8.3非齐次边界条件的处理(精)

w t 0 ( x) v t 0
wt
t 0
( x) vt
t 0
8.3 非齐次边界条件的处理 例 弦的 x=0 端固定， x=l 端受迫在谐振动 Asinωt， 弦的初始位移和初始速度均为零，求弦的振动。 泛定方程
解
utt a 2uxx 0
u( x, t ) xl Asin t
w( x, t ) xl 0
wt
t 0
v t 0 0
vt
t 0
0.
w t 0 0
0.
wtt a2 wxx (vtt a2vxx ) ( Asin t ) 2 x / l
方法2
求齐次边界条件的齐次方程 （初始位移或速度不为零）。
wtt a2 wxx (vtt a2vxx ) 0
令：
v( x, t ) X ( x) sin t
X ' '
2
a
2
X 0
X (0) 0,
X (l ) A
X ( x) C cos(x / a) D sin(x / a)
X (0) 0
X (l ) A
C 0
D A / sin(l / a)
A v ( x, t ) sin(x / a) sin t sin(l / a)
w( x, t )
u t 0 0
ut
t 0
0.
满足非齐次边界条件 满足 设 齐次边界条件
非齐次方程 初始条件为零
v( x, t ) ( A sin t ) x / l
w( x, t ) x0 0
v( x, t ) x0 0 v( x, t ) xl A sin t
u( x, t ) x0 (t )
第一类非齐次边界条件
v ( x, t )
(t ) (t )
l
x (t )
u( x, t ) xl (t )
wtt a 2 wxx (vtt a 2 v xx ) [ wtt a wxx (vtt a vxx )
2 2
(t ) (t )
l l
x (t )]" x " (t )
" (t ) " (t )
wtt a wxx
2
" (t ) " (t )
l
w( x, t ) xl 0
x " (t )
非齐次方程 齐次边界条件
w( x, t ) x0 0
初始条件： 系数
An 0
l
2 A sin( / a) n Bn sin d na sin( l / a ) l 0
2A n sin( / a ) sin d na sin(l / a) l 0
l
( ) n
2A 1 la 2 / a 2 (n ) 2 / l 2
8.3 非齐次边界条件的处理
方法1 例
utt a 2uxx 0
u( x, t )Βιβλιοθήκη Baidux0 (t )
齐次方程
第一类 非齐次边界条件 非零初值
u( x, t ) xl (t )
u t 0 ( x)
令
ut
t 0
( x)
u( x, t ) v( x, t ) w( x, t )
u ( x, t )
A sin(x / a) sin t sin(l / a) 2 A 1 nat nx sin sin al n 1 2 n 2 2 l l a2 l2
w( x, t ) xl 0
vt
t 0

A sin(x / a) sin(l / a)
w t 0 0
wt
t 0

A sin(x / a) . sin(l / a)
wtt a 2 wxx 0
w( x, t ) ( An cos
n 1

nat nat nx Bn sin ) sin . l l l
wtt a2 wxx (vtt a2vxx ) 0
v ( x, t ) A sin(x / a) sin t sin(l / a)
vtt a 2vxx 0
v( x, t ) x0 0 v( x, t ) xl Asin t
v t 0 0
w( x, t ) x0 0
u( x, t ) x0 0
u t 0 0
ut
t 0
0.
源（在边界上）
utt a 2uxx 0
u( x, t ) x0 0
u( x, t ) xl Asin t
方法1 基本想法 u( x, t ) v( x, t ) w( x, t ) 设定 待求
v( x, t )