24二次函数图像与性质

y最小＝
4ac 4a
b2
,
如果a＜0，当
x
b 2a
时，函数有最大值，
y最大＝
4ac 4a
b2
;
（5）增减性：
①若a＞0，当
x
b 2a
时，y随x的增大而增大；
当
x
b 2a
时，y随x的增大而减小。
②若a＜0，当
x
b 2a
时，y随x的增大而减小；
当
x
b 2a
时，y随x的增大而增大。
例2用总长为60m的篱笆围成矩形场地， 矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化， 当l是多少时场地面积S最大？
练一练
1.若把抛物线y = x2 - 2x+1向右平移2个单位,再向
下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则（ B ）
A.b=2 c= 6
B.b=-6 , c=6
C.b=-8 c= 6
D.b=-8 , c=18
2.抛物线y = 2x2 + bx + c的顶点坐标
-4 4 为(- 1,2),则b = ______，c = ______.
3. 说出下列函数的开口方向、对称轴、顶 点坐标：
y 2x2 x 3 y 3x2 4x 1
函数y=ax²+bx+c的图象和性质：
顶点坐标：（-2ba ，4a4ca-b2）对称轴： 直线x=-2ba
与y轴交点：（0，c）
与x轴交点（：-b±
b2-4ac 2a
，0）
开口 增减性
最值
向 a>0 上
二次函数y=ax2+bx+c 图象和性质(4)
y
o
x
y = a( x – h )2 + k
平左 移右
平上 移下
y = ax2 + k
y = a(x – h )2
上下平移 y = ax2 左右平移
在上述移动中图象的开口方向、形状、 顶点坐标、对称轴，哪些有变化？哪些没 有变化？
有变化的：抛物线的顶点坐标、对称轴， 没有变化y的 ax2 ：抛物线的开口方向、形状
那么一般地，函数 y ax2 的图象怎样
平移就得到 y ax2 bx c 的图象呢？
用配方法把 y ax2 bx c 化为
y a x h2 k 的形式。
例如 用配方法把 y 1 x2 3x 5 化为
2
2
y a x h2 k 的形式，求出顶点坐标和对称轴。
解：y 1 x2 3x 5 1 x2 6x 5 1 x2 6x 9 9 5
2
22
2
1 2
x
32
4
1 x 32 2
2
顶点坐标为（－3，－2），对称轴为x＝－3
用配方法把 y ax2 bx c 化为
y a x h2 k 的形式。
y
ax2
bx
c
a
x2
b a
x
c a
a
x2
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c
a
a
x
b 2a
2
4ac b2 4a2
2
2
2
2
b
1
1,
4ac b2
4
1 2
5 2
12
4
2
2a
y
21
1 2
x
1
2
4a
2
，
4
1 2
2
2
∴顶点为（1，－2），对称轴为直线 x＝1。
练习1 用公式法把y 2x2 8x 6 化成
y a x h2 k 的形式，并求出顶点坐标和
对称轴。
答案：y 2 x 22 2 ，顶点坐标为
（2，2）对称轴是直线 x＝2
4．二次函数 y ax2 bx c 的性质：
（1）顶点坐标
b 2a
,
4ac 4a
b2
;
（2）对称轴是直线 x b
2a
（3）开口方向：当 a＞0时，抛物线开
口向上；当 a＜0时，抛物线开口向下。
（4）最值：
如果a＞0，当 x
b 2a
时，函数有最小值，
x<-
b 2a
x>-
b 2a
当x=
-
b 2a
时，
y有最小值：4a4ca-b2
a>0
向 下
x<-
b 2a
x>-
b 2a
当x=
-
b 2a
时，
y有最大值：4a4ca-b2
积极思考造成积极 人生，消极思考造成消极 人生。
世上没有绝望的逆境， 只有对逆境绝望的人
a
x
b 2a
2
4ac b2 4a
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所以抛物线 y ax2 bx c 的顶点坐标是
b 2a
,
4ac 4a
b2
，对称轴是直线 x b 。
2a
例1 用公式法把 y 1 x2 x 5 化为
2
2
y a x h2 k 的形式，求出对称轴和顶点
坐标．
解：在 y 1 x2 x 5 中，a 1 ,b 1, c 5