数学竞赛专题讲座七年级第4讲 解读绝对值(含答案)
初一数学竞赛讲座4
初一数学竞赛讲座(四)有理数的有关知识一、 知识要点1、绝对值x 的绝对值x 的意义如下：x =⎩⎨⎧<-≥00x x x x ，如果，如果x 是一个非负数，当且仅当x=0时，x =0绝对值的几何意义是：一个数的绝对值表示这个数对应的数轴上的点到原点的距离；由此可得：b a -表示数轴上a 点到b 点的距离。
2、倒数1除以一个数(零除外)的商，叫做这个数的倒数。
如果两个数互为倒数，那么这两个数的积等于1。
3、相反数绝对值相同而符号相反的两个数互为相反数。
两个互为相反数的数的和等于0。
二、 例题精讲例1 化简 6312-+--+x x x分析：由2x+1=0、x-3=0、x-6=0求出零点，然后用零点分段法将绝对值去掉，从而达到化简的目的。
解：由2x+1=0、x-3=0、x-6=0 分别求得：x= -1/2， x=3， x=6当21-<x 时，原式= -(2x+1)+(x-3) - (x-6)= -2x+2当321<≤-x 时，原式= (2x+1)+(x-3) - (x-6)= 2x+4 当63<≤x 时，原式= (2x+1)-(x-3) - (x-6)= 10当x ≥6时，原式= (2x+1)-(x-3) + (x-6)= 2x-2∴原式=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤-+-<+-时当，时当，时当，时当，6x 2-2x 63 103 42 222121x x x x x评注：用零点分段法，通过零点分段将绝对值去掉，从而化简式子，解决问题是解决含绝对值问题的基本方法。
例2 已知312351312+----≥--x x x x x ，求的最大值和最小值。
(第六届迎春杯决赛试题) 分析：先解不等式，求出x 的范围，然后利用绝对值的几何意义来求最大值和最小值。
解：解不等式2351312x x x --≥--得： 117≤x117 31+--x x 的几何意义是x 到1的距离与x 到-3的距离的差，从上图中可以看出：当x ≤-3时这差取得最大值4，因117≤x ，则当117=x 时这差取得最小值1133-.评注：1、本题是采用数形结合的思想，用绝对值的几何意义来解题。
初一数学绝对值难题解析
初一数学绝对值难题解析绝对值是初一数学的一个重要知识点，它的概念本身不难，但却经常拿来出一些难题，考验的是学生对基本概念的理解程度和基本性质的灵活运用能力。
绝对值有两个意义：（1）代数意义：非负数（包括零）的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。
即|a|＝a（当a≥0） , |a|＝－a （当a＜0）（2）几何意义：一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。
灵活应用绝对值的基本性质：（1）|a|≥0；（2）|ab|＝|a|·|b|；（3）|a/b|＝|a|/|b|(b≠0)（4）|a|－|b|≤ |a＋b|≤|a|＋|b|；（5）|a|－|b|≤ |a－b|≤|a|＋|b|；思考：|a＋b|＝|a|＋|b|，在什么条件下成立？|a－b|＝|a|－|b|，在什么条件下成立？常用解题方法：（1）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值的数为非负数和负数两种情况）（2）运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。
（3）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。
例题解析：第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示，并且已知表示c的点在原点左侧，请化简下列式子：（1）|a－b|－|c－b|解：∵a＜0，b＞0 ∴a－b＜0c＜0，b＞0 ∴c－b＜0故，原式＝（b－a）－(b－c) ＝c－a（2）|a－c|－|a＋c|解：∵a＜0，c＜0 ∴a－c要分类讨论，a＋c＜0当a－c≥0时，a≥c，原式＝（a－c）＋(a＋c)＝2a当a－c＜0时，a＜c，原式＝（c－a）＋(a＋c)＝2c2、设x＜－1，化简2－|2－|x－2|| 。
解：∵x＜－1 ∴x－2＜0原式＝2－|2－（2－x）|＝2－|x|＝2＋x3、设3＜a＜4，化简|a－3|＋|a－6| 。
解：∵3＜a＜4 ∴a－3＞0，a－6＜0原式＝（a－3）－(a－6) ＝34、已知|a－b|＝a＋b，则以下说法：（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数；哪个是正确的？答：当a－b≥0时，a≥b，|a－b|＝a－b，由已知|a－b|＝a＋b，得a－b＝a＋b，解得b＝0，这时a≥0；当a－b＜0时，a＜b，|a－b|＝b－a，由已知|a－b|＝a＋b，得b－a＝a＋b，解得a＝0，这时b＞0；综上所述，（1）是正确的。
七年级绝对值专题讲义
绝对值专题绝对值性质，绝对值化简、绝对值方程一站到底1、绝对值等于本身的数是正数答案：绝对值等于本身的数是非负数2、绝对值等于本身的数是负数答案：绝对值等于本身的数是非负数（或绝对值等于其相反数的数是非正数）3、若a＞0，则|a|＝a4、若a＜0，则|a|＝－a5、若|a|＝a，则a＞0答案：若|a|＝a，则a≥06、若|a|＝－a，则a≤0答案：若|a|＝－a，则a≤07、绝对值好难啊，难到怀疑人生模块一绝对值的非负性绝对值的非负性定义：|a|表示数轴上表示a的点到原点的距离．|a|≥0（非负性）|a|＋|b|＝0（24（1）3′）解：∵|a|≥0，|b|≥0，∴|a|＋|b|≥0．又∵|a|＋|b|＝0，∴|a|＝0，|b|＝0．∴a＝0，b＝0．例1（1）若|x|＋|y－3|＝0，则x＋y＝________；答案：3（2）若2|x＋5|＋3y2＝0，则xy＝________；答案：0（3）若12(x－1)2与35|y－2|互为相反数，则x－y＝________；答案：－1（4）若4|x＋3|＝－5|y－1.5|，则xy＝________；答案：－2（5）若12|a－1|＋3|b＋4|＝－2(c－2)2，则b－2a＋3c的相反数是________．答案：0解：∵12|a－1|＋3|b＋4|＝－2(c－2)2，∴12|a－1|＋3|b＋4|＋2(c－2)2＝0．又∵12|a－1|≥0，3|b＋4|≥0，2(c－2)2≥0，∴12|a－1|＝0，3|b＋4|＝0，2(c－2)2＝0．∴a＝1，b＝－4，c＝2．∴b－2a＋3c＝0．∴b－2a＋3c的相反数是0．例2（1）若|x|＋|y－2|＝x，则y＝________．答案：2（2）若|x－1|＋|y＋2|＋|z－3|＝y＋2，求x－z的值．答案：解：∵|x－1|≥0，|y＋2|≥0，|z－3|≥0，∴|x－1|＋|y＋2|＋|z－3|≥0．∵|x－1|＋|y＋2|＋|z－3|＝y＋2，∴y＋2≥0．∴|y＋2|＝y＋2．∴|x－1|＋|z－3|＝0．∴x＝1，z＝3．∴x－z＝－2．练2若2|a＋1|＋|b|＋3(c－2)2＝b，求aca c-的值．答案：解：∵2|a＋1|≥0，|b|≥0，3(c－2)2≥0，∴2|a＋1|＋|b|＋3(c－2)2≥0．∵2|a＋1|＋|b|＋3(c－2)2＝b，∴b≥0．∴|b|＝b．∴2|a＋1|＋3(c－2)2＝0．∴a＝－1，c＝2．∴aca c-＝1212-⨯--＝23．模块二已知范围的化简已知范围的绝对值的化简（不重不漏）①|a|＝00a aaa a⎧⎪=⎨⎪-⎩＞＜②|a|＝a aa a⎧⎨-⎩≥＜③|a|＝a aa a⎧⎨-⎩＞≤⎧⎨⎩①给范围②给数轴答题器：请问|a|＝________A．a B．－a C．以上都错答案：C例3（1）若a≥1，则|a－1|＝________；若x＞－1，则|x＋1|＝________；若a≤2，则|a－4|＝________；若x＜3，则|3－x|＝________；若x≥－12，则|2x＋1|＝________．答案：a－1，x＋1，－a＋4，3－x，2x＋1k（2）|12018－12017|＋|12017－12016|＋|12016－12015|－|12015－12018|＝________．答案：0练3（1）若a≤－5，则|a＋1|＝________；若x＞－1.5，则|x＋4|＝________；若a≥12，则|13－2a|＝________；若x＜－2，则|1－2x|＝________．答案：－a－1，x＋4，2a－13，1－2x（2）已知1＜a＜3，化简|a－1|－|3－a|．答案：解：∵1＜a＜3，∴a－1＞0，3－a＞0．∴|a－1|＝a－1，|3－a|＝3－a．∴原式＝a－1－(3－a)＝2a－4．拓展3（1）若a＋b＜0，则|2a＋2b－1|－2|3－a－b|＝________．答案：－5（2）若|a|＝－a，b与a互为相反数，那么|b－a＋1|－|a－b－5|＝________．答案：－4课间小游戏猜谜语谜题：再见吧，妈妈（数学名词）分母谜题：1000×10＝10000（成语）成千上万谜题：考试不作弊（数学名词）真分数谜题：朱元璋登基（数学名词）消元谜题：员（数学名词）圆心谜题：风筝跑了（数学名词）线段例4（1）已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示：|b ＋c |＝________；|a ＋c |＝________；|b －c |＝________；|a －b |＝________． 答案：b ＋c ，－a －c ，－b ＋c ，－a ＋b（2）已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简：2|a |＋|b |＋4|a ＋b |－3|b －c |．答案：解：由题意，得a ＜0，b ＞0，a ＋b ＞0，b －c ＜0，∴|a |＝－a ，|b |＝b ，|a ＋b |＝a ＋b ，|b －c |＝－b ＋c ．∴原式＝－2a ＋b ＋4(a ＋b )－3(－b ＋c )＝－2a ＋b ＋4a ＋4b ＋3b －3c ＝2a ＋8b －3c ． 练4 （1）（2017－2018外校七上期中）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则|a －c |－|a －b |－|b －c |＝________．答案：2a －2b（2）a 、b 、c 在数轴上的位置如图，若x ＝|a ＋b |－|b －1|－|a －c |－|1－c |，则1008x ＝________．答案：－2 例5 （1）（2017－2018武昌区七上期中）如图，数轴上A 、B 两点分别对应实数a 、b ，则下列结论正确的是（ ）A ．a ＋b ＞0B ．ab ＞0C ．1a ＋1b＞0 D ．1a －1b＜0 答案：C （2）（2017－2018二中七上期中）如图，a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．abc ＞0B ．(c －a )b ＜0C ．c (a －b )＜0D ．(b ＋c )a ＞0答案：BC 练5（2017－2018江汉区七上期中）数m 、n 在数轴上的大致位置如图所示，下列判断正确的是（ ）A ．m －n ＞0B ．m ＋n ＞0C ．mn ＞0D ．|m |－|n |＞0 答案：A 拓展5已知x ＜0＜z ，xy ＞0，|y |＞|z |＞|x |，那么|x ＋z |＋|y ＋z |－|x －y |的值是（ ）ba01-1BAA．是正数B．是负数C．是零D．不能确定符号答案：C模块三绝对值方程绝对值方程（整体）|x|＝1 |x|＝0 |x|＝－1解：x＝1或x＝－1 解：x＝0 解：方程无解|x＋1|＝1 |x＋1|＝0 |x＋1|＝－1解：x＋1＝1或x＋1＝－1 解：x＋1＝0 解：方程无解x＝0或x＝－2 x＝－1|3x－2|＝1 |3x－2|＝0 |3x－2|＝－1例6解下列绝对值方程：若|x|＝2，则x＝________；若|x|＝－2，则________；若|x＋1|＝0，则x＝________；若|2x－1|＝0，则x＝________；若|x＋1|＝2，则x＝________；若|2x－1|＝2，则x＝________．答案：±2，方程无解，－1，12，1或－3，32或－12练6解下列绝对值方程：|2x－3|＝5 |13x＋2|＝1 |5x－3|＝8答案：x＝4或－1，x＝－3或－9，x＝115或－1拓展6解下列关于x的绝对值方程：1 2|x＋1|＋2＝7－13|x＋1|答案：解：12|x＋1|＋13|x＋1|＝5 56|x＋1|＝5|x＋1|＝6x＋1＝6或－6x＝5或－711x--＝1 11x--＝0 11x--＝－1 解：|x－1|－1＝1或|x－1|－1＝－1 解：|x－1|－1＝0 解：方程无解|x－1|＝2或|x－1|＝0 |x－1|＝1x－1＝2或x－1＝－2或x－1＝0 x－1＝1或x－1＝－1x＝3或x＝－1或x＝1 x＝2或x＝0例7解下列绝对值方程：①12x+-＝0；②12x+-＝1；解：|x＋1|－2＝0 解：|x＋1|－2＝1或|x＋1|－2＝－1 |x＋1|＝2 |x＋1|＝3或|x＋1|＝1x＋1＝2或x＋1＝－2 x＋1＝3或x＋1＝－3或x＋1＝1或x＋1＝－1 x＝1或－3 x＝2或－4或0或－2③12x+-＝2；④12x+-＝3．解：|x＋1|－2＝2或|x＋1|－2＝－2 解：|x＋1|－2＝3或|x＋1|－2＝－3 |x＋1|＝4或|x＋1|＝0 |x＋1|＝5或|x＋1|＝－1x＋1＝4或x＋1＝－4或x＋1＝0 x＋1＝5或x＋1＝－5或方程无解x＝3或－5或－1 x＝4或－6练7解方程：321x--＝2答案：解：3－|2x－1|＝2或3－|2x－1|＝－2|2x－1|＝1或|2x－1|＝52x－1＝1或2x－1＝－1或2x－1＝5或2x－1＝－5x＝1或0或3或－2拓展7已知关于x的方程12x+-＝a有三个解，则a＝________．解：①a＝0时，|x＋1|＝2（舍）②a＞0时，|x＋1|－2＝a或|x＋1|－2＝－a|x＋1|＝a＋2或|x＋1|＝2－a∵a＞0，∴a＋2＞0．∴|x＋1|＝2－a有一个解．∴2－a＝0．∴a＝2．例8已知整数x、y满足|x|＋|y|＝1，求x、y的值．答案：解：∵|x|，|y|为非负整数，∴1xy⎧=⎪⎨=⎪⎩或1xy⎧=⎪⎨=⎪⎩．∴1xy=⎧⎨=⎩或1xy=-⎧⎨=⎩或1xy=⎧⎨=⎩或1xy=⎧⎨=-⎩．练8已知整数a、b满足|a＋1|＋|b－2|＝2，求a、b的值．答案：解：∵|a＋1|，|b－2|为非负整数，∴1022ab⎧+=⎪⎨-=⎪⎩或1121ab⎧+=⎪⎨-=⎪⎩或1220ab⎧+=⎪⎨-=⎪⎩．∴14ab=-⎧⎨=⎩或1ab=-⎧⎨=⎩或3ab=⎧⎨=⎩或1ab=⎧⎨=⎩或23ab=-⎧⎨=⎩或21ab=-⎧⎨=⎩或2ab=⎧⎨=⎩或42ab=-⎧⎨=⎩．。
七年级数学思维探讨二聚焦绝对值含答案
祖冲之，中国古代闻名的数学家和天文学家，于公元429年诞生于建康（今江苏南京），祖冲之从小就对天文、数学知识产生浓厚的爱好，“专攻数术，搜炼古今”，他在数学方面的成绩，首推圆周率的计算，计算圆周率精准到小数点以后7位，是那时世界上最杰出的成绩；在天文学方面，他编写了新的历法——大明历，这是那时最好的一部历法． 2．聚焦绝对值 解读课标绝对值是数学中的一个大体概念，这一概念是学习相反数、有理数运算、算术根的基础；绝对值又是数学中的一个重要概念，绝对值与其他知识融合形成绝对值方程、绝对值不等式、绝对值函数等，在代数式化简求值、解方程、解不等式等方面有普遍的应用．明白得、把握绝对值应注意以下几个方面： 1．脱去绝对值符号是解绝对值问题的切入点脱去绝对值符号经常使用到相关法那么、分类讨论、数形结合等知识方式． 2．恰本地运用绝对值的几何意义从数轴上看a 表示数a 的点到原点的距离；a b -表示数a 、数b 的两点间的距离． 3．灵活运用绝对值的大体性质①0a ≥；②222a a a ==；③ab a b =⋅；④()0aa b b b=≠． 问题解决例1 已知2020y x b x x b =-+-+--，其中020b <<，20b x ≤≤，那么y 的最小值为_______． 试一试结合已知条件判定每一个绝对值符号内式子的正负性，再去掉绝对值符号． 例2 式子a b aba b ab++的所有可能的值有（ ）．A ．2个B ．3个C ．4个D ．无数个试一试 依照a 、b 的符号所有可能情形，去掉绝对值符号，这是解本例的关键． 例3 （1）已知220ab a -+-=，求()()()()()()1111112220062006ab a b a b a b ++++++++++的值．（2）设a 、b 、c 为整数，且1a b c a -+-=，求c a a b b c -+-+-的值．试一试 关于（1），由非负数的性质先导出a 、b 的值；关于（2），1写成两个非负整数的和的形式又有几种可能这是解（2）的冲破口．例4 阅读以下材料并解决有关问题：咱们明白()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，此刻咱们能够用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，别离求得1x =-，2x =（称1-，2别离为1x +与2x -的零点值）．在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全部有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情形：（1）1x <-；（2）12x -<≤；（3）2x ≥．从而化简代数式12x x ++-可分以下3种情形： （1）当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+； （2）当12x -<≤时，原式()123x x =+--=； （3）当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-． 综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥，通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）别离求出2x +和4x -的零点值； （2）化简代数式24x x ++-．试一试 在阅读明白得的基础上化简求值．例5 （1）当x 取何值时，3x -有最小值那个最小值是多少 （2）当x 取何值时，52x -+有最大值那个最大值是多少 （3）求45x x -+-的最小值． （4）求789x x x -+-+-的最小值．分析 关于（3）、（4）可先运用零点分段讨论法去掉绝对值符号，再求最小值；也可利用绝对值的几何意义，即在数轴上找一表示x 的点，使之到表示4、5的点（或表示7、8、9的点）的距离和最小． 解 （1）当3x =时，原式有最小值，最小值为0． （2）当2x =-时，原式有最大值，最大值为5． （3）当45x ≤≤时，原式有最小值，最小值为1． （4）当8x =时，原式有最小值，最小值为2．关于（3），给出另一种解法：当4x ≤时，原式()()4592x x x =---=-，最小值为1； 当45x <≤时，原式()451x x =---=，最小值为1； 当5x >时，原式4529x x x =-+-=-，最小值为1． 综上所述，原式有最小值等于1． 以退求讲例6 青年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算进程足：输入第一个整数1x ，只显示不运算，接着再输入整数2x 后那么显示12x x -的结果，尔后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算，现小明将从1到1991这1991个整数随意地一个一个地输入，全数输入完毕以后显示的最后结果设为P ，试求出P 的最大值，并说明理由． 分析 先考虑输入个数较少的情形，并结合奇偶分析调整估值，一步步求出P 的最大值．解 由于输入的数都是非负数，当10x ≥，20x ≥时，12x x -不超过1x 、2x 中最大的数，对10x ≥，20x ≥，30x ≥，那么123x x x --不超过1x 、2x 、3x 中最大的数，设小明输入这1991个数的顺序是1x ，2x ，…，1991x ．相当于计算：12319901991x x x x x P ----=，因此P 的值1991≤．另外从运算奇偶性分析，1x 、2x 为整数，12x x -与12x x +奇偶性相同，因此P 与121991x x x +++的奇偶性相同． 但121991121991x x x +++=+++=偶数，于是判定1990P ≤．咱们证明P 能够取到1990．对1，2，3，4，按如下顺序：13420---=，()()()414344420k k k k +-+-+-+=，关于0k =，1，2，…均成立．因此，1~1988可按上述方法依次输入最后显示结果为0，而后1989199019911990--=，故P 的最大值为1990． 数学冲浪 知识技术广场1．数a 在数轴上的位置如下图，且12a +=，那么37a +=______．2．已知5a =，3b =，且a b b a -=-，那么a b +=_______．1a3．化简1111111120042003200320022002200120012004-+-+---=________． 4．已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应位置如下图：，1c a c a b -+-+-化简后的结果是________．5．已知整数1a ，2a ，3a ，4a ，…知足以下条件：10a =，211a a =-+，322a a =-+，433a a =-+，…，依次类推，那么2012a 的值为（ ）．A ．1005-B ．1006-C ．1007-D ．2012- 6．已知a a =-，化简12a a ---所得的结果是（ ） A ．1- B ．1 C ．23a - D ．32a - 7．若m 是有理数，那么m m -一定是（ ）． A ．零 B ．非负数 C ．正数 D ．负数 8．有理数a 、b 、c 的大小关系如图：，那么以下式子中必然成立的 是（ ）A ．0a b c ++>B ．a b c +<C ．a c a c -=+D ．b c c a ->- 9．化简（1）3x -； （2）12x x +++． 10．阅读下面材料并回答下列问题．点A 、B 在数轴上别离表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ．当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图①，AB OB b a b ===-；当A 、B 两点都不在原点时，（1）如图②，点A 、B 都在原点的右边，AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-； （2）如图③，点A 、B 都在原点的左侧，()AB OB OA b a b a a b =-=-=---=-；-1cbacba图①O (A )B b图②A B O 0ba图③O B A a b 0图④A B O ab（3）如图④，点A 、B 在原点的两边，()AB OA OB a b a b a b =+=+=+-=-． 综上，数轴上A 、B 两点之间的距离AB a b =-． 请回答：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______，数轴上表示2-和5的两点之间的距离是_______，数轴上表示1和3-的两点之间的距离是________；②数轴上表示x 和1-的两点A 和B 之间的距离是__________，若是2AB =，那么x 为_________； ③今世数式12x x ++-取最小值时，相应的x 的取值范围是_________． 思维方式天地11．已知1a =，2b =，3c =，且a b c >>，那么a b c +-=_________．12．在数轴上，点A 表示的数是3x +，点B 表示的数是3x -，且A 、B 两点的距离为8，那么x =______． 13．已知5x =，1y =，那么x y x y --+=_________． 14．（1）11x x ++-的最小值为________． （2）11213x x x ++-++的最小值为________． 15．有理数a 、b 在数轴上对应的位置如下图：，那么代数式1111a ab a ba a ab b +---+-+--的值为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．216．若()2210m n ++-=，那么2m n +的值为（ ）A ．4- B ．1- C ．0 D ．4 17．如图，已知数轴上点A 、B 、C 所对应的数a 、b 、c 都不为0，且C 是AB 的中点．若是2220a b a c b c a b c +--+--+-=，那么原点O 的位置在（ ）A ．线段AC 上B ．线段CA 的延长线上C ．线段BC 上D ．线段CB 的延长线上 18．设1m x x =+-，那么m 的最小值为（ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．21-1baC B Acba19．已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且()2a b++-=，A、B之间的距离410记作AB．（1）求线段AB的长AB；（2）设点P在数轴上对应的数为x，当2-=时，求x的值；PA PB（3）点P在A的左侧，M、N别离是PA、PB的中点，当点P在A的左侧移动时，式子PN PM-的值是不是发生改变假设不变，请求其值；假设发生转变，请说明理由．20．已知a b c abcx=+++，且a、b、c都不等于0，求x的所有可能值．a b c abc应用探讨乐园21．绝对值性质（1）设a、b为有理数，比较a b+与a b+的大小．（2）已知a、b、c、d是有理数，9a b c d-≤，且25---的--+=，求b a d ca b-≤，16c d值．22．已知数轴上两点A、B对应的数别离为1-，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）假设点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数．（2）数轴上是不是存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5假设存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．（3）当点P以每分钟1个单位长的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长的速度向左运动，点B以每分钟20个单位长的速度向左运动，问它们同时动身，几分钟后P点到点A、点B的距离相等2．聚焦绝对值 问题解决例l 20 ()()2020202040y x b x x b x b x x b x =-+--+---=--+-++=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，当20x =时，y 的值最小为20．例2 A 分0a >，0b >；0a <，0b <；0a >，0b <；0a <，0b >四种情形讨论． 例3 （1）由20ab -=，20a -=，得2a =，1b =． 原式1111111111200711122334200720082232007200820082008=++++=-+-++-=-=⨯⨯⨯⨯． （2）因a 、b 、c 为整数，且1a b c a -+-=，故a b -与c a -一个为0，一个为1，从而()()1b c b a a c -=-+-=因此，原式1102=++=． 例4 （1）别离令20x +=和40x -=，别离求得2x =-和4x =， 2x +∴和4x -的零点值别离为2x =-和4x =．（2）当2x <-时，原式()()242422x x x x x =-+--=---+=-+；当24x -<≤时，原式()246x x =+--=；当4x ≥时，原式2422x x x =++-=-．∴综上讨论，原式()()()222,624,224.x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥ 数学冲浪1．2 2．2-或8 3．0 4．12c b -+5．B 1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a ，7a ，8a 对应的数别离为0，1-，1-，2-，2-，3-，3-，4-． 6．A 7．B 8．C 9．（1）原式()()3333x x x x ⎧-<⎪=⎨-⎪⎩≥ （2）原式()()()232121231x x x x x --<-⎧⎪=-<-⎨⎪+-⎩≤≥ 10．①3，3；4 ②1x +；1或3- ③12x -≤≤ 11．2或0 12．413．2 分x ，y 同号、x ，y 异号两种情形讨论 14．（1）2 （2）25 15．D 16．C 17．A 提示：2a bc += 原式化为a b b a +=- 18．B19． （1）5AB =；（2）12x =-；（3）52PN PM -=，值不变．20．4或0或4-21．（1）a b a b ++≤，当且仅当a 、b 同号或a 、b 至少有一为0时等号成立． （2）因9a b -≤，16c d -≤，故91625a b c d -+-+=≤，又因为()()2525a b c d a b d c a b d c =--+=-+--+-≤≤，因此9a b -=，16c d -=，故原式9167=-=-．22．（1）1；（2）3.5或1.5-；（3）B 未追上A 时，223t =；B 追上A 时，415t =．。
初一数学竞赛辅导第4讲-绝对值
数学兴趣小组教案第四讲绝对值初一数学兴趣小组(2课时)一、教学目标1掌握绝对值的两种定义，并在此基础上理解绝对值的基本性质；2领会并应用绝对值的基本性质；3 体会渗透在绝对值中的几何（数形结合）思想。
二、教学重点根据绝对值的两种定义，领会并应用绝对值的基本性质三、教学难点体会用数形结合的思想去绝对值符号四、教学方法启发教授五、教学手段六、教学过程（一）复习引入1回忆绝对值的代数和几何定义；、答：代数定义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零；几何定义：一个数的绝对值是这个数在数轴上所表示的点到原点的距离。
2根据定义理解教材中关于绝对值的几个基本性质；非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数；可以用符号语言表示：ａ＞＝０，｜ａ｜＝ａ；ａ＜＝０，｜ａ｜＝－ａ３几个问题：（1）|a|与|-a|的关系；（2）如果|a|=|b|,则a与b的关系；（3）|a|*|a|与|a*a|,a*a的关系；（4）|ab|与|a||b|的关系；（5）|a/b|与|a|/|b|（b不等于0）的关系。
小结：通过几个问题，根据定义，引出绝对值的几个有用的性质。
（二）教授新知识1基础知识绝对值的基本性质（1）|a|＝|-a|；（2）如果|a|=|b|,则a＝b或a＝－b；（3）|a|*|a|＝|a*a|＝a*a；（4）|ab｜＝|ａ｜|b|；（5）|a/b|＝|a|/|b|（b不等于0）。
注意：在绝对值中涉及一个重要的数学思想方法：分类讨论的思想。
2例题例题1若|x+5|+|x-2|=7，求x的取值范围。
小结：|x-x0|它的几何意义是：表示x到x0的距离。
我们知道一个数的绝对值表示这个数到原点的距离，例如：|a|表示a到原点0的距离，|a|=|a-0|.两个点之间的距离求法：用较大的数减去较小的数。
例题2已知：m>4,化简|m-4|+|7-2m|小结：要化简含有绝对值符号的式子，首先判断绝对值符号里边的数的正负，然后利用绝对值的定义去绝对值符号，在这里，题目中已经给出m的取值范围，只需根据条件求出m-4,7-2m的取值范围即可。
七年级数学 绝对值(含解析答案)
绝对值练习题绝对值，这种关系用数学表达式表示是：-1到原点的距离表示为：1到原点的距离表示为：对绝对概念的理解进行巩固。
小亮爸爸是出租车司机，今天上午在南北大街来回送客.早上从家里出发，中午到达美味小吃城吃饭.约定向北为正方向，这天上午的记录如下（单位：千米）：14，-9，18，-7，13，-6，10，-5.晚上回来爸爸问小亮美味小吃城在小亮家的什么位置？若出租车每千米耗油a升，油箱容量为29a升，加满油箱后在途中需补充多少升汽油？因为爸爸向北一共走了14+18+13+10=55（千米），向南一共走了9+7+6+5=27（千米），向北比向南多走了55-27=28（千米），故美味小吃城在小亮家北面28千米处。
爸爸所走的路程为|14|+|-9|+|18|+|-7|+|13|+|-6|+|10|+|-5|=82（千米）.一上午车的耗油量为82a升，故需补充汽油82a-29a=53a（升）温故而知新：1.绝对值定义：一般地，数轴上表示数a 的点与 原点 的距离叫做a 的绝对值.几何意义：|x-a|表示在数轴上表示数x 的点到表示数a 的点的距离.性质：（1）|a|≥0. (2)|a|=|-a|.2.有理数的大小比较法则：（1）正数大于0,0大于负数，正数大于负数；（2）两个负数，绝对值大的反而小.利用数轴：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.求一个数的绝对值：例1 求下列各数的绝对值：-15， ，0，-9.8，-2 013.解析：根据绝对值的定义知：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.答案：|-15|= - (-15)=15| +32| = 32 | 0 |=0| -9.8 |= - (-9.8) =9.8| -2013 |= - (-2013) =2013绝对值的性质；例2 （1）绝对值是10的数有几个？各是什么？（2）绝对值是0的数有几个？各是什么？（3）有没有绝对值是-5的数？解析：数轴上已知点到原点的距离就是这个数的绝对值。
2.4绝对值-华东师大版七年级数学上册同步讲义
2.4 绝对值知识点总结与例题讲解一．本节知识点（1）绝对值的定义.（2）绝对值的性质.（3）绝对值非负性的应用.二、本节题型（1）绝对值的几何意义.（2）与绝对值有关的计算和化简.（3）绝对值非负性的应用.（4）绝对值的应用.三、知识点讲解知识点一 绝对值的定义在数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值,记作a .数轴上的点距离原点越远,该点表示的数的绝对值越大;距离原点越近,该点表示的数的绝对值越小.原点到原点的距离为0,所以0的绝对值等于0,即00=.知识点二 绝对值的性质一个正数的绝对值是它本身;零的绝对值是零;一个负数的绝对值是它的相反数. 即⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=)0()0(0)0(a a a a a a .由上面可知:绝对值等于它本身的数是非负数.绝对值的非负性 任何一个有理数的绝对值总是非负数（正数或0）,即对于任意有理数a ,总有a ≥0.相反数与绝对值的关系 互为相反数的两个数绝对值相等;绝对值相等的两个数相等或互为相反数.知识点三 绝对值非负性的应用非负数的性质 若几个非负数的和为零,则每个非负数都为零.因为绝对值具有非负性,所以若几个有理数绝对值的和等于0,则每个有理数都等于0.即若0=+b a ,则0,0==b a .四、题型讲解题型一 绝对值的几何意义例1. 如图所示,数轴的单位长度为1,如果点A 、B 表示的数的绝对值相等,那么点A 表示的数是【 】（A ）4− （B ）2− （C ）0 （D ）40分析:绝对值的几何意义是表示数的点到原点的距离.本题中A 、B 两点之间的距离为4,则点A 到原点的距离为2,且点A 在原点的左侧,所以点A 表示的数是2−. 解: 选择【 B 】.例2. 一个数a 在数轴上的对应点在原点左边,且4=a ,则a 的值为【 】（A ）4或4− （B ）4 （C ）4− （D ）都不对分析:由4=a 得4=a 或4−=a .因为表示数a 的点在原点的左边,所以0<a ,故4−=a .解: 选择【 C 】.题型二 与绝对值有关的计算和化简先去掉绝对值符号,再进行化简或计算.例3. 计算2020−−的结果是【 】（A ）20201− （B ）20201 （C ）2020− （D ）2020 分析:先化简20202020=−,得20202020−=−−.解: 20202020−=−−,选择【 C 】.例4. 化简或计算:（1）32−−; （2）32214−⨯−; （3）2214−++−. 分析: 按照先去绝对值再化简或计算的原则进行,注意解题的书写格式,要求学生的书写一定要规范.解:（1）原式32−=; （2）原式3322932214=⨯=⨯=; （3）原式2132214=++=. 例5. 化简:（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+−21; （2）311−−. 解:（1）原式2121=−=; （2）原式311−=. 本题也可以这样安排书写:解:（1）212121=−=⎪⎭⎫ ⎝⎛+−; （2）311311−=−−. 例6. 计算:（1）2345−+−; （2）5394−⨯−; （3）1103−−−+−; （4）3624−⨯−÷−.分析:含绝对值的四则运算,先去掉绝对值再进行计算.对于乘除混合运算,要注意运算顺序.解:（1）原式41146452345=+=+=; （2）原式1545394=⨯=; （3）原式121103=−+=;（4）原式12343624=⨯=⨯÷=.题型三 绝对值非负性的应用例7. 若034=−+−y x ,求y x ,的值.分析:这是一类重要的题型,考查非负数的性质:若几个非负数的和为零,则每个非负数都为零.注意过程的书写规范.解: 034=−+−y x 因为4−x ≥0,3−y ≥0（这一步是介绍每个绝对值为非负数,必须要有这一步） 所以,03,04=−=−y x解之得:3,4==y x .例8. 如果a 是有理数,那么2020+a 的最小值是_________.解: 因为a ≥0,所以a 的最小值为0 故2020+a 的最小值是2020.题型四 绝对值的应用例9. 检查5袋水泥的质量,把超过标准质量的千克数记为正数,不足标准质量的千克数记为负数,检查结果如下表所示（单位:千克）:（1）最接近标准质量的是几号水泥?（2）质量最多的水泥比质量最少的水泥多多少千克?分析:本题考查绝对值的应用,是一类常见的题型.根据与标准质量相差小（即最接近标准质量）的质量好,分别比较它们的绝对值的大小即可.解:（1）33,77,88,55,1010=−=−=+=−=+因为108753<<<<,所以5号水泥的质量最接近标准质量;（2）()17710=−−（千克）.答:质量最多的水泥比质量最少的水泥多17千克.总结 实际问题中的绝对值的意义绝对值越小,表示该数据越接近标准数据;绝对值越大,表示该数据越远离标准数据.例10. 出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的人民大街上进行的.如果规定向东为正,向西为负,那么他这天的行车里程记录如下（单位: km ）:+15 , 3− , +14 , 11− , +10 , 12− , +4 , 15− , +16 , 18−.如果汽车的耗油量为0. 08L/km,那么这天下午该汽车共耗油多少升?分析:需要计算出汽车行驶的总路程.总路程等于以上各数的绝对值之和. 解: 汽车行驶的总路程为:118181615412101114315=−+++−+++−+++−+++−++（km ） 44.908.0118=⨯（L ）.答: 这天下午该汽车共耗油9. 44L.。
初一数学绝对值含答案
绝对值中考要求重难点1．掌握绝对值的概念与化简2．绝对值的几何意义3．分类讨论思想在绝对值中的应用课前预习外尔斯特拉斯现在通用的绝对值符号“| |”，是德国数学家外尔斯特拉斯在1841年率先引用的，后来为人们所广泛接受。
德国数学家外尔斯特拉斯也算业余高手，后来走上了职业数学家的道路。
他开始是学习法律和财经，一度在在中学任教。
这大概是中学数学教师中最杰出的一位了。
德国是一个多出哲学家的国度，德国人又以严格认真见长，外尔斯特拉斯也是一样，他的品性最能体现德国人对待真理的态度了。
他最大的贡献是在微积分严格化上作出了杰出的贡献。
外尔斯特拉斯还告诉我们，直观有时是靠不住甚至是完全错误的。
从前人们直观上一直认为连续曲线肯定是光滑的，或者大多数点都是光滑的。
用在函数上，就是一直认为连续函数是可导的，或者在多数点是可导的。
可是外尔斯特拉斯却举出一个反例，在每一个点都连续，却有在任何点都不可导。
他举出这个函数是画不出图像的，当时作为一个中学教师，的确令数学家们大跌了眼镜。
例题精讲模块一绝对值的意义及其化简1.绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点与原点的距离。
数a的绝对值记作a2.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.3.绝对值的性质：①(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩，②(0)(0)a aaa a≥⎧=⎨-<⎩或(0)(0)a aaa a>⎧=⎨-≤⎩4.绝对值其他的重要性质：①任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥且a a ≥- ②若a b =，则a b =或a b =- ③a b a b ⋅=⋅，a ab b=（0b ≠） ④222a a a ==☞绝对值的意义【例1】 在数轴上表示数a 的点到原点的距离是13，那么a = 【难度】1星【解析】绝对值的代数意义，几何意义 【答案】13a =±【巩固】绝对值等于2的数有 个，是 【难度】1星【解析】绝对值的代数意义，几何意义 【答案】2个，2±【巩固】绝对值不大于7且大于4的整数有 个，是 【难度】2星【解析】绝对值的代数意义，几何意义 【答案】6个，5±、6±、7±☞绝对值化简【例2】 计算：3π-= ，若23x -=，则x = 【难度】1星 【解析】绝对值化简 【答案】3π-，5x =或1-【巩固】若220x x -+-=，则x 的取值范围是 【难度】2星 【解析】绝对值化简【答案】2x ≤【巩固】已知：①52a b ==，，且a b <；分别求a b ，的值【难度】3星 【解析】绝对值化简【答案】解：∵5a =，2b =∴5a =±，2b =±∵a b < ∴5a =-，2b =±【例3】 如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求11a b b a c c +------的值.【难度】3星 【解析】绝对值化简【答案】解：如图所示，得0a b <<，01c <<∴0a b +<，10b -<，0a c -<，10c ->∴原式=()(1)()(1)a b b a c c -++-+---=11a b b a c c --+-+--+=2-【巩固】已知00x z xy y z x <<>>>，，，那么x z y z x y +++--= 【难度】3星 【解析】绝对值化简【答案】解：∵ 0x z <<，0xy > ∴0y <∵y z x >> ∴y z x ->>- ∴0x z +>，0y z +<，0x y -> ∴原式=()()()0x z y z x y x z y z x y +-+--=+---+=【巩固】数,a b 在数轴上对应的点如右图所示，化简a b b a b a a ++-+--【难度】3星 【解析】绝对值化简【答案】解：如图，得0a <，0b >，0a b +<，0b a ->∴原式=()()2a b b a b a a a b b a b a b -++-+-+=--+-++=【例4】 设,,a b c 为非零实数，且0a a +=，ab ab =，0c c -=．化简b a b c b a c -+--+- 【难度】3星 【解析】绝对值化简【答案】解： ∵0a a +=、0c c -= ∴a a =-，c c =∵a 、b 、c 为非零实数，∴0a <，0c > ∵ab ab = ∴0ab > ∴0b < ∴0a b +<，0c b ->，0a c -<∴原式=()()()()b a b c b a c -++----=b a b c b a c b -++-+-+=【巩固】已知a a =-，0b <，化简22442(2)24323a b a b a b b a +--+++-- 【难度】3星 【解析】绝对值化简【答案】解：∵a a =- ∴0a ≤ ∵0b < ∴20a b +<，230a -<∴原式=22(2)42(2)24323a b a b a b b a -++-++++-=242222a b a b a b -+++++=42a b+模块二 绝对值的非负性1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为02. 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =【例5】 若42a b -=-+，则_______a b +=【难度】2星【解析】绝对值的非负性【答案】解：∵42a b -=-+ ∴420a b -++=∵40a -≥，20b +≥ ∴40a -=，20b += 则4a =，2b =-【巩固】若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋ 【难度】2星【解析】绝对值的非负性 【答案】解：∵30m +≥，702n -≥，210p -≥ ∴30m +=，702n -=，210p -= 则3m =-，72n =，12p = ∴3232p n m ++=-【例6】 设a 、b 同时满足①2(2)|1|1a b b b -++=+；②|3|0a b +-=．那么ab = 【难度】3星【解析】绝对值化简与非负性【答案】解：∵2(2)0a b -≥，10b +≥，且2(2)|1|1a b b b -++=+∴10b +≥ ∴2(2)11a b b b -++=+ 则2(2)0a b -= ∴2a b =∵30a b +-= ∴230b b +-= 则1b =，2a = ∴2ab =【巩固】已知2()55a b b b +++=+，且210a b --=，那么ab =_______ 【难度】3星【解析】绝对值化简与非负性【答案】解：∵2()0a b +≥，50b +≥，且2()55a b b b +++=+∴50b +≥ ∴2()55a b b b +++=+ 则2()0a b += ∴a b =-∵210a b --= ∴210b b ---= ∴13b =-，13a = 则19ab =-模块三 零点分段法1. 零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．【例7】 阅读下列材料并解决相关问题：我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+ ⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--= ⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题： ⑴分别求出2x +和4x -的零点值 ⑵化简代数式24x x ++-【难度】3星 【解析】零点分段法【答案】解：⑴令20x +=，40x -=，则2x =-，4x =⑵零点为2x =-，4x =，则可分三段进行讨论：2x <-，24x -≤<，4x ≥ ①当2x <-时，则20x +<，40x -<∴2(2)2x x x +=-+=--，4(4)4x x x -=--=-+ ∴原式=24x x ---+=22x -+②当24x -≤<时，则20x +≥，40x -< ∴22x x +=+，4(4)4x x x -=--=-+∴原式=24x x +-+=6③当4x ≥时，则20x +>，40x -≥ ∴22x x +=+，44x x -=- ∴原式=24x x ++-=22x -综上所述，当2x <-时，24x x ++-=22x -+当24x -≤<时，24x x ++-=6 当4x ≥时，24x x ++-=22x -【巩固】化简12m m m +-+-的值 【难度】3星 【解析】零点分段法【答案】解：令0m =，10m -=，20m -=，则零点为0m =，1m =，2m =则可分四段进行讨论：0m <，01m ≤<，12m ≤<，2m ≥ ①当0m <时，10m -<，20m -<∴m m =-，11m m -=-+，22m m -=-+ ∴原式=12m m m --+-+=33m -+ ②当01m ≤<时，10m -<，20m -< ∴m m =，11m m -=-+，22m m -=-+ ∴原式=12m m m -+-+=3m -+ ③当12m ≤<时，10m -≥，20m -< ∴m m =，11m m -=-，22m m -=-+ ∴原式=12m m m +--+=1m + ④当2m ≥时，10m -≥，20m -≥ ∴m m =，11m m -=-，22m m -=- ∴原式=12m m m +-+-=33m -综上所述：当0m <时，12m m m +-+-=33m -+当01m ≤<时，12m m m +-+-=3m -+ 当12m ≤<时，12m m m +-+-=1m + 当2m ≥时，12m m m +-+-=33m -【巩固】化简：121x x --++. 【难度】4星 【解析】零点分段法【答案】解：令10x -=，120x --=，10x +=，∴120x --=，则3x =或1x =-∴零点有1x =-，1x =，3x =∴分四段进行讨论1x <-，11x -≤<，13x ≤<，3x ≥ ①当1x <-时，则10x -<，10x +<，10x --> ∴11x x -=-+，11x x +=--，11x x --=--∴原式=121x x -+---=11x x ----=11x x ----=22x -- ②当11x -≤<时，则10x -<，10x +≥，10x --≤ ∴11x x -=-+，11x x +=+，11x x --=+∴原式=121x x -+-++=11x x --++=11x x +++=22x + ③当13x ≤<时，10x -≥，10x +>，30x -< ∴11x x -=-，11x x +=+，33x x -=-+ ∴原式=121x x --++=31x x -++=31x x -+++=4 ④当3x ≥时，10x ->，10x +>，30x -≥ ∴11x x -=-，11x x +=+，33x x -=-∴原式=121x x --++=31x x -++=31x x -++=22x -综上所述，当1x <-时，121x x --++=22x --当11x -≤<时，121x x --++=22x + 当13x ≤<时，121x x --++=4 当3x ≥时，121x x --++=22x -模块四 绝对值的几何意义的拓展1. a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．2. a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．【例8】 m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离⑴ x 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离；x 0-（>，=，<）； ⑵ 21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则21-= ； ⑶ 3x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若31x -=，则x = ．⑷ 2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若22x +=， 则x = ．⑸ 当1x =-时，则22x x -++=【难度】3星【解析】绝对值的几何意义【答案】解：⑴x 、原点、=；⑵1；⑶x 、3、4或2；⑷x 、2-、4-或0；⑸设2-、2、x 在数轴代表的点为A 、B 、P ，如图P B A 2则2x PA +=，2x PB -=,∴224x x PA PB AB ++-=+==【例9】 已知m 是实数，求12m m m +-+-的最小值 【难度】4星【解析】绝对值的几何意义【答案】解：令0m =，10m -=，20m -=，则零点有0m =，1m =，2m =设0、1、2、m 在数轴上分别用A 、B 、C 、P 表示,如图PC B A①当点P 在点A 左侧时，12m m m +-+-=PA PB PC ++=32PA AB BC ++=33PA + ∴当0PA =时，即点P 与点A 重合时，原式取得最小值为3 ∵点P 在点A 左侧 ∴原式3>PC B A②当点P 在线段AB 上时（不包含点B ），12m m m +-+-=PA PB PC ++=2PB AC PB +=+ ∴当0PB =时，原式取得最小值 ∵此时不包含点B ，∴原式2>P CB A③当点P 在线段BC 上时（不包含点C ），12m m m +-+-=PA PB PC ++=2PB AC PB +=+∴当0PB =时，即当点P 与点B 重合时，原式取得最小值，最小值为2C B A④当点P 在点C 及点C 右侧时，12m m m +-+-=PA PB PC ++=32PC BC AB ++=33PC + ∴当0PC =时，即点P 与点C 重合时，原式取得最小值，最小值为3 综上所述，当点P 与点B 重合时，即1m =时，原式取得最小值为2【巩固】已知m 是实数，求2468m m m m -+-+-+-的最小值 【难度】4星【解析】绝对值的几何意义【答案】解：令20m -=，40m -=，60m -=，80m -=则零点有2m =，4m =，6m =，8m =设2、4、6、8、m 在数轴上分别用A 、B 、C 、D 、P ∴2468m m m m PA PB PC PD -+-+-+-=+++①当点P 在点A 左侧时，43241212PA PB PC PD PA AB BC CD PA +++=+++=+> ②当点P 在线段AB 上时，（不包含点B ），2288PA PB PC PD PB BC AD PB +++=++=+> ③当点P 在线段BC 上时（不包含点C ），8PA PB PC PD BC AD +++=+=④当点P 在线段CD 上时（不包含点D ），2288PA PB PC PD PC BC AD PC +++=++=+≥ 当点P 与点C 重合时，取等号⑤当点P 在点D 及点D 右侧时，43241212PA PB PC PD PD CD BC AB PD +++=+++=+≥ 综上所述，当点P 在线段BC 上时，即46m ≤≤时，原式取得最小值为8【例10】如图所示，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A 、B 、C 、D 、E 、F 到城市的距离分别为4、10、15、17、19、20千米，而村庄G 正好是AF 的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？【难度】3星【解析】绝对值的几何意义【答案】解：活动中心应该建在村庄C ，使各村到活动中心的路程之和最短【巩固】如图所示为一个工厂区的地图，一条公路（粗线）通过这个地区，7个工厂1A ，2A ，…，7A 分布在公路的两侧，由一些小路（细线）与公路相连．现在要在公路上设一个长途汽车站，车站到各工厂（沿公路、小路走）的距离总和越小越好，那么这个车站设在什么地方最好？如果在P 点又建立了一个工厂，并且沿着图上的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？FED C BP A 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1【难度】3星【解析】绝对值的几何意义【答案】解：长途汽车站应该设在点D ，如果在点P 又建了一个工厂，那么此时长途汽车站应该设在DE之间课堂检测1． 4x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若42x -=，则x = ．【难度】2星【解析】绝对值的几何意义【答案】x 、4、2或62． 化简：212x x x -++-【难度】4星【解析】零点分段法 【答案】解：令10x -=，20x +=，0x =，∴零点为1x =、2x =-、0x =∴可分四段讨论：2x <-、20x -≤<、01x ≤<、1x ≥①当2x <-时，则10x -<，20x +< ∴11x x -=-+，22x x +=--，x x =-∴原式=2(1)2()222x x x x x x -+----=-+--+=2x -②当20x -≤<时，则10x -<，20x +≥ ∴11x x -=-+，22x x +=+，x x =-∴原式=2(1)2()222x x x x x x -+++--=-++++=4③当01x ≤<时，则10x -<，20x +> ∴11x x -=-+，22x x +=+，x x =∴原式=2(1)2222x x x x x x -+++-=-+++-24x =-+④当1x ≥时，10x -≥，20x +> ∴11x x -=-，22x x +=+，x x =∴原式=2(1)22222x x x x x x x -++-=-++-=综上所述，当2x <-时，212x x x -++-=2x -当20x -≤<时，212x x x -++-=4当01x ≤<时，212x x x -++-=24x =-+当1x ≥时，212x x x -++-=2x3． 化简124x x --+-【难度】4星【解析】零点分段法 【答案】解：令10x -=，40x -=，12x -=， ∴零点有1x =，4x =，3x =，1x =-则可以分五段来分类讨论：1x <-，11x -≤<，13x ≤<，34x ≤<，4x ≥ ①当1x <-时，10x -<，40x -<，10x --> ∴11x x -=-+，44x x -=-+，11x x --=--∴原式=124x x -+--+=14x x ---+=14x x ---+=23x -+②当11x -≤<时，10x -<，40x -<，10x --≤ ∴11x x -=-+，44x x -=-+，11x x --=+∴原式=124x x -+--+=14x x ---+=14x x +-+=5③当13x ≤<时，10x -≥，40x -<，30x -< ∴11x x -=-，44x x -=-+，33x x -=-+∴原式=124x x ---+=34x x --+=34x x -+-+=27x -+④当34x ≤<时，10x ->，40x -<，30x -≥ ∴11x x -=-，44x x -=-+，33x x -=-∴原式=124x x ---+=34x x --+=34x x --+=1⑤当4x ≥时，10x ->，40x -≥，30x -> ∴11x x -=-，44x x -=-，33x x -=-∴原式=124x x --+-=34x x -+-=34x x -+-=27x -综上所述，当1x <-时，124x x --+-=23x -+当11x -≤<时，124x x --+-=5当13x ≤<时，124x x --+-=27x -+当34x ≤<时，124x x --+-=1当4x ≥时，124x x --+-=27x -总结复习1．通过本堂课你学会了 ．2．掌握的不太好的部分 ．3．老师点评：① ．② ． ③ ．课后作业1． 化简：2121x x x -++--【难度】3星【解析】零点分段法 【答案】解：令210x -=，20x +=，10x -=， ∴零点有12x =，2x =-，1x = 则可分四段进行讨论：2x <-，122x -≤<，112x ≤<，1x ≥ ①当2x <-时，210x -<，20x +<，10x -< ∴2121x x -=-+，22x x +=--，11x x -=-+∴原式=212(1)x x x -+----+=2121x x x -+--+-=22x -- ②当122x -≤<时，210x -<，20x +≥，10x -< ∴2121x x -=-+，22x x +=+，11x x -=-+∴原式=212(1)x x x -+++--+=2121x x x -++++-=2 ③当112x ≤<时，210x -≥，20x +>，10x -< ∴2121x x -=-，22x x +=+，11x x -=-+∴原式=212(1)x x x -++--+=2121x x x -+++-=4x④当1x ≥时，210x ->，20x +>，10x -≥∴2121x x -=-，22x x +=+，11x x -=- ∴原式=212(1)x x x -++--=2121x x x -++-+=22x +综上所述，当2x <-时，2121x x x -++--=22x -- 当122x -≤<时，2121x x x -++--=2 当112x ≤<时，2121x x x -++--=4x 当1x ≥时，2121x x x -++--=22x +。
苏科版七年级上册数学竞赛讲义：聚焦《绝对值》专题.doc
聚焦《绝对值》【图解考点】求出各个分界点去掉绝对值符号化为一般方程求解 【技法透析】1. 绝对值的基木性质在含冇绝对值式了的运算及变形中，绝对值的性质冇很重要的作用，其主要性质冇: 若a 、b为有理数，贝IJ ： (1) 非负性:©1^1 >0；②若问+ 01=0,则 a=b = 0；绝对值的垂本性质 I a6 | = | a I • \ b \绝对值的相关知识 去绝对值符号的方法 定义 类型 绝对值方程 从数轴上“读取"信息.运用数形结合法去绝对值符号运用••零点分段法”分类讨论去绝对值符号绝对值符号中含冇未知数的方程含爹贡或多个绝对值符号的较复朵的绝对值方程 解绝对值方程的一般步聚 根据未知数的取值范悯分类讨论 若 I a I + | 6 | =0 则 Q =6=0非负性 =a由已知条件去绝对值符号(2)若同=|幵贝ija=±b；£ _Hb~\b\④|a|-|^|< a±b\ <\a\ + \b\.特别关注：若干个非负数之和为0,则这儿个非负数必须同时为0,即：\a\ + \b\+- + n\ =0,贝iJa=b=・・・=n=0.2.去绝对值符号的方法去掉绝对值符号是绝对值化简的关键，而绝对值符号内的数(或式)的止负性的判断是化简的关键，在实际运用中常见的去绝对值符号的方法有：⑴由己知条件去绝对值.(2)从数轴上“读取”相关信息，运用数形结合去绝对值.(3)运用“零点分段法”分类讨论去绝对值，特别关注：对于多个绝对值问题，其解题思路为：求零点、分区间、定性质、去符号, 即令各绝对值代数式为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成若干个区间，再在各区间内化简求值即可.3.绝对值方程(1)最简单的绝对值方程为卜| 它的解法情况如下：①当a>0吋，方程有两解：x=a或x=—a,②当a=0时,方程有一解:x=0,③当a<0时，方程无解.(2)解绝对值方程的一般步骤①求出各个零界点.②根据未知数的収值范围分类讨论.③去绝对值符号，化为一般方程求解，在转化过程小，经常荽用到分类讨论，数形结合等方法.在解题过程中，要充分利用绝对值的意义和性质，善于观察，发掘题目中的隐含条件，从而简化解题过程.特别关注：对于解绝对值方程，零点分段法是一种非常重要的方法.4.绝对值的儿何意义在生活中的应用在实际生活川经常要通过借助数轴模型使复杂的数量关系形象化，简单化，同时乂使实际问题数学化，从而运用绝对伯的几何定义求解.一般地，设山，a2, a3,…％是数轴上依次排列的点表示的有理数,对于卜-q| +卜-°2〔+…卜-4」，贝U：(1)当n为奇数时，此式在x= a n+l时取最小值；~2~(2)当n为偶数时，此式在时取最小值.I r1【名题精讲】赛点1绝对■值的化简【切题技巧】 脱去绝对值符号是绝对俏化简的切入点，而对绝对值符号中的正负性 的判断是化简的关键，木例若直接化简会很繁锁，应从a 的性质入手，由题中条件可知，绝対值符号内均为负数，于是有当a<0时H=-a.每一-( - ------ )・(— --------- )-(— ---------- —)(丄一 1)=— +1=^^2017 2016 2016 2015 2015 2014 2 2017 2017【借题发挥】 绝对值化简关键是要去掉绝对值符号，而要去掉绝对值符号，先要对 绝对值符号中的数(或式)的正负性进行判断.去掉绝对值符号有三种方法，本例町以由 已知条件直接判断各个绝对值符号内均为负数，于是可以利用1迈的性质顺利达到去掉绝 对值符号的目的.赛点2绝对值的分类讨论例 2 若 abc<0, a+b+c>0,且 x= = + £ + ：，试求代数式(1 ~2x)2016—2016 x+ 2016的值.【切题技巧】 解决本题的关键是对a 、b 、c 的符号的所有可能情况进行分类讨论， 由abc<0可知a 、b 、c 中有一个或三个全为负数，又由a+b+c>0知a 、b^ c 不可能全为 负数，所以a 、b 、c 中有一个负数，两个正数.【规范解答】 由abc<0,可知a 、b 、c 中有一个负数或三个全为负数，又由a+b+ c>0知a 、b 、c 不可能全为负数，所以可得a 、b 、c 中有一个负数，两个正数，依x 的轮 换性，不妨设a>0、b>0> cvO •则:x = —+ —+= 1 .所以原代数式的值为：(1—2X1)""—2016X 1+2016=1—2016a b -c+2016=1.【借题发挥】解含绝对值符号的化简求值题的关键，在于善于运用己知条件去掉绝 对值符号，而用分类讨论法是能达到去掉绝对值符号的常用方法.在分类讨论时，分类要 全面、准确、不失一•般性. 【同类拓展】 已知有理数x, y, z 满足xy<0, yz>0,且卜|=3, \y\ =2, |z + l| = 2 ,C. -2 求x + y+z 的值.-2 1 1 + 1 1 + 1 2017 2016 2016 2015 2015+ -- --------- H ------ 1 3 2 2 【规范解答】原式= 1 1 — 1 zlL 凹+日的值是(D ) 【同类拓展「.有理数a, b 的大小关系如图，则心 弭2 WD- -3A. 0B. 1 2014 例1赛点3求卜_1| +卜_2| +卜_3| + ..・+卜_2016|的最小值.【规范解答】由绝对值的几何意义知lx—缶在数轴上表示数x与数a两点Z间的距离,故求原式的最小值就是在数轴上找出表示x的点,使它到1, 2, 3,…，2015, 2016 的点的距离和最小.【规范解答】由绝对值的几何意义可知：求原式的最小值，就是在数轴上找出表示x的点,使它到1, 2, 3,…2016的点的距离之和最小,可看出当1008^x^1009时，原式的值最小，把x=1008代入原式中得:原式=|1008-1| + |1008-2| + |1008-3| + --- + |1008-2016|=1007+1006+1005+-•+1 +0+1 +2+3+・-1008=2 (1+2+3+-1007) +1008【借题发挥】⑴由绝对值的儿何意义可知如图①当aWxWb时，|x-6f| + |x-Z?|的值最小,如图②当x=b时，|x-a| + |x-/?| + |x-c|的值最小.a xb a b(x) c(D ②(2)—般地,设％, a2, a3-a n是数轴上依次排列的点表示的有理数,若n为奇数，则当x= a,”]时，\x-a{\ + \x-a2\ + -- + \x-a n\的值最小；若n 为偶数，则当aa fl WxW a n时,-- ——+]2 2 2卜_ q | +卜_色| +…+卜_ 的值最小.(3)在实际牛活屮，有时需借助数轴模型，使实际问题数学化，从而运用绝对值的几何定义解决问题.如某公共汽车运营线路AB段上有A、B、C、D四个汽车站，如图所示，现在要在AB段上修建一个加油站M,为了使加油站选址合理，要求A、B、C、D四个汽车站到加汕站M的路程总和最小，试分析加汕站M在何处最好？求最小路程总和，即求M到A、B、C、D的距离和最小，不妨设A、B、C、D四点在数轴上且分别表示为数a, b,c, d(a<c<d<b), 点M表示的数为工，则点M到A、B、C、D四点距离和为\x-a\ + \x-b\ + \x-c\ + \x-d 由绝对值儿何定义可求解.【同类拓展】3.某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺次有电脑15台、7台、11台、3台、14台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑, 问怎样调配才能使调出的电脑总台数最少？并求出调出电脑的最少总台数.一小向二小调3台，三小向四小调出1台，五小向四小调出6台，一小向五小调出2 台，这样调出的电脑总数最小数目为12台.赛点4绝对值方程例4 解方程|x-2| + |2x+l| = 10【规范解答】解含绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可采用“零点分段法”，即令x —2=0, 2x+l=0,分别得到x=2, x=—丄用2,—丄将数轴分成三段：2 2£<—夕・一*£工V2，工$2・然示在每一段匕右掉绝对值花号山K懈.【规范解答】分三种情况考虑(1)当工<一*时，原方程可化为：一(工一2) —(2文+1) = 10,解得工=一3•・・一3在所给的范围』<一*内・・・Y=-3是原方程的解.(2)当一2时•原方程可化为一(丁一2) + (2=+1) = 10,解得工=7V7不是所缔的范lfl-y<T<2内・・・」=7不是原方程的解・(3》当工22时，原方程可化为：(x-2)+(2x+l)-10 ・•〜=¥•・・工=¥在所给的范附x>2内，.••工=¥是原方程的解.综上所述山=一3,工=¥是原方程的解•【借题发挥】对于含有多重绝对值符号的方程，可用零点分段法，从内向外逐个去掉绝对值符号，只是在分类讨论时要注意未知数的取值范围，以免出错，如解方程：x-|2x+l||=3,解题时运用“零点分段法”从内向外，根据绝对值的代数定义、性质去简化方程.【同类拓展】4.己知|兀+2田1_兀| = 9_»_5| —11 -y|,求x+y的最大值和最小值.。
初中数学竞赛专题选讲绝对值(含答案)
初中数学竞赛专题选讲（初三.18）绝对值一、内容提要1. 绝对值的定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.用式子表示如下：⎪⎩⎪⎨⎧=<->=)0(0)0()0(a a a a a a2. 初中阶段学习含绝对值符号的代数式化简，方程、不等式的解法，以及函数作图等.解答时，一般是根据定义先化去绝对值符号，这时关健是按已知条件判断绝对值符号内的式子的值是正或是负，若含有变量的代数式，不能确定其正、负时，则采取零点分区讨论法. 例如：（1）化简 )2(-x x解：当x=0, x=2时, )2(-x x =0；当x<0或x>2时, )2(-x x =x(x －2)=x 2－2x ；当0<x<2时，)2(-x x =－x(x －2)=－x 2+x.（2）解方程2-+x x =6.解：当x<0时，x=－2；当0≤x ≤2时，方程无解；当x>2时，x=4.∴原方程的解是：x=－2， x=4..（3）作函数y=2-+x x 的图象.解：化去绝对值符号，得y=－2x+2 (x<0)；y=2 (0≤x ≤2) ；y=2x －2 (x>2).分别作出上述三个函数的图象（如图），就是函数y=2-+x x 的图象. 0 2X<0 0<x<2 x>23. 绝对值的几何意义是：在数轴上一个数的绝对值，就是表示这个数的点离开原点的距离.用这一定义，在解含绝对值符号的方程、不等式时，常可用观察法.例如： ①解方程3=x ； ②解不等式3<x ； ③解不等式32>＋x . 解：①∵3=x 的几何意义是：x 是数轴上到原点的距离等于3个单位的点所表示的数，即3和－3，∴方程3=x 的解是x=3, x=－3.②∵3<x 的几何意义是：x 是数轴上到原点的距离小于3个单位的点所表示的数，∴不等式3<x 的解集是 －3＜x ＜3.③∵2+x 的零点是x=－2,∴32>＋x 的几何意义是：x 是数轴上到点（－2）的距离大于3个单位的点所表示的数，∴32>＋x 的解集是x<－5或x>1.（如下图）4. 绝对值的简单性质：①绝对值是非负数； ②两个互为相反数，它们的绝对值相等.根据这些性质，可简化函数的作图步骤. 例如：（1）对整个函数都在绝对值符号内时，可先作出不含绝对值符号的图象，再把横轴下方的部份，绕x 轴向上翻折作函数图象：①y=1-x ②y=22--x x1-2 0 --5（2） 当f （－x ）=f(x),图象关于纵轴对称，这时可先作当x<0时函数图象，再画出关于纵轴对称的图象.例如：y=x 2－2x －3的图象， 可先作y=x 2+2x －3自变量x<0时的图象（左半图） 再画右半图（与左半图关于纵轴对称）.（3） 把y=x 的图象向上平移a 个单位，所得图象解析式是y=a x +；把y=x 的图象向右平移3个单位，所得图象解析式是y=3－x .（4） 利用图象求函数最大值或最小值，判断方程解的个数都比较方便.二、例题例1. 已知方程x ＝ax+1有一个负根并且没有正根，求a 的值.（1987年全国初中数学联赛题）解：当x<0时，原方程为－x=ax+1, x=011<+a －, ∴ a+1>0. ∴a>－1；当x>0时，原方程为x=ax+1, x=011>a－, ∴1－a>0. ∴a<1.∵方程有一个负根并且没有正根，∴a>－1且a ≮1，∴a 的取值范围是a ≥1.例2. 求函数y=2x x -3－的最小、最大值. 解：当x<0时， y=－x+6； 当0≤x<3时，y=－3x+6；当x ≥3时， y=x －6 .根据图象有最低点而没有最高点∴函数没有最大值只有最小值－3(当x=3时).例3. 解方程：①x x -=+42； ②421=-++x x .解：①∵点（x ）到点A （－2）和点B （4）的距离相等（如下图），∴x=1.②∵点（x ）到点A （－1）与到点B （2）的距离的和等于4，AB ＝3∴x=2.5, x=-1.5.例4. 解不等式: ①1≤2+x ≤3； ②121>--+x x .解：①点（x ）到点A （－2）的距离大于或等于1而小于或等于3在数轴上表示如图，∴不等式的解集是： －5≤x ≤－3 或－1≤x ≤1②点(x) 到点(-1)的距离，比到点(2)的距离大1个单位以上.在数轴上表示，如图：∴不等式的解集是x>1.例5. a 取什么值时，方程a x =--12 有三个整数解？ (1986年全国初中数学联赛题)解：化去绝对值符号，得12--x =±a, 2-x =1±a , x －2=±(1±a)，∴x=2±(1±a) .当a=1时，x 恰好是三个解4，2，0.用图象解答更直观；（1）先作函数 y=12--x 图象，（2）再作y=a(平行于横轴的直线 )与y=12--x 图象相交，恰好是三个交点时，y=1,即a=1.本题若改为：有四个解，则0<a<1；两个解，则 a=0 或a>1；一个解，则a 不存在；无解，则a<0.三、练习1. 方程3+x =4的解是＿＿＿＿＿＿＿.2. 方程6-2-+x x =0的解是________.3. 方程21-++x x =3的解是________.4. 方程x x +-3=5的解是＿＿＿＿＿＿＿.5. 不等式2≤3 -x ≤5的解集是___________________.6. 不等式21-++x x <5的解集是_______________________.7. 不等式21-++x x <3的解集是_______________________.8. 不等式11-2-<x x 的解集是_______________________.9. 已知=-2)3(x 3-x, 那么 =+-x x 1_______________.10. 关于x 的方程x =ax+2有根且只有负根，求a 取值范围.11. a 取什么值时，方程a x =--12无解？有解？有最多解？12. 作函数y=312-+-++x x x 的图象；并求在－3≤x ≤3中函数的最大、最小值.13. 解方程451=-+-x x .14. 作函数y=12+-x x 的图象.15. 选择题：①.对于实数x ，不等式1≤｜x －2｜≤7等价于（ ）（A ） x ≤1或x ≥3 （B ）1≤x ≤3 （C ）－5≤x ≤0（D ）－5≤x ≤1或3≤x ≤9 （E ）－6≤x ≤1或3≤x ≤10②不等式｜x －1｜+｜x+2｜<5的所有的实数解的集合是（ ）（A ）{}23<<-x x ：(B) {}21<<-x x ： (C) {}12<<-x x ： (D) {}5.35.1<<-x x ：(E) φ（空集）参考答案1. －7，1.2. .2. –2.3. 3. –1≤x ≤2.4. 4. –1，4.5. 5.－2≤x ≤0， 5≤x ≤86. –2<x<37.空集.28. 0<x<39.当x<1时，原式=1；当1≤x≤3时，原式=2x－1.10.仿例1.11.仿例512. 函数的最大值是11，最小值是5.13. 1≤x≤5.15.(D),(A).。
数学竞赛专题讲座七年级第4讲解读绝对值(含答案)
第四讲 解读绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数运算及后续算术根的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程（组)、解不等(组)等问题有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面人手：l ．去绝对值的符号法则：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a2．绝对值基本性质 ①非负性：0≥a ；②ba ab ⋅=；③)0(≠=b ba b a； ④222a a a ==；⑤ba b a +≤+；⑥ba b a b a +≤-≤-．3．绝对值的几何意义从数轴上看，a 表示数a 的点到原点的距离(长度，非负)；b a -表示数a 、数b 的两点间的距离．例题讲解【例1】(1)已知1=a ，2=b ，3=c ，且c b a >>，那么c b a -+＝ ． (北京市“迎春杯”竞赛题) (2)已知d c b a 、、、是有理数，9≤-b a ，16≤-d c ，且25=+--d c b a ，那么=---c d a b ． (“希望杯”邀请赛试题)（3）已知5=x ，1=y ，那么=+--y x y x _________．（北京市“迎春杯”竞赛题） （4）非零整数m 、n 满足05=-+n m ，所有这样的整数组),(n m 共有______组． （首届江苏省数学文化节基础闯关题）思路点拨 (1)由已知条件求出c b a 、、的值，注意条件c b a >>的约束；(2)若注意到9+16＝25这一条件，结合绝对值的性质，问题可获解；（3）既可以对x ，y 的取值进行分类求解，又可以利用绝对值的几何意义解；（4）从把5拆分成两个正整数的和入手．【例2】 如果c b a 、、是非零有理数，且0=++c b a ，那么abcabc c c b b a a +++的所有可能的值为( )．A ．0B ． 1或1-C ．2或2-D ．0或2- (山东省竞赛题) 思路点拨 根据b a 、的符号所有可能情况，脱去绝对值符号，这是解本例的关键． 【例3】已知12--b •ab 与互为相反数，试求代数式：)2002)(2002(1)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a ab 的值． (“五羊杯”竞赛题) 思路点拨 运用相反数、绝对值、非负数的概念与性质，先求出b a 、的值．【例4】化简(1)12-x ； (2)31-+-x x ； (3)121++--x x ．思路点拨 (1)就012012<-≥-x x ，两种情形去掉绝对值符号；(2)将零点1，3在同一数轴上表示出来，就1<x ，1≤x<3，x ≥3三种情况进行讨论；(3)由02101=--=+x x ，，得3,11==-=x x x ，．【例5】已知a 为有理数，那么代数式4321-+-+-+-a a a a 的取值有没有最小值？如果有，试求出这个最小值；如果没有，请说明理由．思路点拨 a 在有理数范围变化，4321----a a a a 、、、的值的符号也在变化，解本例的关键是把各式的绝对值符号去掉，为此要对a 的取值进行分段讨论，在各种情况中选取式子的最小值．链接：①我们把大于或等于零的数称为非负数，现阶段a 、n a 2是非负数的两种重要形式，非负数有如下常用性质： (1)a ≥0，即非负数有最小值为0；(2)若0=+++h b a ，则0====h b a②形如(2)的问题称为多个绝对值问题，解这类问题的基本步骤是：求零点、分区间、定性质、去符号、即令各绝对值代数式为0，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可．请读者通过本例的解决，仔细体会上述解题步骤．【例6】已知36)13)(12)(21(=++-++--++z z y y x x ，求z y x 32++的最大值和最小值． （“希望杯”邀请赛试题） 思路点拨 解本例的关键是利用绝对值的几何意义确定括号内每个式子的取值范围．基础训练1．若有理数x 、y 满足+-2)1(2002x 0112=+-y x ，则=+22y x ． 2．已知5=a ，3=b ，且a b b a -=-，那么b a += ． 3．已知有理数c b a 、、在数轴上的对应位置如图所示：则b a c a c -+-+-1化简后的结果是 ． （湖北省选拔赛题) 4．若b a 、为有理数，那么，下列判断中：(1)若b a =，则一定有b a =； (2)若b a >，则一定有b a >； (3)若b a >，则一定有b a >；(4)若b a =，则一定有22)(b a -=．正确的是 (填序号) ．5．已知数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数a ，1，1-，那么1+a 表示( )． A ．A 、B 两点的距离 B ．A 、C 两点的距离C ．A 、B 两点到原点的距离之和D ． A 、C 两点到原点的距离之和 (江苏省竞赛题) 6．已知a 是任意有理数，则a a --的值是( )．A ．必大于零B ．必小于零C 必不大于零D ．必不小于零7．若1++b a 与2)1(+-b a 互为相反数，则a 与b 的大小关系是( )． A ．b a > B ．b a = C ．b a < D ．b a ≥8．如图，有理数b a 、在数轴上的位置如图所示，则在b a +，a b 2-，a b -，b a -，2+a ，4--b 中，负数共有（ ） A ． 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9．化简：(1)3223++-x x ； (2)1331++--x x ．10．求满足1=+-ab b a 的非负整数对),(b a 的值． (全国初中联赛题) 11．若2-<x ，则=+-x 11 ；若a a -=，则=---21a a ． 12．能够使不等式0)1)((<+-x x x 成立的x 的取值范围是 ． l3．a 与b 互为相反数，且54=-b a ，那么12+++-ab a b ab a ＝ ． 14．设c b a 、、分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且c b a ≤≤，则a c cb b a -+-+-可能取得的最大值是 ． (江苏省竞赛-232ba1-1题) 15．使代数式xx x 43-的值为正整数的x 值是( )．A ．正数 B ．负数 C ．零 D ．不存在的16．如果02=+b a ，则21-+-bab a 等于（ ）． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 17．如果150<<p ，那么代数式1515--+-+-p x x p x 在15≤≤x p 的最小值是（ ）．A ．30 B ．0 C ．15 D ．一个与p 有关的代数式 18．设0=++c b a ，0>abc ，则cba b a c a c b +++++的值是（ ）． A ．3- B ．1 C ．3或1- D ．3-或1 19．有理数c b a 、、均不为零，且0=++c b a ，设ba c ac b cb a x +++++=，试求代数式20029919+-x x 的值．20．若c b a 、、为整数，且19919=-+-ac b a ，求c b b a a c -+-+-的值．21．已知1,1≤≤y x ，设421--++++=x y y y x M ，求M 的最大值与最小值．22．已知02003200232120032002321=-+-++-+-+-x x x x x ， 求代数式20032002212222x x x x+--- 的值．答案：1. 37362.-2或-83.1-2c+b4.(4)5.D6.D7.C8.A9.(1)原式=351()2325()23251()3x xx xx x⎧--<-⎪⎪⎪-+-≤<⎨⎪⎪+≥⎪⎩(2)原式=43(2)121(2)3143(1)325(14)43(4)x xx xx xx xx x--<-⎧⎪⎪-+-≤<-⎪⎪⎪+-≤<⎨⎪+≤<⎪⎪-≥⎪⎪⎩10.(a,b)=(1,0),(0,1),(1,1) 提示:由条件得||1a bab-=⎧⎨=⎩或||01a bab-=⎧⎨=⎩11.-2-x、-1 12.x<-1 提示:因│x│≥x,│x│-x≥0,故1+x<0.13. 425提示:ab=-b2=-│b│2=-42514.16 15.D** 提示:原式= 17.C 18.B19.提示:a、b、c中不能全同号,必一正二负或二正一负,得a=-(b+c),b=-(c+a),c=-(a+b),即ab c+=-1,bc a+=-1,ca b+=-1,所以||ab c+,||bc a+,||ca b+中必有两个同号,另一个符号与其相反,•即其值为两个+1,一个-1或两个-1,一个+1,x=1,原式=1904. 20.提示:a、b、c都为整数,则a-b、c-a均为整数,则│a-b│、│c-a•│为两个非负整数,│a-b│19+│c-a│99=1, 只能│a-b│19=0且│c-a│99=1…………①或│a-b│19=1且│c-•a│99=0……………②,由①得a=b,且│c-a│=1,│b-c│=│c-a│=1;由②得c=a,且│a-b│=1,•│b-c│=│a-b│=1,无论①或②,都有│a-b│+│c-a│=1,且│b-c│=1,故│c-a│+•│a-b│+│b-c│=2.21.提示:-1≤x≤1,-1≤y≤1,│y+1│=y+1,│2y-x-4│=4+x-2y,当x+y≤0时,•M=5-2y,得3≤M≤7;当x+y≥0时,M=2x+5,得3≤M≤7;又当x=-1,y=1时,M=3;当x=-1,•y=-1时,M=7,故M的最大值为7,最小值为3.22.由题意得:x1=1,x2=2,… ,x2003=2003,原式=2-22-23-…22002+22003=22003-22002-…23-22+2=22002(2-1)-•22001-…-22+2=22002-22001-…-23-22+2=24-23-22+2=6.提高训练1．计算：214131412131---+-=______． (重庆市竞赛题)2．代数式131211++-++x x x 的最小值为______． （北京市“迎春杯”竞赛题） 3．已知c b a <<<0，化简式子：c b a c b a b a -+--++-2得______．4．若a 、b 、c 、d 为互不相等的有理数，且1=-=-=-b d c b c a 那么=-d a ___． 5．设a 是有理数，则a a -的值（ ）．A ．可以是负数B ．不可能是负数C ．必是正数D ．可以是正数，也可以是负数 （广东省中考题） 6．已知m m -=，化简21---m m 所得的结果是________． 7．若3=a ，5=b ，那么b a b a --+的绝对值等于________．（“希望杯”邀请赛试题） 8．有理数a 、b 、c 的大小关系如图，则下列式子中一定成立的是（ ）． A ．0>++c b a B ．c b a <+ C ．c a c a +=- D ．a c c b ->-9．已知abcabc cc bb aa x +++=，且a 、b 、c 都不等于0，求x 的所有可能值．（第2届“华罗庚杯”香港中学竞赛题） 10．已知a 、b 、c 满足0))()((=+++a c c b b a ，且0<abc ，则代数式ccb b a a ++的值为______． （四川省竞赛题） 11．若有理数m 、n 、p 满足1=++pp nn mm ，则mnpmnp32=______．cb a（“希望杯”邀请赛试题） 12．设a 、b 、c 是不为零的有理数，那么ccb b a a x -+=的值有（ ）． A ．3种 B ．4种 C ．5种 D ．6种 （“希望杯”邀请赛试题） 13．如图，已知数轴上的点A 、B 、C 所对应的数a 、b 、c 都不为零，且C 是AB 的中点．如果0222=-+--+--+c b a c b c a b a ，那么原点O 的位置在（ ）． A ．线段AC 上 B ．线段CA 的延长线上 C ．线段BC 上 D ．线段CB 的延长线上（江苏省竞赛题） 14．若2-<x ，则x y +-=11等于（ ）．A ．x +2B ．x --2C ．xD ．x - (四川省竞赛题) 15．已知a 、b 、c 、d 是有理数，9≤-b a ，16≤-d c ，且25=+--d c b a ，求c d a b ---的值． （“希望杯”邀请赛试题）16．▲在数轴上把坐标为1,2,3，…，2006的点称为标点，一只青蛙从点1出发，经过2006次跳动，且回到出发点，那么该青蛙所跳过的全部路径的最大长度是多少？说明理由． （山东省竞赛题）B C A cba。
(完整版)七年级奥数：绝对值
七年级奥数：绝对值阅读与思考绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面： 1．去绝对值符号法则(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2．绝对值的几何意义从数轴上看，即表示数a 的点到原点的距离，即代表的是一个长度，故表示一个非负数．3．绝对值常用的性质222(1) ||0 (2) |||| (3) |||||| (4)(0)||(5) |||||| (6) ||||||a a a a a a ab a b b b b a b a b a b a b ===⋅=≠++-- 例题与求解例1 已知=5，=3，且=b －a ，那么a ＋b = .(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路 由已知求出a 、b 的值，但要注意条件=b －a 的制约，这是解本例的关键．例2 如果0＜p ＜15,那么代数式＋＋在p ≤x ≤15的最小值是( )．(湖北省黄冈市竞赛题)(A )30 (B )0 (C )15 (D )一个与P 有关的代数式解题思路 设法脱去绝对值符号是解绝对值有关问题的基本思路，就本例而言，应结合已知条件判断每一个绝对值符号内代数式值的正负性．例3 已知12320022003123200220030x x x x x -+-+-++-+-=,求代数式3200220031222222x x x x x ----+的值.解题思路 运用绝对值、非负数的概念与性质，先求出x 、x 、x …x 、x 的值，a a a ab b a -b a -p x -15-x 15--p x 12320022003注意2－2的化简规律．例4 设a 、b 、c 是非零有理数，求+++++＋的值．(“希望杯”邀请赛试题)解题思路 根据a 、b 、c 的符号的所有可能情况讨论，化去绝对值符号，这是解本例的关键．例5 若a 、b 、c 为整数，且＋=1，试求+＋的值．(北京市“迎春杯”竞赛题)解题思路 1写成两个整数的和的形式有几种可能?1写成两个非负整数的和的形式又有几种可能?这是解本例的突破口．能力训练A 级1．若m 、n 为有理数，那么，下列判断中： (1)若∣m ∣=n ，则一定有m =n ；(2)若∣m ∣>n ，则一定有∣m ∣>∣n ∣； (3)若∣m ∣<∣n ∣，则一定有m <n ；(4)若∣m ∣=n ，则一定有m =(-n )。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页初中奥数辅导讲义培优计划（星空课堂）第一讲走进追问求根公式第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理第四讲明快简捷—构造方程的妙用第五讲一元二次方程的整数整数解第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想第八讲由常量数学到变量数学第九讲坐标平面上的直线第十讲抛物线第十一讲双曲线第十二讲方程与函数第十三讲怎样求最值第十四讲图表信息问题第十五讲统计的思想方法第十六讲锐角三角函数第十七讲解直角三角形第十八讲圆的基本性质第十九讲转化灵活的圆中角2第二十讲直线与圆第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理第二十三讲圆与圆第二十四讲几何的定值与最值第二十五讲辅助圆第二十六讲开放性问题评说第二十七讲动态几何问题透视第二十八讲避免漏解的奥秘第二十九讲由正难则反切入第三十讲从创新构造入手3第一讲走进追问求根公式形如a某2b某c0（a0）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。
而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。
求根公式某1,2bb24ac内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了2a一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。
解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。
【例题求解】【例1】满足(n2n1)n21的整数n有个。
思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。
【例2】设某1、某2是二次方程某2某30的两个根，那么某134某2219的值等于（）A、一4B、8C、6D、0思路点拨：求出某1、某2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如某123某1，某223某2。
3.绝对值问题(含答案)-
绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x ≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
人教版初中数学同步讲义七年级上册第04讲 绝对值(解析版)
【即学即练 1】
14．画一条数轴，然后在数轴上画出表示下列各数的点；并比较大小． ﹣1 ，2，3，﹣2.7，1 ，﹣3，0． 【解答】解：画出数轴并在数轴上表示出各数：
故答案为：±5．
【即学即练 2】
9．已知 a＝﹣5，|a|＝|b|，则 b 的值为（ ）
A．±5
B．﹣5
C．+5
【解答】解：|b|＝|a|＝|﹣5|＝5，
则 b＝±5．
故选：A．
【即学即练 3】
10．绝对值等于 5 的数是
，它们互为
．
【解答】解：∵一个数的绝对值等于 5，
设这个数位 a，
则|a|＝5，
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵|a|＝a，|b|＝﹣b，
∴a≥0，b≤0，
∵|a|＞|b|，
∴a＞﹣b．
． 故选：C．
知识点 06 有理数的大小比较
1. 有理数的大小比较： ①定义法：正数 ＞ 0，0 ＞ 负数，所以正数 ＞ 负数。负数与负数进行比较时，绝对
值大的负数反而 小 。 ②数轴比较法：数轴上右边所表示的数一定 ＞ 数轴上左边所表示的数。 ③两个负数进行比较时，绝对值大的数反而 小 。 题型考点：①根据绝对值求范围。
D．﹣3
则 x﹣y＝2﹣1＝1，
所以 x﹣y 的相反数为﹣1．
故选：A．
【即学即练 2】
5．若|a|+|b|＝0，则 a 与 b 的大小关系是（ ）
A．a＝b＝0
B．a 与 b 互为倒数
C．a 与 b 异号
D．a 与 b 不相等
【解答】解：∵|a|+|b|＝0，|a|≥0，|b|≥0，
∴|a|＝0，|b|＝0，
2024-2025学年北师大版七年级数学上册阶段拔尖专训4 绝对值的常见应用
阶段拔尖专训4 绝对值的常见应用|高分秘师|运用绝对值解决问题，在初中代数中具有重要的意义，利用绝对值的知识一般可以将问题化归，结合分类讨论思想、数形结合思想解决问题，从而达到化难为易、化繁为简的目的.应用1 绝对值在比较大小中的应用1.比较−|−734|和一(-4)的大小.应用2 绝对值在数轴中的应用2.我们知道，|x|表示x在数轴上对应的点到原点的距离，|x|我们可以看成|x-0|.所以|x-a|就表示x与a在数轴上对应的两点之间的距离.若|x+3|=5，则x=.3.[2024济南市中区月考]已知在数轴上A，B两点分别表示的数是a和b,|a|=2,|b|=4,|a-b|=a--b，点P 在数轴上且与点A，点B 的距离相等，则点P 表示的数为.应用3 绝对值的非负性在求字母值或取值范围中的应用4.若|a-1|=a-1,则a的取值范围是( )A. a≥1B. a≤1C. a<1D. a>15.如果|x-2|=2-x,那么x的取值范围是.6.[2024天津和平区模拟]已知|x-3|+|y+5|=0,求|x+y|的值.应用4 绝对值在化简中的应用7. 新考法零点分段法化简:|x--1|+|x-3|.8. 新考法分类讨论法已知a，b，c均不为零，求a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|的值.应用5 绝对值的几何意义在求字母值或最值中的应用9. 母题教材P73复习题T17绝对值不大于a(a>0，且a为整数)的所有整数共有5个，则( a=.10. 新视角学习探究题/同学们都知道，|5-1|表示5与1的差的绝对值，也可以表示数轴上5 和1这两点间的距离；|3--(-2)|表示3与-2的差的绝对值，实际上也可理解为3与--2在数轴上所对的两点之间的距离；自然地，对|3-(-2)|进行变形得|3+2|，同样可以表示3与-2在数轴上所对的两点之间的距离.试探索：(1)|3--(-2)|= ;(2)|x-2|表示x与之间的距离;|x+3|表示x与之间的距离;(3)当|x-2|+|x+3|=5时,x可取整数.(写出一个符合条件的整数x即可)(4)由以上探索，结合数轴猜想：对于任何有理数x，|x+4|+5的最小值为.(5)由以上探索，结合数轴猜想：对于任何有理数x，|x+4|+|x-6|的最小值为.(6)解决问题：一条笔直的公路边有三个代工厂A，B，C和城区O，代工厂A，B，C分别位于城区左侧5km,右侧1km,右侧3km. A代工厂需要芯片1000个,B代工厂需要芯片2 000个,C代工厂需要芯片3 000 个.现需要在该公路边建一个芯片研发实验室P，为这3个代工厂输送芯片.若芯片的运输成本为每千米1元/千个，那么实验室P 建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少? (实验室不能建在代工厂及城区处)阶段拔尖专训4 绝对值的常见应用1.【解】因为−|−734|=−734,−(−4)=4,m−734<4,所以−|−734|<−(−4).2.-8或2 【点拨】因为|x+3|=5,所以数轴上表示数x的点到表示数-3的点的距离为5.所以x的值为-8或2.3.-1或-3 【点拨】因为|a|=2,|b|=4,所以a=±2,b=±4.因为|a-b|=a-b,所以a-b≥0.所以a≥b.所以a=2,b=-4或a=-2,b=-4.当a=2,b=-4时,因为点P在数轴上且与点A,点B的距离相等，所以点P 表示的数为2−42=−1;当a=-2,b=-4时,因为点P在数轴上且与点A,点B的距离相等，所以点P表示的数为−2−42=−3.所以点P 表示的数为-1或-3.4. A5. x≤26.【解】因为|x-3|+ lg+5|=0,|x-3|≥0,|y+5|≥0,所以x-3=0,y+5=0.所以x=3,y=-5.所以|x+y|=|3+(-5)|=2.7. 【解】当x≥3时,原式=(x-1)+(x-3)=2x-4;当1<x<3时,原式=(x-1)+(3-x)=2;当x≤1时,原式=(1-x)+(3-x)=4-2x.【点拨】要去掉两个绝对值的符号，就要同时确定两个绝对值里的式子的正负号，可以使用零点分段法，用分类讨论的思想方法来解.8. 【解】(1)当a,b,c均为正数时, a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=1+1+1+1=4;(2)当a，b，c中，有两个正数，一个负数时，不妨设a，b为正，c为负. a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=1+1+(−1)+(--1)=0;(3)当a，b，c中，有一个正数，两个负数时，不妨设a为正，b，c为负. a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=1+(−1)+(−1)+1=0;(4)当a,b,c均为负数时, a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=(−1)+(--1)+(-1)+(-1)=-4.综上，原式的值为-4或0 或4.【点拨】当a为正数时，a|a|=aa=1;当a为负数时，a|a|=a−a=−1.b,的情况类似.本题应根据a，b，c所有可能,出现的符号情况进行讨论.9.210. 【解】(1)5 (2)2;-3(3)2(答案不唯一) 【点拨】因为|x-2|+|x+3|=5 表示数轴上有理数x所对应的点到2 和-3所对应的点的距离之和为5，所以x在-3与2之间的线段上(即-3≤x≤2).所以x可取整数-3,-2,-1,0,1,2.(4)5(5)10 【点拨】因为|x+4|+|x-6|可理解为在数轴上表示x的点到表示一4 和6 的点的距离之和，所以当x在-4与6之间的线段上(即-4≤x≤6)时,|x+4|+|x-6|的值有最小值，最小值为10.(6)以城区O为原点，原点右侧为正方向，1km为1个单位长度，建立数轴，设实验室P 所对应的数为x.根据题意可得,x≠-5,0,1,3,芯片的运输成本为|x+5|+2|x-1|+3|x-3|=(|x+5|+|x-3|)+2(|x-1|+|x-3|)(元).(|x+5|+|x-3|)+2(|x--1|+|x-3|)可表示x到-5的距离与x到3的距离之和，和x到1的距离与x到3的距离之和的2倍的总和，则当1<x<3时，|x+5|+2|x--1|+3|x-3|取得最小值,此时|x+5|+2|x-1|+3|x-3|=x+5+2(x-1)-3(x-3)=12.所以实验室P建在B 代工厂和C代工厂之间，才能使总运输成本最低，最低成本是12 元.。