《点到直线的距离公式》示范公开课教学设计【高中数学必修4(北师大版)】
《点到直线的距离》教学设计(优质课)
点到直线的距离（一）教学目标1．知识与技能理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线距离公式.2．过程和方法会用点到直线距离公式求解两平行线距离.3．情感和价值认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题.（二）教学重点、难点教学重点：点到直线的距离公式.教学难点：点到直线距离公式的理解与应用.（三）教学方法学导式教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。
逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学.要求学生思考点到直线的距离的计算？能否用两点间距离公式进行推导？设置情境导入新课们将研究怎样由点的坐标和直线的方程求点P到直线l 的距离.概念形成1．点到直线距离公式点P (x0，y0)到直线l：Ax +By + C = 0的距离为0022||Ax By CdA B++=+推导过程方案一：设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥l可知，直线PQ的斜率为BA(A≠0)，根据点斜式写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标：由此根据两点距离公式求出|PQ|，得到点P到直线l的距离为d.此方法虽思路自然，但运算较繁，下面我们探讨另一种（1）教师提出问题已知P(x0，y0)，直线l：Ax+ By+C= 0，怎样用点的坐标和直线方程直接求点P到直线l的距离呢？学生自由讨论（2）数形结合，分析问题，提出解决方案.把点到直线l的距离转化为点P到l的垂线段的长，即点到点的距离.画出图形，分析任务，理清思路，解决问题. 寻找最佳方案，附方案二.方案二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R (x1，y0)；作y轴的平行线，交l于点S(x0，y2)，由11002A x By CAx By C++=⎧⎨++=⎩得0012,By C Ax Cx yA B----==通过这种转化，培养学生“化归”的思想方法.方法.所以0001||||||Ax By CPR x x A++=-=0002||||||Ax By CPS y y B++=-=22||RS PR PS =+=22||A B AB +00||Ax By C ⨯++由三角形面积公式可知d ·|RS |=|PR |·|PS |. 所以0022||Ax By C d A B++=+可证明，当A = 0时仍适用. 这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识、能力、意志品质等方面得到了提高.应用举例例1 求点P = (–1，2 )到直线3x = 2的距离. 解：22|3(1)2|5330d ⨯--==+例2 已知点A (1，3)，B (3，1)，C (–1，0)，求三角形ABC的面积.学生分析求解，老师板书 例2 解：设AB 边上的高为h ，则221||2||(31)(13)22ABCSAB h AB =⋅=-+-=AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离.AB 边所在直线方程为311331y x --=-- 即x + y – 4 = 0.点C 到x + y – 4 = 0的距离为h2|104|5112h -+-==+， 通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.因此，1522522S ABC=⨯⨯=概念深化2．两平行线间的距离d已知l1：Ax + By + C1 = 0l2：Ax + By + C2 = 01222||C CdA B-=+证明：设P0 (x0，y0)是直线Ax + By + C2= 0上任一点，则点P0到直线Ax+ By + C1=0的距离为00122||Ax By CdA B++=+.又Ax0 + By0 + C2 = 0即Ax0 + By0= –C2，∴1222||C CdA B-=+教师提问：能不能把两平行直线间距离转化为点到直线的距离呢？学生交流后回答.再写出推理过程进一步培养学生化归转化的思想.应用举例例3 求两平行线l1：2x + 3y– 8 = 0l2：2x + 3y– 10 =0的距离.解法一：在直线l1上取一点P(4,0)，因为l1∥l2，所以P到l2的距离等于l1与l2的距离，于是22|243010|2131323d⨯+⨯-==+在教师的引导下，学生分析思路，再由学生上台板书.开拓学生思维，培养学生解题能力.备选例题例1 求过点M (–2，1)且与A (–1，2)，B (3，0)两点距离相等的直线的方程. 解法一：当直线斜率不存在时，直线为x = –2，它到A 、B 两点距离不相等. 所以可设直线方程为：y – 1 = k (x + 2)即kx – y + 2k + 1 = 0. 由=解得k = 0或12k =-.故所求的直线方程为y – 1 = 0或x + 2y = 0. 解法二：由平面几何知识：l ∥AB 或l 过AB 的中点.若l ∥AB 且12AB k =-，则l 的方程为x + 2y = 0. 若l 过AB 的中点N (1，1)则直线的方程为y = 1. 所以所求直线方程为y – 1 = 0或x + 2y = 0.例2 （1）求直线2x + 11y + 16 = 0关于点P (0，1)对称的直线方程.（2）两平行直线3x + 4y – 1 = 0与6x + 8y + 3 = 0关于直线l 对称，求l 的方程. 【解析】（1）当所求直线与直线2x + 11y + 16 = 0平行时，可设直线方程为2x + 11y + C =0由P 点到两直线的距离相等，即=，所以C = –38.所求直线的方程为2x + 11y – 38 = 0.（2）依题可知直线l 的方程为：6x + 8y + C = 0. 则它到直线6x + 8y – 2 = 0的距离1d =到直线6x + 8y + 3 = 0的距离为2d =所以d 1 = d 2=12C =.即l 的方程为：16802x y ++=.例3 等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 和顶点B 都在直线2x + 3y – 6 = 0上，顶点A 的坐标是(1，–2).求边AB 、AC 所在直线方程.【解析】已知BC 的斜率为23-，因为BC ⊥AC 所以直线AC 的斜率为32，从而方程32(1)2y x +=- 即3x – 2y – 7 = 0又点A (1，–2)到直线BC ：2x + 3y – 6 = 0的距离为||AC =，且||||AC BC =.由于点B 在直线2x + 3y – 6 = 0上，可设2(,2)3B a a -，且点B 到直线AC的距离为2|32(2)7|a a --- 13|11|103a -= 所以1311103a -=或1311103a -=-，所以6313a =或313 所以6316(,)1313B -或324(,)1313B 所以直线AB 的方程为162132(1)63113y x -++=--或242132(1)3113y x ++=-- 即x – 5y – 11 = 0或5x + y – 3 = 0 所以AC 的直线方程为：3x – 2y – 7 = 0AB 的直线方程为：x – 5y – 11 = 0或5x + y – 3 = 0.。
《点到直线的距离公式》教学设计
（三）理解应用，巩固所学知识1、教师出示例1、2并分析：例1. 点A(a，6)到直线3x-4y=2的距离等于4，求a的值．例2. 求平行直线l1：2x-7y-6=0和l2：2x-7y+8=0间的距离.2、出示例3例3、等腰三角形底边延长线上一点到两腰所在直线的距离之差与一腰上的高有何关系?（1）( 用几何画板演示) 你们看到了什么? 可以得到什么结论?（2）如何证明?（3）( 再次用几何画板演示) 你们还看到了什么? 还可以得到什么结论?（4）请大家课后证明.引导学生分析公式特征,有利于加深对公式的理解和应用.学生回答：等腰三角形底边延长线上一点到两腰所在直线的距离之差等于一腰上的高.估计学生可能寻求到下面的解法: (1) 几何法;(2)解析法.分析1 用几何法,考虑三角形的面积.分析2 用解析法,建立适当的直角坐标系,写出相关点的坐标和直线的方程.学生回答：等腰三角形底边上一点到两腰所在直线的距离之和等于一腰上的高.逆用公式，活用公式.让学生体会转化思想.有利于培养学生的自主探究的能力,也体现了数学教学与信息技术的结合.进一步挖掘题目的开放功能,形成“再创造”的过程.（四）课堂小结，反思提高1、师：这节课我们学到了什么? 有何体会?2、师：点到直线的距离与两条平行直线之间的距离有着密切的联系．通过公式的推导,请同学们认真体会利用图形特点解题的好处．生：这节课我们学习了平面内点到直线的距离公式和两条平行直线之间的距离公式,体会到了数形结合、算法、转化、函数等数学思想方法.根据认知理论,小结以学生为主,教师为辅的方式进行,学生可回顾本节课的学习过程,也是对探究过程的再认识和数学思想方法的升华.（五）布置作业，进一步巩固。
《点到直线的距离公式》示范课教学设计【高中数学】
《点到直线的距离公式》教学设计【提出问题，探究公式】问题1：如图，已知点00(,)P x y ，直线:0(0,0)l Ax By C A B ++=≠≠，如何求P 到直线l 的距离？追问1：如何求出||PQ 的距离？答案：利用两点间距离公式，需要先求出P ，Q 点的坐标. 其中，P 点坐标已知，因此只需求出点Q 的坐标.追问2：如何求出点Q 的坐标？答案：点Q 是直线l 与垂线PQ 的交点，所以联立两条直线方程求交点坐标. 追问3：如何求垂线PQ 的方程？答案：已知一点00(,)P x y ，再求出直线PQ 的斜率，即可写出直线PQ 的点斜式方程. 追问4：如何求垂线PQ 的斜率？答案：垂线PQ 与直线l 垂直，直线l 的斜率为A B -，可得垂线PQ 的斜率B A. 由此，求得垂线PQ 方程为00()By y x x A-=-， 整理得00Bx Ay Bx Ay -=-. 解方程组：000, (1). (2)Ax By C Bx Ay Bx Ay ++=⎧⎨-=-⎩将（1）×A+（2）×B 得22200()0 A B x AC ABy B x +++-=， 整理得20022B x ABy ACx A B--=+.同理可得20022ABx A y BCy A B-+-=+，则2200002222(,)B x ABy AC ABx A y BCQ A B A B ---+-++.利用两点间距离公式22220000002222||()()B x ABy ACABx A y BCPQ x y A BA B----=-+-++，通分，原式22220000222()()()A x ABy AC ABx B y BC A B +++++=+22220000222()()()A Ax By C B Ax By C A B +++++=+22200222()()()A B Ax By C A B +++=+0022||Ax By C A B++=+.由此，求得点P 到直线l 的距离0022||Ax By C d A B++=+.追问5：如图，如果直线:0(0)l Ax By C A ++==平行于x 轴，点00(,)P x y 到直线l 的距离还满足上式吗？答案：此时，00(,)P x y 到直线l 的距离 00||||||By C C d y B B +=+=, 由0A =，d 也表示为0022||Ax By C d A B++=+.追问6：如果直线:0(0)l Ax By C B ++==垂直于x 轴，点00(,)P x y 到直线l 的距离还满足上式吗？答案：此时，00(,)P x y 到直线l 的距离00||||||Ay C C d x A A +=+=， 点到直线距离也可表示为0022||Ax By C d A B++=+.一般地，点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离：0022||Ax By C d A B++=+.【反思过程，简化方法】问题2：上述推导过程思路自然，但运算较繁，反思求解过程，你能发现引起复杂运算的原因吗?答案：原因在于，求出的点Q 坐标比较复杂，再代入两点间距离公式造成了运算的复杂.追问1：能否不求出Q 的坐标，推得点到直线距离公式? 答案：设(,)Q x y ，观察两点间距离公式的结构()()2200||PQ x x y y =-+-，能否从方程组中直接写出0x x -，0y y -的表达式？由000(),Ax By C By y x x A++=⎧⎪⎨-=-⎪⎩， 得000000()()()(3)()()0, (4)A x x B y y Ax By C B x x A y y -+-=-++⎧⎨---=⎩，将(3)、(4)两边分别平方后相加可得：22222220000()()()()()A B x x A B y y Ax By C +-++-=++，所以222000022()()()Ax By C x x y y A B++-+-=+从而，22000022||||()()Ax By C PQ x x y y A B++=-+-=+.追问2：与第一种方法相比，第二种方法的计算量大大降低. 能否概述简化运算的过程吗?答案：第二种方法的推导过程，实际上是从所求表达式的结构入手，虽然“设出”点Q 的坐标，但是并不求出点Q 的坐标，通过整体代换简化了运算.“设而不求”和“整体代换”也是运算中十分常用的方法.【多方联系，探究新法】问题3：向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线的距离呢?答案：如图，点到直线的距离||PQ 是点与直线上所有点的距离中最短的. 追问1：点P 与直线l 上任一点所成向量与向量PQ 有何关系呢？ 答案：设M （x ，y ）是直线l 上的任意一点，PQ 是PM 在直线PQ 方向上的投影.||||PQ PM =⋅n ，其中n 是与直线l 的方向向量垂直的单位向量.追问2：如何用坐标表示向量n ?答案：因为直线:0l Ax By C ++=的斜率为A B -，它的一个方向向量为(1,)AB-，因此，由向量的数量积运算可求得与直线l 垂直的一个方向向量为(1,)BA，由此，与直线l 垂直的单位向量()222(1,)11()BA AB B A BA==++，n由此便可计算||PQ 的长度.因为||||PQ PM =⋅n ，其中00(,)PM x x y y =--， 所以||||PQ PM =⋅n==(5)因为M （x ，y ）在直线l 上，则0Ax By C ++=. 代入(5)式整理得||PQ =问题4：比较上述推导点到直线距离公式的“坐标法”和“向量法”两种方法，它们各有什么特点?答案： “坐标法”是通过寻找所求量的坐标表示，再经过一系列运算最终得到点到直线距离公式. 坐标法运算量较大，所以我们还要寻求简化运算的方法. 这里我们用到了设而不求，整体代换的手段.相比之下，“向量法”抓住了点到直线距离是点与直线上点的最短长度这一几何特征，借助投影向量、直线方向向量的概念，将向量用坐标表示，再运算求解.这种方法体现了解析几何形与数、数与形的转化，技巧性强，但是大大降低了运算量.其实“向量法”只是用到了向量的壳，本质上还是在用点的坐标运算. 我们不是常说解析几何就是用代数方法研究几何问题.这里的代数方法就是把图形放入坐标系中，用点的坐标来刻画图形间的关系，这是解析几何的本质.【分析结构，理解公式】问题5：点到直线距离公式有什么结构特征？答案：公式的分子：保留直线方程一般式的结构，只是把P 的坐标代入到了直线方程中，体现了公式与直线方程关系.特别地，如果P 在直线上，点到直线的距离为0，此时，式子中的分子为0，整个式子也等于0. 运算结果与实际相符. 这么一来，这个公式可以表示平面内任一点到任一直线的距离.注意，因为所求的是距离，所以要加绝对值保证结果为正. 【巩固应用，解决问题】例1：求点(1,2)P -到直线:32l x =的距离.答案：教师引导学生先把直线的方程写成一般式，然后运用点到直线的距离公式求解，这是公式的直接应用．进一步，引导学生通过画图或对直线方程的观察，发现方程表示的直线很特殊，因而可以直接运用横坐标差的绝对值求解．点P 0（-1，2）到直线l ：3x -2=0的距离22|3(1)2|5330d ⨯--==+. 例2 如图，已知△ABC 的三个顶点分别是A （1，3），B （3，1），C （-1，0），求△ABC 的面积．答案：如图，设边AB 上的高为h ，则S △ABC =12|AB |h ． 22(31)(13)22AB =-+-=．边AB 上的高h 就是点C 到直线AB 的距离． 边AB 所在直线l 的方程为311331y x --=--， 即x +y -4=0．故点C （-1，0）到直线l ：x +y -4=0的距离22|104|552=2211h -+-==+. 【回顾小结，提升认识】问题6：你能写出点到直线的距离公式吗？这个公式如何证明？ 公式证明的三种方法各有特点，谈一谈你的体会？答案：“坐标法”是解析几何问题中最本质的方法，是通过点的坐标建立方程再计算获得结论.第二种“坐标法”采用了“设而不求”的想法，通过整体代换的思想简化了运算.“向量法”利用了投影向量的概念，借助向量运算获得点到直线距离公式. 这个方法十分巧妙，大大降低了运算量，但是需要熟练使用向量的相关知识.除了这三种证明方法，你还有没有其他的想法？请同学们课后思考？。
《点到直线的距离公式》说课稿和教案
《点到直线的距离公式》说课稿一、教材分析:1、教学内容的分析: 点到直线的距离公式是《平面解析几何》第一章最后一节内容，是在研究了平面内直线的方程，两直线的位置关系的基础上的一个重要内容，它既是第一章的终点部分，又是第二章解决一些轨迹问题的基础，同时，这节课也是培养学生迁移，联想及探索创新能力的好素材。
2、学生的分析：学生刚学完两条直线的位置关系，在处理一些简单问题上有了一个明显的认识，但在较复杂的应用方面还不够熟练，所以进行必要的引导很有必要二、教学目标分析：（依据教纲和本节教材的特点确定）（1）知识目标：A：理解点到直线距离公式的推导过程。
B：掌握点到直线的距离公式。
（2）能力目标：培养学生迁移，联想能力，逻辑思维能力，数形结合能力。
（3）情感目标：通过多种手法，进行数学的美学教育，提高学生的学习积极性。
三、教学重点：点到直线的距离公式。
四、教学难点：引导学生迁移，联想，创新思维，找出证明途径。
五、教学关键：教师必须抓住学生思维的火花，让学生的内在动机外显行为化。
六、教法分析:（遵循“教师为主导，学生为主体”的原则）1、教师必须抛弃过去的那种单纯的教师讲授，学生接受的教学模式，在教学中启发引导，迁移联想，构建模型。
由于本节内容为第一章最后一节内容，学生对点、线、线线关系均有了一个较为明确的认识。
因此改变传统的求证方法，以引导思路为主，让学生边探索，边发现，最后证明距离公式。
2、多媒体教学，使整个课上得生动、有趣、高效。
3、使用教具，多媒体课件及投影仪。
七、学习方法分析：充分地调动学生的学习积极性，增加学生的参与机会，让学生“动手、动脑”，因此在教学中，引导学生“动手做，大胆猜，严格证，勤钻研”的学习方法，让学生“学”有所“思”，“思”有所“得”，最终达到学生会学的目的。
八、教学程序：1、复习提问：① 平面内点与直线的位置关系有几种？ ② 点到直线的距离的定义（设计意图：通过简明的情景设置为本节作好 知识的铺垫与图形准备） 2、演示启发：由复习可知，点到直线的距离是点到直线的垂线段的长，那么怎样用解析法求点到直线的距离呢？（设计意图：提出问题，激发学生的求知欲，探索欲。
《点到直线的距离》教学设计（通用3篇）
《点到直线的距离》教学设计（通用3篇）《点到直线的距离》篇1一、教材分析：1、地位与作用：解析几何第一章主要研究的是点线、线线的位置关系和度量关系，其中以点点距离、点线距离、线线位置关系为重点，点到直线的距离是其中最重要的环节之一，它是解决其它解析几何问题的基础。
本节是在研究了两条直线的位置关系的判定方法的基础上，研究两条平行线间距离的一个重要公式。
推导此公式不仅完善了两条直线的位置关系这一知识体系，而且也为将来用代数方法研究曲线的几何性质奠定了基础。
而更为重要的是：通过认真设计这一节教学，能使学生在探索过程中深刻地领悟到蕴涵于公式推导中的重要的数学思想和方法，学会利用化归思想和分类方法，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，同时培养学生浓厚的数学兴趣和良好的学习品质。
2、重点、难点及关键：重点是“公式的推导和应用”，难点是“公式的推导”，关键是“怎样自然地想到利用坐标系中的x轴或y轴构造rt△，从而推出公式”。
对于这个问题，教材中的处理方法是：没有说明原因直接作辅助线(呈现教材)。
这样做，无法展现为什么会想到要构造rt△这一最需要学生探索的过程，不利于学生完整地理解公式的推导和掌握与之相应的丰富的数学思想方法。
如果照本宣科，则不能摆脱在客观上对学生进行灌注式教学。
事实上，为了真正实现以学生为主体的教学，让学生真正地参与进来，起关键作用的是设计出有利于学生参与教学的内容组织形式。
因此，我没有像教材中那样直接作辅助线，而是对教学内容进行剪裁、重组和铺垫，构建出在探索结论过程中侧重于学生能力培养的一系列教学环节，采用将一般转化到特殊的方法，引导学生通过对特殊的直观图形的观察、研究，自己发现隐藏其中的rt△，从而解出|pq|。
在此基础上进一步将特殊问题还原到一般，学生便十分自然地想在坐标系中探寻含pq的rt△，找不到，自然想到构造，此时再过p点作x轴或y轴的平行线就显得“瓜熟蒂落，水到渠成”了。
本设计力求以启迪思维为核心，设计出能启发学生思维的“最近发展区”，从而突破难点的关键，推导出公式。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修4 7.1点到直线的距离公式》
点到直线的距离公式教学目标：1. 了解点到直线的距离公式的向量证明方法2. 理解向量在解决解析几何方面的优越性3. 活跃学生的思维，激发学生的学习积极性教学重难点：重点：用向量方法证明点到直线的距离公式的推导过程难点：向量方法的引入教学过程：一、新课导入师：我们在必修2中已经学习过点到直线的距离公式，请同学们先来回忆一下公式的形式是什么？如何推导的？d =|Ax 0+By 0+C|√A 2+B 2 推导思路：例：求点M(2,2)到直线l:x +2y −2=0的距离过点M 作直线l 的垂线，设垂足为H ，并设H 坐标为(a,b)，利用k MH ∙k l =−1以及H (a,b)在直线l 上列方程组求出(a,b)，最后利用两点间的距离公式求出|MH|思考：若是不求H 点的坐标，能否求出M 到直线的距离呢？（学生合作讨论，给出想法，若给出下面所示想法则由学生展示，若没有下面的想法，则由老师引导得出）二、合作探究想法一：过M 点做x 轴、y 轴的平行线，交直线l 与P(−2,2)Q(2,0)Q|、||MP |∙|MQ |=|PQ|∙4√55点做x 轴、y 轴的平行线，交直线l 与|MH||MH|=||MQ||PQ|sin∠MPQ |MH |=||MP|∙Q|、sin∠MPQ|Q 分别平行与轴与轴的基础之上，当|MH |=||MP |∙sin∠MPH|=||MP |∙cos∠PMH|l H 垂直于l ，则|MH |=||MP |∙sin∠MPH|=||MP |∙cos∠PMH|思考：同学们看到上式能想到本章中的什么数学概念吗？生：射影师：|MH|可以看做MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在MH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 上的射影实际上不仅仅可以看成MH⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 上的射影，只要是与直线l 垂直的向量都可以，我们称之为直线的法向量！注：简单介绍法向量的求法，对于直线Ax +By +C =0的法向量为(A,B)因此我们又可以得到一种向量的证法！（让学生动手写出过程，教师加以指正）证明：在直线l 上任取一点P(−4,3)，得到MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,1)，取直线l 的一个法向量n ⃗ =(1,2)，则|MH |=||MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |∙cos <MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙n ⃗ ||n ⃗ |=|−6+2|√1+4=4√55三、抽象概括求M(x 0,y 0)到直线l:Ax +By +C =0的距离① 取直线l 上的任意一点为P(x,y)，计算 MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −x 0,y −y 0)② 计算直线l 的法向量 n ⃗ =(A,B )③ 计算d =|MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙n ⃗ ||n ⃗ |四、典型例题例1．求点P(−1,2)到直线l:2x +y −10=0的距离例2．求两条平行线 l 1:3x +4y −2=0 与 l 2:6x +8y −3=0 之间的距离五、课堂小结①利用向量证明点到直线的距离公式②转化与划归的思想。
高中数学北师大版必修四2.7.1【教学课件】《点到直线的距离公式》
特别地，当x1＝x2＝0，即两点在y轴上时，P1P2＝|y1－y2|；当y1＝y2＝0， 即两点在x轴上时，P1P2＝|x1－x2|。
北京师范大学出版社 ︱必修四
巩固练习：
1．点(－2,3)到原点的距离为________。
【解析】 d＝ －2－02＋3－02＝ 13
【答案】
13
北京师范大学出版社 ︱必修四
北京师范大学出版社 ︱必修四
巩固练习：
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
m＋n－1 (1)点(m，n)到直线x＋y－1＝0的距离是 。 ( ×) 2
(2)连结两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离。( × ) (3)两平行线间的距离是两平行线上两点间的最小值。( √ ) (4)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式P1P2＝ x1－x22＋y1－y22 与两点的先后顺序无关。( √ )
【精彩点拨】 利用直线AB，AD的方程求交点A。利用D是线段BC的中点，将 点C的坐标转化到点D上，再利用点C在直线CE上，点D在直线AD上解得点C。 然后利用两点间距离公式求AC。
【自主解答】 设点 A，C 的坐标分别为 A(x1，y1)，C(x2，y2) 2 ∵ AB⊥CE，kCE＝－ 3 3 ∴ kAB＝－ ＝ 。 kEC 2 1
【答案】 －1
值为________。
北京师范大学出版社 ︱必修四
探究新知：
《点到直线的距离公式》教案(公开课)
《点到直线的距离公式》教案一、教学目标(一)知识教学点点到直线距离公式的推导思想方法及公式的简单应用．(二)能力训练点培养学生数形结合能力，综合应用知识解决问题的能力、类比思维能力，训练学生由特殊到一般的思想方法．(三)知识渗透点由特殊到一般、由感性认识上升到理性认识是人们认识世界的基本规律．二、教材分析1．重点：展示点到直线的距离公式的探求思维过程．2．难点：推导点到直线距离公式的方法很多，怎样引导学生数形结合，利用平面几何知识得到课本上给出的证法是本课的难点，可构造典型的、具有启发性的图形启发学生逐层深入地思考问题．3．疑点：点到直线的距离公式是在A≠0、B≠0的条件下推得的．事实上，这个公式在A=0或B=0时，也是成立的．三、活动设计启发、思考，逐步推进，讲练结合．四、教学过程(一)提出问题已知点P(x0，y0)和直线l：Ax+By+C=0，点的坐标和直线的方程确定后，它们的位置也就确定了，点到直线的距离也是确定的，怎样求点P到直线l的距离呢？(二)构造特殊的点到直线的距离学生解决思考题1 求点P(2，0)到直线L：x-y=0的距离(图1-33)．学生可能寻求到下面三种解法：方法2 设M(x，y)是l：x-y=0上任意一点，则当x=1时|PM|有最小值，这个值就是点P到直线l的距离．方法3 直线x-y=0的倾角为45°，在Rt△OPQ中，|PQ|=|OP|进一步放开思路，开阔眼界，还可有下面的解法：方法4 过P作y轴的平行线交l于S，在Rt△PAS中，|PO|=|PS|方法5 过P作x轴的垂线交L于S∵|OP|·|PS|=|OS|·|PQ|，比较前面5种解法，以第3种或4种解法为最佳，那么第3种解法是否可以向一般情况推广呢？思考题2 求点P(2．0)到直线2x-y=0的距离(图1-34)．思考题 3求点P(2，0)到直线2x-y+2=0的距离(图1-35)．思考题4 求点P(2，1)到直线2x-y+2=0的距离(图1-36)．过P作直线的垂线，垂足为Q，过P作x轴的平行线交直线于R，(三)推导点到直线的距离公式有思考题4作基础，我们很快得到设A≠0，B≠0，直线l的倾斜角为α，过点P作PR∥Ox， PR与l交于R(x1，x1)(图1-37)．∵PR∥Ox，∴y1=y．代入直线l的方程可得：当α＜90°时(如图1-37甲)，α1=α．当α＞90°时(如图1-37乙)，α1=π-α．∵α＜90°，∴|PQ|=|PR|sinα1这样，我们就得到平面内一点P(x0，y0)到一条直线Ax+By+C=0的距离公式：如果A=0或B=0，上面的距离公式仍然成立，但这时不需要利用公式就可以求出距离．(四)例题例1 求点P0(-1，2)到直线：(1)2x+y-10=0，(2)3x=2的距离．解：(1)根据点到直线的距离公式，得(2)因为直线3x=2平行于y轴，所以例2 求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离．解：在直线2x-7y-6=0上任取一点，例如取P(3，0)，则两平行线间的距离就是点P(3，0)到直线2x-7y+8=0的距离(图1-38)．例3 正方形的中心在C(-1，0)，一条边所在的直线方程是x+3y-5=0，求其它三边所在的直线方程．解：正方形的边心距设与x+3y-5=0平行的一边所在的直线方程是x+3y+C1=0，则中心到C1=-5(舍去0)或C1=7．∴与x+3y-5=0平行的边所在的直线方程是x+3y+7=0．设与x+3y-5=0垂直的边所在的直线方程是3x-y+C2=0，则中心到这解之有C2=-3或C2=9．∴与x+3y-5=0垂直的两边所在的直线方程是3x-y-3=0和3x-y+9=0．(五)课后小结(1)点到直线的距离公式及其证明方法．(2)两平行直线间的距离公式．五、布置作业1．(1．10练习第1题)求坐标原点到下列直线的距离：2．(1．10练习第2题)求下列点到直线的距离：3．(1．10练习第3题)求下列两条平行线的距离：(1)2x+3y-8=0， 2x+3y+18=0．(2)3x+4y=10， 3x+4y=0．解：x-y-6=0或x-y+2=0．5．正方形中心在C(-1，0)，一条边所在直线方程是3x-y二0，求其它三边所在的直线方程．解：此题是例3交换条件与结论后的题：x+3y-5=0， x+3y+7=0， 3x-y+9=0．六、板书设计。
点到直线的距离教学设计
点到直线的距离教学设计点到直线的距离公式教学设计一、教材分析点到直线的距离是直线方程的一个应用，也是坐标法的继续。
从知识体系上看，是在研究平面上两点之间距离的基础上来进一步研究点线距离，是对距离度量的完善；从知识结构上看，点到直线的距离是前面讨论两点间距离的深入、后续研究直线和圆的位置关系的准备。
继前面研究了两直线平行与垂直后，教材安排讲述了平面上两点间距离，学生已经基本掌握如何判断四边形形状（包括三角形），以及求四边形边长等方法；为求四边形面积，我们还需探讨点到直线的距离（因为要求四边形中顶点到对边的距离，也包括三角形）。
为此，本课主要研究以下两点：①平面上点到直线的距离公式及其应用；②两条平行线间的距离。
二、教学目标1、知识与技能①掌握点到直线的距离公式，能应用公式解决一些简单问题；②通过公式的推导向学生渗透数形结合和化归等数学思想；2、过程与方法①问题导入的方式；②分组合作、研究与交流；③通过对数学公式的推导过程，体会数学中常用的数形结合和化归思想；3、情感态度与价值观①渗透数形结合和化归等思想，举行对峙统一概念的教育，培养学生勇于探究、勇于立异的精神；②通过数学活动感受数学与显示世界的联系，进一步认识辨证唯物主义的普遍联系观点。
三、教学重难点分析1、教学重点点到直线的距离公式及其应用2、教学难点点到直线距离公式的推导四、教法构想在编写过程中，教材将本课设计为一节活动课，通过上一节课的情景，提出问题，进而给出两种解决问题的方法，最后留下思考。
因此，教学中可以首先明确条件，提出问题，然后让学生充分讨论，研究如何解决这个问题；将学生分成小组，采用讨论、交流和学生汇报等形式进行研究性研究。
五、教学过程设计教学过程创设问题（引例）：如何计较下面四边形的面积？XXX教学内容教师活动打开多媒体课件，展示问题，提问：在前面的研究中，我们已经能够从计算斜率的角度判定四边形ABCD的形状，你能判断这个四边形形状吗？请你试试。
点到直线的距离教案公开课
点到直线的距离教案公开课第一章：课程引入1.1 教学目标让学生了解点到直线的距离的概念。
引导学生通过实例探究点到直线的距离的计算方法。
1.2 教学内容点到直线的距离的定义。
点到直线的距离的计算方法。
1.3 教学方法通过实例引导学生自主探究点到直线的距离的计算方法。
使用图形软件展示点到直线的距离的计算过程。
1.4 教学步骤1. 引入实例：讲解一个点到一条直线的距离的例子。
2. 引导学生思考：如何计算一个点到一条直线的距离？3. 引导学生探究：通过图形软件展示点到直线的距离的计算过程。
第二章：点到直线的距离的定义与性质2.1 教学目标让学生了解点到直线的距离的定义与性质。
2.2 教学内容点到直线的距离的定义。
点到直线的距离的性质。
2.3 教学方法通过实例引导学生理解点到直线的距离的定义与性质。
2.4 教学步骤1. 讲解点到直线的距离的定义。
2. 引导学生思考：点到直线的距离有哪些性质？3. 举例说明点到直线的距离的性质。
第三章：点到直线的距离的计算方法3.1 教学目标让学生掌握点到直线的距离的计算方法。
3.2 教学内容点到直线的距离的计算方法。
3.3 教学方法通过实例引导学生理解点到直线的距离的计算方法。
3.4 教学步骤1. 讲解点到直线的距离的计算方法。
2. 引导学生思考：如何将一般情况下的点到直线的距离计算转化为已知情况的计算？3. 举例说明点到直线的距离的计算方法。
第四章：点到直线的距离的应用4.1 教学目标让学生了解点到直线的距离在实际问题中的应用。
4.2 教学内容点到直线的距离的应用。
4.3 教学方法通过实例引导学生了解点到直线的距离的应用。
4.4 教学步骤1. 讲解点到直线的距离在实际问题中的应用。
2. 引导学生思考：如何运用点到直线的距离解决实际问题？3. 举例说明点到直线的距离的应用。
第五章：总结与拓展5.1 教学目标让学生总结本节课所学内容。
引导学生思考点到直线的距离在数学和其他学科中的应用。
2.7.1【教学设计】《点到直线的距离公式》(北师大)
《§7.1点到直线的距离公式》“点到直线的距离”是在学生学习直线方程的基础上，进一步研究两直线位置关系的一节内容，我们知道两条直线相交后，进一步的量化关系是角度，而两条直线平行后，进一步的量化关系是距离，而平行线间的距离是通过点到直线距离来解决的。
【知识与能力目标】1掌握点到直线距离公式及其应用。
2.会用点到直线距离求两平行线间的距离。
【过程与方法目标】经历公式的形成过程，体会由实例得出公式的方法，培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力。
【情感态度价值观目标】通过推导公式方法的发现，培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力；在推导过程中，渗透数形结合、转化（或化归）等数学思想以及特殊与一般的方法；通过本节学习，引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中获得的成功感。
【教学重点】理解点到直线的距离公式，并能进行简单应用【教学难点】会用点到直线距离求两平行线间的距离电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、复习引入。
回顾：两点间的距离公式平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式P1P2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.特别地，当x1＝x2＝0，即两点在y轴上时，P1P2＝|y1－y2|；当y1＝y2＝0，即两点在x轴上时，P1P2＝|x1－x2|。
巩固练习1．点(－2,3)到原点的距离为________。
【解析】d＝－2－2＋－2＝13。
【答案】13。
2．三角形三顶点为A(－1,0)，B(2,1)，C(0,3)，则△ABC的三边长分别为________。
【解析】|AB|＝(2＋1)2＋(1－0)2＝10，|AC|＝(0＋1)2＋(3－0)2＝10，|BC|＝(2－0)2＋(1－3)2＝22。
【答案】10，10，22。
回顾：中点坐标公式对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)，。
2.7向量应用举例2.7.1点到直线的距离公式教案北师大版必修4
2.7.1 点到直线的距离公式整体设计教学分析1.按教材的安排,本大节是想让学生熟悉向量在数学和物理学中的广泛应用,理解向量的工具性,明确向量处于知识网络的交汇点.从高考角度看,向量与三角函数、解析几何等知识综合起来的题目频频出现在全国各地市的高考试卷上.这种与向量交汇的题目新颖别致,活力四射,正逐渐成为高考的新宠.但教材的处理是:点到直线的距离公式的向量证明作为一节,几何应用与物理应用放在一节.这不利于学生的理解掌握,因此在本教案设计时稍作调整,把点到直线的距离的向量证明及几何中的应用统一到向量在数学中的应用上,另一节专门探究向量在物理中的应用.2.本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越性.向量在数学中有着广泛的应用,就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简单地表述为:则向量方法的流程图可以简单地表述为:这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”,也是本节的重点.3.用向量方法解决解析几何中的问题,其方法与用向量方法解决几何问题是一致的.本质上是把解析几何中的几何问题转化成向量运算,并且这种向量运算简单明快,令人耳目一新.有些平面几何问题,利用向量方法求解比较容易.使用向量方法要点在于用向量表示线段或点,根据点与线之间的关系,建立向量等式,再根据向量的线性相关与无关的性质,得出向量的系数应满足的方程组,求出方程组的解,从而解决问题.使用向量方法时,要注意向量起点的选取,选取得当可使计算过程大大简化.三维目标1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.2.通过点到直线的距离的向量证明方法,了解向量在解析几何中的应用.3.通过本节学习,让学生深刻理解向量在处理有关平面几何、解析几何问题中的优越性,活跃学生的思维,发展学生的创新意识,激发学生的学习积极性,并体会向量在几何和现实生活中的意义.教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段.重点难点教学重点:用向量方法解决平面几何问题、解析几何问题.教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题.课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.(直接导入)向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景,当向量和平面坐标系结合后,向量的运算就完全可以转化为代数运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便.本节专门研究平面几何中的向量方法.思路2.(情境导入)由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何、解析几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题.下面通过几个具体实例,说明向量方法在平面几何中的运用. 推进新课 新知探究 提出问题图1①你能用向量的知识证明数学2中学习过的点到直线的距离公式吗?②平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型,如图1,你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？③你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法?④你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？ 活动:①教师引导学生画出直线,点.如图2所示,M(x 0,y 0)是直线外一定点,P(x,y)是直线上任意一点,由直线l:ax+by+c=0,可以取它的方向向量v=(b,-a).一般地,称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量. 设n =(a,b),因为n ·v =(a,b)·(b,-a)=ab-ab=0,所以n ⊥v ,故称n 为直线l 的法向量,与n 同向的单位向量为 n 0=),(||2222ba b b a a n n ++=.于是,点M(x 0,y 0)到直线l:ax+by+c=0的距离等于向量PM 在n 0方向上射影的长度: d=｜PM ·n 0｜=｜(x 0-x,y 0-y)·(|),2222ba b ba a ++.|)(||)()(|22002200ba by ax by ax ba y yb x x a ++-+=+-+-=又因为P(x,y)为l 上任意一点,所以c=-(ax+by).②教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系.利用类比的思想方法,猜想平行四边形有没有相似关系.指导学生猜想出结论:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.③教师引导学生探究证明方法,并点拨学生对各种方法分析比较,平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形,在平面几何的学习中,学生得到了它的许多性质,有些性质的得出比较麻烦,有些性质的得出比较简单.让学生体会研究几何可以采取不同的方法,这些方法包括综合方法、解析方法、向量方法. 证明:方法一:如图3.图3作CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,则Rt△ADF≌Rt△BCE.∴A D=BC,AF=BE由于AC2=AE2+CE2=(AB+BE)2+CE2=AB2+2AB·BE+BE2+CE2=AB2+2AB·BE+BC2.BD2=BF2+DF2=(AB-AF)2+DF2=AB2-2AB·AF+AF2+DF2=AB2-2AB·AF+AD2=AB2-2AB·BE+BC2.∴AC2+BD2=2(AB2+BC2).方法二:如图4.图4以AB所在直线为x轴,A为坐标原点建立直角坐标系.设B(a,0),D(b,c),则C(a+b,c).∴|AC|2=(a+b)2+c2=a2+2ab+b2+c2,|BD|2=(a-b)2+(-c)2=a2-2ab+b2+c2.∴|AC|2+|BD|2=2a2+2(b2+c2)=2(|AB|2+|AD|2).用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系.在用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时,常常考虑用向量的数量积.通过以下推导学生可以发现,由于向量能够运算,因此它在解决某些几何问题时具有优越性,它把一个思辨过程变成了一个算法过程,学生可按一定的程序进行运算操作,从而降低了思考问题的难度,同时也为计算机技术的运用提供了方便.教学时应引导学生体会向量带来的优越性.因为平行四边形对边平行且相等,考虑到向量关系=-,=+,教师可点拨学生设=a,=b,其他线段对应向量用它们表示,涉及长度问题常常考虑向量的数量积,为此,我们计算||2与||2.因此有了方法三.方法三:设AB=a,AD=b,则=a+b,DB=a-b,|AB|2=|a|2,|AD|2=|b|2.∴||2=·=(a+b)·(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2.①同理|DB|2=|a|2-2a·b+|b|2.②观察①②两式的特点,我们发现,①+②得||2+||2=2(|a|2+|b|2)=2(||2+||2),即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.④至此,为解决重点问题所作的铺垫已经完成,向前发展可以说水到渠成.教师充分让学生对以上各种方法进行分析比较,讨论认清向量方法的优越性,适时地引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤.由于平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题,而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角,因此我们可以用向量方法解决部分几何问题.解决几何问题时,先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素.然后通过向量的运算,特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系.最后再把运算结果“翻译”成几何关系,得到几何问题的结论.这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”,即 (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 这个“三步曲”用流程图表示为:讨论结果:①能.②能想出至少三种证明方法. ③略. 应用示例例1 求点P(1,2)到直线l:2x+y+1=0的距离.活动:本例是直接应用点到直线的距离公式.由学生自己完成. 解:由点到直线的距离公式,得d=512|12112|22=++⨯+⨯,所以点P(1,2)到直线l 的距离为5.点评:通过此题让学生归纳用向量方法解决解析几何问题的思路. 变式训练(2007广东梅州)若将函数y=f(x)的图像按向量a 平移,使图像上点的坐标由(1,0)变为(2,2),则平移后的图像的解析式为( )A.y=f(x+1)-2B.y=f(x-1)-2C.y=f(x-1)+2D.y=f(x+1)+2解析:由已知,得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧+=+=,2,1,02,12k h k h 即平移公式为⎩⎨⎧+=+=,2',1'y y x x即⎩⎨⎧-=-=,2',1'y y x x 代入y=f(x),得y′-2=f(x′-1), 即y′=f(x′-1)+2.∴平移后的图像的解析式为y=f(x-1)+2. 答案:C例2 如图5,ABCD 中,点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点,BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点,你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗?图5活动:为了培养学生的观察、发现、猜想能力,让学生能动态地发现图形中AR 、RT 、TC 之间的相等关系,教学中可以充分利用多媒体,作出上述图形,测量AR 、RT 、TC 的长度,让学生发现AR=RT=TC,拖动平行四边形的顶点,动态观察,发现AR=RT=TC 这个规律不变,因此猜想AR=RT=TC.事实上,由于R 、T 是对角线AC 上的两点,要判断AR 、RT 、TC 之间的关系,只需分别判断AR 、RT 、TC 与AC 的关系即可.又因为AR 、RT 、TC 、AC 共线,所以只需判断AR ,AT 与之间的关系即可.探究过程对照用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”很容易地可得到结论.第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系;第三步,把运算结果“翻译”成几何关系:AR=RT=TC.解:如图5,设AB =a ,AD =b ,AR =r ,则AC =a +b . 由于与AC 共线,所以我们设r=n(a +b ),n∈R . 又因为=-=（a -21b ),与共线, 所以我们设=m =m(a -21b ). 因为=+,所以r=21b +m(a -21b ), 因此n(a +b )=21b +m(a -21b ),即(n-m)a +(n+21-m )b =0. 由于向量a ,b 不共线,要使上式为0,必须⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-.021,0m n m n . 解得n=m=31.所以AR =31.同理,=31. 于是=31.所以AR=RT=TC. 点评:教材中本例重在说明是如何利用向量的办法找出这个相等关系的,因此在书写时可简化一些程序.指导学生在今后的训练中,不必列出三个步骤. 变式训练如图6,AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高.求证:AD 、BE 、CF 相交于一点.图6证明:设BE 、CF 相交于点H,并设AB =b ,=c ,AH =h ,则=h -b ,CH =h -c ,BC =c -b . 因为BH ⊥,⊥AB , 所以(h -b )·c =0,(h -c )·b =0, 即(h -b )·c =(h -c )·b . 化简,得h ·(c -b )=0. 所以AH ⊥.所以AH 与AD 共线,即AD 、BE 、CF 相交于一点H.例3 如图7,已知在等腰△ABC 中,BB′、CC′是两腰上的中线,且BB′⊥CC′,求顶角A 的余弦值.图7活动:教师可引导学生思考探究,上例利用向量的几何法简捷地解决了平面几何问题.可否利用向量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标系,找出所需点的坐标.如果能比较方便地建立起平面直角坐标系,如本例中图形,很方便建立平面直角坐标系,且图形中的各个点的坐标也容易写出,是否利用向量的坐标运算能更快捷地解决问题呢？教师引导学生建系、找点的坐标,然后让学生独立完成.解:建立如图7所示的平面直角坐标系,取A(0,a),C(c,0),则B(-c,0),OA =(0,a),BA =(c,a),OC =(c,0),BC =(2c,0).因为BB′、CC′都是中线,所以'BB =21(+BA )=21［(2c,0)+(c,a)］=(2,23a c ). 同理,'CC =(-2,23ac ). 因为BB′⊥CC′,所以-44922a c +=0,a 2=9c 2.所以5499||||22222222=+-=+-=c c c c ca c a AC AB . 点评:比较是最好的学习方法.本例利用的方法与例题1有所不同,但其本质是一致的,教学中引导学生仔细体会这一点,比较两例的异同,找出其内在的联系,以达到融会贯通、灵活运用之功效. 变式训练(2004湖北高考)如图8,在Rt△ABC 中,已知BC=a.若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点,问:与的夹角θ取何值时,·的值最大?并求出这个最大值.图8解:方法一,如图8.∵⊥,∴·=0.∵AP =-AQ ,BP =AP -AB ,CQ =AQ -, ∴·=(-)·(-) =·-·AC -·+·AC =-a 2-AP ·+AB ·AP =-a 2+AP ·(AB -)=-a 2+21PQ ·BC =-a 2+a 2cos θ. 故当cos θ=1,即θ=0,与的方向相同时,·最大,其最大值为0. 方法二:如图9.图9以直角顶点A 为坐标原点,两直角边所在的直线为坐标轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b),且|PQ|=2a,|BC|=a. 设点P 的坐标为(x,y), 则Q(-x,-y).∴BP =(x-c,y),CQ =(-x,-y-b),=(-c,b),PQ =(-2x,-2y). ∴BP ·CQ =(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x 2+y 2)+cx-by.∵cos θ2a bycx -=, ∴cx-by=a 2cos θ. ∴·=-a 2+a 2cos θ.故当cos θ=1,即θ=0,PQ 与的方向相同时,BP ·CQ 最大,其最大值为0. 知能训练1.如图10,已知AC 为⊙O 的一条直径,∠ABC 是圆周角. 求证:∠ABC=90°.图10证明:如图10. 设AO =a ,OB =b ,则=a +b ,=a ,BC =a -b ,|a |=|b |. 因为AB ·=(a +b )·(a -b )=|a |2-|b |2=0, 所以AB ⊥BC .由此,得∠ABC=90°.点评:充分利用圆的特性,设出向量.2.D 、E 、F 分别是△ABC 的三条边AB 、BC 、CA 上的动点,且它们在初始时刻分别从A 、B 、C 出发,各以一定速度沿各边向B 、C 、A 移动.当t=1时,分别到达B 、C 、A.求证:在0≤t≤1的任一时刻t 1,△DEF 的重心不变.图11证明:如图11.建立如图所示的平面直角坐标系,设A 、B 、C 坐标分别为(0,0),(a,0),(m,n).在任一时刻t 1∈(0,1),因速度一定,其距离之比等于时间之比,有111||||||||||||t t FA CF EC BE DB AD -====λ,由定比分点的坐标公式可得D 、E 、F 的坐标分别为(at 1,0),(a+(m-a)t 1,nt 1),(m-mt 1,n-nt 1).由重心坐标公式可得△DEF 的重心坐标为(3,3nm a +). 当t=0或t=1时,△ABC 的重心也为(3,3nm a +), 故对任一t 1∈[0,1],△DEF 的重心不变.点评:主要考查定比分点公式及建立平面直角坐标系,只要证△ABC 的重心和时刻t 1的△DEF的重心相同即可.课堂小结1.由学生归纳总结本节学习的数学知识有哪些:平行四边形向量加、减法的几何模型,用向量方法解决解析几何及平面几何问题的步骤,即“三步曲”.特别是这“三步曲”,要提醒学生理解领悟它的实质,达到熟练掌握的程度.2.本节都学习了哪些数学方法:向量法,向量法与几何法、解析法的比较,将平面几何问题转化为向量问题的化归的思想方法,深切体会向量的工具性这一特点.作业课本习题2—7 A组1,2.设计感想1.本节设计的指导思想是:充分使用多媒体这个现代化手段,引导学生展开观察、归纳、猜想、论证等一系列思维活动.本节知识方法容量较大,思维含量较高,教师要把握好火候,恰时恰点地激发学生的智慧火花.2.由于本节知识方法在高考大题中得以直接的体现,特别是与其他知识的综合更是高考的热点问题.因此在实际授课时,注意引导学生关注向量知识、向量方法与三角知识、解析几何知识等的交汇,提高学生综合解决问题的能力.3.平面向量的运算包括向量的代数运算与几何运算.相比较而言,学生对向量的代数运算要容易接受一些,但对向量的几何运算往往感到比较困难,无从下手.向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算,向量平行与垂直的充要条件及定比分点的向量式等,它们在处理平面几何的有关问题时,往往有其独到之处,教师可让学有余力的学生课下继续探讨,以提高学生的思维发散能力.备课资料一、利用向量解决几何问题的进一步探讨用平面向量的几何运算处理平面几何问题有其独到之处,特别是处理线段相等,线线平行,垂直,点共线,线共点等问题,往往简单明了,少走弯路,同时避免了复杂,烦琐的运算和推理,可以收到事半功倍的效果.现举几例以供教师、学生进一步探究使用.1.简化向量运算例1 如图12所示,O为△ABC的外心,H为垂心,求证:OH=++.图12证明:如图12,作直径BD,连接DA,DC,有=-,且DA⊥AB,DC⊥BC,AH⊥BC,CH⊥AB,故CH∥DA,AH∥DC,得四边形AHCD是平行四边形.从而AH=DC.又DC=OC-OD=OC+OB,得=OA+AH=OA+DC,即OH =++.2.证明线线平行例 2 如图13,在梯形ABCD 中,E,F 分别为腰AB,CD 的中点.求证:EF∥BC,且||=21(||+|BC |).图13证明:连接ED,EC,∵AD∥BC,可设=λ(λ＞0), 又E,F 是中点,∴EA +EB =0, 且EF =21(ED +). 而+EC =+++ =+=(1+λ),∴=21λ+.EF 与BC 无公共点, ∴EF∥BC.又λ＞0, ∴||=21(|BC |+|λBC |)=21(||+|BC |). 3.证明线线垂直例3 如图14,在△ABC 中,由A 与B 分别向对边BC 与CA 作垂线AD 与BE,且AD 与BE 交于H,连接CH,求证:CH⊥AB.图14证明:由已知AH⊥BC,BH⊥AC, 有·=0,·AC =0. 又AH =+CH ,BH =BC +CH ,故有(+)·BC =0,且(BC +)·=0,两式相减,得CH ·(CB -CA )=0,即CH ·AB =0,∴CH ⊥AB . 4.证明线共点或点共线例4 求证:三角形三中线共点,且该点到顶点的距离等于各该中线长的32.图15解:已知:△ABC 的三边中点分别为D,E,F(如图15).求证:AE,BF,CD 共点,且CD CG BF BG AE AG ===32. 证明:设AE,BF 相交于点G,AG =λ1, 由定比分点的向量式有BG =111111λλλ+=++BA +)1(211λλ+, 又F 是AC 的中点,BF =21(BA +), 设BG =λ2BF , 则111λ++)1(211λλ+=22λ+22λ,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.2)1(2,21121121λλλλλ ∴.32,32,2)1(21121111====⇒+=+BF BG AF AG 即λλλλλ 又=CE CA 32)(2132)2(31111=+∙=+=++λλ, ∴C,G,D 共线,且32===CD CG BF BG AE AG . 二、备用习题1.有一边长为1的正方形ABCD,设AB =a ,=b ,=c,则|a -b +c |=___________.2.已知|a |=2,|b|=2,a 与b 的夹角为45°,则使λb -a 与a 垂直的λ=____________.3.在等边△ABC 中,AB =a ,BC =b ,CA =c ,且|a |=1,则a ·b +b ·c +c ·a =__________.4.已知三个向量=(k,12),OB =(4,5),OC =(10,k),且A,B,C 三点共线,则k=__________.5.如图16所示,已知矩形ABCD,AC 是对角线,E 是AC 的中点,过点E 作MN 交AD 于点M,交BC 于点N,试运用向量知识证明AM=CN.图166.已知四边形ABCD 满足|AB |2+|BC |2=|AD |2+|DC |2,M 为对角线AC 的中点.求证:||=||.7.求证:如果一个角的两边平行于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补. 参考答案: 1.2 2.2 3.-23 4.-2或11 5.证明:建立如图17所示的平面直角坐标系,设BC=a,BA=b,则C(a,0),A(0,b),E(2,2b a ).图17又设M(x 2,b),N(x 1,0),则=(x 2,0),CN =(x 1-a,0). ∵∥EN ,=(2a -x 2,-2b ),EN =(x 1-2a ,-2b ), ∴(2a -x 2)×(-2b )-(x 1-2a )×(-2b )=0. ∴x 2=a-x 1. ∴||=22x =|x 2|=|a-x 1|=|x 1-a|.而|CN |=21)(a x =|x 1-a|, ∴|AM |=||,即AM=CN.6.证明:设AB =a ,BC =b ,=c ,DA =d ,∵a +b +c +d =0,∴a +b =-(c +d ).∴a 2+b 2+2a ·b =c 2+d 2+2c ·d .① ∵||2+|BC |2=||2+||2, ∴a 2+b 2=(-d )2+(-c )2=c 2+d 2.②由①②,得a ·b =c ·d .图18∵M 是AC 的中点,如图18所示, 则=21(d -c ),=21(b -a ). ∴||2=BM 2=41(b 2+a 2-2a ·b ), ||2=2=41(d 2+c 2-2c ·d ). ∴|MB |2=|MD |2. ∴||=||.7.解:已知OA∥O′A′,OB∥O′B′.求证:∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′=π.证明:∵OA∥O′A′,OB∥O′B′, ∴OA =λ''O (λ∈R ,λ≠0),OB =μ''B O (μ∈R ,μ≠0). , |||||||||||||||''||''|OB OA OB OA OB OA B O A O ===λμμλ 当与''O ,OB 与''B O 均同向或反向时,取正号,即cos∠AOB=cos∠A′O′B′.∵∠AOB,∠A′O′B′∈(0,π),∴∠AOB=∠A′O′B′. 当与''O ,OB 与''B O 只有一个反向时,取负号,即cos∠AOB=-cos∠A′O′B′=cos(π-∠A′O′B′). ∵∠AO B,π-∠A′O′B′∈(0,π),∴∠AOB=π-∠A′O′B′.∴∠AOB+∠A′O′B′=π.∴命题成立.。
点到直线的距离教案公开课
点到直线的距离教案公开课第一章：课程导入1.1 教学目标让学生理解点到直线距离的概念。
培养学生使用点到直线距离公式解决问题的能力。
1.2 教学内容点到直线的距离定义。
点到直线距离公式的推导。
应用点到直线距离公式解决实际问题。
1.3 教学方法采用问题驱动的教学方法，引导学生思考和探索。
使用几何图形和实例辅助讲解，帮助学生直观理解。
1.4 教学步骤1.4.1 导入新课通过一个实际问题引入点到直线距离的概念，例如：“在平面直角坐标系中，点P(2,3)到直线y=2x+1的距离是多少？”1.4.2 讲解点到直线的距离定义解释点到直线距离的定义：点P到直线Ax+By+C=0的距离d可以用公式d=|Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2)表示，其中(x0,y0)是点P的坐标。
1.4.3 推导点到直线距离公式通过几何图形和实例，引导学生推导点到直线距离公式。
强调公式中各参数的含义和作用。
1.4.4 应用实例解决一些实际问题，例如：“已知点P(2,3)和直线y=2x+1，求点P到直线的距离。
”引导学生运用点到直线距离公式进行计算。
第二章：点到直线距离公式的应用2.1 教学目标让学生掌握点到直线距离公式的应用。
培养学生解决实际问题的能力。
2.2 教学内容点到直线距离公式的应用。
解决实际问题。
2.3 教学方法采用案例教学法，提供丰富的实例，引导学生运用点到直线距离公式解决实际问题。
使用几何图形和实例辅助讲解，帮助学生直观理解。
2.4 教学步骤2.4.1 讲解点到直线距离公式的应用通过几何图形和实例，讲解点到直线距离公式的应用。
强调公式中各参数的含义和作用。
2.4.2 解决实际问题提供一些实际问题，例如：“已知点P(2,3)和直线y=2x+1，求点P到直线的距离。
”引导学生运用点到直线距离公式进行计算。
2.4.3 练习与巩固提供一些练习题，让学生巩固所学知识。
引导学生运用点到直线距离公式解决问题。
第三章：点到直线距离公式的拓展3.1 教学目标让学生了解点到直线距离公式的拓展。
北师大版高中必修47.1点到直线的距离公式课程设计
北师大版高中必修47.1点到直线的距离公式课程设计1. 课程设计背景和意义在高中数学学习中，掌握点到直线的距离公式是非常重要的。
在几何学和解析几何学中，点到直线的距离公式可以帮助我们计算平面内点到直线的最短距离。
同时，这个公式也可以被应用到一些重要的工程问题中。
因此，本课程设计旨在帮助学生掌握点到直线的距离公式的原理和应用。
2. 教学目标•理解点到直线距离公式的定义和原理。
•掌握计算点到直线距离的方法。
•了解点到直线距离公式在实际工程问题中的应用。
3. 教学内容3.1 点到直线距离的定义•介绍点到直线距离的定义。
•举例说明点到直线距离的概念。
3.2 点到直线距离公式的推导•推导点到直线距离公式的一般形式。
•演示点到直线距离公式的推导过程。
•引导学生自己推导点到直线距离公式。
3.3 点到直线距离公式的应用•介绍点到直线距离公式在工程问题中的应用。
•演示点到直线距离公式在实际工程中的应用。
4. 教学方法•教师讲解与演示相结合。
•学生自主探究，思考发现问题。
•小组合作解决问题，激发学生合作精神。
•实际应用演示与小组讨论互动。
5. 教学手段•黑板、白板。
•电子教具，如计算器、电脑等。
•实物模型或图片等辅助教具。
6. 教学过程6.1 课前导入•通过问题引导学生理解点到直线距离的定义。
•回顾与应用平面几何知识，为学生理解点到直线距离公式做铺垫。
6.2 点到直线距离公式的推导•讲述点到直线距离公式的一般形式、推导过程、特殊情况的讨论，并引导学生跟随推导过程，进行自主思考。
6.3 点到直线距离的计算•以实例为引导，讲述点到直线距离的计算过程，并在黑板上进行演示，让学生可以理论联系计算实践。
6.4 点到直线距离公式的应用•通过对工程问题的演示，引导学生思考点到直线距离公式在实际应用中的作用。
6.5 课后扩展•提供相关读物、视频等素材，提供学生自学、加深理解的机会。
•鼓励学生进行实际应用的探索。
7. 教学评估•抽查和检查学生的掌握情况。
点到直线的距离教案公开课
《点到直线的距离》教案教学目标（1）知识与技能：让学生至少掌握一种点到直线距离公式的推导方法，掌握点到直线的距离公式及其应用。
（2）过程与方法：培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力；数形结合、综合应用知识分析问题解决问题的能力；探究能力和由特殊到一般的研究问题的能力。
（3）情感态度与价值观：培养学生勤奋思考、勇于探索解决问题的能力。
引导学生用联系与转化的观点看问题，在团队合作探索解决问题的过程中获得成功的体验。
教学重点：点到直线的距离公式的推导及公式的应用 教学难点：点到直线的距离公式的推导 教学方法：启发引导法、讨论法 学习方法：任务驱动下的研究性学习 教学工具：计算机多媒体、三角板 教学过程：一、 创设情境、提出问题 多媒体显示实际的例子：如图,在铁路的附近,有一大型仓库，现要修建一公路与之连接起来，那么怎样设计能使公路最短？这个实际问题要解决，要转化成什么样的数学问题？学生得出就是求点到直线的距离。
教师提出这堂课我们就来学习点到直线的距离，并板书写课题：点到直线的距离。
二、师生互动 、探究新知教师：假定在直角坐标系上，已知一个定点P （x 0 ,y 0）和一条定直线l ： Ax+By+C=0，那么如何求点P 到直线l 的距离d ？请学生思考并回答。
学生：先过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，则|PQ|的长度就是点P 到直线l 的距离d ，将点线距离转化为定点到垂足的距离。
接着，多媒体显示下列2道题(尝试性题组)，请2位学生上黑板练习（其余学生在下面自己练习，每做完一题立即讲评）(1)求P （x 0 ,y 0）到直线l ：By+C=0（B ≠0）的距离d ；（答案：0Cd y B=+）仓库(2) 求P （x 0 ,y 0）到直线l ：Ax+C=0（A ≠0）的距离d ；（答案：0Cd x A=+） 第（1）、（2）题虽然含有字母参数，但由于直线的位置比较特殊，学生不难得出正确结论。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修4 7.1点到直线的距离公式》6
通过思考、操作，将 表示为 在直线 的法向量 上的投影
通过自主学习，并在教师的指导下，求出直线 的方向向量坐标 ,进一步求出其法向量坐标
利用平面向量数量积的几何意义知识，将 表示为
自主操作，完成最后的证明
1熟悉点到直线距离公式，为向量法证明做好铺垫，同时也使学认识到探求新证法的必要性，激发学生学习愿望
使学生经历探索的全过程，在深度学习中，发展学生的逻辑推理推理能力，数学运算能力
先表达为 在 上的投影，更符合学生的认知特点，者而言，有一定难度，故专门设置问题3
表示 在 上的投影需要综合运用数量积的知识，难度也较大，故设计问题4专门讨论
完成公式证明是提高学生运算能力的较好素材，故要求学生自主完成
从整体回顾平面向量，思考平面向量的基本特点，为本节课的探究学习做好心理准备
一方面使学生明确本节课的主要学习目标，另一方面从平面向量的特点引入，有利于提高学生的思考高度,为本节课的学习做好铺垫
二、探索用向量法证明点到直线距离公式
1问题描述与初步分析
在平面直角坐标系中，若点 是平面上一定点，它到直线 的距离为 ，求证：
分析：我们当时只给出了证明思路（利用PPT做简单说明），用向量方法，可以减少运算量，使证明过程更简单
2用向量法证明
教师通过设置问题串，构建有利于学生进行自主探索的学习平台，引导、帮助学生探究用向量法证明点到直线距离公式
⑴用向量表示点到直线距离
问题1点到直线的距离，就是求垂线段的长度，能联想到向量中的什么知识？
问题4如何表示 在 上的投影？
（3）完成公式的证明
问题5继续运算，推出
学生动手操作，帮助有困难的同学，针对学生操作情况，进行点评
2022年 高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修4 7.1点到直线的距离公式》3
向量在几何中的应用教学目标：1知识和技能〔1〕了解向量的工具性的意义，〔2〕结合具体的几何中的已熟知的结论向量证明，体会向量证明的方法和思路。
2过程与方法〔1〕能够从现实实例中经历向量方法解决某些简单的平面几何问题的过程（2）在解决几何问题的过程中，能够根据具体问题将几何语言转化为向量语言最后载转化为几何语言。
3.情感，态度与价值观通过对问题的解决过程体会向量知识与几何知识之间的联系，使学生的运算能力和解决问题的能力得到进一步开展。
教材分析：向量在几何中的典型应用，前面已有所涉及。
这里选择了两个重要内容，一是距离公式的求法，二是三线共点的常见问题，通过这两个例子，凸显出计算长度，夹角度数时的向量优势。
距离公司的求法，是以点到直线的距离为例。
在得出直线的向量方程后，又从坐标的角度获得了直线的参数方程，紧接着又引进直线的法向量，以向量的数量积为工具给出了点到直线的距离公式的推导过程，教材如此安排的意图是让学生体会用向量求距离的一般方法，这种方法将在后续求其他元素间距离时继续使用重点和难点：重点：体会向量在解决平面几何问题中的作用难点：用向量表示几何关系教学过程：情景引入教师：由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景。
平行、垂直、夹角、距离、全等、相似等，是平面几何中常见的问题，而这些问题都可以由向量的线性运算及数量积表示出来因此，平面几何中的某些问题可以用向量方法来解决，但解决问题的数学思想、方法和技能，需要我们在实践中去探究、领会和总结下面我们通过两个例子，来体会向量在解决几何问题中的作用。
新课学习1.点到直线的距离问题点M0, 0和直线:ABC=到直线的距离d为:思考1 用向量方法解决平面几何问题的根本思路是什么？几何问题向量化 1 向量运算关系化2 向量关系几何化思考2 如何借助向量的方法来证明点到直线的距离公式？教师:怎样找到垂线MH？（1）直线的法向量与直线垂直的向量都是直线的法向量（2）法向量的个数？如何确定一个法向量n（3）在直线上任取一点，求向量PM在向量n上的投影2.三点共线问题例2 如图,AD，BE，CF分别是△ABC的三条高，求证：AD，BE，CF相交于同一点B解析思路:解决此类问题一般是将相关的线段用向量表示，利用向量的三角形法那么和平行四边形法那么，结合题目中的条件进行运算，得出结果，再翻译成几何语言改良：1提到此题可以有其他证明方法2可设基底向量根据例题你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的根本思路吗？用向量方法解决平面几何问题的“三步曲〞：1建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题2通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题3把运算结果“翻译〞成几何元素简述：形到向量→向量的运算→向量和数到形课堂练习1证明直径所对的圆周角是直角如下图，⊙O，AB为直径，C为⊙O上任意一点，不与AB重合求证∠ACB=90°CA BO课堂小结：1.点到直线的距离公式2.掌握用向量方法解决平面几何问题的三个步骤：简述：形到向量→向量的运算→向量和数到形3掌握利用向量方法解决平面几何问题，体会解析法和向量方法的区别与联系作业布置：教材2--7 A组第1--3题。
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《点到直线的距离公式》教学设计“点到直线的距离”是在学生学习直线方程的基础上，进一步研究两直线位置关系的一节内容，我们知道两条直线相交后，进一步的量化关系是角度，而两条直线平行后，进一步的量化关系是距离，而平行线间的距离是通过点到直线距离来解决的。
【知识与能力目标】1掌握点到直线距离公式及其应用。
2.会用点到直线距离求两平行线间的距离。
【过程与方法目标】经历公式的形成过程，体会由实例得出公式的方法，培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力。
【情感态度价值观目标】通过推导公式方法的发现，培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力；在推导过程中，渗透数形结合、转化（或化归）等数学思想以及特殊与一般的方法；通过本节学习，引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中获得的成功感。
【教学重点】理解点到直线的距离公式，并能进行简单应用【教学难点】会用点到直线距离求两平行线间的距离电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、复习引入。
回顾：两点间的距离公式平面上P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点间的距离公式P 1P 2＝x 2－x 12＋y 2－y 12.特别地，当x 1＝x 2＝0，即两点在y 轴上时，P 1P 2＝|y 1－y 2|；当y 1＝y 2＝0，即两点在x 轴上时，P 1P 2＝|x 1－x 2|。
巩固练习1．点(－2,3)到原点的距离为________。
【解析】 d ＝－2－02＋3－02＝13。
【答案】13。
2．三角形三顶点为A (－1,0)，B (2,1)，C (0,3)，则△ABC 的三边长分别为________。
【解析】 |AB |＝2＋12＋1－02＝10，|AC |＝0＋12＋3－02＝10， |BC |＝2－02＋1－32＝22。
【答案】10，10，22。
回顾：中点坐标公式对于平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点是M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.。
巩固练习1．已知A(0,2)，B(3,0)，则AB 中点P 的坐标为________。
【解析】设P(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0＋32＝32，y ＝2＋02＝1，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1。
【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12．已知A(－3,2)，B(7，－8)，C(x ，y)，若B 为AC 的中点，则x ＋y 的值为________。
【解析】∵B 为AC 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝x －32，－8＝2＋y2，∴x ＝17，y ＝－18，故x ＋y ＝－1。
【答案】 －1 二、探究新知。
点到直线的距离阅读教材P101～P102，完成下列问题。
1．点到直线的距离公式：点P0(x0，y0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2。
2．点P0(x0，y0)到直线l ：y ＝kx ＋b 的距离d ＝|kx0－y0＋b|k2＋1。
3．两平行线间的距离是指夹在两条平行线间公垂线段的长，可以转化为点到直线的距离。
4．两平行线间的距离公式：若两条平行直线l1：Ax ＋By ＋C1＝0，l2：Ax ＋By ＋C2＝0(C1≠C2)，则l1，l2间的距离d ＝|C1－C2|A2＋B2。
巩固练习1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)点(m ，n)到直线x ＋y －1＝0的距离是m ＋n －12。
(×)(2)连结两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离。
(×) (3)两平行线间的距离是两平行线上两点间的最小值。
(√)(4)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式P1P2＝x1－x22＋y1－y22与两点的先后顺序无关。
(√)2．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为_______。
【解析】 d ＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2＝|－5|5＝5。
【答案】53．两条平行线l1：3x ＋4y －7＝0和l2：3x ＋4y －12＝0的距离为________。
【解析】 d ＝|－7－－12|32＋42＝1【答案】 1 三、例题解析。
两点间距离公式及其应用如图2－1－12，△ABC 的顶点B(3,4)，AB 边上的高CE 所在直线方程为2x ＋3y －16＝0，BC 边上的中线AD 所在直线方程为2x －3y ＋1＝0，求边AC 的长。
图2－1－12【精彩点拨】 利用直线AB ，AD 的方程求交点A.利用D 是线段BC 的中点，将点C 的坐标转化到点D 上，再利用点C 在直线CE 上，点D 在直线AD 上解得点C.然后利用两点间距离公式求AC 。
【自主解答】 设点A ，C 的坐标分别为A(x1，y1)，C(x2，y2)。
∵AB ⊥CE ，kCE ＝－23，∴kAB ＝－1kEC ＝32。
∴直线AB 的方程为3x －2y －1＝0。
由⎩⎨⎧3x1－2y1－1＝0，2x1－3y1＋1＝0，得A(1,1)。
∵D 是BC 的中点，∴D ⎝⎛⎭⎪⎫x2＋32，y2＋42.。
而点C 在直线CE 上，点D 在直线AD 上，∴⎩⎨⎧2x2＋3y2－16＝0，2·x2＋32－3·y2＋42＋1＝0，解得⎩⎨⎧x2＝5，y2＝2，∴C(5,2)．即|AC|＝5－12＋2－12＝17。
两点间距离公式主要是用来计算两点之间的距离，记熟公式是解题的关键，单独考查较少，常与其他知识综合考查。
巩固练习1．在x －y ＋4＝0上求一点P ，使点P 到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等。
【解】 由直线x －y ＋4＝0可得y ＝x ＋4，因为点P 在此直线上，所以可设点P 的坐标为(a ，a ＋4)，已知PM ＝PN ，由两点间距离公式可得 [a －－2]2＋[a ＋4－－4]2 ＝a －42＋a ＋4－62，解得a ＝－32，从而a ＋4＝52，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52。
点到直线的距离与两平行线间的距离公式的应用(1)若点(2，－k)到直线5x ＋12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________。
(2)若两平行直线3x －2y －1＝0和6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离是21313，则c ＋2a＝________。
【精彩点拨】 (1)由点到直线的距离公式得出k 的方程，解方程即得k 值。
(2)由平行关系及平行线间的距离公式可求得a ，c 的值。
【自主解答】 (1)由4＝|5×2－12k ＋6|52＋122，解得k ＝－3或k ＝173。
(2)由于两直线平行，所以63＝a －2≠c－1，解得a ＝－4，c ≠－2， 又21313＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－c 232＋－22，故c ＝－6或c ＝2.从而c ＋2a＝1或－1。
【答案】 (1)－3或173(2)±1巩固练习2．(1)求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且与直线l 距离为3的直线方程。
(2)已知直线l 经过点P(2，－5)，且与点A(3，－2)，B(－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l 的方程。
【解】 (1)∵与l 平行的直线方程为5x －12y ＋c ＝0， 根据两平行直线间的距离公式得|c －6|52＋－122＝3，解得c ＝45或c ＝－33.所以所求直线方程为 5x －12y ＋45＝0或5x －12y －33＝0。
(2)由已知条件可知直线l 的斜率一定存在， 又直线l 经过点P(2，－5)， ∴设直线l ：y ＋5＝k(x －2)， 即kx －y －2k －5＝0，∴A 点到直线l 的距离d1＝|k ·3＋2－2k －5|k2＋1＝|k －3|k2＋1，B 点到直线l 的距离d2＝|－k －6－2k －5|k2＋1＝|－3k －11|k2＋1。
∵d1∶d2＝1∶2， ∴|k －3||－3k －11|＝12， 即k2＋18k ＋17＝0，解得k ＝－1或k ＝－17。
∴直线l 的方程为x ＋y ＋3＝0或17x ＋y －29＝0。
对称问题探究1 若点P(a ，b)关于直线Ax ＋By ＋C ＝0的对称点为P ′，那么P ′的坐标如何求解？【提示】 设出P ′的坐标，利用线段PP ′的中点在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，和kPP ′＝BA ，列方程组求解。
探究2 已知直线l1关于直线l 对称的直线为l2，如何由l1，l 的方程求出l2的方程？【提示】 法一 先由l1，l 的方程求出交点，交点在l2上，再在l1上任取一点，求该点关于l 的对称点，对称点在l2上，由两点式即可求出l2的方程。
法二 设l2上任意一点坐标为(x ，y)，它关于l 的对称点(x ′，y ′)在l1上，利用对称性质求出⎩⎨⎧x ′＝fx ，y ，y ′＝gx ，y代入l1的方程即得l2的方程。
已知直线l ：x ＋2y －2＝0，试求： (1)点P(－2，－1)关于直线l 的对称点坐标；(2)直线l1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l2的方程； (3)直线l 关于点A(1,1)对称的直线方程。
【精彩点拨】 点关于直线的对称点的求法，可利用两点的连线与已知直线垂直，线段的中点在直线上，列方程组求得，而直线关于直线的对称直线方程的求法，可转化为点的对称问题，直线关于点的对称直线方程可通过中点坐标公式求解。
【自主解答】 (1)设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x0，y0)，则线段PP ′的中点M 在直线l 上，且PP ′⊥l 。
∴⎩⎪⎨⎪⎧y0＋1x0＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，x0－22＋2×y0－12－2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝25，y0＝195，即P ′点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，195。
(2)法一 由⎩⎨⎧x ＋2y －2＝0，x －y －2＝0，得l 与l1的交点A(2,0)，在l1上任取一点B(0，－2)，设B 关于l 的对称点B ′为(x0，y0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y0＋2x0×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，x02＋2×y0－22－2＝0，。
即⎩⎨⎧2x0－y0－2＝0，x0＋2y0－8＝0，。
∴⎩⎪⎨⎪⎧x0＝125，y0＝145，即B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫125，145，∴l2的斜率为kAB ′＝145125－2＝7。
∴l2的方程为：y ＝7(x －2)，即7x －y －14＝0。
法二 直线l1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线为l2，则l2上任一点P1(x ，y)关于l 的对称点P1′(x ′，y ′)一定在直线l1上，反之也成立。
由⎩⎪⎨⎪⎧y －y ′x －x ′×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，x ＋x ′2＋2×y ＋y ′2－2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x －4y ＋45，y ′＝－4x －3y ＋85，把(x ′，y ′)代入方程y ＝x －2并整理， 得7x －y －14＝0，即直线l2的方程为7x －y －14＝0.。