双曲线的离心率

（利用圆锥曲线中的定值（结论）构造）
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2．过双曲线
x2 a
2

y2 b
2
1(a 0, b 0) 的左焦点 F 作圆
2 a x2 y2 的切线，切点为 E ，延长 EF 交双曲线 4
的右支于点 P ，若 E 为 PF 的中点，则该双曲线的离 心率为________．
（利用解三角形构造或坐标法解决）
x2 y2 变式 2：如图，已知双曲线 2 2 1 （a 0, b 0） a b
上有一点 A ，它关于原点的对称点为 B ，点 F 为双曲线的右焦点， 且满足 AF BF ，设 ABF ，且 [ 离心率 e 的取值范围为（ ）
, ] ，则该双曲线 12 6

（利用圆锥曲线中的定值（结论）构造）
x2 y 2 变式 2：已知 A, B, P 是双曲线 2 2 1 上不同 a b 的三点，且 A, B 连线经过坐标原点，若直线 PA, PB 2 的斜率乘积 k PA k PB ，则该双曲线的离心率为（ ） 3
5 A． 2
C． 2
6 B． 2 15 D． 3
双曲线的离心率
c 题型一、根据条件先求出 a, c ，利用 e 求解。 a
1.若双曲线的实轴长为 2，焦距为 6， 则该双曲线的离心率为 （ ） 1 2 A． B． 3 3 3 C． D．3 2
2.如图，已知双曲线
x2 a
2

y2 b
2
1(a 0, b 0)
的左， 右焦点分别为 F1， F2， | F1 F2 | 2, P 是 双曲线右支上的一点， PF 1 PF 2 , F2 P 与 y轴交于点A, APF 1的内切圆半径
A.[ 3,2 3] C.[ 2,2 3]
B.[ 2 ,1 3] D.[ 3,1 3]
四、小结：离心率的求法：
c 1．根据条件先求出 a, c ，利用 e 求解； a
2．构建关于 a, c 的齐次等式求解： ①利用定义或点代入曲线构造； ②利用解三角形构造（勾股定理、正、余弦定理） ； ③利用圆锥曲线中的定值（结论）构造. 3．构建关于 e 的不等式，求 e 的取值范围： ①利用三角形三边的不等关系； ②利用双曲线的焦半径范围构造; ③利用建立函数模型构造.
2 ， 为 则双曲线的离心率是 ( 2
)
题型二、构建关于 a, c 的齐次等式求解。
1. 已知 A，B 为双曲线 E 的左，右焦点， 点 M 在 E 上，∆ABM 为等腰三角形，且 顶角为 120° ，则 E 的离心率为 .
变式：若 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点呢？
(利用定义或点代入曲线构造)
题型三、构建关于e的不等式，求e的取值范围。
x y 1、双曲线 2 2 1(a 0, b 0) 的两个焦点为 F1 , F2 ， a b 若 P 为其上一点，且 PF1 2 PF2 ，则双曲线离心率的
取值范围是（ ） A． (1,3) C． (3, ) B． (1,3] D． [3, )
x2 y 2 变式：已知双曲线 C： 2－ 2＝1 (a>0，b>0)的左，右焦点 a b 分别为 F1，F2，渐近线为 l1 , l 2 , 过点 F2 且与 l1 平行的直线交
l 2 于 M ，若 M 在以线段 F1 F2 为直径的圆上，则双曲线的
离心率为( A． 2 C．2 ) B． 3 D． 5
2
2
（利用三角形三边的不等关系 或利用双曲线的焦半径范围构造; 或建立函数模型构造）
变式 1：已知双曲线
x2 a
2

y2 b
2
1(a 0, b 0) 的左，右焦点分别
a c 为 F1，F2，若双曲线上存在点 P 使 , sin PF 1 F2 sin PF 2 F1
则该双曲线的离心率的取值范围是________．