常见线性递推数列通项的求法

常见线性递推数列通项的求法

对于由递推式所确定的数列通项公式问题，往往将递推关系式变形转化为我们熟知的等差数列或等比数列，从而使问题简单明了。这类问题是高考数列命题的热点题型，下面介绍常见线性递推数列求通项的基本求法。

一、一阶递推数列

1、q pa a n n +=+1型

形如q pa a n n +=+1（q p 且1≠为不等于0的常数）的数列，可令)(1x a p x a n n +=++ 即x p pa a n n )1(1-+=+与q pa a n n +=+1比较得1-=

p q x ，从而构造一个以1

1-+p q

a 为首项以p 为公比的等比数列⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧-+

1p q a n 例1．在数列{a n }中，,13,111-⋅==+n n a a a 求n a .

解：在131-⋅=+n n a a 的两边同加待定数λ，得n n n a a a (3131⋅=+-⋅=++λλ+（λ－1）/3），令

,3)1(-=

λλ得).21(321.211-⋅=-∴-=+n n a a λ数列{}2

1

-n a 是公比为3的等比数列, ∴a n 21-=).13(21,32

111

+=∴⋅--n n n a

2、 ()n g a c a n n +⋅=+1型

(1)1=c 时：解题思路：利用累差迭加法，将)1(1-=--n g a a n n ，--1n a 2-n a =)2(-n g ，…，

-2a 1a =)1(g ,各式相加，正负抵消，即得n a .

例2．在数列{}n a 中，01=a 且121-+=+n a a n n ，求通项n a .

解：依题意得，01=a ，()32112,,3,112312-=--=-=-=--n n a a a a a a n n ，把以上各式

相加，得

【评注】由递推关系得，若()n g 是一常数，即第一种类型，直接可得是一等差数列；若n n a a -+1非常数，而是关于n 的一个解析式，可以肯定数列n a 不是等差数列，将递推式中的n 分别用

2,3,4,,2,1 --n n 代入得1-n 个等式相加，目的是为了能使左边相互抵消得n a ，而右边往往可以转化

为一个或几个特殊数列的和。

（2）1≠c 时：

例3．在数列{}n a 中，,3,12

11n a a a n n +==+求通项n a .

解：作新数列}{n b ，使),(2C Bn An a b n n ++-=即),(2

C Bn An b a n n +++=（A ，B ，C 为待定常数）。由213n a a n n +=+可得：C n B n A b n ++++++)1()1(21=,)(32

2n C Bn An b n ++++

所以，B A C n A B n A b b n n --+-+++=+2)22()12(32

1，设2A+1=0，2B-2A=0，2C-A-B=0，可

得：A=B=C=-1/2，n n b b 31=∴+，2

5

)(11=

++-=C AB A a b ，所以}{n b 是公比为3的等比数列， 1325-⨯=

∴n n b ，)1(2

1

32521++-⨯=∴-n n a n n 。 当一个数列是一阶递推或二阶递推齐次数列时，可通过线性代换把问题化为等差或等比数列，本题是

设])1()1([21C n B n A a n ++++-+=)]([32

C Bn An a n ++-，用待定系数法求A 、B 、C 即可。

【评注】求递推数列的通项的主要思路是通过转化, 构造新的熟知数列,使问题化陌生为熟悉.我们要根据不同的递推关系式,采取不同的变形手段,从而达到转化的目的.

例4．在数列{}n a 中，,23,111n

n n a a a +==+求通项n a .

解：设)2(32

1

1n n n n k a k a ⋅-=⋅-++，,231n n n k a a ⋅-=∴+又,231n n n a a +=+ ,1-=∴k ∴)2(3211n n n n a a +=+++，}2{2+∴n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，

n n n n n n n a a 23,33321-=∴=⨯=+∴-。

3、n n a n f a )(1=+型

解题思路：利用累乘法, 将

()()()1,,2,11

2211f a a

n f a a n f a a n n n n =-=-=--- 各式相乘得，()()()1211

2211f n f n f a a

a a a a n n n n -⋅-=⋅⋅⋅---，即得n a . 例5．在数列{}n a 中，11=a ，

1

1+=+n n

a a n n ，求通项n a . 解：由条件等式

11+=+n n a a n n 得，n n n n n a a a a a a n n n n 12112112211=--⋅-=⋅⋅⋅--- ，得n

a n 1

=. 【评注】此题亦可构造特殊的数列，由

11+=+n n

a a n n 得，()111=++n

n na a n ，则数列{}n na 是以1a 为首项，以1为公比的等比数列，∴111.1

1=⋅==-n n q

a na 得n

a n 1

=. 4、n n a S 与关系型（求差法）

数列有形如)(),(1n n n a g S S f =-的关系（非递推关系），可考虑用求差n n n a S S =--1后，再用其它初等方法求得.n a

例6．（94年全国高考试题）

设}{n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，并且对于所有的自然数n a n ,与2的等差中项等于n S 与2的等比中项：