第三讲排序不等式
第3讲柯西不等式与排序不等式复习课课件人教新课标
2.一般情势的柯西不等式 设 a1 ， a2 ， a3 ， … ， an ， b1 ， b2 ， b3 ， … ，(ban21＋是a22实＋…数＋，a2n)则 _(b_21_＋__b_22＋ __… __＋ __b_2n_)_≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2 _______________________________________. 当 且 仅 当 bi ＝ 0(i ＝ 1,2 ， … ， n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立. 3.排序不等式 设 a1≤a2≤…≤an ， b1≤b2≤…≤bn 为 两 组 实 数 ， c1 ， c2 ， … ， cn 是 b1 ，
证明 不妨设0＜a≤b≤c，于是A≤B≤C.
由0＜b＋c－a,0＜a＋b－c,0＜a＋c－b，
有0＜A(b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b)
＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C)
＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C)
＝(a＋b＋c)π－2(aA＋bB＋cC).
得aAa＋＋bbB＋＋ccC＜π2.
可得
x＝2209，y＝2390，z＝2490.
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解析 答案
4.设 a，b，c 都是正数，求证：bac＋cba＋acb≥a＋b＋c. 证明 不妨设a≥b≥c＞0， 则1a≤1b≤1c，ab≥ac≥bc， ∵bac＋abc＋acb≥bcc＋aac＋abb＝a＋b＋c， ∴bac＋abc＋acb≥a＋b＋c.
4.数学建模是数学学习中的一种新情势，它为学生提供了自己学习的空间， 有助于学生了解数学在实际生活中的应用，体会数学与日常生活及其他学 科的联系.
高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 三 排序不等
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ab2＋ba2≥ab＋ba. 证明 由题意不妨设a≥b＞0. 则 a2≥b2，1b≥1a，所以ab2≥ba2. 根据排序不等式知，ab2·1b＋ba2·1a≥ab2·1a＋ba2·1b， 即ab2＋ba2≥ab＋ba.
跟踪训练 1 c2
c＋a.
已知 0＜a≤b≤c，求证：a＋c2 b＋a＋b2 c＋b＋a2 c≥a＋a2b＋b＋b2 c＋
证明
命题角度2 字母大小顺序不定问题 例 2 已知 a，b，c 均为正数，求证：b＋a2 c＋c＋b2a＋a＋c2 b≥12(a＋b＋c).
证明
反思与感悟 对于排序不等式，其核心是必须有两组完全确定的数据， 所以解题的关键是构造出这样的两组数据.
跟踪训练2 设a，b，c∈R＋，利用排序不等式证明：
a3＋b3＋c3≤b52＋a2c5＋c52＋b2a5＋a52＋c2b5.
证明 不妨设0＜a≤b≤c，
则 a5≤b5≤c5，c12≤b12≤a12， 所以由排序不等式可得 a3＋b3＋c3＝aa52＋bb52＋cc52≤ac25＋ba52＋bc52， a3＋b3＋c3＝aa52＋bb52＋cc52≤ab52＋bc25＋ac52，
＝…＝bn时，反序和等于顺序和.
题型探究
类型一 利用排序不等式证明不等式 命题角度1 字母已定序问题 例 1 已知 a，b，c 为正数，且 a≥b≥c， 求证：ba3c53＋cb3a53＋ac3b5 3≥1a＋1b＋1c.
证明
反思与感悟 利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所 要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺 序的两个数组.
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证明
规律与方法
1.对排序不等式的理解 排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题，能构造的和按 数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式：顺序和、反序和、乱序和， 对这三种不同的搭配形式只需注意是怎样的“次序”，两种较为简单的是 “顺与反”，而乱序和也就是不按“常理”的顺序了. 2.排序不等式的本质 两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方 向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小.
第三讲柯西不等式的基本方法与排序不等式(排序不等式)
S1 = a1b n + a 2 b n-1 + a 3 b n-2 +
问题：有10人各拿一只水桶去接水，设水龙头注 满第i(i = 1,2,3, ，10)个人的水桶需要ti分，假 定这些ti各不相同。 问只有一个水龙头时， 应 安排10人的顺序，使他们等候的总时间最少？这 个最少的总时间等于多少？
第三讲 不等式
柯西不等式与排序 排序不等式
ห้องสมุดไป่ตู้
一：引入概念 设 a1,a2,a3,…,an,,b1,b2,b3,…,bn∈R
且 a1≤a2 ≤ a3 ≤ … ≤ an,;
b1 ≤ b2 ≤ b3 ≤ …
≤
bn
设 c1 ,c2 ,c3 , ,cn 是数组b1,b2,b3,…,bn的 任何一个排列。 则将 S = a1c1 + a 2c2 + a 3c3 + + a ncn
问题 : 设a1 ,a 2 , ,a n 是n个互不相同的正数， 1 1 求证1+ + 2 3 1 a2 a3 + ≤ a1 + 2 + 2 + n 2 3 an + 2 n
人教版高中选修4-5第三讲柯西不等式与排序不等式课程设计
人教版高中选修4-5第三讲柯西不等式与排序不等式课程设计
一、课程目标
1.1 掌握柯西不等式的概念及其意义；
1.2 学会在实际问题中应用柯西不等式；
1.3 掌握排序不等式的概念及应用；
1.4 学会在实际问题中应用排序不等式。
二、教学内容
2.1 柯西不等式的概念与应用；
2.2 排序不等式的概念与应用；
2.3 利用柯西不等式、排序不等式解决实际问题。
三、教学重点与难点
3.1 教学重点：柯西不等式、排序不等式的概念及应用。
3.2 教学难点：如何在实际问题中应用柯西不等式、排序不等式。
四、教学过程设计
教学环节教学内容教学目标与要
求
教师活动与学生活动
1。
2019-2020学年人教版高中数学选修4-5教材用书：第三讲 柯西不等式与排序不等式 三 排序不等式 Word版含答案
三排序不等式1．顺序和、乱序和、反序和设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，称a1b1＋a2b2＋…＋a n b n为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)，称a1c1＋a2c2＋…＋a n c n为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．2．排序不等式(排序原理)定理：(排序不等式，又称为排序原理) 设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n.排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．已知a，b，c为正数，且a≥b≥c，求证：b3c3＋c3a3＋a3b3≥a＋b＋c.分析题目中已明确a≥b≥c，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．∵a≥b>0，∴1a ≤1b.又c>0，从而1bc ≥1 ca.同理1ca≥1ab，从而1bc≥1ca≥1ab.又由于顺序和不小于乱序和，故可得a5 b3c3＋b5c3a3＋c5a3b3≥b5b3c3＋c5c3a3＋a5a3b3＝b2c3＋c2a3＋a2b3⎝⎛⎭⎪⎫∵a2≥b2≥c2，1c3≥1b3≥1a3≥c2c3＋a2a3＋b2b3＝1c＋1a＋1b＝1a＋1b＋1c.∴原不等式成立．利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．1．已知0<α<β<γ<π2，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．证明：∵0<α<β<γ<π2，且y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2为增函数，y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2为减函数，∴0<sin α<sin β<sin γ，cos α>cos β>cos γ>0.∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>sin αcos α＋sin β·cos β＋sin γcos γ＝12(sin2α＋sin 2β＋sin 2γ)．2．设x ≥1，求证：1＋x ＋x 2＋…＋x 2n≥(2n ＋1)x n. 证明：∵x ≥1，∴1≤x ≤x 2≤…≤x n.由排序原理，得12＋x 2＋x 4＋…＋x 2n≥1·x n ＋x ·x n －1＋…＋xn －1·x ＋x n·1，即1＋x 2＋x 4＋…＋x 2n ≥(n ＋1)x n.①又因为x ，x 2，…，x n,1为1，x ，x 2，…，x n的一个排列， 由排序原理，得1·x ＋x ·x 2＋…＋x n －1·x n ＋x n·1≥1·x n ＋x ·xn －1＋…＋xn －1·x ＋x n·1，得x ＋x 3＋…＋x2n －1＋x n≥(n ＋1)x n.②将①②相加，得1＋x ＋x 2＋…＋x 2n≥(2n ＋1)x n.在△ABC 中，试证：3≤a ＋b ＋c.可构造△ABC 的边和角的有序数列，应用排序不等式来证明． 不妨设a ≤b ≤c ，于是A ≤B ≤C . 由排序不等式，得aA ＋bB ＋cC ≥aA ＋bB ＋cC ， aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ， aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC .相加，得3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )(A ＋B ＋C )＝π(a ＋b ＋c )，得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3.在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．3．设c 1，c 2，…，c n 为正数组a 1，a 2，…，a n 的某一排列，求证：a1c1＋a2c2＋…＋ancn ≥n .证明：不妨设0<a 1≤a 2≤…≤a n ，则1a1≥1a2≥…≥1an. 因为1c1，1c2，…，1cn 是1a1，1a2，…，1an 的一个排列，由排序原理，得a 1·1a1＋a 2·1a2＋…＋a n ·1an ≤a 1·1c1＋a 2·1c2＋…＋a n ·1cn ，即a1c1＋a2c2＋…＋an cn≥n .4．设a 1，a 2，…，a n 是1,2，…，n 的一个排列， 求证：12＋23＋…＋n －1n ≤a1a2＋a2a3＋…＋an －1an.证明：设b 1，b 2，…，b n －1是a 1，a 2，…，a n －1的一个排列，且b 1<b 2<…<b n －1；c 1，c 2，…，c n －1是a 2，a 3，…，a n 的一个排列，且c 1<c 2<…<c n －1，则1c1>1c2>…>1cn －1且b 1≥1，b 2≥2，…，b n －1≥n －1，c 1≤2，c 2≤3，…，c n －1≤n . 利用排序不等式，有a1a2＋a2a3＋…＋an －1an ≥b1c1＋b2c2＋…＋bn －1cn －1≥12＋23＋…＋n －1n . ∴原不等式成立．课时跟踪检测(十一)1．有一有序数组，其顺序和为A ，反序和为B ，乱序和为C ，则它们的大小关系为( ) A ．A ≥B ≥C B ．A ≥C ≥B C ．A ≤B ≤CD ．A ≤C ≤B解析：选B 由排序不等式，顺序和≥乱序和≥反序和知：A ≥C ≥B .2．若A ＝x 21＋x 2＋…＋x 2n ，B ＝x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n －1x n ＋x n x 1，其中x 1，x 2，…，x n 都是正数，则A 与B 的大小关系为( )A ．A >BB ．A <BC ．A ≥BD ．A ≤B解析：选C 序列{x n }的各项都是正数，不妨设0＜x 1≤x 2≤…≤x n ，则x 2，x 3，…，x n ，x 1为序列{x n } 的一个排列．由排序原理，得x 1x 1＋x 2x 2＋…＋x n x n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1，即x 21＋x 2＋…＋x 2n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1.3．锐角三角形中，设P ＝a ＋b ＋c 2，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ，则P ，Q 的关系为( )A ．P ≥QB ．P ＝QC ．P ≤QD ．不能确定解析：选C 不妨设A ≥B ≥C ，则a ≥b ≥c ，cos A ≤cos B ≤cos C ， 则由排序不等式有Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥a cos B ＋b cos C ＋c cos A＝R (2sin A cos B ＋2sin B cos C ＋2sin C cos A ) ＝R＝R (sin C ＋sin A ＋sin B )＝P ＝a ＋b ＋c2. 4．儿子过生日要老爸买价格不同的礼品1件、2件及3件，现在选择商店中单价为13元、20元和10元的礼品，至少要花________元．( )A ．76B ．20C ．84D ．96解析：选A 设a 1＝1(件)，a 2＝2(件)，a 3＝3(件)，b 1＝10(元)，b 2＝13(元)，b 3＝20(元)，则由排序原理反序和最小知至少要花a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1＝1×20＋2×13＋3×10＝76(元)．5．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c 1，c 2，c 3是4,5,6的一个排列，则1c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是________，最小值是________．解析：由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32，最小值为28. 答案：32 286．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s 、4 s 、3 s 、7 s ，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为________s.解析：由题意知，等候的时间最短为3×4＋4×3＋5×2＋7＝41. 答案：417．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，A ，B 所对的边分别为a ，b ，则aA ＋bB 与π4(a ＋b )的大小关系为________．解析：不妨设a ≥b >0，则A ≥B >0，由排序不等式⎭⎪⎬⎪⎫aA ＋bB≥aB＋bA aA ＋bB ＝aA ＋bB ⇒2(aA ＋bB )≥a (A ＋B )＋b (A ＋B )＝π2(a ＋b )， ∴aA ＋bB ≥π4(a ＋b )． 答案：aA ＋bB ≥π4(a ＋b ) 8．设a ，b ，c 都是正数，求证：a ＋b ＋c ≤a4＋b4＋c4abc .证明：由题意不妨设a ≥b ≥c >0.由不等式的性质，知a 2≥b 2≥c 2，ab ≥ac ≥bc . 根据排序原理，得a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2≤a 3c ＋b 3a ＋c 3b .① 又由不等式的性质，知a 3≥b 3≥c 3，且a ≥b ≥c .再根据排序不等式，得a 3c ＋b 3a ＋c 3b ≤a 4＋b 4＋c 4.②由①②及不等式的传递性，得a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2≤a 4＋b 4＋c 4.两边同除以abc 得证原不等式成立．9．设a ，b ，c 为任意正数，求a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b 的最小值．解：不妨设a ≥b ≥c ，则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b .由排序不等式，得a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b ， a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥c b ＋c ＋a c ＋a ＋b a ＋b， 以上两式相加，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3，∴a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32， 即当且仅当a ＝b ＝c 时， a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b 的最小值为32.10．设x ，y ，z 为正数，求证：x ＋y ＋z ≤x2＋y22z ＋y2＋z22x ＋z2＋x22y. 证明：由于不等式关于x ，y ，z 对称， 不妨设0<x ≤y ≤z ，于是x 2≤y 2≤z 2，1z ≤1y ≤1x ，由排序原理：反序和≤乱序和，得x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z ≤x 2·1z ＋y 2·1x ＋z 2·1y， x 2·1x＋y 2·1y＋z 2·1z≤x 2·1y＋y 2·1z＋z 2·1x，将上面两式相加，得2(x ＋y ＋z )≤x2＋y2z ＋y2＋z2x ＋z2＋x2y ，于是x ＋y ＋z ≤x2＋y22z ＋y2＋z22x ＋z2＋x22y.本讲高考热点解读与高频考点例析考情分析从近两年高考来看，对本部分内容还未单独考查，可也不能忽视，利用柯西不等式构造“平方和的积”与“积的和的平方”，利用排序不等式证明成“对称”形式，或两端是“齐次式”形式的不等式问题．真题体验(陕西高考)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}． (1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．解：(1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1.(2)－3t ＋12＋t ＝3·4－t ＋t ≤3＋4－t＋t＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋t)max ＝4.1122n n )2(a i ，b i ∈R ，i ＝1,2，…，n )，形式简洁、美观，对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式证明问题迎刃而解．已知a ，b ，c ，d 为不全相等的正数，求证：1a2＋1b2＋1c2＋1d2＞1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da.由柯西不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a2＋1b2＋1c2＋1d2⎝ ⎛ 1b2＋1c2＋⎭⎪⎫1d2＋1a2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da 2， 于是1a2＋1b2＋1c2＋1d2≥1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da.①等号成立⇔1a 1b ＝1b 1c ＝1c 1d ＝1d 1a⇔b a ＝c b ＝d c ＝ad ⇔a ＝b ＝c ＝d .又已知a ，b ，c ，d 不全相等，则①中等号不成立． 即1a2＋1b2＋1c2＋1d2>1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da.关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简便．设a ，b ，c 为实数，求证：a12bc ＋b12ca ＋c12ab ≥a 10＋b 10＋c 10.由对称性，不妨设a ≥b ≥c ， 于是a 12≥b 12≥c 12，1bc ≥1ca ≥1ab .由排序不等式：顺序和≥乱序和，得a12bc ＋b12ca ＋c12ab ≥a12ab ＋b12bc ＋c12ca ＝a11b ＋b11c ＋c11a .① 又因为a 11≥b 11≥c 11，1a ≤1b ≤1c，再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得 a11a ＋b11b ＋c11c ≤a11b ＋b11c ＋c11a .② 由①②得a12bc ＋b12ca ＋c12ab≥a 10＋b 10＋c 10.理．在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易．已知5a 2＋3b 2＝158，求a 2＋2ab ＋b 2的最大值．解：∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫552＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332 ≥⎝⎛⎭⎪⎫55×5a ＋33×3b 2＝(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，当且仅当5a ＝3b ，即a ＝38，b ＝58时，等号成立．∴815×(5a 2＋3b 2)≥a 2＋2ab ＋b 2. ∴a 2＋2ab ＋b 2≤815×(5a 2＋3b 2)＝815×158＝1. ∴a 2＋2ab ＋b 2的最大值为1.已知正实数x 1，x 2，…，x n 满足x 1＋x 2＋…＋x n ＝P ，P 为定值，求F ＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n －1xn ＋x2nx1的最小值．不妨设0<x 1≤x 2≤…≤x n ， 则1x1≥1x2≥…≥1xn>0，且0<x 21≤x 2≤…≤x 2n . ∵1x2，1x3，…，1xn ，1x1为序列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1xn 的一个排列， 根据排序不等式，得F ＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n －1xn ＋x2nx1≥x 21·1x1＋x 2·1x2＋…＋x 2n ·1xn＝x 1＋x 2＋…＋x n ＝P (定值)，当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n ＝Pn 时，等号成立．即F ＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n －1xn ＋x2n x1的最小值为P .。
高中数学选修4-5第三讲排序不等式
所以 a1c1＋a2c2＋…＋a5c5 的最大值为 304，最小值为 212.
类型 3 排序不等式的实际应用
[典例 3] 某座大楼共有 n 层，在每层有一个办公室， 每个办公室的人员步行上下楼，他们的速度分别为 v1， v2，…，vn(他们各不相同)，为了能使得办公室的人员上 下楼梯所用的时间总和最小，应该如何安排(假设每两层 楼的楼梯长都一样)?
利用排序不等式，有aa12＋aa23＋…＋aan－n 1≥bc11＋bc22＋… ＋bcnn－－11≥12＋23＋…＋n－n 1.
所以原不等式成立．
归纳升华 1．在不等式的证明方法中，配凑法比较常见，如在 运用基本不等式、柯西不等式时，常常先将不等式的一侧 (或已知等式的一侧)进行配凑，使之满足基本不等式或柯 西不等式的应用条件．在运用排序不等式时，常常根据题 目条件，配凑构造出所需要的有序数组．
解析：由基本概念知(1)(2)正确，(3)不正确，因为乱 序和也可能是 35 或其他等．由排序不等式可知(4)正确．
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．有两组数 1，2，3 与 10，15，20，它们的顺序和、
反序和分别是( )
A．100，85
B．100，80
C．95，80
D．95，85
所以将速度快的放在高层，速度慢的放在低层，可使 上下楼的时间最短．
归纳升华 在解决一些规划预算问题时，往往只需确定最小值与 最大值，以进行合理规划与正确预算，结合排序不等式 “顺序和最大，反序和最小”，可以方便快捷地处理，方 法巧妙，步骤灵活，过程简单．
[变式训练] 某网吧的 3 台电脑同时出现了故障，对 其维修分别需要 45 min，25 min 和 30 min，每台电脑耽 误 1 min，网吧就会损失 0.05 元．在只能逐台维修的条 件下，按怎样的顺序维＋a2c2＋…＋a5c5 的最大值 为 a1b1＋a2b2＋a3b3＋a4b4＋a5b5＝2×3＋7×4＋8×6＋9 ×10＋12×11＝304.
第三讲柯西不等式的基本方法与排序不等式(柯西不等式的一般形式)
作业:P41
2、 4、 5、 6
问题:已知A、B都是锐角, 且cosA+cosB-cos(A+B)=
2 3
,
求A、B的值
当且仅当bi=0(i=1 ,2 ,3 , …,n)或
bi≠0(i=1 ,2 ,3 , … ,n)时,
等号成立.
a1 a 2 = = b1 b2
an = bb
问题：已知a1 ,a 2 , a n ∈ R +，求证 n 1 1 + + a1 a 2 a1 + a 2 + ≤ 1 n + an + an
使得ai=kbi(i=1 ,2 ,3 , … ,n)时,等号成立.
注:简记;积和方不大于方和积
定理:设a1,a2 ,a3 , … ,an ,b1 ,b2 ,b3 , …,bn 是实数,则
2 2 2 2 2 3 2 2 (a1 +a2 +a + +a )(b + b + b + + b ) (a b +a b + +a b ) 2 3 n 1 2 3 n 1 1 2 2 n n
定理:设a1,a2 ,a3 , … ,an ,b1 ,b2 ,b3 , …,bn 是实数,则
2 2 2 2 2 3 2 2 (a1 +a2 +a + +a )(b + b + b + + b ) (a b +a b + +a b ) 2 3 n 1 2 3 n 1 1 2 2 n n
当且仅当bi=0(i=1 ,2 ,3 , …,n)或存在一个数k
+a
第三讲.柯西不等式与排序不等式
三.排序不等式
探 究 如 图3.3 1,设AOB ,
自 点O沿OA边 依 次 取n个 点A1, A2,
B
Bn
, An,沿OB 边 也 依 次 取 点B1 , B2 ,
Bj
, Bn.选 取 某 个 点Ai i 1,2, n与 B2
某 个 点Bj j 1,2, , n连 结,得 到
定理 设 a1, a2 , a3,..., an ,b1,b2 ,b3,..., bn 是实数，则
(a12 a22 ... an2 ) (b12 b22 ... bn2 ) (a1b1 a2b2 ... anbn )2
当且仅当 bi 0 (i=1,2,…,n) 或 存在一个
例3.设a,b∈R+,a+b=1,求证
11 4 ab
注意应用公式： (a b)( 1 1 ) 4
ab
练习：
1.已知2x2 3y2 6, 求证x 2 y 11
2.已知a2 b2 1,
求证|a cos b sin | 1
作业
第37页,第1,5,6题
定理３（二维形式的三角不等式）
设
x1,
y, 1
x
,
22 x22 y22 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
例题
例1.已知a,b为实数,证明： (a4+b4) (a2+b2)≥ (a3+b3)2
例2.求函数y 5 x 1 10 2x的最大值.
例1 已知 a1, a2 , a3,..., an 都是实数，求证：
1 n
(a1
a2
...
人教版高中数学选修4-5：第三讲3.3排序不等式含解析
第三讲柯西不等式与排序不等式3.3 排序不等式A级基础巩固一、选择题1．设正实数a1，a2，a3的任一排列为a1′，a2′，a3′，则a1a1′＋a2a2′＋a3a3′的最小值为( )A．3 B．6C．9 D．12解析：a1≥a2≥a3＞0，则1a3≥1a2≥1a1＞0，由乱序和不小于反序和知，所以a1a1′＋a2a2′＋a3a3′≥a1a1＋a2a2＋a3a3＝3，所以a1a1′＋a2a2′＋a3a3′的最小值为3，故选A.答案：A2．车间里有5 台机床同时出了故障，从第1 台到第5 台的修复时间依次为4 min，8 min，6 min，10 min，5 min，每台机床停产1 min损失5 元，经合理安排损失最少为( )A．420 元B．400 元C．450 元D．570 元解析：损失最少为5(1×10＋2×8＋3×6＋4×5＋5×4)＝420(元)，反序和最小．答案：A3．设a，b，c∈R＋，M＝a5＋b5＋c5，N＝a3bc＋b3ac＋c3ab，则M与N的大小关系是( )A．M≥N B．M＝NC．M＜N D．M＞N解析：不妨设a≥b≥c＞0，则a4≥b4≥c4，运用排序不等式有：a5＋b5＋c5＝a·a4＋b·b4＋c·c4≥ac4＋ba4＋cb4，又a3≥b3≥c3＞0，且ab≥ac≥bc＞0，所以a4b＋b4c＋c4a＝a3ab＋b3bc＋c3ca≥a3bc＋b3ac＋c3ab，即a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab，即M≥N.答案：A4．已知a，b，c≥0，且a3＋b3＋c3＝3，则a b＋b c＋c a的最大值是( ) A．1 B．2C．3 D.3 3解析：设a≥b≥c≥0，所以 a ≥ b ≥ c.由排序不等式可得a b＋b c＋c a≤a a＋b b＋c c.而(a a＋b b＋c c)2≤(a a)2＋(b b)2＋(c c)2](1＋1＋1)＝9，即a a＋b b＋c c≤3.所以a b＋b c＋c a≤3.答案：C5．已知a，b，c∈(0，＋∞)，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是( )A．大于零B．大于等于零C．小于零D．小于等于零解析：设a≥b≥c＞0，所以a3≥b3≥c3，根据排序原理，得a3·a＋b3·b＋c3·c≥a3b＋b3c＋c3a.又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab.所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.答案：B二、填空题6．设a1，a2，…，a n为实数，b1，b2，…，b n是a1，a2，…，a n的任一排列，则乘积a1b1＋a2b2＋…＋a n b n不小于________．答案：a1a n＋a2a n－1＋…＋a n a17．已知a，b，c都是正数，则ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥________．。
第三讲 柯西不等式与排序不等式
第三讲 柯西不等式与排序不等式2．熟悉一般形式的柯西不等式，理解柯西不等式的证明;．会应用柯西不等式解决函数最值，方程、不等式等的一些问题一、课前准备 知识情景：1. 柯西主要贡献简介： 柯西（Cauchy ），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等.2．如果,a b R ∈, 那么222a b a b +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立. 当0,0a b >>时，由222a b a b +≥⇒基本不等式： 二、新课导学（一）二维形式的柯西不等式1. 柯西不等式：若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d a c b d +++.当且仅当 时, 等号成立.此即二维形式的柯西不等式. 证法1.（综合法）222222222222()()a b c d a c a db c b d++=+++222()()()a c b d =++当且仅当 时, 等号成立.证法2.（构造法）分析：22222()()()a c b d a b c d +++⇐22222[2()]4()()0a c b d a b c d +-++而22222[2()]4()()a c b d a b c d +-++的结构特征 那么， 证：设22222()()2()f x a b x a c b d x c d =+-+++， ∵ 22()()()f x a x c b x d =-+- 0 恒成立.∴ . 得证. 证法3.（柯西不等式的向量形式） 设向量(,)ma b =，(,)n c d =， 则||m =，||n =.∵ m n⋅=，且><⋅⋅=⋅n m n m n m ,cos ||||，有||||||n m n m ⋅⋅.∴ . 得证. 2. 二维柯西不等式的变式：变式1.若,,,a b c d R ∈，则_a c b d +_a c b d +；变式2.若,,,a b c d R ∈；变式3. （三角不等式）若1122,,,x y x y R∈推论：若123123,,,,,x x x y y y R ∈，则≥3. 二维柯西不等式的应用：例1．（1）已知,a b 为实数，求证： 4422332()()()a b a b a b ++≥+ （2）设,,1a b R a b +∈+=，求证：114ab+≥例2．（1）求函数y =（2）若231x y +=，求2249x y +的最小值，并求最小值点。
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式第1节二维形式
故 a31＋a12a2＋a1a22＋a23≥ a31＋ a32， 同理 a32＋a22a3＋a2a23＋a33≥ a32＋ a33，
a33＋a32a1＋a3a21＋a31≥ a33＋ a31. 将以上三个同向不等式相加，即得
a31＋a12a2＋a1a22＋a32＋ a32＋a22a3＋a2a23＋a23＋ a33＋a32a1＋a3a21＋a31≥2( a31＋ a32＋ a33)．
bd
2 ． 不 等 式 x12＋y21 ＋ x22＋y22 ≥ （x1－x2）2＋（y1－y2）2
(x1，x2，y1，y2∈R)中，等号成立的条件是什么？
提示：当且仅当 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0， 0)三点共线，
且 P1，P2 在原点两旁时，等号成立. 2· a2＋c2 ≥a＋c，
∴原不等式成立.
若 3x＋4y＝2，求 x2＋y2 的最小值．
[精讲详析] 本题考查柯西不等式的应用．解答本题 需要熟知柯西不等式的结构，凑成柯西不等式的结构， 然后利用柯西不等式求最值．由柯西不等式得
(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2， 25(x2＋y2)≥4，所以 x2＋y2≥245.
2＋1 2.
利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需要将数学表达 式适当的变形．这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于 分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、 组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质， 找到突破口．
2．设 a，b∈R＋，且 a＋b＝2.求证：2－a2 a＋2－b2 b≥2.
（x1－x3）2＋（y1－y3）2＋ （x2－x3）2＋（y2－y3）2≥
（x1－x2）2＋（y1－y2）2 ，
《排序不等式》_精品PPT课件人教版1
所以(a+b)2≤
a2 cos2
b2 sin2
.
【内化·悟】
如何利用柯西不等式证明不等式
x2 c2
y 2 ≥(x+y)2(已
d2
知c2+d2=1)?
提示:观察所证不等式,构造成柯西不等式的代数形式
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.
令 a x,b y ,
cd
则(c2+d2)
x2 (c2
(2)添减项:有些最值问题从表面上看不能利用柯西不 等式,但只要适当添加上常数项或和为常数的各项,就 可以应用柯西不等式来求解.
(3)多次利用:有些最值问题的解决需要反复利用柯西 不等式才能达到目的,但在运用过程中,每运用一次前 后等号成立的条件必须一致,不能自相矛盾,否则就会 出现错误.
【拓展延伸】常用的配凑的技巧有:①巧拆常数;②重 新安排某些项的次序;③适当添项;④适当改变结构.
《排序不等式》精品p p t 人教版1 - 精品课件p p t ( 实用版)
《排序不等式》精品p p t 人教版1 - 精品课件p p t ( 实用版)
【证明】设 m ＝ (a x , b y ),n (a , b ), 则|ax+by|=|m·n|≤|m||n|
( ax)2( by)2 ( a)2( b)2 ax2by2 ab ax2by2,
3.若x+2y=5,则x2+y2的最小值为________.
【解析】由柯西不等式得(x2+y2)(12+22)≥(x+2y)2,当 且仅当x= y 时取等号.所以5(x2+y2)≥25,x2+y2≥5.
2
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式排序不等式素材2
3。
3 排序不等式庖丁巧解牛知识·巧学排序不等式Sequence Inequality(又称排序原理) （1)排序原理的内容：设有数组A:a 1≤a 2≤…≤a n ，及数组B:b 1≤b 2≤…≤b n .称a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n 为顺序和，a 1b n +a 2b n-1+a 3b n —2+…+a n b 1为倒序和,a 1c 1+a 2c 2+…+a n c n 为乱序和(其中c 1，c 2,…，c n 是b 1≤b 2≤…≤b n 的一个排列）。
则有： 顺序和≥乱序和≥倒序和，其中等号当且仅当a 1=a 2=…=a n 或b 1=b 2=…=b n 时成立。
记忆要诀以S=∑=ni i i b a 1表示顺序和,以∑=+-=ni i n i ba S 11表示倒序和，以S 1=∑=ni i i c a 1表示乱序和(其中，c 1，c 2,…，c n 是b 1≤b 2≤…≤b n 的任一排列）,则有S ≤S 1≤S 。
(2)排序原理的本质含义：两实数序列同方向单调（同时增或同时减）时所得两两乘积之和最大，反方向单调（一增一减）时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一序列为常数序列。
学法一得由排序原理,我们可以得到这样一个推论:对于实数，a 1,a 2，…,a n ，设a i1,a i2,…，a in 为其任一个排列，则有 a 1a i1+a 2a i2+…+a n a in ≤a 12+a 22+…+a n 2。
证明：不妨设满足a 1≤a 2≤…≤a n ，取b k =a k （k=1，2,…，n ）,因此b 1≤b 2≤…≤b n ,且a 1，a 2，…，a n 是b 1,b 2,…,b n 的一个排列,由排序原理知， a 11i a +a 22i a +…+a n ni a ≤a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =a 12+a 22+…+a n 2.(3）排序原理的意义：在解各种涉及到若干个可以比较大小的对象（如实数、线段、角度等）a 1，a 2,…,a n 的数学问题时，如果根据对称性，假定它们按一定的顺序排列起来，往往能使问题迎刃而解。
高中数学人教A版选修第三讲三排序不等式课件
设a1≤a2≤…≤an,b1 ≤b2 ≤… ≤bn为两组 实数，c1 ≤c2 ≤… ≤cn是b1,b2,…,bn的任 一排列. 因为b1,b2,…,bn的全排列只有n!,所以 S=a1c1+a2c2+…ancn (1)的不同值只有有限个， 其中必有最大和最小值. 若c1≠b1，则有某ck=b1(k>1),c1>ck.
高 中 数 学 人 教A版选 修4-5 第 三讲 三 排 序 不等 式 课 件 (共3 0张PPT )
高 中 数 学 人 教A版选 修4-5 第 三讲 三 排 序 不等 式 课 件 (共3 0张PPT )
将, (1)中c1,ck对换，得 S =a1ck+…+akc1+…+ancn (2) (2)-(1)得：S,-S=(ak-a1)(c1-ck)≥0. 若c1=b1,则转而考察c2，并进行类似讨论. 经有限步调整，可知一切和数中，最 大和数所对应的情况只能是数组{ci} 由小到大的情况，最大和数是顺序和， 即S≤S2.
如何安排10人的顺序，使他们等候的总时 间最少？这个最少的总时间等于多少？
高 中 数 学 人 教A版选 修4-5 第 三讲 三 排 序 不等 式 课 件 (共3 0张PPT )
高 中 数 学 人 教A版选 修4-5 第 三讲 三 排 序 不等 式 课 件 (共3 0张PPT )
分析 首先转化为数学问题.若第一接水的人需 要t1分，接这桶水时10人所需等候的总时间是 10t1分；第二接水的人需要t2分，接这桶水时 9人所需等候的总时间是9t2 分；如此继续下 去，到第10人接水时，只有他一人在等，需 要t10分.
观察可得，当a1=a2=…an，或 b1=b2=…=bn时，顺序和等于反序和.即 S1=S=S2.
高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 三 排序不等
三 排序不等式1．顺序和、乱序和、反序和设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 是b 1，b 2，…，b n 的任一排列，称a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)，称a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n 为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．2．排序不等式(排序原理)定理：(排序不等式，又称为排序原理) 设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 是b 1，b 2，…，b n 的任一排列，则a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1≤a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n .排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．已知a ，b ，c 为正数，且a ≥b ≥c ，求证：b 3c 3＋c 3a 3＋a 3b 3≥a ＋b ＋c.分析题目中已明确a ≥b ≥c ，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．∵a ≥b >0，∴1a ≤1b.又c >0，从而1bc ≥1ca.同理1ca ≥1ab ，从而1bc ≥1ca ≥1ab.又由于顺序和不小于乱序和，故可得a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥b 5b 3c 3＋c 5c 3a 3＋a 5a 3b 3＝b 2c 3＋c 2a 3＋a 2b 3⎝ ⎛⎭⎪⎫∵a 2≥b 2≥c 2，1c 3≥1b 3≥1a 3≥c 2c 3＋a 2a 3＋b 2b 3＝1c ＋1a ＋1b＝1a ＋1b ＋1c.∴原不等式成立．利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．1．已知0<α<β<γ<π2，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．证明：∵0<α<β<γ<π2，且y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2为增函数，y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2为减函数，∴0<sin α<sin β<sin γ，cos α>cos β>cos γ>0.∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>sin αcos α＋sin β·cos β＋sin γcos γ＝12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．2．设x ≥1，求证：1＋x ＋x 2＋…＋x 2n≥(2n ＋1)x n. 证明：∵x ≥1，∴1≤x ≤x 2≤…≤x n.由排序原理，得12＋x 2＋x 4＋…＋x 2n≥1·x n ＋x ·x n －1＋…＋xn －1·x ＋x n·1，即1＋x 2＋x 4＋…＋x 2n ≥(n ＋1)x n.①又因为x ，x 2，…，x n,1为1，x ，x 2，…，x n的一个排列， 由排序原理，得1·x ＋x ·x 2＋…＋x n －1·x n ＋x n·1≥1·x n ＋x ·xn －1＋…＋xn －1·x ＋x n·1，得x ＋x 3＋…＋x2n －1＋x n≥(n ＋1)x n.②将①②相加，得1＋x ＋x 2＋…＋x 2n≥(2n ＋1)x n.在△ABC 中，试证：3≤a ＋b ＋c.可构造△ABC 的边和角的有序数列，应用排序不等式来证明． 不妨设a ≤b ≤c ，于是A ≤B ≤C . 由排序不等式，得aA ＋bB ＋cC ≥aA ＋bB ＋cC ， aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ， aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC .相加，得3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )(A ＋B ＋C )＝π(a ＋b ＋c )，得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3.在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．3．设c 1，c 2，…，c n 为正数组a 1，a 2，…，a n 的某一排列，求证：a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n≥n . 证明：不妨设0<a 1≤a 2≤…≤a n ，则1a 1≥1a 2≥…≥1a n.因为1c 1，1c 2，…，1c n 是1a 1，1a 2，…，1a n的一个排列，由排序原理，得a 1·1a 1＋a 2·1a 2＋…＋a n ·1a n ≤a 1·1c 1＋a 2·1c 2＋…＋a n ·1c n ，即a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a nc n ≥n .4．设a 1，a 2，…，a n 是1,2，…，n 的一个排列， 求证：12＋23＋…＋n －1n ≤a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n.证明：设b 1，b 2，…，b n －1是a 1，a 2，…，a n －1的一个排列，且b 1<b 2<…<b n －1；c 1，c 2，…，c n －1是a 2，a 3，…，a n 的一个排列，且c 1<c 2<…<c n －1，则1c 1>1c 2>…>1c n －1且b 1≥1，b 2≥2，…，b n －1≥n －1，c 1≤2，c 2≤3，…，c n －1≤n .利用排序不等式，有a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ≥b 1c 1＋b 2c 2＋…＋b n －1c n －1≥12＋23＋…＋n －1n. ∴原不等式成立．课时跟踪检测(十一)1．有一有序数组，其顺序和为A ，反序和为B ，乱序和为C ，则它们的大小关系为( ) A ．A ≥B ≥C B ．A ≥C ≥B C ．A ≤B ≤CD ．A ≤C ≤B解析：选B 由排序不等式，顺序和≥乱序和≥反序和知：A ≥C ≥B .2．若A ＝x 21＋x 22＋…＋x 2n ，B ＝x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n －1x n ＋x n x 1，其中x 1，x 2，…，x n 都是正数，则A 与B 的大小关系为( )A ．A >B B ．A <BC ．A ≥BD ．A ≤B解析：选C 序列{x n }的各项都是正数，不妨设0＜x 1≤x 2≤…≤x n ，则x 2，x 3，…，x n ，x 1为序列{x n } 的一个排列．由排序原理，得x 1x 1＋x 2x 2＋…＋x n x n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1，即x 21＋x 22＋…＋x 2n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1.3．锐角三角形中，设P ＝a ＋b ＋c2，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ，则P ，Q 的关系为( )A ．P ≥QB ．P ＝QC ．P ≤QD ．不能确定解析：选C 不妨设A ≥B ≥C ，则a ≥b ≥c ，cos A ≤cos B ≤cos C ， 则由排序不等式有Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥a cos B ＋b cos C ＋c cos A＝R (2sin A cos B ＋2sin B cos C ＋2sin C cos A ) ＝R＝R (sin C ＋sin A ＋sin B )＝P ＝a ＋b ＋c2.4．儿子过生日要老爸买价格不同的礼品1件、2件及3件，现在选择商店中单价为13元、20元和10元的礼品，至少要花________元．( )A ．76B ．20C ．84D ．96解析：选A 设a 1＝1(件)，a 2＝2(件)，a 3＝3(件)，b 1＝10(元)，b 2＝13(元)，b 3＝20(元)，则由排序原理反序和最小知至少要花a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1＝1×20＋2×13＋3×10＝76(元)．5．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c 1，c 2，c 3是4,5,6的一个排列，则1c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是________，最小值是________．解析：由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32，最小值为28.答案：32 286．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s 、4 s 、3 s 、7 s ，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为________s.解析：由题意知，等候的时间最短为3×4＋4×3＋5×2＋7＝41. 答案：417．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，A ，B 所对的边分别为a ，b ，则aA ＋bB 与π4(a ＋b )的大小关系为________．解析：不妨设a ≥b >0，则A ≥B >0，由排序不等式⎭⎪⎬⎪⎫aA ＋bB ≥aB ＋bA aA ＋bB ＝aA ＋bB ⇒2(aA ＋bB )≥a (A ＋B )＋b (A ＋B )＝π2(a ＋b )， ∴aA ＋bB ≥π4(a ＋b )．答案：aA ＋bB ≥π4(a ＋b )8．设a ，b ，c 都是正数，求证：a ＋b ＋c ≤a 4＋b 4＋c 4abc.证明：由题意不妨设a ≥b ≥c >0.由不等式的性质，知a 2≥b 2≥c 2，ab ≥ac ≥bc . 根据排序原理，得a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2≤a 3c ＋b 3a ＋c 3b .① 又由不等式的性质，知a 3≥b 3≥c 3，且a ≥b ≥c . 再根据排序不等式，得a 3c ＋b 3a ＋c 3b ≤a 4＋b 4＋c 4.②由①②及不等式的传递性，得a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2≤a 4＋b 4＋c 4.两边同除以abc 得证原不等式成立． 9．设a ，b ，c 为任意正数，求ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b的最小值．解：不妨设a ≥b ≥c ， 则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b. 由排序不等式，得a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b ， ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b ≥cb ＋c ＋ac ＋a ＋ba ＋b，以上两式相加，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3，∴a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b ≥32，即当且仅当a ＝b ＝c 时，ab ＋c＋b c ＋a ＋ca ＋b 的最小值为32.10．设x ，y ，z 为正数，求证：x ＋y ＋z ≤x 2＋y 22z ＋y 2＋z 22x ＋z 2＋x 22y.证明：由于不等式关于x ，y ，z 对称， 不妨设0<x ≤y ≤z ，于是x 2≤y 2≤z 2，1z ≤1y ≤1x，由排序原理：反序和≤乱序和，得x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z ≤x 2·1z ＋y 2·1x ＋z 2·1y ，x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z ≤x 2·1y ＋y 2·1z ＋z 2·1x， 将上面两式相加，得2(x ＋y ＋z )≤x 2＋y 2z ＋y 2＋z 2x ＋z 2＋x 2y ，于是x ＋y ＋z ≤x 2＋y 22z ＋y 2＋z 22x ＋z 2＋x 22y.本讲高考热点解读与高频考点例析考情分析从近两年高考来看，对本部分内容还未单独考查，可也不能忽视，利用柯西不等式构造“平方和的积”与“积的和的平方”，利用排序不等式证明成“对称”形式，或两端是“齐次式”形式的不等式问题．真题体验(陕西高考)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}． (1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．解：(1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1.(2)－3t ＋12＋t ＝3·4－t ＋t ≤32＋124－t2＋t2]＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )max ＝4.12n 12n 1122＋…＋a nb n )2(a i ，b i ∈R ，i ＝1,2，…，n )，形式简洁、美观，对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式证明问题迎刃而解．已知a ，b ，c ，d 为不全相等的正数，求证：1a 2＋1b 2＋1c 2＋1d 2＞1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da.由柯西不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a2＋1b2＋1c2＋1d 2⎝ ⎛ 1b2＋1c2＋⎭⎪⎫1d2＋1a 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da 2，于是1a 2＋1b 2＋1c 2＋1d2≥1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da.①等号成立⇔1a 1b ＝1b 1c ＝1c 1d ＝1d 1a⇔b a ＝c b ＝d c ＝a d⇔a ＝b ＝c ＝d .又已知a ，b ，c ，d 不全相等，则①中等号不成立． 即1a 2＋1b 2＋1c 2＋1d 2>1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da.间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简便．设a ，b ，c 为实数，求证：a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab≥a 10＋b 10＋c 10.由对称性，不妨设a ≥b ≥c ， 于是a 12≥b 12≥c 12，1bc ≥1ca ≥1ab.由排序不等式：顺序和≥乱序和，得a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab ≥a 12ab ＋b 12bc ＋c 12ca ＝a 11b ＋b 11c ＋c 11a.① 又因为a 11≥b 11≥c 11，1a ≤1b ≤1c，再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得a 11a ＋b 11b ＋c 11c ≤a 11b ＋b 11c ＋c 11a.② 由①②得a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab≥a 10＋b 10＋c 10.题往往难以处理．在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易．已知5a 2＋3b 2＝158，求a 2＋2ab ＋b 2的最大值．解：∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫552＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332 ≥⎝⎛⎭⎪⎫55×5a ＋33×3b 2＝(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，当且仅当5a ＝3b ，即a ＝38，b ＝58时，等号成立．∴815×(5a 2＋3b 2)≥a 2＋2ab ＋b 2. ∴a 2＋2ab ＋b 2≤815×(5a 2＋3b 2)＝815×158＝1.∴a 2＋2ab ＋b 2的最大值为1.已知正实数x 1，x 2，…，x n 满足x 1＋x 2＋…＋x n ＝P ，P 为定值，求F ＝x 21x 2＋x 22x 3＋…＋x 2n －1x n＋x 2nx 1的最小值． 不妨设0<x 1≤x 2≤…≤x n ，则1x 1≥1x 2≥…≥1x n>0，且0<x 21≤x 22≤…≤x 2n .∵1x 2，1x 3，…，1x n ，1x 1为序列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 的一个排列，根据排序不等式，得F ＝x 21x 2＋x 22x 3＋…＋x 2n －1x n ＋x 2n x 1≥x 21·1x 1＋x 22·1x 2＋…＋x 2n ·1x n＝x 1＋x 2＋…＋x n ＝P (定值)，当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n ＝P n时，等号成立．即F ＝x 21x 2＋x 22x 3＋…＋x 2n －1x n ＋x 2nx 1的最小值为P .。
人教数学选修4-5全册精品课件：第三讲三排序不等式
【名师点评】 本题证明关键是构造本不等式中 1 1 用到的一些数字如 1、 2、 2等，并比较出大小． 2 3
变式训练 2 设 a1，a2，„，an 为 1,2，„，n 的一 个排列． n－1 a1 a2 an－1 1 2 证明： ＋ ＋„＋ ≤ ＋ ＋„＋ . 2 3 n a2 a3 an
证明：设 b1，b2，„，bn－1 是 a1，a2，„，an－1 的一 个排列，且 b1<b2<„<bn－1. c1，c2，„，cn－1 为 a2，a3，„，an 的一个排列，且 c1<c2<„<cn－1， 1 1 1 于是 > >„> . c1 c2 cn－1
a1a2 a2a3 a3a1 顺序和 S′＝ ＋ ＋ . a3 a1 a2 a1a2 a2a3 a3a1 由排序不等式得 ＋ ＋ ≥a1 ＋a2 ＋a3 ＝ a3 a1 a2 1. a1a2 a2a3 a3a1 ∴ ＋ ＋ 的最小值为 1. a3 a1 a2
用排序不等式证明不等式
设 a1、a2„an 互不相同且为正整数，求证： 1 1 1 a2 a3 an 1＋ ＋ ＋„＋n≤a1＋ 2＋ 2＋„＋ 2. 2 3 2 3 n 【证明】 设 b1，b2，„，bn 是 a1，a2，„，an 的一个排列，且满足 b1<b2<„<bn，b1，b2，„， bn 互不相同且为正整数， ∴b1≥1，b2≥2，„，bn≥n.
a b c 3 ∴ ＋ ＋ ≥ . b＋c c＋a a＋b 2 当且仅当 a＝b＝c，等号成立． a b c 3 ∴ ＋ ＋ 的最小值为 . 2 b＋c c＋a a＋b
【名师点评】 本题的关键是构造常数， b＋c c＋a a＋b b c c a a 3＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ b＋c c＋a a＋b b＋c b＋c c＋a c＋a a＋b b ＋ . a＋b
2020学年高中数学 第3讲 柯西不等式与排序不等式 第3
第3课时 排序不等式A ．基础巩固1．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z 且x ＜y ＜z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c 且a ＜b ＜c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A ．ax ＋by ＋czB ．az ＋by ＋cxC ．ay ＋bz ＋cxD ．ay ＋bx ＋cz【答案】B 【解析】根据排序原理：反序和≤乱序和≤顺序和，又B 选项为反序和，A 选项为顺序和，C ，D 选项为乱序和，所以B 选项的费用最低．2．在锐角三角形ABC 中，a <b <c ，设P ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ，Q ＝a cos B ＋b cos C ＋c cos A ，则P 与Q 的大小关系是( )A ．P ≥QB ．P >QC ．P ≤QD ．P <Q【答案】B 【解析】在锐角三角形ABC 中，因为a <b <c ，所以0<A <B <C <π2.所以cos A >cosB >cosC ．顺序和为P ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ，乱序和为Q ＝a cos B ＋b cos C ＋c cos A ．由排序原理，知顺序和>乱序和，所以P >Q .3．已知a ，b ，c ∈R ＋，则a 3＋b 3＋c 3与a 2b ＋b 2c ＋c 2a 的大小关系是( ) A ．a 3＋b 3＋c 3≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a B ．a 3＋b 3＋c 3>a 2b ＋b 2c ＋c 2a C ．a 3＋b 3＋c 3<a 2b ＋b 2c ＋c 2a D ．a 3＋b 3＋c 3≤a 2b ＋b 2c ＋c 2a【答案】A 【解析】不妨设0<a ≤b ≤c ， 则a 2≤b 2≤c 2，则顺序和＝a 3＋b 3＋c 3，乱序和＝a 2b ＋b 2c ＋c 2a . 由排序不等式知：顺序和≥乱序和， 所以a 3＋b 3＋c 3≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a .4．设x 1，x 2，…，x n 是互不相同的正整数，则m ＝x 112＋x 222＋…＋x nn 2的最小值是( )A ．1B ．12C ．1＋12＋ (1)D ．1＋122＋132＋…＋1n2【答案】C 【解析】设b 1，b 2，…，b n 是x 1，x 2，…，x n 的一个排列， 且满足0<b 1<b 2<…<b n ，因为b 1，b 2，…，b n 是互不相同的正整数， 故b 1≥1，b 2≥2，…，b n ≥n . 又因为112>122>132＞…>1n2，又由排序不等式知：顺序和≥乱序和≥反序和，所以x 112＋x 222＋x 332＋…＋x n n 2≥b 112＋b 222＋b 332＋…＋b n n 2≥1×1＋2×122＋3×132＋…＋n ·1n 2＝1＋12＋13＋…＋1n.故⎝ ⎛⎭⎪⎫x 112＋x 222＋…＋x n n 2min ＝1＋12＋…＋1n .5．设a 1，a 2，…，a n 为实数，b 1，b 2，…，b n 是a 1，a 2，…，a n 的任一排列，则乘积a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的值不会超过____________．【答案】a 21＋a 22＋…＋a 2n 【解析】∵乱序和≤顺序和，∴a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤a 21＋a 22＋…＋a 2n .6．设集合{}a 1，a 2，a 3＝{}1，2，3，{}b 1，b 2，b 3＝{}2，3，4，则a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3的最小值为______，最大值为______．【答案】16 20 【解析】根据排序原理：反序和≤乱序和≤顺序和， 所以反序和最小，顺序和最大．故(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)min ＝1×4＋2×3＋3×2＝16， (a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)max ＝1×2＋2×3＋3×4＝20.7．设a 1，a 2，…，a n 为正数，求证：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n .【解析】不妨设a 1≥a 2≥a 3≥…≥a n ， 则a 21≥a 22≥a 23≥…≥a 2n ，1a 1≤1a 2≤1a 3≤…≤1a n.由排序原理：乱序和≥反序和，可得a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n a 1≥a 21a 1＋a 22a 2＋a 23a 3＋…＋a 2na n＝a 1＋a 2＋…＋a n . B ．能力提升8．已知a ，b ，c 为正数且两两不相等，求证：2(a 3＋b 3＋c 3)＞a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )．【证明】不妨设a＞b＞c＞0，则a2＞b2＞c2.根据排序原理知，a3＋b3＞a2b＋ab2，同理可得a3＋c3＞a2c＋ac2，b3＋c3＞b2c＋bc2，三式相加，得2(a3＋b3＋c3)＞a2b＋ab2＋a2c＋ac2＋b2c＋bc2＝a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a ＋b)．即2(a3＋b3＋c3)＞a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)得证．。
课件1：三 排序不等式
0<b1c≤c1a≤a1b，
由排序原理：乱序和≤顺序和，得 a3·c1a＋b3·a1b＋c3·b1c≤a3·b1c＋b3·c1a＋c3·a1b， a3·a1b＋b3·b1c＋c3·c1a≤a3·b1c＋b3·c1a＋c3·a1b. 将上面两式相加得 a2＋c b2＋b2＋a c2＋c2＋b a2≤2(bac3＋cba3＋acb3 )， 将不等式两边除以 2， 得a2＋2cb2＋b22＋ac2＋c2＋2ba2≤bac3＋cba3＋acb3 .
第三讲 柯西不等式与排序不等式
三 排序不等式
1．顺序和、乱序和、反序和的概念
设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn为两组实 数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则称ai与 bi(i＝1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和 a1b1＋a2b2＋
…＋anbn 为顺序和，和a1c1＋a2c2＋…＋ancn为乱序和，相 反顺序相乘所得积的和a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1 称为反序和．
4．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件， 5件和2件．现在选择商店中单价分别为3元，2元和1元的礼 品．则至少要花________元，最多要花________元．
【解析】取两组实数(2,4,5)和(1,2,3)，则顺序和为 2×1＋ 4×2＋5×3＝25，反序和为 2×3＋4×2＋5×1＝19.
3．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c1，c2，c3是4,5,6的一个 排列，c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是 ________．
【解析】由排序不等式，顺序和最大，反序和最小． ∴最大值为 1×4+2×5+3×6＝32,最小值为 1×6+2×5+3×4＝28.
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全国高中数学联赛 金牌教练员讲座兰州一中数学组第六讲不等式的应用、参数取值范围问题知识、方法、技能I ．排序不等式（又称排序原理） 设有两个有序数组n a a a ≤≤≤Λ21及.21n b b b ≤≤≤Λ则n n b a b a b a +++Λ2211（同序和）jn n j j b a b a b a +++≥Λ2211（乱序和）1121b a b a b a n n n +++≥-Λ（逆序和）其中n j j j ,,,21Λ是1，2，…，n 的任一排列.当且仅当n a a a ===Λ21或n b b b ===Λ21时等号（对任一排列n j j j ,,,21Λ）成立.证明：不妨设在乱序和S 中n j n ≠时（若n j n =，则考虑1-n j ），且在和S 中含有项),(n k b a n k ≠则.n n jn n j n n k b a b a b a b a n +≤+①事实上，左－右=,0))((≥--n j n k n b b a a由此可知，当n j n ≠时，调换n k j n j k j b a b a b a S ++++=ΛΛ11（n j n ≠）中n b 与nj 位置（其余不动），所得新和.1S S ≥调整好n a 及n b 后，接着再仿上调整1-n a 与1-n b ，又得.12S S ≥如此至多经1-n 次调整得顺序和n n b a b a b a +++Λ2211jn n j j b a b a b a +++≥Λ2211②这就证得“顺序和不小于乱序和”.显然，当n a a a ===Λ21或n b b b ===Λ21时②中等号成立.反之，若它们不全相等，则必存在n j 及k ，使n b .,k n j a a b n >>这时①中不等号成立.因而对这个排列②中不等号成立. 类似地可证“乱序和不小于逆序和”. II ．应用排序不等式可证明“平均不等式”：设有n 个正数n a a a ,,,21Λ的算术平均数和几何平均数分别是n n n nn a a a G na a a A ΛΛ2121=+++=和此外，还有调和平均数（在光学及电路分析中要用到nn a a a nH 11121+++=Λ，和平方平均（在统计学及误差分析中用到）na a a Q nn 22221+++=Λ 这四个平均值有以下关系n n n n Q A G H ≤≤≤. ○* 其中等号成立的充分必要条件都是n a a a ===Λ21.下面首先证明算术平均数一几何平均数不等式：.n n G A ≥记1,,,2121211====n n n Ga a a x G aa x G a x ΛΛ； .1,,1,12211nn x y x y x y ===Λ由于数组n x x x ,,,21Λ和数组n y y y ,,,21Λ中对应的数互为倒数，由排序不等式得n n y x y x y x +++Λ1211（逆序和）≤1121,-+++n n n y x y x y x Λ，即 .21nn n n G a G a G a n +++≤Λ从而.n n G A ≥等号当且仅当n x x x ===Λ21或n y y y ===Λ21时成立，而这两者都可得到n a a a ===Λ21.下面证明.n n H G ≥对n 个正数na a a 1,,1,121Λ应用,n n A G ≤得 .1111112121n nn a a a n a a a ⋅⋅⋅≥+++ΛΛ即.n n H G ≥（符号成立的条件是显然的）.最后证明,n n Q A ≤它等价于.0)()(22122221≥+++-+++n n a a a a a a n ΛΛ而上式左边=ΛΛΛ+-++-+-++-+-2223221221221)()()()()(n n a a a a a a a a a a0)(21≥-+-n n a a ，于是不等式及等号成立的条件都是显然的了.从上述证明可见，nn Q A ≤对一切R a a a n ∈,,,21Λ成立.III ．应用算术平均数——几何平均数不等式，可用来证明下述重要不等式.柯西（Cavchy ）不等式：设1a 、2a 、3a ，…，n a 是任意实数，则).)(()(222212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ等号当且仅当k ka b i i (=为常数，),,2,1n i Λ=时成立.证明：不妨设),,2,1(n i a i Λ=不全为0，i b 也不全为0（因为i a 或i b 全为0时，不等式显然成立）. 记A=22221n a a a +++Λ，B=22221n b b b +++Λ.且令),,,2,1(,n i Bby A a x i i i i Λ===则.1,12222122221=+++=+++n n y y y x x x ΛΛ于是原不等式成为.12211≤+++n n y x y x y x Λ即≤+++)(22211n n y x y x y x Λ2222122221n n y y y x x x +++++++ΛΛ.它等价于.0)()()(2222211≥-++-+-n n y x y x y x Λ其中等号成立的充要条件是).,,2,1(n i y x i i Λ==从而原不等式成立，且等号成立的充要条件是).(BA k ka b i i == IV ．利用排序不等式还可证明下述重要不等式.切比雪夫不等式：若n a a a ≤≤≤Λ21，n b b b ≤≤≤Λ21 ，则.21212211nb b b n a a a n b a b a b a nn n n +++⋅+++≥+++ΛΛΛ证明：由题设和排序不等式，有n n b a b a b a +++Λ2211=n n b a b a b a +++Λ2211，132212211b a b a b a b a b a b a n n n +++≥+++ΛΛ，…….11212211-+++≥+++n n n n n b a b a b a b a b a b a ΛΛ将上述n 个不等式叠加后，两边同除以n 2，即得欲证的不等式.赛题精讲I ．排序不等式的应用 应用排序不等式可以简捷地证明一类不等式，请看下述例题.例1：对+∈R c b a ,,，比较a c c b b a c b a 222333++++与的大小.【思路分析】要应用“排序不等式”，必须取两组便于排序的数，这要从两式的结构上去分析. 【略解】 取两组数.,,;,,222c b a c b a不管c b a ,,的大小顺序如何，都是乱序和都是同序和a c c b b a c b a 222333++++，故a c cb b ac b a 222333++>++.【评述】 找出适当的两组数是解此类题目的关键.例2：+∈R c b a ,,，求证.222222222222abc ca b bc a b a c a c b c b a c b a ++≤+++++≤++ 【思路分析】 应先将a 、b 、c 三个不失一般性地规定为.0>≥≥c b a【略解】由于不等式关于a 、b 、c 对称，可设.0>≥≥c b a于是ab c c b a 111,222≥≥≥≥. 由排序不等式，得ac c b b a c c b b a a 111)(111222222⋅+⋅+⋅≤⋅+⋅+⋅逆序和（乱序和）. 及.111111222222bc a b c a c c b b a a ⋅+⋅+⋅≤⋅+⋅+⋅以上两个同向不等式相加再除以2，即得原式中第一个不等式.再考虑数组abca bc c b a 111,0333≥≥>≥≥及，仿上可证第二个不等式，请读者自己完成. 【评述】应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构造应从需要入手来设计.这一点应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组. 例3：在△ABC 中，试证：.23ππ<++++≤c b a cC bB aA【思路分析】 可构造△ABC 的边和角的序列，应用排序不等式来证明之.【详解】 不妨设c b a ≤≤，于是.C B A ≤≤由排序不等式，得.,,bC aB cA cC bB aA aC cB bA cC bB aA cC bB aA cC bB aA ++≥++++≥++++≥++ 相加，得)())(()(3c b a C B A c b a cC bB aA ++=++++≥++π， 得3π≥++++c b a cC bB aA ①又由,0,0,0b c a c b a a c b -+<-+<-+<有).(2)()3()2()2()()()()()()(0cC bB aA c b a C c B b A a C B A c B C A b A C B a b c a B c b a C a c b A ++-++=-+-+-=-++-++-+=-++-++-+<ππππ得.2π<++++c b a cC bB aA ②由①、②得原不等式成立.【评述】此题后半部分应用了不等式的性质来证明.例4：设n a a a ,,,21Λ是互不相同的自然数，试证.212112221na a a n n +++≤+++ΛΛ【思路分析】 应先构造两个由小到大的排序.【略解】将n a a a ,,,21Λ按由小到大的顺序排成n j j j a a a <<<Λ21其中n j j j ,,,21K 是1，2，…，n 的一个排列，则.,2,121n a a a n j j j ≥≥≥Λ于是由排序不等式，得.12112222222121n na a a n a a a n j j j n +++≥+++≥+++ΛΛΛ例5：设n b b b ,,,21Λ是正数n a a a ,,,21Λ的一个排列，求证.2211n b a b a b a nn ≥+++Λ【思路分析】 应注意到),,2,1(11n i a a ii Λ==⋅【略证】不妨设n a a a ≥≥≥Λ21，因为n a a a ,,,21Λ都大于0. 所以有na a a 11121≤≤≤Λ， 又n n a a a b b b 1,,1,11,,1,12121ΛΛ是的任意一个排列，于是得到 .11111122112211nn n n b a b a b a a a a a a a n +++⋅≤⋅++⋅+⋅=ΛΛ 【评述】 此题比较简单，但颇具启发意义，读者应耐心体会.例6：设正数c b a ,,的乘积1=abc ，试证：.1)11)(11)(11(≤+-+-+-ac c b b a【略解】设xzc z y b y x a ===,,，这里z y x ,,都是正数，则原需证明的不等式化为 y x z x z y z y x xyz y x z x z y z y x -+-+-+≤-+-+-+,,,))()((显然中最多只有一个非负数.若y x z x z y z y x -+-+-+,,中恰有一个非正数，则此时结论显然成立.若y x z x z y z y x -+-+-+,,均为正数，则z y x ,,是某三角形的三边长.容易验证)].()()([(31))()((222z y x z y x z y x z y x y x z x z y z y x -++-++-+≤-+-+-+故得.))()((xyz y x z x z y z y x ≤-+-+-+【评述】 利用上述换元的方法可解决同类的问题.见下题：设正数a 、b 、c 的乘积,1=abc 证明.23)(1)(1)(1222≥+++++b a c a c b c b a证明：设1,1,1,1====xyz zc y b x a 则，且所需证明的不等式可化为 23222≥+++++y x z x z y z y x ，现不妨设z y x ≥≥，则 yx zx z y z y x +≥+≥+，据排序不等式得y x z x z y z y x +++++222y x zy x z y x z y x z +⋅++⋅++⋅≥ 及y x z x z y z y x +++++222yx zx x z y z z y x y +⋅++⋅++⋅≥两式相加并化简可得)(2222yx z x z y z y x +++++.333=≥++≥xyz z y x例7：设实数n n n z z z y y y x x x ,,,,,212121ΛΛΛ≥≥≥≥≥≥是n y y y ,,,21Λ的一个置换，证明：∑∑==-≤-ni i i ni i iz x y x1212.)()(【略解】 显然所需证不等式等价于∑∑==≥ni ii n i ii z x y x 11,这由排序不等式可直接得到.【评述】 应用此例的证法可立证下题：设k a 是两两互异的正整数（),2,1Λ=k ，证明对任意正整数n ，均有∑∑==≥ni ni k kk a 112.1证明：设n b b b ,,,21Λ是n a a a ,,,21Λ的一个排列，使n b b b <<<Λ21，则从条件知对每个k b n k k >≤≤,1，于是由排序不等式可知∑∑∑===≥≥ni n i k ni k kk b k a 11212.1II ．柯西不等式的应用 应用柯西不等式，往往能十分简捷地证明某些不等式. 例8：设+∈R x x x n ,,,21Λ，求证：.211221322221n n n n x x x x x x x x x x x +++≥++++-ΛΛ【思路分析】 注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之.【评述】注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之.【详解】 ∵0,,,21>n x x x Λ，故由柯西不等式，得))((1221322221132x x x x x x x x x x x x n n n n ++++++++-ΛΛ2111323212)(x x x x x x x x x x x x n nn n ⋅+⋅++⋅+⋅≥-Λ2121)(n n x x x x ++++=-Λ，∴.211221322221n n n n x x x x x x x x x x x +++≥++++-ΛΛ 【评述】这是一道高中数学联赛题，还可用均值不等式、数学归纳法、比较法及分离系数法和构造函数法等来证之.针对性训练题1．设a 、b 、c +∈R ，利用排序不等式证明： （1）b a b a b a abba≠>(）； （2）b a a c c b cbac b a c b a +++≥222；（3）23≥+++++b a c a c b c b a ； （4）.101010121212c b a abc ca b bc a ++≥++ 2．设a 、b 、c 是三角形三边的长，求证：.3≥-++-++-+cb a cb ac b a c b a3．已知a 、b 、c *N ∈，并且,,,c b a b a c a c b >+>+>+求证：.1)1()1()1(≤-+-+-+cb a cb a b ac a c b 4．设,1,*>∈n N n 求证：.22121-⋅>+++n n nn n n C C C Λ5．若b a b a b a lg 2lg ,62,0,0+=+>>求且的最大值. 6．若122,122++=+b ab a 求的最小值.7．已知11),(),1(13++=>=-x yy x u x y x 求的最小值. 8．y x y x u y x 2),(,1222+==+求的最值.。