二次函数图像性质及应用
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质二次函数（quadratic function）是数学中的一类函数，其表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。
这种函数的图像是一条抛物线，其特点是拥有许多有趣的性质和图像的变化规律。
本文将对二次函数的图像与性质进行详细说明。
一、基本形式二次函数的基本形式为y = ax^2，其中a为二次函数的系数，决定了抛物线的开口方向和形状。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二、顶点二次函数的顶点（vertex）是抛物线的最高点（若开口向下）或最低点（若开口向上）。
顶点可通过求导数或利用抛物线的对称性求得。
顶点的横坐标为x = -b/2a，纵坐标为y = f(x)，其中f(x)为二次函数的表达式。
三、对称轴二次函数图像的对称轴（axis of symmetry）是通过抛物线的顶点，并且与抛物线相互对称的一条直线。
对称轴的方程可以通过对抛物线的表达式进行简单计算得到。
四、焦点和准线焦点（focus）和准线（directrix）是二次函数图像的两个重要元素。
焦点是指在平面上向外弯曲的抛物线上的一个特定点。
焦点的横纵坐标可通过复杂的求解方法得到，这里不再详述。
准线是通过焦点以及与对称轴垂直的直线上的特定点构成的直线段。
准线的方程也可通过复杂的计算得到。
五、零点二次函数的零点（zeros）是函数表达式等于零的横坐标。
其求取方法可以通过方程ax^2 + bx + c = 0来求解。
根据求根公式，可得有两个根、一个根或者无实根。
六、图像的变化规律通过改变二次函数的参数a、b、c的数值，可以使得二次函数的图像发生各种变化。
以下是几种常见的变化规律：1. 改变a的值，a越大，抛物线越“扁平”，开口越朝上或者朝下。
2. 改变b的值，b为线性项的系数，可以使抛物线左右平移。
3. 改变c的值，c为常数项的系数，可以使抛物线上下平移。
七、应用二次函数的图像与性质在实际生活中有广泛的应用。
二次函数的图像和性质
二次函数的图像和性质二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学、物理、经济等领域中都具有广泛的应用。
本文将介绍二次函数的图像和性质，并通过实例来说明其在实际问题中的应用。
一、二次函数的定义与图像二次函数是指形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
这里的x和y分别代表自变量和因变量，a、b、c则决定了二次函数的图像特征。
根据a的正负性可以判断二次函数的开口方向。
当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
二次函数的图像一般呈现为一个平滑的曲线，被称为抛物线。
抛物线的顶点坐标为(-b/2a, -Δ/4a)，其中Δ=b²-4ac，代表二次函数的判别式。
二、二次函数的性质1. 零点和因子定理：二次函数的零点即方程y=ax²+bx+c=0的解。
根据因子定理，零点等于函数的因子。
2. 对称轴和对称性：二次函数的对称轴为直线x=-b/2a，对称轴将抛物线分成两个对称的部分。
3. 最值和极值点：当a>0时，二次函数的最值为最小值；当a<0时，二次函数的最值为最大值。
最值点即为抛物线的顶点。
4. 单调性：当a>0时，二次函数在对称轴的左侧递增，在对称轴的右侧递减；当a<0时，二次函数在对称轴的左侧递减，在对称轴的右侧递增。
5. 范围与值域：当a>0时，二次函数的值域为[0, +∞)，即非负实数集；当a<0时，二次函数的值域为(-∞, 0]，即非正实数集。
三、二次函数的应用实例在物理学中，二次函数常用于描述抛体运动的轨迹。
例如，抛体的运动轨迹满足二次方程，通过对抛体运动关键点的分析，可以确定抛体的初速度、最高点高度、时间等。
在经济学中，二次函数可以用来描述成本、收益等与产量之间的关系。
例如，某企业的生产成本与产量之间满足二次函数关系，通过分析二次函数的图像和性质，可以确定产量对应的成本最小值。
此外，二次函数还在建筑设计、生态学等领域发挥着重要作用。
二次函数图像与性质分析
二次函数图像与性质分析引言：二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
本文将对二次函数的图像和性质进行详细的分析，帮助读者更好地理解和应用二次函数。
一、二次函数的定义和一般形式二次函数是指形式为y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口方向取决于a的正负。
二、二次函数的图像特征1. 抛物线的开口方向当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
这是因为二次函数的一次导数是一次函数，其斜率为常数，因此二次函数的图像是平滑的曲线。
2. 抛物线的顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，其横坐标为-x轴对称的点，纵坐标为函数值最大或最小的点。
顶点的坐标可以通过求导数或使用顶点公式来确定。
3. 抛物线的对称轴二次函数的对称轴是通过顶点的垂直线，对称轴方程的形式为x=h，其中h为顶点的横坐标。
4. 抛物线的焦点和准线当抛物线开口向上时，焦点在对称轴上方，准线在对称轴下方；当抛物线开口向下时，焦点在对称轴下方，准线在对称轴上方。
焦点和准线的计算可以使用焦点公式和准线公式。
三、二次函数的性质分析1. 零点和因式分解二次函数的零点是函数值为0的横坐标，可以通过求解二次方程来求得。
而二次函数可以因式分解为两个一次因子的乘积形式，这在求解零点和分析函数性质时非常有用。
2. 增减性和极值二次函数的增减性取决于二次项系数a的正负。
当a>0时，函数在对称轴两侧递增；当a<0时，函数在对称轴两侧递减。
二次函数的极值即为顶点，当a>0时，函数有最小值；当a<0时，函数有最大值。
3. 零点和系数的关系二次函数的零点与系数之间存在着重要的关系。
对于形式为y=ax^2+bx+c的二次函数，其零点的和为-x轴对称点的横坐标的相反数，即x1+x2=-b/a；而零点的乘积等于常数项c的相反数，即x1*x2=c/a。
二次函数的性质及应用
二次函数的性质及应用二次函数是一类形式为y = ax² + bx + c（a ≠ 0）的函数，它在数学中具有重要的性质和广泛的应用。
本文将介绍二次函数的性质以及它在实际问题中的应用。
一、二次函数的性质1. 函数图像二次函数的图像通常为抛物线，具体的形状取决于a的正负和大小：- 当a > 0时，图像开口向上，形状类似于“U”字型；- 当a < 0时，图像开口向下，形状类似于倒置的“U”字型。
2. 对称性二次函数关于其顶点具有对称性。
设二次函数的顶点坐标为(h, k)，则函数图像关于直线x = h对称。
3. 零点与判别式二次函数的零点即为方程ax² + bx + c = 0的解。
一元二次方程的判别式Δ = b² - 4ac可以判断二次函数的零点情况：- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根，函数图像与x轴有两个交点；- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根，函数图像与x轴有一个切点；- 当Δ < 0时，方程无实根，函数图像与x轴无交点。
4. 极值点二次函数在最高点（开口向下）或最低点（开口向上）取得极值。
当二次函数开口向上时，极小值等于函数的最低点y = k；当二次函数开口向下时，极大值等于函数的最高点y = k。
二、二次函数的应用1. 物理学应用二次函数在物理学中有广泛的应用，例如抛物线运动。
抛物线运动可以用二次函数的形式进行建模，通过分析和解决相关的二次函数问题，可以求得抛物线物体的最高点、运动轨迹等信息。
2. 经济学应用经济学中的一些问题也可以通过二次函数来描述和解决。
比如，成本函数和利润函数常常使用二次函数来表示，通过求解这些二次函数的极值点，可以确定最低成本、最大利润等关键数据。
3. 工程学应用工程学中的一些问题也可以用二次函数进行建模。
比如，在建筑设计中，可以用二次函数来描述一个拱形或穹顶的形状；在电子工程中可以通过二次函数来描述某些电子元件的特性和响应等等。
二次函数图像的性质与解析
二次函数图像的性质与解析一、二次函数的定义与标准形式1.二次函数的定义：一般地，形如y=ax^2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
2.二次函数的标准形式：y=a(x-h)2+k，其中顶点式y=a(x-h)2+k的图像为抛物线，a为抛物线的开口方向和大小，h、k为顶点坐标。
二、二次函数图像的性质1.开口方向：由a的符号决定，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
2.对称性：二次函数图像关于y轴对称，即若点(x,y)在图像上，则点(-x,y)也在图像上。
3.顶点：二次函数图像的顶点为抛物线的最高点或最低点，顶点式y=a(x-h)^2+k中，(h,k)为顶点坐标。
4.轴：二次函数图像与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根，与y轴的交点为c/a。
5.增减性：当a>0时，二次函数图像在顶点左侧单调递减，在顶点右侧单调递增；当a<0时，二次函数图像在顶点左侧单调递增，在顶点右侧单调递减。
三、二次函数图像的解析1.求顶点：根据顶点式y=a(x-h)^2+k，直接得出顶点坐标为(h,k)。
2.求对称轴：对称轴为x=h。
3.求开口大小：开口大小由a的绝对值决定，绝对值越大，开口越大。
4.求与坐标轴的交点：与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根，与y轴的交点为c/a。
5.判断增减性：根据a的符号，判断二次函数图像在顶点两侧的单调性。
四、二次函数图像的应用1.实际问题：利用二次函数图像解决实际问题，如抛物线与坐标轴的交点问题、最值问题等。
2.几何问题：利用二次函数图像研究几何图形的性质，如求解三角形面积、距离等问题。
3.物理问题：利用二次函数图像研究物理现象，如抛物线运动、振动等。
五、二次函数图像的变换1.横向变换：对二次函数y=ax2+bx+c进行横向变换，如向左平移h个单位，得到y=a(x+h)2+k；向右平移h个单位，得到y=a(x-h)^2+k。
二次函数的性质及图像分析
二次函数的性质及图像分析引言：二次函数是高中数学中一个重要的概念，它在数学和实际问题中都有广泛的应用。
本文将介绍二次函数的性质及图像分析，帮助读者更好地理解和应用二次函数。
一、二次函数的定义与一般形式二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为实数且a≠0。
其中，a决定了二次函数的开口方向和开口的大小，b决定了二次函数的对称轴位置，c决定了二次函数的纵轴截距。
二、二次函数的图像特点1. 开口方向：当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
2. 对称轴：二次函数的对称轴是一个垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/2a。
3. 零点：二次函数与x轴的交点称为零点，即使y=0的解，可以通过求解二次方程ax^2+bx+c=0得到。
4. 极值点：当二次函数开口向上时，函数的最小值称为极值点；当二次函数开口向下时，函数的最大值称为极值点。
5. 函数增减性：二次函数的增减性与a的正负有关，当a>0时，二次函数在对称轴两侧递增；当a<0时，二次函数在对称轴两侧递减。
三、二次函数图像的分析与应用1. 开口方向的影响：二次函数的开口方向决定了函数的增减性和极值点的位置。
在实际问题中，可以通过二次函数的开口方向来判断某一现象的趋势，例如物体的抛射运动中，开口向上的二次函数可以表示物体上升的高度，开口向下的二次函数可以表示物体下降的高度。
2. 对称轴的作用：二次函数的对称轴决定了函数图像的对称性。
在实际问题中，对称轴可以帮助我们找到函数图像的关键点，例如求解二次函数的最值、求解二次函数与其他图像的交点等。
3. 零点的意义：二次函数的零点表示函数与x轴的交点，即函数的解。
在实际问题中，零点可以帮助我们求解方程，解决实际问题，例如求解二次方程来确定某一物体的位置、时间等。
4. 极值点的应用：二次函数的极值点表示函数的最值，可以帮助我们求解最优解问题。
在实际问题中，可以通过求解二次函数的极值点来确定某一问题的最优解，例如求解最短路径、最大利润等。
二次函数的图像及其性质
单调性
二次函数的开口 方向由系数a决 定，a>0时开口 向上，a<0时开 口向下
二次函数的对称 轴为x=-b/a
二次函数的最值 在对称轴上取得， 即x=-b/2a时的 函数值y=cb^2/4a
二次函数在区间 (-∞,-b/2a)和(b/2a,+∞)上单 调性相反
最值点
二次函数的最值点为顶点 顶点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a)) 当a>0时，函数在顶点处取得最小值 当a<0时，函数在顶点处取得最大值
开口大小与一次项 系数和常数项无关
开口变化趋势
二次函数的开口方向由二次项系数a决定，a>0时向上开口，a<0时向下开口。 二次函数的开口大小由二次项系数a和一次项系数b共同决定，a的绝对值越大，开口越小。 二次函数的对称轴为x=-b/2a，当a>0时，对称轴为x=-b/2a；当a<0时，对称轴为x=-b/2a。 二次函数的最值点为顶点，顶点的坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
在物理领域的应用
二次函数在抛物线运动中的应用 二次函数在弹簧振荡中的应用 二次函数在单摆运动中的应用 二次函数在简谐振动中的应用
在其他领域的应用
二次函数在经济学中的应用， 例如计算成本、收益、利润等。
二次函数在生物学中的应用， 例如种群增长、药物疗效等。
二次函数在物理学中的应用， 例如弹簧振动、单摆运动等。
二次函数的应用
解决实际问题
二次函数在物理学中的应用，例如计算抛物线的运动轨迹 二次函数在经济学中的应用，例如计算商品价格与销售量的关系
二次函数在日常生活中的应用，例如计算最优化问题，如最小费用、最大效率等
二次函数在科学实验中的应用，例如模拟实验数据，预测实验结果
二次函数及其图像
二次函数及其图像引言二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
本文将从二次函数的定义、性质、图像以及实际问题的应用等方面进行论述，以帮助读者更好地理解和掌握二次函数的知识。
一、二次函数的定义和性质二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a ≠ 0。
二次函数的定义域是全体实数集R，值域是实数集R。
1. 零点和因式分解二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，即f(x) = 0的解。
根据零点的定义，我们可以得到二次函数的因式分解形式，即f(x) = a(x - x1)(x - x2)，其中x1和x2是二次函数的两个零点。
2. 对称性二次函数的图像是一个抛物线，具有对称性。
具体来说，二次函数的图像关于直线x = -b/2a对称。
这个直线称为二次函数的对称轴。
对称轴将图像分为左右对称的两部分。
3. 开口方向二次函数的开口方向取决于二次项的系数a的正负。
当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
二、二次函数图像的绘制了解二次函数的图像特点对于解决实际问题非常重要。
下面将介绍如何绘制二次函数的图像。
1. 寻找顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点（当a > 0时）或最低点（当a < 0时）。
顶点的横坐标可以通过求解x = -b/2a得到，纵坐标可以通过代入横坐标得到。
2. 确定开口方向根据二次项的系数a的正负，可以确定抛物线的开口方向。
当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
3. 确定对称轴和焦点对称轴是二次函数图像的中心线，可以通过求解x = -b/2a得到。
焦点是抛物线的焦点，可以通过求解x = -b/2a得到横坐标，再代入函数得到纵坐标。
4. 绘制图像根据顶点、对称轴、开口方向和焦点等信息，可以绘制出二次函数的图像。
可以选择几个横坐标，代入函数求得纵坐标，然后将这些点连成平滑的曲线。
二次函数与抛物线
二次函数与抛物线二次函数与抛物线在数学中是两个非常重要的概念。
它们都属于二次曲线的一种，具有许多相似的性质和特点。
本文将从定义、图像、性质和应用等方面来介绍二次函数与抛物线。
一、二次函数的定义与图像二次函数是指一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a不等于零。
二次函数的图像是一条平滑的曲线，形状可以是开口向上或开口向下。
开口向上的二次函数在顶点处取得最小值，开口向下的二次函数在顶点处取得最大值。
二、抛物线的定义与图像抛物线是指平面上一类特殊的曲线，具有横轴对称性。
它的一般形式可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a不等于零。
抛物线的图像可以是开口向上或开口向下，具体形状取决于a的正负。
开口向上的抛物线在顶点处取得最小值，开口向下的抛物线在顶点处取得最大值。
三、二次函数与抛物线的性质1. 顶点：对于二次函数和抛物线而言，顶点是最重要的点之一。
它代表了函数的最值所在位置。
顶点的横坐标可以通过x = -b/2a来求得，纵坐标可以将横坐标代入函数表达式中求得。
2. 对称轴：二次函数和抛物线都具有关于对称轴对称的性质。
对称轴是垂直于横轴并通过顶点的一条直线，方程为x = -b/2a。
3. 开口方向：二次函数和抛物线的开口方向由二次项系数a的正负来决定。
当a大于零时，开口向上；当a小于零时，开口向下。
4. 零点：对于一般的二次函数和抛物线来说，求解零点对应于函数的解或者交点的横坐标值。
可以通过将函数表达式置零然后求解得到。
5. 判别式：二次函数和抛物线的判别式D是指b^2-4ac的值，它可以用来判断函数的图像和性质。
当D大于零时，函数有两个不同的实根，图像与横轴有两个交点；当D等于零时，函数有一个重根，图像与横轴有一个交点；当D小于零时，函数无实根，图像与横轴无交点。
四、二次函数与抛物线的应用1. 物理学：二次函数和抛物线可以描述物体的运动轨迹、抛物线的飞行轨迹等。
二次函数的图像和性质总结
二次函数的图像和性质1.二次函数的图像与性质：解析式a 的取值开口方向函数值的增减顶点坐标对称轴图像与y轴的交点y = ax2当a0时；开口向上；在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大。
当a0时；开口向下；在对称轴的左侧y随 x 的增大而增大，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而减小。
（0，0）x=0（0，0）y = ax2+ k（0，c）x =0 (0，k）y = a( x + h)2（- h，0）x = - h(0，ah2）y=a(x+h)2+k（- h，k）x = - h(0，ah2+ k)y = ax2+bx+c b 4ac - b2 (- , )2a4a b x=-2a（0，c）2.抛物线的平移法则：（1）抛物线y = ax2+ k的图像是由抛物线y = ax2的图像平移k个单位而得到的。
当k 0时向上平移；当k0时向下平移。
（2）抛物线y = a（x + h）2的图像是由抛物线y = ax2的图像平移h个单位而得到的。
当h0时向左平移；当h0时向右平移。
（3）抛物线的y = a（x + h）2+ k图像是由抛物线y = ax2的图像上下平移k个单位，左右平移h个单位而得到的。
当k0时向上平移；当k0时向下平移；当h0时向左平移；当h0 时向右平移。
3.二次函数的最值公式：形如y =ax + bx + c的二次函数。
当a0时，图像有最低点，函数有最小值4ac-b24ac-b2y最小值=4a；当a0时，图像有最高点，函数有最大值，y最大值=4a；4.抛物线y =ax + bx + c与y轴的交点坐标是（0，c）5.抛物线的开口大小是由a决定的，a越大开口越小。
6.二次函数y =ax + bx + c的最值问题：（1）自变量的取值范围是一切实数时求最值的方法有配方法、公式法、判别式法。
（2）自变量的取值范围不是一切实数：b 自变量的取值范围不是一切实数时，应当抓住对称轴x = -2a ,把他与取值范围相比较，再进行求最值。
二次函数的基本性质和图像
二次函数的基本性质和图像二次函数是高中数学中的一种重要函数，它的图像形状为抛物线。
在学习二次函数之前，我们需要了解一些基本性质和图像特征。
本文将介绍二次函数的基本性质和图像特点，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、二次函数的标准形式二次函数的标准形式为：f(x) = ax² + bx + c其中，a、b、c为实数，且a≠0。
二、二次函数的图像特点1. 开口方向二次函数的开口方向由二次项的系数a的正负确定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 最值点当二次函数的开口方向向上时，函数的最值点为抛物线的顶点，记作（h，k），其中h为顶点的横坐标，k为顶点的纵坐标。
当二次函数的开口方向向下时，函数的最值点为抛物线的谷点。
3. 对称轴二次函数的对称轴是通过抛物线的最值点和对称轴的直角中点所得直线。
对称轴与x轴垂直，并且通过抛物线的顶点。
4. 零点二次函数的零点即函数的根，可以通过求解二次方程ax² + bx + c = 0来得到。
二次函数的零点可以有0个、1个或2个零点，取决于二次方程的判别式b²-4ac 的值。
三、二次函数的图像画法和变换1. 平移变换对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，当x平移h个单位和y平移k 个单位时，变换后的函数表达式为f(x-h)+k。
2. 垂直方向的伸缩变换对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，当a变为ka(k≠0)时，函数的图像在y轴方向上发生伸缩。
当a>1时，抛物线变瘦高；当0<a<1时，抛物线变粗矮；当a<0时，抛物线变为开口向下。
3. 水平方向的伸缩变换对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，当b变为kb(k≠0)时，函数的图像在x轴方向上发生伸缩。
当b>1时，抛物线朝y轴正方向平移；当0<b<1时，抛物线朝y轴负方向平移；当b<0时，抛物线左右翻转。
初三数学,二次函数(图像、性质、规律、实际问题)
y=ax^2 (0，0) x=0
y=ax^2+K (0，K) x=0
y=a(x-h)^2 (h，0) x=h
y=a(x-h)^2+k (h，k) x=h
y=ax^2+bx+c (-b/2a，4ac-b²/4a) x=-b/2a
(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x?-x?| =√△/∣a∣（a绝对值分之根号下△）另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点的横坐标）
3。一般式,顶点式,交点式，等，区分对称轴，顶点，图像等的差异性。
4。联系实际对函数图像的理解。
5。计算时，看图像时切记取值范围。
二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，
可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
不同的二次函数图像
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。
6．用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0)。
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)。
可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时
高中教材知识点：二次函数的图像与性质
高中教材知识点：二次函数的图像与性质一、知识点介绍二次函数是高中阶段数学学习的重要内容之一，它是一种关于自变量的二次多项式函数。
了解二次函数的图像与性质对于理解函数的变化规律和应用具有重要意义。
本文将详细介绍高中教材中二次函数的图像与性质，包括基本定义、图像特点、性质及常见的例题解析。
二、基本定义1. 二次函数：二次函数是一个关于自变量x 的函数，一般可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c 是实数且 a ≠0。
2. 二次函数的图像：二次函数的图像是平面直角坐标系中的一条曲线，通常是开口向上或向下的抛物线。
三、图像特点1. 抛物线的开口方向：二次函数中的系数a 决定了抛物线的开口方向。
当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
2. 邻域与单调性：二次函数的图像在抛物线的开口处有一个顶点，抛物线在这个顶点的邻域内是单调递增或单调递减的。
四、性质1. 零点与因式分解：二次函数的零点是方程f(x) = 0 的解，可以通过因式分解或求根公式来得到。
2. 对称性：二次函数的图像关于顶点对称。
即，若(h, k) 是抛物线的顶点，则点(2h, k) 也在抛物线上。
3. 最值：当抛物线开口向上时，最小值为顶点的纵坐标；当抛物线开口向下时，最大值为顶点的纵坐标。
五、例题解析1. 图像特点例题：题目：根据二次函数的表达式f(x) = 2x^2 - 3x + 1，确定该二次函数的开口方向和顶点。
解析：根据系数 a 的值，可以确定开口方向。
由题目中的系数可知 a = 2，因此抛物线开口向上。
顶点可以通过求解抛物线的顶点坐标得到。
根据顶点公式，顶点的横坐标为x = -b/2a，纵坐标为f(x) = f(-b/2a)。
代入系数的值，得到顶点的坐标为(-(-3)/2(2), f(-(-3)/2(2))) = (3/4, 13/8)。
2. 性质应用例题：题目：已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其图像与x 轴交于两点，且顶点的纵坐标为4。
二次函数的图像和性质总结
二次函数的图像和性质总结二次函数（Quadratic Function）是高中数学中重要的一个部分，是指一种形式为y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。
二次函数的图像是一条抛物线，其性质包括：开口方向、顶点、对称轴、最值、零点、增减性等。
下面将对二次函数的图像和性质进行详细总结。
一、图像特征：1.开口方向：-当a>0时，抛物线开口向上；-当a<0时，抛物线开口向下。
2.顶点：-对于抛物线开口向上的情况，顶点是抛物线的最低点；-对于抛物线开口向下的情况，顶点是抛物线的最高点。
3.对称轴（y轴）：- 对于一般的二次函数y=ax²+bx+c，其对称轴的方程为x=-b/2a；-对于抛物线开口向上的情况，对称轴是抛物线的最低点；-对于抛物线开口向下的情况，对称轴是抛物线的最高点。
4.最值：-对于抛物线开口向上的情况，最小值为顶点的纵坐标；-对于抛物线开口向下的情况，最大值为顶点的纵坐标。
5.零点：- 零点是指二次函数y=ax²+bx+c与x轴的交点；-二次函数可能有0个、1个或2个零点；- 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac<0时，无实数根。
6.增减性：-当a>0时，抛物线开口向上，函数在对称轴两侧递增；-当a<0时，抛物线开口向下，函数在对称轴两侧递减。
二、性质总结：1.函数的解析式：- 二次函数的解析式一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0；-通过解析式可以得到函数的图像特征。
2.零点：-零点是指函数与x轴的交点；- 零点可以通过解二次方程ax²+bx+c=0来求解；- 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac<0时，无实数根。
二次函数的图形和性质
二次方程的根和焦点
实根和焦点
对于一个有两个实根的二次方程，它的焦点是抛物 线的顶点。
虚根和焦点
对于一个没有实根的二次方程，它的焦点并不存在。
二次方程的求最值
定义
通过将二次方程化为顶点形式，求出顶点的函数值，即可得到函数的最大值最大化收益、最小化代价等。
性质
可通过完成平方来将标准形式转换为顶点形式。
3
性质
顶点为y的最小值或最大值，轴对称于顶点，开口方向由a的正负号决定。
二次方程的因式分解
定义
将二次方程表示为两个一次因式的乘积的形式，可通过因式分解来求出方程的解。
方法
通过观察二次项系数和常数项的乘积，来判断如何分解。
应用
方便求解复杂的二次方程，还可以用于其他数学问题的求解。
二次方程的图像
正抛物线
开口向上的抛物线在顶点的函数值最小，是一个最 小值。
负抛物线
开口向下的抛物线在顶点的函数值最大，是一个最 大值。
平的抛物线
当判别式Δ=0时，顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)。
顶点形式的二次方程
1
定义
顶点形式的二次方程为y=a(x-h)²+k，(h,k)为顶点。
2
转换方法
二次函数的图形和性质
二次函数是一类重要的函数，它的图形成为一条抛物线，并具有很多性质。 在这个演示中，我们将学习如何理解和应用二次函数。
标准形式的二次方程
定义
二次方程是一个形如ax²+bx+c=0的方程。
方程的解
可以通过解方程ax²+bx+c=0来求出。
判别式
二次方程的判别式为Δ=b²-4ac，可以判断方程有几个实根。
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质二次函数是一种重要的函数形式，在数学中被广泛应用。
它的一般形式可以表示为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二次函数在平面直角坐标系中的图像常常是一个开口向上或向下的拱形，它的图像特征和性质对于学习数学有着非常重要的作用。
本文将介绍二次函数的图像及其性质。
一、二次函数的图像二次函数的图像是一个拱形，它的开口方向由二次项系数a的符号决定。
当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
同时，二次函数的图像在坐标系中的位置取决于它的顶点坐标。
顶点坐标可以通过求解函数y=ax²+bx+c的导数y'=2ax+b=0得出，即x=-b/2a，从而得出y的值。
因此二次函数的图像可以确定它的开口方向和顶点位置。
二、二次函数的极值二次函数的和常常需要寻找它的极值，即函数的最大值或最小值。
对于一个开口向上的二次函数，它的最小值为它的顶点值，即当x=-b/2a时，y的值最小。
而对于一个开口向下的二次函数，它的最大值同样也在顶点处，即当x=-b/2a时，y的值最大。
因此，确定二次函数的顶点坐标对于求解函数的极值非常重要。
三、二次函数的对称轴二次函数的对称轴是一个非常重要的性质。
它是指二次函数图像上的一条线，使得函数图像关于这条线对称。
对称轴垂直于函数图像的开口，过函数图像的顶点，即它的方程为x=-b/2a。
对称轴将函数图像分成两个对称的部分，使得函数图像的左右部分完全一致。
四、二次函数的零点二次函数的零点是指函数图像和x轴相交的点，即函数值y=0时的x值。
求解二次函数的零点可以使用因式分解方法，也可以使用求根公式根据b²-4ac的值求出。
如果b²-4ac≥0，则存在两个实数解，如果b²-4ac<0，则没有实数解。
二次函数的零点在函数图像上是它与x轴的交点，它们之间也可以确定二次函数的性质。
高中数学二次函数图像的性质及应用
高中数学二次函数图像的性质及应用二次函数是高中数学中重要的一种函数类型，它的图像具有许多特殊的性质和应用。
本文将详细介绍二次函数图像的性质，并通过具体题目的分析来说明考点和解题技巧，以帮助高中学生更好地理解和应用二次函数。
一、二次函数图像的性质1. 对称性：二次函数的图像关于抛物线的对称轴对称。
对称轴是图像的中心线，它垂直于x轴，过抛物线的顶点。
例如，对于函数y = ax^2 + bx + c，其对称轴的x 坐标为 x = -b/2a。
这一性质在解题中常常用来求抛物线的对称轴以及顶点的坐标。
2. 开口方向：二次函数图像的开口方向由二次项系数a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
这一性质在解题中用来判断函数的增减性和极值。
3. 零点：二次函数的零点即为函数图像与x轴的交点，也就是方程ax^2 + bx +c = 0的解。
求零点是解二次方程的常见问题，可以通过因式分解、配方法、求根公式等方法来求解。
二、二次函数图像的应用1. 最值问题：二次函数图像的顶点即为函数的极值点。
通过求解二次函数的极值，可以应用到许多最值问题中。
例如，一辆汽车以二次函数的形式描述其加速度，通过求解函数的极值，可以确定汽车的最大加速度或最短时间内达到某个速度。
2. 抛体运动问题：抛体运动问题是物理学中常见的应用题，可以用二次函数来描述抛体的轨迹。
通过解析抛体运动问题，可以求解抛物线的顶点、抛物线与地面的交点等。
例如，求解一个抛出的物体在空中的最高点、最远距离等问题。
3. 面积问题：二次函数的图像下方与x轴之间的面积可以表示某些实际问题中的面积。
例如，通过求解二次函数图像与x轴之间的面积，可以计算出某个区域的面积、某个物体的体积等。
这一应用在几何学和物理学中都有广泛的应用。
三、解题技巧和注意事项1. 确定函数的类型：在解题过程中，首先要确定给定函数是否为二次函数。
如果函数的表达式中含有二次项（x^2）且系数不为零，则可以确定为二次函数。
二次函数图像性质与应用
二次函数图像性质与应用二次函数，也叫做一元二次方程，是中学数学中非常重要的一门知识。
它的图像是一条叫做抛物线的曲线，也广泛应用于物理学、经济学、生物学等领域。
在这篇文章中，我将会介绍二次函数的图像性质以及在现实生活中的应用。
一、二次函数的图像性质二次函数是以 x 的二次方作为自变量的函数。
它的一般式为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c 都是实数，a 不等于 0。
这个式子是抛物线的标准式，根据 a 的正负可以确定抛物线的形状。
如果 a 大于 0，抛物线开口朝上；如果 a 小于 0，抛物线开口朝下。
除了开口方向，二次函数还有一些其他的图像性质。
以下是一些重要的性质：1、对称轴二次函数的对称轴是一个垂直于 x 轴的直线。
它过抛物线的顶点，用下面的公式可以求出它的方程：x = -b / 2a2、零点二次函数的零点就是方程 y = 0 的解。
抛物线和 x 轴的交点就是它的零点。
用下面的公式可以求出它的值：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a如果判别式 b²-4ac 大于 0，那么二次函数就会有两个不同的零点；如果判别式等于 0，那么二次函数有一个二重根；如果判别式小于 0，那么二次函数没有实数解。
3、极值二次函数的极值就是抛物线的顶点。
如果 a 大于 0，那么它的极小值就是 y = c - (b²/4a)，对应的 x 坐标是 -b/2a；如果 a 小于 0，那么它的极大值就是 y = c - (b²/4a)，对应的 x 坐标也是 -b/2a。
二、二次函数在现实生活中的应用二次函数在现实生活中的应用非常广泛。
以下是几个例子。
1、建筑设计建筑设计中常常需要使用二次函数。
比如说，建筑师需要设计一个带拱形的门，那么他们会使用二次函数来描述这个门的形状。
不同的二次函数可以绘制出不同形状的门，用于满足客户的设计需求。
2、股市预测股市是一个非常复杂的市场，股票价格每天都有不同的波动。
二次函数的性质与图像分析
二次函数的性质与图像分析二次函数是数学中一个重要的概念，它具有许多独特的性质和图像特征。
在本文中，我们将探讨二次函数的性质和图像分析，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
首先，我们来回顾一下二次函数的定义。
二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a不等于零。
二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线，其形状和方向由a的正负决定。
一、二次函数的性质1. 首先，二次函数的最高次项是二次项，因此它是一个二次多项式。
这意味着函数的图像是光滑的，没有突变或断裂点。
2. 二次函数的导数是一个一次函数，即它的斜率是一个常数。
这意味着二次函数的图像是一个曲线，没有拐点或尖点。
3. 二次函数的对称轴是一个垂直于x轴的直线，它通过抛物线的顶点。
对称轴将抛物线分成两个对称的部分。
4. 二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，它是对称轴上的一个点。
顶点的坐标可以通过求解二次函数的导数为零来确定。
5. 二次函数的零点是函数与x轴相交的点，也就是函数的解。
零点可以通过求解二次函数的方程ax^2 + bx + c = 0来确定。
二、二次函数的图像分析1. 首先，我们来讨论二次函数的开口方向。
当a大于零时，二次函数的图像开口向上；当a小于零时，二次函数的图像开口向下。
这是因为a的正负决定了二次函数的导数的正负，从而决定了抛物线的凹凸性。
2. 其次，我们来研究二次函数的顶点和对称轴。
对称轴的方程可以通过求解二次函数的x坐标为零的方程ax^2 + bx + c = 0来确定。
顶点的坐标可以通过将对称轴的x坐标代入二次函数来确定。
3. 最后，我们来讨论二次函数的零点。
零点可以通过求解二次函数的方程ax^2 + bx + c = 0来确定。
如果方程有两个不同的实根，那么二次函数与x轴有两个交点；如果方程有一个重根，那么二次函数与x轴有一个交点；如果方程没有实根，那么二次函数与x轴没有交点。
二次函数的图像和性质
二次函数的图像和性质二次函数是高中数学中常见的一种函数类型，其图像呈现出特定的形状和性质。
本文将介绍二次函数的图像特点，探讨二次函数的性质以及解释这些性质的意义。
一、二次函数的图像特点1. 平移和伸缩：二次函数的图像可以通过平移和伸缩来改变其位置和形状。
一般二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
当a>0时，图像开口向上，当a<0时，图像开口向下。
参数b控制了二次函数图像的水平位置，参数c则控制了图像的垂直位置。
2. 对称性：二次函数的图像具有关于直线x = -b / (2a)的对称性。
这条直线称为二次函数的对称轴。
对称轴将图像分成两个完全对称的部分。
3. 顶点：二次函数图像的最高点或最低点称为顶点。
对于开口向上的二次函数，顶点是图像的最低点，对于开口向下的二次函数，顶点是图像的最高点。
顶点的坐标为(-b / (2a), f(-b / (2a)))。
4. 零点：二次函数与x轴交点的坐标称为零点。
零点是二次函数的解，即f(x) = 0的解。
二次函数可以有两个、一个或零个零点，取决于判别式D = b^2 - 4ac的值。
二、二次函数的性质1. 单调性：开口向上的二次函数在对称轴的两侧是单调递增的，开口向下的二次函数在对称轴的两侧是单调递减的。
对于开口向上的二次函数，当x趋于正无穷时，函数值也趋于正无穷；当x趋于负无穷时，函数值也趋于负无穷。
对于开口向下的二次函数，情况相反。
2. 极值：二次函数的最小值（开口向上）或最大值（开口向下）即为顶点的纵坐标，其横坐标为对称轴的横坐标。
3. 范围和值域：对于开口向上的二次函数，其值域为[y, +∞)，其中y为顶点的纵坐标；对于开口向下的二次函数，其值域为(-∞, y]，其中y为顶点的纵坐标。
4. 最大值或最小值：当a>0时，开口向上的二次函数不存在最小值；当a<0时，开口向下的二次函数不存在最大值。
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二次函数图象性质及应用
一选择题
1.已知抛物线y=﹣x2+2x﹣3，下列判断正确的是（）
A.开口方向向上，y 有最小值是﹣2
B.抛物线与x轴有两个交点
C.顶点坐标是（﹣1，﹣2）
D.当x＜1 时，y 随x增大而增大
2.若二次函数y=x2+bx+5 配方后为y=（x-2）2+k，则b、k 的值分别为（）
A.0、5
B.0、1
C.﹣4、5
D.﹣4、1
3.将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是
A. B. 3
y2-
-
)2
y2-
=x
+
(5
=x D.3
(52+
)2
(5
-
=x
)2
y C. 3
4.把抛物线y=﹣2x2+4x+1 图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位,所得的抛物线函数关系式是（）
A.y=﹣2(x-1)2+6
B.y=﹣2(x-1)2﹣6
C.y=﹣2(x+1)2+6
D.y=-2(x+1)2-6
5.函数y=ax+b 和y=ax2+bx+c 在同一直角坐标系内的图象大致是（）
A. B. C. D.
6.二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图,则a bc，b2﹣4ac，2a+b，a+b+c 这四个式子中，值为正数的有（）
A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个
第6题图第8题图
7.二次函数y=ax2+bx+c 对于x的任何值都恒为负值的条件是（）
A.a＞0，△＞0
B.a＞0，△＜0
C.a＜0，△＞0
D.a＜0，△＜0
8.抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（）
A.y=x2-x-2
B.y=﹣x2﹣x+2
C.y=﹣x2﹣x+1
D.y=﹣x2+x+2
..
1 2 1
2 2 9.已知 A (2,1)在二次函数
(m 为常数)的图像上,则点 A 关于图像对称轴对称点坐标是（
）
A.（4,1）
B.（5,1）
C.（6,1）
D.（7,1）
10.抛物线 y =﹣x 2
+x ﹣1 与坐标轴（含 x 轴、y 轴）的公共点的个数是（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
11.二次函数 y =ax 2+bx+c(a≠0)图象如图,下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③当 m ≠1 时，a+b>am 2
+bm;④a ﹣b+c ＞0;
2 2
⑤若 a x 1 +bx 1=ax 2 +bx 2，且 x 1≠x 2，x 1+x 2=2．其中正确的有（ ） A.①②③
B.②④
C.②⑤
D.②③⑤
第 11 题图
第 12 题图
12.如图所示：抛物线 y=ax 2
+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线 x=1，且经过点（﹣1，0），依据图象写出了四 个结论：
①如果点（﹣ ，y ）和（2，y ）都在抛物线上，那么 y 1＜y 2 ；
②b 2﹣4ac ＞0；
③m （am+b ）＜a+b （m ≠1 的实数）； ④ =﹣3所
写的四个结论中，正确的有（ ）
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
二 填空题:
13.在函数①y=ax 2+bx+c;②y=(x-1)2﹣x 2;③y=5x 2﹣ ;④y=﹣x 2+2 中，y 关于 x 的二次函数是 ．
14.当 m =
时，函数 y = (m - 4)x m -5m +6
+3x 是关于 x 的二次函数．
15.二次函数 y =x 2
﹣2x+6 的最小值是
16.已知抛物线 y =ax 2
+bx+c 的部分图象如图所示，若 y ＞0，则 x 的取值范围是
．
17.若函数 y =mx 2
﹣2x+1 的图象与 x 轴只有一个交点，则 m =
．
18.已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B 两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为
直线x=2，则线段A B 的长为
19.有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点．
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x轴两交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3；
请写出满足上述全部特点的二次函数解析式：．
20.如图,已知⊙P 的半径为2，圆心P在抛物线y=x2﹣1 上运动,当⊙P 与x轴相切时,圆心P坐标为．
第22 题图第23 题图
21.如图,以扇形O AB 的顶点O为原点,半径O B 所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,点B的坐标为(2,0).若
抛
物线y=x2＋k 与扇形O AB 的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是
三解答题:
22.如图，过点A（-1，0）、B（3，0）的抛物线y=-x2+bx+c 与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E.
（1）求抛物线解析式；
（2）求抛物线顶点D的坐标；
（3）若抛物线的对称轴上存在点P使，求此时D P 的长.
23.如图，已知□ABCD 的周长为8 cm，∠B=30°，若边长A B 为x cm.(1)写出□ABCD 的面
积y(cm2)与x(cm)的函数关系式，并求自变量x的取值范围.(2)当x取什么
值时，y 的值最大？并求出最大值.
24.如图，抛物线的顶点M在x轴上，抛物线与y轴交于点N，且O M=ON=4，矩形A BCD 的顶点A、B 在抛物线上，C、D 在x轴上.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设点A的横坐标为t(t＞4)，矩形A BCD 的周长为L,求L与t之间函数关系式.
25.已知抛物线y=x2+bx+c 经过点（2，﹣3）和（4，5）．
（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）将抛物线沿x轴翻折，得到图象G，求图象G的表达式；
（3）在（2）的条件下，当﹣2＜x＜2 时，直线y=m 与该图象有一个公共点，求m的值或取值范围．
26．如图12所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水
位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m．
（1）在如图12的坐标系中求抛物线所对应的函数关系式；
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续
多少小时就能到达拱桥顶？
27．南博汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x 万元，每辆汽车的销售利润为y万元．（销售利润＝销售价－进货价）
（1）求y与x的函数关系式；在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；
（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；
（3）当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？
参考答案1、D 2、D ．3、A 4、C 5、C 6、B 7、D 8、D 9、C 10、B 11、D 12、D
13、④14、1 ．15、5．16、x ＜﹣1 或 x ＞5 ．17、0 或 1
18、8
．
19、
y=（x ﹣3）（x ﹣5）
．20、（ ，2）或（﹣ ，2）．21、－2＜k ＜
．
22、解：（1）y=-x 2+2x+3； （2）D （1，4）； （3）1 或 7.
23、1)过 A 作 A E ⊥B C 于 E ，∵∠B=30°，AB=x ，∴A E =
x ，又∵平行四边形 A BCD 的周长为 8 cm ，
∴BC =4-x ，∴y=AE · B C=x （4-x ）,即 y =-x 2+2x （0＜x ＜4）.
(2)y=-
x 2+2x=-
(x-2)2+2， ∴当 x =2 时，y 有最大值，其最大值为 2.
24、
25、【解答】解：（1）根据题意得
，解得 ，所以抛物线的解析式为 y =x 2﹣2x ﹣3．
∵抛物线的解析式为 y=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）． （2）根据题意，﹣y=x 2﹣2x ﹣3，所以 y=﹣x 2+2x+3．
（3）∵抛物线 y =x 2﹣2x ﹣3 的顶点为（1，﹣4），当 x =﹣2 时，y=5，抛物线 y =﹣x 2+2x+3 的顶点（1，4），当 x=﹣2 时，y=﹣5．
∴当﹣2＜x ＜2 时，直线 y =m 与该图象有一个公共点，则m=3或﹣5＜m ＜3． 26．解：（1）设所求抛物线的函数关系式为：2
y ax =， 设(56)D ，，(103)B b -，，
把D B ，的坐标分别代入2
y ax =，得25100 3.
a b a b =⎧⎨
=-⎩，
解得1251.a b ⎧
=-⎪⎨⎪=-⎩
，
所以2125y x =-．
（2）因为1b =-，所以
1
50.2
=（小时）． 所以再持续5小时到达拱桥顶． 27．解：（1）因为2925y x =--， 所以4(04)y x x =-+≤≤．
（2）84(88)(4)0.5x z y x x ⎛⎫
=+
⨯=+-+ ⎪⎝⎭
282432x x =-++
2
38502x ⎛
⎫=--+ ⎪⎝
⎭．
（3）因为当3
2
x =时，50z =最大． 所以当定价为29 1.527.5-=万元时，有最大利润，最大利润为50万元．。