卷积信号处理的原理和应用

关于卷积的问题 2013-4-17

上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室 1/1

卷积问题

卷积公式：[][][]y n x n h n =*，它表明了一个LTI 系统对任意输入的相应可以用系统对单位脉冲的相应来表示，那么LTI 系统的单位脉冲相应就完全刻画了此系统的特性。卷积性质将两个信号的卷积映

射为它们傅立叶变换的乘积，其公式为：()()()()()y t h t x t H jw X jw =*←−→F

，其变换推到如下：

()()()()()y t h t x t x h t d τττ+∞-∞

=*=

-⎰

要求的Y(jw)则是：{}()()()()jw t Y jw y t x h t d e dt τττ

+∞+∞--∞

-∞

⎡⎤==

-⎢⎥⎣⎦

⎰

⎰F

交换积分次序，()x τ与t 无关，则有()()()jw t

Y jw x h t e

dt d τττ+∞+∞

--∞

-∞

⎡⎤=

-⎢⎥⎣⎦

⎰

⎰

即()()()()()jwt

jwt

Y jw x e

H jw d H jw x e d ττττ+∞+∞---∞

-∞

=

=⎰

⎰

上式右边积分就是x （t ）的傅立叶变换即()()()Y jw H jw X jw =

对于离散系统而言，卷积公式则成为()[][]k y n x k h n k +∞

=-∞

=

-∑

，此式即为卷积和公式，他意味着一个

LTI 系统对任意输入的响应可以用系统对单位脉冲的响应来表示，即可以用单位脉冲响应与系统输入的卷积和来表示系统对任意输入的响应结果，因此上述卷积又被称为是线性卷积，相对于线性卷积而言的是循环卷积，他比线性卷积在运算速度上又很大的优越性，可采用fft 技术，因此，若能利用循环卷积来计算线性卷积，将会大大提高计算效率。那么在什么条件下才能用循环卷积代替线性卷积而不失真呢？

循环卷积其实质就是将两组信号进行周期延拓，然后按卷积公式进行计算，可形象用“圆周卷积”来表示，因此，为利用循环卷积得到线性卷积结果，根据圆周卷积的特性，可对原卷积信号进行适当的补零操作后进行循环卷积，使其进行圆周卷积时的卷积过程与线性卷积相同，这样就达到了利用循环卷积计算线性卷积的目的。

再回到DFT 问题，正是由于DFT 运用了循环卷积技术，我们就可以利用DFT 来间接计算线性卷积，但是需要对操作信号进行补零。例如，1x 和2x 两信号长度分别是512和1024点，则求两者的卷积可化作双方的傅立叶变换乘积后的ifft ，但是在计算过程当中，需要对x1和x2分别补（512+1024-1）-length （Xn ）个点，即都补成1535个点，这样通过频域乘积和逆傅立叶变换后就可以得到源信号的卷积和。