高考数学大二轮专题培优浙江专用练习：专题五 小题考法课一 函数的概念与性质

[课时跟踪检测] [A 级——基础小题提速练]

一、选择题

1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

log 12

x ，x >0，

3x ，x ≤0，则f (f (4))的值为( )

A ．－1

9 B ．－9 C.19

D ．9

解析：选C 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

log 12

x ，x >0，

3x ，x ≤0，

所以f (f (4))＝f (－2)＝1

9.

2．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝x 2－2(x ＞0)，若f (a －2)≥0，则a 的取值范围为( )

A ．[2－2，2]∪[2＋2，＋∞)

B ．[2－2，2＋ 2 ]

C ．[2－2，2]

D ．[2＋2，＋∞)

解析：选A 函数f (x )的图象如图所示，由题可知f (0)＝0且f (2)＝0，则－2≤a －2≤0或a －2≥2，解得2－2≤a ≤2或a ≥2＋2，故选A.

3．函数f (x )＝(e x －e －x )cos x 在[－2π，2π]上的大致图象为( )

解析：选D 因为π2＜2π，3π2＜2π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

3π2＝0，则函数f (x )在(0,2π]

内有两个零点，选项A 、B 错误；结合0＜1＜π

2，且f (1)＝(e 1－e －1)cos 1＞0，可排除C 选项，故选D.

4．(2019·七彩阳光联盟联考)函数y ＝2－|sin x |的部分图象可能是( )

解析：选D 由题可得函数y ＝2－|sin x |是偶函数，且－|sin x |∈[－1,0]，所以y ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

12，1，当x ＝0时，y max ＝1，结合图形可知D 正确，故选D. 5．设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－3x ＋a (a ∈R )，则f (－2)＝( )

A ．－1

B ．－5

C ．1

D ．5

解析：选D 因为f (x )为定义在R 上的奇函数， 所以f (0)＝1＋a ＝0，即a ＝－1. 故f (x )＝log 2(x ＋2)－3x －1(x ≥0)， 所以f (－2)＝－f (2)＝5.故选D.

6．(2019·全国卷Ⅱ)设函数f (x )的定义域为R ，满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0,1]时，f (x )＝x (x －1)．若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，则m 的取值范围是( )

A.⎝ ⎛

⎦⎥⎤－∞，94 B.⎝ ⎛

⎦⎥⎤－∞，73 C.⎝ ⎛

⎦

⎥⎤－∞，52 D.⎝ ⎛

⎦

⎥⎤－∞，83 解析：选B ∵当x ∈(0,1]时，f (x )＝x (x －1)， ∴当x ∈(0,1]时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

－14，0.

∵f (x ＋1)＝2f (x )，∴当x ∈(－1,0]时，x ＋1∈(0,1]，f (x )＝12f (x ＋1)＝1

2(x ＋1)x ，f (x )∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－18，0；

当x ∈(－2，－1]时，x ＋1∈(－1,0]，f (x )＝12f (x ＋1)＝14f (x ＋2)＝1

4(x ＋2)(x ＋1)，f (x )∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－116，0；

…；

当x ∈(1,2]时，x －1∈(0,1]，f (x )＝2f (x －1) ＝2(x －1)(x －2)，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0；

当x ∈(2,3]时，x －1∈(1,2]，f (x )＝2f (x －1) ＝4f (x －2)＝4(x －2)(x －3)，f (x )∈[－1,0]； ….

作出函数f (x )的图象，

由图可知，当2

9，整理，得(3x －7)(3x －8)＝0，解得x ＝73或x ＝8

3，将这两个值标注在图中．要使对任意x ∈(－∞，m ]都有f (x )≥－89，必有m ≤73，即实数m 的取值范围是⎝ ⎛

⎦

⎥⎤－∞，73.故选B.

7．记min{x ，y }＝⎩⎨⎧

y ，x ≥y ，

x ，x ＜y ，设f (x )＝min{x 2，x 3}，则( )

A ．存在t ＞0，|f (t )＋f (－t )|＞f (t )－f (－t )

B ．存在t ＞0，|f (t )－f (－t )|＞f (t )－f (－t )

C ．存在t ＞0，|f (1＋t )＋f (1－t )|＞f (1＋t )＋f (1－t )

D ．存在t ＞0，|f (1＋t )－f (1－t )|＞f (1＋t )－f (1－t ) 解析：选C 作出函数f (x )＝min{x 2，x 3}的图象，显然该函数是单调递增的，所以对任意的t ＞0均有|f (t )－f (－t )|＝f (t )－

f (－t )，且|f (1＋t )－f (1－t )|＝f (1＋t )－f (1－t )，因此排除B 、D.

考虑选项A ，当0≤t ≤1时，f (t )＝t 3，f (－t )＝－t 3，则|f (t )＋f (－t )|＝|t 3＋(－t )3|＝t 3－t 3＝0＜f (t )－f (－t )；

当t ＞1时，f (t )＝t 2，f (－t )＝－t 3，则|f (t )＋f (－t )|＝|t 2－t 3|＝t 3－t 2，f (t )－f (－t )＝t 2＋t 3，又t 3－t 2－(t 2＋t 3)＝－2t 2＜0，

所以|f (t )＋f (－t )|＜f (t )－f (－t )，排除A.故选C.

8．(2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )

A ．－50

B ．0

C ．2

D ．50

解析：选C 法一：∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．

由f (1－x )＝f (1＋x )，得－f (x －1)＝f (x ＋1)， ∴f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数． 由f (x )为奇函数得f (0)＝0. 又∵f (1－x )＝f (1＋x )，

∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，

∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50) ＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.

法二：由题意可设f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π2x ，作出f (x )的部分图象如图

所示．由图可知，f (x )的一个周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.

9．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >b >c )的图象经过点A (m 1，f (m 1))和点B (m 2，f (m 2))，