般原则是“结果越少越好”,这就要求选择恰当的观察角度,把问题转化为易解决的古典概型问题;(2)作用:一方面,对于同一个实际问题,我们有时可以通过建立不同“模型”来解决,即“一题多解”,在这“多解”的方法中,再寻求较为“简捷”的解法;另一方面,我们又可以用同一种“模型”去解决很多“不同”的问题,即“多题一解”.答题模板(七)求古典概型的概率[典例](2013·山东高考)(12分)某小组共有A,B,C,D,E五位同学,他们的身高(单位:米)及体重指标(单位:千克/米2)如下表所示:A B C D E身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82体重指标19.225.118.523.320.9(1) 1.78以下的概率;(2)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率.[快速规范审题]第(1)问1.审结论,明解题方向观察所求结论:求选到的2人身高都在1.78以下的概率应求2人身高都在1.78以下的选法与2人身高都在1.80以下选法之比――→2.审条件,挖解题信息观察条件:由表中的数据得出身高1.80以下的有A,B,C,D4人,身高在1.78以下的有A,B,C 3人.3.建联系,找解题突破口身高1.80以下选2人有(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共6种情况;身高1.78以下选2人有(A ,B ),(A ,C ),(B ,C ),共3种情况,利用公式求解.第(2)问1.审结论,明解题方向观察所求结论:求选到2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率 应求从身高都在 1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的选2――→人的种数与从该小组同学中选2人的种数之比2.审条件,挖解题信息观察条件:如表中数据得出该小组共有5人,其中身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的人有C ,D ,E ,共3人.3.建联系,找解题突破口从该小组中选2人共有10种方法,从C ,D ,E 中选2人共有3种方法,利用公式求解.[准确规范答题]列举从4人中选2人的可能结果时,易漏掉或重复某种结果(1)从身高低于1.80的同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(B ,C ),(B ,D ),(C ,D ),共6种. ⇨2分由于每个人被选到的机会均等,因此这些 基本事件的出现是等可能的.选到的2人的身高都在1.78以下的事件有:(A ,B ),(A ,C ),(B ,C ),共3种. ⇨4分因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P =36=12. ⇨6分所有事件包含的事件数列举不全或重复(2)从该小组同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(A ,E ),(B ,C ),(B ,D ),(B ,E ),(C ,D ),(C ,E ),(D ,E ),共10种. ⇨8分由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有:(C ,D ),(C ,E ),(D ,E ),共3种. ⇨10分因此选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P 1=310.⇨12分[答题模板速成]求古典概型概率的一般步骤:第一步 审清题意理清题意,列出所有基本事件,计算基本事件总数第二步 建立数量关系 分析所求事件,找出所求事件的个数第三步 转化为数学模型 根据古典概型的概率公式求解得出结论第四步 解决数学问题解后反思,规范解答步骤,检查计数过程是否有误[全盘巩固]1.投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为m 和n ,则得到点数相同的概率为( ) A.13 B.14 C.16 D.112解析:选C 投掷两颗骰子得到点数相同的情况只有6种,所以所求概率为66×6=16.2.一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1 000个大小相同的小正方体,若将这些小正方体均匀地搅混在一起,则任意取出一个正方体其三面涂有油漆的概率是( )A.112B.110C.325D.1125解析:选D 小正方体三面涂有油漆的有8种情况,故所求概率为81 000=1125.3.连掷两次骰子分别得到点数m 、n ,则向量(m ,n )与向量(-1,1)的夹角θ>90°的概率是( )A.512B.712C.13D.12解析:选A 因为(m ,n )·(-1,1)=-m +n <0,所以m >n .基本事件总共有6×6=36(个),符合要求的有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),…,(5,4),(6,1),…,(6,5),共1+2+3+4+5=15(个).故P =1536=512.4.(2014·杭州模拟)在一个盒子中有编号为1,2的红球2个,编号为1,2的白球2个,现从盒子中摸出两个球,每个球被摸到的概率相同,则摸出的两个球中既含有2种不同颜色又含有2个不同编号的概率是( )A.16B.14C.13D.12解析:选C 从4个球中摸出2个球的情况共有6种,其中2球颜色不同且编号不同的情况有2种,故所求概率P =26=13. 5.已知A ={1,2,3},B ={x ∈R |x 2-ax +b =0,a ∈A ,b ∈A },则A ∩B =B 的概率是( ) A.29 B.13 C.89D .1 解析:选C 因为A ∩B =B ,所以B 可能为∅,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3}.当B =∅时,a 2-4b <0,满足条件的a ,b 为a =1,b =1,2,3;a =2,b =2,3;a =3,b =3.当B ={1}时,满足条件的a ,b 为a =2,b =1.当B ={2},{3}时,没有满足条件的a ,b .当B ={1,2}时,满足条件的a ,b 为a =3,b =2.当B ={2,3},{1,3}时,没有满足条件的a ,b .故A ∩B =B 的概率为83×3=89. 6.(2014·深圳模拟)一名同学先后投掷一枚骰子两次,第一次向上的点数记为x ,第二次向上的点数记为y ,在直角坐标系xOy 中,以(x ,y )为坐标的点落在直线2x +y =8上的概率为( )A.16B.112C.536D.19解析:选B 基本事件的总数是36,随机事件包含的基本事件是(1,6),(2,4),(3,2),根据古典概型的公式,得所求的概率是336=112. 7.(2013·新课标全国卷Ⅱ)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是________.解析:任取两个不同的数的情况有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个,其中和为5的有2个,所以所求概率为210=0.2. 答案:0.28.(2013·浙江高考)从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等),这2名都是女同学的概率等于________.解析:设3名男同学分别为a 1、a 2、a 3,3名女同学分别为b 1、b 2、b 3,则从6名同学中任选2名的结果有a 1a 2,a 1a 3,a 2a 3,a 1b 1,a 1b 2,a 1b 3,a 2b 1,a 2b 2,a 2b 3,a 3b 1,a 3b 2,a 3b 3,b 1b 2,b 1b 3,b 2b 3,共15种,其中都是女同学的有3种,所以概率P =315=15. 答案:159.从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为22的概率是________. 解析:设正方形ABCD 的中心为O ,从A 、B 、C 、D 、O 五点中,随机取两点,所有可能的结果为AB ,AC ,AD ,BC ,BD ,CD ,AO ,BO ,CO ,DO ,共10种,其中距离为22的结果有AO ,BO ,CO ,DO ,共4种,故所求概率为410=25.答案:2510. (2013·江西高考)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为:以O 为起点,再从A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X ,若X >0就去打球,若X =0就去唱歌,若X <0就去下棋.(1)写出数量积X 的所有可能取值; (2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率. 解:(1)X 的所有可能取值为-2,-1,0,1. (2)数量积为-2的有2OA u u u u r ·5OA u u u u r ,共1种; 数量积为-1的有1OA u u u r ·5OA u u u u r ,1OA u u u r ·6OA u u u u r ,2OA u u u u r ·4OA u u u u r ,2OA u u u u r ·6OA u u u u r ,3OA u u u u r ·4OA u u u u r ,3OA u u u u r ·5OA u u u u r ,共6种; 数量积为0的有1OA u u u r ·3OA u u u u r ,1OA u u u r ·4OA u u u u r ,3OA u u u u r ·6OA u u u u r ,4OA u u u u r ·6OA u u u u r ,共4种; 数量积为1的有1OA u u u r ·2OA u u u u r ,2OA u u u u r ·3OA u u u u r ,4OA u u u u r ·5OA u u u u r ,5OA u u u u r ·6OA u u u u r ,共4种.故所有可能的情况共有15种.所以小波去下棋的概率为P 1=715; 因为去唱歌的概率为P 2=415, 所以小波不去唱歌的概率P =1-P 2=1-415=1115. 11.将一颗骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,求:(1)两数之和为5的概率;(2)两数中至少有一个奇数的概率.解:将一颗骰子先后抛掷2次,此问题中含有36个等可能的基本事件.(1)记“两数之和为5”为事件A ,则事件A 中含有4个基本事件,所以P (A )=436=19.所以两数之和为5的概率为19. (2)记“两数中至少有一个奇数”为事件B ,则事件B 与“两数均为偶数”为对立事件.所以P (B )=1-936=34. 所以两数中至少有一个奇数的概率为34. 12.(2014·雅安模拟)甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2,红桃3,红桃4,方片4)玩游戏,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张.(1)设(i ,j )表示甲、乙抽到的牌面数字(如果甲抽到红桃2,乙抽到红桃3,记为(2,3)),写出甲乙两人抽到的牌的所有情况;(2)若甲抽到红桃3,则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少?(3)甲乙约定,若甲抽到的牌面数字比乙大,则甲胜;否则,乙胜,你认为此游戏是否公平?请说明理由.解:(1)方片4用4′表示,则甲乙两人抽到的牌的所有情况为:(2,3),(2,4),(2,4′),(3,2),(3,4),(3,4′),(4,2),(4,3),(4,4′),(4′,2),(4′,3),(4′,4)共12种不同的情况(2)甲抽到3,乙抽到的牌只能是2,4,4′,因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为23. (3)甲抽到的牌比乙大,有(4,2),(4,3),(4′,2),(4′,3),(3,2),共5种情况.甲胜的概率为P 1=512,乙胜的概率为P 2=712.因为512<712,所以此游戏不公平. [冲击名校]现有编号分别为1,2,3,4,5的五道不同的政治题和编号分别为6,7,8,9的四道不同的历史题.甲同学从这九道题中一次性随机抽取两道题,每道题被抽到的概率是相等的,用符号(x ,y )表示事件“抽到的两道题的编号分别为x 、y ,且x <y ”.(1)问有多少个基本事件,并列举出来;(2)求甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11的概率.解:(1)共有36个等可能的基本事件,列举如下:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(1,9),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(3,9),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(6,7),(6,8),(6,9),(7,8),(7,9),(8,9).(2)记“甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11”为事件A ,则事件A 为“x ,y ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9},且x +y ∈[11,17),其中x <y ”.由(1)可知事件A 共包含15个基本事件,列举如下:(2,9),(3,8),(3,9),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(6,7),(6,8),(6,9),(7,8),(7,9),所以P (A )=1536=512.即甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11的概率为512.。

高考数学总复习 10-5 古典概型与几何概型课件 新人教B版

高考数学总复习 10-5 古典概型与几何概型课件 新人教B版

一、解答概率初步题解题要点 1.求解古典概型概率,首先要找准基本事件,判断 的标准就是有限性和等可能性.基本事件空间中基本事 件的计算方法和事件 A 中包含的基本事件计算方法必须 保持一致,计数时可以采取一一列举的方法,也可以采 用模型化方法或用计数原理求,并辅以必要的文字说明. 2.注意事件是否互斥;遇到“至多”、“至少”等 事件时,注意对立事件概率公式的应用.
是等可能事件 . ③一周七天中,“周一晴天”,“周二晴 天”,„,“周六晴天”,“星期天晴天” . 它们是等可 能事件,不是彼此互斥事件.
2.“概率为 0 的事件”与“不可能事件”是两个不 同的概念,应区别. 3.计算古典概型和几何概型的概率时,一定要把握 基本事件的等可能性. 4. 抽样方法要区分有无放回抽样, 是否与顺序有关.
分析:(1)依分层抽样的定义知,各个个体被抽到的 机会均等,可求 x、 y; (2)将 B、 C 高校抽取的人编号,可列举试验“从中 任选两人”所包含的所有基本事件,及事件“这 2 人都 来自高校 C”所包含的基本事件,由古典概型可求概率.
x 2 y 解析:(1)由题意可得, = = ,所以 x= 1, y 18 36 54 = 3. (2)记从高校 B 抽取的 2 人为 b1, b2,从高校 C 抽取 的 3 人为 c1, c2, c3,则从高校 B, C 抽取的 5 人中选 2 人作专题发言的基本事件有 (b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2, c2), (b2, c3), (c1, c2),(c1, c3), (c2, c3)共 10 种.
3.几何概型 区域 A 为区域 Ω 的一个子区域,如果每个事件发生 的概率只与构成该事件的区域 A 的几何度量 (长度、面积 或体积 )成正比,而与 A 的位置和形状无关,则称这样的 概率模型为几何概率模型. μA 几何概型的概率 P(A)= ,其中 μA 表示构成事件 A μΩ 的区域长度(面积或体积 ).μΩ 表示试验的全部结果所构成 区域的长度(面积或体积 ).

2015高考数学一轮课件:第10篇 第5节 古典概型与几何概型

2015高考数学一轮课件:第10篇 第5节 古典概型与几何概型

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求古典概型概率的步骤: (1)读题,理解题意; (2)判断试验结果是否为等可能事件,设出所求事件A; (3)分别求出基本事件总数n与所求事件A所包含的基本事 件的个数m;
(4)利用公式P(A)=mn 求出事件A的概率.
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第5节 古典概型与几何概型
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1.古典概型 (1)基本事件的特点 ①任何两个基本事件是 互斥的; ②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的 和.
数学(人教A版 ·理科 (AH) 第二十四页,编辑于星期五:十三点 三十六分。
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与长度(角度)有关的几何概型
[例3] (1)(2013年高考山东卷)在区间[-3,3]上随机取一 个数x,使得|x+1|-|x-2|≥1成立的概率为________.
(2)在等腰直角三角形ABC中,过直角顶点C在∠ACB内部 任 作 一 条 射 线 CM , 与 AB 交 于 点 M , 则 AM<AC 的 概 率 为 ________.
[思维导引] (1)解不等式|x+1|-|x-2|≥1求出x的取值区 间的长度,利用长度比表示所求几何概型;(2)由题意可确定 “测度”是角度,利用角度比表示所求几何概型.
数学(人教A版 ·理科 (AH) 第二十五页,编辑于星期五:十三点 三十六分。
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2015届高考数学一轮总复习 10-5古典概型与几何概型基础巩固强化一、选择题1.已知α、β、γ是不重合平面,a 、b 是不重合的直线,下列说法正确的是( ) A .“若a ∥b ,a ⊥α,则b ⊥α”是随机事件 B .“若a ∥b ,a ⊂α,则b ∥α”是必然事件 C .“若α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β”是必然事件 D .“若a ⊥α,a ∩b =P ,则b ⊥α”是不可能事件 [答案] D [解析]⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α,故A 错;⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊂α⇒b ∥α或b ⊂α,故B 错;当α⊥γ,β⊥γ时,α与β可能平行,也可能相交(包括垂直),故C 错;如果两条直线垂直于同一个平面,则此二直线必平行,故D 为真命题.2.(文)4张卡片上分别写有数字1、2、3、4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )A.13B.12 C.23 D.34 [答案] C[解析] 取出两张卡片的基本事件构成集合Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}共6个基本事件.其中数字之和为奇数包含(1,2),(1,4),(2,3),(3,4)共4个基本事件, ∴所求概率为P =46=23.(理)(2013·宿州质检)一颗质地均匀的正方体骰子,其六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6,将这颗骰子连续抛掷三次,观察向上的点数,则三次点数依次构成等差数列的概率为( )A.112B.118 C.136 D.7108 [答案] A[解析] 连续抛掷三次共有63=216(种)情况,记三次点数分别为a 、b 、c ,则a +c =2b ,所以a +c 为偶数,则a 、c 的奇偶性相同,且a 、c 允许重复,一旦a 、c 确定,b 也唯一确定,故a ,c 共有2×32=18(种),所以所求概率为18216=112,故选A.3.(文)(2013·惠州调研)一个袋中装有2个红球和2个白球,现从袋中取出1个球,然后放回袋中再取出1个球,则取出的2个球同色的概率为( )A.12B.13C.14D.25[答案] A[解析] P =2×2+2×24×4=12.(理)(2013·皖南八校联考)一个袋子中有5个大小相同的球,其中有3个黑球与2个红球,如果从中任取两个球,则恰好取到两个同色球的概率是( )A.15 B.310 C.25D.12[答案] C[解析] P =C 23+C 22C 25=25.4.(文)(2013·郑州第一次质量预测)一数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做实验计算圆周率,他们向一个边长为1米的正方形区域均匀撒豆,测得正方形区域有豆5120颗,正方形的内切圆区域有豆4009颗,则他们所测得的圆周率为(保留三位有效数字)( )A .3.13B .3.14C .3.15D .3.16[答案] A[解析] 根据几何概型的定义有π·(12)21=40095120,得π≈3.13.(理)点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动,则动点P 到定点A 的距离|P A |<1的概率为( ) A.14 B.12 C.π4D .π[答案] C[解析] 由题意可知,当动点P 位于扇形ABD 内时,动点P 到定点A 的距离|P A |<1,根据几何概型可知,动点P 到定点A 的距离|P A |<1的概率为S 扇形ABD S 正方形ABCD =π4,故选C.5.(文)(2013·石家庄质检)在圆的一条直径上,任取一点作与该直径垂直的弦,则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为( )A.14B.13C.12D.32[答案] C[解析] 如图,设圆的半径为r ,圆心为O ,AB 为圆的一条直径,CD 为垂直于AB 的一条弦,垂足为M ,若CD 为圆内接正三角形的一条边,则O 到CD 的距离为r2,设EF 为与CD 平行且到圆心O 距离为r2的弦,交直径AB 于点N ,所以当过AB 上的点且垂直于AB 的弦的长度超过CD 时,该点在线段MN 上移动,所以所求概率P =r 2r =12,选C.(理)(2013·湖南)已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ,使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12,则ADAB=( )A.12 B.14C.32 D.74[答案] D [解析]由题意知AB >AD ,如图,当点P 与E (或F )重合时,△ABP 中,AB =BP (或AP ),当点P 在EF 上运动时,总有AB >AP ,AB >BP ,由题中事件发生的概率为12知,点P 的分界点E 、F 恰好是边CD的四等分点,由勾股定理可得AB 2=AF 2=(34AB )2+AD 2,解得(AD AB )2=716,即AD AB =74,故选D.6.(2013·武昌区联考)若从区间(0,2)内随机取两个数,则这两个数的比不小于4的概率为( ) A.18 B.78 C.14D.34[答案] C[解析] 设这两个数分别为x ,y ,则由条件知0<x <2,0<y <2,y ≥4x 或x ≥4y ,则所求概率P =2×(12×2×12)2×2=14.二、填空题7.(2013·郑州二检)连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ,设向量a =(m ,n )与向量b =(1,-1)的夹角为θ,则θ∈⎝⎛⎤0,π2的概率是________. [答案]712[解析] ∵cos θ=m -n2·m 2+n 2,θ∈⎝⎛⎦⎤0,π2, ∴m ≥n ,满足条件m =n 的概率为636=16,m >n 的概率与m <n 的概率相等, ∴m >n 的概率为12×⎝⎛⎭⎫1-16=512, ∴满足m ≥n 的概率为P =16+512=712.8.(文)(2012·浙江文,12)从边长为1的正方形的中心和顶点这五个点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为22的概率是________. [答案] 25[解析]由五个点中随机取两点共有10种取法.由图可知两点间的距离为22的是中心和四个顶点组成的4条线段,故概率为P =410=25. (理)在区间[1,5]和[2,4]分别各取一个数,记为m 和n ,则方程x 2m 2+y 2n 2=1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________.[答案] 12[解析] ∵方程x 2m 2+y 2n2=1表示焦点在x 轴上的椭圆,∴m >n .由题意知,在矩形ABCD 内任取一点P (m ,n ),求P 点落在阴影部分的概率,易知直线m =n恰好将矩形平分,∴p =12.9.(文)在区间[-1,1]上随机取一个数k ,则直线y =k (x +2)与圆x 2+y 2=1有公共点的概率为________.[答案]33[解析] ∵直线与圆有公共点,∴|2k |k 2+1≤1, ∴-33≤k ≤33.故所求概率为P =33-(-33)1-(-1)=33.(理)(2013·大连、沈阳联考)若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a 和b ,则方程x =22a -2bx有不等实数根的概率为________.[答案]12[解析]方程x =22a -2bx 化为x 2-22ax +2b =0,∵方程有两个不等实根, ∴Δ=8a -8b >0,∴a >b , 如图可知,所求概率P =12.三、解答题10.(文)设平面向量a m =(m,1),b n =(2,n ),其中m 、n ∈{1,2,3,4}. (1)请列出有序数组(m ,n )的所有可能结果;(2)记“使得a m ⊥(a m -b n )成立的(m ,n )”为事件A ,求事件A 发生的概率. [解析] (1)有序数组(m ,n )的所有可能结果为:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共16个.(2)由a m ⊥(a m -b n )得m 2-2m +1-n =0,即n =(m -1)2由于m 、n ∈{1,2,3,4},故事件A 包含的基本事件为(2,1),(3,4),共2个.又基本事件的总数为16,故所求的概率为P (A )=216=18. (理)(2013·北京东城区统一检测)袋内装有6个球,这些球依次被编号为1、2、3、…、6,设编号为n 的球重n 2-6n +12(单位:g),这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响).(1)从袋中任意取出一个球,求其重量大于其编号的概率; (2)如果不放回地任意取出2个球,求它们重量相等的概率. [解析] (1)若编号为n 的球的重量大于其编号, 则n 2-6n +12>n ,即n 2-7n +12>0. 解得n <3,或n >4. 所以n =1,2,5,6.所以从袋中任意取出一个球,其重量大于其编号的概率P =46=23.(2)不放回地任意取出2个球,这两个球编号的所有可能情形为(不分取出的先后次序): 1,2;1,3;1,4;1,5;1,6; 2,3;2,4;2,5;2,6; 3,4;3,5;3,6; 4,5;4,6; 5,6. 共有15种.设编号分别为m 与n (m ,n ∈{1,2,3,4,5,6},且m ≠n )的球的重量相等,则有m 2-6m +12=n 2-6n +12,即有(m -n )(m +n -6)=0.所以m =n (舍去),或m +n =6.满足m +n =6的情形为:1,5;2,4,共2种. 故所求事件的概率为215.能力拓展提升一、选择题11.(2013·北京海淀期末)一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏,让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行,若卡片按从左到右的顺序排成“1314”,则孩子会得到父母的奖励,那么孩子受到奖励的概率为( )A.112B.512C.712D.56 [答案] A[解析] 先从4个位置中选一个排4,再从剩下位置中选一个排3,所有可能的排法有4×3=12种,满足要求的排法只有1种,∴所求概率为P =112.12.(文)(2012·辽宁文,11)在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ,现作一矩形,邻边长分别等于线段AC 、CB 的长,则该矩形面积大于20cm 2的概率为( )A.16B.13C.23D.45[答案] C[解析] 在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ,设AC =x ,则BC =12-x ,∴x (12-x )>20,∴2<x <10,因此总的几何度量为12,满足矩形面积大于20cm2的点在C 1与C 2之间的部分,如图∴P =812=23.关键在于找出总长度及事件“矩形的面积大于20cm 2”所表示区域的长度.(理)(2012·湖北理,8)如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以OA 、OB 为直径作两个半圆,在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )A .1-2πB.12-1πC.2πD.1π[答案] A[分析] 在扇形OAB 内随机取一点,此点落在阴影部分的概率属于几何概型问题,关键是求阴影部分的面积,如图设阴影部分两块的面积分别为S 1、S 2,OA =R ,则S 1=2(S 扇形DOC -S △DOC ),S 2=S 扇形OAB -S ⊙D +S 1.[解析] 设图中阴影面积分别为S 1,S 2,令OA =R ,由图形知,S 1=2(S 扇ODC -S △ODC ) =2[π·(R 2)24-12·(R 2)2]=πR 2-2R 28,S 2=S 扇形OAB -S ⊙D +S 1=14πR 2-π·(R 2)2+πR 2-2R 28=πR 2-2R 28, ∴所求概率P =S 1+S 2S 扇形OAB=πR 2-2R 2414πR 2=1-2π.[点评] 1.当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时,应考虑使用几何概型求解;2.利用几何概型求概率时,关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的计算,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域.13.在区间(0,1)上任取两个数,则两个数之和小于65的概率是( )A.1225B.1625C.1725D.1825 [答案] C[解析] 设两数为x 、y ,则0<x <1,0<y <1,满足x +y <65的点在图中阴影部分,∴所求概率为P =1-12×(1-15)21=1725,故选C .二、填空题14.(文)(2013·大连模拟)在长为16cm 的线段AB 上任取一点M ,并以线段AM 为一边作正方形,则此正方形的面积介于25cm 2与81cm 2之间的概率为________.[答案] 14[解析] 正方形的面积介于25cm 2与81cm 2之间,即线段AM 长介于5cm 与9cm 之间,即点M 可以在5~9cm 之间取,长度为4cm ,总长为16cm ,所以,所求概率为416=14.(理)(2013·南昌一模)张先生订了一份《南昌晚报》,送报人在早上6:30—7:30之间把报纸送到他家,张先生离开家去上班的时间在早上7:00—8:00之间,则张先生在离开家之前能拿到报纸的概率是________.[答案] 78[解析]以横坐标x 表示报纸送到时间,以纵坐标y 表示张先生离家时间,建立平面直角坐标系,如图.因为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件.根据题意当y >x 时,即只要点落到阴影部分,就表示张先生在离开家之前能拿到报纸,即所求事件A 发生,所以P (A )=1×1-12×12×121×1=78.15.(2013·南京模拟)在集合A ={2,3}中随机取一个元素m ,在集合B ={1,2,3}中随机取一个元素n ,得到点P (m ,n ),则点P 落在圆x 2+y 2=9内部的概率为________.[答案] 13[解析] 点P 的取法有2×3=6种,点P 在圆内部,则m 2+n 2<9,∴m =2,n =1或2.∴所求概率P =26=13. 三、解答题16.(文)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别,公司准备了两种不同的饮料共5杯,其颜色完全相同,并且其中3杯为A 饮料,另外2杯为B 饮料,公司要求此员工一一品尝后,从5杯饮料中选出3杯A 饮料.若该员工3杯都选对,测评为优秀;若3杯选对2杯测评为良好;否测评为合格.假设此人对A 和B 饮料没有鉴别能力.(1)求此人被评为优秀的概率;(2)求此人被评为良好及以上的概率.[解析] 将5杯饮料编号为:1,2,3,4,5,编号1、2、3表示A 饮料,编号4、5表示B 饮料,则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为:(123),(124),(125),(134),(135),(145),(234)(235),(245),(345),共有10种令D 表示此人被评为优秀的事件,E 表示此人被评为良好的事件,F 表示此人被评为良好及以上的事件,则(1)P (D )=110, (2)P (E )=35,P (F )=P (D )+P (E )=710. (理)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n 个.已知从袋子中随机抽取1个小球,取到标号是2的小球的概率是12. (1)求n 的值;(2)从袋子中不放回地随机抽取两个小球,记第一次取出的小球标号为a ,第二次取出的小球标号为b .①设事件A 表示“a +b =2”,求事件A 的概率;②在区间[0,2]内任取两个实数x 、y ,求事件“x 2+y 2>(a -b )2恒成立”的概率.[解析] (1)由题意可知:n 1+1+n =12,解得n =2. (2)将标号为2的小球记作a 1,a 2①两次不放回抽取小球的所有基本事件为:(0,1),(0,a 1),(0,a 2),(1,0),(1,a 1),(1,a 2),(a 1,0),(a 1,1),(a 1,a 2),(a 2,0),(a 2,1),(a 2,a 1),共12个,事件A 包含的基本事件为:(0,a 1),(0,a 2),(a 1,0),(a 2,0),共4个.∴P (A )=412=13. ②记“x 2+y 2>(a -b )2恒成立”为事件B ,则事件B 等价于“x 2+y 2>4”,(x ,y )可以看成平面中的点,则全部结果所构成的区域Ω={(x ,y )|0≤x ≤2,0≤y ≤2,x ,y ∈R },而事件B 所构成的区域B ={(x ,y )|x 2+y 2>4,x ,y ∈Ω},∴P (B )=S B S Ω=2×2-π2×2=1-π4.考纲要求1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.3.了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率.4.了解几何概型的意义.补充说明1.求解与角度有关的几何概型的注意点当涉及射线的转动,扇形中有关落点区域问题时,应以角的大小作为区域度量来计算概率,切不可用线段代替,这是两种不同的度量手段.2..求解古典概型概率,首先要找准基本事件,判断的标准就是有限性和等可能性.基本事件空间中基本事件的计算方法和事件A 中包含的基本事件计算方法必须保持一致,计数时可以采取一一列举的方法,也可以采用模型化方法或用计数原理求,并辅以必要的文字说明.3.注意事件是否互斥;遇到“至多”、“至少”等事件时,注意对立事件概率公式的应用. 备选习题 1.(2013·哈尔滨二模)如图的矩形长为5,宽为2,在矩形内随机地撒300颗黄豆,数得落在阴影部分的黄豆数为138颗,由此我们可以估计出阴影部分的面积约为( )A.165B.215C.235D.195[答案] C[解析] 由几何概型的概率公式,得S 10=138300,所以阴影部分面积约为235,故选C. 2.从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )A.110B.18C.16D.15[答案] D[解析] 如图正六边形ABCDEF ,从6个顶点中随机选择4个顶点有ABCD ,ABCE ,ABCF ,ABDE ,ABDF ,ACDE ,ACDF ,ACEF ,ADEF ,BCDE ,BCDF ,BCEF ,ABEF ,BDEF ,CDEF 共15种选法,基本事件总数为15,其中四边形是矩形的有ABDE ,BCEF ,CDF A 共3种,所以所求概率为P =315=15.3.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(他们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6),骰子朝上的面的点数分别为x 、y ,则log 2x y =1的概率为( )A.16B.536C.112D.12[答案] C[解析] 先后抛掷两枚骰子,向上点数共有6×6=36种不同结果,其中满足log 2x y =1, 即y =2x 的情况如下:x =1时,y =2;x =2时,y =4;x =3时,y =6,共3种.∴所求概率为P =336=112. [点评] 注意细微差别,若把题目中的条件log 2x y =1改为log 2x y >1,则所求概率为( ) 此时答案为A这是因为抛掷两枚骰子共有62=36种不同结果,∵log 2x y >1,∴y >2x .当x =1时,y 有4种取法;当x =2时,y 有2种取法;当x =3时,没有y 满足,∴满足y >2x 的取法共有4+2=6种,故所求概率P =636=16. 若改为log x 2y <1呢?4.设a ∈[0,2],b ∈[0,4],则函数f (x )=x 2+2ax +b 在R 上有两个不同零点的概率为________.[答案] 13[解析]∵f (x )有两个不同零点,∴Δ=4a 2-4b >0,∴b <a 2,如图,设点(a ,b )落在阴影部分(即满足0≤a ≤2,0≤b ≤4且b <a 2)的事件为A ,由于阴影部分面积S =⎠⎛02a 2d a =13a 3|20=83, 故所求事件A 的概率P (A )=832×4=13. 5.盒子内装有10张卡片,分别写有1~10的10个整数,从盒子中任取1张卡片,记下它的读数x ,然后放回盒子内,第二次再从盒子中任取1张卡片,记下它的读数y .试求:(1)x +y 是10的倍数的概率;(2)xy 是3的倍数的概率.[解析] 先后取两次卡片,每次都有1~10这10个结果,故形成的数对(x ,y )共有100个.(1)x +y 是10的倍数的数对包括以下10个:(1,9),(9,1),(2,8),(8,2),(3,7),(7,3),(4,6),(6,4),(5,5),(10,10).故“x +y 是10的倍数”的概率为P 1=10100=0.1. (2)xy 是3的倍数,只要x 是3的倍数,或y 是3的倍数,由于x 是3的倍数且y 不是3的倍数的数对有21个,而x 不是3的倍数且y 是3的倍数的数对有21个,x 是3的倍数且y 也是3的倍数的数对有9个.故xy 是3的倍数的数对有21+21+9=51(个).51故xy是3的倍数的概率为P2=100=0.51.。

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