小升初数学讲义之——数论
数论专题讲义
数论专题讲义数论专题数论主要分为以下几个模块：1、数的整除问题2、质数合数与分解质因数3、约数与倍数4、余数问题5、奇数与偶数6、位值原理7、完全平方数8、数字谜问题一、分裂问题一.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2.一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3.如果一个整数的奇数位数和偶数位数之和的差可以除以11，那么这个数可以除以114.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，然后这个数字可以除以7、11或13【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）性质1如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果ca，CB，然后是C（a±b）性质2如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果boa，Cob，然后COA用同样的方法，我们还可以得出：属性3如果a可以被B和C的乘积除，那么a也可以被B和C除。
也就是说，如果bcoa，那么么boa，coa．属性4如果数字a可以被数字B或数字C除，并且数字B和数字C是互质的，那么a必须被数字B除1/10除以和C的乘积。
也就是说，如果boa，COA和（B，C）=1，那么bcoa性质5如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m是非零整数）；性质6如果数a能整除数b，且数c能被数d整除，那么ac也能整除bd，如果b｜a，和D C，然后是BD AC；1、整除判定特征如果六位数的数字是1992□ □ 可以除以105，最后两位数是多少？2、数的整除性质应用如果15abc6可以除以36，商是最小的，那么a、B和C分别是什么？3、整除综合性问题已知：23！？258d20c6738849766ab000。
小升初数学知识点之数论
小升初数学知识点之数论数字的魅力一直以来都备受人们的关注和热爱。
数论作为数学的一个重要分支，研究整数之间的性质和关系，为我们揭示了数字的奥秘。
在小升初考试中，数论是一个重要的考点，掌握好数论的知识对学生来说至关重要。
本文将介绍小升初数学知识点之数论，帮助读者更好地理解和掌握这一领域的知识。
1. 质数和合数质数指的是只能被1和自身整除的整数，比如2、3、5等。
而合数则指的是可以被除了1和自身之外的其他整数整除的整数，比如4、6、8等。
掌握质数和合数的概念十分重要，可以帮助我们判断一个数的性质，并解决一些数的因子相关的问题。
2. 最大公约数和最小公倍数最大公约数（GCD）指的是两个或多个整数中能够整除它们的最大整数，最小公倍数（LCM）则是两个或多个整数中能够被它们整除的最小整数。
求最大公约数和最小公倍数的方法有很多，比如质因数分解法、辗转相除法等。
了解和掌握这些方法可以帮助我们解决一些关于数的倍数和约数的问题。
3. 素数分解和唯一分解定理素数分解是将一个合数分解成若干个素数的积的过程。
唯一分解定理指出，每一个大于1的正整数都可以写成质数的乘积，而且这个质因数分解的形式是唯一的。
通过素数分解，我们可以将一个较大的整数进行简化，方便我们进行计算和分析。
4. 奇偶性质每一个整数都可以分为奇数和偶数两类，其中奇数指的是不能被2整除的数，偶数则是可以被2整除的数。
奇偶性质在数论中有很多应用，比如判断一个数的因子个数、质因数分解中的奇偶关系等。
5. 同余定理同余定理是数论中一个重要的概念，它描述了整数间除以一个正整数所得的余数的性质。
同余定理可以帮助我们解决一些关于模运算的问题，比如计算大数的末几位、判断两个数是否互质等。
6. 质数的判定判断一个数是否为质数是数论中一个经典且重要的问题。
常见的质数判定方法有试除法、费马小定理等。
了解这些方法可以帮助我们高效地判断一个数是否为质数。
7. 常见的数论应用题数论的知识点在小升初数学考试中有着广泛的应用。
(4)小升初数论
11、如果a=4b，a、b都是大于0的自然数，那么a、b的最 小公倍数是（ ），最大公因数是（ ）。 12、两个自然数的最大公因数是12，最小公倍数是144， 则这两个数分别是（ ）和（ ）。
二、判断 1、因为24÷6=4，所以24是倍数，4是因数。（ ） 2、两个合数一定不是互质数。（ ） 3、一个数的倍数一定大于这个数的因数。（ ） 4、任意两个相邻自然数中一定有一个是奇数。（ ） 5、2的倍数都是合数。（ ） 6、自然数不是奇数就是偶数，不是质数就是合数。（ ） 7、一个数的因数是无限的，一个数的倍数是有限的。（ ） 8、用5,6,7这三个数字组成的三位数一定是3的倍数。（ ）
例【6】 选择 把90分解质因数，正确的形式是（ ）。 A、90=2×5×9 B、90=3×3×2×5×1 C、90=2×3×3×5 D、2×3×5×3=90
课堂练习
一、填空 1、在自然数范围内，最小的质数是（ ），最小 的合数是（ ），最小的奇数是（ ），最小的偶 数是（ ），最小的自然数是（ ）。 2、20以内不是偶数的合数是（ ），不是奇数 的质数是（ ）。 3、一个数的最大因数是18，这个数是（ ），把 它分解质因数是（ ）。
2,3,5倍数的特征
个位上是0,2,4,6,8的数是2的倍数。 1、2的倍数的特征： 一个数各个数位上的数字之和是3的倍 2、3的倍数的特征： 数，这个数就是3的倍数。
3、5的倍数的特征：个位上是0或5的数都是5的倍数。
4、同时是2和3的倍数的数，个位树上的数是 0,2,4,6,8，并且各个数位上的数字之和是3的 倍数； 同时是3和5的倍数的数，个位上的数是0或 5，并且各个数位上的数字之和是3的倍数； 同时是2和5的倍数的数，个位上的数是0； 同时是2,3,5的倍数的数，个位上的数是0， 并且各个数位上的数字之和是3的倍数。
小升初数论综合讲座教案
小升初数论综合讲座教案教案标题：小升初数论综合讲座教案目标学生：小升初年级的学生教学目标：1. 了解数论的基本概念和主要研究内容；2. 掌握数论中的基本定理和证明方法；3. 培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力；4. 提高学生对数学的兴趣和学习主动性。
教学内容：1. 数论的基本概念：素数、合数、质因数分解等；2. 数论的主要研究内容：最大公约数、最小公倍数、同余、质数判断等；3. 数论中的基本定理：费马小定理、欧拉定理等；4. 数论证明方法：数学归纳法、反证法等。
教学准备：1. 教学材料：数论相关教材、练习题；2. 教具：黑板、粉笔、计算器等；3. 多媒体辅助教学工具：PPT、视频等。
教学过程：导入：1. 师生互动：通过展示一个有趣的数学谜题，引发学生的兴趣和思考；2. 引入课题：“今天我们将一起探索数论这个神奇的数学分支，了解它的研究内容、基本定理和证明方法。
”知识点讲解：1. 通过多媒体展示数论的基本概念和主要研究内容，并结合实例进行讲解；2. 解释数论中的重要定理和证明方法，确保学生理解并掌握。
示范演示：1. 提供数论的典型题目，解答过程需要用到基本定理和证明方法；2. 引导学生思考解题思路，进行解题示范。
练习与巩固：1. 发放练习题，让学生在课堂上独立完成；2. 讲解答案，逐步引导学生理解解题过程和思想方法。
拓展与应用：1. 提供一些数论中的拓展题目，让学生进行更深入的思考和探索；2. 引导学生将数论所学应用到实际问题中，培养问题解决能力。
总结与反思：1. 总结本节课所学内容，并与学生进行互动讨论；2. 鼓励学生提出问题和疑惑，解答并反思课堂教学效果。
教学延伸：1. 鼓励学生自主学习，推荐相关的数论学习资源和参考书籍；2. 布置相关的作业，巩固数论知识。
评估方式：1. 在课堂上进行学生学习态度和参与度的观察评价；2. 配置适当的练习题，检验学生的数论知识和解题能力；3. 定期组织考试，全面评估学生的学习效果。
小升初奥数备考讲义第六讲数论之同余定理、个位律精英版
小升初奥数备考讲义第六讲数论之同余定理、个位律精英版同余定理及其应用同余定理是数论的一个重要概念，它在奥数竞赛中经常被用来解决问题。
同余定理的精髓可以用下面的一句话来概括：如果两个数除以一个数得到的余数相等，那么这两个数对于这个数来说是同余的。
具体来说，对于给定的整数 a、b 和正整数 m，如果 a 除以 m 得到的余数与 b 除以 m 得到的余数相等，即 a mod m = b mod m，那么就可以说 a 和b 是关于模 m 同余的，记作 a ≡ b (mod m)。
同余定理可以表示为以下几个性质：1.自反性：对于任意整数 a 和正整数 m，有 a ≡ a (mod m)。
2.对称性：对于任意整数 a、b 和正整数 m，如果 a ≡ b (mod m)，则 b ≡ a (mod m)。
3.传递性：对于任意整数 a、b、c 和正整数 m，如果 a ≡ b (mod m) 且b ≡c (mod m)，则 a ≡ c (mod m)。
了解了同余定理的性质后，我们就可以开始利用同余定理解决一些有关数的性质或问题了。
应用一：同余定理的运算第1页/共4页同余定理对于数的加减乘除运算有一些有趣且有用的性质。
1.加法性：对于任意整数 a、b、c 和正整数 m，如果 a ≡ b (mod m) 且c ≡ b (mod m)，那么 a + c ≡ b + b (mod m)。
2.减法性：对于任意整数 a、b、c 和正整数 m，如果 a ≡ b (mod m) 且c ≡ b (mod m)，那么 a - c ≡ b - b (mod m)。
3.乘法性：对于任意整数 a、b、c 和正整数 m，如果 a ≡ b (mod m) 且c ≡d (mod m)，那么 a × c ≡ b × d (mod m)。
4.除法性：对于任意整数 a、b、c 和正整数 m，如果 a ≡ b (mod m) 且c ≡d (mod m)，且 c 和 m 互素，那么 a ÷ c ≡ b ÷ d (mod m)。
小升初之数论专题
［知识要点］小学升初考试中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。
主要的结论有：1 •带余除法：若a, b是两个整数，b>0,则存在两个整数q, r，使得a=bq+r （0<r v b）, 且q, r是唯一的。
特别地，如果r=0，那么a=bq。
这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a 的约数，a是b的倍数。
2. 若a|c , b|c，且a, b 互质，则ab|c。
3•唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即PJp# …用, （1）其中pl v p2v・・・v pk为质数，a1, a2,…，ak为自然数，并且这种表示是唯一的。
（1）式称为n的质因数分解或标准分解。
4. 约数个数定理：设n的标准分解式为（1）,则它的正约数个数为：d （n）= （a1+1）（a2+1）・・・（ak+1）。
5. 整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。
因此，不等式x v y与x < y-1是等价的。
下面，我们将按数论题的内容来分类讲解。
第一节整除【专题简析】：在数的整除中要熟记数整除的特点，在用整除的知识来解决相关试题的时候要注意首先确定末尾那个数字，在确定其他的数字。
数整除的特征【例题精讲】例1.老师买了72本相同价格的书，当时没有记住书的单价，只用铅笔记下了用的总钱数，回到学校后其中有两个数字已经模糊不清了，总钱数成了口13.7 □元, 你能帮忙补上□中数字吗？练习1.马虎的采购员，买了72只桶，洗衣服时将购货发票洗烂了，只能依稀看到72只桶共□ 67.9 □元，□内的字迹已经看不清楚，请帮他算一下一共多少钱？例2.在算式labcde 3二abcdel中，不同字母代表不同的数，相同的字母代表相同的数，求abcde这个五位数是多少?练习2. 一个六位数，他的个位数字是6,将6移动到最前面，所得的数是原数的4倍，求这个六位数例3.从0,3,5,7,这4个数中任选3个，组成没有重复数字的三位数，在组成的数中能同时被2、3、5整除的数有多少个?练习3.从1、2、3、4、5中任取3个数组成没有重复数字的三位数，在这些三位数中能同时被2和9整除的数有多少个?【综合练习】1. 学校李老师一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9口. 2 □元，已知□处的数字相同，请问每支铅笔多少钱？2. 已知x1993y是45的倍数，求所有满足条件的六位数x1993y。
小升初数学备考之——数论篇
小升初数学备考之——数论篇在小升初数学择校考试中，我们通常将其内容分为五大板块：计算问题、数论问题、几何问题、应用题以及数学原理类问题。
那么，什么是数论呢？数论最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论。
后来整数论又进一步发展，就叫做数论了。
确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科。
数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。
翻开任何一本数学辅导书，数论的内容都占据了不少的版面。
在小升初择校考试及小学各类数学竞赛中，直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的12%左右，命题老师喜欢将数论题作为区分尖子生和普通学生的依据，这一部分学习的好坏将直接决定学生是否可以在选拔考试中拿到满意的分数。
既然数论知识这么重要，那么，在小升初择校考试中，同学们在数论问题上的得分率如何呢？从近几年武汉市某些学校小升初试卷来看，数论问题在五大板块内容中得分率较低，得分率38.5%左右。
目前小学阶段的数论知识考点主要有哪些呢？它们真的就这么难吗？小学阶段的数论知识点主要有：整除及整除特征、奇偶性、极值问题；因数倍数、质数与合数、分解质因数；带余除法、同余性质、中国剩余定理、乘方等。
下面我们就从近年来武汉市各重点学校小升初择校试题来看看这些知识的难度究竟如何吧！小升初试题选讲（一）①从0、4、2、5四个数字中选出三个组成一些能够同时被2、3、5整除的三位数，其中最小的三位数是（）。
【2009年武汉市十一中试题】②期末考试六年级（1）班数学平均分是90分，总分是□95□，这个班共有（）名学生。
【2008年水二中试题】③如果形如“2□1□”的四位数能被9整除，那么这样的四位数有（）个。
【2010年武珞路中学试题】④一个五位数，如果去掉万位和个位上的数字，就是一个能被2、3、5同时整除的最小三位数，在满足条件的这些五位数中，能被11整除的最大的一个数是（）。
【2008年武钢实验学校试题】这类题型主要考察数的整除特征。
小升初数学知识点之数论
千里之行，始于足下。
小升初数学学问点之数论数论是数学中的一个分支，主要争辩整数的性质和关系，涉及到整数的整除性、素数性质、同余关系等内容。
在小升初数学中，数论也是一个重要的学问点，以下是数学学问点之数论的主要内容。
一、整数的整除性1. 整数的定义及性质：整数是指正整数、0和负整数的统称。
整数有加法、减法、乘法运算，但并非全部整数都可以进行除法运算。
2. 整除与倍数：整数a除以整数b得到整数c，可以表示为a能整除b，记作a|b；假如b能整除a，也就是存在整数c，使得b=ac，则称a是b的倍数，b是a的约数。
3. 因数与倍数的关系：一个数的因数是指能整除这个数的整数，而这个数称为这些因数的倍数。
二、素数与合数1. 素数的定义：素数是大于1且只能被1和自身整除的整数。
2. 基本性质：素数只有两个因数，即1和自身；除了2之外的素数都是奇数。
3. 求解素数的方法：试除法、素数筛法等。
4. 合数的定义：合数是指除了1和本身之外还有其他因数的整数。
三、最大公约数与最小公倍数1. 公约数的定义：假如a和b都能被c整除，则称c是a和b的公约数。
2. 最大公约数的定义：最大公约数是指a和b的公约数中最大的那个数，记作gcd(a,b)。
3. 求解最大公约数的方法：辗转相除法、质因数分解法等。
4. 公倍数的定义：假如a和b都能被c整除，则称c是a和b的公倍数。
第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
5. 最小公倍数的定义：最小公倍数是指a和b的公倍数中最小的那个数，记作lcm(a,b)。
6. 最大公约数与最小公倍数的关系：对于任意两个整数a和b，有gcd(a,b) * lcm(a,b) = a * b。
四、同余关系1. 同余关系的定义：设a、b、n为整数，假如n能整除a-b，则称a和b 对模n同余，记作a ≡ b (mod n)。
2. 同余定理：若a≡b (mod n)，c≡d (mod n)，则有a±c≡b±d (mod n)，ac≡bd (mod n)。
小升初数学培优讲义全46讲—第07讲数论专题(一)
第7讲数论专题（一）整除、带余除法具有整除的数的特点：（1）被2整除：末位数字能被2整除的数必能被2整除，即末位数字是0、2、4、6、8的数能被2整除.（2）被4整除：末位两位数字组成的两位数能被4整除，则该数必能被4整除.（3）被8整除：末三位数字组成的三位数能被8整除，则该数必能被8整数.（4）被3整除：各位数字之和能被3整除，则该数能被3整除.（5）被5整除：末位数字是0或5的数必能被5整除.（6）被9整除：各位数字之和能被9整除，则该数能被9整除.（7）被7、11或13整除：末三位数字与末三位以前的数字的差（以大减小）能被7、11或13整除，那么这个数必能7、11或13整除.（8）被11整除：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（以大减小）能被11整除，那么这个数必能被11整除.1. 在下面各组数中，哪一组的第一个数能被第二个数整除.（）A.26和13B.35和17C.210和4D.5.6和82. 一个三位数，它的各位数字之和是8，它能被5整除，写出符合条件的三位数.3. 有一个四位数能31AA 能被9整除，求A 的值.4. 2011年“五·一劳动节”是星期天，2012年的“五·一劳动节”是星期几？5. 能被2、3、5除都余1，且不等于1的最小整数是多少？知识梳理课前热身类型一：数的整除性问题【例1】（1）在（）内填上一个合适的数字，使下面的数能被3整除.A. 8（）4597B.（）8（）C. 7（）82D. 4509（）7（2）在（）内填上合适的数，使下面的数能被25整除.A. 1000（）B. 17（）（）C. 257（）D. 4（）5（）【变式1.1】判断下列各数，哪些能被4整除，并说明理由.252 1724 2512 42000 8256【变式1.2】从1到3998这3998个正整数中，有多少个数能被4整除？类型二：整除性特征问题【例2】六位数865abc 能被3、4、5整除，要使这六位数尽可能小，求c b a ,,的值.典例精析【变式2.1】某个七位数2973abc 能同时被5、8、9整除，那么它的最后三位数c b a ,,分别是多少？【变式2.2】五位数538xy 能同时被3、7、11整除，则.__________22y x 类型三：同余问题中求被除数问题【例3】一个大于1的整数，除300、262、205，得到相同的余数，这个整数是多少？【变式3.1】有一个大于1的整数，它除381、210、286的余数相同，这个整数是多少？【变式3.2】一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合此条件的最小自然数.类型四：同余问题中求余数问题【例4】两个数被13除分别余7和10，这两个数的和被13除余几？【变式4.1】自然数A除以5余2，自然数B除以5余3，那么A和B的和除以5余几？【变式4.2】如果两个数被3除都余2，那么他们的积被3除，余数是多少？类型五：求被除数问题【例6】一个两位数除253，得到的余数是43，求这个两位数.【变式6】小平在一次除法计算中，把被除数271错写成217，结果商少了3而余数恰好不变，这题中的除数是多少？课后练习A. 夯实基础1. 在（）内填上合适的一个数字，使得下面的数能被9整除.A．222（）B．5（）（）44C．4（）18（）7 D．6212（）11020304050，请问这个数能被9整除吗？2. 有一个数为60708090x x x x x能被11整除，求x值.3. 已知整数12345B. 能力拓展4. 一个六位数，它能被9和11整除，去掉这个六位数的首尾两个数字，那么这样的六位数剩下的四位数为1997，这个六位数是多少？5. 某个七位数1993（）（）（）能够同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后的三位数字依次是什么？6. 两个自然数被7除分别余2和4，则求这两个数的和除以7余几？7. 69，90和125被某个大于1的正整数N除时，余数相同，试求N的值.C. 综合创新8. 将分别写有数码1、2、3、4、5、6、7、8、9的九张卡片排成一排，发现恰是能被11整除的最大的九位数，试求这个数.9. 一个正整数除以5、7、9及11的余数依次是1、2、3、4，请问满足上述条件的最小的正整数是多少？。
小升初数学-数论-奥数篇- 余数专题解析 必考知识点
a1. 2.例2. 20080808除以9的余数是多少？除以8和25的余数是多少？除以11的余数是多少？例2. 有一个整数，用它去除160 ，110 ，70 得到的三个余数之和是50，则这个整数是多少？1.用自然数n去除63 ，91 ，129，得到的三个余数之和是25，那么n 是多少？2.一个自然数用它分别去除63 ，90 ，130都有余数，三个余数的和是25.这三个余数中最小的一个是多少？3. 把63个苹果，90个橘子，130个梨平均分给一些同学，最后一共剩下25个水果，没有分出去，请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？二余数定理1. 余数加法定理a与b的和除以c的余数，等于①23和16除以5②23和19除以5例1. 两个数被13除分别余7和10，那么这两个数的和被13除余（）1. 4个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别是101,126,173,193，规定每两人间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数。
请问：他们各比赛了多少盘？2. 余数乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于①23和16除以5②23和19除以5例1. 418×814×1616除以13所得的余数是多少？1. 15×38×412×541除以13所得的余数是多少？2. 31453×68765×987657的积，除以4的余数是多少？例2.某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产300个零件，月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个，请问：最后一包有多少个零件？1. 一年有365天，轮船制造厂每天可以生产零件1234个，年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个。
问？最后一包有多少个零件？3.同余定理若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同则a，b的差例1. 100和84除以同一个数，得到的余数相同，但是余数不为0，这个除数可能是多少？例1.用一个大于0的自然数，分别去除35 ，59和123，所得的余数相同，则这个数是多少？1.三个数23 ，51 ，72分别除以同一个大于1的数，得到同一个余数，这个余数是多少？2.一个大于1的自然数去除300 ，243 ，205 时，得到相同的余数，则这个自然数是（）3.有一个大于1的整数，除45，59，101所得的余数相同，求这个数。
小升初数学高频考点——数论专题(六)位值原理
小升初数学高频考点——数论专题（六）位值原理
一、基本概念和表达式：
1、位值原理：同一个数字，由于它所在的位置不同，所表示的数值也不同。
这种数字和数位结合起来的表示数的原则，称为位值原理。
2、位值原理的表达式：（1）完全拆分：例如e
d c b a abcd
e +⨯+⨯+⨯+⨯=10100100010000（2）不完全拆分：例如e
cd ab abcde +⨯+⨯=101000二、高频考点：1、基本概念；2、完全分拆；3、不完全分拆
例一：（位值原理的基本概念）
(3)例二：）
（1）一（2）在6倍，求这个两（3）把，新数与原数的（4）3个不同的数字，组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是2886，那么这3个数字组成的最小三位数最小是多少？
例三：（位值原理的不完全分拆：选择合适的分段方式，列出方程求解。
）（1）有一个两位数，在它前面加上数字“3”可以得到一个三位数；在它后面加上数字“4”也得到一个三位数。
已知得到的两个数总和为436，求原来的两位数。
（2）一个六位数abcdef，如果满足4×abcdef=fabcde，则称abcdef为“快乐数”。
乐数”最
小是多
（3）在示相同的数字，不最大是多少？
（4）如A表示一个看不。
(完整)小升初讲义数论相关的计数
第二十五讲数论相关的计数一、与整除相关的计数问题：整除的特点往往是解题的关键。
二、与数字相关的计数问题：抓住数字的特点来解决问题。
例1:1、2、3、4、5、6、7这7个数中，选出3个互不相同的数，使得：（1）这三个数的乘积能被3整除，不同的选法有几种？（2）这三个数的和能被3整除，不同的选法有几种？练习1：从1至10中选出3个互不相同的数，如果要使它们的乘积是3的倍数，那么有多少种选法？如果要使它们的和是3的倍数，那么有多少种不同的选法？例2：小明的衣服口袋中有10张卡片，每张卡片上分别写着1、2、3、……、10。
如果从中拿出两张卡片，使得两数的乘积能被6整除的选法共有多少种？练习2：从1至10中选出2个互不相同的数，使它们的乘积是4的倍数，共有多少种选法？例3：六位数123475能被11整除，如果将这个六位数的6个数字重新排列，还能排出多少个能被11整除的六位数？练习3：用1、2、3、5、9组成各位数字互不相同的六位数，其中有多少个能被11整除？例4：有一种数，这些数的各位数字从左往右依次增大，我们称之为“上升数”。
将所有的四位数“上升数”按从小到大的顺序排列成一行：1234、1235、1236、……，那么从左往右第100个数是多少？练习4：有一种数，这些数的各位数字从左往右依次减少，我们称之为“下降数”，如果将三位的“下降数”从大到小排列：987、986、……，那么从左往右第20个数是多少？例5：有一些三位数存在相邻两位数字2和3，例如132、235、……，这样的三位数一共有多少个？练习 5：有一些四位数，它们存在相邻三位数字2、3和4，例如2341、3425、……，这样的四位数一共有多少个？综合练习1、从20、28、36、……、100这个等差数列中，选出三个互不相同的数，如果要使它们的乘积是7的倍数，那么有多少种选法？如果要使它们的乘积是3的倍数，那么有多少种选法？2、1至15中，选出两个不同的数，使它们的乘积是10的倍数，共有多少种选法？3、用1、2、3、4、5、8、9组成不重复的七位数，其中有多少个能被11整除？4、如果把三位“上升数”从小到大排列，如123、124、……，那么第20个“上升数”是多少？5、有一些三位数，它的相邻两位数分别为1和0，例如102、301、……，那么这样的三位数有多少个？。
数论综合(小升初)
小升初数论综合知识概要一、奇数与偶数：1、判断一个多位数奇数还是偶数，只要看这个数的个位，个位是奇数，这个数就是奇数，个位是偶数，这个数就是偶数。
2、加减法结果的奇偶性判断方法:只看算式中奇数的个数，个数是奇数，结果就是奇数；个数是偶数，结果就是偶数。
（奇数个奇数的和或差还是奇数）3、乘法结果的奇偶性判断方法:只看有没有偶数，有偶数，结果就是偶数；无偶数，结果就是奇数。
（有偶则偶，无偶为奇）4、数列与奇偶数个数结合时，利用周期问题的知识解决。
二、因数与倍数：（一）最大公约数与最小公倍数如果一个自然数a 能被自然数b （不为零）整除，则称a 是b 的倍数，b 是a 的约数。
1、 几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。
公约数中最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公约数。
一般用符号()a b ,表示a 、b 的最大公约数。
公约数只有1的两个数，这两个数互质。
2、 几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。
公倍数中最小的一个大于零的公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。
一般用符号[]a b ,表示a 、b 的最小公倍数。
3、最大公约数和最小公倍数之间的关系设a 、b 为两个正整数，则()a b ,和[]a b ,有如下关系(,)[,][,]=(,)ab ab a b a b a b a b =⨯或 4、求最大公约数和最小公倍数常用的方法：（1）分解质因数法；（2）短除法；（3）辗转相除法。
（二）最大公约数与最小公倍数的常用性质两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
如果m 为A 、B 的最大公约数，且A ma =，B mb =，那么a b 、互质，所以A 、B 的最小公倍数为mab ，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：①A B ma mb m mab ⨯=⨯=⨯，这两个数的积等于两个数的最大公约数与最小公倍数之积；②两个数的和等于最大公约数乘这两个数独有因数的和③两个数的差等于最大公约数乘这两个数独有因数的差；④两个数的最小公倍数除以最大公约数等于两个数独有因数的乘积；⑤两个数的最小公倍数等于两个数的最大公约数乘两个数的独有因数。
小升初数学-数论部分
一般题型整除，分解题型最大公约数，最小公倍数，奇偶性比较大小分数，比及比例的性质一．一般题型：知识点：1.掌握自然数，小数，分数的奇数单位；2.一个分苏化成最简分数后，如果分母中只含有质因数2或5，那么这个分数就可以化成有限小数，否则就不能化成有限小数；3.在除法中，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变，但是余数也要扩大或缩小相同的倍数；例如：a÷b=c……d，那么（100a）÷（100b）=c……（100d）练习：1.一个九位数，最高位上是最小的合数，千万位上是最小的质数，百位上是最小的奇数，其余各位上都是0，这个数写作（），读作（），把这个数改写成以“万”做单位的数是（），省略亿后面的尾数约是（）2.由1、2、3这三个数字能组成数字不重复的三位数一共有（）个，它们的和是（）。
3.一道除式，商是22，余数是6，被除数与除数的和是259，这道除式的除数是（），被除数是（）。
4.一个数三位小数的近似数是0.05这个数必须大于或等于（）且小于（）。
5.（成都西川中学2011年试题）一个小数的小数点向右移动一位后，比原来的数大28.26，那么原来的数是（）6.五个连续偶数中最大数是248，那么这五个数的平均数是（）.7.两个连续自然数的和乘以它们的差，积是99，这两个自然数中较大的数是（）.8.一个两位数，个位上和十位上数字都是合数，并且是互质数，这个数最大是（）9.从100里减去25，加上22，再减去25，加上22，这样连续进行，当得数是0时，减去了（）个25，加上了（）个22。
（）.10.2，4，10，10四个数，用四则运算来组成一个算式，使结果等于24．（）．11.被减数、减数与差的平均数是60，减数是差的3倍，减数是（）．12.若a÷b=8……3 , 那么（100a）÷(100b) = 8……（）。
13.一次数学检测只有两道题，第一道题全班有27做对，第二题全班有33人做对，两题都对的有15人(没有人做错)，那么全班有（）人14.（重庆市巴川中学2012年试题）一个数保留两位小数是10.00，那么这个数最小是（）,最大是（）15.（成都西川中学2011年试题）一个整数四舍五入到万位，约是50000，这个数最小是（）A 50001B 44445C 44999D 4500016.（成都实验中学2011年试题）一根木料锯成4段要47段要（）分钟。
小升初数学专题复习-专题一 数论 通用版
专题一数论考点扫描数论知识包括数的奇偶性、质数、合数、数的整除、余数的性质、数位的含义、平均数、分解因数、平方数、倍数与因数。
1.数的奇偶性奇数+奇数=偶数奇数+偶数=奇数偶数+偶数=偶数奇数×奇数=奇数偶数×偶数=偶数奇数×偶数=偶数奇数个奇数相加=奇数偶数个奇数相加=偶数（只要式子中含有偶数，那么相乘结果就是偶数）2.数的整除，常见的数的整除特征（1）2：个位是偶数；（2）3：各个数位之和是3的倍数；（3）5：个位是 0或5；（4）4、25：后两位可以被4（25）整除；（5）8、125：后三位可以被8（125）整除；（6）9：各个数位之和是9的倍数；（7）7：一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数；（8）11：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(以大减小)是11的倍数；（9）13：一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，可以被13整除即可被13整除；（10）17：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
3.余数的性质（1）余数的可加性：和的余数等于余数的和；（2）余数的可减性：差的余数等于余数的差；（3）余数的可乘性：积得余数等于余数的积；（4）同余的性质：对于同一个余数，如果有两个整数余数相同，那么它们的差就一定能被这个除数整除；对于同一个除数，如果有两个整数余数相同，那么它们的乘方就一定能被这个除数整数。
抛砖引玉【例1】下列各数中，（）同时是3和5的倍数．A．18 B．102 C．45【解析】同时是3和5的倍数必须满足：末尾是0或5，并且各个数位上的和能被3整除；进而得出结论．18个位上是8，不是5的倍数，102个位上是2，不是5的倍数，45是5的倍数，4+5=9，是3的倍数。
小升初数学讲义第6讲数论
第六讲 数论问题数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。
数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。
王先生在编一本书，其页数需要用6869 个字，问这本书具体是多少页？【解析】： 方法一：假设这个页数是A 页，则：A+(A-9)+(A-99)+(A-999)=6869 ，求出A=1994方法二：6869>2889，所以，把所有的数字看作是4位数字，不足4位的添O 补足4位， l , 2 , 3 , … 9 记为0001 , 0002 , 0003 , ..0009 这样增加了3 * 9 = 27 个010 , 11 , 12 , … 99 记为0010 , 0011 , 0012 ，..0099 增加了180 个0100 , 101 ，… 999 记为0100 , 0101 ，… 0999 增加了900 个O(6869+27+180+900)/4 =19941、设22n m n -=。
当n 取1，2，…，2012时，能被6整除的m 有__________个？【解析】：n 2≡2n (mod 6)，则n 必须为偶数，且n 2≡2n (mod 3) n 2mod 3: 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, …2n mod 3: 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, …以6个为周期重复，符合条件的n=6k+2, 6k+42012=335×6+2, 所以共有335组，最后还多一个符合条件的2012总数为335×2+1=671.2、从 1 到 1000 中最多可以选出多少个数,满足：这些数中任意两个数的差都不整除它们的和？【解析】：显然，自然数按被3除得的余数可以分成3类，即余数是：0、1、2，被3除余1的所有数，任两个数相加的和被3除余2，差能被3整除，符合要求，对被3除余2的所有数也如此，即2+2=4，4÷3还是余1，在1到1000中，被3除余1的有334个，余0、2的333个．因此取被3除余1的334个，这些数符合题意；故答案为：334．张兵 1953 年出生，在今年之前的某一年, 他的年龄是 9 的倍数并且是这一年的各位数字之和，那么这一年他（）岁。
小升初数论知识点总结
小升初数论知识点总结一、正整数和负整数1、正整数：大于0的整数，用正号表示。
2、负整数：小于0的整数，用负号表示。
二、整数的大小比较1、绝对值的大小比较：绝对值越大，数值越大。
2、同号比较：绝对值相等时，正数大于负数。
3、异号比较：正数大于负数。
4、零的比较：0大于任何负数，小于任何正数。
三、整数的加减运算1、同号：绝对值相加，符号不变。
2、异号：绝对值相减，符号取绝对值较大的数。
3、加法的逆运算：减法。
4、减法的逆运算：加法。
5、加减法的规律：交换律、结合律。
四、整数的乘法1、同号乘积为正，异号乘积为负。
2、乘法的逆运算：除法。
五、整数的除法1、除数不为零。
2、同号相除商为正，异号相除商为负。
3、商的符号由绝对值相除后得出。
六、公约数和最大公约数1、约数：整数a能被b整除，则b为a的约数。
2、公约数：两个数公有的约数。
3、最大公约数：公约数中最大的那个。
七、互质数和最小公倍数1、互质数：最大公约数为1的两个数。
2、最小公倍数：是两个数的公倍数中最小的那个。
八、素数和合数1、素数：只有1和自身作为约数的正整数。
2、合数：除了1和自身还有其他约数的正整数。
九、质因数分解1、任何一个大于1的自然数都能唯一地被素数分解。
2、将一个自然数素数乘积的形式叫做它的质因数分解式。
十、余数和整除性质1、整除：a能被b整除，a/b为整数。
2、余数：a除以b余c，c为余数。
3、整除性质：a能被b整除，b能被c整除，则a能被c整除。
十一、同余式1、同余式：a ≡ b (mod m)，表示a与b相差m的倍数。
以上就是小升初数学数论的知识点总结。
希望对你有所帮助。
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小升初——数论
数论是考察学生数感、数字规律的观察能力的重点专题，这一讲我们将熟练运用已经学过的数论知识，解决数论问题。
掌握代数式处理数论问题的方法。
1、 六位数□2004□能被99整除，这个六位数是多少？
2、 有一个六位数，前四位是2857，即2857□□，这六位数能被11和13整除，请你算出最后两位数。
3、 若四位数a a 89能被15整除，则a 代表的数字是什么？
4、 一个七位数c b a 9020是33的倍数，那么_______=++c b a
5、 在一个四位数的某位数字前添上一个小数点，再和原来的四位数相减，差的绝对值是1803.6，则原来的四位数是多少？
6、一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
7、有一个整数，用它去除70、110、160所得到的3个余数和是50，这个整数是多
少？
8、两个整数相除商8，余16，并且被除数、除数、商及余数和是463.那么被除数是
多少？
311，那么这三个质数和是多少？
9、三个质数倒数和是
1001
10、有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那么他们的年龄各是多少？
11、一个正整数与1470的积是一个完全平方数，那么这个数的最小值是多少？
12、求2520、14850、819的最大公因数和最小公倍数（用因数分解法）
13、现有4个自然数，他们的和是1111，如果要使这4个数的公因数尽可能大，
那么4个数的公因数最大是多少？
14、一个三位数正好等于它各位数字之和的18倍，这个三位自然数是多少？
15、六位数2003□□能被99整除，它的最后两位数是多少？
16、将1996加一个整数，使和能被23与19整除，加的整数要尽可能小，那么所加的整数是多少？
A1999311能被72能除，试求A、B两数的差（大减小）
17、如果一个九位数B
18、一个四位数，给它加上小数点后，比原数小2003.4，这个四位数是多少？
19、已知一个两位数除1477，余数是49.那么满足那样条件的所有两位数是多少？
1661，这三个质数和是多少？
20、三个质数倒数的和是
1986
21、小明是个中学生，最近他参加了一次数学竞赛，并获得了好成绩。
琳琳问他：“你考了多少分？得了第几名？”小明说：“我得年龄、得分和名次相乘的积是4365.”你知道小明的年龄、得分和名次吗？
22、有一个正整数，它加上100后是一个完全平方数，加上168后也是一个完全平方数，请问：这个数是多少？
23、n 个自然数，它们的和乘以它们的平均数后得到2008.请问：n 最小是多少？
24、有三个连续的自然数，它们的平方从小到大依次是10、9、8的倍数。
请问：这三个数中最小的一个数是多少？
25、甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位数是3456.如果甲的数字和是8，乙的数字和是14，那么甲、乙两数的差是多少？
26、有一个六位数abcde 1乘以3以后变成1abcde ，求这个六位数。