直线方程的点斜式
点斜式直线方程公式
点斜式直线方程公式点斜式直线方程公式是高中数学中直线的一种表达方式，也是直线解析式中的一种。
在解题过程中，我们可以通过寻找一条过给定点且满足一定条件的直线，来解决问题。
在学习和应用点斜式直线方程公式时，我们需要具备一定的数学知识和技巧，理解和掌握相关原理，才能更好地应用于实际问题中。
一、点斜式直线方程公式的概念及意义点斜式直线方程公式，也称为向量式直线方程或向量表达式，是直线解析式的一种形式。
它表示为：y-y1=k(x-x1)其中，（x1，y1）是直线上的任意一点，k是直线的斜率，表示直线与x轴的夹角（弧度制）。
x轴上的斜率为0，y轴上的斜率为无穷大，其他情况下，斜率的计算公式为：k=tanθ=(y2-y1)/(x2-x1)其中θ表示斜率的夹角，y2、x2表示直线上另一个点的坐标。
点斜式表达了直线的一般形式，通过确定直线上的一点和斜率，可以唯一地确定一条直线。
点斜式与其他解析式相比，更能体现几何意义，便于直观理解和应用。
二、点斜式直线方程公式的应用点斜式直线方程公式是解决各种直线问题的常用工具，可以应用于以下情况：1.已知直线上一点和斜率，求直线方程如果已知直线上某一点（x1，y1）和直线的斜率k，我们可以应用点斜式直线方程公式求解直线方程。
将已知条件代入公式，得到：y-y1=k(x-x1)这就是所求的直线方程。
例如，已知直线上的一点(-3，5)和直线的斜率为-2/3，我们可以应用点斜式公式求得直线方程：y-5=-2/3(x-(-3))化简为：y=-2/3x+3这就是所求的直线方程。
2.已知直线上两点，求直线方程如果已知直线上两个点（x1，y1）和（x2，y2），我们可以应用斜率公式求得直线斜率，然后应用点斜式公式求解直线方程。
具体步骤如下：1）计算出直线斜率k：k=(y2-y1)/(x2-x1)2）选择其中一个点（例如（x1，y1）），将已知条件代入点斜式公式，得到直线方程：y-y1=k(x-x1)例如，已知直线上的两个点（2，4）和（4，1），我们可以求得直线斜率k：k=(1-4)/(4-2)=-1.5接着，选择其中一个点（例如（2，4）），将已知条件代入点斜式公式，得到直线方程：y-4=-1.5(x-2)化简为：y=-1.5x+7这就是所求的直线方程。
直线方程的点斜式
3.2.1直线的点斜式方程
一、复习与引入
是不是所有直线都有斜率？怎样求解直线的斜率？
1:不是所有直线都有斜率，倾斜角为900的直线 没有斜率
2：直线的斜率有两种求解方法：
Ⅰ: 根据倾斜角来求 k tan
注：当 为钝角时 k tan tan(1800 )
Ⅱ: 根据直线上任意两点的坐标来求
例2 已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k 2x＋b2， 试讨论：（1）l1 // l2的条件是什么？（2）l1 l2的 条件是什么？
对于直线 l1 : y k1x b1
l2 : y k2x b2
Байду номын сангаас
l1 // l2 k1 k 2 , 且b1 b2
l1 l2 k1k 2 1
P2 P1
P1 P2
k y2 y1 (或k y1 y2 )
x2 x1
x1 x2
有斜率情况 ka kb a∥b
两条直线平行 无斜率情况 要无都无
有斜率情况 ka • kb 1 a⊥b
两条直线垂直
无斜率情况 一个没有，一个为0
例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率 分别为1，-1，2及-3的直线l1，l2，l3及l4。
y y0 0
y y0
O
x
1、直线方程的点斜式： y y0＝k（x x0）
?当过定点P（ 0 x0，y0），且直线l的倾斜角为90。时， 直线的方程是什么？
y l
.
x x0
P0 (x0 , y0 )
注意：不能用点斜式
O
x
1、直线方程的点斜式： y y0＝k（x x0）
例1 一条直线经过点P0（ 2，3），倾斜角＝45。， 求这条直线方程，并画出图象。
直线的点斜式方程
¤知识要点：1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =.4. 注意：y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.¤例题精讲：【例1】写出下列点斜式直线方程：（1）经过点(2,5)A ，斜率是4； （2）经过点(3,1)B -，倾斜角是30.【例2】已知直线31y kx k =++.（1）求直线恒经过的定点；（2）当33x -≤≤时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围.【例3】光线从点A （－3，4）发出，经过x 轴反射，再经过y 轴反射，光线经过点 B （－2，6），求射入y 轴后的反射线的方程.点评：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称. 光线的反射问题，也常常需要研究对称点的问题. 注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透. 【例4】已知直线l 经过点(5,4)P --，且l 与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l 的方程．点评：已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解. 而直线在坐标轴上的截距，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.¤知识要点：1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为112121y y x x y y x x --=--， 2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x ya b+=. 3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线.4. 线段12P P 中点坐标公式1212(,)22x x y y ++. ¤例题精讲：【例1】已知△ABC 顶点为(2,8),(4,0),(6,0)A B C -，求过点B 且将△ABC 面积平分的直线方程.【例2】菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x 轴和y 轴上，求菱形各边所在的直线的方程直线的一般式方程¤知识要点：1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A Cy x B B=--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为CB-的直线. 2 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为'0Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为'0Bx Ay C -+=. 过点00(,)P x y 的直线可写为00()()0A x x B y y -+-=.经过点0M ，且平行于直线l 的直线方程是00()()0A x x B y y -+-=； 经过点0M ，且垂直于直线l 的直线方程是00()()0B x x A y y ---=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： （1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠； （3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠.如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222A B C A B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A B A B ⇔≠.¤例题精讲：【例1】已知直线1l ：220x my m +--=，2l ：10mx y m +--=，问m 为何值时：（1）12l l ⊥；（2）12//l l .【例2】（1）求经过点(3,2)A 且与直线420x y +-=平行的直线方程；（2）求经过点(3,0)B 且与直线250x y +-=垂直的直线方程.【例3】已知直线l 的方程为3x +4y －12=0，求与直线l 平行且过点（－1，3）的直线的方程．点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程. 此题也可根据直线方程的一种形式00()()0A x x B y y -+-=而直接写出方程，即3(1)4(3)0x y ++-=，再化简而得.两条直线的交点坐标¤知识要点：1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点. ¤例题精讲：【例1】判断下列直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标.直线l 1: 1nx y n -=-, l 2: 2ny x n -=.【例2】求经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且平行于直线4370x y --=的直线方程.两点间的距离¤知识要点：1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则两点间的距离为：22121212||()()PP x x y y =-+-.特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,PP 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；当12,P P 在直线y kx b =+上时，21212||1||PP k x x =+-. 2. 坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.¤例题精讲：【例1】在直线20x y -=上求一点P ，使它到点(5,8)M 的距离为５，并求直线PM 的方程.【例2】直线2x －y －4=0上有一点P ，求它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的距离之差的最大值.【例3】已知AO 是△ABC 中BC 边的中线，证明|AB |2＋|AC |2=2（|AO |2＋|OC |2）.点到直线的距离及两平行线距离¤知识要点：1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为0022||Ax By C d A B++=+.2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式1222||C C d A B-=+，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020A x B y C ++=，即002A x B y C +=-. 这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为001122222||||Ax By C C C d A BA B++-==++.¤例题精讲：y x B (-c ,0) A (a ,b ) C (c ,0) O【例1】求过直线1110:33l y x =-+和2:30l x y -=的交点并且与原点相距为1的直线l 的方程.【例2】在函数24y x =的图象上求一点P ，使P 到直线45y x =-的距离最短，并求这个最短的距离.圆的标准方程¤知识要点：1. 圆的标准方程：方程222()()(0)x a y b r r -+-=>表示圆心为A （a ，b ），半径长为r 的圆.2. 求圆的标准方程的常用方法：（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程；（2）待定系数法：先根据条件列出关于a 、b 、r 的方程组，然后解出a 、b 、r ，再代入标准方程. ¤例题精讲： 【例1】过点(1,1)A -、(1,1)B -且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是（ ）. A.（x －3）2＋（y ＋1）2＝4 B.（x ＋3）2＋（y －1）2＝4 C.（x －1）2＋（y －1）2＝4 D.（x ＋1）2＋（y ＋1）2＝4 【例2】求下列各圆的方程： （1）过点(2,0)A -，圆心在(3,2)-；（2）圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --圆的一般方程¤知识要点：1. 圆的一般方程：方程220x y Dx Ey F ++++= （2240D E F +->）表示圆心是(,)22D E --，半径长为22142D E F +-的圆. 2. 轨迹方程是指点动点M 的坐标(,)x y 满足的关系式.¤例题精讲：【例1】求过三点A (2,2)、B (5,3)、C (3,－1)的圆的方程.【例2】设方程222422(3)2(14)16790x y m x m y m m +-++-+-+=，若该方程表示一个圆，求m 的取值范围及圆心的轨迹方程.直线与圆的位置关系¤知识要点：1. 直线与圆的位置关系及其判定： 方法一：方程组思想，由直线与圆的方程组成的方程组，消去x 或（y ），化为一元二次方程，由判别式符号进行判别；方法二：利用圆心（,a b ）到直线0Ax By C ++=的距离22||Aa Bb C d A B ++=+，比较d与r 的大小.（1）相交d r ⇔<⇔ 0∆>；（2）相切d r ⇔=⇔0∆=；（3）相离d r ⇔>⇔0∆<. 2. 直线与圆的相切研究，是高考考查的重要内容. 同时，我们要熟记直线与圆的各种方程、几何性质，也要掌握一些常用公式，例如点线距离公式0022||Ax By C d A B ++=+¤例题精讲：【例1】若直线（1+a ）x +y +1=0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为 .【例2】求直线:220l x y --=被圆22:(3)9C x y -+=所截得的弦长.圆与圆的位置关系¤知识要点：两圆的位置关系及其判定： 设两圆圆心分别为12,O O ，半径分别为12,r r ，则：（1）两圆相交121212||||r r O O r r ⇔-<<+；（2）两圆外切1212||O O r r ⇔=+；（3）两圆内切1212||||O O r r ⇔=-； ¤例题精讲：【例1】已知圆1C ：22660x y x +--=①，圆2C ：22460x y y +--=② （1）试判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程.【例2】求经过两圆22640x y x ++-=和226280x y y ++-=的交点，并且圆心在直线40x y --=上的圆的方程.课后练习 一、选择题1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=， 则,a b 满足（ ） A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x 3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ）A ．0B ．8-C ．2D ．104．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ）A 第一二三象限B 第一二四象限C 第一三四象限D ．第二三四象限 5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ） A ．045,1B ．0135,1-C ．090，不存在D ．0180，不存在6若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） A ．0≠m B ．23-≠m C ．1≠m D ．1≠m ，23-≠m ，0≠m 二、填空题1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________.2．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________;3．若原点在直线l 上的射影为)1,2(-，则l 的方程为____________________。
空间直线的点斜式方程
空间直线的点斜式方程
空间直线的点斜式方程是一种表示空间直线的方程形式。
它由直线上的一点和直线的方向向量所确定，其中点表示直线通过的位置，方向向量表示直线的方向。
点斜式方程的一般形式为L: (x-x0)/a = (y-y0)/b = (z-z0)/c，其中(x0,y0,z0)为直线上的一点，(a,b,c)
为直线的方向向量。
通过这个方程可以方便地求出直线上的任意一点的坐标，同时也可以通过直线的方向向量求出直线的倾斜角度和垂直方向的向量。
空间直线的点斜式方程是解析几何中的重要概念之一，对于许多几何问题的解决都有重要的作用。
- 1 -。
直线的点斜式方程、直线的两点式方程】
3.2 直线的方程 3.2.1 直线的点斜式方程 3.2.2 直线的两点式方程一、直线的点斜式方程 1．直线的点斜式方程的定义已知直线l 经过点000(,)P x y ，且斜率为k ，则直线l 的方程为这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的，因此称为直线的 ，简称当直线l 的倾斜角为0°时(如图1)，tan 00=,即k =0,这时直线l 与x 轴平行或重合，l 的方程就是00y y -=,或0y y =.当直线l 的倾斜角为90°时(如图2)，直线没有斜率，这时直线l 与y 轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示.因为这时l 上每一点的横坐标都等于0x ，所以它的方程是00x x -=,或0x x =.深度剖析（1）当直线的斜率存在时，才能用直线的点斜式方程.（2）当k 取任意实数时，方程00()y y k x x -=-表示过定点00(,)x y 的无数条直线.2．直线的点斜式方程的推导如图，设点(,)P x y 是直线l 上不同于点000(,)P x y 的任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式得y y k x x -=- (1),即00()y y k x x -=-(2).注意方程(1)与方程(2)的差异：点0P 的坐标不满足方程(1)，但满足方程(2)，因此，点0P 不在方程(1)表示的图形上，而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称为直线l 的方程.上述过程可以证明直线上每个点的坐标都是方程(2)的解.对上面的过程逆推，可以证明以方程(2)的解为坐标的点都在直线l 上，所以这个方程就是过点0P ,斜率为k 的直线l 的方程. 二、直线的斜截式方程 1．直线的斜截式方程的定义我们把直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的如果直线l 的斜率为k ，且在y 轴上的截距为b ，则方程为(0)y b k x -=-，即 叫做直线的 ，简称当b =0时，y kx =表示过原点的直线；当k =0且b ≠0时，y b =表示与x 轴平行的直线；当k =0且b =0时，0y =表示与x 轴重合的直线.深度剖析（1）纵截距不是距离，它是直线与y 轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、零或负数. 纵截距也可能不存在，比如当直线与y 轴平行时.（2）由于有些直线没有斜率，即有些直线在y 轴上没有截距，所以并非所有直线都可以用斜截式表示.2．直线的斜截式方程的推导已知直线l 在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，求直线l 的方程.这个问题相当于给出了直线上一点(0,)b及直线的斜率k ，求直线的方程，是点斜式方程的一种特殊情况，代入点斜式方程可得(0)y b k x -=-,即y kx b =+. 三、直线的两点式方程 1．直线的两点式方程的定义已知直线l 过两点111222(,),(,)P x y P x y ,当1212,x x y y ≠≠时，直线l 的方程为 .这个方程是由直线l 上的两点确定的，因此称为直线的两点式方程，简称两点式. 2．直线的两点式方程的推导已知直线l 过两点111222(,),(,)P x y P x y (其中1212,x x y y ≠≠)，此时直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的当12x x ≠时，所求直线的斜率2121y y k x x -=-任取12,P P 中的一点，例如取111(,)P x y ，由点斜式方程，得211121()y y y y x x x x --=--当12y y ≠时，可写为112121y y x x y y x x --=--.四、直线的截距式方程1．直线的截距式方程的定义已知直线l 过点(,0)A a ，(0,)B b (0,0a b ≠≠)，则由直线的两点式方程可以得到直线l 的方程为 ___________.我们把直线l 与x 轴的交点的横坐标a 叫做直线在x 轴上的_____________，此时直线在y 轴上的截距是 ___________.这个方程由直线l 在两个坐标轴上的截距a 和b 确定，因此叫做直线的截距式方程，简称截距式. 2．直线的截距式方程的推导已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b ，如图，其中0,0a b ≠≠.将两点(,0)A a ,(0,)B b 的坐标代入两点式，得000y x a b a --=--,即1x ya b+=. 五、中点坐标公式若点12,P P 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，且线段12P P 的中点M 的坐标为(,)x y ,则____________________x y =⎧⎨=⎩.此公式为线段12P P 的中点坐标公式. 六、直线系方程 1．过定点的直线系方程当直线过定点000(,)P x y 时，我们可设直线方程为00()y y k x x -=-.由此方程可知，k 取不同的值时，它就表示不同的直线，且每一条直线都经过定点000(,)P x y ,当k 取遍所允许的每一个值后，这个方程就表示经过定点0P 的许多直线，所以把这个方程叫做过定点0P 的直线系方程由于过点000(,)P x y 与x 轴垂直的直线不能被00()y y k x x -=-表示，因此直线系00()y y k x x -=- (k ∈R )中没有直线0x x =. 2．平行直线系方程在斜截式方程(0)y kx b k =+≠中，若k 一定，而b 可变动，方程表示斜率为k 的一束平行线，这些直线构成的集合我们称之为平行直线系.K 知识参考答案：一、00()y y k x x -=- 点斜式方程 点斜式 二、截距 y kx b =+ 斜截式方程 斜截式三、112121y y x x y y x x --=--四、1x ya b+= 截距 b 五、122x x + 122y y +K —重点直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，根据直线方程判定两直线的平行与垂直K —难点直线系问题、直线方程的综合应用K —易错忽略直线重合的情形或直线方程成立的条件致错、忽略直线方程的局限性致错1．直线的点斜式方程用点斜式求直线的方程，确定直线的斜率和其上一个点的坐标后即可求解. 【例1】已知点(3,3)A 和直线l ：3542y x =-.求： （1）过点A 且与直线l 平行的直线方程； （2）过点A 且与直线l 垂直的直线方程.【例2】已知在第一象限的△ABC 中,A (1,1),B (5,1),且∠CAB =60°,∠CBA =45°,求边AB ,AC 和BC 所在直线的点斜式方程.【解析】由A (1,1),B (5,1)可知边AB 所在直线的斜率为0,故边AB 所在直线的方程为y -1=0.由AB ∥x 轴,且△ABC 在第一象限，知边AC 所在直线的斜率k AC =tan 60°=,边BC 所在直线的斜率k BC =tan(180°-45°)=-1,所以,边AC 所在直线的方程为y -1=(x -1),边BC 所在直线的方程为y -1=-(x -5).2．直线的斜截式方程根据斜率和截距的几何意义判断k ，b 的正负时，（1）0k >直线呈上升趋势；0k <直线呈下降趋势；0k =直线呈水平状态.（2）0b >直线与y 轴的交点在x 轴上方；0b <直线与y 轴的交点在x 轴下方；0b =直线过原点. 【例3】已知直线l 与直线y =-2x+3的斜率相同,且在y 轴上的截距为5,求直线l 的斜截式方程,并画出图形.【解析】因为直线l 与直线y =-2x+3的斜率相同,所以直线l 的斜率为-2. 又直线l 在y 轴上的截距为5,所以直线l 的斜截式方程为y =-2x+5. 在直线l 上取一点(1,3),作出图形如图所示.【名师点评】直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情形. 【例4】已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成的三角形的面积为3，求直线l 的方程.3．直线的两点式方程已知直线上两点的坐标求解直线方程，可直接将两点的坐标代入直线的两点式方程，化简即得.代入点的坐标时注意横纵坐标的对应关系.若点的坐标中含有参数，需注意当直线平行于坐标轴或与坐标轴重合时，不能用两点式求解.【例5】已知三角形的三个顶点Α(－4，0)，B (0，－3)，C (－2，1)，求： (1)BC 边所在的直线的方程； (2)BC 边上中线所在的直线的方程.4．直线的截距式方程（1）由已知条件确定横、纵截距.（2）若两截距为零，则直线过原点，直接写出方程即可；若两截距不为零，则代入公式1x ya b+=中，可得所求的直线方程．（3）如果题目中出现直线在两坐标轴上的截距相等、截距互为相反数或在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的多少倍等条件时，采用截距式求直线方程时一定要注意考虑“零截距”的情况. 【例6】已知直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线的方程．【解析】设直线的方程为1x ya b+=，则，①又直线过点，∴341a b-+=，② 由①②得93a b =⎧⎨=⎩或416a b =-⎧⎨=⎩. ∴直线的方程为193x y +=或1416x y+=-，即或．5．中点坐标公式的应用（1）利用中点坐标公式可求以任意已知两点为端点的线段的中点坐标.（2）从中点坐标公式可以看出线段12P P 中点的横坐标只与12,P P 的横坐标有关，中点的纵坐标只与12,P P 的纵坐标有关.【例7】已知7(3,),(1,2),(3,1)2M A B ，则过点M 和线段AB 的中点的直线方程为 A ．425x y += B ．425x y -= C ．25x y += D ．25x y -=【答案】B【解析】由题意可知线段AB 的中点坐标为1321(,)22++，即3(2,)2.故所求直线方程为732372322y x --=--，整理，得4250x y --=，故选B. 6．直线过定点问题本题考查了直线过定点的问题，实际上就是考查直线方程的点斜式，同时要利用数形结合的思想解题. 若直线存在斜率，则可以把直线方程化为点斜式00()y y k x x -=-的形式，无论直线的斜率k 取何值时，直线都过定点00(,)x y .【例8】已知直线:21l y kx k =++. （1）求证：直线l 过一个定点；（2）当33x -<<时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围．【解析】（1）由21y kx k =++，得1(2)y k x -=+．由直线方程的点斜式可知，直线过定点(2,1)-． （2）设函数()21f x kx k =++，显然其图象是一条直线(如图)，若使33x -<<时，直线上的点都在x 轴上方，需满足(3)0(3)0f f -≥⎧⎨≥⎩,即32103210k k k k -++≥⎧⎨++≥⎩,解得115k -≤≤. 所以实数k 的取值范围是115k -≤≤.7．直线的平移规律直线y kx b =+上下(或沿y 轴)平移(0)m m >个单位长度，得y kx b m =+±(上加下减)；直线y kx b =+左右(或沿x 轴)平移(0)m m >个单位长度，得()y k x m b =±+(左加右减).【例9】已知直线1:23l y x =-，将直线1l 向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度得到直线2l ，则直线2l 的方程为 . 【答案】27y x =+【解析】根据直线的平移规律，可得直线2l 的方程为2(4)32y x =+-+，即27y x =+. 8．点斜式和斜截式的实际应用由直线的斜截式方程与一次函数的表达式的关系，利用一次函数的图象和性质求出直线方程，可以解决实际问题.9．忽略了直线重合的情形致错【例11】已知直线12:60,:(2)320l x my l m x y m ++=-++=，当12l l ∥时，求m 的值【错解】∵2l 的斜率223m k -=-，12l l ∥，∴1l 的斜率1k 也一定存在， 由1l 的方程得11k m =-,由12k k =,得213m m--=-解得3m =或1m =-∴m 的值为3或1-【错因分析】忽略了直线重合的情况，从而导致错误.【误区警示】当两直线的斜率存在时，两直线平行的等价条件是斜率相等且纵截距不相等，做题时容易忽略纵截距不相等，从而导致错解10．忽略直线方程的局限性致错【例12】求经过点(2,3)P ，并且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程. 【错解】设直线方程为1x y a a +=,将2,3x y ==代入，得231a a+=,解得5a =. 故所求的直线方程为50x y +-=.【错因分析】截距相等包含两层含义，一是截距不为0时的相等，二是截距为0时的相等，而后者常常被忽略，导致漏解.【正解】（1）当截距为0时，直线l 过点(0,0),(2,3)， ∵直线l 的斜率为303202k -==-, ∴直线l 的方程为32y x =,即320x y -=. （2）当截距不为0时，可设直线l 的方程为1x ya a+=,∵直线l 过点(2,3)P ，∴231a a+=，∴5a =， ∴直线l 的方程为50x y +-=.综上，直线l 的方程为320x y -=或50x y +-=.【误区警示】不同形式的方程均有其适用条件，在解题时应注意截距式方程的应用前提是截距均不为0且不垂直于坐标轴.1．经过点(－2,2)，倾斜角是60°的直线方程是 A ．y ＋2＝33(x －2) B ．y －2＝3(x ＋2)C ．y －2＝33(x ＋2) D ．y ＋2＝3(x －2)2．直线的方程00()y y k x x --= A ．可以表示任何直线 B ．不能表示过原点的直线 C ．不能表示与y 轴垂直的直线 D ．不能表示与x 轴垂直的直线 3．直线1x ya b+=过一、二、三象限，则 A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＜0 C ．a ＜0，b ＞0 D ．a ＜0，b ＜04．直线1y ax a=-的图象可能是5．与直线21y x =+垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是 A ．142y x =+ B ．y =2x ＋4 C ．y =−2x ＋4D ．142y x =-+ 6．在y 轴上的截距是－3，且经过A (2，－1)，B (6,1)中点的直线方程为 A ．143x y+= B ．143x y-= C ．134x y+= D ．136x y-= 7．已知直线l 1过点P (2，1)且与直线l 2：y ＝x ＋1垂直，则l 1的点斜式方程为 ． 8．直线32()y ax a a =-+∈R 必过定点 ． 9．斜率与直线32y x =的斜率相等，且过点(4,3)-的直线的斜截式方程是 . 10．已知△ABC 中,A (1,-4),B (6,6),C (-2,0),则△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的两点式方程是 .11．写出下列直线的点斜式方程:(1)经过点A (2,5),且与直线y =2x+7平行; (2)经过点C (-1,-1),且与x 轴平行.12．已知直线l 的斜率与直线326x y -=的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 的斜截式方程． 13．已知的顶点是，，．直线平行于，且分别交边、于、，的面积是面积的14．(1)求点、的坐标； (2)求直线的方程．14．两直线1x y m n -=与1x yn m-=的图象可能是图中的A B C D15．若直线l 1:y =k (x-4)与直线l 2关于点(2,1)对称,则直线l 2过定点A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(-2,4)D ．(4,-2)16．若三点()()()2,2,,,0)0,0(A B a C b ab ≠共线，则11a b+= . 17．已知直线l 过定点A (−2，3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l 的方程．1 2 3 4 5 6 14 15 BDCBDBBB1．【答案】B【解析】k ＝tan60°＝3，则点斜式方程为y －2＝3(x ＋2)．5．【答案】D【解析】因为所求直线与y =2x ＋1垂直，所以设直线方程为12y x b =-+.又因为直线在y 轴上的截距为4，所以直线的方程为142y x =-+. 6．【答案】B【解析】易知A (2，－1)，B (6,1)的中点坐标为(4,0)，即直线在x 轴上的截距为4，则所求直线的方程为143x y-=. 7．【答案】y －1＝－(x －2)【解析】根据题意可知直线l 1的斜率为−1，所以l 1的点斜式方程为y －1＝－(x －2)． 8．【答案】(3，2)【解析】将直线方程变形为y −2=a (x −3)，由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3，2)．9．【答案】392y x =+ 【解析】因为所求直线的斜率与直线32y x =的斜率相等，所以所求直线的斜率32k =.又直线过点(4,3)-，所以直线方程为33(4)2y x -=+，所以直线的斜截式方程为392y x =+.11．【解析】(1)由题意知,直线的斜率为2,所以其点斜式方程为y-5=2(x-2).(2)由题意知,直线的斜率k =tan 0°=0,所以直线的点斜式方程为y-(-1)=0,即y =-1. 12．【解析】由题意知，直线l 的斜率为32，故可设直线l 的方程为32y x b =+，所以直线l 在x 轴上的截距为23b -，在y 轴上的截距为b ，所以213b b --=，35b =-，所以直线l 的方程为3325y x =-. 13．【解析】(1)因为，且的面积是面积的14，所以、分别是、的中点，由中点坐标公式可得点的坐标为502，⎛⎫ ⎪⎝⎭，点的坐标为722，⎛⎫ ⎪⎝⎭．(2)由两点式方程，可知直线的方程为502752022y x --=--，即．14．【答案】B【解析】由1x y m n -=，得y ＝n m x －n ；由1x y n m -=，得y ＝mnx －m ，即两条直线的斜率同号且互为倒数，故选B. 15．【答案】B【解析】因为直线l 1:y =k (x-4)过定点(4,0),所以原问题转化为求(4,0)关于(2,1)的对称点.设直线l 2过定点(x ,y ),则422012x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,解得x =0,y =2.故直线l 2过定点(0,2).16．【答案】12【解析】易知直线BC 的方程为1x y a b +=，由点A 在直线BC 上，得221a b +=，故1112a b +=.。
直线的方程-点斜式
Y
⊕p 1 O
L ⊕ P
X
确定的直线方程，叫直线的点斜式方程。
说明:(1)前者表示的直线上缺少一个点，而后者 才是整条直线的方程.
说明
1 (2)直线的斜率 时，直线方程为 当直线的斜率不存在时，不能用点斜式求 它的方程，这时的 直线方程为 1 (3)点斜式并不能把平面上所有的直线都表示在内，它受到斜率 存在性的影响，因此，在具体运用时应根据情况分类讨论，避 免遗漏.
1、"直线的方程"和"方程的直线"的概念: 作出直线y=2x＋1的图形： .(1,3)
A(0,1)
①有序数对（0,1）满足函数y=2x+1，在直线 l 上就 有一点A，它的坐标是（0,1），即满足函数y=2x+1的 有序实数对（x，y）为坐标的点在 直线y=2x+1上 ； ②反过来，直线 l 上点P（1,3），则有序实数（1,3）就 满足函数y=2x+1，即直线上点的坐标（x，y）都满足 函 数y=2x+1。
1 (2)经过点(3,1),斜率为 X-2y-1=0 2
(3)斜率为-2,在y轴上的截距为-2
2x-y+2=0
3 (4)斜率为 2
,与x轴的交点横坐标为-7
3x 2 y 7 3 0
练习2.(1)已知一直线经过点P(1,2)，
且与直线y=-2x+3斜率相等，则直线方 程是 y=-2x+4 . (2)已知一直线斜率为0，且在y轴上的 y=-2 截距为-2，则该直线方程是________.
练习3:已知直线l经过点P（2，
1）,且它的倾斜角是直线 l1:y= 3 x+2的一半，求直线l的方程.
练习4:若直线点P(0,1),它与两条坐标轴围 成的三角形的面积等于4,求直线的方程.
点斜式和两点式公式
点斜式和两点式公式点斜式和两点式公式是解析几何中常用的两种表示直线的方法。
在平面几何中，直线是两个点之间所有点的集合，通过确定直线上的任意两个点，我们可以确定一条唯一的直线。
点斜式和两点式公式就是用来表示直线的方程。
我们来介绍点斜式公式。
点斜式公式是通过给定直线上一点的坐标和直线的斜率来表示直线的方程。
假设直线上的一点为P(x1, y1)，直线的斜率为m，那么点斜式公式可以表示为：y - y1 = m(x - x1)。
通过点斜式公式，我们可以方便地求解直线的方程。
例如，已知直线上的一点为P(2, 3)，斜率为2，我们可以使用点斜式公式得到直线的方程为：y - 3 = 2(x - 2)。
通过展开和整理方程，我们可以得到直线的一般形式y = 2x - 1。
接下来，我们来介绍两点式公式。
两点式公式是通过给定直线上两个不同点的坐标来表示直线的方程。
假设直线上的两个点为P(x1, y1)和Q(x2, y2)，那么两点式公式可以表示为：(y - y1)/(x - x1) = (y2 - y1)/(x2 - x1)。
通过两点式公式，我们可以求解直线的方程。
例如，已知直线上两个点为P(1, 2)和Q(3, 4)，我们可以使用两点式公式得到直线的方程为：(y - 2)/(x - 1) = (4 - 2)/(3 - 1)。
通过展开和整理方程，我们可以得到直线的一般形式y = x + 1。
点斜式和两点式公式都是常用的表示直线的方法，它们各有优劣和适用范围。
点斜式公式适用于已知直线上一点和斜率的情况，而两点式公式适用于已知直线上两个点的情况。
根据具体的问题和已知条件，我们可以选择使用其中的一种方法来表示直线的方程。
除了表示直线的方程，点斜式和两点式公式还可以用于求解直线的性质和问题。
例如，我们可以使用点斜式公式求解直线的斜率和与坐标轴的交点；使用两点式公式求解直线的斜率和与坐标轴的交点。
通过这些求解过程，我们可以更好地理解直线的性质和几何特征。
3.2.1 直线的点斜式方程
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典例透析
②如图乙,过定点P(x0,y0),倾斜角是90°的直线不能用点斜式表
示,其方程为x-x0=0或x=x0.
-4-
3.2.1 直线的点斜式方程
12
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典例透析
【做一做1】 若直线l的点斜式方程是y-2=3(x+1),则直线l的斜率 是( )
A.2 B.-1 C.3 D.-3 解析:直线l经过点(-1,2),且斜率为3. 答案:C
题型一 求直线的点斜式方程
【例1】 写出下列直线的点斜式方程: (1)经过点A(2,5),斜率是4; (2)经过点B(2,3),倾斜角是45°; (3)经过点C(-1,-1),与x轴平行. 解:(1)由点斜式方程可知,所求直线的点斜式方程为y-5=4(x-2). (2)直线的倾斜角为45°,则此直线的斜率k=tan 45°=1. 故直线的点斜式方程为y-3=x-2. (3)直线与x轴平行,则倾斜角为0°,斜率k=0.
所以直线的斜率为 − 3.
3
故所求直线的点斜式方程为
y+1=−
3 (������
3
−
2).
(3)因为直线与y轴垂直,所以倾斜角为0°,
即斜率k=0.故所求直线的点斜式方程为y=-2.
-12-
3.2.1 直线的点斜式方程
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典例透析
题型一 题型二 题型三
题型二 求直线的斜截式方程
3.2.1 直线的点斜式方程
题型一 题型二 题型三
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典例透析
正解:设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,则k1=-1,k2=a2-2.
3.2.1直线的点斜式方程题型全归纳
3.2.1直线的点斜式方程题型全归纳【知识梳理】1．直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程y－y0＝k(x－x0)叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．(2)说明：如图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0，或x＝x0.2．直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程y＝kx＋b叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．【常考题型】题型一、直线的点斜式方程【例1】(1)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________．(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为________．(3)求过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1平行的直线方程为________．【类题通法】已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝x0.【对点训练】1．写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(2,5)，斜率是4；(2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行．题型二、直线的斜截式方程【例2】 (1)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为________．(2)已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．【类题通法】1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b ＝0时，y ＝kx 表示过原点的直线；当k ＝0时，y ＝b 表示与x 轴平行(或重合)的直线．2．截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．【对点训练】2．求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且在y 轴上的截距是－5的直线方程．题型三、两直线平行与垂直的应用【例3】 当a 为何值时，(1)两直线y ＝ax －2与y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直？(2)两直线y ＝－x ＋4a 与y ＝(a 2－2)x ＋4互相平行？【类题通法】判断两条直线位置关系的方法直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2.(1)若k1≠k2，则两直线相交．(2)若k1＝k2，则两直线平行或重合，当b1≠b2时，两直线平行；当b1＝b2时，两直线重合．(3)特别地，当k1·k2＝－1时，两直线垂直．(4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑．【对点训练】3．(1)若直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直，则a＝________.(2)若直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行，则a＝________.【练习反馈】1．直线y＝2x－3的斜率和在y轴上的截距分别等于()A．2,3B．－3，－3C．－3,2 D．2，－32．直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是()A．y＋3＝x－2 B．y－3＝x＋2C．y＋2＝x－3 D．y－2＝x＋33．过点(－2，－4)，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是________．4．在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4平行的直线的斜截式方程为________．5．(1)求经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程；(2)求经过点(－2，－2)，且与直线y＝3x－5垂直的直线的方程．参考答案【例1】[答案] (1)x ＝－5 (2)y －4＝－(x －3) (3)2x －y ＝0【对点训练】1.(1) y －5＝4(x －2)．(2) y －3＝x －2.(3) y ＝－1.【例2】[答案] (1)y ＝－33x －3 【对点训练】2．y ＝33x －5. 【例3】 [解] (1)设两直线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＝a ，k 2＝a ＋2. ∵两直线互相垂直，∴k 1k 2＝a (a ＋2)＝－1，解得a ＝－1.故当a ＝－1时，两条直线互相垂直．(2)设两直线的斜率分别为k 3，k 4，则k 3＝－1，k 4＝a 2－2.∵两条直线互相平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，4a ≠4，解得a ＝－1. 故当a ＝－1时，两条直线互相平行．【对点训练】3．解析：(1)由题意可知kl 1＝2a －1，kl 2＝4.∵l 1⊥l 2，∴4(2a －1)＝－1，解得a ＝38. (2)因为l 1∥l 2，所以a 2－2＝－1，且2a ≠2，解得a ＝－1，所以a ＝－1时两直线平行．【练习反馈】1．答案：D 2．选A 3．答案：y ＋4＝3(x ＋2)4．答案：y ＝－3x ＋25．解：(1)由y ＝2x ＋7得其斜率为2，由两直线平行知所求直线的斜率是2. ∴所求直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(2)由y ＝3x －5得其斜率为3，由两直线垂直知，所求直线的斜率是－13. ∴所求直线方程为y ＋2＝－13(x ＋2)，即x ＋3y ＋8＝0.。
直线方程的点斜式
直线方程的点斜式1. 什么是直线方程的点斜式？直线方程的点斜式是一种表示直线的方法，它使用直线上的一个点和该直线的斜率来确定直线方程。
点斜式也被称为点斜率式或点斜数式。
2. 点斜式的一般形式对于一条直线，假设已知该直线上的一个点P(x₁, y₁)和该直线的斜率k，那么该直线的点斜式可以表示为：y - y₁ = k(x - x₁)其中，(x, y)是任意一点在该直线上。
3. 如何使用点斜式求解直线方程？要使用点斜式求解直线方程，我们需要已知两个信息：一个在该直线上的点和该直线的斜率。
下面通过一个具体例子来说明如何使用点斜式求解：例子：已知一条直线上有一个点P(2, 3)，且该直线的斜率为2。
求解该直线的方程。
解法：将已知信息代入到点斜式中，得到： y - 3 = 2(x - 2)接下来，我们可以进行化简和变形： y - 3 = 2x - 4 y = 2x -1所以，经过计算可得出该条直线的方程为y = 2x -1。
4. 点斜式的优点和适用范围点斜式有以下几个优点：•直观：通过给出一个点和斜率，可以直观地描述一条直线。
•独特性：对于给定的点和斜率，可以唯一确定一条直线。
•灵活性：可以方便地求解直线上的其他点。
点斜式适用于以下情况：•已知直线上的一个点和该直线的斜率。
•需要根据已知条件求解直线方程。
5. 如何从一般形式转换为点斜式？若已知一般形式的直线方程Ax + By = C，我们可以通过以下步骤将其转换为点斜式：步骤1：将一般形式移项，化简得到y的表达式： By = -Ax + C y = (-A/B)x + C/B步骤2：比较得到y = kx + b形式，其中k为(-A/B)，b为(C/B)。
所以，从一般形式转换为点斜式后，我们可以得到该直线上任意一点(x, y)满足：y - y₁ = k(x - x₁)6. 如何从点斜式转换为一般形式？若已知一个直线的方程为y - y₁ = k(x - x₁)，我们可以通过以下步骤将其转换为一般形式：步骤1：展开得到标准形式： y - y₁ = kx - kx₁步骤2：移项并化简： -y + y₁ = kx - kx₁ kx - y + (kx₁ - y₁) = 0所以，从点斜式转换为一般形式后，我们可以得到该直线的一般形式方程Ax + By = C，其中A=k，B=-1，C=(kx₁ - y₁)。
直线的点斜式方程
例2:斜率是5,在y轴上的截距是-4的直线方程.
解：由已知得k =5， b= - 4， 代入斜截式方程 y= 5x - 4
1、说出下列直线的斜率和在y轴上的截距：
（１）y 3x 2
(2) y 3x
3， -2
3， 0
2、写出下列直线的斜截式方程： 3 3 x2 （1）斜率是 ，在 y轴上的截距是 2； y 2 2 （2）斜率是 2 ，在 y轴上的截距是 4 ；y 2 x 4
y3
（2）斜率为２时的直线方程；
y 3 2( x 1)
（3）倾斜角为 90 时的直线方程.
x 1 （4）且过原点的直线方程.
y 3 x
巩固练习
1.经过点（- 2 ，2）倾斜角是1500的直线的方程是（ （A）y＋ 2 =－ 3 x－2） （
3 3
C）
ห้องสมุดไป่ตู้
（B）y+2= （x－ 2 ） － 3
[答案](1)过定点(3，－2) (2)(－1,3)
[解析](1)由直线点斜式方程的定义知，不论k取何 实数方程y＋2＝k(x－3)总表示经过点(3,－2)，斜率为 k的直线，所以这些直线的共同特征是过定点(3,－2)． (2)将方程mx－y＋m＋3＝0变形为y－3＝m(x＋1)可 知，不论m取何实数，直线总过定点(－1,3)．
1 1 (1) l1 : y x 3 , l2 : y x 2 2 2 5 3 (2) l1 : y x , l2 : y x 3 5
l1 // l2
l1 l2
条 件 ： 有 斜 率 且 非 零 ！
例、已知直线经过点 P1,3 ，求 （1）倾斜角为 0 时的直线方程；
2、直线的斜截式方程：
直线方程的点斜式
理解运用B组
1、 求倾斜角是直线y=2x-3的倾斜角的2倍， 且分别满足下列条件的直线方程：
（1）经过点(-1,4)
（2）在y轴上的截距为-5
2、一条光线从M(5,3)射出，与轴正方向所成 角为60°，遇到x轴后反射
(1)求入射光线L1和反射光线L2所在直线的 方程（2）求入射光线L1和反射光线L2在坐 标轴上的截距(3)将反射直绕它与Y轴的交点 按逆时针方向旋转150°得到直线L3求直线
拓展延伸C组
1、已知直线L经过点（1，2）且与两坐 标轴围成的三角形的面积为，求这条直 线的方程。
5、直线y= -3x -2的斜率是__-_3__，在y轴上的截 距是__-_2__
知识梳理
• 1、方程y-y1=k(x-x1)是由直线上的一 点和直线的斜率确定的所以叫直线的 点斜式
• 2、方程y=kx+b是由直线的斜率和它在y轴 上的截距确定的所以叫直线的斜截式
• 3、方程y=kx+b方程y-y1=k(x-x1)的特殊情 形，运用它们的前提是：直线斜率k存在
P1（x1,y1)
P(x,y)
•
y - y1= k ( x - x1 ) 其中x1，y1为直线上一点坐标， k为直线的斜率。
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顿写一封内容尖刻的信回敬那家伙。 “可以狠狠地骂他一顿。”林肯说。 斯坦顿立刻写了一封措辞强烈的信，然后拿给总统看。 “对了，对了。”林肯高声叫好，“要的就是这个！好好训他一顿，真写绝了，斯坦顿。” 但是当斯坦顿把信叠好装进信封里时，林肯却 叫住他，问道：“你要干什么？” “寄出去呀。”斯坦顿有些摸不着头脑了。 “不要胡闹。”林肯大声说，“
直线方程的点斜式
1 确定直线的几何要素： 点与方向 2 过两点A(x1,y1)和 B(x2,y2)(x1≠x2)的直线l 的直线的斜率 k=(y2-y1)/(x2-x1) 3. 倾斜角为α的直线l的斜率为k=tan α (α≠900) 什么条件下直线没有斜率？
<一>实例分析 一 实例分析 求过点P（0，3）斜率k为2的直线l方程。
2.直线方程的点斜式： 2.直线方程的点斜式：由直线上一点和斜率 直线方程的点斜式 一个方向） （一个方向）所确定的直线方程称为直线方程 的点斜式。 的点斜式
<三>直线点斜式方程的推导 三 直线点斜式方程的推导 求过点P（x0，y0）斜率为k的直线l方程。
设Q(x,y)是l上不同于P的任一点 则(y- y0)/(x- x0)=k 即y- y0 =k (x- x0) ∴直线l的方程为y- y0 =k (x- x0)
解：易知该直线的点斜式方程为： y-b=k(x-0) 即 y=kx+b
注（1）称y=kx+b为直线的斜截式方程，斜 截式是直线方程的点斜式的特殊情况。
（2）该直线与y轴的交点为(0,b) 与x轴的 交点为(-b/k,0)(k≠0),其中b与-b/k分别称为 直线在y轴、x轴上的截距。 （3）截距为一数值可正可负也可为零
课堂小结：
1.直线的点斜式方程 y- y0 =k (x- x0)及适用范围 2.直线的截距式方程y=kx+b及适 用范围
思考： 思考： 已知直线l的斜率为 1/2 ，且与两坐 标轴围成的三角形的面积为4，求直线l 的方程.
解 (1)∵直线l的点斜式方程为y- y0 =k (x- x0) ∴ y- 4 =2 (x- 3) 即直线l的方程为2x-y-2=0 (2) 易知 k=tan450=1 ∴ y- 4 = x- 3 即直线l的方程为x-y+1=0 (3) 直线l的方程: y=4 (4) 直线l的方程: x=3
直线的点斜式方程
深入理解
问题1：截距与距离一样吗？
截距与距离不一样，截距可正、可零、可负, 而距离 不能为负。
问题2：斜截式与一次函数y=kx+b一样吗？
斜截式与一次函数y=kx+b 形式一样，但有区别。 当k≠0 时，斜截式方程就是一次函数的表现形式。
问题3：斜截式的适用范围？ 斜截式的适用范围是：k存在
例2 写出下列直线的斜截式方程
说明：①斜率要存在！②方程(1)是有缺点的直线； 而方程(2)表示一条完整的直线.
直线的点斜式方程：
y y0 k(x x0 )
两个独立条件：“点”和“斜”
思维拓展:
y
P0(x0,y0)
y0
l
x O
直线上任意点 纵坐标都等于
y0
(1)l与x轴平行或重合时:
倾斜角α为0°斜率k=0
代入点斜式得：
(2)斜率k要存在，纵截距b∈R.
二、直线的斜截式方程:
方程 y = k x + b 由直线的斜率k 与它在y轴的截距b 确定的方程叫做直线的斜截方程，简称斜截式。
b
P(0,b)
a
O
x
A(a,0)
纵截距
横截距 (a 、b∈R)
截距不是 距离！
直线的斜截式方程: y
y
y=kx+b
b
x
x
0
0
b
把直线与y轴交点（ 0 , b ）的纵坐标b叫 做直线在y轴上的截距.
x2 x1
实践出真知：
直线l经过点P0(x0，y0),且斜率为k， 设点P(x，y)是直线l上不同于P0的任意 一点，求P(x，y) 满足的关系？
y
l
P(x,y)
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• 1、直线的斜率定义是什么？
• 2、直线的斜率公式是什么？ • 3、什么是直线的方程，方程的直线？如 何探求直线的方程？
问题探究
• 1、过已知点P1(x1,y1)的直线有多少条？过已知 点P1(x1,y1) ,斜率为k的直线L有多少条？由此你 可得出什么结论？ • 2、已知直线L经过点P1(x1,y1)且直线的斜率为k， 如何求直线L的方程？（即直线L上任意一点P （x,y）的坐标满足的关系）
理解运用B组
1、 求倾斜角是直线y=2x-3的倾斜角的2倍， 且分别满足下列条件的直线方程：
（1）经过点(-1,4)
（2）在y轴上的截距为-5 2、一条光线从M(5,3)射出，与轴正方向所成 角为60°，遇到x轴后反射
(12在坐 标轴上的截距(3)将反射直绕它与Y轴的交点 按逆时针方向旋转150°得到直线L3求直线
知识梳理
• 1、方程y-y1=k(x-x1)是由直线上的一 点和直线的斜率确定的所以叫直线的 点斜式
• 2、方程y=kx+b是由直线的斜率和它在y轴 上的截距确定的所以叫直线的斜截式 • 3、方程y=kx+b方程y-y1=k(x-x1)的特殊情 形，运用它们的前提是：直线斜率k存在 • 4、当斜率k不存在时，即直线与轴平行或重 合，经过点P1(x1,y1)的方程为:x=x1
拓展延伸C组 1、已知直线L经过点（1，2）且与两坐 标轴围成的三角形的面积为，求这条直 线的方程。 变式1： 已知直线L的斜率为2且与两坐标 轴围成的三角形的面积为4，求这条直线的 方程。 变式2:已知直线L经过点（1，2） 且与x轴、y轴 正半轴于A、B两点，当三角形OA的面积最小时 直线L的方程。
P1（x1,y1)
P(x,y)
•
y - y1= k ( x - x 1 ) 其中x1，y1为直线上一点坐标， k为直线的斜率。
理解运用A组
1、一条直线过点P1（-2，3），倾斜角为 45°，则这条直线的方程是 _____ X-y+5=0 2、一条直线过点P1(x1,y1 ），倾斜角为0°， 则这条直线的方程是_____ Y=y1 3、一条直线过点P1(x1,y1 ），倾斜角为90°， 则这条直线的方程是X=x1 _____ 4、一条直线过点P1(0, b），斜率为k，则这条 直线的方程是Y=kx+b _____ 5、直线y= -3x -2的斜率是_____ -3 ，在y轴上的截 距是_____ -2
课堂总结
方程名称 已知条件 直线方程 示意图
点斜式 斜截式 求直线方程时，可先将斜率k或截距b作为未知数 引入，再根据条件确定k 或 b——待定系数法， 但要注意讨论斜率是否存在。
应用范围
； /lidaxiao/ 李大霄；
子,柱子是由骷髅头打造而成の,上面堆积了无数魔神の脑袋丶看上去令人心悸万分,不少人可能被吓到了,也慢慢の消失了丶刚刚这里通道上面,起码有上百亿の生灵,如今这么壹来,留下の生灵不到十亿了丶"通天魔柱!"根汉通过一些邪修の元灵,也认识了这个东西,这就是魔界大名鼎鼎の 通天魔柱丶也是传说中魔界の支柱,传说就是这两根通天魔柱,支撑着整个魔界,若是这通天魔柱都碎了,这魔界也就不复存在了丶现在这个东西,竟然出现在了这里,出现在了魔劫之海中丶"既为魔,便来试吧丶"闪电魔仙の声音,又传了出来,前面の壹大片の近亿の人影,壹下子就被拉向了面 前の黑色大漩涡丶"不。""不要。"不少人惊恐大叫,以为要把他们怎么样,结果还没有到通天魔柱和面前の大漩涡面前,便被消失了丶猫补中文叁捌57你是谁(猫补中文)叁捌57闪电魔仙の虚影壹扯,上亿の修行者被扯进了黑色漩涡之中,然后就没有别の事情了丶剩下の人,还有不少人心中畏 惧,不知道会发生什么事情,掉进漩涡中是没命了,还是别の什么事情,都不清楚丶根汉倒是没有什么反应,这既是魔劫之海,肯定是壹种考验了丶之前已经筛选掉了大部分の人了,这些生灵应该不至于全部被杀,要真是全部被杀の话,那这魔劫之海就真の是死亡之海了丶他们被淘汰之后,应该 会被送到某个地方去,要不就是重回魔界,要不就是可能会被送到专门の地方去丶总之这里の考验,也不会是直接抹杀,要不然这背后の势力就太残酷了,完全没有这个必要,造这么大の杀孽,岂是他们能够承受の丶闪电魔仙虚影横在漩涡面前,犹如死神壹样,冰冷の骨眼盯着面前の余下の修 行者丶"既恐惧,何来道!"说完之间,主路上の壹些白鸟上面の人影,又惭惭の消散了不少,最少也有上亿生灵又这样子消失了丶显然是这闪电魔仙,感应到了壹些生灵心中の恐惧,将这些人也给淘汰了,可以说肯定是有自己の壹套淘汰の机制了丶又有上亿修行者被淘汰了,这下子之前来の上 百亿の魔界中人,现在剩下の不到十八亿了丶剩下の修行者,应该都有所领悟了,想要在这里入成仙路,要是没有坚定の信念,过于恐惧者是不会有资格上去の丶这个与修为并没有太大の关系,只与你の意志有关系,只看你有没有有咱无他,唯咱独尊の信念丶若是你坚信这个,你坚信自己の道, 就有资格上去成仙路上历练丶而若是没有,你又何必上去这条道呢,没有必要在上面成为别人の垫脚石丶当然并不意味着,你上了成仙路就不会死,只是需要你不惧死,死亡肯定是成仙路の主旋律之壹丶过了将近壹个时辰,这闪电魔仙控制下の黑洞,才有了下壹步の举动丶这回没有多少生灵 恐惧了,闪电魔仙又发出了壹阵魔音,然后又有上亿の修行者被吸进了黑洞之中丶这边芸尔壹直呆在根汉の身边,她倒是很幸运,若是光她自己の话,没有根汉の庇护の话,肯定早就恐惧了丶直到现在,她也没有被淘汰,不过她也不敢开口说话,也不敢打扰根汉甚至她想开口,求求根汉将她送进 乾坤世界,这样子她就可以随着根汉壹道进入成仙路了丶可是这样の话,她却不敢说丶"你进咱乾坤世界吧丶"根汉却感应到了她心中の惊慌,还是出手将这个芸尔给送进了自己の乾坤世界,心想这也是没办法の,做好人就做到底吧丶"多谢前辈丶"芸尔大喜,赶紧向根汉行了壹礼,然后便被根 汉给送进了乾坤世界,这下子就不用担心了丶好在这里并不限制生灵使用乾坤世界,所以可以说,不少修行者の乾坤世界中都藏了人丶还有些藏の人,远远不止壹万两万,就算是上千万,甚至是过亿の修行者都有可能の丶比如那边の壹位老者,实力很强大,半只脚步入了至尊之境了,在他の乾 坤世界中,就藏着好几大家亭の人丶那人口就超过千万了,而那个老者,就是倚仗着这壹项,就收了那上千万人の十几亿灵石丶其它他和那上千万人,可以说并没有什么太大の关系,只是单纯の为了赚灵石而已丶可以说这买卖做の真是值呀,连根汉也比较羡慕呀,这要是自己早知道了还有这样 の生意可以做,自己也带个几十亿の修行者过去,赚他个几千亿灵石,丫の,这几千年の灵石都不用担心了丶不过想归想,他也不能真の这么去做,只是主路上の不少修行者乾坤世界中都带有其它の生灵丶所以光看看这里好像只有十八亿修行者了,但是若算上他们每个人乾坤世界中の生灵,总 数何止十八亿呢丶最少也得有壹百八十亿,甚至是几百亿の生灵,所以还必须要淘汰壹大部分,要不然の话生灵实在是太多了丶要知道这仙路上,到时候可是万域争锋の,若是每壹域,都有几百亿修行者踏上其中丶到时候路都不要走了,直接人挤人,看长城壹样了成了丶那边の老者,现在也还 在坚持,并没有被淘汰,在这里呆了好壹阵,他看到那芸尔不见了丶便知道根汉将她送进乾坤世界了,老者心中也有些黯然,心想还是漂亮女人好呀,男人主动将她们给带进乾坤世界,不用风吹雨淋の,而且还安全丶自己也想进根汉の乾坤世界呀,可是自己没有这脸说这话呀,要是自己开这口了, 那就让人家小瞧了丶"叶道友,等下咱们应该会分到壹批,被带进这漩涡,到时候还请叶道友多多照顾咱呀丶"老者对根汉笑了笑,传音于他丶根汉点了点头道："好说好说丶"当然这也只是客套话了,毕竟和这个老者,也聊了好壹段时间了,算是有点小交情吧,要是能出手相救,根汉自然是会の 丶二人在前面等了好壹阵,终于是轮到他们了,这时候漩涡中发出了壹股超级吸力,然后这边の近亿の修行者,都被卷向了黑色漩涡丶"这是。"不过令根汉没想到の是,自己和壹众修行者都被吸过去の过程中,却突然发生了变故丶在这个黑色の大漩涡深处,还有壹个超级小の红色の小漩涡,与 其它の漩涡都不同丶其它の修行者,包括那个老者,都被吸到了别の地方,而只有自己竟然被吸向了这个红色の小漩涡丶"不会是什么阴谋吧?"根汉打开天眼,死死の盯着这个小漩涡,自己此时却难以调动灵力,无法避开这个小漩涡丶"结!"为防万壹,根汉取出了九龙珠环,戴在了自己脖子上, 防止会发生什么意外,这个鬼漩涡不知道是什么意思丶这上亿の修行者,都没有人被吸进这里面,自己却被吸到了这个红色の小漩涡中丶所以即使是被吸扯进去,根汉也壹直是睁开着天眼,不过这个小漩涡倒没有别の影响力,也没有影响根汉睁开天眼丶"涮。"壹声闷响,根汉感觉眼睛闪了闪, 然后脚下就又踩到了壹个软软の东西,他低头壹看丶"丫の,这是什么鬼?"脚下有壹坨黄颜色の东西,猛の壹看,就像是壹坨大便,但是这坨大便似乎太大了壹些丶这壹眼望过去,脚下几万平米之内,都是这种大便壹样の东西,不过只是没有什么臭味尔,应该不是什么大便,而是壹种粘乎乎の东 西丶"滚开。"根汉怒了,心想之前就觉得没什么好事,果然壹出来就是这种鬼东西丶他立即弃了自己の这双鞋,直接丢掉了鞋子飞到了半空中,从而打量了壹下眼前の这个奇妙空间丶这里有灵气,但是这里の灵气却有些奇怪,根汉在这里发现了大量の炼灵之气,而且全是光明炼灵丶空间并不 大,也就是方圆壹百里不到,边缘处有壹些黑色の封印,自己竟然被这些黑色の封印给挡住了丶"什么人"!根汉猛の壹挥手,手心壹道神光剑斩了过去丶"轰""哎哟。""疼呀。"这时候背后の角落中,传来了壹声惨叫,壹个闪烁着黑光の家伙,在那里嗷嗷鬼叫丶根汉定晴壹看,看到了这个家伙の 本来面目丶在他の身后,是壹个身高两米五左右の黑甲人,全身都披着厚厚の黑甲,再加上这壹身高,还有爆炸壹般の肌肉线条,确实是很有视觉冲击力丶"你又是谁?"猫补中文叁捌5捌看你表现(猫补中文)叁捌5捌这时候背后の角落中,传来了壹声惨叫,壹个闪烁着黑光