高考数学大二轮专题培优浙江专用练习：专题五 小题考法课一 函数的概念与性质

[课时跟踪检测] [A 级——基础小题提速练]一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，3x ，x ≤0，则f (f (4))的值为( )A ．－19 B ．－9 C.19D ．9解析：选C 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，3x ，x ≤0，所以f (f (4))＝f (－2)＝19.2．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝x 2－2(x ＞0)，若f (a －2)≥0，则a 的取值范围为( )A ．[2－2，2]∪[2＋2，＋∞)B ．[2－2，2＋ 2 ]C ．[2－2，2]D ．[2＋2，＋∞)解析：选A 函数f (x )的图象如图所示，由题可知f (0)＝0且f (2)＝0，则－2≤a －2≤0或a －2≥2，解得2－2≤a ≤2或a ≥2＋2，故选A.3．函数f (x )＝(e x －e －x )cos x 在[－2π，2π]上的大致图象为( )解析：选D 因为π2＜2π，3π2＜2π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＝0，则函数f (x )在(0,2π]内有两个零点，选项A 、B 错误；结合0＜1＜π2，且f (1)＝(e 1－e －1)cos 1＞0，可排除C 选项，故选D.4．(2019·七彩阳光联盟联考)函数y ＝2－|sin x |的部分图象可能是( )解析：选D 由题可得函数y ＝2－|sin x |是偶函数，且－|sin x |∈[－1,0]，所以y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，当x ＝0时，y max ＝1，结合图形可知D 正确，故选D. 5．设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－3x ＋a (a ∈R )，则f (－2)＝( )A ．－1B ．－5C ．1D ．5解析：选D 因为f (x )为定义在R 上的奇函数， 所以f (0)＝1＋a ＝0，即a ＝－1. 故f (x )＝log 2(x ＋2)－3x －1(x ≥0)， 所以f (－2)＝－f (2)＝5.故选D.6．(2019·全国卷Ⅱ)设函数f (x )的定义域为R ，满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0,1]时，f (x )＝x (x －1)．若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，则m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，94 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，73 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，83 解析：选B ∵当x ∈(0,1]时，f (x )＝x (x －1)， ∴当x ∈(0,1]时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0.∵f (x ＋1)＝2f (x )，∴当x ∈(－1,0]时，x ＋1∈(0,1]，f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)x ，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，0；当x ∈(－2，－1]时，x ＋1∈(－1,0]，f (x )＝12f (x ＋1)＝14f (x ＋2)＝14(x ＋2)(x ＋1)，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－116，0；…；当x ∈(1,2]时，x －1∈(0,1]，f (x )＝2f (x －1) ＝2(x －1)(x －2)，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0；当x ∈(2,3]时，x －1∈(1,2]，f (x )＝2f (x －1) ＝4f (x －2)＝4(x －2)(x －3)，f (x )∈[－1,0]； ….作出函数f (x )的图象，由图可知，当2<x ≤3时，令4(x －2)(x －3)＝－89，整理，得(3x －7)(3x －8)＝0，解得x ＝73或x ＝83，将这两个值标注在图中．要使对任意x ∈(－∞，m ]都有f (x )≥－89，必有m ≤73，即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，73.故选B.7．记min{x ，y }＝⎩⎨⎧y ，x ≥y ，x ，x ＜y ，设f (x )＝min{x 2，x 3}，则( )A ．存在t ＞0，|f (t )＋f (－t )|＞f (t )－f (－t )B ．存在t ＞0，|f (t )－f (－t )|＞f (t )－f (－t )C ．存在t ＞0，|f (1＋t )＋f (1－t )|＞f (1＋t )＋f (1－t )D ．存在t ＞0，|f (1＋t )－f (1－t )|＞f (1＋t )－f (1－t ) 解析：选C 作出函数f (x )＝min{x 2，x 3}的图象，显然该函数是单调递增的，所以对任意的t ＞0均有|f (t )－f (－t )|＝f (t )－f (－t )，且|f (1＋t )－f (1－t )|＝f (1＋t )－f (1－t )，因此排除B 、D.考虑选项A ，当0≤t ≤1时，f (t )＝t 3，f (－t )＝－t 3，则|f (t )＋f (－t )|＝|t 3＋(－t )3|＝t 3－t 3＝0＜f (t )－f (－t )；当t ＞1时，f (t )＝t 2，f (－t )＝－t 3，则|f (t )＋f (－t )|＝|t 2－t 3|＝t 3－t 2，f (t )－f (－t )＝t 2＋t 3，又t 3－t 2－(t 2＋t 3)＝－2t 2＜0，所以|f (t )＋f (－t )|＜f (t )－f (－t )，排除A.故选C.8．(2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50解析：选C 法一：∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．由f (1－x )＝f (1＋x )，得－f (x －1)＝f (x ＋1)， ∴f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数． 由f (x )为奇函数得f (0)＝0. 又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50) ＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.法二：由题意可设f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ，作出f (x )的部分图象如图所示．由图可知，f (x )的一个周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.9．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >b >c )的图象经过点A (m 1，f (m 1))和点B (m 2，f (m 2))，f (1)＝0.若a 2＋[f (m 1)＋f (m 2)]a ＋f (m 1)·f (m 2)＝0，则( )A ．b ≥0B ．b <0C ．3a ＋c ≤0D ．3a －c <0解析：选A ∵函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >b >c )， 满足f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0. 若a ≤0，∵a >b >c ，∴b <0，c <0，则有a ＋b ＋c <0，这与a ＋b ＋c ＝0矛盾，∴a >0成立． 若c ≥0，则有b >0，a >0，此时a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ＝0矛盾，∴c <0成立． ∵a 2＋[f (m 1)＋f (m 2)]·a ＋f (m 1)·f (m 2)＝0， ∴[a ＋f (m 1)]·[a ＋f (m 2)]＝0， ∴m 1，m 2是方程f (x )＝－a 的两根，∴Δ＝b 2－4a (a ＋c )＝b (b ＋4a )＝b (3a －c )≥0， 而a >0，c <0，∴3a －c >0，∴b ≥0.故选A.10．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(a －1)x ＋4－2a ，x <1，1＋log 2x ，x ≥1.若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(－∞，2]C ．(0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A 依题意，当x ≥1时，f (x )＝1＋log 2x 单调递增，f (x )＝1＋log 2x 在区间[1，＋∞)上的值域是[1，＋∞)．因此，要使函数f (x )的值域是R ，则需函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ⊇(－∞，1)．①当a －1<0，即a <1时，函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝(－a ＋3，＋∞)，显然此时不能满足M ⊇(－∞，1)，因此a <1不满足题意；②当a －1＝0，即a ＝1时，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝{2}，此时不能满足M ⊇(－∞，1)，因此a ＝1不满足题意；③当a －1>0，即a >1时，函数f (x )在(－∞，1)上单调递增，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝(－∞，－a ＋3)，由M ⊇(－∞，1)得⎩⎨⎧a >1，－a ＋3≥1，解得1<a ≤2.综上所述，满足题意的实数a 的取值范围是(1,2]，故选A.二、填空题11．已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>12时，f⎝⎛⎭⎪⎫x＋12＝f⎝⎛⎭⎪⎫x－12，则f(0)＝________，f(6)＝________.解析：函数f(x)在[－1,1]上为奇函数，故f(0)＝0，又由题意知当x>12时，f⎝⎛⎭⎪⎫x＋12＝f⎝⎛⎭⎪⎫x－12，则f(x＋1)＝f(x)．又当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)．又当x<0时，f(x)＝x3－1，∴f(－1)＝－2，∴f(6)＝2.答案：0 212．若函数f(x)＝a－22x－1(a∈R)是奇函数，则a＝______，函数f(x)的值域为____________．解析：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，∴a－22－x－1＝－⎝⎛⎭⎪⎫a－22x－1恒成立，∴a＝12x－1＋12－x－1＝12x－1＋2x1－2x＝1－2x2x－1＝－1.∴f(x)＝－1－22x－1，当x∈(0，＋∞)时，2x>1，∴2x－1>0，∴12x－1>0，∴f(x)<－1；当x∈(－∞，0)时，0<2x<1，∴－1<2x－1<0，∴12x－1<－1，∴－22x－1>2，∴f(x)>1，故函数f(x)的值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：－1(－∞，－1)∪(1，＋∞)13．(2019·绍兴期末)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ≤0，|x －1|，x ＞0，则不等式f (x )≤1的解集为________，若实数a ，b ，c 满足f (a )＝f (b )＝f (c )，且a ＜b ＜c ，则a ＋2b ＋c 的取值范围是________．解析：由⎩⎨⎧x ≤0，e x ≤1⇒x ≤0；由⎩⎨⎧x ＞0，|x －1|≤1⇒0＜x ≤2， 故f (x )≤1的解集为(－∞，2]； 函数f (x )的图象如图所示，则由题意知b ＋c ＝2，a ＋2b ＋c ＝2＋a ＋b ， 又∵f (a )＝f (b )⇒e a ＝|b －1|＝1－b ⇒b ＝1－e a ， ∴a ＋2b ＋c ＝2＋a ＋b ＝3＋a －e a (a ＜0)， 设g (x )＝3＋x －e x (x ＜0)， 则g ′(x )＝1－e x ＞0(x ＜0)，∴g (x )在(－∞，0)上单调递增，∴g (x )＜g (0)＝2， ∴a ＋2b ＋c ＝3＋a －e a (a ＜0)的取值范围是(－∞，2)． 答案：(－∞，2] (－∞，2)14．已知函数f (x )＝e |x |，函数g (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ≤4，4e 5－x ，x >4对任意的x ∈[1，m ](m >1)，都有f (x －2)≤g (x )，则m 的取值范围是________．解析：作出函数y 1＝e |x －2|和y ＝g (x )的图象，如图所示，由图可知当x ＝1时，y 1＝g (1)，又当x ＝4时，y 1＝e 2<g (4)＝4e ，当x >4时，由e x －2≤4e 5－x ，得e 2x －7≤4，即2x －7≤ln 4，解得x ≤72＋ln 2，又m >1，∴1<m ≤72＋ln 2. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤1，72＋ln 215．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，|cos x |≥22，0，|cos x |＜22，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________，当0≤x ≤2π时，f (x )≤sin x 的解集是________．解析：当0≤x ≤2π时，由|cos x |≥22得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π4，2π，由|cos x |＜22得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，7π4，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π4，2π，0，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，7π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0.在平面直角坐标系内画出函数y ＝f (x )和函数y ＝sin x 在[0,2π]内的图象，由图易得f (x )≤sin x 的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4.答案：0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π416．(2019·浙南名校联盟)已知函数f (x )＝|1－x 2－ax －b |(a ，b ∈R )，当x ∈[0,1]时，设f (x )的最大值为M (a ，b )，则M (a ，b )的最小值为________．解析：f (x )＝|1－x 2－(ax ＋b )|≤M (a ，b )，即四分之一圆y ＝1－x 2，x ∈[0,1]上的点到直线l ：x ＋y ＝1的最大距离为1－22＝2－22，此时圆上点记作P ，如图，只有过PN 的中点且平行于直线l 的直线才能满足条件，于是当a ＝－1，b ＝2＋12时，则M (a ，b )的最小值为g (x )＝1－x 2，x ∈[0,1]与h (x )＝ax ＋b ＝－x ＋2＋12的纵向距离，即M (a ，b )的最小值为2－22×22＝2－12.答案：2－1217．已知关于x 的方程x ln x －a (x 2－1)＝0在(0，＋∞)上有且只有一个实数根，则a 的取值范围是________．解析：令t ＝x 2，则t ∈(0，＋∞)，则问题等价于关于t 的方程12 t ln t －a (t －1)＝0在(0，＋∞)上有且只有一个实数根，即函数f (t )＝12 t ln t 与函数g (t )＝a (t －1)在(0，＋∞)上有且只有一个交点．因为f ′(t )＝14t ln t ＋12t ＝ln t ＋24t，所以函数f (t )＝12t ln t 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2，＋∞上单调递增，此时函数f (t )在(1，f (1))处的切线斜率为f ′(1)＝ln 1＋24×1＝12.在平面直角坐标系内画出函数f (t )＝12 t ln t 的大致图象如图所示，因为直线g (t )＝a (t －1)过定点 (1,0)，由图易得a 的取值范围为a ≤0或a ≥12. 答案：(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞[B 级——能力小题保分练]1．函数f(x)＝ln |x|＋12x2的大致图象是()解析：选A因为f(－x)＝ln |－x|＋12(－x)2＝ln |x|＋12x2＝f(x)，所以f(x)是偶函数，于是其图象关于y轴对称，排除D；当x>0时，f(x)＝ln x＋12x2，f′(x)＝1x＋x≥2，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，排除B；当x∈(0,1)时，f′(x)>2，且f′(x)是减函数，当x>1时，f′(x)>2，且f′(x)是增函数，因此，当x趋近于0或x趋近于＋∞时，曲线较陡，因此排除C.故选A.2．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()A．f(－25)<f(11)<f(80)B．f(80)<f(11)<f(－25)C．f(11)<f(80)<f(－25)D．f(－25)<f(80)<f(11)解析：选D因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，所以f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)．3.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是()A．f(x)＝x2－2ln |x|B．f(x)＝x2－ln |x|C．f(x)＝|x|－2ln |x|D．f(x)＝|x|－ln |x|解析：选B 由图象知，函数f (x )是偶函数，四个选项都是偶函数，故只需考虑x >0时的图象即可．对于选项A ，当x >0时，f (x )＝x 2－2ln x ，所以f ′(x )＝2x －2x ＝2(x 2－1)x ，因此f (x )在x ＝1处取得极小值，故A 错误；对于选项B ，当x >0时，f (x )＝x 2－ln x ，所以f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，因此f (x )在x ＝22处取得极小值，故B 正确；对于选项C ，当x >0时，f (x )＝x －2ln x ，所以f ′(x )＝1－2x ＝x －2x ，因此f (x )在x ＝2处取得极小值，故C 错误；对于选项D ，当x >0时，f (x )＝x －ln x ，所以f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，因此f (x )在x ＝1处取得极小值，故D 错误．故选B.4．设集合A ＝{x |x 2－|x ＋a |＋2a ＜0，a ∈R }，B ＝{x |x ＜2}．若A ≠∅且A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知x 2－|x ＋a |＋2a ＜0⇒x 2＜|x ＋a |－2a ，其解集A ≠∅时，可设A ＝{m ＜x ＜n }．首先，若n ＝2时，则|2＋a |－2a ＝4，解得a ＝－2，满足A ⊆B .由函数y ＝|x ＋a |－2a 的图象可知，当a ＜－2时，n ＞2，不满足A ⊆B ，不合题意，即可知a ≥－2；考虑函数y ＝|x＋a |－2a 的右支与y ＝x 2相切时，则x ＋a －2a ＝x 2，即x 2－x ＋a ＝0，解得a ＝14.又当a ≥14时，A ＝∅，即可知a ＜14.综上可知：－2≤a ＜14.或考虑函数y ＝|x ＋a |和函数y ＝x 2＋2a 进行数形结合．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，14 5．定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足如下条件：(1)对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0； (2)对一切x ＞0，有f (x )＋1x ＞0；(3)对任意的x ∈(0，＋∞)，有f (x )·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f (x )＋1x ＝1.则f (1)的值是________． 解析：设m ＝f (1)，由题意，令x ＝1，得mf (m ＋1)＝1，所以f (m ＋1)＝1m .①令x ＝m ＋1，得f (m ＋1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f (m ＋1)＋1m ＋1＝1.② 由①②得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1m ＋1＝m ， 从而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1m ＋1＝f (1)． 由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0知，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 所以1m ＋1m ＋1＝1，解得m ＝1±52. 若m ＝1＋52，则由单调性知1＜m ＝f (1)＜f (m ＋1)＝1m ＜1，故矛盾，舍去．因此f (1)＝m ＝1－52. 答案：1－526．在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x (x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为________．解析：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，1x ，则|P A |2＝(x －a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2a 2－2， 令t ＝x ＋1x ，则t ≥2(x >0，当且仅当x ＝1时取“＝”)，则|P A |2＝t 2－2at ＋2a 2－2.①当a ≤2时，(|P A |2)min ＝22－2a ×2＋2a 2－2＝2a 2－4a ＋2，由题意知，2a 2－4a ＋2＝8，解得a ＝－1或a ＝3(舍去)．②当a >2时，(|P A |2)min ＝a 2－2a ×a ＋2a 2－2＝a 2－2.由题意知，a 2－2＝8，解得a ＝10或a ＝－10(舍去)，综上知，a ＝－1，10.答案：－1，10。