人教八年级下册数学 矩形的判定同步练习
18.2.1.2 矩形的判定-八年级数学下学期同步训练(人教版)(原卷版)
§18.2.1.2矩形的判定一、知识导航矩形的判定：类别判定方法符号语言图形角有一个角是直角的平行四边形是矩形四边形ABCD 是平行四边形，90ABC ∠=︒∴四边形ABCD 是矩形有三个角是直角的四边形是矩形90ABC BCD ADC ∠=∠=∠=︒ ∴四边形ABCD 是矩形对角线对角线相等的平行四边形是矩形 四边形ABCD 是平行四边形，AC BD =∴四边形ABCD 是矩形二、重难点突破重点1利用对角线相等的平行四边形是矩形进行判定例1.如图，▱ABCD 中，点O 是AC 与BD 的交点，过点O 的直线与BA 、DC 的延长线分别交于点E 、F ．请连接EC 、AF ，则EF 与AC 满足什么条件时，四边形AECF 是矩形，并说明理由．重点点拨：在判定矩形时，一定要注意前提条件是四边形还是平行四边形，再考虑用哪条定理，用定义判定或用对角线判定时，前提条件必须是平行四边形，而不能是四边形.变式1已知：如图，在ABCD 中，延长DC 至点E ，使得DC CE =，连接AE ，交边BC 于点F ．连接AC ，BE．（1）求证：四边形ABEC 是平行四边形．（2）若2AFC D ∠=∠，求证：四边形ABEC 是矩形．重点2利用有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定例2.如图，在ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为D ，过点A 作//AE BC ，且AE BD =，连接BE ，交AD 于点F ，连接CE ．求证：四边形ADCE为矩形；变式2如图，在□ABCD 中，∠ABD 的平分线BE 交AD 于点E ，∠CDB 的平分线DF 交BC 于点F ，连接BD ．若AB ＝DB ，求证：四边形DFBE是矩形．重点3利用有三个角是直角的四边形是矩形进行判定例3.如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 为BC 上两点，且BE=CF ，AF=DE求证：（1）△ABF ≌△DCE ；（2）四边形ABCD是矩形．重点点拨：要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再证明有一个角是直角或对角线相等.变式3如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．难点4矩形的性质与判定的综合例4.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的长．重点点拨：在一个四边形中如果能够比较容易地证得两个角是直角，可以考虑证明另外两个角中的一个是直角，从而证得该四边形为矩形.重点点拨：利用矩形的性质和判定解决问题，一般是先判定一个四边形是矩形，再根据矩形的性质解决其他问题.变式4在 ABCD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，点F 在边CD 上，DF ＝BE ，连接AF ，BF.（1）求证：四边形BFDE 是矩形；（2）若CF ＝3，BF ＝4，DF ＝5，求证：AF 平分∠DAB .三、提升训练1.▱ABCD 中，添加一个条件就成为矩形，则添加的条件是（）A ．AB =CDB ．∠B +∠D =180°C ．AC =AD D ．对角线互相垂直2.已知平行四边形ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A ．∠A =∠B B ．∠A =∠CC ．AC =BD D ．AB ⊥BC 3.下列命题是假命题的是（）A ．等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合B ．同旁内角互补，两直线平行C ．角平分线上的点到这个角两边的距离相等D ．对角线相等且互相平分的四边形是矩形4.如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE ⊥BD 交AD 于点E ．已知AB ＝2，△DOE 的面积为54，则AE 的长为（）A B ．2C ．1.5D5.矩形ABCD 与矩形CEFG 如图放置，点,,B C E 共线，,,C D G 共线，连接AF ，取AF 的中点H ，连接GH ，若3BC EF ==，1CD CE ==，则GH =（）A BC ．2D ．436.如图，点E 为矩形ABCD 的边BC 上的点，DF AE ⊥于点F ，且DF AB =，下列结论不正确的是（）A ．DE 平分AEC∠B ．ADE ∆为等腰三角形C ．AF AB =D ．AE BE EF=+7.如图，在矩形ABCD 中，5AB =，3AD =，动点Р满足3PAB ABCD S S = 矩形，则点Р到A 、B 两点距离之和PA PB +的最小值为（）A 29B 34C ．52D 418.如图，矩形ABCD 中，已知AB=6，BC=8，BD 的垂直平分线交AD 于点E ，交BC 于点F ，则△BOF 的面积为____．9.如图，过矩形ABCD 的对角线BD 上一点K 分别作矩形两边的平行线MN 与PQ ，那么图中矩形AMKP 的面积S 1与矩形QCNK 的面积S 2的大小关系是S 1_____S 2；（填“＞”或“＜”或“＝”）10.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，且BA=9，AC=12，点D 是斜边BC 上的一个动点，过点D 分别作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，点G 为四边形DEAF 对角线交点，则线段GF 的最小值为_______.11.如图，在矩形ABCD 中，4,6AB BC ==，过矩形ABCD 的对角线交点O 作直线分别交AD 、BC 于点E F 、，连接AF ，若AEF 是等腰三角形，则AE =____.12.如图，四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，且OA ＝OD ．求证：四边形ABCD 是矩形．13.如图，在▱ABCD中，点F是边BC的中点，连接AF并延长交DC的延长线于点E，连接AC、BE．（1）求证：AB＝CE；（2）若∠AFC＝2∠D，则四边形ABEC是什么特殊四边形？请说明理由14.如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，△AOB是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若OE⊥BD交BC于E，求证：BE＝2CE．。
人教版八年级下册同步练习：18.2.1矩形的性质和判定 含答案解析
八年级下册同步练习：18.2.1矩形的性质与判定一．选择题（共7小题）1．检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，不可用的方法是（）A．测量两条对角线是否相等B．用重锤线检查竖门框是否与地面垂直C．测量两条对角线是否互相平分D．测量门框的三个角是否都是直角2．如图，用一根绳子检查一个书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线AC，BD就可以判断，其数学依据是（）A．三个角都是直角的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形3．如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，点E，F，G，H分别是边DA，AB，BC，CD的中点，连接EG，HF，则图中矩形的个数共有（）A．5个B．8个C．9个D．11个4．在矩形ABCD中，对角线AC＝10cm，AB：BC＝4：3，则它的周长为（）cm．A．14B．20C．28D．305．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝55°，则∠OAB的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°6．如图，已知在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，连接AC，BD，AC与BD交于点O，若AO＝BO，AD＝3，AB＝2，则四边形ABCD的面积为（）A．4B．5C．6D．77．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3B．C．D．4二．填空题（共7小题）8．工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．这依据的道理是．9．如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若BD＝8，则MN的长为．10．如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形．你添加的条件是．（写出一种即可）11．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE＝CD，连接AE交BC于F，∠AFC＝n∠D，当n＝时，四边形ABEC是矩形．12．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，若矩形ABCD 的面积是12，那么阴影部分的面积是．13．如图，四边形ABDE是长方形，AC⊥DC于点C，交BD于点F，AE＝AC，∠ADE＝62°，则∠BAF的度数为．14．如图，矩形ABCD中，直线MN垂直平分AC，与CD，AB分别交于点M，N．若DM ＝2，CM＝3，则矩形的对角线AC的长为．三．解答题（共6小题）15．矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，CF平分∠BCD交AD于点F，求证：AE∥CF．16．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD．求证：四边形ABCD是矩形．17．已知：如图，在▱ABCD中，BA＝BD，M，N分别是AD和BC的中点．求证：四边形BNDM是矩形．18．如图，△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于点D，四边形DBCE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD、EC．（1）求证：△ADC≌△ECD；（2）若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．20．在矩形ABCD中，AD＝12cm，点P在AD边以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q 从C点出发，以4cm/s的速度在CB间做往返运动，两点同时出发，直到点P到达点D 时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒，当t为多少时，四边形ABQP为矩形？参考答案一．选择题（共7小题）1．【解答】解：∵门框两组对边分别相等，∴门框是个平行四边形，∵对角线相等的平行四边形是矩形，故A不符合题意；∵竖门框与地面垂直，门框一定是矩形；故B不符合题意，∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴C符合题意，∵三个角都是直角的四边形是矩形，故D不符合题意；故选：C．2．【解答】解：这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形，故选：C．3．【解答】解：∵E，G分别是边DA，BC的中点，四边形ABCD是矩形，∴四边形DEGC、AEGB是矩形，同理四边形ADHF、BCHF是矩形，则图中四个小四边形是矩形，故图中矩形的个数共有9个，故选：C．4．【解答】解：设AB＝4xcm，则BC＝3xcm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AB＝CD，AD＝BC，∴AC＝＝＝5x（cm），∴5x＝10cm，∴x＝2cm，∴AB＝8cm，BC＝6cm，∴矩形ABCD的周长＝2（8+6）＝28（cm），故选：C．5．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∵∠OAD＝55°，∴∠OAB＝∠DAB﹣∠OAD＝35°故选：A．6．【解答】解：∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝OC，BO＝DO，∵AO＝BO，∴AC＝BD，∴四边形ABCD为矩形，∵AD＝3，AB＝2，∴四边形ABCD的面积为：AD•AB＝2×3＝6，故选：C．7．【解答】解：∵四边形COED是矩形，∴CE＝OD，∵点D的坐标是（1，3），∴OD＝＝，∴CE＝，故选：C．二．填空题（共7小题）8．【解答】解：因为门窗所构成的形状是矩形，所以根据矩形的判定（对角线相等的平行四边形为矩形）可得出．故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形．9．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，AC，BD交于点O，BD＝8∴BD＝2BO，即2BO＝8．∴BO＝4．又∵M、N分别为BC、OC的中点，∴MN是△CBO的中位线，∴MN＝BO＝2．故答案是：2．10．【解答】解：若四边形ABCD的对角线相等，则由AB＝DC，AD＝BC可得．△ABD≌△BAC≌△DAC≌△CDB，所以四边形ABCD的四个内角相等分别等于90°即直角，所以四边形ABCD是矩形，故答案为：对角线相等（答案不唯一）．11．【解答】解：当∠AFC＝2∠D时，四边形ABEC是矩形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∠BCE＝∠D，由题意易得AB∥EC，AB＝EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∵∠AFC＝∠FEC+∠BCE，∴当∠AFC＝2∠D时，则有∠FEC＝∠FCE，∴FC＝FE，∴四边形ABEC是矩形，故答案为：2．12．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴S△AOE＝S△COF，∴S阴＝S△COD＝S矩形ABCD＝3，故答案为：3．13．【解答】解：∵四边形ABDE是矩形，∴∠BAE＝∠E＝90°，∵∠ADE＝62°，∴∠EAD＝28°，∵AC⊥CD，∴∠C＝∠E＝90°∵AE＝AC，AD＝AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）∴∠EAD＝∠CAD＝28°，∴∠BAF＝90°﹣28°﹣28°＝34°，故答案为：34°．14．【解答】解：如图，连接AM．∵直线MN垂直平分AC，∴MA＝MC＝3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，∵DM＝2，MA＝3，∴AD2＝AM2﹣DM2＝32﹣22＝5，∴AC＝＝＝；故答案为：．三．解答题（共6小题）15．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠AEB＝∠DAE，∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，∴∠DAE＝∠BAD＝45°，∠BCF＝∠BCD＝45°，∴∠AEB＝∠DAE＝∠BCF，∴AE∥CF．16．【解答】证明；∵四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2AO，BD＝2OD，∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．17．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，BA＝DC，∵BA＝BD，∴BA＝BD＝DC，∵M、N分别是AD和BC的中点，∴BM⊥AD，DM＝AD，BN＝BC，∴DM＝BN，又∵DM∥BN，∴四边形BMDN是平行四边形，∵BM⊥AD，∴∠BMD＝90°，∴四边形BMDN是矩形．18．【解答】证明：∵AC＝BC，CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，AD＝BD．∵在▱DBCE中，EC∥BD，EC＝BD，∴EC∥AD，EC＝AD．∴四边形ADCE是平行四边形．又∵∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形．19．【解答】证明：（1）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），∴AB∥DE，AB＝DE（平行四边形的对边平行且相等）；∴∠B＝∠EDC（两直线平行，同位角相等）；又∵AB＝AC（已知），∴AC＝DE（等量代换），∠B＝∠ACB（等边对等角），∴∠EDC＝∠ACD（等量代换）；∵在△ADC和△ECD中，，∴△ADC≌△ECD（SAS）；（2）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），∴BD∥AE，BD＝AE（平行四边形的对边平行且相等），∴AE∥CD；又∵BD＝CD，∴AE＝CD（等量代换），∴四边形ADCE是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC（等腰三角形的“三合一”性质），∴∠ADC＝90°，∴▱ADCE是矩形．20．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AD＝12cm，∴AD＝BC＝12cm．当四边形ABQP为矩形时，AP＝BQ．①当0＜t＜3时，t＝12﹣4t，解得，t＝；②当3≤t＜6时，t＝4t﹣12，解得t＝4；③当6≤t＜9时，t＝36﹣4t，解得t＝；④当9≤t≤12时，t＝4t﹣36，解得，t＝12．综上所述，当t为或4或或12时，四边形ABQP为矩形．。
八年级数学下册 18.2.1《矩形》矩形的判定同步练习(无答案)(新版)新人教版
18.2.1《矩形》矩形的判定例题1 如图 ，O 是矩形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，E 、F 、G 、H 分别是AO 、BO 、CO 、DO 上的一点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH 。
求证：四边形EFGH 是矩形。
例题2四边形ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C ＝90°。
求证：四边形ABCD 是矩形。
例题3已知：如图20.2－5，平行四边形ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E 、F 、G 、H 。
求证：四边形EFGH 是矩形。
【课后作业】 1、甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测，检测后，他们都说窗框是矩形，你认为最有说服力的是（ ）A 、甲量得窗框两组对边分别相等；B 、乙量得窗框对角线相等；C 、丙量得窗框的一组邻边相等；D 、丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等。
2、如图1所示，矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，∠CAE ＝15°，则下面的结论：①△ODC 是等边三角形；②BC ＝2AB ；③∠AOE ＝135°；OH G图20.2-3F E DCBA HG图20.2-5FEDC BAO图1EDCBA图20.2-4DCBA④AOECOESS，其中正确的结论有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个3、在矩形ABCD 中，AB ＝2BC ，在CD 上取一点E ，使AE ＝AB ，则∠EBC＝_________度。
4、矩形的两条对角线的夹角为120°，矩形的宽为3，则矩形的面积为__________ 解答题1.已知：四边形ABCD 中，AB ＝CD ，∠A＋∠D＝180°，AC 、BD 相交于点O ，△AOB 是等边三角形。
求证：四边形ABCD 是矩形。
2.如图，在 平行四边形ABC D 中，以AC 为斜边作直角三角形ACE,∠BED=90°、说明四边形ABCD 是矩形ABCDE。
人教版八年级数学下册第02课 矩形的性质与判定 同步练习题
初中数学试卷第02课矩形的性质与判定同步练习题【例1】如图,在矩形ABCD中,点E是BC上一点,AE＝AD,DF⊥AE,垂足为F.求证：DF＝DC.【例2】如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M,与BC相交于点N,连接BM,DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=4,AD=8,求MD的长．【例3】如图,已知在△ABC中,AC＝3,BC＝4,AB＝5,点P在AB上(不与A、B重合)，过P作PE⊥AC,PF⊥BC,垂足分别是E、F,连接EF,M为EF的中点．(1)请判断四边形PECF的形状，并说明理由；(2)随着P点在边AB上位置的改变，CM的长度是否也会改变？若不变，请你求CM的长度；若有变化，请你求CM的变化范围．【例4】如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E，F分别在边AD,BC上,且DE＝CF,连接OE,OF.求证:OE＝OF.【例5】如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB 的外角平分线于点F.(1)求证:OE＝OF；(2)若CE＝12,CF＝5,求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形？并说明理由．课堂同步练习一、选择题：1、如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E，使DE＝AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件,不能使四边形DBCE 成为矩形的是( )A.AB＝BEB.DE⊥DCC.∠ADB＝90°D.CE⊥DE第1题图第2题图第4题图2、如图是一张矩形纸片ABCD,AD=10cm,若将纸片沿DE折叠,使DC落在DA上,点C的对应点为点F,若BE=6cm,则DC的长是（）A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm3、若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得到的四边形是矩形，则该四边形ABCD一定是（）A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形4、如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置,若∠EFB=65°,则∠AED′等于（）A.50°B.55°C.60°D.65°5、如图.矩形ABCD中.E在AD上.且EF⊥EC.EF=EC.DE=2.矩形的周长为16.则AE的长是（）A.3B.4C.5D.7第5题图第6题图第7题图6、如图,E是矩形ABCD中BC边的中点,将△ABE沿AE折叠到△AFE,F在矩形ABCD内部,延长AF交DC于G 点,若∠AEB＝55°,则∠DAF＝( )A.40°B.35°C.20°D.15°7、如图,将矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B与CD的中点重合,若AB=2,BC=3,则△FCB′与△B′DG的面积之比为( )A.9：4B.3：2C.4：3D.16：98、如图,矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于E,AD=8,AB=4,则DE长为( )A.3B.4C.5D.6第8题图第9题图9、如图,在矩形ABCD中,AB＝2,BC＝4,对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O,连接CE，则CE的长为( )A.3B.3.5C.2.5D.2.810、如图,矩形ABCD中,AE平分∠BAD交BC于E,∠CAE=15°，则下列结论：△ODC是等边三角形;②BC=2AB;③∠AOE=135°;④S△AOE=S△COE.其中正确的结论的个数有( )A.1B.2C.3D.4第10题图第11题图第12题图11、在矩形ABCD中,点A关于∠B的角平分线的对称点为E,点E关于∠C的角平分线的对称点为F,若AD=,AB=3,则S △ADF=（）A.2B.3C.3D.12、如图,在矩形ABCD中,O为AC中点,EF过O点,且EF⊥AC分别交DC于F,交AB于E,点G是AE中点,且∠AOG＝30°.①DC＝3OG；②OG＝BC；③△OGE是等边三角形；④S△AOE＝S矩形ABCD.则结论正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4二、填空题:13、若矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm的两部分，则矩形的周长为cm．14、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4 cm，则四边形CODE的周长为。
八年级数学(下)第十八章《矩形》同步练习(含答案)
八年级数学（下）第十八章《矩形》同步练习（含答案）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是A．对角相等B．对边相等C．对角线相等D．对角线互相平分【答案】C【解析】矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．故选C．2．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是矩形的是A．∠BAC=∠ACB B．∠BAC=∠ACDC．∠BAC=∠DAC D．∠BAC=∠ABD【答案】D3．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则矩形的对角线AC的长是A．2 B．4 C．3D．3【答案】B【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=OB=OD．∴△OAB是等腰三角形．∵∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA．∵AB=2，∴OA=2．∵OA=OC，∴AC=4．故选B．4．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，2），则CE的长是A．3B．2 C．5D．6【答案】C【解析】∵四边形COED是矩形，∴CE=OD，∵点D的坐标是（1，2），∴OD=22125+=，∴CE=5，故选C．5．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于E，若∠OAE=24°，则∠BAE的度数是A．24°B．33°C．42°D．43°【答案】B6．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为A．12 B．10 C．8 D．6【答案】B【解析】四边形ABCD是矩形，∴DC=AB=8，AD=BC=4，∠D=90°，AB∥DC，∴∠FAC=∠DCA，由折叠的性质得∠FCA=∠DCA，∴∠FCA =∠FAC，∴AF=CF，设AF=CF =x，D′F=8-x，在Rt △AD ′F 中，根据勾股定理得AD ′2+D ′F 2=AF 2，即2224(8)x x +-=，解得5x =， ∴11541022AFC S AF AD =⋅=⨯⨯=△．故选B ． 7．下列条件中，能判定四边形ABCD 是矩形的是 A ．四边形ABCD 中，AC BD = B ．四边形ABCD 中，AC BD ⊥C ．四边形ABCD 中，90A ∠=︒，90C ∠=︒，90D ∠=︒ D ．四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒ 【答案】C8．在矩形ABCD 中，AB =1，AD =3，AF 平分∠DAB ，过C 点作CE ⊥BD 于E ，延长AF 、EC 交于点H ，下列结论中：①AF =FH ；②BO =BF ；③CA =CH ；④BE =3ED ．正确的是A ．②③B ．③④C ．①②④D ．②③④【答案】D【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，90BAD ABC ∠=∠=︒，AO =OC ，OD =OB ，AC =BD ，∴AO =OB =OD ，∵AB =1，AD 3BD =2，∴∠ABD =60°，∴△ABO 是等边三角形， ∴AB =OA =OB ，∠BAO =∠AOB =60°，∵AF 平分∠BAD ，∴∠BAF =∠DAF =45°，∵∠DAF =∠AFB ， ∴∠BAF =∠BFA ，∴BF AB OB ==，∴②正确；∵CE ⊥BD ，∴60DOC AOB ∠=∠=︒，∴∠ECO =30°，∵604515FAC ∠=︒-︒=︒ ， ∴15H ACE CAF CAF ∠=∠-∠=︒=∠，∴AC =CH ，∴③正确； ∵CF 和AH 不垂直，∴AF ≠FH ，∴①错误；∵∠CEO=90°，∠ECA=30°，∴1122OE OC OD DE===，BE=3DE，∴④正确，正确的有②③④，故选D．二、填空题：请将答案填在题中横线上．9．如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD、CE分别是斜边上的高和中线，AC=CE=10 cm，则BD=__________．【答案】15 cm10．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC=10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为__________．【答案】2.5【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD=10，BO=DO=12BD，∴OD=12BD=5，∵点P、Q是AO，AD的中点，∴PQ是△AOD的中位线，∴PQ=12DO=2.5．故答案为：2.5．11．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，若∠ABE=34°，则∠DBC为__________度．【答案】56【解析】根据翻折的性质可知，∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′，又∵∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′=180°，∴∠ABE+∠DBC=90°，又∵∠ABE=34°，∴∠DBC=56°．故答案为：56．12．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B 落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，CB/的长为__________．【答案】2或10【解析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图所示，连接AC，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∴AC=5，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=5-3=2；②当点B′落在AD边上时，如图所示，此时ABEB′为正方形，∴B'E=AB=3，∴CE=4-3=1，∴Rt△B'CE中，CB2210．综上所述，13B'C的长为210．故答案为：210．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13．如图，四边形ABCD为矩形，PB=PC，求证：PA=PD．14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC 交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=2，求△OEC的面积．【解析】（1）∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵∠ABC=90°，∴∠BAD=90°，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形．（2）如图，作OF⊥BC于F．∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=2，∠BCD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，∴AO=BO=CO=DO，∴BF=FC，∴OF=12CD=1，∵DE平分∠ADC，∠ADC=90°，∴∠EDC=45°，在Rt△EDC中，EC=CD=2，∴△OEC的面积=12EC·OF=1．15．如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE=CF，连接DE，BF．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若BD=EF，连接BE，DF．判断四边形EBFD的形状，并说明理由．（2）结论：四边形EBFD是矩形．理由：∵OD=OB，OE=OF，∴四边形EBFD是平行四边形，∵BD=EF，∴四边形EBFD是矩形．16．如图，已知ABCD，延长AB到E使BE=AB，连接BD，ED，EC，若ED=AD．（1）求证：四边形BECD是矩形；（2）连接AC，若AD=4，CD=2，求AC的长．（2）如图，连接AC，∵AD=4，CD=2，四边形ABCD是平行四边形，四边形BECD是矩形，∴AB=BE=CD=2，BC=AD=4，∠AEC=90°，∴AE=AB+BE=4，在Rt△BCE中，CE22-=4223∴在Rt△ACE中，AC22+=4(23)27。
人教版八年级下册数学 第十八章 平行四边形 18.2.1 矩形 矩形的判定 同步练习
人教版八年级下册数学第十八章平行四边形 18.2.1 矩形矩形的判定同步练习1．下列关于矩形的说法中正确的是( )A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．矩形的对角线相等且互相平分2．要想使平行四边形ABCD成为一个矩形，需要添加的条件是( )A．∠A＋∠B＝180°B．∠B＋∠C＝180° C．∠A＝∠B D．∠B＝∠D3．如图所示，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( )A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD4．在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是( )A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等C．测量对角线是否垂直 D．测量其内角是否有三个直角5．如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，可使四边形EFGH为矩形的条件是( )A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD∥BC6．已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( )A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB7．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积为( )A．2 3 B．3 3 C．4 D．4 38．若四边形ABCD是平行四边形，AB＝3，BC＝4，AC＝5，那么平行四边形ABCD是形．9．如图是用四根木棒搭成的平行四边形框架，AB＝8cm，AD＝6cm，使AB固定，转动AD，当∠DAB＝时，四边形ABCD的面积最大，最大值是 cm2.10．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD．由其中三个条件能推出四边形ABCD成为矩形的是(填序号)．11．命题“对角线相等的四边形是矩形”是 (填“真”或“假”)命题．12. 如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OB．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若AD＝4，∠AOD＝60°，求AB的长．13. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，延长AE至G，使EG ＝AE，连接CG.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．14. 如图，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E.(1)求证：△DCA≌△EAC；(2)只需要添加一个条件，即，可使四边形ABCD为矩形，请加以证明．15. 已知：如图，D是△ABC的AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．(1)求证：CD＝AN；(2)若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．16. 如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O.(1)求证：△OEC为等腰三角形；(2)连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．。
18.2.2 矩形的判定 人教版数学八年级下册分层作业(含答案)
人教版初中数学八年级下册18.2.2 矩形的判定同步练习夯实基础篇一、单选题：1．下列给出的判定中不能判定一个四边形是矩形的是（ ）A．有三个角是直角B．对角线互相平分且相等C．对角线互相垂直且相等D．一组对边平行且相等，一个角是直角【答案】C【分析】利用矩形的判定方法即可对各选项进行判断，得到符合题意的选项．【详解】解：A、有三个角是直角的四边形是矩形，该选项说法正确，不合题意；B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，该选项说法正确，不合题意；C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，该选项原说法错误，符合题意；D、一组对边平行且相等，一个角是直角的四边形是矩形，该选项说法正确，不合题意；故选：C．【点睛】此题考查了矩形的判定，矩形的判定方法有：有一个角是直角的平行四边形是矩形；三个角都是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，熟练掌握矩形的判定方法是解本题的关键．2．如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是矩形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可；【详解】解：A、四边形是平行四边形，，，，平行四边形是矩形，故选项A符合题意；B、四边形ABCD是平行四边形，，，，，选项B不能判定这个平行四边形为矩形，故选项B不符合题意；C、四边形是平行四边形，，平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；D、四边形是平行四边形，，平行四边形是菱形，故选项D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．3．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作交AD于E，若，则AE的长为（）A．3B．4C．5D．【答案】C【分析】根据矩形ABCD，得到AD=BC=8，∠ADC=90°，OA=OC，从而得证△AOE≌△COE，AE=CE，设AE=x，则EC=x，DE=8-x，利用勾股定理计算即可．【详解】如图，连接EC，∵矩形ABCD，，，∴AD=BC=8，AB=CD=4，∠ADC=90°，OA=OC，∵，∴∠AOE=∠COE=90°，∵OE=OE，∴△AOE≌△COE，AE=CE，设AE=x，则EC=x，DE=8-x，在Rt△DEC中，，∴，∴x=5，∴AE=5，故选C．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，三角形全等，勾股定理是解题的关键．4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AOB是等边三角形，OE BD交BC于点E，CD＝2，则CE的长为（）A．1B．C．D．【答案】D【分析】先根据等边三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定证出平行四边形是矩形，再根据矩形的性质可得，然后利用勾股定理可得，，最后根据线段和差即可得．【详解】解：四边形是平行四边形，，，是等边三角形，，，平行四边形是矩形，，，，，设，则，在中，，即，解得或（不符题意，舍去），，，故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．5．如图，在四边形中，对角线，垂足为，点、、、分别为边、、、的中点．若，，则四边形的面积为（ ）A．48B．24C．32D．12【答案】D【分析】有一个角是直角的平行四边形是矩形．利用中位线定理可得出四边形EFGH矩形，根据矩形的面积公式解答即可．【详解】解：∵点E、F分别为四边形ABCD的边AD、AB的中点，∴EF BD，且EF=BD=3．同理求得EH AC GF，且EH=GF=AC=4，又∵AC⊥BD，∴EF GH，FG HE且EF⊥FG．四边形EFGH是矩形．∴四边形EFGH的面积=EF•EH=3×4=12，即四边形EFGH的面积是12．故选：D．【点睛】本题考查的是中点四边形．解题时，利用了矩形的判定以及矩形的性质，矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．6．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，若四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用三角形中位线定理可得四边形EFGH是平行四边形，当，利用,可得即可证明四边形EFGH是矩形．【详解】解：∵点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，∴，且，且，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形EFGH是矩形，∴，即，∵，，∴，故选：A．【点睛】本题考查矩形的判定定理，三角形中位线的定义和性质，关键是利用三角形中位线定理证明四边形EFGH是平行四边形，再利用推出．7．如图，在直角三角形中，，，，点M是边上一点（不与点A，B重合），作于点E，于点F，则的最小值是（）A．2B．2.4C．2.5D．2.6【答案】B【分析】根据题意可证四边形ECFM是矩形，得EF=CM，再由垂线段最短得CM最短进而可得EF最短，最后进行计算即可．【详解】连接CM，∵ME AC，MF BC，∴MEC=MFC=90°,∵C=90°，∴四边形ECFM是矩形，∴EF=CM，当CM AB时，CM最短，如下图：当CM AB，，∴，∵在Rt ABC中，=，∴，∴CM=2.4，∴CM的最小值是2.4，∴EF=CM=2.4，∴EF的最小值是2.4．故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定、垂线段最短定理和勾股定理，解决此题的关键是要找到CM最短时的情况．二、填空题：8.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，欲使四边形ABCD变成矩形，则还需添加______．（写出一个合适的条件即可）【答案】AC=BD（答案不唯一）【分析】根据矩形的判定条件求解即可．【详解】解：添加条件AC=BD，利用如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，又∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：AC=BD（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了矩形的判定，熟知矩形的判定条件是解题的关键．9．一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板．理由是______．【答案】三个角都是直角的四边形是矩形（或：“有一个角是直角的平行四边形是矩形”）【分析】使用矩形的判定定理，有三个角是直角的四边形是矩形【详解】因为木板的对边平行，在进行两次锯开时都是沿着垂直于对边的方向，所以会出现4个直角，有三个角是直角的四边形是矩形．故答案是三个角是直角的四边形是矩形．【点睛】本题考查矩形的判定，需要熟记矩形的判定定理并灵活运用．10．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，AC与BD应满足的的条件是___________．【答案】【分析】连接，先根据三角形中位线定理、平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，再根据矩形的判定即可得．【详解】解：如图，连接，分别为的中点，，，四边形为平行四边形，要使平行四边形为矩形，则，，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．11．如图，，、、、分别为角平分线，则四边形是__________．【答案】矩形【分析】首先根据角平分线的性质证明∠MPQ+∠NPQ＝90°，再证明四边形PMQN是平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定．【详解】解：∵PM、PN分别平分∠APQ，∠BPQ，∴∠MPQ＝∠APQ，∠NPQ＝∠BPQ，∵∠APQ+∠BPQ＝180°，∴∠MPQ+∠NPQ＝90°，即∠NPM＝90°，∵AB∥CD，∴∠APQ＝∠PQD，∵QN平分∠PQD，∴∠PQN＝∠PQD，∴∠MPQ＝∠NQP，∴PM∥QN，同理QM∥PN，∴四边形PMQN是平行四边形，∵∠NPM＝90°，∴四边形PMQN是矩形．故答案为：矩形．【点睛】此题主要考查了矩形的判定和平行线的性质，解题关键是根据角平分线和平行线的性质得出90°角和平行四边形．12．如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝_______度．【答案】44【分析】由矩形的性质可知∠OBC=∠ACB=23°，则可求得∠AOB度数，由直角三角形的性质可得∠DBE的度数．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OB=OC，∴∠ACB=∠OBC=23° ，∵∠AOB=∠ACB+∠OBC=46°，且BE⊥AC，∴∠DBE=44° ．故答案为：44【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质，利用矩形的对角线相等且平分求得∠OBC的度数是解题的关键．13．如图，在面积为36的四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于点P，则DP的长是_____【答案】6【分析】作DE⊥BC，交BC延长线于E，如图，则四边形BEDP为矩形，再利用等角的余角相等得到∠ADP=∠CDE，则可利用“AAS”证明△ADP≌△CDE，得到DP=DE，S△ADP=S△CDE，所以四边形BEDP为正方形，S四边形ABCD=S正方形BEDP，根据正方形的面积公式得到DP2=36，易得DP=6．【详解】如图，作DE⊥BC，交BC延长线于E，∵DP⊥AB，ABC=90°，∴四边形BEDP为矩形，∴∠PDE=90°，即∠CDE+∠PDC=90°，∵∠ADC=90°，即∠ADP+∠PDC=90°，∴∠ADP=∠CDE，在△ADP和△CDE中，∴△ADP≌△CDE，∴DP=DE，S△ADP=S△CDE，∴四边形BEDP为正方形，S四边形ABCD=S正方形BEDP，∴DP2=36，∴DP=6．故答案为6．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了正方形和矩形的性质．本题的关键的作辅助线构造两个全等的三角形．三、解答题：14．如图，在中，，平分交于点D，分别过点A、D作、，与相交于点E，连接．(1)求证：；(2)求证：四边形是矩形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据、证明四边形为平行四边形，即可得出答案；（2）由等腰三角形的性质得出，，得出，，先证出四边形是平行四边形．再证明四边形是矩形即可．【详解】（1）证明：∵、，∴四边形是平行四边形，∴；（2）证明：∵，平分，∴，，∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴∴四边形是矩形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由等腰三角形的性质得出，，是解决问题的关键．15．如图，四边形是平行四边形，过点作于点，点在边上，，连接，．(1)求证：四边形是矩形．(2)若是的平分线．若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再根据矩形的判定即可证得；（2）根据勾股定理求出长，可证得，即可得出答案．【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，，，，即，四边形是平行四边形，，，四边形是矩形；（2）解：四边形是矩形，，，四边形是平行四边形，，是的平分线，，，，，，．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，角平分线的定义，等角对等边，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．16．如图，在四边形中，AD BC，．对角线交于点平分交于点，连接．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，=，求△的面积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据矩形的判定即可得证；（2）先根据含角的直角三角形的性质、勾股定理可得，再根据矩形的性质可得，根据角平分线的定义和直角三角形的性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，从而可得，最后利用三角形的面积公式即可得．（1）证明：，，∵，，∴四边形是矩形．（2）解：在中，，，由（1）已证：四边形是矩形，，平分，，，，，则的面积为．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．17．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，于点E，于点F，且．(1)求证：四边形ABCD是矩形．(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)10°【分析】（1）证△AEO≌△DFO（AAS），得出OA=OD，则AC=BD，即可得出四边形ABCD是矩形．（2）由矩形的性质得出∠ABC=∠BAD=90°，OA=OB，则∠OAB=∠OBA，求出∠BAE=40°，则∠OBA=∠OAB=50°，即可得出答案．（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，∵于点E，于点F，∴，又∵，∴，∴，∴，∴四边形ABCD是矩形；（2）由（1）得：四边形ABCD是矩形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．能力提升篇一、单选题：1．如图，点是中斜边不与，重合上一动点，分别作于点，作于点，点是的中点，若，，当点在上运动时，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】证明四边形BMPN是矩形，得BP=MN，由勾股定理求出AC=15，当BP⊥AC时，BP最小，然后由面积法求出BP最小值，即可解决问题．【详解】解：连接，如图所示：，于点，于点，四边形是矩形，，，与互相平分，点是的中点，，当时，最小∵，，，故选：B．【点睛】本题主要考查矩形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理及面积法等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．2．如图，在中，，M为的中点，H为上一点，过点C作，交的延长线于点，若，，则四边形周长的最小值是（）A．28B．26C．22D．18【答案】A【分析】通过证明可得，可得四边形的周长即为，进而可确定当时，四边形的周长有最小值，通过证明四边形为矩形可得的长，进而可求解．【详解】解：，，是的中点，，在和中，，，，，，，四边形的周长，当最小时，即时四边形的周长有最小值，，，，四边形为矩形，，四边形的周长最小值为，故选：A．【点睛】本题主要考查轴对称最短路径问题，全等三角形的判定与性质，确定的值是解题的关键．3．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分交BC于点E，．连接OE，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④；⑤，其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】判断出△ABE是等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACB＝30°，再判断出△ABO，△DOC是等边三角形，可判断①；根据等边三角形的性质求出OB＝AB，再求出OB＝BE，可判断②，由直角三角形的性质可得BC＝AB，可判断③，由等腰三角形性质求出∠BOE＝75°，再根据∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝135°，可判断④；由面积公式可得可判断⑤；即可求解．【详解】解：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴∠AEB＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE，∵∠CAE＝15°，∴∠ACE＝∠AEB−∠CAE＝45°−15°＝30°，∴∠BAO＝90°−30°＝60°，∵矩形ABCD中：OA＝OB＝OC＝OD，∴△ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，故①正确；∴OB＝AB，又∵AB＝BE，∴OB＝BE，∴△BOE是等腰三角形，故②正确；在Rt△ABC中∵∠ACB=30°∴BC＝AB，故③错误；∵∠OBE＝∠ABC−∠ABO＝90°−60°＝30°＝∠ACB，∴∠BOE＝（180°−30°）＝75°，∴∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝60°＋75°＝135°，故④错误；∵AO＝CO，∴，故⑤正确；【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．二、填空题：4．如图，在平行四边形中，，，，点在边上，且，点在线段上，点在线段的延长线上，且，连接交于点，过点作于，则___________.【答案】【分析】过点M作MH BC交CP于H，根据平行线的性质可得∠MHP＝∠BCP，∠NCF＝∠MHF，根据等边对等角可得∠BCP＝∠BPC，然后求出∠BPC＝∠MHP，根据等角对等边可得PM＝MH，根据等腰三角形三线合一的性质可得PE＝EH，利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得CF＝FH，从而求出EF＝CP，利用勾股定理列式求出AP，然后可得PD，再次利用勾股定理列式计算即可求出CP，从而得解．【详解】解：如图，过点M作MH BC交CP于H，则∠MHP＝∠BCP，∠NCF＝∠MHF，∵BP＝BC，∴∠BCP＝∠BPC，∴∠BPC＝∠MHP，∴PM＝MH，∵PM＝CN，∴CN＝MH，∵ME⊥CP，∴PE＝EH，在和中，，∴（AAS），∴CF＝FH，∴EF＝EH＋FH＝CP，∵在平行四边形ABCD中，AD＝10，，∴BC＝AD＝10，平行四边形ABCD是矩形，∴BP＝BC＝10，在Rt中，AP＝，∴PD＝AD−AP＝10−6＝4，∵在矩形ABCD中，∠D＝90°，∴在Rt中，CP＝，∴EF＝CP＝，故答案为：．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键．5．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以每秒1cm的速度运动，Q以每秒4cm的速度从点C出发，在B、C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止(同时点Q 也停止)，这段时间内，当运动时间为______时，P、Q、C、D四点组成矩形．【答案】2.4s或4s或7.2s【分析】根据已知可知：点Q将由根据矩形的性质得到AD∥BC，设过了t秒，当AP=BQ时，P、Q、C、D四点组成矩形，在点Q由的过程中，则PA=t，BQ=12-4t，求得t=2.4（s），在点Q 由的过程中，t=4（t-3），求得t=4（s），在点Q再由中，t=12-4（t-6），求得t=7.2（s），在点Q 再由的过程中，t=4（t-9），t=13（s），故此舍去，从而得到结论．【详解】解：根据已知可知：点Q由在点Q第一次到达点B过程中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，若，则四边形APQB是矩形，则以P、Q、C、D四点为顶点组成矩形．设过了t秒，则PA=t，BQ=12-4t，∴t=12-4t，∴t=2.4（s），在点Q由的过程中，设过了t秒，则PA=t，BQ=4（t-3），t=4（t-3），解得：t=4（s），在点Q再由过程中，设过了t秒，则PA=t，BQ=12-4（t-6），t=12-4（t-6），解得：t=7.2（s），在点Q再由的过程中，设过了t秒，则PA=t，BQ=4（t-9），t=4（t-9），解得：t=13（s）>12(s)，故此舍去．故答案为：2.4s或4s或7.2s；【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，此题属于动点型题目．解题时要注意数形结合与方程思想的应用．三、解答题：6．如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．(1)求证：四边形是矩形．(2)已知是的平分线，若，则□的面积为______．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明平行四边形是矩形．(2）根据边角的关系，得到，再根据S行四边形进行计算．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴四边形是矩形．（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查平行四边形及矩形判定，角平分线的性质，勾股定理及平行四边形面积计算，能够熟练运用平行四边形的性质是解题关键．7．如图，在中，，D是AC的中点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发向点A移动，连接PD并延长交CE于点F，设点P移动的时间为t秒．(1)求AB与CE之间的距离；(2)当t为何值时，四边形PBCF为平行四边形；(3)当时，求t的值．【答案】(1)2.4(2)t为时，四边形PBCF为平行四边形(3)【分析】（1）根据勾股定理，可得的长，根据面积的不同表示方法，可得答案；（2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得答案；（3）根据已知条件判定，即可得出，进而得到四边形为平行四边形，依据，即可得到四边形为矩形．再根据勾股定理即可得到的长，进而得出．（1）解：在中，，，．如图，过作于，则由，得．，与之间的距离为2.4．（2），当时，四边形是平行四边形．为的中点，为的中点．．（3），，．为的中点，，．，四边形为平行四边形．，．．四边形为矩形．．在中，，，．．【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质以及勾股定理的运用，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．。
人教版八年级数学下册矩形性质和判定同步练习
初中数学试卷金戈铁骑整理制作1．矩形的对边矩形的性质和判断，对角线且同步练习，四个角都是，即是图形又是图形。
2．矩形的面积是60，一边长为5，则它的一条对角线长等于。
3．若是矩形的一边长为8，一条对角线长为10，那么这个矩形面积是__________ 。
4.矩形的一内角均分线把矩形的一条边分成 3 和 5 两部分，则该矩形的周长是___________.5.矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______.6．如图 , 已知在平面直角坐标系中C（0,4 ）, 点 D是 OA的中点 , 点,O 为坐标原点 , 四边形 OABC是矩形 , 点 A、C的坐标分别为（A 10,0）、P 在 BC边上运动 , 当△ ODP是腰长为5 的等腰三角形时, 点 P 的坐标为。
7. 若一个直角三角形的两条直角边分别为 5 和12，则斜边上的中线等于.8．平行四边形没有而矩形拥有的性质是（）A. 对角线相等B.对角线互相垂直C.对角线互相均分D. 对角相等9. 以下表达错误的选项是（）A. 平行四边形的对角线互相均分B. 平行四边形的四个内角相等。
C.矩形的对角线相等。
D.有一个角时90o的平行四边形是矩形10. 以下检查一个门框可否为矩形的方法中正确的选项是（）A. 测量两条对角线可否相等B.用曲尺测量对角线可否互相垂直C.用曲尺测量门框的三个角可否都是直角D.测量两条对角线可否互相均分11. 矩形 ABCD对角线订交于点O,若是△ ABC周长比△ AOB周长大 10cm,则 AD长是（）12. 以下列图形中对称轴有A. 平行四边形B.2 条的图形是（等边三角形）C.矩形D.直角三角形二、解答题 :13. 如图，已知矩形ABCD的两条对角线订交于O, ∠AOD=120°,AB=4cm，求此矩形的面积.14.平行四边形 ABCD,E是 CD的中点 , △ ABE是等边三角形 . 求证：四边形 ABCD是矩形 .15. 如图 , 矩形 ABCD中， EF⊥ EB,EF=EB,ABCD周长为 22cm,CE=3cm.求： DE的长 .16. 如图 , 矩形 ABCD中,DE=AB， CF⊥ DE.求证 :EF=EB.17.如图 , 矩形 ABCD中, 点 E、 F 分别在 AB、 CD上 ,BF//DE, 若 AD=12cm,AB=7cm,且 AE:EB=5:2, 求阴影部分 .18. 如图 , 矩形 ABCD中, 对角线 AC、 BD订交于 O,AE⊥ BD,垂足为 E, 已知 AB=3,AD=4, 求△ AEO的面积 .19. 矩形 ABCD中， E 是 CD上一点，且AE=CE， F 是 AC上一点 FH⊥ AE于 H， FG⊥ CD于 G.求证： FH+FG=AD.20.在平行四边形 ABCD中，对角线 AC、 BD订交于 O， EF 过点 O，且 AF⊥ BC.求证：四边形AFCE是矩形21.平行四边形 ABCD中, 对角线 AC、 BD订交于点Ｏ , 点Ｐ是四边形外一点 , 且 PA⊥ PC， PB⊥ PD,垂足为Ｐ .求证：四边形ABCD为矩形 .参照答案1. 相等；互相均分；相等；直角；轴对称；中心对称；2.12 ；3.48 ；或 26；5.10,5 ；6. （ 2， 4），（ 3,4 ），（ 8,4 ）；；13.16 3 2cm ；14. 证明：∵ AE ＝ BE （等边△） , ∠ DEA ＝∠ EAB ＝ 60o ＝∠ ABE ＝∠ CEB （内错角相等） .DE ＝CE （ E 中点）；∴△ ADE ≌△ BCE （两边夹一角相等） , ∠ C ＝∠ D （对应角相等） , ∠ C ＋∠ D ＝ 180o （同旁内角互补） , ∠ C ＝∠ D ＝ 90o, 同理∠ A ＝∠ B ＝ 90o; 所以 平行四边形 ABCD 是矩形 . （四个角是直角） .15. ∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AD=BC ， DC=AB ，∠ D=∠ C=90°，∵ EF ⊥ EB ，∴∠ FEB=90°，∴∠ DEF+∠ CEB=90°，∠ CEB+∠ CBE=90°，∴∠ DEF=∠ CBE ，在△ DEF 和△ CBE 中，∠ D ＝∠ C ，∠ DEF ＝∠ CBE ， EF ＝ EB ，∴△ DEF ≌△ CBE （ AAS ）， ∴ DE=BC ， DF=CE=3cm ，∵矩形 ABCD 的 ABCD 周长为 22cm ，∴ 2（ BC+DE+EC ） =22，∴ DE+DE+3=11，∴ DE=4．16. ∵∠ AED=∠ FDC ，∠ DAE=∠DFC=90°∴∠ ADE=∠ FCD又∵ DE=AB=CD ∴△ ADE ≌△ FCD ∴DF=AE ∴ EF=DE-DF=AB-AE=BE 。
人教版八年级下册数学 18.2.1 矩形 同步测试题(含答案)
18.2.1 矩形同步测试题1.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是( )A.AB=CDB.AD=BCC.∠AOB=45°D.∠ABC=90°2.如图,小贤为了体验四边形的不稳定性,将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定,然后向右扭动框架,观察所得四边形的变化,下列判断错误的是( )A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形B.BD的长度增大C.四边形ABCD的面积不变D.四边形ABCD的周长不变3.如图,在矩形ABCD中(AD>AB),点E是BC上一点,且DE=DA,AF⊥DE,垂足为点F,在下列结论中,不一定正确的是( )A.△AFD≌△DCEB.AF=ADC.AB=AFD.BE=AD-DF4.如图,点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点,且AD=DE,连接BE交CD于点O,连接AO,下列结论中不正确的是( )A.△AOB≌△BOCB.△BOC≌△EODC.△AOD≌△EODD.△AOD≌△BOC5.如图,在矩形ABCD中,AB=3,将△ABD沿对角线BD折叠,得到△EBD,DE与BC 交于点F,∠ADB=30°,则EF=( )A. B.2 C.3 D.36.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,以下说法错误的是( )A.∠ABC=90°B.AC=BDC.OA=OBD.OA=AD7.(2016·菏泽)在▱ABCD中,AB=3,BC=4,连接AC,BD,当▱ABCD的面积最大时,下列结论正确的有( )①AC=5;②∠BAD+∠BCD=180°;③AC⊥BD;④AC=BD.A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④8.如图,P是矩形ABCD的对角线AC的中点,E是AD的中点.若AB=6,AD=8,则四边形ABPE的周长为( )A.14B.16C.17D.189.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别为AC,AB边的中点,连接DE,CE.则下列结论中不一定正确的是( )A.ED∥BCB.ED⊥ACC.∠ACE=∠BCED.AE=CE10.如图,在矩形ABCD中,O为AC的中点,EF过O点且EF⊥AC分别交DC,AB于点F,E,点G是AE的中点,且∠AOG=30°,则下列结论正确的有( )①DC=3OG;②OG=BC;③△OGE是等边三角形;④S△AOE=S矩形ABCD.A.1个B.2个C.3个D.4个11.图,AB=6,O是AB的中点,直线l经过点O,∠1=120°,P是直线l上一点,当△APB 为直角三角时,AP= .12.如图,在矩形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC,CF⊥BD,垂足分别为E,F.求证:BE=CF.13.如图,AC为矩形ABCD的对角线,将边AB沿AE折叠,使点B落在AC上的点M处,将边CD沿CF折叠,使点D落在AC上的点N处.(1)求证:四边形AECF是平行四边形;(2)若AB=6,AC=10,求四边形AECF的面积.14.如图所示,以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形,即△ABD,△BCE,△ACF,连接DE,EF.请回答下列问题:(1)四边形ADEF是什么四边形?并说明理由.(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是矩形?15.如图,在矩形ABCD中,AB=12 cm,BC=6 cm,点P沿AB边从点A开始向点B 以2 cm/s的速度移动,点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动,如果P,Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6).(1)当t为何值时,△QAP为等腰三角形?(2)求四边形QAPC的面积,并探索一个与计算结果有关的结论.参考答案1.【答案】D解：因为四边形ABCD的对角线互相平分,所以四边形ABCD为平行四边形,A,B 两选项为平行四边形具有的性质,C选项添加后也不一定是矩形,根据矩形的定义知D可以.故选D.2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】A解：∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,∠ADO=∠EDO=∠C=90°.∵AD=DE,∴BC=DE.在△BOC与△EOD中,∠BOC=∠DOE,∠C=∠EDO=90°,BC=DE,∴△BOC≌△EOD.故B选项正确.在△AOD和△EOD中,AD=DE,∠ADO=∠EDO=90°,OD=OD,∴△AOD≌△EOD.故C选项正确.由B,C知△AOD≌△BOC,故D选项正确.而A选项中两三角形明显不全等.5.【答案】A6.【答案】D7.【答案】B解：当▱ABCD的面积最大时,四边形ABCD为矩形,得出∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°,AC=BD,根据勾股定理求出AC,即可得出结论.8.【答案】D 9.【答案】C10.【答案】C解：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OG=AG=GE=AE,再根据等边对等角可得∠OAG=30°,根据直角三角形两锐角互余求出∠GEO=60°,从而判断出△OGE是等边三角形,判断出③正确;设AE=2a,则OE=a,利用勾股定理求出AO的长,从而得到AC的长,再求出BC的长,然后利用勾股定理求出AB=3a,从而判断出①正确,②错误;再根据三角形的面积公式和矩形的面积公式列式判断出④正确.11.【答案】3或3或3解：当∠APB=90°时,分两种情况讨论.情况一:如图①,∵O为AB中点,∴PO=AB,AO=BO.∴PO=BO.∵∠1=120°,∴∠PBA=30°.∴AP=AB=3;情况二:如图②,∵AO=BO,∠APB=90°,∴PO=BO.∵∠1=120°,∴∠BOP=60°.∴△BOP为等边三角形.∴BP=AB=3.∴AP===3.当∠BAP=90°时,如图③,∵∠1=120°,∴∠AOP=60°,∴∠APO=30°,∴PO=2AO=6.∴AP===3.当∠ABP=90°时,如图④,∵∠1=120°,∴∠BOP=60°,∴∠BPO=30°,∴PO=2BO=6.∴BP===3.∴AP===3.12.证明:∵四边形ABCD为矩形,∴AC=BD.∴BO=CO.∵BE⊥AC于E,CF⊥BD于F,∴∠BEO=∠CFO=90°.又∵∠BOE=∠COF,∴△BOE≌△COF.∴BE=CF.13.(1)证明:由折叠知AM=AB,CN=CD,∠FNC=∠D=90°,∠AME=∠B=90°,∴∠ANF=90°,∠CME=90°.∵四边形ABCD为矩形,∴AB=CD,AD∥BC.∴∠FAN=∠ECM,AM=CN.∴AM-MN=CN-MN,即AN=CM.在△ANF和△CME中,∴△ANF≌△CME(ASA).∴AF=CE.又∵AF∥CE,∴四边形AECF是平行四边形.(2)解:∵AB=6,AC=10,∴BC=8.设CE=x,则EM=BE=8-x,CM=10-6=4. 在Rt△CEM中,(8-x)2+42=x2,解得x=5. ∴四边形AECF的面积为CE·AB=5×6=30.14.解:(1)四边形ADEF是平行四边形.理由:∵△ABD,△BEC都是等边三角形,∴BD=AB,BE=BC,∠DBA=∠EBC=60°.∴∠DBE=60°-∠EBA,∠ABC=60°-∠EBA, ∴∠DBE=∠ABC.∴△DBE≌△ABC.∴DE=AC,又∵△ACF是等边三角形,∴AC=AF.∴DE=AF.同理可得△ABC≌△FEC,∴EF=BA=DA.∵DE=AF,DA=EF,∴四边形ADEF为平行四边形.(2)若四边形ADEF为矩形,则∠DAF=90°,∵∠DAB=∠FAC=60°,∴∠BAC=360°-∠DAB-∠FAC-∠DAF=360°-60°-60°-90°=150°.∴当△ABC满足∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形.15.解:(1)由题意得DQ=t cm,AP=2t cm,∴AQ=(6-t)cm.若△QAP为等腰三角形,则只能是AQ=AP,于是6-t=2t,∴t=2.故当t=2时,△QAP为等腰三角形.(2)S四边形QAPC=S矩形ABCD-S△CDQ-S△BPC=12×6-×12t-×(12-2t)×6=72-6t-36+6t=36(cm2).结论:在点P,Q的移动过程中,四边形QAPC的面积始终不变,为36 cm2.。
人教八年级下册数学 矩形的判定同步练习
18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形第2课时矩形的判定1、下列识别图形不正确的是（）A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．有三个角是直角的四边形是矩形C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形2、四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定它是矩形的是（） A．AB=CD，AB∥CD，∠BAD=90°B．AO=CO，BO=DO，AC=BDC．∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180°D．∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90°3、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，顺次连结E、F、G、H所得的四边形EFGH是矩形吗？4、如图，□ ABCD各角的角平分线分别相交于点E，F，G，H. 求证：•四边形EFGH是矩形．5、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN. 求证：四边形NDMB是矩形.6、两条平行线被第三条直线所截，两组内错角的平分线相交所成的四边形是（）A. 一般平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形7、在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，且AB＝CD，四边形ABCD是矩形吗？为什么？8、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F为AB上的两点，且△DAF≌△CBE.求证：四边形ABCD是矩形.9、如图，在△ABC中，点O是AC边上的中点，过点O的直线MN∥BC，且MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，点P是BC延长线上一点. 求证：四边形AECF是矩形.10、如图所示，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AE•是∠CAF的平分线且∠CAF是△ABC的一个外角，且DE∥BA，四边形ADCE是矩形吗？为什么？D AC F P E B11、【提高题】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，CD ⊥AB 于D ，P•为B 上的任意一点，过P 点分别作PE ⊥AB ，PF ⊥CA ，垂足分别为E ，F ，则有PE ＋PF ＝CD ，你能说明为什么吗？矩形的判定答案1、【答案】 C2、【答案】 C3、【答案】是矩形，【提示】 OE＝OF＝OG＝OH4、【答案】用判定定理“三个角都是直角的四边形是矩形”来证明。
人教版八年下学期数学18.2.1矩形同步练习
18.2.1矩形同步练习一、选择题1.如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，点M在BC上，若MA平分∠DMB，则CM的长是（）A.3√2B.2√6C.2√5D.√32.如图，矩形ABCD中，∠BOC=120°，BD=12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（）A.3B.4C.5D.63.如图所示，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E为AD的中点，若AB=6，BC=8，则△BOE的周长为（）A.10B.8+2√5C.8+2√13D.144.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A.两组对边分别相等B.两组对角分别相等C.两条对角线互相平分D.两条对角线相等5.如图，矩形ABCD中，AB=8，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点，则AD的长为（）E处，AE交CD于点F。
若AF=254A.4B.5C.6D.76.在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，对角线交于点O，则BO=()A.3B.4C.5D.107.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=60°，AB=7cm，D是AC的中点，则BD的长为（）A.7.5cmB.7cmC.6.5cmD.6cm8.如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，E为BC边的中点，AB=4，AC=2，DE=√3，则∠ACD（）A.15°B.30°C.22.5°D.45°9.如图，在矩形ABCD纸片中，E为AD上一点，将△CDE沿CE翻折至△CFE，若点F恰好落在AB上，AF=4，BC=10，则DE=（）A.5.8B.5C.4.8D.310.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，点E、F分别是AC、AD的中点，且BE=EF,若AB=8，BC=4，则CD的长为（）A.4√5B.4√3C.2√5D.8二、填空题1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°,∠C=60°，点D为边AC的中点，BD=2，则BC的长为_________.2.如图，在矩形ABCD中，AD=8，AB=4，E，F分别是边AD，BC上的点（点E，F不与顶点重合）。
人教版八年级数学下册 矩形 同步课时练习(含解析)
人教版八年级下册18.2.1 矩形 同步课时练习一、选择题1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A ．两组对边分别相等 B ．两组对角分别相等 C ．两条对角线互相平分D ．两条对角线相等2．下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（ ）． ①对角线互相平分的四边形； ②对角线相等的四边形； ③对角线相等的平行四边形； ④对角线互相平分且相等的四边形． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图,四边形ABCD 是平行四边形,两条对角线交于点O ,下列条件中,不能判定平行四边形ABCD 为矩形的是（ ）A ．∠ABC ＝∠BCDB ．∠ABC ＝∠ADC C ．AO ＝BOD ．AO ＝DO4．一直角三角形的两条直角边长分别为6和8,它斜边上的中线长为（ ） A ．5B ．4C ．3D ．25．如图,矩形ABCD 中,对角线,AC BD 交于点O ,120,2∠=︒=AOB AD ,则矩形ABCD 的面积是（ ）A ．2B ．23C ．43D ．86．如图,折叠矩形ABCD ,使点D 落在点F 处,已知AB =8,BC =10,则EC 的长（ ）A ．5cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm7．如图,在矩形纸片ABCD 中,6AB =,8AD =,点E 是边AD 上的一点,将AEB △沿BE 所在的直线折叠,使点A 落在BD上的点G 处,则AE 的长是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．如图,矩形ABCD 的对角线AC ,BD 交于点O ,3AB =,4BC =,过点O 作OM AC ⊥,交BC 于点M ,过点M 作MN BD ⊥,垂足为N ,则OM MN +的值为（ ）A ．245B ．165C ．125 D ．65二、填空题9．如图,在四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,且OA OC =,OB OD =,请你添加一个条件,使四边形ABCD 为矩形,你添加的条件是______________（填一个即可）.10．如图,矩形ABCD 中,对角线AC ,BD 交于点O ．若∠AOB ＝60°,BD ＝8,则AB 的长为 ___．11．如图,ABC 中,90ACB ∠=︒,CD 是AB 边上的中线,且12CD AB +=,则AB 的长为______．12．在矩形ABCD 中对角线AC ,BD 交于点O ,且120AOD ∠=︒．若3AB =,则BC 长为_________． 13．如图,矩形ABCD 中,AC 、BD 相交于点O 且AC =12,如果∠AOD =60°,则DC =__．14．在矩形ABCD 中,对角线BD 的垂直平分线交直线AB 于点E ．若BC ＝4,AE ＝3,则BD 的长为 _____． 15．如图,矩形ABCD 中,点E 在BC 边上,连接DE 交对角线AC 于点F ,若2ADF DAC ∠=∠,3BE =,22CD =,则线段AC 的长为______．16．如图,四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片O 为原点,点A 在x 轴的正半轴上,点C 在y 轴的正半轴上OA =5；OC =4．在OC 边上取一点D ,将纸片沿AD 翻折,使点O 落在BC 边上的点E 处．则D 坐标为_______．三、解答题17．如图,矩形ABCD 中,点E ,F 分别在AB ,CD 边上,连接CE 、AF ,∠DCE =∠BAF ．试判断四边形AECF 的形状并加以证明．18．如图,在平行四边形ABCD 中,点P 是AB 边上一点（不与A ,B 重合）,过点P 作PQ ⊥CP ,交AD 边于点Q ,且∠QP A ＝∠PCB ．求证：四边形ABCD 是矩形．19．已知：如图,△ABC中,M是BA延长线上一点,AD是△ABC的中线,E是AC的中点,过点A作AF∥BC,与DE的延长线相交于点F．(1)求证：四边形ABDF是平行四边形．(2)如果AF平分∠MAC,求证：四边形ADCF是矩形．20．如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E,且BD=BE．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若∠DBC=30°,BO=6,求四边形ABED的面积．∥,与BO的延长线交于点D,连接21．如图,过ABC边AC的中点O,作OE AC⊥,交AB于点E,过点A作AD BC⊥于点F．CD,CE,若CE平分ACB∠,CE BO(1)求证：OC BC =． (2)四边形ABCD 是矩形．22．（1）问题：如图1,P 是矩形ABCD 内任意一点,通过构造直角三角形,利用勾股定理,你能发现22AP CP +与22BP DP +的数量关系为 ．（2）探究：如图2,P 是矩形ABCD 外任意一点,上面的结论是否成立？若成立,请写出证明过程：若不成立,请说明理由．（3）应用：如图3,在ABC 中,6CA =,8CB =,D 是ABC 内一点,且2CD =,90ADB ∠=︒,求AB 的最小值．参考答案1．D 【解析】 【分析】根据矩形的性质和平行四边形的性质进行判断．【详解】解：A.两组对边分别相等是矩形和平行四边形都具有的性质,故不符合题意；B.两组对角分别相等是矩形和平行四边形都具有的性质,故不符合题意；C.两组对角线互相平分是矩形和平行四边形都具有的性质,故不符合题意；D.两条对角线相等是矩形具有而平行四边形不具有的性质,故符合题意．故选D【点睛】本题主要考查了矩形和平行四边形的性质,熟练掌握矩形和平行四边形的性质是解答本题的关键．2．B【解析】【分析】根据矩形的判定定理逐项进行判断即可．【详解】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形,故①不符合题意；②对角线相等的四边形可以是等腰梯形,故②不符合题意；③对角线相等的平行四边形是矩形,故③符合题意；④对角线互相平分且相等的四边形是矩形,故④符合题意．∴正确的是③④．故选B．【点睛】本题考查了矩形的判定,解题关键是熟记矩形的判定定理,准确进行判断．3．B【解析】【分析】利用矩形的判定、平行四边形的性质对各个选项进行逐一判断即可．【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD＝180°,∵∠ABC＝∠BCD,∴∠ABC＝90°,∴平行四边形ABCD为矩形,故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC＝∠ADC,∴不能判定平行四边形ABCD为矩形,故选项B符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO＝CO＝12AC,BO＝DO＝12BD,∵AO＝BO,∴AC＝BD,∴平行四边形ABCD为矩形,故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO＝CO＝12AC,BO＝DO＝12BD,∵AO＝DO,∴AC＝BD,∴平行四边形ABCD为矩形,故选项D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定,矩形的判定,能熟练掌握和运用矩形的判定定理是解决本题的关键．4．A【解析】【分析】利用勾股定理求出斜边的长度,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【详解】解：∵两条直角边的边长分别为6和8,根据勾股定理得：10,∴斜边上的中线的长为：11052⨯=．故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,勾股定理的应用,理解题意,熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键．5．C【解析】【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分,以及18060AOD AOB =︒-=︒∠∠,可得AOD △是等边三角形,进而在ABD △中可得30ABD ∠=︒,根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得AB =即可求得矩形的面积． 【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形, ,90OA OB OD DAB ∴==∠=︒,120,2∠=︒=AOB AD ,∴18060AOD AOB =︒-=︒∠∠,∴AOD △是等边三角形, 60ADB ∴∠=︒,∴在ABD △中,30ABD ∠=︒,24BD AD ==AB ∴=∴矩形ABCD 的面积是2AD AB ⨯=⨯= 故选C. 【点睛】本题考查了矩形的性质,含30度角的直角三角形的性质,勾股定理,等边三角形的性质判定,掌握矩形的性质是解题的关键． 6．C 【解析】 【分析】根据矩形及折叠的性质可得10AD AF BC cm ===,8AB CD cm ==,在Rt ABF 中,利用勾股定理得出6BF cm =,4CF cm =,在Rt ECF 中,设EC xcm =,则()8DE x cm =-,继续利用勾股定理求解即可得．【详解】解：∵四边形ABCD 为矩形,且经过折叠,8AB cm =,10BC cm =, ∴10AD AF BC cm ===,8AB CD cm ==, 在Rt ABF 中,6BF cm ==, 4CF BC BF cm =-=,在Rt ECF 中,设EC xcm =,则()8DE x cm =-, ∴()8EF DE x cm ==-,∴222FC EC EF +=即()22248x x +=-, 解得：3x cm =, 即3EC cm =, 故选：C ． 【点睛】题目主要考查矩形及折叠的性质、勾股定理的应用,理解题意,结合图形,熟练运用勾股定理是解题关键． 7．B 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得6BG AB AE EG BGE A ===∠=∠，， ,再由矩形的性质可得10BD = ,从而得到4DG BD BG =-= ,然后设AE x = ,则,8EG x DE x ==- ,在Rt DEG △ 中,由勾股定理,即可求解． 【详解】解：根据题意得： 6BG AB AE EG BGE A ===∠=∠，， , 在矩形纸片ABCD 中,90BGE A ∠==︒ ,∴10BD , ∴4DG BD BG =-= ,设AE x = ,则,8EG x DE x ==- , 在Rt DEG △ 中,222DG EG DE += , ∴()22248x x +=- ,解得：3x = , 即3AE = ． 故选：B 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠,勾股定理,熟练掌握矩形的性质,折叠图形的性质是解题的关键． 8．C 【解析】 【分析】由矩形的性质可得OA =OC =OB =OD =52,再由三角形的面积和差关系求解即可.【详解】解：∵AB =3,BC =4,∴矩形ABCD 的面积为3×4=12,BD =AC 5=,∴OA =OC =OB =OD =52,∴134BOCABCDS S ==,∵BOCBOMCOMSSS=+,∴151532222MN OM =⨯+⨯, ∴125MN OM +=. 故选：C. 【点睛】本题考查了矩形的性质,三角形的面积关系,正确理解并掌握矩形的性质是解题的关键. 9．OA OB = 【解析】 【分析】由OA OC =,OB OD =得到四边形ABCD 为平行四边形,再根据矩形的判定法则即可求解． 【详解】解：∵OA OC =,OB OD =, ∴四边形ABCD 为平行四边形,当OA=OB 时,此时平行四边形ABCD 的对角线相等, 得到：平行四边形ABCD 为矩形, 故答案为：OA=OB ,(答案不唯一) ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定方法及矩形的判定方法,属于基础题,熟练掌握特殊四边形的判定方法是解决本类题的关键． 10．4 【解析】 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分,得到OA ＝OB ,又由∠AOB ＝60°,得到△AOB 是等边三角形,即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形,∴OA ＝12 AC ,OB ＝12 BD ＝4,AC ＝BD , ∴OA ＝OB , ∵∠AOB ＝60°, ∴△AOB 是等边三角形,∴AB ＝OB ＝4；故答案为：4．【点睛】本题主要考查了矩形的性质,等边三角形的判定和性质,熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键． 11．8【解析】【分析】根据在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半解答．【详解】解：∵∠ACB =90°,D 是AB 边的中点, 12CD AB ∴=, 12CD AB +=8AB ∴=故答案为：8．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质,掌握在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．12．33【解析】【分析】根据矩形的性质求出AC ＝2AO ,AO ＝BO ,根据等边三角形的判定得出△AOB 是等边三角形,求出AB ＝AO ＝3,求出AC ,再根据勾股定理求出BC 即可．【详解】解：根据题意画出图形,如图所示：120AOD ∠=︒,180120=60AOB ∴∠=︒-︒︒,四边形ABCD 是矩形,90ABC ∴∠=︒,AC BD =,AO OC =,BO DO =,AO BO ∴=,AOB ∴∆是等边三角形,AB AO BO,3AB=,3AO∴=,2236AC AO∴==⨯=由勾股定理得：BC==,故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质,等边三角形的性质和判定,勾股定理等知识点,能灵活运用定理进行推理是解决此题的关键．13．【解析】【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA＝OD,然后判断出△AOD是等边三角形,再根据勾股定理解答即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形,∴OA＝OD＝12AC＝12×12＝6,∠ADC=90°,∵∠AOD＝60°,∴△AOD是等边三角形,∴AD＝OA＝6,∴DC==故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质和勾股定理以及等边三角形的判定,解题关键是根据矩形的性质得出△AOD是等边三角形．14．【解析】【分析】根据题意可知,需要分两种情况讨论,当点E在AD的上方时,当点E在AD的下方时,画出对应图形,借助勾股定理及垂直平分线的性质可得结论．【详解】解：根据题意,需要分两种情况：①当点E在AD的上方时,如图,则AE＝3,AD＝BC＝4,又∠EAD＝90°,由勾股定理可得ED＝5,∵OE是线段BD的垂直平分线,∴BE＝DE＝5,∴AB＝2,在Rt△ABD中,∠BAD＝90°,由勾股定理可知,BD＝25；②当点E在AD的下方时,如图,则AE＝3,AD＝BC＝4,又∠EAD＝90°,由勾股定理可得ED＝5,∵OE是线段BD的垂直平分线,∴BE＝DE＝5,∴AB＝8,在Rt△ABD中,∠BAD＝90°,由勾股定理可知,BD＝45；故答案为：255【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、勾股定理的应用,作出正确辅助线是关键．15．26【解析】【分析】根据矩形的性质可得OA OD =,AD BC ∥,90BCD ∠=︒,AC BD =,设=DAC α∠,可得DBE BDE α∠=∠=,勾股定理求得EC ,进而求得BD ,即可求得AC 的长．【详解】解：连接BD ,如图,设=DAC α∠,四边形ABCD 是矩形∴OA OD =,AD BC ∥,90BCD ∠=︒,AC BD = ADO DAO α∴∠=∠=,EBD ADB α∠=∠=2ADF DAC ∠=∠,则2ADF α∠=BDE ADF ADB α∴∠=∠-∠=DE BE ∴=3=22CD =在Rt EDC 中,221EC DE DC =-314BC BE EC ∴=+=+=()222242226BD BC DC ∴=++=26AC BD ∴==故答案为：26【点睛】本题考查了矩形的性质,勾股定理,等角对等边,求得DE 的长是解题的关键．16．()0,2.5【解析】由折叠的性质可知OA =AE =5,然后根据勾股定理可得BE =3,则有CE =2,设D （0,x ）,则OD =DE =x ,CD =4-x ,进而根据勾股定理可建立方程求解．【详解】解：∵四边形OABC 是矩形,OA =5；OC =4．∴5,4OA BC OC AB ====,90AOC B OCB ∠=∠=∠=︒,由折叠的性质可得：OA =AE =5,OD =DE ,在Rt △ABE 中,3BE ==,∴2CE BC BE =-=,设D （0,x ）,则OD =DE =x ,CD =4-x ,∴在Rt △DCE 中,由勾股定理得：()22242x x -+=, 解得：52x =, ∴()0,2.5D ,故答案为()0,2.5．【点睛】本题主要考查坐标与图形、矩形的性质、折叠的性质及勾股定理,熟练掌握坐标与图形、矩形的性质、折叠的性质及勾股定理是解题的关键．17．四边形AECF 是平行四边形,证明见解析．【解析】【分析】根据矩形的性质得出//DC AB ,可得出∠DF A =∠BAF ,进而得出∠DCE =∠DF A ,证得//FA CE ,再根据平行四边形的判定得出即可．【详解】解：四边形AECF 是平行四边形．∵四边形ABCD 是矩形,∴//DC AB ,∴∠DF A =∠BAF ,又∵∠DCE =∠BAF ,∴∠DCE =∠DF A∴//FA CE ,本题考查了矩形的性质,平行线的判定以及平行四边形的判定,能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 18．见解析【解析】【分析】根据垂直的性质可得90QPC ∠=︒,利用各角之间的等量关系可得90B ∠=︒,再由矩形的判定定理即可证明．【详解】证明：∵PQ CP ⊥,∴90QPC ∠=︒,∴1809090QPA BPC ∠+∠=︒-︒=︒,∵QPA PCB ∠=∠,∴90BPC PCB ∠+∠=︒,∴()18090B BPC PCB ∠=︒-∠+∠=︒,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴四边形ABCD 是矩形．【点睛】题目主要考查矩形的判定定理及各角之间的等量代换,理解题意,结合图形,熟练运用矩形的判定定理是解题关键． 19．(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理可得DE ∥AB ,再由已知AF ∥BC 即可判定四边形ABDF 是平行四边形；（2）由（1）及AD 为中线可得四边形ADCF 是平行四边形,再由平行条件及平分条件可得AB =AC ,从而可得AD ⊥BC ,即可得结论．(1)∵AD 是△ABC 的中线,E 是AC 的中点,∴DE 是△ABC 的中位线,∴DE ∥AB ．∵AF ∥BC ,∴四边形ABDF 是平行四边形．(2)∴AF＝BD．∵AD是△ABC的中线,∴BD＝CD,∴AF＝CD．∵AF∥BC,∴四边形ADCF是平行四边形．∵AF平分∠MAC,∴∠MAF＝∠CAF．∵AF∥BC,∴∠MAF＝∠B,∠CAF＝∠ACB,∴∠B＝∠ACB,∴AB＝AC,∴AD⊥BC,∴∠ADC＝90°,∴平行四边形ADCF是矩形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定,掌握平行四边形的判定是解题的关键．20．(1)见解析(2)四边形ABED的面积为【解析】【分析】（1）根据已知条件推知四边形ABEC是平行四边形,则对边相等：AC=BE,依据等量代换得到对角线AC=BD,则平行四边形ABCD是矩形；（2）利用“矩形的对角线相等且相互平分”的性质、等边三角形的判定定理得到△AOB是等边三角形,则易求OB=AB=6,所以通过勾股定理求得BC的长度,再利用梯形的面积公式列式计算即可得解．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,又∵点E在DC的延长线上,∴AB∥CE,又∵BE∥AC,∴AC =BE ,又BD =BE ,∴AC =BD ,∴平行四边形ABCD 是矩形；(2)解：∵在矩形ABCD 中,∠DBC =30°,OA =OB , ∴∠ABD =60°,∴△AOB 是等边三角形,∴AB =BO =6,∴BD =2BO =2×6=12,又∵四边形ABEC 是平行四边形,∴CE =AB =6,∴DE =CD +CE =12,在Rt △ABC 中,BC =∴四边形ABED 的面积=12（6+12）× 【点睛】本题考查了矩形的对角线互相平分且相等的性质,平行四边形的判定与性质,等边三角形的判定和性质,熟记性质是解题的关键．21．(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据角平分线定义得到OCE BCE ∠=∠,由垂直的定义得到90CFB CFO ︒∠∠==,根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到DAO BCO ∠=∠,ADO CBO ∠=∠,根据全等三角形的性质得到AD BC =,推出四边形ABCD 是平行四边形,根据全等三角形的性质得到90EOC EBC ︒∠∠==,于是得到四边形ABCD 是矩形.(1)解：∵CE 平分ACB ∠,∴OCE BCE ∠=∠,∵BO CE ⊥,∴90∠∠==︒CFO CFB ,OCE BCE CF CFCFO CFB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴()ASA OCF BCF △△≌,∴OC BC =．(2)解：∵点O 是AC 的中点,∴OA OC =,∵AD BC ∥,∴DAO BCO ∠=∠．ADO CBO ∠=∠,在OAD △与OCB 中,DAO BCO OA OCADO CBO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴()ASA OAD OCB △△≌,∴AD BC =,∵AD BC ∥,∴四边形ABCD 是平行四边形,∵OE AC ⊥,∴90EOC ∠=︒,在OCE △与BCE 中,CE CE OCE BEC OC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴()SAS OCE BCE △△≌∴90∠∠==︒EBC EOC ,∴四边形ABCD 是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,正确的识别图形是解题的关键．22．（1）22AP CP +22BP DP =+；（2）成立,证明见解析；（3）2 ．【分析】（1）过点P 作MN 垂直于AD 、BC ,垂足分别为M 、N ,又勾股定理得到边之间的关系,再根据四边形AMNB 、四边形DMNC 为矩形,等量代换边,进而得到结论；（2）过点P 作MN 垂直于AD 、BC ,垂足分别为M 、N ,又勾股定理得到边之间的关系,再根据四边形AMNB 、四边形DMNC 为矩形,等量代换边,进而得到结论；（3）以AD 、BD 为边作矩形ADBE ,连接CE 、DE ,由题意得, 22CD CE +22CA CB =+,计算得出CE 的值,当C 、D 、E 三点共线时,DE 最小,即AB 最小,计算得出结果即可．【详解】（1）如图,过点P 作MN 垂直于AD 、BC ,垂足分别为M 、N90AMP BNP DMP CNP ∴∠=∠=∠=∠=︒由勾股定理得,222AP AM MP =+ ,222BP BN NP =+,222DP DM MP =+,222CP CN NP =+又 四边形ABCD 为矩形∴四边形AMNB 、四边形DMNC 为矩形,AM BN DM CN ∴==∴22AP MP -=22BP NP -,22DP MP -=22CP NP -∴22AP CP +22BP DP =+；故答案为：22AP CP +22BP DP =+；（2）成立,理由如下：如图,90AMP BNP DMP CNP∴∠=∠=∠=∠=︒由勾股定理得,222AP AM MP=+,222BP BN NP=+,222DP DM MP=+,222CP CN NP=+又四边形ABCD为矩形∴四边形AMNB、四边形DMNC为矩形,AM BN DM CN∴==∴22AP MP-=22BP NP-,22DP MP-=22CP NP-∴22AP CP+22BP DP=+,仍然成立；（3）如图,以AD、BD为边作矩形ADBE,连接CE、DEAB DE∴=由题意得, 22CD CE+22CA CB=+6CA=,8CB=,2CD=2222268CE∴+=+解得6CE=当C、D、E三点共线时,DE最小,即AB最小AB∴的最小值DE=的最小值62=．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理即线段最小值问题,熟练掌握上述知识点是解题的关键．。
人教版八年级数学下册同步练习 第2课时 矩形的判定
第2课时矩形的判定知识要点基础练知识点1 根据角判定矩形1.已知平行四边形ABCD，AC，BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判定这个平行四边形为矩形的是( C )A.∠BAC=∠DCAB.∠BAC=∠DACC.∠BAC=∠ABDD.∠BAC=∠ADB2.如图，在▱ABCD中，请添加一个条件∠A=90°( 答案不唯一 ) ，使得▱ABCD成为矩形.知识点2 根据对角线判定矩形3.能够判定一个四边形是矩形的条件是( A )A.对角线互相平分且相等B.对角线互相垂直平分C.对角线相等且互相垂直D.对角线互相垂直4.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA=3.若要使平行四边形ABCD为矩形，则OB的长度为( B )A.4B.3C.2D.1综合能力提升练5.如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是( B )A.AO=OCB.AC=BDC.AC⊥BDD.BD平分∠ABC6.如果依次连接四边形各边的中点得到的四边形是矩形，那么原来的四边形的两条对角线( B )A.相等B.互相垂直C.互相平分D.互相平分且相等7.在矩形ABCD中，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点F，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交AB于点E.若AD=2，CD=，则EF=( D )A.1B.4-C.-2D.3-8.用一把刻度尺来判定一个零件是否是矩形的方法是先测量两组对边是否分别相等，然后测量两条对角线是否相等，这样做的依据是对角线相等的平行四边形是矩形.9.已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AC=BD，如果添加一个条件，即可判定该四边形是矩形，那么所添加的这个条件可以是AD=BC( 或AB∥CD ) .10.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，AE是∠BAC外角的平分线，DE∥AB交AE于点E，则四边形ADCE的形状是矩形.11.对于四边形ABCD，下面给出对角线的三种特征:①AC，BD互相平分;②AC⊥BD;③AC=BD.当具备上述条件中的①③，就能得到“四边形ABCD是矩形”.12.木匠做一个矩形木框，长为80 cm，宽为60 cm，对角线的长为100 cm，则这个木框合格.( 填“合格”或“不合格” )13.如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O.( 1 )求证:△OEC为等腰三角形;( 2 )连接AE，DC，AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由.解:( 1 )∵AB=AC，∴∠B=∠ACB.∵△ABC平移得到△DEF，∴AB∥DE，∴∠B=∠DEC，∴∠ACB=∠DEC，∴OE=OC，即△OEC为等腰三角形.( 2 )当E为BC的中点时，四边形AECD为矩形.理由:∵AB=AC，E为BC的中点，∴AE⊥BC，BE=EC.∵△ABC平移得到△DEF，∴BE∥AD，BE=AD，∴AD∥EC，AD=EC，∴四边形AECD为平行四边形.∵AE⊥BC，∴平行四边形AECD为矩形.14.如图，DB∥AC，DB=AC，E是AC的中点.( 1 )求证:BC=DE;( 2 )连接AD，BE，若∠BAC=∠C，求证:四边形DBEA是矩形. 证明:( 1 )∵E是AC的中点，∴EC=AE=AC.∵DB=AC，∴DB=EC.又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形，∴BC=DE.( 2 )∵DB∥AE，DB=AE，∴四边形DBEA是平行四边形.∵∠BAC=∠C，∴BA=BC.∵BC=DE，∴AB=DE，∴▱DBEA是矩形.拓展探究突破练15.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，点F在CB的延长线上，且EF∥BD. ( 1 )求证:四边形OBFE是平行四边形;( 2 )当线段AD和BD之间满足什么条件时，四边形OBFE是矩形?并说明理由.解:( 1 )∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点.又∵E是边AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥BC.又∵点F在CB的延长线上，∴OE∥BF.∵EF∥BD，∴四边形OBFE是平行四边形.( 2 )当AD⊥BD时，四边形OBFE是矩形.理由:由( 1 )可知四边形OBFE是平行四边形，∵AD⊥BD，AD∥BC，且点F在CB的延长线上，∴FC⊥BD，∴∠OBF=90°，∴平行四边形OBFE是矩形.。
人教版八年级数学(下)矩形同步练习
人教版八年级数学（下）矩形同步练习1．已知：如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，对角线AC、BD相交于点O，且BE：ED=1：3，AB=6cm，则AC的长度为cm．2．如图，在▱ABCD的纸片中，AC⊥AB，AC与BD相交于点O，将△ABC沿对角线AC翻转180°，得到△AB′C．（1）以A，C，D，B′为顶点的四边形是矩形吗（请填“是”、“不是”或“不能确定”）；（2）若四边形ABCD的面积S=12cm2，求翻转后纸片重叠部分的面积，即S△ACE= cm2．3．如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC，BD交于O，且BE：ED=1：3，AD=6cm，则AE= cm．4．如图所示，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE交AB于点F，若DE=2，矩形的周长为16，且CE=EF，则AE的长为．5．已知直角三角形两直角边的长分别为6cm和8cm，则斜边上的中线长为cm．6．已知：如图，M为▱ABCD的AD边上的中点，且MB=MC，求证：▱ABCD是矩形．7．如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，那么MN⊥BD成立吗？试说明理由．8．如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题，并说明理由．（1）四边形ADEF是什么四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形；（3）当△ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．9．如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．10．如图所示，在矩形ABCD中，AC，BD是对角线，过顶点C作BD的平行线与AB的延长线相交于点E，求证：△ACE是等腰三角形．11．（经典题）如图所示，锐角△ABC中，BE，CF是高，点M，N分别为BC，EF中点．求证：MN⊥EF．12．（创新探究题）如图所示，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD上两点，连接AE，BF，请你再从下面四个反映图中边角关系的式子：①AB=BC；②BE=CF；③AE=BF；④∠AEB=∠BFC中选出两个作为已知条件，一个作为结论，组成一个命题，并证明这个命题是否正确（只需写出一种情况）．13．如图所示，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，求证：四边形EFGH是矩形．14．如图所示，在△ABC中，∠ABC=90°，BD是△ABC的中线，延长BD到E，使DE=BD，连接AE，CE，求证：四边形ABCE是矩形．15．如图所示，M是▱ABCD的中点，且MB=MC，求证：▱ABCD是矩形．16．如图，在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E，且DE=DC，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论．17．如图所示，在矩形ABCD中，点E，F在BC边上，且BE=CF，AF，DE相交于点M，求证：AM=DM．18．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别为AC，AB的中点，点F在BC的延长线上，且∠CDF=∠A．求证：四边形DECF为平行四边形．19．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD=BD，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，求证：DE=DF．20．如图所示，AB，CD交于点E，AD=AE，CE=BC，F，G，H分别是DE，BE，AC的中点．求证：（1）AF ⊥DE．（2）∠HFG=∠FGH．21．如图所示，BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线．AE⊥BE，AD⊥BC，E，D为垂足，求证：四边形AEBD是矩形．22．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．23．（体验探究题）如图所示，已知在▱ABCD中，各个内角的平分线相交于点E、F、G、H．（1）猜想EG与FH之间的关系；（2）试说明你猜想的正确性．24．如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8且AC⊥BD．顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…如此进行下去得到四边形A n B n C n D n．（1）证明：四边形A1B1C1D1是矩形；（2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积；（3）写出四边形A n B n C n D n的面积；（4）求四边形A5B5C5D5的周长．。
人教八年级下册数学_矩形的判定同步练习
18.2 特殊的平行四边形长郡中学 史李东 18.2.1 矩形第2课时 矩形的判定【基础练习】 一、填空题：1.四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =∠D , 则四边形ABCD 是 ；2.若矩形两对角线相交所成的角等于120°，较长边为6cm ，则该矩形的对角线长为 cm ；3.直角三角形两直角边长分别为6cm 和8cm, 则斜边上的中线长为 cm ，斜边上的高为 cm. 二、选择题：1.下列命题是真命题的是（ ）；A.有一个角是直角的四边形是矩形B.两条对角线相等的四边形是矩形[来源:Z*xx*]C.有三个角是直角的四边形是矩形D.对角线互相垂直的四边形是矩形2.若矩形两邻边的长度之比为2︰3，面积为54cm2, 则其周长为（ ）.A. 15cmB. 30cmC. 45cmD. 90cm 三、解答题：1.如图3-12， A BCD 中，∠DAC =∠ADB , 求证：四边形ABCD 是矩形.图3-12BAC DO2.如图3-13，P 是 ABCD 的边的中点，且PB = PC . 求证：四边形ABCD 是矩形.【综合练习】如图3-14， ABCD 的四个内角的平分线相交于点E 、F 、G 、H. 求证：EG = FH .答案与提示【基础练习】一、1. 矩形； 2. 43； 3. 5，4.8.PDCAB 图3-13图3-14HG F EBACD二、1. C； 2. B.三、1. 提示：证明AC = BD； 2. 提示：证∠A =∠D =∠ABC = 90°【综合练习】提示：证四边形EFGH是矩形.【素材积累】1、人生只有创造才能前进；只有适应才能生存。
博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。
我不知道将来会去何处但我知道我已经摘路上。
思想如钻子，必须集中摘一点钻下去才有力量。
失败也是我需要的，它和成功对我一样有价值。
2、为了做有效的生命潜能管理，从消极变为积极，你必须了解人生的最终目的。
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18.2 特殊的平行四边形
镇海中学陈志海
18.2.1 矩形
第2课时矩形的判定
1、下列识别图形不正确的是（）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．有三个角是直角的四边形是矩形C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
2、四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定它是矩形的是（） A．AB=CD，AB∥CD，∠BAD=90°
B．AO=CO，BO=DO，AC=BD
C．∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180°
D．∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90°
3、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别是OA、
OB、OC、OD的中点，顺次连结E、F、G、H所得的四边形EFGH是矩形吗？
4、如图，□ ABCD各角的角平分线分别相交于点E，F，G，H. 求证：•四边形EFGH是矩形．
5、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ON
＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN. 求证：四边形NDMB是矩形.
6、两条平行线被第三条直线所截，两组内错角的平分线相交所成的四边形是（）
A. 一般平行四边形
B. 菱形
C. 矩形
D. 正方形
7、在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，且AB＝CD，四边形ABCD是矩形吗？
为什么？
8、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F为AB上的两点，且△DAF≌△CBE.
求证：四边形ABCD是矩形.
9、如图，在△ABC中，点O是AC边上的中点，过点O的直线MN∥BC，且MN交
∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，点P是BC延长线上一点. 求证：四边形AECF是矩形.
10、如图所示，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AE•是∠CAF的平分线且∠CAF是△ABC的一个外角，且DE∥BA，四边形ADCE是矩
形吗？为什么？
D A
C F
P E B
11、【提高题】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，CD ⊥B 于D ，P•为BC 上的任意一点，
过P 点分别作PE ⊥AB ，PF ⊥CA ，垂足分别为E ，F ，则有PE ＋PF ＝CD ，你能说明为什么吗？
矩形的判定答案
1、【答案】 C
2、【答案】 C
3、【答案】是矩形，
【提示】 OE＝OF＝OG＝OH
4、【答案】用判定定理“三个角都是直角的四边形是矩形”来证明。
5、【答案】用对角线来证明
6、【答案】 C
7、【答案】是矩形，连接AC，△ABC≌△CDA。
8、【提示】
由△DA≌△CBE可知AD＝BC，所以四边形ABCD是平行四边形；
再根据∠A＝∠B，且∠A＋∠B＝180°，所以∠A＝∠B＝90°；
综上所述，四边形ABCD是矩形.
9、【提示】
∵MN∥BC，EC是∠ACB的平分线
∴∠OEC＝∠ECB，∠ECB＝∠OCE，
∴∠OEC＝∠OCE
∴OE＝OC
同理可得OF＝OC
∴OA＝OC＝OE＝OF
∴四形AECF是矩形.
10、【答案】是矩形；理由：∠CAE=∠ACB，所以AE∥BC．又DE∥BA，所以四边形ABD是平行四边形，•所以AE=BD，所以AE=DC．又因为AE∥DC，所以四边形ADCE是平行四边形．又因为∠ADC=90°，所以四边形ADCE是矩形．
11、【答案】
解法一：能．如图1所示，过P点作PH⊥DC，垂足为H．
四边形PHDE是矩形．所以PE=DH，H∥BD．所以∠HP=∠B．
又因为AB=AC，所以∠B=∠ACB．所以∠HPC=∠FCP．
又因为PC=CP，∠PHC=∠CFP=90°，所以△PHC≌△CFP．所以PF=HC
所以DH+HC=PE+PF，即DC=PE+PF．
解法二：能．延长EP，过C点作CH⊥EP，垂足为H，如图2所示，四边形HEDC是矩形．所以EH=•PE+PH=DC，CH∥A．所以∠HCP=∠B．
△PHC≌△PFC，所以PH=PF，所以PE+PF=DC．
【素材积累】
1、人生只有创造才能前进；只有适应才能生存。
博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。
我不知道将来会去何处但我知道我已经摘路上。
思想如钻子，必须集中摘一点钻下去才有力量。
失败也是我需要的，它和成功对我一样有价值。
2、为了做有效的生命潜能管理，从消极变为积极，你必须了解人生的最终目的。
你到底想要什么?一生中哪些对你而言是最重要的?什么是你一生当中最想完成的事?或许，你从来没有认真思量过生命潜能管理旧是以有系统的方法管理自我及周边资源，达成。