《点到直线的距离公式》示范公开课教学设计【高中数学必修4(北师大版)】

《点到直线的距离公式》教学设计

“点到直线的距离”是在学生学习直线方程的基础上，进一步研究两直线位置关系的一节内容，我们知道两条直线相交后，进一步的量化关系是角度，而两条直线平行后，进一步的量化关系是距离，而平行线间的距离是通过点到直线距离来解决的。

【知识与能力目标】

1掌握点到直线距离公式及其应用。

2.会用点到直线距离求两平行线间的距离。

【过程与方法目标】

经历公式的形成过程，体会由实例得出公式的方法，培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力。

【情感态度价值观目标】

通过推导公式方法的发现，培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力；在推导过程中，渗透数形结合、转化（或化归）等数学思想以及特殊与一般的方法；通过本节学习，引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中获得的成功感。

【教学重点】

理解点到直线的距离公式，并能进行简单应用

【教学难点】

会用点到直线距离求两平行线间的距离

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、复习引入。

回顾：两点间的距离公式

平面上P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点间的距离公式P 1P 2＝

x 2－x 1

2

＋y 2－y 1

2

.特别地，当x 1＝x 2＝0，即两点在y 轴上时，P 1P 2＝|y 1

－y 2|；当y 1＝y 2＝0，即两点在x 轴上时，P 1P 2＝|x 1－x 2|。

巩固练习

1．点(－2,3)到原点的距离为________。 【解析】 d ＝－2－0

2

＋3－0

2

＝13。

【答案】

13。

2．三角形三顶点为A (－1,0)，B (2,1)，C (0,3)，则△ABC 的三边长分别为________。

【解析】 |AB |＝2＋12

＋

1－0

2

＝10，

|AC |＝0＋12

＋3－02

＝10， |BC |＝2－0

2＋

1－3

2

＝22。

【答案】

10，10，22。

回顾：中点坐标公式

对于平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点是M (x 0，y 0)，则

⎩⎪⎨⎪⎧

x 0

＝x 1

＋x 2

2，y 0

＝y 1

＋y 2

2.

。

巩固练习

1．已知A(0,2)，B(3,0)，则AB 中点P 的坐标为________。

【解析】

设P(x ，y)，则⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝0＋32＝3

2，

y ＝2＋02＝1，

∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1。 【答案】 ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

32，1

2．已知A(－3,2)，B(7，－8)，C(x ，y)，若B 为AC 的中点，则x ＋y 的值为________。

【解析】

∵B 为AC 的中点，∴⎩⎪⎨

⎪⎧

7＝

x －3

2，

－8＝2＋y

2，

∴x ＝17，y ＝－18，故x ＋y ＝－1。 【答案】 －1 二、探究新知。 点到直线的距离

阅读教材P101～P102，完成下列问题。 1．点到直线的距离公式：

点P0(x0，y0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝

|Ax0＋By0＋C|

A2＋B2

。

2．点P0(x0，y0)到直线l ：y ＝kx ＋b 的距离d ＝|kx0－y0＋b|

k2＋1

。

3．两平行线间的距离是指夹在两条平行线间公垂线段的长，可以转化为点到直线的距离。

4．两平行线间的距离公式：

若两条平行直线l1：Ax ＋By ＋C1＝0，l2：Ax ＋By ＋C2＝0(C1≠C2)，则l1，l2间的距离d ＝|C1－C2|

A2＋B2

。

巩固练习

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)点(m ，n)到直线x ＋y －1＝0的距离是m ＋n －12。(×)

(2)连结两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离。(×) (3)两平行线间的距离是两平行线上两点间的最小值。(√)

(4)两点

P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式P1P2＝

x1－x2

2＋

y1－y2

2与两点的先后顺序无关。(√)

2．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为_______。 【解析】 d ＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2＝|－5|

5

＝5。

【答案】

5

3．两条平行线l1：3x ＋4y －7＝0和l2：3x ＋4y －12＝0的距离为________。 【解析】 d ＝|－7－－12|32＋42

＝1

【答案】 1 三、例题解析。

两点间距离公式及其应用

如图2－1－12，△ABC 的顶点B(3,4)，AB 边上的高CE 所在直线方程为2x ＋3y －16＝0，BC 边上的中线AD 所在直线方程为2x －3y ＋1＝0，求边AC 的长。

图2－1－12

【精彩点拨】 利用直线AB ，AD 的方程求交点A.利用D 是线段BC 的中点，将点C 的坐标转化到点D 上，再利用点C 在直线CE 上，点D 在直线AD 上解得点C.然后利用两点间距离公式求AC 。

【自主解答】 设点A ，C 的坐标分别为A(x1，y1)，C(x2，y2)。 ∵AB ⊥CE ，kCE ＝－23，∴kAB ＝－1kEC ＝3

2。

∴直线AB 的方程为3x －2y －1＝0。 由⎩⎨

⎧

3x1－2y1－1＝0，

2x1－3y1＋1＝0，

得A(1,1)。

∵D 是BC 的中点，∴D ⎝

⎛⎭⎪⎫

x2＋32

，y2＋42.。