孙训方版。材料力学公式总结材料大全

材料力学重点及其公式

材料力学的任务 （1）强度要求；（2）刚度要求；（3）稳定性要求。 变形固体的基本假设 （1）连续性假设；（2）均匀性假设；（3）各向同性假设；（4）小变形假设。

外力分类：表面力、体积力；静载荷、动载荷。

力：构件在外力的作用下，部相互作用力的变化量，即构件部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力 截面法：（1）欲求构件某一截面上的力时，可沿该截面把构件切开成两部分，弃去任一部分，保留另一部分研究（2）在保留部分的截面上加上力，以代替弃去部分对保留部分的作用。（3）根据平衡条件，列平衡方程，求解截面上和力。

应力： dA dP A P p A =∆∆=→∆lim 0正应力、切应力。

变形与应变：线应变、切应变。

杆件变形的基本形式 （1）拉伸或压缩；（2）剪切；（3）扭转；（4）弯曲；（5）组合变形。

静载荷：载荷从零开始平缓地增加到最终值，然后不再变化的载荷。 动载荷：载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。 失效原因：脆性材料在其强度极限b σ破坏，塑性材料在其屈服极限s σ时失效。二者统称为

极限应力理想情形。

塑性材料、脆性材料的许用应力分别为：

[]3n s σσ=，

[]b

b

n σ

σ=，强度条件：

[]σσ≤⎪⎭⎫

⎝⎛=max

max A N ，等截面杆 []σ≤A N max

轴向拉伸或压缩时的变形：杆件在轴向方向的伸长为：l l l -=∆1，沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为：l

l ∆=

ε，A P

A N ==σ。横向应变为：b b b b b -=∆=1'ε，横向应变与轴向应变的关系为：μεε-='

。

胡克定律：当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即 εσE =，这就是胡克定律。E 为弹性模量。将应力与应变的表达式带入得：EA

Nl l =

∆ 静不定：对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。

圆轴扭转时的应力 变形几何关系—圆轴扭转的平面假设dx

d φ

ργρ=。物理关系——胡克定律dx d G G φργτρρ==。力学关系dA dx d G dx d G dA T A A

A ⎰⎰⎰===22ρφ

φρρτρ 圆轴扭转时的应力：t p W T R I T ==

max τ；圆轴扭转的强度条件： ][max ττ≤=t

W T

，可以进行强度

校核、截面设计和确定许可载荷。 圆轴扭转时的变形：⎰⎰==

l p

l p dx GI T dx GI T ϕ；等直杆：p

GI Tl =ϕ 圆轴扭转时的刚度条件： p GI T dx d ==

'ϕϕ，][max max

ϕϕ'≤='p

GI T

弯曲力与分布载荷q 之间的微分关系

)()

(x q dx x dQ =；

()()x Q dx

x dM =；()()()x q dx x dQ dx x M d ==2

2

Q 、M 图与外力间的关系

a ）梁在某一段无载荷作用，剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。

b ）梁在某一段作用均匀载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。

c ）在梁的某一截面。

()()0==x Q dx

x dM ，剪力等于零，弯矩有一最大值或最小值。 d ）由集中力作用截面的左侧和右侧，剪力Q 有一突然变化，弯矩图的斜率也发生突然变化形成一个转折点。

梁的正应力和剪应力强度条件[]σσ≤=

W

M max

max ，[]ττ≤max 提高弯曲强度的措施：梁的合理受力(降低最大弯矩m ax M ，合理放置支座，合理布置载荷，合理设计截面形状

塑性材料：[][]c t σσ=，上、下对称，抗弯更好，抗扭差。脆性材料：[][]c t σσ<， 采用T 字型或上下不对称的工字型截面。

等强度梁：截面沿杆长变化，恰使每个截面上的正应力都等于许用应力，这样的变截面梁称为等强度梁。

用叠加法求弯曲变形：当梁上有几个载荷共同作用时，可以分别计算梁在每个载荷单独作用时的变形，然后进行叠加，即可求得梁在几个载荷共同作用时的总变形。 简单超静定梁求解步骤： （1）判断静不定度；

（2）建立基本系统（解除静不定结构的部和外部多余约束后所得到的静定结构）； （3）建立相当系统（作用有原静不定梁载荷与多余约束反力的基本系统）； （4）求解静不定问题。

二向应力状态分析—解析法 （1）任意斜截面上的应力ατασσσσσα2sin 2cos 2

2

xy y

x y

x --+

+=

；

ατασστα2cos 2sin 2

xy y

x +-=

（2）极值应力 正应力：y

x xy

tg σστα--=220， 2

2min max )2(2xy y x y

x τσσσσσσ+-±+=

⎭⎬⎫ 切应力：xy

y x tg τσσα221-=

， 2

2min max )2(xy y x τσσττ+-±=⎭⎬⎫ （3）主应力所在的平面与剪应力极值所在的平面之间的关系

α与1α之间的关系为：4

,2

220101π

ααπ

αα+

=+

=，即：最大和最小剪应力所在的平面

与主平面的夹角为45°

扭转与弯曲的组合（1）外力向杆件截面形心简化（2）画力图确定危险截面（3）确定危险点并建立强度条件

按第三强度理论，强度条件为：[]σσσ≤-31 或

[]στσ≤+224，

对于圆轴，W W t 2=，其强度条件为：

][2

2σ≤+W

T M 。按第四强度理论，强度条件为：()()()[]

[]σσσσσσσ≤-+-+-2132322212

1

，经化简得出：[]στσ≤+223，对于圆轴，其强度条件为：

][75.02

2σ≤+W

T M 。

欧拉公式适用围（1）大柔度压杆（欧拉公式）：即当1λλ≥，其中P

E

σπλ21=时，

22λπσE cr =（2）中等柔度压杆（经验公式）：即当12λλλ≤≤，其中b

a s

σλ-=2时，λσb a cr -=（3）小柔度压杆（强度计算公式）：即当2λλ<时，s cr A

F

σσ≤=。 压杆的稳定校核（1）压杆的许用压力：[]st

cr

n P P =，[]P 为许可压力，st n 为工作安全系数。（2）压杆的稳定条件：[]P P ≤

提高压杆稳定性的措施：选择合理的截面形状，改变压杆的约束条件，合理选择材料

外力偶矩计算公式 （P 功率，n 转速）

弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式