5、整体思想在整式求值中的运用
“整体思想”在整式运算中的运用与思考
“整体思想”在整式运算中的运用与思考摘要：数学学习中整式运算是其重要的组成部分，是重点也是难点，在整式运算中“整体思想”的应用能够在一定程度上提升问题分析、解决的效率，深化对知识的认知。
为此，在整式运算中要要意识的将整式运算应用其中，以此深化知识认知，培养数学思想、意识，降低知识学习难度，优化学习效果。
本文重点阐述整式运算中“整体思想”的具体应用措施，以此更好的发挥“整体思想”的作用和价值，促进学生数学素养的提升。
关键词：整体思想；整式运算；运用；措施整式运算是数学教学中的重要组成部分，在教学中由于受到多种因素的影响存在很多问题，主要表现为：字母表示数、各种公式的运用、计算等方面存在明显的错误，为什么会出现这些错误，怎样避免这些错误，提升教学效果是当前教学中关注的问题。
为此，教学中，需要钻研教材、梳理知识，将“整体思想”应用其中，以此加深对运算法则的认知，优化教学效果。
一、基于“整体思想”，把握运算形式整体思想具体来说是指在对问题进行分析、解决时，是以整体进行出发，将问题作为整体进行分析、改造，深层次解剖问题具有的特征，善于应用集成、整体的眼光，将图形或者式子看成一个整体，把握之间的关联，以此提升对问题进行分析、解决的效率。
如存在的问题：-a表示负数，之所以会存在这样的错误，是因为在学习中对字母a所表示的意义不够理解，字母a可以是任何的数，可以将字母a看成是整体，前面的负号，表示a的相反数，-a到底是什么数，由a的性质来决定，具体来说，可以分为三种情况，a=0，-a为0；a为负数；-a为正数；a为正数；-a为负数。
要分情况讨论-a为什么数，不能简单地认定为负数，另外，在整式运算中学生之所以会存在各种问题，就是没有将其当成一个整体，在对其进行移动时，容易搞混其中的负号，如果将其看成一个整体，就会不会存在这种的情况。
将其作为一个整体，在移动时，也是一个整体，则能够大大的提升正确率。
为此，在整式运算中要能够意识到整体思想所具有的作用和价值。
整式的运算经典解析
整式的基本概念1、代数式的有关概念代数式：用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数、表示数的字母连结而成的式子叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。
2、整式的有关概念（1）单项式的定义：都是数与字母的积的代数式叫做单项式． 说明：判断一个代数式是不是单项式，主要是根据代数式中数字和字母间是否都是乘法运算关系．如xy 2就不是一个单项式． a 2是一个单项式，因为a 2可以看作是a ·a ．特别地，单独的一个数或单独的一个字母也都是单项式，如－3，0，35 ，x ，2x等都是单项式（2）单项式次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．说明：在单项式中，系数只与数字因数有关；次数只与字母有关．如x 3yz 4的系数是1，次数为3＋1＋4＝8．（4）多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．（5）多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数．说明：在确定多项式的次数时，应先计算出多项式的每一项的次数，次数最大的项的次数作为该多项式的次数．如，多项式x 3－x 2y 2＋x 中，单项式x 3的次数是3，单项式－x 2y 2的次数是4，单项式x 的次数是1，所以多项式x 3－x 2y 2＋x 的次数是4．（6）多项式的项数：一个多项式中有几个单项式就有几项．每一个单项式就是一项。
说明：多项式的项，包括符号．如多项式5－3x 2中，二次项是－3x 2．（7）常数项的定义： 在多项式中，不含有字母的项叫做多项式的常数项。
（8）降幂排列： 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列．（9）升幂排列 ：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．说明：把多项式按升幂或降幂排列时，一定要弄清是针对哪个字母的排列，排列时只看这个字母的指数，而后按照加法交换律交换项的位置．对于不同的字母，排列后的顺序往往不同，切记重新排列多项式时，各项一定要带着符号移动位置．如： x 3＋2x 4y －7xy 3－y 4－7＝2x 4y ＋x 3－7xy 3－y 4－7 ①＝－7－y 4－7xy 3＋x 3＋2x 4y ②＝－y 4－7xy 3＋2x 4y ＋x 3－7 ③＝－7＋x 3＋2x 4y －7xy 3－y 4④其中，①是按x 的降幂排列；②是按x 的升幂排列；③是按y 的降幂排列；④是按y 的升幂排列．（10）整式的定义： 单项式和多项式统称整式．说明：知道一个代数式，不论是单项式还是多项式，都一定是整式；反之，如果已知一个代数式是整式，那么它或者是单项式，或者是多项式，二者必具其一．如单项式－3x 2，x 等都是整式，多项式3－x ，－x 3－x ＋1等都是整式；在整式2x ，x 4－1中，2x 是单项式，x 4－1是多项式．探究引导：216b π是二次单项式，这里要注意π是一个常数，不是一个字母，所以单项式中只有一个字母b ，它的指数是2，216b π就是一个二次单项式。
整式的加减专题复习与提高
教学内容整式的加减复习教学目标 1．用字母表示数与数学规律以及数量关系；2．理解整式的相关概念；3．掌握整式加减的方法；4．整体思想在整式加减中的使用；5．能准确的化简求值；重难点 教学重点：整式的相关概念的理解。
教学难点：使用整体思想解决问题。
教学过程1.用字母表示数知识框架：用字母表示问题中的数量关系的分析方式与用数字来表示数量关系在本质上是一样的。
典型例题：例1：用形状相同的两种菱形拼成如下图的图案，用a 表示第n 个图案中菱形的个数，则a n =_________（用含n 的式子表示）．a 1=4a 2=10a 3=16拓展延伸： 1、观察以下等式：（1）4=22，（2）4+12=42，（3）4+12+20=62，……根据上述规律，请你写出第n 为 ．2、（2013山东省德州一模）观察下面一列数：−1，2，−3，4，−5，6，−7…，将这列数排成以下形式：记ij a 为第行第j 列的数，如23a =4，那么87a 是 。
练习1、某市出租车收费标准为：起步价5元，3千米后每千米价1.2元，则乘坐出租车走x(x ﹥3)千米应付___________元.2、以下图是一个数值转换机的示意图，请你用x 、y 表示输出结果， …………16-1514-1312-1110-98-76-54-32-116并求输入x 的值为3，y 的值为-2时的输出结果.3、以下图是某同学在沙滩上用石于摆成的小房子．观察图形的变化规律，写出第n 个小房子用了 块石子．2.整式的相关概念一、代数式与有理式1、用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
单独的一个数或字母也是代数式。
2、整式和分式统称为有理式。
3、含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。
二、整式和分式1、没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。
2、有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。
三、单项式与多项式 ：1、没有加减运算的整式叫做单项式。
第二章整式的化简求值及整式中的整体思想(教案)
-举例：化简整式(2x^2 + 3x - 1)(x^2 - 2x + 1)。
在教学中，教师应针对这些难点和重点，采用适当的例题、图表、动画等教学辅助手段，帮助学生直观理解并逐步突破难点，确保学生对核心知识点的理解透彻。同时，通过反复练习和变式训练，巩固学生对重点内容的掌握。
第二章整式的化简求值及整式中的整体思想（教案）
一、教学内容
第二章整式的化简求值及整式中的整体思想：
1.章节内容：本章节主要围绕整式的化简求值和整体思想进行讲解。
a.整式的化简：包括合并同类项、去括号、整式的乘法与除法。
b.整式的求值：运用代入法、整体代入法求解整式的值。
c.整式中的整体思想：通过具体实例，引导学生理解整体思想在整式化简和求值中的应用。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了整式的化简求值的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对整式化简求值及整体思想的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“整式的化简求值在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
整体思想在解答求值问题中的应用
整体思想在解答求值问题中的应用作者：黄伟军来源：《广东教育·高中》2010年第12期整体思想是从整体角度出发,分析条件与目标之间的结构关系,对应关系,相互联系及变化规律,从而找出最优解题途径的重要的数学思想.应用整体思想解题，可以使我们站得高，看得远，想得透，用得巧，从而帮助我们从宏观上去调控“已知”与“未知”的关系，进一步帮助我们开拓解题思路，本文主要谈谈整体代入、整体设元、整体变形在求值问题中的应用，供同学们在复习时参考.一、整体代入在解答求值问题中，往往涉及到多个变量，但是我们没有必要分别求出各个量的具体值，这样做比较繁琐，而是将它们的某些关系看作为一个整体，达到顺利而又简捷地解决问题的目的.例1．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1=3，a1+a2+a3=21，求a7+a8+a9的值.分析：解答本题可以利用已知条件求出q，再分别求出a7，a8，a9即可，这样运算量比较大，我们也可挖掘题目的隐含条件，利用通项公式的变形式子am＝anqm-n可得到a7+a8+a9=a1q6+a2q6+a3q6=q6（a1+a2+a3）.解析：设公比为q，由题知a1=３，a１=a1q+a１q２＝２１，得q＝２或q＝－３点评：本题主要考查整体代入在解题中的应用，在解体时能挖掘题目的条件，充分运用整体思想解题能起到简化运算过程的作用. 一般地，an＝amqn-m，（m，n∈N*，m≠n）；ap•aq=ap+k•aq-k，（p，q，k∈N*）.解某些涉及若干量的求值解题时要有目标意识，将题中一些式子视作一个整体代入运算，可以避免一些复杂的运算.二、整体设元在解答求值问题中，往往巧设某一整体为辅助元或未知元，或将某未知元整体用另一些未知元整体代换，寻求解题思路.例2．已知2sin-cos=1，求的值.分析：已知条件是一条含有两个未知数sin，cos的方程，我们知道一条方程不能求出两个未知数sin、cos，若再得到一个关于sin，cos的方程，通过两个方程联立我们可以求出sin，cos，所以我们考虑利用整体设元思想将所求部分变成方程的形式，即设t=，则有（1-t）sin+（1+t）cos=t-1，为此我们找到了解题思路.解析：设t=，则有（1-t）sin+（1+t）cos=t-1，与已知条件2sin-cos=1联立可得sin=，cos=，由（）2+（）2=1，解得t=0或t=2.点评：解答本题巧妙运用整体设元策略，整体设元是一种重要的解题方法，是解题关键性的一步，可以化难为易，几乎每年的高考都要从不同的角度对其进行考查．应用整体思想解题，可以使我们站得高，看得远，想得透，用得巧.三、整体变形在解答求值问题中，将条件等式看成一个整体，根据题目的特点进行适当变形，有助于解题顺利进行.例3．求C111+C211+C311+C411+C511+C611+C711+C811+C911+C1011的值.分析：若我们逐一利用组合数公式来求值可以求解，但是过程烦琐、运算量大，挖掘题目的隐含条件，可以看到所求的值与二项式系数和有点相似，我们不妨利用整体思想先给原式添上C011与C1111，即得到C011+C111+C211+C311+C411+C511+C611+C711+C811+C911+C1011+C1111=211，再减去C011与C1111，则题目就变得简单了.解析：C111+C211+C311+C411+C511+C611+C711+C811+C911+C1011=（C011+C111+C211+C311+C411+C511+C611+C711+C811+C911+C1011+C1111）－C011－C1111=211-2.点评：本题还可以采用其他方法解答，而采用整体变形，沟通了“已知”与“未知”的联系，从而优化了此题的解答.小试牛刀：1．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=45，求a2009+a2010+a2011的值.2．已知＝，且＋＝，求的值.3．设n为满足C0n+C1n+2C2n+…+nCnn温馨提示：1．解析：3a2=15，所以a2=5，（a2-d）a2（a2+d）=45，将a2=5代入，得d2=16，因为公差为正数，所以d=4，a2009+a2010+a2011=3a2010=3（a2+2008d）=24111.2．解析：设＝＝t，则sin=tm，cos=tn，且sin2+cos2=t2（m2+n2）=1，代入已知条件可得：+＝＝，即：+＝，设＝x，则x+=，解得：x=3或，∴＝±或±.3．解析：令S=C0n+C1n+2C2n+...+nCnn (1)S=nCnn+（n-1）Cn-1n+（n-2）Cn-2n+...1C1n+0C0n (2)(1)+(2)得：2S=n（C0n+C1n+C2n+…+Cnn）=n•２n，所以S=n•２n-1.令f（n）=n•２n-1，则f（n）是增函数，因为f（7）=7×26=448，f（8）=8×27=1024，所以满足不等式的最大自然数为7.责任编校徐国坚。
2023年中考数学一轮复习之必考点题型全归纳与分层精练-整式的加减(原卷版)
专题03整式的加减【专题目录】技巧1：求代数式值的技巧技巧2：整式加减在几何中的应用技巧3：整体思想在整式加减中的应用【题型】一、代数式求值【题型】二、同类项【题型】三、整式的加减【题型】四、化简求值【题型】五、图形类规律探索【考纲要求】1、能并用代数式表示，会求代数式的值；能根据特定问题找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算．2、掌握同类项及合并同类项的概念，并能熟练进行合并；掌握同类项的有关应用．3、掌握去括号与添括号法则，充分注意变号法则的应用；会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的化简及求值．【考点总结】一、整式整式的相关概念单项式由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数。
如：单项式321abπ-系数是π21-，次数是4。
多项式几个单项式的和叫做多项式；多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数。
如：多项式2+4x2y﹣3231yx是五次三项式整式整式是单项式与多项式的统称。
同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项。
【考点总结】二、整式的加减运算【注意】1、去括号法则如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．(1)、去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘．(2)、去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号．(3)、对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号．(4)、去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．2、添括号法则添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号．(1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的．(2)去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误：如：()a b c a b c +-+- 添括号去括号，()a b c a b c -+-- 添括号去括号合并同类项把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变。
整体思想求值的技巧
ｌ Ｔ
＝
＿
７
＋
）
５
可 对 要 求 式 作 简 单 的 变 形 再代 入 即 可
．
＊ ＋ ４
ｗ
－
ｙ
３
＿
丄
（
丄
）
解 ３ ａ
例
．
２
２
＋ ６ ａ ＝３
（
ａ
＋ ２
ａ ） ＝ ３ ｘ ５ ＝ １ ５
．
２
＾
）
４
已 知 ２ Ｖ ＋
３ｘ
＋ ７
的 值 为 ７ 求６ ＊
，
＋ ９＊
－
８
３
＂
ｘ
＾
－
５
ｊ
，
１
＜ ５ ５
—
＿
＝
￣
的值
￣
分析
—
将要求式进 行转 化
凑
”
出
与 已 知 式 相 同 的 Ｙ
Ｔ７
＝
＂
Ｘ
＇
２
６
—
＋ ２ ０ １
５ ＝
－
＋ ２０
１
４ ＝
２
（
ａ；
－
＊ ＋ ２
－
）
了
（
；
ｃ
－
ｘ
－
６
－
）
２
；
ｃ
的值
．
２〇
１
４
仔 细 观 察 已 知 式 和 要 求 式 它 们 当 中 都 含 有 针 对 训 练
四讲 整体思想巧用
第四讲整体思想在整式加减运算中的巧用运用整体思想解题，常可化繁为简，变难为易，收到事半功倍之效，现就整式加减运算中运用整体思想解题的一些方法技巧举例如下：一、整体合并：例1：计算：43（2x－3y）+30(3y－2x)－12(2x－3y－120)+569分析：因为（2x－3y）=－(3y－2x)，所以可把（2x－3y）看作整体，先合并再去括号，这样较为简便。
解：原式=43（2x－3y）－30(2x－3y)－12(2x－3y)+1440+569=2x－3y+2009二、整体代入例2：若x=1时，代数式ax3+bx+7的值为4，则当x=－1时，代数式ax3+bx+7 的值为（）A.7B.10C.11D.12分析：若分别求出a和b的值再代入，既无必要也不可能，故可考虑整体代入。
解：由题意可得a+b+7=4，即a+b=－3∴－（a+b）=3当x=－1时，原式=－a－b+7=－(a+b)+7=3+7=10，故选B。
三、整体加减例3：已知3x2－3xy=28，3xy－3y2=－13，求代数式x2－y2与x2－2xy+ y2的值。
分析：若由已知条件想解方程组求出x、y的值，再代入求解，则超出初一学生所学范围，仔细观察已知式和要求式，便可发现，只要将已知式整体相加减再变形，即可求解。
解：将两式分别相加得3x2－3xy+3xy－3y2=28－13可化为3（x2－y2）=15∴x2－y2=5两式相减得3x2－3xy－3xy+3y2=28+13=41∴x2－2xy+y2=41/3一、自查：1. 单项式4333y x -的系数是 ，次数是 ． 2. 若23122++-m n y x 与41135--m y n x 是同类项，则m n n m -+)(= ．3. 己知0122=++a a ，则求3422-+a a 的值为 ．4. 如果5324331+-k ab b a 是五次多项式，那么k= ． 5. 计算：()()()()2356x y z x y z x y z x y z +---+-+-+-+= ．二、梳理：1. 知识上① ⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧分式、几次几项式系数；、次数；、概念；多项式系数、次数；、概念；单项式整式代数式4321---321--- ② 整式的加减：关键词：同类项；去括号；先化简，再求值.2. 方法上：这部分内容涉及到整体、方程、转化等数学思想，特别是运用整体思想对某些问题进行整体处理，常能化繁为简，收到事半功倍的效果．三、典型问题：例1、先化简再求值：{}a a a a a a a a 3]9)2(85[41522222-+---+--，其中51-=a例2、计算：222213344a b ab ab a b ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.变式1：一个多项减去2234ab a b +，差为22122a b ab -,求这个多项式.例3、已知：多项式a x b x c x 539+++，当x =3时，它的值为81，则当x =-3时，它的值为多少？变式1：设a b c b -=-=313，，求代数式()()3252a c c a -+--的值变式2：若4=+-b a b a ，求代数式)(2)(5b a b a b a b a -+-+-的值？四、巩固练习：1. 若 －3axy m 是关于x 、y 的单项式，且系数为－6，次数为3，则a ＝________， m ＝________．2. 3)2(42-+-x m x n 是关于x 的四次二项式，则=n m ___________.3. 若3223m n x y x y -与 是同类项，则m +n =____________.4. 若当2x =时，代数式35ax bx -+的值是4，则当2x =-时，35ax bx -+的值是 ．5. 已知05322=--a a ，那么109124234-+-a a a =____________.6. 个位上数字是a,十位上数字是b,百位上的数字是c 的三位数与把该三位数的个位数字、百位数字对调位置后所得的三位数的差为 ____________.7. 化简：=-+--)(3)3(2b a b a a ，=---24354b ab ab ． 8. 一条铁丝正好可围成一个长方形，一边长为b a +2，另一边比它大b a -，则长方形的周长是 ____________.9. 下列代数式中，①ab ·2 ②. a ÷4 ③. －4×a ×b ④. xy 213⑤. mn 35 ⑥ . －3×6 书写正确的是____________.（填序号）10. 计算：63)(41)(21y x y x y x y x --++++-=____________. 11. 若a ＜0, 则 2a+5a = ____________.12. 代数式 2)(3a x -+- 的最小值为_______，这时x =_______.13. 已知：b a A 35+=，b a a B 2223-=，2722-+=b a a C ，当a=1,b=2时， 求C B A 32+-的值.14. 先化间，再计算： )32(35)23(61)32(21)32(31y x x y y x y x --+---++--，其中x=2，y=1.。
整体思想在整式的加减求值中的运用
（ 一ｂ ｂ ）＋（ 一 ）＝３ ＋４ ＋７ ＝７ 口 ）＋（ —Ｃ２ 口 ｃ 。 ４
瓣 整 拆 求 体分值
辩 已 ｘ ：０３＋ｘ＝ ， ｘ ８ ９ 的 是 知２十 １， ２ ６ 求４＋ ＋ｙ 值 ｙ ｙ
多少 ．
解析
直接 用 ＋ｘ ｙ＝１ ０和 ３ ｙ＋２ｙ＝６两个 整体 的值 ， ｘ 需
整化求 体简值
：
ｒ
已 ｙ ， 数 ｝ 一 一 ｝ 知＝ ３ 代 式 ｙ 斋 ｙ＋ （ ＋求 ） ＋ ） 一
ｙ＋ （ ）＋ 的 ・ ）击 ， ２ 值 一）
解析 根 据式 子 的特点 ， 将整 式 中 的“ —ｙ 看 成一 个 整体 ， ” 可
使 运算 简便 ．
原＝ （ （ 式 ［ ）｝ ｝ 十
要将 乱 ＋８ｙ＋９ ｘ ｙ拆 分 成 含有 这 两个 整 体 的代 数 式 ， 答关 键 是 解 按整 体 的倍数 拆分 待求 代 数式 ．
４ ＋８ｙ ｙ＝（ｘ＋２ｙ ＋（ ｘ ｘ ＋９ ４ ｘ） ６ｙ＋９ ） （ｘ＋ ） （ ｘ ｙ ＝２ ２ ＋３ ２ｙ＋
３ ｙ）＝２× １ ０＋３×６＝３ ． ８
解析 本 题 无 法直 接 求 出 字母 ０ ｂ Ｃ的值 ， ，， 观察 后 可 直接 将
ｎ—ｂ＝３和 ｂ—ｃ＝４整体 代 人原 式 中 ， 而对 于 口 一ｃ的值 ， 则需 要
Ｅ ｅ ｙ ｎ ｓ ｏ ａ ｄ ｈ ｓａｄ ｒ ｉ ｅｗ ｉｈ ｈ ｅ ｅ ｈ ｗ ｏａ ｙ ｏ ｙ ｖ ｒ ｏ ｅｉ ａｍｏ ｎ， ｎ ａ ａ ｋｓｄ ｈ ｃ ｅ ｎ ｖ ｒ ｏ ｓｔ ｎ ｂ ｄ ． ｓ
： ２＝（ ｙ —ｙ ． — ）＋（ ） ＋２ ： 由 ＝ Ｙ＋３ 得 —Ｙ＝３ ， ，
斋（ ＋ （ ＋
典中点《提分练习18 整体思想在解题中的七种技巧》
《提分练习18 整体思想在解题中的七种技巧》典例剖析例 若实数a ，b 满足2a b b a+=，求22224a ab b a ab b ++++的值. 解题秘方：整体思想在一些复杂、非常规的命题中是一种应用非常广泛的思想，它能将复杂问题简单化.解答本题时，可将所求式子的分子、分母同时除以ab ，再进行适当变形，使之出现条件式，最后整体代入求值.解：由2a b b a+=，知ab ≠0. ∴2222144a b a ab b b a a b a ab b b a ++++=++++= ()1()4a b b a a b b a++++=211242+=+. 分类训练技巧1 整体代换在求值中的应用1.（1）已知2830a a --=，求（a -1）（a -3）+（a -5）（a -7）的值.（2）已知2222019,2020,2021a d b d c d +=+=+=，且abc =24，求a b c bc ca ab++-111a b c --的值. 技巧2 整体代换在求角的度数中的应用2.如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6.技巧3 整体代换在比较线段大小中的应用3.如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边的中点，AE 平分∠BAF ，试判断AF 与BC +CF 的大小关系，并说明理由.技巧4 整体变形在求值中的应用4.计算：2022920229202299999991999⨯+个个个.技巧5 整体设元在求值中的应用5.计算：1111111111(1)()(1)2320212342022232022----++++----- 1111()2342021++++. 技巧6 整体补形在求图形周长中的应用6.如图，凸六边形 ABCDEF 的六个角都是120°，AB =5 cm ，BC =8 cm ，CD =10 cm ，DE =6 cm.求这个六边形的周长.技巧7 整体配凑在求值中的应用7.若abc ≠0，且a +b +c =0，求222222222111a b c b c a c a b+++-+-+-的值.参考答案1.答案：解：（1）原式=221638a a -+.∵2830a a --=，∴283a a -=.∴原式=28)38442(a a -+=.（2）由已知可得a -b =-1，b -c =-1，c -a =2，则原式=2221()a b c bc ac ab abc ++--- 2221[()()()]2a b b c c a abc=-+-+- 11(114)488=⨯++=. 2.答案：解：由题图可知，∠1+∠2=∠DAB ，∠3+∠4=∠IBA ，∠5+∠6=∠GCB . 根据三角形外角和定理，得∠DAB +∠IBA +∠GCB =360°，所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°.3.答案：解：AF 与BC +CF 的大小关系为AF =BC +CF .理由如下：如图，分别延长AE ，DC 交于点G .∵E 为BC 边的中点，∴易证△ABE ≌△GCE .∴AB =GC ，∠BAE =∠CGE .又∵AB =BC ，∴BC =GC .∴BC +CF =GF .∵AE 平分∠BAF .∴∠BAE =∠F AE .∴∠F AE =∠CGE .∴AF =GF .∴AF =BC +CF .点拨：证明一条线段等于另外两条线段的和或差，常常用截长法或补短法把问题转化为证明两条线段相等的问题.本题中我们将BC +CF 转化为FG 这一整体，从而达到了解决问题的目的.4.解：原式=20229202292022920229999(9991)9991999⨯+-+个个个个 =202292022202299910001000⨯+个个0个0 =2022202291000(9991)⨯+个0个 =10004044个0. 点拨：观察式子特点，用凑整法可简化运算.整体变形是将问题中某些局部运算作整体变形处理，使之呈现规律性结构形式，从而达到简化问题或减少运算量的目的.5.答案：解：设11112342021a ++++=，则原式=11(1)()(1)20222022a a a a -⋅+--- 2211.2022202220222022a a a a a a =+---++= 点拨：本题数据较多，直接计算显然无法进行，注意到题中出现相同算式，因而考虑整体设元.整体设元是用新元去代替已知式中的某一部分，从而达到化繁为简、化难为易的目的.6.答案：解：如图，延长CB ，F A 交于点G ，延长BC ，ED 交于点H ，延长DE ，AF 交于点M .则△ABG ，△CDH ，△EFM ，△GHM 均为等边三角形，∴GB =AB =5 cm ，CH =CD =10 cm.∴GH =GB +BC +CH =23 cm.∴ME =MH -DH -DE =GH -CD -DE =23-10-6=7（cm ）.∴EF =7 cm.∴AF =GM -GA -MF = GH -AB -EF = 23-5-7=11（cm ）.∴六边形ABCDEF 的周长为5+8+10+6+7+11=47 cm.点拨：整体补形是对一些不规则的图形进行添补，从而得到常见的图形.本题通过适当向外作延长线，根据六个角都是120°，可得到等边三角形，进而求解.7.答案：解：原式=222111()()()()()()a b c b c b c a c a c a b a b ++++-+-++-+ 222111()()()a abc b b c a c c a b =++------ 111()()()a abc b b c a c c a b =++-+-+-+ 111222ab bc ca=--- 02a b c abc ++=-=. 点拨：本题是把所求式子配凑成与条件a +b +c =0相关的式子，再进行求解.。
整体思想在初中数学代数式求值问题中的应用
整体思想在初中数学代数式求值问题中的应用在研究和解决有关数学问题时，我们不是从问题的局部着手，而是从问题的整体观点出发，将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构或作整体处理后，达到化繁为简、变难为易的目的，这就是整体思想．其主要表现形式有：整体代换、整体把握、整体设元、整体变形、整体补形、整体联想、整体合并、整体转化等．用整体观点分析认识数学公式、法则，用整体观点计算、证明数学问题，可以培养学生思维的灵活性、敏捷性，进而提高解决问题的效率．因而，整体思想是学习数学必备的思想方法．每年的数学中考中出现了有创意、新颖的涉及整体思想的试题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用．初中数学中代数式求值问题一般可以直接将字母的值代入计算便可解决问题，但对于比较复杂的代数式，往往需要先化简再求值，有时还要用到整体思想方法．一、在整式中的应用（1）在幂的运算中的应用例1 计算：（x+y）9÷（x+y）5分析：此题将x+y看作一个整体，即看成一个字母，则可以较简便地进行计算．此题若拘泥常规，则举步维艰；若整体考虑，则畅通无阻．解：（x+y）9÷（x+y）5=（x+y）9-5=（x+y）4说明：此题若改成（x+y）9·（x+y）5 ，也可以将x+y看作一个整体进行计算．例2 已知3x=25，3y=15，求32x-y的值．分析: 此题先运用同底数幂除法的逆运算将所求代数式进行变形,再运用整体代入进行计算．解: 32x-y=32x÷3y=(3x)2÷3y=252÷15125=3例3 若3x+5y-4=0,求8x·32y的值．分析：此题中所求的代数式中相乘的两个幂都可以改写成以2为底数的幂，变形后出现3x+5y，再将已知条件中的3x+5y作为一个整体代入即可．解：∵3x+5y-4=0∴3x+5y=4∴8x·32y=（23）x·（25）y=23x·25y=23x+5y=24=16（2）在整式乘除中的应用例4 计算：（a+b+c）（a-b-c）分析：此题运用多项式乘多项式的法则可以计算出结果，但运用整体思想将b+c 看成一个字母，即看成一个整体，那么就能套用平方差公式进行计算．解：（a+b+c ）（a-b-c ）=［a+(b+c)］［a-(b+c)］=a 2-(b+c)2=a 2-b 2-2bc-c 2说明：类似的方法也可用于计算：（a-2b+3c ）（a-2b-3c ）．只要将a-2b 看作一个整体就能用平方差公式进行计算．例5计算：（a+b+c ）2分析：同例4，此题运用多项式乘多项式的法则可以计算出结果，若将b+c(或a+b)看成一个字母，即看成一个整体，那么就能套用完全平方公式(两数和的平方)进行计算．解：（a+b+c ）2=［a+(b+c)］2=a 2+2a(b+c)+(b+c)2=a 2+2ab+2ac+b 2+2bc+c 2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac说明：类似的方法也可用于计算：（a+2b-3c ）2．只要将a+2b 看作一个整体就能用完全平方公式(两数差的平方)进行计算．例6 已知x(x+1)-(x 2+y)=-3,求xy y x -+222的值． 分析：此题的已知条件化简可得到x-y=-3,而所求代数式结合乘法公式变形后会出现x-y ，然后将x-y=-3整体代入即可求值．解：由已知条件化简得：x-y=-3 ∴xy y x -+222=2222xy y x -+ =2)(2y x + =2)3(2- =29 例7 已知5x+y=6,求y 2+5xy+30x 的值．分析：此题可以运用“整体代入法”求解．解: y 2+5xy+30x=y(5x+y)+30x=6y+30x=6(y+5x)=6×6=36说明：在代数式求值时,如果字母的值没有明确给出或非常难求,无法直接代入计算,这时,应根据题目的特点,将所求代数式作适当的变形,再将已知条件(一个代数式)整体代入,往往能得到简捷的解答．如:已知a+2b=6,求a 3+2ab(a+b)+4b 3的值．例8 求值：（2a+b ）［10（2a+b ）-9］,其中a=-43,b=21． 分析：此题若将代数式先展开化简再把字母的值代入求值，则非常繁琐．而将2a+b 看作一个整体，先将2a+b 得值计算出来，再整体代入，则可以达到事半功倍的效果．解: ∵a=-43,b=21 ∴2a+b=-1∴（2a+b ）［10（2a+b ）-9］=-1×［10×（-1）-9］=-1×（-19）=19例9 计算：［4（x-2）2+12(x+2)(x-2)-8(x-1)(x-2)］÷［4（x-2）］．分析：此题可以将4（x-2）看作整体，运用多项式除以单项式的法则进行计算． 解：［4（x-2）2+12(x+2)(x-2)-8(x-1)(x-2)］÷［4（x-2）］=［4（x-2）2+4(x-2)·3(x+2)-4(x-2)·2(x-1)］÷［4（x-2）］=（x-2）+3(x+2)-2(x-1)= 2x+6（3）在因式分解中的应用例10 分解因式（x 2+x+1）（x 2+x+2）-12分析：为解较复杂的单项式因式分解问题，我们可以把某一单项式（或多项式）看作一个整体．此题中将x 2+x+1看作一个整体，原式可变为x 2+x+1的二次三项式．解：（x 2+x+1）（x 2+x+2）-12=（x 2+x+1）［（x 2+x+1）+1］-12=（x 2+x+1）2+（x 2+x+1）-12=（x 2+x+1+4）（x 2+x+1-3）=（x 2+x+5）（x 2+x-2）=（x 2+x+5）（x+2）（x-1）说明：运用整体观点对较复杂的单项式进行因式分解，思路清晰，目标明确．如对x n+3-7x n+2-8x n+1进行因式分解时应将x n+1整体地看作公因式．例11 分解因式（z 2-x 2-y 2）2-4x 2y 2分析：此题若用常规解法，即先去括号，再分解，势必造成分解上的困难；若运用整体的观点，将z 2-x 2-y 2和2xy 分别看成两个整体，则可以简便地用平方差公式进行因式分解． 解：（z 2-x 2-y 2）2-4x 2y 2=（z 2-x 2-y 2）2-（2xy ）2=（z 2-x 2-y 2+2xy ）（z 2-x 2-y 2-2xy ）=［z 2-（x-y ）2］［z 2-（x+y ）2］=(z+x-y)(z-x+y)(z+x+y)(z-x-y)例12 分解因式（x-1）（x-2）（x-3）（x-4）-3分析：此题若将几个因式的乘积计算出来后再进行分解因式，则解答相当麻烦和困难．但采用整体思想方法，此问题将能化难为易．解：（x-1）（x-2）（x-3）（x-4）-3=［（x-1）（x-4）］［（x-2）（x-3）］-3=（x 2-5x+4）（x 2-5x+6）-3=（x 2-5x ）2+10（x 2-5x ）+21=（x 2-5x+3）（x 2-5x+7）例13（4）在整式加减中的应用已知x+y=4,求x 3+12xy+y 3的值．分析：此题运用常规代入法解答较繁，若先将所求代数式中的x 3+y 3用立方和公式进行分解因式得到（x+y ）（x 2-xy+y 2）,再将x+y 看作一个整体，代入计算．解：x 3+12xy+y 3=(x+y)(x 2-xy+y 2) +12xy=4·(x 2-xy+y 2) +12xy=4x 2+8xy+4y 2=4(x 2+2xy+y 2)=4(x+y)2=4·42=64若a+8=b+4=c+5,求a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac 的值．分析:由已知条件可得到a-b 、b-c 、a-c 的值，再将所求代数式配方整理后可以将a-b 、b-c 、a-c 的值分别作为一个整体代入即可求值．解：由题可得: a-b=-4, b-c=1 , a-c=-3a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac=21(2a 2+2b 2+2c 2-2ab-2bc-2ac) =21( a 2-2ab+b 2+b 2-2bc+c 2 +a 2-2ac+c 2) =21［（a-b ）2+( b-c)2+( a-c)2］ =21［（-4）2+12+(-3)2］ =13说明：在进行条件求值时，可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握方向和策略，从而简化问题．二、在分式中的应用（1） 在分式乘除中的应用例 计算：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++832921932821111111111111a a a a a a a a a a a a（2）在分式加减中的应用（3）在分式方程中的应用三、在数的开方和二次根式中的应用例 计算：（2-23+6）（2+23-6）分析：此题应将23-6看作一个整体，运用平方差公式进行计算即可．解：（2-23+6）（2+23-6）=［2-（23-6）］［2+（23-6）］=（2）2-（23-6）2=2-（12-418+6） =122-16例 已知x 2-5x-1=0,求11122-+x x 的值． 分析：由已知条件求出x 的值，再代入求值，计算比较复杂．若由条件得出x x 1-的值，再整体代入，则可化繁为简．解：由题可得x≠0将x 2-5x-1=0两边同时除以x 得x x 1-=5 ∴11122-+xx =112)1(2-+-x x =11252-+=4 例 已知x=2521-,求4x 2-4x-7的值． 分析：此题按照常规的解法可以把x 的值直接代入，通过二次根式的计算求出代数式的值．若运用整体思想，则可以化繁为简．解：∵x=2521- ∴2x=1-25即（2x-1）2=（-25）2∴4x 2-4x+1=20∴4x 2-4x=19∴4x 2-4x-7=19-7=12说明：对于次数较高的关于某一字母的多项式求值问题，我们常利用等式的性质，将已知条件转化为一元二次方程的形式，然后整体代入，达到迅速降次的目的．例 已知x-1=3，求x 3-x 2-x+1的值．分析：此题按照常规的解法可以把x 的值直接代入，通过二次根式的计算求出代数式的值很复杂．可将x-1看成整体代入求值．解：x 3-x 2-x+1=x 2(x-1)-(x-1)=(x-1)(x 2-1)=(x-1) 2(x+1)=(3)2(3+1+1)=33+6由于初中代数研究从数扩充到字母，由具体上升到抽象，在利用公式、法则时，运用整体观点解题，常能使自己全面观察、合理考察数学问题，养成在复杂的数学问题中透过现象看本质、化繁为简的良好解题习惯．。
专题03 整式的加减(归纳与讲解)(解析版)
专题03 整式的加减【专题目录】技巧1：求代数式值的技巧技巧2：整式加减在几何中的应用技巧3：整体思想在整式加减中的应用【题型】一、代数式求值【题型】二、同类项【题型】三、整式的加减【题型】四、化简求值【题型】五、图形类规律探索【考纲要求】1、能并用代数式表示，会求代数式的值；能根据特定问题找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算．2、掌握同类项及合并同类项的概念，并能熟练进行合并；掌握同类项的有关应用．3、掌握去括号与添括号法则，充分注意变号法则的应用；会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的化简及求值．【考点总结】一、整式【考点总结】二、整式的加减运算【注意】 1、去括号法则如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．(1)、去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘．(2)、去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号． (3)、对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号．(4)、去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形． 2、添括号法则添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号．(1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的．(2)去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误：如：，【技巧归纳】技巧1：求代数式值的技巧 【类型】一、直接代入求值1．当a ＝3，b ＝2或a ＝－2，b ＝－1或a ＝4，b ＝－3时，()a b c a b c +-+-添括号去括号()a b ca b c -+--添括号去括号① 整式的加减其实就是合并同类项；② 整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要变号．(1)求a2＋2ab＋b2，(a＋b)2的值；(2)从中你发现了怎样的规律？【类型】二、先化简再代入求值2．已知A＝1－x2，B＝x2－4x－3，C＝5x2＋4，求多项式A－2[A－B－2(B－C)]的值，其中x＝－1.【类型】三、特征条件代入求值3．已知|x－2|＋(y＋1)2＝0，求－2(2x－3y2)＋5(x－y2)－1的值．【类型】四、整体代入求值4．已知2x－3y＝5，求6x－9y－5的值．5．已知当x＝2时，多项式ax3－bx＋1的值是－17，那么当x＝－1时，多项式12ax－3bx3－5的值是多少？【类型】五、整体加减求值6．已知x2－xy＝－3，2xy－y2＝－8，求代数式2x2＋4xy－3y2的值．7．已知m2－mn＝21，mn－n2＝－12.求下列代数式的值：(1)m2－n2；(2)m2－2mn＋n2.【类型】六、取特殊值代入求值( )8．已知(x＋1)3＝ax3＋bx2＋cx＋d，求a＋b＋c的值．参考答案1．解：(1)当a＝3，b＝2时，a2＋2ab＋b2＝32＋2×3×2＋22＝25，(a＋b)2＝(3＋2)2＝25；当a＝－2，b＝－1时，a2＋2ab＋b2＝(－2)2＋2×(－2)×(－1)＋(－1)2＝9，(a＋b)2＝[(－2)＋(－1)]2＝9；当a＝4，b＝－3时，a2＋2ab＋b2＝42＋2×4×(－3)＋(－3)2＝1，(a＋b)2＝(4－3)2＝1.(2)a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.2．解：原式＝A－2A＋2B＋4(B－C)＝A－2A＋2B＋4B－4C＝－A＋6B－4C.因为A＝1－x2，B＝x2－4x－3，C＝5x2＋4，所以原式＝x2－1＋6x2－24x－18－4(5x2＋4)＝－13x2－24x－35.当x＝－1时，原式＝－13x2－24x－35＝－13×(－1)2－24×(－1)－35＝－13＋24－35＝－24. 3．解：由条件|x－2|＋(y＋1)2＝0，得x－2＝0且y＋1＝0，所以x＝2，y＝－1.原式＝－4x＋6y2＋5x－5y2－1＝x＋y2－1.当x＝2，y＝－1时，原式＝x＋y2－1＝2＋(－1)2－1＝2.4．解：6x－9y－5＝3(2x－3y)－5＝3×5－5＝10.5．解：因为当x ＝2时，多项式ax 3－bx ＋1的值是－17，所以8a －2b ＋1＝－17. 所以8a －2b ＝－18.当x ＝－1时，12ax －3bx 3－5＝－12a ＋3b －5＝(－12a ＋3b)－5＝－32(8a －2b)－5＝－32×(－18)－5＝22.6．解：由x 2－xy ＝－3，得2x 2－2xy ＝－6①；由2xy －y 2＝－8，得6xy －3y 2＝－24②.①＋②，得(2x 2－2xy)＋(6xy －3y 2)＝(－6)＋(－24)＝－30，即2x 2＋4xy －3y 2＝－30. 7．解：(1)因为m 2－mn ＝21，mn －n 2＝－12，所以m 2－n 2＝(m 2－mn)＋(mn －n 2)＝21－12＝9.(2)因为m 2－mn ＝21，mn －n 2＝－12，所以m 2－2mn ＋n 2＝(m 2－mn)－(mn －n 2)＝21－(－12)＝21＋12＝33. 8．解：令x ＝0，得(0＋1)3＝d ，所以d ＝1.再令x ＝1，得(1＋1)3＝a ＋b ＋c ＋d ，所以a ＋b ＋c ＋d ＝8. 所以a ＋b ＋c ＝8－1＝7. 技巧2：整式加减在几何中的应用 【类型】一、利用整式加减求周长1．已知三角形的第一条边长是a ＋2b ，第二条边长比第一条边长大b －2，第三条边长比第二条边长小5.(1)求三角形的周长；(2)当a ＝2，b ＝3时，求三角形的周长． 【类型】二、利用整式加减求面积2．如图是一个工件的横截面及其尺寸(单位：cm )．(1)用含a ，b 的式子表示它的面积S ；(2)当a ＝15，b ＝8时，求S 的值(π≈3.14，结果精确到0.01)．【类型】三、利用整式加减解决计数问题 3．按如图所示的规律摆放三角形：(1)第4个图形中三角形的个数为________； (2)求第n 个图形中三角形的个数． 参考答案1．解：(1)由题意可得第二条边长为a ＋3b －2，第三条边长为a ＋3b －7.所以三角形的周长为(a ＋2b)＋(a ＋3b －2)＋(a ＋3b －7)＝3a ＋8b －9.(2)当a ＝2，b ＝3时，三角形的周长＝3×2＋8×3－9＝21. 2．解：(1)S ＝23ab ＋12π×⎝⎛⎭⎫a 22＝23ab ＋π8a 2(cm 2)．(2)当a ＝15，b ＝8时，S≈23×15×8＋3.148×152≈168.31(cm 2)．3．解：(1)14(2)观察图形可得摆放规律：中间一列三角形的个数比序号数大2，这一列两侧的三角形的个数分别与序号数相同，则第n 个图形中三角形的个数为n ＋2＋2n ＝3n ＋2. 技巧3：整体思想在整式加减中的应用 【类型】一、应用整体思想合并同类项1．化简：4(x ＋y ＋z)－3(x －y －z)＋2(x －y －z)－7(x ＋y ＋z)－(x －y －z)． 【类型】二、应用整体思想去括号2．计算：3x 2y －[2x 2z －(2xyz －x 2z ＋4x 2y)]． 【类型】三、直接整体代入3．若x ＋y ＝－1，xy ＝－2，则x －xy ＋y 的值是________． 4．已知A ＝2a 2－a ，B ＝－5a ＋1.(1)化简：3A －2B ＋2；(2)当a ＝－12时，求3A －2B ＋2的值．【类型】四、变形后再整体代入5．若m －n ＝－1，则(m －n)2－2m ＋2n 的值是( )A ．3B ．2C ．1D ．－16．已知a ＋b ＝7，ab ＝10，则代数式(5ab ＋4a ＋7b)－(4ab －3a)的值为________． 7．已知14x ＋5－21x 2＝－2，求代数式6x 2－4x ＋5的值． 【类型】五、特殊值法代入(特殊值法)8．已知(2x ＋3)4＝a 0x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4，求：(1)a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4的值； (2)a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4的值； (3)a 0＋a 2＋a 4的值． 参考答案1．解：原式＝－3(x ＋y ＋z)－2(x －y －z)＝－3x －3y －3z －2x ＋2y ＋2z ＝－5x －y －z.2．解：原式＝3x 2y －2x 2z ＋(2xyz －x 2z ＋4x 2y)＝3x 2y －2x 2z ＋2xyz －x 2z ＋4x 2y ＝7x 2y －3x 2z ＋2xyz. 3.14．解：(1)3A －2B ＋2＝3(2a 2－a)－2(－5a ＋1)＋2 ＝6a 2－3a ＋10a －2＋2 ＝6a 2＋7a.(2)当a ＝－12时，原式＝6a 2＋7a ＝6×⎝⎛⎭⎫－122＋7×⎝⎛⎭⎫－12＝－2. 5．A 点拨：原式＝(m －n)2－2(m －n)＝(－1)2－2×(－1)＝3. 6．597．解：因为14x ＋5－21x 2＝－2，所以14x －21x 2＝－7. 所以3x 2－2x ＝1.所以6x 2－4x ＋5＝2(3x 2－2x)＋5＝7.8．解：(1)将x ＝1代入(2x ＋3)4＝a 0x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4＝625.(2)将x ＝－1，代入(2x ＋3)4＝a 0x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4， 得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－2＋3)4＝1.(3)因为(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)＝2(a 0＋a 2＋a 4)， 所以625＋1＝2(a 0＋a 2＋a 4)， 所以a 0＋a 2＋a 4＝313. 【题型讲解】【题型】一、代数式求值例1、若2x y +=，3z y -=-，则x z +的值等于（ ） A ．5 B ．1 C ．-1 D ．-5【答案】C【提示】将两整式相加即可得出答案． 【详解】∵2x y +=，3z y -=-， ∵()()1x y z y x z ++-=+=-， ∵x z +的值等于1-， 故选：C【题型】二、同类项 例2、已知132n x y +与4313x y 是同类项，则n 的值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【提示】根据同类项的概念可得关于n 的一元一次方程，求解方程即可得到n 的值. 【详解】解：∵132n x y +与4313x y 是同类项，∵n+1=4， 解得，n=3， 故选：B.【题型】三、整式的加减例3、已知222232429,4520x xy y x xy y --=+-=，那么2281315x xy y --=_____________． 【答案】96【提示】令22324=--M x xy y ，2245N x xy y =+-，可得到22481315-=--M N x xy y ，即可求解；【详解】令22324=--M x xy y ，2245N x xy y =+-，则29M =，20N =，则22813154=---x xy y M N ，∵44292096M N -=⨯-=；故答案是96． 【题型】四、化简求值例4、如果多项式2247652x x x x -+-+与多项式2ax bx c ++（其中a ，b ，c 是常数）相等，则a = 3- ，b = ，c = ．【详解】2224765232x x x x x x -+-+=-++， 两个多项式相等， 2232ax bx c x x ∴++=-++， 3a ∴=-，1b =，2c =．故答案为：3-，1，2． 【题型】五、图形类规律探索例5、把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第∵个图案中有1个黑色三角形，第∵个图案中有3个黑色三角形，第∵个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第∵个图案中黑色三角形的个数为（ ）A ．10B ．15C ．18D ．21【答案】B【提示】根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第n 个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n ，据此可得第∵个图案中黑色三角形的个数． 【详解】解：∵第∵个图案中黑色三角形的个数为1， 第∵个图案中黑色三角形的个数3＝1+2， 第∵个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3， ……∵第∵个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15， 故选：B ．整式的加减（达标训练）一、单选题1．（2022·重庆·模拟预测）关于x 单项式23x 的次数是（ ）． A ．6 B ．5 C ．3 D ．2【答案】D【分析】根据单项式的次数的定义求解即可． 【详解】解：单项式为23x ，∴次数为所有字母指数的和，故其次数为2，故选：D ．【点睛】本题主要考查单项式，解题的关键是掌握单项式的次数为所有字母指数之和． 2．（2022·重庆大渡口·二模）下列各式中，不是．．整式的是（ ） A ．1xB ．x －yC ．6xy D ．4x【答案】A【分析】利用整式的定义逐项判断即可得出答案．【详解】解：A.1x既不是单项式，又不是多项式，不是整式，故本选项符合题意；B.x －y ，是多项式，是整式，故本选项不符合题意；C.6xy，是单项式，是整式，故本选项不符合题意； D.4x ，是单项式，是整式，故本选项不符合题意； 故选A ．【点睛】本题考查整式的定义，整式为单项式和多项式的统称，是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除、乘方五种运算，但在整式中除数不能含有字母．3．（2022·广西柳州·模拟预测）用代数式表示：a 的3倍与5的差．下列表示正确的是（ ） A ．35a - B ．()35a -C ．35a +D ．()35a +【答案】A【分析】根据差与倍数关系得出代数式解答即可． 【详解】解：a 的3倍与5的差，表示为：3a -5． 故选：A ．【点睛】本题考查列代数式问题，解题的关键是根据差与倍数关系得出代数式．4．（2022·江苏·宜兴市实验中学二模）若5x y +=，2310x y -=，则4x y -的值为（ ）． A ．15 B ．5-C ．5D ．3【答案】C【分析】利用第二个等式减去第一个等式即可得． 【详解】解：因为5x y +=∵，2310x y -=∵， 所以∵-∵得：4105x y -=-，即45x y -=， 故选：C ．【点睛】本题考查了代数式求值，正确找出所求代数式与两个已知等式之间的联系是解题关键． 5．（2022·北京海淀·二模）已知m = 2，则代数式2m -1 的值为（ ） A ．1 B ．﹣1C ．3D ．﹣3【答案】C【分析】将m =2代入即可求解． 【详解】∵m =2， ∵2m -1=2×2-1=3， 故选：C ．【点睛】本题考查了代数式求值的知识，将未知数的值代入即可求解．二、填空题6．（2021·贵州铜仁·三模）多项式2313xy z -的次数为________． 【答案】6【分析】根据“单项式的次数等于单项式各个字母的指数和”分析即可．【详解】单项式的次数：单项式各个字母的指数和，所以单项式2313xy z -的次数是1+2+3=6 注意x 的次数是1， 故答案为6．【点睛】本题考查了单项式的次数，单项式的次数等于单项式各个字母的指数和，字母没有指数，代表指数是1，不要漏掉．7．（2022·吉林省第二实验学校模拟预测）某种桔子的售价是每千克3元，用面值为100元的人民币购买了a 千克，应找回__________元． 【答案】（100-3a ）【分析】利用单价×数量=应付的钱；再用100元减去应付的钱等于剩余的钱即为应找回的钱． 【详解】解：∵水果的售价为每千克3元， ∵购买了a 千克这种水果应付3a 元， ∵应找回（100-3a ）元． 故答案为：（100-3a ）．【点睛】此题考查了列代数式，关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，列出代数式．三、解答题8．（2022·河北保定·一模）图∵、图∵是某月的月历(1)图∵中带阴影的方框中的9个数之和与方框正中心的数有什么关系？请说明理由．(2)如果将带阴影的方框移至图∵的位置，（1）中的关系还成立吗？若成立，说明理由．(3)甲同学说，所求的9个数之和可以是90，乙同学说，所求的9个数之和也可以是290，甲、乙的说法对吗？若对，求出方格中最中间的一个数，若不对，说明理由．【答案】(1)九倍关系，理由见解析(2)成立，理由见解析(3)甲对，中间数为10，乙不对，理由见解析【分析】（1）直接进行实数运算，算出阴影中9个数的和在与方框中心的数比较，即可得解；（2）方法同（1）；（3）根据（1）和（2）中的结果可知，9个数字之和需要是9的倍数才能满足要求，即用此方法去验证即可得解（1）九倍关系，理由：++++++++=，34510111217181999÷=，99119即：九倍关系；（2）成立，理由如下：∵8910151617222324144++++++++=，144169÷=，∵九倍关系成立； （3） 甲说法正确， 理由如下： ∵90910÷=， ∵甲正确， ∵中间数为10； 乙说法错误， 理由：∵22909329÷=，∵290不是9的整数倍， ∵乙说法错误．【点睛】本题主要考查了寻找实数之间的规律的知识，通过对阴影部分的观察并进行实数运算最后总结规律是解答本题的基础．9．（2022·北京北京·二模）已知22510+-=m m ，求代数式2(3)(1)++-m m m 的值． 【答案】10【分析】去括号，合并同类项化简代数式，再根据22510+-=m m 得2251+=m m 代入原式即可求得答案．【详解】解：2(3)(1)++-m m m2269=+++-m m m m 2259=++m m ，∵22510+-=m m ， ∵2251+=m m ，∵22591910m m ++=+=， ∵原代数式的值为10．【点睛】本题考查了代数式的化简，正确化简代数式是解题的关键．整式的加减（提升测评）一、单选题1．（2022·贵州六盘水·模拟预测）已知()443223412345x y a x a x y a x y a xy a y +=++++，则12345a a a a a ++++的值是（ ）A ．4B ．8C ．16D ．12【答案】C【分析】令1,1x y ==，代入已知等式进行计算即可得． 【详解】解：观察所求式子与已知等式的关系，令1,1x y ==，则412345(11)16a a a a a ++++=+=，故选：C ．【点睛】本题考查了代数式求值，观察得出所求式子与已知等式的关系是解题关键． 2．（2022·重庆·西南大学附中三模）若33a b -=，则(2)(2)a b a b +--的值为（ ）A ．13-B ．13C ．3D ．3-【答案】D【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a −3b ＝3代入进行计算即可解答． 【详解】解：∵33a b -=， ∵(2)(2)a b a b +--22a b a b =+-+ 3b a =-()3a b =--3=-故选：D ．【点睛】本题考查了整式的加减−化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．3．（2022·重庆八中二模）把黑色圆点按如图所示的规律拼图案，其中第∵个图案中有4个黑色圆点，第∵个图案中有6个黑色圆点，第∵个图案中有8个黑色圆点，…，按此规律排列下去，则第∵个图案中黑色圆点的个数为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18【答案】C【分析】观察发现每一个图形比前一个图形多2个黑色圆点，利用此规律求解即可． 【详解】解：第∵个图案中有4个黑色三角形， 第∵个图案中有4+2×1=6个黑色三角形， 第∵个图案中有4+2×2=8个黑色三角形， …，按此规律排列下去，则第n 个图案中黑色三角形的个数为4+2×(n -1)=2n +2， ∵第∵个图案中黑色三角形的个数为2×7+2=16， 故选：C ．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律：第n 个图案中黑色三角形的个数为2n +2．4．（2022·云南昆明·模拟预测）按一定规律排列的单项式：2a ，34a -，49a ，516a -，625a ，……，第n 个单项式是（ ） A ．()1211n n n a ++-B ．()211nn n a +-C ．()121n n n a +-D ．()21nn n a -【答案】A【分析】分别分析a 的系数与次数的变化规律，写出第n 个单项式的表达式． 【详解】解：2222(1)1a a =-⨯⨯，33234(1)2a a -=-⨯⨯，44249(1)3a a =-⨯⨯， 552516(1)4a a -=-⨯⨯， ⋅⋅⋅∴第n 个单项式是121(1)n n n a ++-．故选：A ．【点睛】本题考查了单项式的找规律问题，分别找出符号、系数、次数的变化规律，从而得出单项式的变化规律．5．（2022·安徽·模拟预测）下列说法正确的是（ ）A ．32x -的项是3x ，2B ．222x y xy x +-是二次三项式C ．23x y 与24yx -是同类项D ．单项式23x y π-的系数是3-【答案】C【分析】根据单项式与多项式的特点及性质即可求解． 【详解】A.32x -的项是3x ，-2，故A 错误； B.222x y xy x +-是三次三项式，故B 错误； C.23x y 与24yx -是同类项，故C 正确； D.单项式23πx y -的系数是3π-，故D 错误． 故选：C ．【点睛】此题主要考查单项式与多项式的定义，解题的关键是熟知单项式与多项式的特点及性质．二、填空题6．（2022·浙江宁波·一模）已知223x x -=，则2364x x --的值为___________. 【答案】5【分析】将2364x x --变形为()2324x x --，再将223x x -=整体代入即可得出答案． 【详解】解：()223643243345x x x x --=--=⨯-=，故答案为：5．【点睛】本题考查了代数式求值，整体思想是本题的关键．7．（2022·甘肃嘉峪关·三模）按一定规律排列的单项式：﹣a 2，4a 3，﹣9a 4，16a 5，﹣25a 6，…，第n 个单项式是 _____． 【答案】（﹣1）n •n 2•an +1【分析】观察字母a 的系数、次数的规律即可写出第n 个单项式． 【详解】解：∵第1个单项式-a 2=（-1）1•12•a 1+1， 第2个单项式4a 3=（-1）2•22•a 2+1， 第3个单项式-9a 4=（-1）3•32•a 3+1， 第4个单项式16a 5=（-1）4•42•a 4+1， ……∵第n （n 为正整数）个单项式为（-1）n •n 2•an +1， 故答案为：（-1）n •n 2•an +1．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是分别从系数、字母指数寻找其与序数间的规律．三、解答题8．（2020·浙江·模拟预测）化简：（1）4224534331x x y x y x +---- （2）2(2)(3)ab a a ab --- 【答案】（1）425x -；（2）3ab -7a 【分析】（1）直接进行同类项的合并即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可； 【详解】（1）4224534331x x y x y x +---- =4422533341x x x y x y -+--- =425x -（2）2(2)(3)ab a a ab --- =243ab a a ab --+ =3ab -7a【点睛】考查了整式的加减，解题关键是熟记去括号法则和运用合并同类项的法则． 9．（2022·河北·育华中学三模）如图的长方体中，已知高为x ，S 1＝16﹣x 2，S 2＝4x ﹣x 2．(1)用x 表示图中S 3； (2)求长方体的表面积． 【答案】(1)S 3＝4x +x 2 (2)-2x 2+16x +32【分析】（1）分别表示长方体的长和宽，可得S 3； （2）根据表面积公式代入可得答案． （1）∵S 2＝4x −x 2＝x (4−x )， ∵长方体的宽=4-x , ∵S 1＝16−x 2＝(4−x )(4+x ) ∵长方体的长=4+x ,∵S3＝x(4+x)＝4x+x2；（2）长方体的表面积=2（4x+x2）+2（16-x2）+2（4x-x2）=8x+2x2+32-2x2+8x-2x2=-2x2+16x+32．【点睛】本题考查了长方体，整式的加减，以及因式分解的应用,掌握长方形的面积=长×宽是解题的关键．。
整体思想在初一数学中的运用
整体思想在初一数学中的应用解决数学问题时，人们常习惯于把它分解成若干个较简单的问题，然后各个击破，有时研究某些数学问题时，往往不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是有意识地放大考察问题的视觉，将所有需要解决的问题看做一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构或作整体处理以后，顺利而又简捷地解决问题，这种从整体观点出发研究数学问题的数学思想称为整体思想。
它是一种重要的数学观念，也是数学解题中一种常见的思维方法，尤其在各种数学竞赛中表现得较为突出，有些数学问题，若拘泥于常规，从局部着手，则举步维艰；若整体考虑，则轻而易举。
引例：计算：111111111111111123201623420172320172342016⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++-++++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L L ＝___________________.一、整体思想在代数式求值中的应用1.当x ＝－6时，代数式531ax bx cx ++-的值为5，则当x ＝6时，这个代数式的值为_________.2.已知：241x x -=，则（1）23122x x --＝_________；（2）32532018______x x x -++=.3.已知正数a ，b ，c ，d ，e ，f 同时满足：1,2,3,4,6,9bcdef acdef abdef abcef abcdf abcde a b c d e f======，求a ＋b ＋c ＋d ＋e ＋f 的值.二、整体思想在方程（组）中的应用 1.二元一次方程组264316x y x y +=⎧⎨+=⎩的解是________________. 2.已知甲、乙、丙三种商品.若购甲4件，乙7件，丙1件共需36元；若购甲5件，乙8件，丙2件共需45元，则购甲、乙、丙三种商品各1件共需__________元.3.解方程：226201620172018x x x -+++=三、整体思想在几何图形中的应用1.如图是一个3×3的正方形网格，则∠1＋∠2＋……＋∠9＝___________.2.在△ABC 内部有2018个点，将这2018个点与点A 、B 、C 连结，可以把△ABC 分割成多少个互不重叠的三角形？四、课后练习1.已知：2,3,6ab bc ca a b b c c a ===+++，则abc ab bc ca ++＝_______________.2.已知：x =，求322201636731x x x x -+++的值.3.如图，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的数之和均不大于某一个整数M，求M的最小值并完成相应的填图游戏．。
“整体思想”在整式运算中的运用.doc
“整体思想”在整式运算中的运用“整体思想 ”是中学数学中的一种重要思想，贯串于中学数学的全过程，有些问题局部求解各个击破，没法解决，而从全局着眼，整体思虑，会使问题化繁为简，化难为易，思路清淅，演算简单，复杂问题水到渠成，现就 “整体思想 ”在整式运算中的运用，略举几例分析以下，供同学们参照：例 1、已知 a3 x 20 ， b 3 x 18 ， c3x 16 ，8 88求：代数式 a 2b 2c 2 ab ac bc 的值分析：此题若将 a 、 b 、 c 的值直接代入计算，则复杂繁琐，明显不行取，考虑到：a 2b 2c 2 ab ac bc =1 [( a b)2 (b c) 2(c a) 2 ] ，而由题设能够求得2a b,b c,c a 的值，整体代入，则化繁为简，快速可解由 a3 x 20 ，b 3 x 18 ，c 3 x 16 ，可得 a b 2, bc2,c a 4888进而 a2b2c2ab ac bc = 1[( a b) 2(b c) 2(c a) 2 ]112 = [( 2)2( 2) 2 42 ]24 1222例 2、已知 x y4 ， xy 1，求代数式 ( x 2 1)( y 21) 的值分析：由题设条件求出x, y 的值，再分别代入待求式计算，有必定困难，可考虑将待求式 ( x 2 1)( y 21) 变形，用 x y 和 xy 来表示，而后再整体代入求值( x 2 1)( y 2 1) = x 2 y 2 x 2 y 21 ( xy)2 ( xy) 2 2xy1把 xy 4 ， xy 1 ，整体代入获得：12 422 1 1 16 即 ( x 2 1)( y 2 1) =16例 3、已知 x2 时，代数式 ax 5 bx3 cx 8 10 ，求当 x2 时，代数式ax 5 bx 3cx 8 的值分析：因为 ax 5 bx 3cx 中 x 的指数均为奇数，故当 x 2 和 x 2 时，它的值恰好互为相反数，进而可用整体代入的方法求得代数式的值当 x 2 时，代数式 ax 5 bx 3 cx8 10 ，即25 a 23 b2c8 10则 32a 8b 2c 18①当 x2 时，代数式 ax 5 bx 3cx8 = ( 2) 5 a ( 2) 3 b( 2)c 8= (32a 8b 2c) 8将①式整体代入，获得(32a 8b 2c) 8= 18 8 26即当 x2 时，代数式 ax 5 bx3 cx 8 的值为26例 4、已知 abb c3 ， a 2 b 2c 2 1 ，则 ab bc ca 的值等于53分析：由已知条件求出 a,b, c 的值，再代入待求式计算， 比较复杂，由 ab bc5可先求出 a c 的值，再将 abbc ca 变形，用 a 2 b 2c 2 、 a b 、 bc 及 a c 来表示，进而整体代入，可使问题化难为易，敏捷获解由 ab b c36，能够获得 a c =55由 ( a b ) 2 (b c) 2(a c)22( a 2 b 2 c 2 ) 2(ab bc ac) 获得ab bc ca = (a 2b 2c 2 )1[( a b) 2(b c) 2(a c) 2 ]2将 a 2b 2c 2 、 a b 、 b c 及 a c 的值整体代入，可得ab bc ca =11 [( 3)2 ( 3) 2( 6) 2 ] 1 1 54 2M2 555N2 2525例 5、若 123456789 123456786123456788 123456787，试比较 M 与 N 的大小分析：在求代数式的值时，可先将条件或待求式变形，再整体代入求值，使问题化难为易，在解决大数值的问题时，也可考虑将某些大数值整体用字母代换，转变为整式问题，使问题化繁为简，奇妙获解，经过认真察看发现这些大数值都在123456788 左右颠簸，不妨将 123456788 整体用a代换，则123456789= a+1，123456786= a -2， 123456787= a -1，进而： M(a1)( a2) a 2a 2 ， N a( a 1) a2a因此 M N( a2a2)(a 2a)2＜0，由此获得： M ＜ N。
谈谈整体思想在初中数学解题中的应用
谈谈整体思想在初中数学解题中的应用作者：潘志波来源：《新课程·教育学术》2010年第06期数学思想方法是人们对数学内容的本质认识,是对数学知识和数学问题的进一步抽象和概括,属于对数学规律性的认识范畴。
数学思想方法是数学的灵魂,指导着数学问题的解决,并具体体现在解决问题的不同方法之中。
我们在研究某些数学问题时常常有意识地放大考察问题的视角,把将要解决的问题看作是一个整体,通过研究问题的整体形式,从而达到顺利而又简捷的解题目的。
它就是我们经常应用的整体数学思想。
整体数学思想是一种重要的数学观念,一些数学问题若拘泥于常规,则举步维艰。
若从整体考虑则会“柳暗花明”一举成功,顺利解题。
下面结合实例谈谈整体思想中的整体代入,整体设元,整体合并,数形结合等方法在解题中的应用。
一、整体代入有些问题,从表面上看要局部求出有关量,但实质上是只要从整体把握这些量之间的关系,思路会更明确,巧妙。
它适合于在一个等式中有两个未知数的情况。
例如:一个直角三角形的周长为24,斜边中线是5,求这个三角形的面积?解:如图:设AB=c,BC=a,AC=b,∠C=90°。
由已知得c=10,则可得a+b=14∵(a+b)2=196,a2+2ab+b2=196a2+b2=c2=100∴2ab=96,ab=48此题并没有求出a和b的值,而是直接考虑用整体思想去解决,即将ab当作一个整体对待。
在代数式求值的问题中我们也经常需要用整体代入去解决:例如:已知:x2+x-1=0,求代数式x4+2x3+2x2+x-1的值。
分析:此题若先从已知条件中解出x的值,然后代入代数式求解,尽管理论上是正确的。
但解答相当麻烦且困难,若注意到所求代数式与方程的关系,用整体思想进行分析求解,则会变得简单、容易。
解:已知x2+x-1=0,得x2+x=1而x4+2x3+2x2+x-1=x4+2x3+x2+x2+x-1=(x2+x)2+x2+x-1=12+0=1二、整体设元对于较复杂的代数式求值问题时,我们可以考虑用整体设元进行。
“整体思想”在整式运算中的妙用
“整体思想”在整式运算中的妙用
孙道京
【期刊名称】《中学语数外：初中版》
【年(卷),期】2004(000)005
【摘要】北师大版初一数学七年级下册第27页有这样一段话：“多项式与多项式相乘可以先把其中的一个多项式看成一个整体，再运用单项式相乘的方法进行计算．”这种数学解题思想称之为整体思想，运用整体思想进行整式的有关运算，可以化繁为简，收到事半功倍的效果，如下面几例．
【总页数】1页(P36)
【作者】孙道京
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】G633.62
【相关文献】
1.整体思想在整式的加减求值中的运用 [J],
2.整式中的整体思想（一）专题讲解 [J],
3.例说整体思想在整式加减中的运用 [J], 武香娇
4.整体思想在整式加减中的运用 [J], 郭冰心
5."整体思想"在整式运算中的运用与思考 [J], 颜厥胜
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
数学中的整体思想
[规律总结]在含有多重括号的运算式中,括号里的项 是否变号,只与该项以及该项所在的各层括号前面的 “－〞号有关,而与其前面的“＋〞号无关.因此只 要从外向里逐层确定影响该项的“－〞号的个数就 可整体去括号.当某项受奇数个“－〞号影响时该项 变号,受偶数个“－〞号影响时该项不变号.
分析：假设要直接求出a与b的值，要用 二次方程求解较繁。但由联想到运用整 体思想〔将ab视为一个整体〕，问题便 可顺利获解。
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 即
又由得
所以
第十七章 实数
观察全局，就是从全局上对条件进展观 察分析，综合考察，从而得出解决问题途径。
例：假设实数满足
那么
y202x 0 3 3 2030 2x 4 2
解:原式＝(4＋3)(x＋y)＋(2－3)(x－y)＝7(x＋ y)－(x－y)＝7x＋7y－x＋y＝6x＋8y.
[规律总结]括号内所含内容一样的多项式运算, 可将括号看作一个“整体〞先行合并,再去括 号,可简化运算.
五、整体去括号
化简 2 x 2 y 2 x 3 x 2 y 2 ( 3 x 2 y 2 x Байду номын сангаас 4 x y 2 y
解:∵x＝2m＋1,y＝1－2m.
∴x＋y＝2,x－y＝4m.
∴原式＝ ＋(x＋y)(x－y)＝ ＋2×4m＝16
＋8m. (x y)2
(4m)2
m2
[规律总结]把计算式中的某部分看作整体或先作适当变形转化,再整体代入,是经常 使用的一种方法.
二、整体转化法
计算(3a＋2b－c＋5)(3a－2b＋c＋5) [思路分析]将(3a＋5)看成一样的项,将(2b－c) 看成相反的项,问题就转化平方差公式,计算起 来就方便了. 解:原式＝ ( 3 a 5 ) 2 ( 2 b c ) 2 9 a 2 3 a 2 0 4 b 5 2 4 b c 2 c
5、整体思想在整式求值中的运用
整体思想在整式求值中的运用方法指导：整式的化简求值中，当单个字母的值不易求出或化简后的结果与已知值的式子相关联时，需要将已知式子的值整体代入计算.（2）m2-2m n+n2;（3）2m2+m n-3n2;练习：1.已知－x＋2y＝5，那么5(－x＋2y)2－4(－x＋2y)－60的值为( )A.85B.45C.80D.402.若x－3y＝4，则1＋3y－x的值是( )A.－3B.5C.3D.－53.若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋2n的值为( )A.3B.2C.1D.－14.若代数式2x2＋3x＋7的值是8，则代数式4x2＋6x－9的值是( )A.2B.－17C.－7D.75.已知x2＋2x－1＝0，则3x2＋6x－2＝ .6.如果m，n互为相反数，那么(3m－2n)－(2m－3n)＝ .7.已知x＝2y＋3，则代数式4x－8y＋9的值是 .8.若2a－b＝2，则6＋4b－8a＝ .10.已知a2＋b2＝6，ab＝－2，求(4a2＋3ab－b2)－(7a2－5ab＋2b2)的值.11、将(a+b)+2(a+b)-4(a+b)合并同类项后结果是12、化简-(x-y)-4(x-y)得13、把（x-3）看成一个整体，化简)3()3(5)3(2)3(22-+-----x x x x14、把（x+y ）看作一个整体，化简求值： 35325)(31)(21)(34)(2)(21y x y x y x y x y x +++-+-+++，其中x=3-y15、若m-n=2，则代数式2-3m+3n 的值为16、已知532++x x 的值为7，则=-+2932x x17、已知6232+-y y 的值是8，则代数式1232+-y y 的值是 18、已知0443=+-x x ，则106323++-x x 的值是 19、当x=1时，代数式201713=++bx ax ，则x= -1时，13++bx ax 的值为20、当x=7时，代数式53-+bx ax 的值是7；则当x= -7时，代数式53-+bx ax 的值是21、阅读材料：我们知道，4x －2x ＋x ＝(4－2＋1)x ＝3x ，类似地，我们把(a ＋b)看成一个整体，则4(a ＋b)－2(a ＋b)＋(a ＋b)＝(4－2＋1)(a ＋b)＝3(a ＋b).“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.尝试应用：(1)把(a －b)2看成一个整体，合并3(a －b)2－6(a －b)2＋2(a －b)2的结果是 ；(2)已知x 2－2y ＝4，求3x 2－6y －21的值；(3)已知a－2b＝3，2b－c＝－5，c－d＝10，求(a－c)＋(2b－d)－(2b－c)的值.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
整体思想在整式求值中的运用
方法指导：整式的化简求值中，当单个字母的值不易求出或化简后的结果与已知值的式子相关联时，需要将已知式子的值整体代入计算.
（2）m2-2m n+n2;
（3）2m2+m n-3n2;
练习：
1.已知－x＋2y＝5，那么5(－x＋2y)2－4(－x＋2y)－60的值为( )
A.85
B.45
C.80
D.40
2.若x－3y＝4，则1＋3y－x的值是( )
A.－3
B.5
C.3
D.－5
3.若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋2n的值为( )
A.3
B.2
C.1
D.－1
4.若代数式2x2＋3x＋7的值是8，则代数式4x2＋6x－9的值是( )
A.2
B.－17
C.－7
D.7
5.已知x2＋2x－1＝0，则3x2＋6x－2＝ .
6.如果m，n互为相反数，那么(3m－2n)－(2m－3n)＝ .
7.已知x＝2y＋3，则代数式4x－8y＋9的值是 .
8.若2a－b＝2，则6＋4b－8a＝ .
10.已知a2＋b2＝6，ab＝－2，求(4a2＋3ab－b2)－(7a2－5ab＋2b2)的值.
11、将(a+b)+2(a+b)-4(a+b)合并同类项后结果是
12、化简-(x-y)-4(x-y)得
13、把（x-3）看成一个整体，化简)3()3(5)3(2)3(2
2-+-----x x x x
14、把（x+y ）看作一个整体，化简求值： 35325)(3
1)(21)(34)(2)(21y x y x y x y x y x +++-+-+++，其中x=3-y
15、若m-n=2，则代数式2-3m+3n 的值为
16、已知532++x x 的值为7，则=-+2932x x
17、已知6232+-y y 的值是8，则代数式
1232+-y y 的值是 18、已知0443=+-x x ，则106323++-
x x 的值是 19、当x=1时，代数式201713=++bx ax ，则x= -1时，13++bx ax 的值为
20、当x=7时，代数式53-+bx ax 的值是7；则当x= -7时，代数式53-+bx ax 的值是
21、阅读材料：
我们知道，4x －2x ＋x ＝(4－2＋1)x ＝3x ，类似地，我们把(a ＋b)看成一个整体，则4(a ＋b)－2(a ＋b)＋(a ＋b)＝(4－2＋1)(a ＋b)＝3(a ＋b).“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.
尝试应用：
(1)把(a －b)2看成一个整体，合并3(a －b)2－6(a －b)2＋2(a －b)2的结果是 ；
(2)已知x 2－2y ＝4，求3x 2－6y －21的值；
(3)已知a －2b ＝3，2b －c ＝－5，c －d ＝10，求(a －c)＋(2b －d)－(2b －c)的值.。