边坡工程第六章
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9.45 24.21 38.06 46.68 50.79 44.32 27.53 11.47 0.16
tan
0.3249 0.3249 0.3249 0.3249 0.3249 0.3249 0.3747 0.4245 0.4245
摩阻力 N i tan 3.07 7.87 12.37 15.17 16.50 14.40 10.32 4.87 0.07 84.64
Wi bi h1i m h2 i
——土的湿容重； m ——土的饱和容重。
在稳定渗流情况下，土体通常均已固结，由附加荷重引起 的孔隙应力均已消散，土条底部的孔隙应力ui，也就是渗 透水压力 。
ui w hwi
hwi ——土条底部中点处的渗透水头。
若地下水面与滑裂面接近平行，或土条取得很薄，土条两 侧的渗透水压力接近相等，可相互抵消。抗滑力矩为：
因此，只要 取F=1.0-1.5。
，土坡就是稳定的。一般
结 论：
砂土的内摩擦角也称为自然休止角。 无粘性土简单土坡稳定安全系数 F，只与内摩擦角和 坡角有关，与坡高 H 无关。
§6.3 粘性土土坡稳定分析
粘性土坡稳定分析有多种方法，目前工程上最常用的是条分法。 条分法最早于1915年由瑞典科学家Hultin和Petterson提出，后 由Fellenius(1922）修改并在世界各国普遍推广应用，被太沙基认为 是现今岩土工程中的一个里程碑。这个方法具有较普遍的意义，它 不仅可以分析简单土坡，还可以用来分析非简单土坡，例如土质不 均匀的、坡上或坡顶作用有荷载的土坡等。
切向力 Ti Wi sin i 0.95 4.97 11.97 20.36 29.33 33.24 26.99 15.29 0.33 143.43
cos i
0.995 0.980 0.954 0.917 0.866 0.800 0.714 0.600 0.436
法向力
Ni Wi cos i
M R ( N1 u1l1 ) tan R ( N 2 u2 l2 ) tan R cl1 R cl2 R
i 1
W cos
i 1 i n i 1 i
n
i
tan cli
i
W sin
或者 F
MR MT
n
R Wi cos i tan RcL
i 1
n
R Wi sin i
i 1
n
W cos
i 1 i n i 1 i
n百度文库
i
tan cL
平面形滑动面
圆弧形滑动 粘性土土坡
抗滑力 F 下滑力
F
F
相对于滑动圆弧中心的抗滑力矩 相对于滑动圆弧中心的滑动力矩
土能够发挥的最大粘聚力 目前所动员的土的粘聚力
§6.2 无粘性土简单土坡
当土坡土质均一，坡度不变，无地下水时，称为简单土坡。 纯净的干砂，颗粒之间无粘聚力，其抗剪强度只有摩擦力 提供。只要坡面不发生滑动，土坡就可保持稳定。 在土坡坡面取一微小单元体 M 进行分析。 法向分力
i
W sin
261.4 376.3 1.09 584.3
[例题2] 某工程场地勘察地基土分为两层，第一层为粉质粘土， 天然重度18.2kN／m3，粘聚力5.8kPa，内摩擦角23°，层厚 2.0m；第二层为粘土，重度l 9.0kN／m3，粘聚力8.5kPa，内摩 擦角18°，层厚8.3m。基坑开挖深度为5.0m。设计此基坑开挖 的坡度。
边坡稳定性分析方法的分类
极限平衡法；
解析法； 数值计算方法： ① 有限单元法
② 离散单元法
③ 快速拉格朗日差分法
极限平衡分析方法
假想滑动面以上的滑体在滑动面上引起的剪力的合力如果 大于抗滑力的合力，边坡将发生滑动破坏。 滑动面上岩土体的抗剪能力用 莫尔—库仑准则 表示。 安全系数定义：
[解] 根据经验初定基坑开挖边披为1:1。 1）用坐标纸按比例尺画出基坑剖面图， 如图6-6所示。 2）取滑弧半径R＝10.0m，滑弧下端通 过坡脚A点。取圆心O，使O的垂线离 A点的水平距离为0.5m，可得滑动面 AC。 3）取土条宽度b=R/10=1m。 4）土条编号：圆心O点垂线处为0条，向 上依次编为l，2，3，…共8条。
N W cos
切向分力
最大摩擦力
T W sin
T N tan W cos tan
稳定安全系数F
抗滑力 N tan W cos tan tan F 下滑力 T W sin tan
时，安全系数F=1.0，处于极限平衡状态。
AB 2 R 360
得： 67.42
所以弧长 AB
67.2 3.14 10m AB 11.76(m) 180 180
5）塔吊荷载750kN，分布在2m宽基础的8、9两个土条上， 每个土条上受塔吊荷载375kN，轮压基础长度按2m计算， 土坡稳定计算取1m长，则作用在8、9两土条上计算塔 吊荷载187.5kN。
第6章 圆弧形破坏的稳定分析
圆弧形破坏的条件；
无粘性土简单土坡稳定分析；
粘性土土坡稳定分析；
毕肖普（Bishop）条分法； 简布（Janbu）的普遍条分法。
§6.1 圆弧形破坏的条件
破坏条件
1 土体或岩体中的单个颗粒与边坡尺寸相比 极其小时，而且这些颗粒不是互相咬合的；或者 是完整均质的土体或岩体。 2 当某一个连续圆弧面上的剪应力超过了岩 土体的抗剪强度时，或者说满足了M-C准则时。
取条块宽度b=R/10，则三角函数值在任何圆心位置、任 何半径与圆弧情况下都是固定不变的数值，即：
sin 1 0.1
sin 2 0.2
sin 3 0.3
cos 2 0.980
O
5
sin n 0.n
cos 3 0.945
cos 1 1 sin 2 1 0.995
6.3.1 瑞典条分法
(1) 滑动力矩，由滑动土体的自重在滑动方向上的分力产生。 (2) 抗滑力矩，由滑动面ab上的摩擦力和粘聚力产生。 (3) 土坡稳定安全系数＝抗滑力矩 / 下滑力矩＝1.1～1.5。 (4) 用试算法确定最小安全系数。
条分法的计算步骤
① 用坐标纸，按适当的比例尺绘制土坡剖面图，并在图上 注明土的指标c， ， 的数值。 ② 选—个可能的滑动面ab，确定圆心O和半径R。 ③ 将滑动土体进行竖向分条与编号，使计算方便而准确。 ④ 计算每一土条的自重Wi（包括土条顶面的荷载）。
Wi bhi
⑤ 将士条的自重分解为作用在滑动面ab上的两个分力（忽 略条块之间的作用力）。
N i Wi cos i
Ti Wi sin i
⑥ 计算滑动力矩 MT T1 R T2 R R Wi sin i
⑦ 计算抗滑力矩
i 1
n
M R N1 tan R N 2 tan R cl1 R cl2 R
摩阻力 N i tan 5.6 15.8 23.9 31.1 34.9 29.7 21.9 60.3 38.2 261.4
总粘聚力 cbL/kN
32×11.76 × 1.0=376.32
7）土坡稳定安全系数
F MR MT
W cos
i 1 i n i 1 i
n
i
tan cL
cos i
0.995 0.980 0.954 0.917 0.866 0.800 0.714 0.600 0.436
法向力
Ni Wi cos i
13.2 37.2 56.2 73.2 82.3 69.9 51.6 142.1 90.0
tan
0.4245 0.4245 0.4245 0.4245 0.4245 0.4245 0.4245 0.4245 0.4245
i
W sin
其中
L li
i 1
⑨ 选择不同的圆弧半径，重复② ～ ⑧得到一系列Fi，取其中 最小安全系数，对应的为最危险的圆弧。
6.3.2 简单土坡最危险滑动面的确定
a，b 角的数值
土坡坡度 1: 0.58 1: 1.0 1: 1.5 1: 2.0 1: 3.0 1: 4.0 坡角 60° 45° 33°41´ 26°34´ 18°26´ 14°03´
解：
1）取滑动圆弧：下端通过坡脚 A点，上端坡顶取吊塔基础 外缘B点，半径R＝10.0m， 圆心为O点。
2）取土条宽b=R/10=1m。 3）土条编号：作圆心O点的垂 线，垂线处为0条。依次向上 编号为1，2，3，…共9条。
4）计算滑动面长度： AB 由于 sin 2 0.555 2 R 又由于
总粘聚力 cbL/kN
7.52×8.5 ＋2.51× 5.8=78.48
7）基坑开挖土坡稳定安全系数
MR F MT
W cos
i 1 i n i 1 i
n
i
tan cL
i
W sin
84 .64 78.48 1.14 143 .43
安全系数为1.14>1.1，安全。
若将开挖坡度改为1:0.8，坡面由AB改为AB’，重新计算， 结果安全系数为1.11，仍然大于1.1，说明仍然是安全的， 但可以节省工程量。
6.3.4 边坡内有地下水时的稳定性分析
当土坡内部有地下水渗流作用时．滑动土体中存在渗透压 力。边坡稳定分析计算时应考虑地下水渗透压力的影响。 对于任一土条i，将土和水一起作为脱离体来分折， 土条 重量为土条和土条中的水体重量，即
R tan N1 N 2 Rc l1 l2
R Wi cos i tan cli
i 1
n
⑧ 计算土坡稳定安全系数
n R Wi cos i tan cli M F R i 1 n MT R Wi sin i
5）分段计算两层土各自的弧长 AD=7.52m; DC=2.51m 6）各土条的滑动力和摩阻力列表计算如下:
编 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 合 计
土条重量 Wi /kN 9.5 24.7 39.9 50.9 58.65 55.4 38.56 19.11 0.364
sin i
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
R
6）计算土坡各土条切向力与摩阻力：
编 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 合 计 土条重量 Wi /kN 13.3 38 58.9 79.8 95 87.4 72.2 236.9 206.5
sin i
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
切向力 Ti Wi sin i 1.3 7.6 17.7 31.9 47.5 52.4 50.0 189.5 185.9 584.3
表 6-1 a角 29° 28° 26° 25° 25° 25° b角 40° 37° 35° 35° 35° 36°
6.3.3 计算技巧
当地基土的抗剪强度不小于土坡土层的抗剪强度，且 内摩擦角大于10°，则最危险的滑动圆弧通过坡脚A点， 因此，不必在A点以外试算圆弧。 土条分条编号的技巧：以圆心O的铅垂线左右各b/2宽 为0条，向上顺序编为1，2，3，…条；向下顺序为-1， sin 0 ,00条的滑动力矩即为0，可 -2，…条，这样, 不计算。0条以上各条的滑动力矩为正值；0条以下各 条的滑动力矩为负值，物理概念十分清楚。 半径R取整数。
土坡土层分层计算 1）土条自重Wi； 2）滑面上的力学参数取值。
R
8 7 6 5 3 4
5
sin 5 5 R R 0. 5 10
-1 0
1
2
R/10
最危险滑动面的搜索
[例题1] 某高层建筑基坑开挖后发生了滑坡，经加固后，边坡 高度为6.5m，坡顶塔吊基础宽2.0m，离坡边缘2.0m，坡脚至 坡顶水平距离为5.0m。已知塔吊最大轮压力750kN，坡面土实 测指标：天然重度19.0kN／m3，内摩擦角23°，粘聚力32kPa。 验算此基坑边坡的稳定性。
tan
0.3249 0.3249 0.3249 0.3249 0.3249 0.3249 0.3747 0.4245 0.4245
摩阻力 N i tan 3.07 7.87 12.37 15.17 16.50 14.40 10.32 4.87 0.07 84.64
Wi bi h1i m h2 i
——土的湿容重； m ——土的饱和容重。
在稳定渗流情况下，土体通常均已固结，由附加荷重引起 的孔隙应力均已消散，土条底部的孔隙应力ui，也就是渗 透水压力 。
ui w hwi
hwi ——土条底部中点处的渗透水头。
若地下水面与滑裂面接近平行，或土条取得很薄，土条两 侧的渗透水压力接近相等，可相互抵消。抗滑力矩为：
因此，只要 取F=1.0-1.5。
，土坡就是稳定的。一般
结 论：
砂土的内摩擦角也称为自然休止角。 无粘性土简单土坡稳定安全系数 F，只与内摩擦角和 坡角有关，与坡高 H 无关。
§6.3 粘性土土坡稳定分析
粘性土坡稳定分析有多种方法，目前工程上最常用的是条分法。 条分法最早于1915年由瑞典科学家Hultin和Petterson提出，后 由Fellenius(1922）修改并在世界各国普遍推广应用，被太沙基认为 是现今岩土工程中的一个里程碑。这个方法具有较普遍的意义，它 不仅可以分析简单土坡，还可以用来分析非简单土坡，例如土质不 均匀的、坡上或坡顶作用有荷载的土坡等。
切向力 Ti Wi sin i 0.95 4.97 11.97 20.36 29.33 33.24 26.99 15.29 0.33 143.43
cos i
0.995 0.980 0.954 0.917 0.866 0.800 0.714 0.600 0.436
法向力
Ni Wi cos i
M R ( N1 u1l1 ) tan R ( N 2 u2 l2 ) tan R cl1 R cl2 R
i 1
W cos
i 1 i n i 1 i
n
i
tan cli
i
W sin
或者 F
MR MT
n
R Wi cos i tan RcL
i 1
n
R Wi sin i
i 1
n
W cos
i 1 i n i 1 i
n百度文库
i
tan cL
平面形滑动面
圆弧形滑动 粘性土土坡
抗滑力 F 下滑力
F
F
相对于滑动圆弧中心的抗滑力矩 相对于滑动圆弧中心的滑动力矩
土能够发挥的最大粘聚力 目前所动员的土的粘聚力
§6.2 无粘性土简单土坡
当土坡土质均一，坡度不变，无地下水时，称为简单土坡。 纯净的干砂，颗粒之间无粘聚力，其抗剪强度只有摩擦力 提供。只要坡面不发生滑动，土坡就可保持稳定。 在土坡坡面取一微小单元体 M 进行分析。 法向分力
i
W sin
261.4 376.3 1.09 584.3
[例题2] 某工程场地勘察地基土分为两层，第一层为粉质粘土， 天然重度18.2kN／m3，粘聚力5.8kPa，内摩擦角23°，层厚 2.0m；第二层为粘土，重度l 9.0kN／m3，粘聚力8.5kPa，内摩 擦角18°，层厚8.3m。基坑开挖深度为5.0m。设计此基坑开挖 的坡度。
边坡稳定性分析方法的分类
极限平衡法；
解析法； 数值计算方法： ① 有限单元法
② 离散单元法
③ 快速拉格朗日差分法
极限平衡分析方法
假想滑动面以上的滑体在滑动面上引起的剪力的合力如果 大于抗滑力的合力，边坡将发生滑动破坏。 滑动面上岩土体的抗剪能力用 莫尔—库仑准则 表示。 安全系数定义：
[解] 根据经验初定基坑开挖边披为1:1。 1）用坐标纸按比例尺画出基坑剖面图， 如图6-6所示。 2）取滑弧半径R＝10.0m，滑弧下端通 过坡脚A点。取圆心O，使O的垂线离 A点的水平距离为0.5m，可得滑动面 AC。 3）取土条宽度b=R/10=1m。 4）土条编号：圆心O点垂线处为0条，向 上依次编为l，2，3，…共8条。
N W cos
切向分力
最大摩擦力
T W sin
T N tan W cos tan
稳定安全系数F
抗滑力 N tan W cos tan tan F 下滑力 T W sin tan
时，安全系数F=1.0，处于极限平衡状态。
AB 2 R 360
得： 67.42
所以弧长 AB
67.2 3.14 10m AB 11.76(m) 180 180
5）塔吊荷载750kN，分布在2m宽基础的8、9两个土条上， 每个土条上受塔吊荷载375kN，轮压基础长度按2m计算， 土坡稳定计算取1m长，则作用在8、9两土条上计算塔 吊荷载187.5kN。
第6章 圆弧形破坏的稳定分析
圆弧形破坏的条件；
无粘性土简单土坡稳定分析；
粘性土土坡稳定分析；
毕肖普（Bishop）条分法； 简布（Janbu）的普遍条分法。
§6.1 圆弧形破坏的条件
破坏条件
1 土体或岩体中的单个颗粒与边坡尺寸相比 极其小时，而且这些颗粒不是互相咬合的；或者 是完整均质的土体或岩体。 2 当某一个连续圆弧面上的剪应力超过了岩 土体的抗剪强度时，或者说满足了M-C准则时。
取条块宽度b=R/10，则三角函数值在任何圆心位置、任 何半径与圆弧情况下都是固定不变的数值，即：
sin 1 0.1
sin 2 0.2
sin 3 0.3
cos 2 0.980
O
5
sin n 0.n
cos 3 0.945
cos 1 1 sin 2 1 0.995
6.3.1 瑞典条分法
(1) 滑动力矩，由滑动土体的自重在滑动方向上的分力产生。 (2) 抗滑力矩，由滑动面ab上的摩擦力和粘聚力产生。 (3) 土坡稳定安全系数＝抗滑力矩 / 下滑力矩＝1.1～1.5。 (4) 用试算法确定最小安全系数。
条分法的计算步骤
① 用坐标纸，按适当的比例尺绘制土坡剖面图，并在图上 注明土的指标c， ， 的数值。 ② 选—个可能的滑动面ab，确定圆心O和半径R。 ③ 将滑动土体进行竖向分条与编号，使计算方便而准确。 ④ 计算每一土条的自重Wi（包括土条顶面的荷载）。
Wi bhi
⑤ 将士条的自重分解为作用在滑动面ab上的两个分力（忽 略条块之间的作用力）。
N i Wi cos i
Ti Wi sin i
⑥ 计算滑动力矩 MT T1 R T2 R R Wi sin i
⑦ 计算抗滑力矩
i 1
n
M R N1 tan R N 2 tan R cl1 R cl2 R
摩阻力 N i tan 5.6 15.8 23.9 31.1 34.9 29.7 21.9 60.3 38.2 261.4
总粘聚力 cbL/kN
32×11.76 × 1.0=376.32
7）土坡稳定安全系数
F MR MT
W cos
i 1 i n i 1 i
n
i
tan cL
cos i
0.995 0.980 0.954 0.917 0.866 0.800 0.714 0.600 0.436
法向力
Ni Wi cos i
13.2 37.2 56.2 73.2 82.3 69.9 51.6 142.1 90.0
tan
0.4245 0.4245 0.4245 0.4245 0.4245 0.4245 0.4245 0.4245 0.4245
i
W sin
其中
L li
i 1
⑨ 选择不同的圆弧半径，重复② ～ ⑧得到一系列Fi，取其中 最小安全系数，对应的为最危险的圆弧。
6.3.2 简单土坡最危险滑动面的确定
a，b 角的数值
土坡坡度 1: 0.58 1: 1.0 1: 1.5 1: 2.0 1: 3.0 1: 4.0 坡角 60° 45° 33°41´ 26°34´ 18°26´ 14°03´
解：
1）取滑动圆弧：下端通过坡脚 A点，上端坡顶取吊塔基础 外缘B点，半径R＝10.0m， 圆心为O点。
2）取土条宽b=R/10=1m。 3）土条编号：作圆心O点的垂 线，垂线处为0条。依次向上 编号为1，2，3，…共9条。
4）计算滑动面长度： AB 由于 sin 2 0.555 2 R 又由于
总粘聚力 cbL/kN
7.52×8.5 ＋2.51× 5.8=78.48
7）基坑开挖土坡稳定安全系数
MR F MT
W cos
i 1 i n i 1 i
n
i
tan cL
i
W sin
84 .64 78.48 1.14 143 .43
安全系数为1.14>1.1，安全。
若将开挖坡度改为1:0.8，坡面由AB改为AB’，重新计算， 结果安全系数为1.11，仍然大于1.1，说明仍然是安全的， 但可以节省工程量。
6.3.4 边坡内有地下水时的稳定性分析
当土坡内部有地下水渗流作用时．滑动土体中存在渗透压 力。边坡稳定分析计算时应考虑地下水渗透压力的影响。 对于任一土条i，将土和水一起作为脱离体来分折， 土条 重量为土条和土条中的水体重量，即
R tan N1 N 2 Rc l1 l2
R Wi cos i tan cli
i 1
n
⑧ 计算土坡稳定安全系数
n R Wi cos i tan cli M F R i 1 n MT R Wi sin i
5）分段计算两层土各自的弧长 AD=7.52m; DC=2.51m 6）各土条的滑动力和摩阻力列表计算如下:
编 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 合 计
土条重量 Wi /kN 9.5 24.7 39.9 50.9 58.65 55.4 38.56 19.11 0.364
sin i
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
R
6）计算土坡各土条切向力与摩阻力：
编 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 合 计 土条重量 Wi /kN 13.3 38 58.9 79.8 95 87.4 72.2 236.9 206.5
sin i
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
切向力 Ti Wi sin i 1.3 7.6 17.7 31.9 47.5 52.4 50.0 189.5 185.9 584.3
表 6-1 a角 29° 28° 26° 25° 25° 25° b角 40° 37° 35° 35° 35° 36°
6.3.3 计算技巧
当地基土的抗剪强度不小于土坡土层的抗剪强度，且 内摩擦角大于10°，则最危险的滑动圆弧通过坡脚A点， 因此，不必在A点以外试算圆弧。 土条分条编号的技巧：以圆心O的铅垂线左右各b/2宽 为0条，向上顺序编为1，2，3，…条；向下顺序为-1， sin 0 ,00条的滑动力矩即为0，可 -2，…条，这样, 不计算。0条以上各条的滑动力矩为正值；0条以下各 条的滑动力矩为负值，物理概念十分清楚。 半径R取整数。
土坡土层分层计算 1）土条自重Wi； 2）滑面上的力学参数取值。
R
8 7 6 5 3 4
5
sin 5 5 R R 0. 5 10
-1 0
1
2
R/10
最危险滑动面的搜索
[例题1] 某高层建筑基坑开挖后发生了滑坡，经加固后，边坡 高度为6.5m，坡顶塔吊基础宽2.0m，离坡边缘2.0m，坡脚至 坡顶水平距离为5.0m。已知塔吊最大轮压力750kN，坡面土实 测指标：天然重度19.0kN／m3，内摩擦角23°，粘聚力32kPa。 验算此基坑边坡的稳定性。