理论力学讲义

理论力学讲义铜仁学院物理与电子科学系冯云光绪论一、理论力学研究对象和任务：1、研究对象；研究物体机械运动普遍遵循的基本规律并将其用严密的数学表述，使其完全可以用严格的分析方法来加以处理。

机械运动物体在空间的相对位置随时间而改变的现象。

2、任务：归纳机械运动的规律。

（借助严密的数学规律进行归纳）3、表达方式；（理论力学分为矢量力学和分析力学两大部分。

）（1）、矢量力学（牛顿力学）从物体之间的相互作用出发，借助矢量分析这一数学工具，运用形象思维方法，通过牛顿定律揭示物体受力与其运动状态之间的因果关系来确定物体的运动规律。

特点：形象直观，易于处理简单的力学问题，范围：仅能解决经典力学问题。

（在矢量力学中，涉及量多数是矢量，如力、动量、动量矩、力矩、冲量等。

力是矢量力学中最关键的量。

）（2）、分析力学：从牛顿力学的基础上发展起来的，它借助数学分析这一工具，运用抽象思维方法，研究力学体系整体位形变化。

特点“从各种运动形态通用的物理量—能量出发，它的运用远远超出经典力学范围，也适用非力学体系。

（分析力学中涉及的量多数是标量，如动能、势能、拉格朗日函数、哈密顿函数等。

动能和势能是最关键的量。

）（分析力学是由拉格朗日、哈密顿等人建立并完善起来的经典力学理论，它的理论体系和处理问题方法，完全不同于牛顿力学，它代表经典力学的进一步发展，它揭示出支配宏观机械运动的更普遍的规律，以致能用比较统一的方法处理力学体系的运动问题，它揭示出力学规律与其他物理的过渡起了重要作用，分析力学已经成为学习后继课程的必要基础。

）二、理论力学的研究内容1、运动学：从几何的观点来研究物体位置随时间的变化规律，而未研究引起这种变化的物理原因。

2、动力学：研究物体运动和物体间相互作用的联系，阐明物体运动的原因。

3、静力学：研究物体相互作用下的平衡问题。

（它可以看作动力学的一部分，质点、质点系，刚体）三、理论力学的研究方法1、理论力学的研究方法观察、实验，总结实验规律，建立物理模型，提出合理假设，数学演绎、逻辑推理，探讨规律，实验验证。

（即：从实践出发，经过抽象化、综合、归纳，建立公里，再应用数学演绎和逻辑推理而得到定理和结论，形成理论体系，然后再通过实践来证明理论的正确性。

）2、理论力学与普通物理力学的关系以及区别：（1）方法上不一样，不再从实验开始，而是将实验规律用数学表述，从理论上进行推理，运算。

（2）研究对象一样，基本规律相同，但研究更系统更深入。

（3）分析力学以达朗伯原理为基础，以能量作为基本量，建立的体系与近代物理更接近。

（理论力学与普通物理的力学不同点是：逻辑推理、数学演绎更强。

主要数学要求是：微积分和解常系数微分方程。

）四、经典力学的适用范围：(1)宏观物体；（2）低速五、理论力学的学习目的与任务:1、学习质点、质点系和刚体机械运动的一般规律，为后续课程打下坚实基础。

(对机械运动有一个全面的认识。

)2、运用严密的数学规律，对机械运动的规律进行理论推证。

3、培养辩证唯物主义的世界观,提高分析问题解决问题的能力.4、三个方面要求：（1）准确地理解基本概念：（2）熟悉基本定律与公式；（3）能在正确条件下灵活应用。

六、学习理论力学的几点注意：1、理论联系实际。

2、培养科学的逻辑思维方法。

3、注意表达式中的物理意义。

4、认真对待作业。

5、学习方法（1）作听课笔记（2）及时复习，温故而知新。

6、学习态度：认真、务实教科书周衍柏，《理论力学教程》（第三版），高等教育出版社，2009年7 参考书目[1]苏云荪，《理论力学》，高等教育出版社，1990年 [2]梁昆淼，《力学》（上），高等教育出版社，1965年 [3]梁昆淼，《力学》（下），人民教育出版社，1981年[4]许健民等，《理论力学解题分析》，江苏科学技术出版社,1981年 [5]谢宝田等，《理论力学教程习题解》，中国科学技术出版社,1991年 [6]H.戈德斯坦等，《经典力学》，科学出版社，1981年[7]阎康年，《牛顿的科学发现与科学思想》，湖南教育出版社，1989年 [8]朱照宣，《理论力学》（上），北京大学出版社，1982年 [9]朱照宣，《理论力学》（下），北京大学出版社，1982年 [10]肖士珣，《理论力学简明教程》，高等教育出版社，1983年数学准备知识—矢量分析基础： 一、矢量与矢量场 1、矢量及表示 2、标量场量场标量场 空间某一区域定义一个标量函数,其值随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。

则称该区域存在一标量场。

如温度场,电位场,高度场等矢量场 空间某一区域定义一个矢量函数,其大小和方向随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。

则称该区域存在一矢量场。

如速度场,电场、磁场等.二、矢量代数1、矢量和2.点乘（标量积、投影积）-- 对应分量相乘的和3. 叉乘（矢量积）－行列式展开332211ˆˆˆu u uA A A A ++=321321321ˆˆˆB B B A A A u u uB A =⨯ 332211ˆˆˆu u u A A A A ++=CB AC B A++=++)()(θcos AB =⋅=⋅A B B AC A B A C B A ⋅+⋅=+⋅)(u B A ˆsin θAB =⨯AB B A⨯-=⨯CA B A C B A ⨯+⨯=+⨯)(A B B A+=+4、矢量代数公式三、常用坐标系1、直角坐标系：(,,)x y z 方向单位矢量位置矢量矢量表示：2、圆柱坐标系 ( z ,,ϕρ) 方向单位矢量： 位置矢量矢量表示：3、球面坐标系 ( ϕθ,,r )方向单位矢量：位置矢量： 矢量表示： 4、坐标变换圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系球面坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系33221ˆˆˆu u uB B B B ++=：ˆˆˆ,,x y z e e e 000ˆˆˆx y z r x e y e z e =++ 000ˆˆˆx y z x ey e z e ++P(x 0,y ,z 0) y 0 F xe ye ze yz P(r 0,r 0re e ϕz e ˆˆˆ,,z e e eυϕ00ˆˆz r r ez e ρ=+ˆˆˆ()()()rz zA r e A r e A r e ϕϕρ++,ˆˆˆ,r e e e ϕθ0ˆrr r e=ˆˆˆ()()()r r A r eA r e A r e θθϕϕ++ x)()()(B A C A C B C B Α⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅)()(C B A C B A ⋅≠⋅CB AC B A ⨯⨯≠⨯⨯)()(CB ΑΒC ΑC ΒΑ )()()(⋅-⋅=⨯⨯ˆˆˆˆˆˆˆˆcos sin sin cos x y x y z z e e e e e e ee ρϕϕϕϕϕ=+=-+=ˆˆˆˆsin cos sin sin cos ˆˆˆsin cos ˆˆˆˆcos cos cos sin sin r x y z x y x y z ee e e ee e ee e e ϕθθϕθϕθϕϕθϕθϕθ=++=-+=+-四、场论——梯度、散度和旋度 1、标量场的梯度 （1、）等值面（线）由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。

即若标量函数为 (,,)u u x y z =，则等值面方程为：(,,)u x y z c const == （2）、梯度的定义（3）、梯度的物理意义1)、标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数；2)、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场增加最快的方向，其幅度表示标量场的最大增加率。

（4）、直角、圆柱和球坐标系中梯度的表达 1）在直角坐标系中2）在柱面坐标系中：3）在球面坐标系中：2、矢量场的通量 散度 （1）、矢量线（力线）矢量线的疏密表征矢量场的大小；矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向； （2）、矢量场的通量若矢量场()A r 分布于空间中，在空间中存在任意曲面S ，则定义： 为矢量 )(r A沿有向曲面S 的通量。

若S 为闭合曲面物理意义：表示穿入和穿出闭合面S 的矢量通量的代数和。

讨论： 1）面元 s d定义；maxˆ(,,)l dugradu x y z e dl=⋅ˆˆˆx y z u u ugradu e e e x y z∂∂∂=++∂∂∂1ˆˆˆr z u u ugradu e e e r r zϕϕ∂∂∂=++∂∂∂11ˆˆˆsin r u u u gradu e e e r r r θϕθθϕ∂∂∂=++∂∂∂()S r d Φ=⎰⋅A S()sr d Φ=⋅⎰A S矢量场的通量u u+∆Ple MNne u2）3) 通过闭合面S 的通量的物理意义： a) 若 Φ0闭合面内有产生矢量线的正源； b) 若，0 Φ闭合面内有吸收矢量线的负源 c) 若，0=Φ闭合面无源。

(3)、矢量场的散度的定义在场)(r A空间中任意点M 处作一个闭合曲面，所围的体积为V ∆，则定义场矢量在M 点处的散度为：(4)、散度的物理意义1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性 2) 矢量场的散度是一个标量； 3) 矢量场的散度是空间坐标的函数4) 矢量场的散度值表征空间中通量源的密度。

讨论：在矢量场中，1）若，则该矢量场称为有源场，ρ为源密度 2）若处处成立，则该矢量场称为无源场。

( 5)、散度的计算 在直角坐标系下3、 矢量场的环流 旋度 (1)、矢量的环流的定义：在场矢量 )(r A空间中，取一有向闭合 环流的计算()cos ()sA r r dsθΦ=⎰()div ()limsv r d r v∆→⋅=∆⎰A S A ()0divA r ρ=≠()y x zF F F divF r x y z∂∂∂=++∂∂∂()()x y z x x y y z z e e e F e F e F e x y z∂∂∂=++++∂∂∂PAC负源()0divF r ρ=<（正源) ()0divF r ρ=> （无源）()0divF r =()0divA r =ˆS ∆=∆S n路径l ，则称 )(r A沿l 积分的结果称为矢量)(r A沿l 的环流。

即：讨论 1）线元矢量 l d的定义；2）3）环流意义：若矢量场环流为零，矢量场无涡漩流动；反之，则矢量场存在涡漩运动---反映矢量场漩涡源分布情况。

（2）、 环流面密度表示矢量场 A rot n 在点M 处沿 )(r A方向的漩涡源密度；（3）、 矢量场的旋度旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。

用 A rot n表示，即：式中：n表示矢量场旋度的方向；（4）、 旋度的物理意义1）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数；2）矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度； （5）、 旋度的计算 1) 在直角坐标系下：()lA r dl⎰()()cos ()llA r dl A r r dlθ=⎰⎰在场矢量()A r 空间中，围绕空间某点M 取 一面元 S ，其边界曲线为C ，面元法线方 向为，当面元面积无限缩小时，可定义、()A r在点M 处沿 n方向的环量面密度limcns A dl rot A s∆→⋅=∆⎰max0rot limcS A dlA n S ∆→⋅=∆⎰ˆˆˆx x y y z z rotF erot F e rot F e rot F =++ˆˆˆ(((y y x x z zx y z F F F F F F ee e y z z x x y∂∂∂∂∂∂=-+-+-∂∂∂∂∂∂()ˆˆˆˆˆˆ(x y z x x y y z z ee e e F e F e F x y z∂∂∂=++⨯++∂∂∂五、矢量微分算子 1、微分算子的定义微分算子∇是一个“符号”矢量 （1）、直角坐标系 符算 梯度散度旋度从以上的过程中可以清楚地看出，算子确实把对矢量函数的微分运算转变为矢量算子与矢量的代数运算。