数学建模评价分析与数据处理

数据建模一般问题的提出： 实际对象都客观存在着一些反映其特征的相关数据信息； 如何综合利用这些数据信息对实际对象的现状做出综合评 价，或预测未来的发展趋势，制定科学的决策方案？ --数据建模的综合评价、综合排序、预测与决策等问题。
综合评价 综合评价是科学、合理决策的前提。
综合评价的基础是信息的综合利用。 综合评价的过程是数据建模的过程。 数据建模的基础是数据的标准化处理。 如何构成一个综合评价问题呢？ 依据相关信息对实际对象所进行的客观、公正、合 理的全面评价。 如果把被评价对象视为系统，则问题： 在若干个(同类)系统中，如何确定哪个系统的运行 (或发展)状况好，哪个状况差？即哪个优，哪个劣？ 一类多属性(指标)的综合评价问题。
对于多准则决策，还有满意解、优先解和理想解等。特 别地，多目标决策的解的种类更多，比如局部有效解、 非支配解、序有效解、Pareto真有效解等。在经典的多 准则决策中，常用的权重分配方法主要有：相邻比较法， 二项系数法，特征矢量法，加权最小二乘法，熵法和多 维优先分析线性规划法。 客观赋权法 （1）变异系数法： 计算矩阵A的第j列向量的变异系数 vj=sj /uj, 其中sj表示第j列的标准差， uj表示第j列的平均 值。对vj归一化。 （2）夹角余弦法： 构造矩阵U和V， max aij aij aij min aij j j uij , vij max aij min aij max aij min aij
ax 1 c , x a x 1, a xb 1 x b , x b c 其中 [a, b] 为 x 的最佳稳定区间，c max{a m, M b} ， M 和 m 分别为 x 可能取值的最大值和最小值。
数据指标的无量纲化处理方法
在实际数据指标之间， 往往存在着不可公度性， 会出现 “大数吃小数 ”的错误,导致结果的不合理。
M j mj M j max{xij }, m j min{xij } 1i n 1i n [0,1],(i 1, 2, , n; j 1, 2, , m) xij
(4)线性比例变换法： xij 极大型：xij 极小型：
max xij
j
xij
4 0.36 12 0.06
23 1.8 2.4 0.31
110 7.1 0.55 1.2
660 27.1 0.17 4.6
一般问题的数据指标 x1 , x2 ,
, xm (m 1) 可能有
“极大型” 、 “极小型” 、 “中间型” 和 “区间型 ” 指标。
极大型:期望取值越大越好；（效益型） 极小型:期望取值越小越好；（成本型） 中间型:期望取值为适当的中间值最好;
j j j j
对U，V各对应列的夹角余弦归一化即为权重。 （3）熵值法：对矩阵A作归一化
pij
计算第j个指标的熵值：
aij
n

k 1
akj
n
e j k i 1 pij ln pij
g j 1 ej
计算第j个指标的差异系数
对于第j个指标，差异越大，对方案评价的作用越大，熵越小。 对g归一化。（物理上，能量分布得越均匀，熵就越大。如果对于我 们所考虑的那个系统来说，能量完全均匀地分布，那么，这个系统 的熵就达到最大值。 ）（k可选最大熵的倒数）
杭州西湖
武汉东胡 青海湖
130
105 20
10.3
10.7 1.4
0.35
0.4 4.5
2.76
2.0 0.22
巢湖
滇池
30
20
6.26
10.13
0.25
0.5
1.67
0.23
表2 湖泊水质评价标准
参数
指标 总磷 耗氧量 透明度 总氮
极贫营养
<1 <0.09 >37 <0.02
贫营养
4 0.36 12 0.06
数据处理与评价分析
史加荣 西安建筑科技大学理学院 jiarongs3@163.com
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数据类型的一致化处理方法
n个决策方案m项评价指标的指标矩阵为：
x11 x X 21 xn1
x12 x21 xn 2
x1m x2 m xnm
MATLAB程序
X=[130, 10.3 , 0.35,2.76;105,10.7,0.4,2.0;20,1.4,4.5,0.22; 30,6.26,0.25,1.67;20,10.13,0.5,0.23]; Y=[1,4,23,110, 660;0.09,0.36,1.8,7.1,27.1;37,12,2.4,0.55,0.17; 0.02,0.06,0.31,1.2,4.6]; A=zeros(size(X));B=zeros(size(Y)); for i=1:4 if i~=3 A(:,i)= X(:,i)/max(X(:,i)); B(i,:)= Y(i,:)/max(Y(i,:)); else A(:,i)= min(X(:,i))./X(:,i) ; B(i,:)= min(Y(i,:))./Y(i,:) ; end end
多准则决策解的概念及性质 多准则决策中有各种解的定义，这反映了多准则决策与 单准则决策之间的一个本质问题。其原因在于问题的多 个准则之间常常彼此矛盾。因此，一般不存在使各个准 则同时达到最好的解。
如果问题的强有效解存在，则问题基本上就是求每个 准则的最优解。由于实际问题中常常目标之间互相冲 突，这种强有效解一般是不存在的。所以，我们感兴 趣的是以下两个概念。
中营养
23 1.8 2.4 0.31
富营养
110 7.1 0.55 1.2
极富营养
>660 >27.1 <0.17 >4.6
表1和2的指标矩阵为
130 105 X 20 30 20
10.3 10.7 1.4 6.26 10.13
0.35 0.4 4.5 0.25 0.5
2.76 1 2.0 0.22 , Y 0.09 37 1.67 0.02 0.23
min xij
j
xij
由生物学知识可知，透明度指标为成本型指标， 其余指标都为效益型指标。将X与Y无量纲化为
1.0000 0.8077 A 0.1538 0.2308 0.1538 0.9626 0.7143 1.0000 0.0015 1.0000 0.6250 0.7246 0.0033 0.1308 0.0556 0.0797 , B 0.0046 0.5850 1.0000 0.6051 0.0043 0.9467 0.5000 0.0833 0.0061 0.0348 0.1667 1.0000 0.0133 0.0664 0.2620 1.0000 0.0142 0.0708 0.3091 1.0000 0.0130 0.0674 0.2609 1.0000
效用函数 为了对主体偏好进行定量描 述，引入效用函数的定义。
权重的分配 权重是每个准则相对于总准则作用的量化，它包含并反映下列几重 因素： 决策者对目标的重视程度； 各目标评估值的差异程度； 各目标评估的可靠程度。 一般地，要求权重非负，之和为1。愈重要的准则对应的权重愈大。 由于问题的复杂性，决策者并不是一开始就能十分清楚地知道每 个准则的权重。
变异系数法 w=std(A)./mean(A); w=w/sum(w); 夹角余弦 [n m]=size(A); maA=max(A);miA=min(A); U=(repmat(maA,n,1)-A)./ repmat(maA-miA,n,1); V=(A-repmat(miA,n,1))./ repmat(maA-miA,n,1); UN=normc(U); VN=normc(V); w=sum(UN.*VN); w=w/sum(w) 熵 [n m]=size(A); P=A./repmat(sum(A),n,1); E=-sum(P.*log(P));p=ones(1,n)/n; E0= -sum(p.*log(p));E=E/E0; w=1-E; w=w/sum(w);
xij (1)标准差法：
xij x j sj
1 1 n 1 n 2 2 x j xij , s j [ ( xij x j ) ] n i 1 n i 1
(2)极值差法： xij
xij m j
M j mj
(3)功效系数法：x c xij m j d ij
离散型值域
3
3
连续型值域
2
2
f2
1
f2
1
0 0
1
f1
2
3
0 0
1
f1
2
3
目标函数的规范化 在多准则决策中，目标函数一般是彼此冲突的，而且还具 有不可共度量性。所以，通常在求解前要对目标函数进行预 处理，即所谓的规范化，其本质是给出某个目标的评估值在 决策者评价方案优劣时的实际价值。通过规范化，决策者便 于进行目标函数之间的比较和正确地使用一些求解方法。通 常用线性变换法对准则函数作规范化处理。 偏好关系
多准则/指标决策
多准则决策（MCDM）的一般形式为： max f ( x) ( f1 ( x), f 2 ( x),..., f n ( x))
xX
Leabharlann Baidu
(1-1) 其中，X为决策空间，f(xi)是第i个目标的评估值，i=1,…,n。 若X为离散的，决策又称为多属性决策或多指标决策 （MADM）；若X为连续的，决策又称为多目标决策 （MODM）。在本质上，前者是研究已知方案的评价选 择问题，后者是研究未知方案的规划设计问题。在解法 上，前者的一些理论和方法是求解后者的基础。
什么是一 致化处理? 为什么要 一致化?
区间型:期望取值落在某一个确定的区间 内为最好。
（ 1）极小型 : 对某个极小型数据指标 x ，
1 则 x ( x 0) ,或 x M x . x
（2）中间型: 对某个中间型数据指标 x ，则 1 2( x m) M m , m x 2 ( M m) x 2( M x) 1 , ( M m) x M M m 2 （3）区间型：对某个区间型数据指标 x ，则
多准则决策分析在数学建模中的应用
实际中大量信息或海量信息对应着大量的数据或海量数据， 从这些数据中寻求所需要的问题答案--数据建模问题。 通过实际对象过去或当前的相关信息，研究两个方面问题： （ 1 ）分析研究实际对象所处的状态和特征，依此做出评价 和决策；（ 2 ）分析预测实际对象未来的变化状况和趋势， 为科学决策提供依据。
xij表示第i个方案关于第j项评价因素的指标值。
例:近年来我国淡水湖水质富营养化的污染日趋严重，如何 对湖泊水质的富营养化进行综合评价与治理是摆在我们 面前的一项重要任务。表1和表2分别为我国5个湖泊的 实测数据和湖泊水质评价标准。
表1 全国5个主要湖泊评价参数的实测数据 指标 总磷（mg/L） 湖泊 透明度（L） 耗氧量 （mg/L） 总氮 （mg/ L）
例子的权重
X=[130, 10.3 , 0.35,2.76;105,10.7,0.4,2.0;20, 1.4,4.5,0.22; 30,6.26,0.25,1.67;20,10.13,0.5 ,0.23]; Y=[1,4,23,110, 660;0.09,0.36,1.8,7.1,27.1;37, 12,2.4,0.55,0.17; 0.02,0.06,0.31,1.2,4.6]; A=zeros(size(X));B=zeros(size (Y)); for i=1:4 if i~=3 A(:,i)= X(:,i)/max(X(:,i)); B(i,:)= Y(i,:)/max(Y(i,:)); else A(:,i)= min(X(:,i))./X(:,i) ; B(i,:)= min(Y(i,:))./Y(i,:) ; end end