解二元一次方程组 课件
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如：X3 ﹣x2 – x +1 =0 …
方程的解
一元一次 x + 3=5的解 x=2 一个解
二元一次x
+
y
=
5的解
x 1 x
y
பைடு நூலகம்
6
y
0 5
x y
3 2
…无数个
二二定元 元义一 一法次 次方x ﹣程根组y据二=1元xx的一解次yy方xy程15组40.的.的22 解解xy的意11义0x1y ，xy32
解：①×2，得 10x+4y=50 ③
倍数，则消去该未
③－②, 得
7x=35
知数更快.
二元的问题解决了，又该研究什么呢？
迎接挑战
3a b c 4 ①
（1）解方程组 2a 3b c 12 ②
（化为二元即可）a b c 6
③
解：准备消c
①+②, 得 5a+2b=16 ④
解：（代入消元）
解：（相加消元）
由①得
1 2016y x= 2017 ③
①+② , 得 4031x=4031
把③代入②得
解得
2014× 1 2016y ﹣2016y=4030 2017
……
X=1 ……
繁
简
新知体验
解方程组（化二元为一元即可）
1.
x 2y 9 3x 2y 1
多元
变形加减消元
代入消元有困难
消元 1.代入
一元
2.加减（快捷）
经验一：方程组中，如果某一未知数的系数 互为相反数时，可将两个方程相加，消去一 个未知数
经验二：方程组中，如果某一未知 数的系数相等时，可将两个方程相 减，消去一个未知数
经验三：方程组中，同一未知数系数不 相等、又不相反时，把方程变形，使某 个未知数系数变成相等或相反.
2014× 1 2016y ﹣2016y=4030
2017
用代入消元法解二元一次方程组遇到困难了，
怎么办？
…寻找新方法（新的消元方法）
探索新知
解方程组
2017x 2016y 1 ① 2014x 2016y 4030 ②
解： ①+② , 得
(2017x+2016y) + (2014x ﹣2016y) = 1+4030 （等式的性质）
探索与思考
3、在解方程组
ax by cx 3y
2 5
中，小张正确的解是xy
1 2
,小李由于看错
了方程组中的C得到方程组的解为
x 3
y
1
，试求方程组中的a、b、c的值。
8.2解二元一次方程组(3)
方程的“昨天、今天、明 从天“”元”的方面的发展
去年学 一元一次 如: x+3=5
现在学 二元一次 如：m+n=5
将要学 三元一次 如：a+2b- 3c=10 …
从“次”的方面的发展
已经学 一元一次
将要学 一元二次 一元三次
如：x+ 3 = 5
如：x2 － 2x + 1= 0
③+②，得 3a+4b=18 ⑤
三元
加消 减元
二元
总经验：遇到二元、多元的，通常采用消元,逐步 减少未知数的个数，最终化归为一元方程
展望未来
从“元”的方面发展，产生的方程(组)的问 题解决了，接下去，又该研究什么样的方程呢？
该研究从“次”的方面发展的方程
一元一次 x－1 =0
降次
一元二次x2 － 2x + 1= 0 二次
解方程组
一未知数系数不相等、
4x 5y 22 6x 7 y 4
①
又不相反时，把方程变
形，使某个未知数系数
② 变成相等或相反.
解：准备消x
解： 准备消y
①×3 ,得 12x -15y =66 ③ ①×7,得 28x-35y=154 ③
②×2, 得 12x+14y = 8 ④ ②×5,得 30x+35y=20 ④
一次
一元三次X3 ﹣x2 – x +1 =0 三次 降次 二次
……….
消元或降次
复杂的方程（组）
一元一次方程
嫣然回眸
今天的这段研究数学的历程，
是从哪里开始的？
中途经历哪些曲折？
怎样解决的？
2017x 2016y 1 2014x 2016y 4030
直接加减消元
4x 5y 22 6x 7 y 4
③﹣④, 得 ﹣29y =58
③+④,得
变成最小公倍数
注意点：
宁加不减
58x=174
巩固新知 解方程组（化二元为一元即可）
解题反思
1.
3x 2y 2 3y 2x 6
① ②
观察系数时， 是否同一未知数
解题反思
2.
5x 3x
2y 4y
25 15
①②（比一比谁更快）★★做 方题 程先 组观 中察 ，若某 一未知数的系数成
2017x+2016y + 2014x ﹣2016y = 4031
等量加等量，和相等
4031x=4031
等量减等量，差相等
X=1
把x=1代入① 得
y=﹣1
∴原方程组的解是
x
y
1 1
探索新知
解方程组
2017x 2016y 1 ① 2014x 2016y 4030 ②
① ②
2.
2a 3b 5 ① 2a 5b 11 ②
经验二：方程组中，如果某一未知
数的系数相等时，可将两个方程相减，
消去一个未知数
直接加减消元
易错点： 1.两方程相减时加括号（）
2.减去负数时加括号（）
系数相等或相反的都研究了， 接下来研究什么呢？
拾级而上 变形消元 经验三：方程组中，同
二元
相
消
解：①+② , 得
加
元
经验一：方程组中， 如果某一未知数的系 数互为相反数时，可
4031x=4031 X=1
将两个方程相加，消 把x=1代入① 得
去一个未知数
y=﹣1
∴原方程组的解是 x 1 y 1
一元
解方程组
2017x 2016y 1 ① 2014x 2016y 4030 ②
3 2
…无数个
太 费 劲
应先分别列出两个方程的解，然后，找出公共解 了
代入消元法 解二元一次方程组
简捷
温故求新
（用代入消元法）解方程组
（提醒：“走”两步
2017x 2016y 1 ① 2014x 2016y 4030 ②
即可）解：由①得x=
1 2016y 2017
③
把③代入②得
方程的解
一元一次 x + 3=5的解 x=2 一个解
二元一次x
+
y
=
5的解
x 1 x
y
பைடு நூலகம்
6
y
0 5
x y
3 2
…无数个
二二定元 元义一 一法次 次方x ﹣程根组y据二=1元xx的一解次yy方xy程15组40.的.的22 解解xy的意11义0x1y ，xy32
解：①×2，得 10x+4y=50 ③
倍数，则消去该未
③－②, 得
7x=35
知数更快.
二元的问题解决了，又该研究什么呢？
迎接挑战
3a b c 4 ①
（1）解方程组 2a 3b c 12 ②
（化为二元即可）a b c 6
③
解：准备消c
①+②, 得 5a+2b=16 ④
解：（代入消元）
解：（相加消元）
由①得
1 2016y x= 2017 ③
①+② , 得 4031x=4031
把③代入②得
解得
2014× 1 2016y ﹣2016y=4030 2017
……
X=1 ……
繁
简
新知体验
解方程组（化二元为一元即可）
1.
x 2y 9 3x 2y 1
多元
变形加减消元
代入消元有困难
消元 1.代入
一元
2.加减（快捷）
经验一：方程组中，如果某一未知数的系数 互为相反数时，可将两个方程相加，消去一 个未知数
经验二：方程组中，如果某一未知 数的系数相等时，可将两个方程相 减，消去一个未知数
经验三：方程组中，同一未知数系数不 相等、又不相反时，把方程变形，使某 个未知数系数变成相等或相反.
2014× 1 2016y ﹣2016y=4030
2017
用代入消元法解二元一次方程组遇到困难了，
怎么办？
…寻找新方法（新的消元方法）
探索新知
解方程组
2017x 2016y 1 ① 2014x 2016y 4030 ②
解： ①+② , 得
(2017x+2016y) + (2014x ﹣2016y) = 1+4030 （等式的性质）
探索与思考
3、在解方程组
ax by cx 3y
2 5
中，小张正确的解是xy
1 2
,小李由于看错
了方程组中的C得到方程组的解为
x 3
y
1
，试求方程组中的a、b、c的值。
8.2解二元一次方程组(3)
方程的“昨天、今天、明 从天“”元”的方面的发展
去年学 一元一次 如: x+3=5
现在学 二元一次 如：m+n=5
将要学 三元一次 如：a+2b- 3c=10 …
从“次”的方面的发展
已经学 一元一次
将要学 一元二次 一元三次
如：x+ 3 = 5
如：x2 － 2x + 1= 0
③+②，得 3a+4b=18 ⑤
三元
加消 减元
二元
总经验：遇到二元、多元的，通常采用消元,逐步 减少未知数的个数，最终化归为一元方程
展望未来
从“元”的方面发展，产生的方程(组)的问 题解决了，接下去，又该研究什么样的方程呢？
该研究从“次”的方面发展的方程
一元一次 x－1 =0
降次
一元二次x2 － 2x + 1= 0 二次
解方程组
一未知数系数不相等、
4x 5y 22 6x 7 y 4
①
又不相反时，把方程变
形，使某个未知数系数
② 变成相等或相反.
解：准备消x
解： 准备消y
①×3 ,得 12x -15y =66 ③ ①×7,得 28x-35y=154 ③
②×2, 得 12x+14y = 8 ④ ②×5,得 30x+35y=20 ④
一次
一元三次X3 ﹣x2 – x +1 =0 三次 降次 二次
……….
消元或降次
复杂的方程（组）
一元一次方程
嫣然回眸
今天的这段研究数学的历程，
是从哪里开始的？
中途经历哪些曲折？
怎样解决的？
2017x 2016y 1 2014x 2016y 4030
直接加减消元
4x 5y 22 6x 7 y 4
③﹣④, 得 ﹣29y =58
③+④,得
变成最小公倍数
注意点：
宁加不减
58x=174
巩固新知 解方程组（化二元为一元即可）
解题反思
1.
3x 2y 2 3y 2x 6
① ②
观察系数时， 是否同一未知数
解题反思
2.
5x 3x
2y 4y
25 15
①②（比一比谁更快）★★做 方题 程先 组观 中察 ，若某 一未知数的系数成
2017x+2016y + 2014x ﹣2016y = 4031
等量加等量，和相等
4031x=4031
等量减等量，差相等
X=1
把x=1代入① 得
y=﹣1
∴原方程组的解是
x
y
1 1
探索新知
解方程组
2017x 2016y 1 ① 2014x 2016y 4030 ②
① ②
2.
2a 3b 5 ① 2a 5b 11 ②
经验二：方程组中，如果某一未知
数的系数相等时，可将两个方程相减，
消去一个未知数
直接加减消元
易错点： 1.两方程相减时加括号（）
2.减去负数时加括号（）
系数相等或相反的都研究了， 接下来研究什么呢？
拾级而上 变形消元 经验三：方程组中，同
二元
相
消
解：①+② , 得
加
元
经验一：方程组中， 如果某一未知数的系 数互为相反数时，可
4031x=4031 X=1
将两个方程相加，消 把x=1代入① 得
去一个未知数
y=﹣1
∴原方程组的解是 x 1 y 1
一元
解方程组
2017x 2016y 1 ① 2014x 2016y 4030 ②
3 2
…无数个
太 费 劲
应先分别列出两个方程的解，然后，找出公共解 了
代入消元法 解二元一次方程组
简捷
温故求新
（用代入消元法）解方程组
（提醒：“走”两步
2017x 2016y 1 ① 2014x 2016y 4030 ②
即可）解：由①得x=
1 2016y 2017
③
把③代入②得