材料力学——第12章(压杆稳定计算)

二、其它杆端约束下细长压杆的临界力
FPcr
2 EI min ( l ) 2
压杆临界力欧拉公式的一般形式
—长度系数（或约束系数）。
23
24
在实际构件中，常常会遇到 一种称之为柱形铰的情况（如右 图所示）。可以看出，在垂直于 轴销的平面内（ x 一 z 平面）， 轴销对杆的约束相当于铰支，而 在轴销平面内（ x 一 y 平面）， 轴销对杆的约束接近于固定端约 束。 在工程实际问题中，支承约束程度与理想的支承约束 条件会有所差异，因此，长度系数μ 值应根据实际支承的 约束程度，以表 16 一 1 作为参考来加以选取。在有关的 设计规范中，对各种支承约束的压杆的μ 值都有具体的规 定。
工程中把承受轴 向压力的直杆称 为压杆
3
P
4
液压缸顶杆
5
脚手架中的压杆
6
桁架中的压杆
7
8
9
10
11
12
13
稳 定 平 衡 不 稳 定 平 衡
14
稳定性（稳定平衡） 构件在荷载作用下保持其初始平衡的构形的能力。
稳 定 平 衡
15
不稳定（不稳定平衡） 当荷载大于一定数值时，使其偏离初始平衡构形 的外界扰动除去后，构件不能回复到初始平衡构 形。则这种初始的平衡构形是不稳定的。
M ( x ) FP( x )
当杆内的应力不超 过比例极限时
EI ( x ) M ( x ) FP( x )
其中，I为压杆横截面的最小形心主惯性矩。
2 F P ( x ) k ( x ) 令 则 k EI 其通解为： ( x ) A sin kx B cos kx
32
②S< 时：
cr
S
P
0 的杆为小柔度杆，其临 界应力为屈服极限。
cr s
cr a b
③临界应力总图
2E cr 2
l
i
33
0 s a b

P 2E P
2.抛物线型经验公式 对于由结构钢、低合金结构钢等材料制成的非细长杆， 可采用抛物线型经验公式计算其临界应力
情况(b)： I z =hb3 /12
FPcrb2
l/2
z x
b h x
h b
2 EI z
2 l 2 10 10 9 0.2 0.12 3 44.4kN 2 12 8 FPcrb2 / FPcrb1 44.4 / 493.5 9% FPcra 2 / FPcra1 123.4 / 177.6 70%
42
[例12-3] 如图所示的两端球铰圆截面钢压杆，截面直 径d=25mm，杆长l=800mm；材料的比例极限σp=220MPa，弹 性模量E=210GPa。若取安全稳定系数nst=5，试确定该压杆 的轴向许可荷载[F]。
解 ：⑴求杆的柔度λ和材料的λP。
d 25 10 3 i 6.25 10 3 m 4 4
(a)
(b)
(b)放置不合理
27
二、细长压杆的临界应力
根据“临界力是使压杆原有的直线平衡构形保持稳定的 最大轴向压力”，定义压杆处于临界直线平衡构形时横截 面上的平均应力为临界应力σcr，，即
FPcr
cr
2 EI 2E 2 2 ( l ) A l
2 EI min ( l ) 2
§12-1 压杆稳定的概念 §12-2 确定细长压杆临界力的欧拉公式 §12-3 压杆的临界应力总图 §12-4 压杆的稳定性计算 §12-5 提高压杆稳定性措施
1
§12-1 压杆稳定的概念
①强度 构件的承载能力： ②刚度 ③稳定性
2
工程中有些 构件具有足够的 强度、刚度，却 不一定能安全可 靠地工作。
E cr 2 P
2
2E P
令
P
E
P
P
29
满足
P
压杆
细长杆（大柔度杆）
即只有当压杆为细长杆时，才能用欧拉公式计算其临界应 力和临界力。 λ P 值仅与材料的弹性模量 E 及比例极限σ P 有关，所 以，λ P值仅随材料而异。例如，对于 Q235 钢（ E = 206 GPa ，σ P＝200 MPa ) ，λ P的理论值为
2 9
2 EI 2 l
62000 N 62kN
⑶求压杆的轴向许可荷载
FPcr 62 F 12.4kN nst 5
44
[例12-4] 结构受力如图示，BC杆采用No18工字钢 (Iz=1660cm4,iz=7.36cm,Iy=122cm4,iy=2cm,A=30.6cm2)。材料的 弹性模量E=2×105Mpa，比例极限 p 200 Mpa ，稳定安全 系数nst=3。试确定容许荷载[F]。
2
0
式中，A、B为积分常数，可通过压杆挠曲线的边界条 21 件确定。
( 0 ) ( l ) 0
( x ) A sin kx B cos kx
0 1 A 0 B 0 0 即: sin kl cos kl A sin kl B cos kl 0
2 EI x
2 10 10 9 0.2 0.12 3
12 0.5 8
2
0.5l
2
l/2
177.6kN
z x
b h x
h
b
情况(b)：I x=bh 3/12
FPcrb1
(a)
493.5kN
(b)
2 EI x 2 10 10 9 0.12 0.2 3
F
解: ⑴求λmax a．BC杆绕y失稳时，B端 可视为铰支，长度系数为：
45
F
b．BC杆绕z失稳时，B端可视 为自由端，长度系数为：
7
即可能首先绕y轴失稳
46
⑵确定BC杆的临界荷载
p
wk.baidu.com
E
p
99 , max y p
BC杆的临界力可用欧拉公式计算
2 EI y 2 2 1011 122 108 FPcr 306kN 2 2 0.7 4 y l
令
i 2E cr 2

l
i
i
I — —惯性半径。 A
压杆的长细比（柔度） 细长压杆临界应力的欧拉公式
28
§16-3 压杆的临界应力总图 一、欧拉公式的适用范围
欧拉公式是根据压杆在微弯状态的挠曲线近似微分方程 导出的。它只有在小变形和材料处于线弹性范围的条件下才 能成立。所以欧拉公式的适用范围是：
对于铝合金（ E=70 GPa ，σ 木材的λ P 值约为 80 。
P＝175
MPa ) ，λ
P≈
62.8 。
30
二、非细长杆的临界应力及临界应力总图 柔度小于λ P的压杆为非细长压杆，其临界应力超 过比例极限，属于非弹性稳定问题。 这类压杆的临界应力计算，通常采用经验公式进 行，这些公式是在试验与分析的基础上建立的，常 用的有直线公式和抛物线公式。 1.直线型经验公式 ①P<<S 时：
判别弹性稳定 性的静力准则
不 稳 定 平 衡
16
失稳（屈曲） 构件丧失保持稳定平衡构形的能力的现象。 临界荷载 使构件由稳定平衡构形转化为不稳定平衡的荷载。
临界状态
稳 定 平 衡
对应的
过 度
压力
临界荷载:
FPcr
不 稳 定 平 衡
17
压杆的失稳
（直杆、压力作用在轴线上）
圆弧拱
薄壁杆
18
压杆失稳和强度破坏的区别 强度破坏是因构件横截面上的工作压力超过材 料的极限应力而失去承载能力。 压杆失稳破坏是因其轴向压力超过临界力，杆件 突然变弯而丧失承载能力。
cr a b s cr a b a s 0
b
0 P 的杆为中柔度杆，其临 界应力用经验公式求。 31
cr a b
( 0 P )
式中， a 和 b 是与材料性能有关的常数，单位为MPa。 几种常用工程材料的a、b数值已列于表 16—2。
FPcr cr A n nst FP FP
稳定安全系数
稳定安全系数一般大于强度安全系数。对于钢材，取 nst=1.8-3.0；对于铸铁，取nst＝5.0-5.5,对于木材，取 nst=2.8-3.2。此外需要指出的是，稳定安全系数nst，不但与 材料有关，还与压杆的柔度有关，柔度越大，压杆失稳的几 率越大，因此所取的nst值应越大。 41
cr a1 b12
式中， a1 和 b1也是与材料性能有关的常数。
cr s
C
当 C ( 细 长 杆 ） ， 按 欧 拉 公 式 计算其临界应力。 当 C ( 非 细 长 杆 ） ， 按 抛 物 线 公式计算其临界应力。
34
临界力计算的步骤
FPcr
a1 b1 2
1 800 10 3 128 3 i 6.25 10
l
P
E
P
210 10 9 3.14 97 6 220 10
43
⑵求压杆的临界力
128 P 97 ∴可以用欧拉公式计算临界力。
FPcr
3.14 3.14 ( 210 10 ) ( 25 10 3 )4 64 3 2 1 800 10
屈曲导致构件失效具有突发性，给工程带来的后 果也是灾难性的。因此，结构设计除了保证足够的强 度和刚度外，还需保证结构具有足够的稳定性。
19
§12-2 确定细长压杆临界力的欧拉公式
本节将从压杆微弯平衡构形着手，应用梁的弯曲 变形公式，导出确定细长压杆临界力的欧拉公式。 一、两端球铰细长压杆的临界力
20
z y , 压 杆 将 先 在xy 平 面 内 屈 曲 。
39
⑵求杆的临界力
由于 z 136.2 P , 可用欧拉公式计算其临界力。
y
z
x
= 277×103N = 277 kN
40
§12-4 压杆的稳定计算
安全系数法 常用方法 折减系数法 一、安全系数法
工作 安全 系数
y
z
x
iz
z
l
iz
Iz h A 2 3
1.0 2300 10 3 2 3 132.6 3 60 10
38
hb 3 在xz平面， 0.5 , I y 12
iy
Iy A

b 2 3
y
z
x
y
l
iy
0.5 2300 10 3 2 3 99.48 3 40 10
0.5l
2

12 0.5 8
2
26
⑵ 杆在xy平面屈曲失稳 I=Iz 杆可相对于接头中的销钉转动，是二端铰链支承，μ =1。
情况(a)： I z
FPcra 2
=bh 3 /12
1
3y
2 EI z
F
z
2 l 2 10 10 9 0.12 0.2 3 123.4kN 2 12 8
25
[例12-1] 矩形截面木杆 b=0.12m，h=0.2m，l=8m。弹 性模量E=10GPa，求图示二种放置时杆的临界载荷。
解：⑴ 杆在yz平面屈曲失稳 I I x
杆端相对于接头不能转动，可视为二端 固定支承，=0.5。
1
3y
F
z
情况(a)： I x=hb 3 /12
FPcra1

35
36
37
[例12-2] Q235钢制成的矩形截面压杆，受力及两端约 束情况如图所示，在A、B两处为销钉连接。若已知l=2300mm, , b=40mm,h=60mm，材料的弹性模量E=206GPa,λ P=101。试求此 杆的临界力。
解：⑴确定压杆将首 先在哪个平面内屈曲。
bh 3 在xy平面， 1.0 , I z 12
二、折减系数法
FP cr st A n st
稳定许用应力

st
n
st cr st
折减系数，与压杆材料和柔度有关，且小于1。
FP A
压杆的稳定计算，包括压杆稳定性校核、压杆截面设计 以及确定压杆及结构的许可荷载等三类问题。
n FP sin kl 0 k l EI 临界力 FPcr 是微弯下的最小压力，故，只能取 n=1 ；且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
FPcr
EI min
2
l
2
22
FPcr
2 EI min
l2
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
此公式的应用条件： ①理想压杆； ②线弹性范围内； ③两端为球铰支座。