8.3非齐次边界条件的处理(精)
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8-3非齐次边界条件的处理8-4泊松方程
F0 u w( x，t ) f ( x) sin t ES
令
其中
f ( x)
a
cos
l
a
sin
x
a
wtt a 2 wxx 0 w(0，t ) wx (l，t ) 0 x F0 a sin w( x， a 0) ( x)，wt ( x， 0) ( x) l YS cos a
可令 其中
u w [ At f ( x) g ( x)]
x f ( x) 1 l 2 x 3 x 2 x l A g ( x) 3 2 2 6a l l l
wt a 2 wxx 0 w(0，t ) w(l，t ) 0 w( x， 0) u0 பைடு நூலகம்1 (u2 u1 ) x / l
习题2
ut a 2u xx 0 u (0，t ) At，u (l，t ) 0 u ( x， 0) 0
§8.4 泊松方程
⊿u=f(x,y,z)
基本思想：
(1) 令u=w+v (特解)，且⊿v=f(x,y,z)
使⊿w=0为拉普拉斯方程；
(2) 利用方程关于x，y，z的对称性，以及解 的迭加性，将问题变为分别关于x，y，z的齐 次边界条件。
由④
v(0，t ) (t )，v(l，t ) (t ) B(t ) (t )，A(t )l B(t ) (t )
v( x，t )
(t ) (t ) x (t ) l
若两端都是第二类非齐次边界条件：
ux (0，t ) (t )，ux (l，t ) (t )
令
其中
f ( x)
a
cos
l
a
sin
x
a
wtt a 2 wxx 0 w(0，t ) wx (l，t ) 0 x F0 a sin w( x， a 0) ( x)，wt ( x， 0) ( x) l YS cos a
可令 其中
u w [ At f ( x) g ( x)]
x f ( x) 1 l 2 x 3 x 2 x l A g ( x) 3 2 2 6a l l l
wt a 2 wxx 0 w(0，t ) w(l，t ) 0 w( x， 0) u0 பைடு நூலகம்1 (u2 u1 ) x / l
习题2
ut a 2u xx 0 u (0，t ) At，u (l，t ) 0 u ( x， 0) 0
§8.4 泊松方程
⊿u=f(x,y,z)
基本思想：
(1) 令u=w+v (特解)，且⊿v=f(x,y,z)
使⊿w=0为拉普拉斯方程；
(2) 利用方程关于x，y，z的对称性，以及解 的迭加性，将问题变为分别关于x，y，z的齐 次边界条件。
由④
v(0，t ) (t )，v(l，t ) (t ) B(t ) (t )，A(t )l B(t ) (t )
v( x，t )
(t ) (t ) x (t ) l
若两端都是第二类非齐次边界条件：
ux (0，t ) (t )，ux (l，t ) (t )
具有非齐次边界条件的问题
nx sin (n 1, 2, ); l (2n 1)x sin (n 1, 2, ); 2l (2n 1)x cos (n 1, 2, ); 2l nx cos (n 0, 1, 2, ); l
和 w(r, ) 分别满足
1 1 vrr vr 2 v F (r , ),(0 r r0 ), r r
v | r r0 0.
(P1)
1
补充
对于如下泊松方程的边值问题而言：
1 1 u rr u r 2 u F (r , ), (0 r r0 ), r r
u ( x,0) ( x), u t ( x,0) ( x).
(82) w(0, t ) u1 (t ), w(l , t ) u 2 (t ), (84) 其实满足(84)中两个条件的函数 w( x, t ) 是很多的， 为了以后计算方便起见，通常取w( x, t ) 为 x 的一次 式， 即设 w( x, t ) A(t ) x B(t ), 由条件(84)确定 A(t ), B(t ) 得
2
2 v n (t ) n
e
0
t
(
na 2 ) ( t ) l
d
(90) 可得
( na ) 2 t 2l nx v ( x, t ) e l 1 sin . 3 2 l n 1 ( n ) a
u(0, t ) t , u(l , t ) 0,
(87) 令
u( x,0) 0,.
t w( x, t ) x t. 解 选取辅助函数 l
则问题(87)化成 x 2 vt a v xx - 1 (0 x l , t 0), l v(0, t ) 0, v(l , t ) 0, (88) v( x,0) 0.
8.3非齐次边界条件的处理
x 2 w a w ''( t ) [ ''(t ) ''(t )] xx tt l w x 0 0, w x l 0 x w ( x ) (0) [ (0) (0)] t 0 l x w ( x ) '(0) [ '(0) '(0)] t t 0 l
a sin t 2 Ala ( 1) n 1 u ( x, t ) v( x, t ) w( x, t ) l n 1 sin a
A sin
x
sin
n at n x sin l l 2 2 2 2 2 l n a
这样边界条件化为齐次的了， 但是泛定方程却变为非齐次 的，接着可参照非齐次方程 的求解过程进行。
若为第二类非齐次边界条件： ux 可设v( x, t ) A(t ) x 2 B(t ) x
x 0
(t ), u x
x l
(t )
这样无论弦振动方程是否齐次，边界条件是否齐次，最终 可用分离变量法求解。
a
设v( x, t ) X ( x)sin t, 代入(1)(2) 2 X '' 2 X 0 a X x0 0, X xl A
x)
l
a
) A D A / sin
l
a
v( x, t )
A sin
l
a
sin
xaΒιβλιοθήκη sin t令u( x, t ) v( x, t ) w( x, t )
8.3 非齐次边界条件的处理
教学重点：掌握非齐次边界条件问题转化为齐次边界条件问题的方 法 处理原则：利用叠加原理，把非齐次边界条件问题转化另一未知函 数的齐次边界条件问题。
数学物理方程非齐次边界条件的处理
t)
a2
2V x2
V (l,t
f (x, ) 0,
t
),
V
(x, 0)
V
(x, 0)
0,
t
0 x l,t 0, t 0, 0 x l,
（1） （2）
（3）
设
V
n1
vn
(t) sin
n
l
x
f
(x,t)
n1
f n (t) sin
l
l
l
vn (t)
A'(t) sin
na
l
t
na
l
A(t) cos na
l
t
B(t) cos na t na B(t) sin na t
l
l
l
令 A'(t)sin na t B(t) cos na t 0
l
l
vn(t)
na
l
A'(t) cos na
n
l
x（5）
（4）
其中
fn
(t)
2 l
l 0
f (x,t)sin n
l
xdx
把（4）（5）代入（1）中
vn(t) sin
n1
n
l
x
a
2
n1
n 2
l2
2
vn (t) sin
n
l
x
f
(x, t)
a
2
n1
数理方程第二章 非齐次边界条件的处理-5
0
深圳大学电子科学与技术学院
W
W W
x 0 xl
u1 ( t ) u2 ( t )
W1
W2
( 2.59)
l
x
例如上图 W ( x, t ) ,W1 ( x, t ) ,W2 ( x, t )等等，都能满足（ 2.59 ）的要求。
如，可取直线
W ( x, t ) A(t ) x B(t )
2 2
1 ( x )
t 0
将U的边界条件代入 u( x, t ) V ( x, t ) u1 (t ) u2 (t ) u1 (t ) x
L
由 u x L u2 (t )，得
u (t ) u1 (t ) u (0, t ) V ( L, t ) u1 (t ) 2 L L
x
孙子兵法中，称之为 “偷梁换柱”法。
就能使新的未知函数 V ( x , t ) ，满足齐次的边界条件。
深圳大学电子科学与技术学院
然后来解决关于新的函数V(x,t)——（齐次）的定解问题. 2 2 u u 2 u V W a f ( x, t ) 2 代入 t 2 x
( 2.59)
就能合乎要求。可是，满足（2.59）要求的函数 W(x,t) 是很多的，例如
深圳大学电子科学与技术学院
W
l , (u2 (t ))
0
l
W
W W
x 0 xL
u1 (t ) u2 (t )
0, (u1 (t ))
W1
W2
( 2.59)
x
例如上图 W ( x, t ) ,W1 ( x, t ) ,W2 ( x, t )等等，都能满足（ 2.59 ）的要求。
深圳大学电子科学与技术学院
W
W W
x 0 xl
u1 ( t ) u2 ( t )
W1
W2
( 2.59)
l
x
例如上图 W ( x, t ) ,W1 ( x, t ) ,W2 ( x, t )等等，都能满足（ 2.59 ）的要求。
如，可取直线
W ( x, t ) A(t ) x B(t )
2 2
1 ( x )
t 0
将U的边界条件代入 u( x, t ) V ( x, t ) u1 (t ) u2 (t ) u1 (t ) x
L
由 u x L u2 (t )，得
u (t ) u1 (t ) u (0, t ) V ( L, t ) u1 (t ) 2 L L
x
孙子兵法中，称之为 “偷梁换柱”法。
就能使新的未知函数 V ( x , t ) ，满足齐次的边界条件。
深圳大学电子科学与技术学院
然后来解决关于新的函数V(x,t)——（齐次）的定解问题. 2 2 u u 2 u V W a f ( x, t ) 2 代入 t 2 x
( 2.59)
就能合乎要求。可是，满足（2.59）要求的函数 W(x,t) 是很多的，例如
深圳大学电子科学与技术学院
W
l , (u2 (t ))
0
l
W
W W
x 0 xL
u1 (t ) u2 (t )
0, (u1 (t ))
W1
W2
( 2.59)
x
例如上图 W ( x, t ) ,W1 ( x, t ) ,W2 ( x, t )等等，都能满足（ 2.59 ）的要求。
非齐次边界条件的齐次化处置
Tn (t)
l
n
a
t 0
fn (
) sin
n
a(t l
)
d
bn
cos
n at
l
anl
n a
sin
n at
l
.
令
Fn (t)
l
n
a
t 0
fn ( ) sin
n
a(t l
)
d
4l 2
(2m )3 a2
4l 2
(2m 1)3
(1 cos 2m at ),
l
3a2
[t
sin
(2m
1)
l
at
cos
(2m
v(x,t) x [ (t) (t)] (t).
l
l
令u(x,t) v(x,t) w(x,t),
wtt
a 2 wxx
vtt
a 2vxx
x l
[(t)
(t)]
(t),
则定解问题变为：w x0 w t0
0w , xl
(x) v t 0
(x)
x l
[
(0)
(0)]
(0),
wt
t 0
§8.3 非齐次边界条件旳齐次化处理
从之前的讨论中可知，除稳定场问题需部分非齐次边界来确定 叠加系数外，其它情况总是要求边界条件为齐次。这是分离变量 法的适用条件。这也是本征函数有解且解具有正交完备性的基本 要求。所以对于一些非齐次边界,我们总是想办法将其齐次化。
如果能将非齐次边界问题u转化为齐次边界问题w和一个较简单 函数v的叠加，即u = w +v，而函数v满足u的边界条件，这样 w满 足的边界即为齐次边界。其中函数v的选取具有一定的随机性， 有时要作多次尝试，而且其形式不唯一。
分离变量法非齐次边界条件的处理
物理学院 邓胜华
第 7 章 分离变量法
令 w(x,t) = A(t)x + B(t)
则 w(x, t) = h(t) − g(t) x + g(t) (7) l
(3) 求解 v (x, t)的定解问题
{ (1) − (3) →
v tt − a 2v xx = −(wtt − a 2wxx ) (8)
10/26/2015
DENG S.H
4/13
13:07:16
物理学院 邓胜华
第 7 章 分离变量法
四、例题 研究一端固定，一端按 sinωt 周期运动的弦运动。
utt − a2u= xx 0 , 0 < = u(0, t ) 0= , u(l, t )
x<l
sin ω t
(1) (2)
u( x, 0=) 0 , ut ( x, 0=) 0 , 0 < x < l (3)
13:07:14
物理学院 邓胜华
第 7 章 分离变量法
§7.3 非齐次边界条件的处理
Inhomogeneous boundary Conditions
已知对于齐次边界条件情形，可用本征函数法等求解。
utt = u
x=0
a2 =
uxx g(t
+ ),
f (x,t) , 0 < u = h(t)
x=l
v |x=0 = 0, v |x=l = 0
(9)
v v
|t = t |t
0 =
= ϕ( 0=ψ
x) (x
− w( x,0) ) − wt ( x,0)
(10)
§7.1,§7.2
(4) 定解问题（1）-（3）的解
数学物理方法-8.3非齐次边界条件的处理-精品文档
2 2 w a w ( v a v ) 0 tt xx tt x x
令：
v ( x , t ) X ( x ) sin t
X ' '
2
a
2
X 0
X ( 0 ) 0 ,
X ( l ) A
X ( x ) C cos( x / a ) D sin( x / a )
8.3 非齐次边界条件的处理
方法1 例
u au 0 tt xx
2
齐次方程
第一类 非齐次边界条件 非零初值
u ( x ,t)x ( t) 0
u (x ,t)x ( t) l
u t0 (x)
令
u t
t 0
(x)
u ( x , t ) v ( x , t ) w ( x , t )
u ( x ,t)x ( t) 0
第一类非齐次边界条件
( t ) ( t ) v ( x , t ) x ( t )
l
u (x ,t)x ( t) l
( t ) ( t ) w a w ( v a v ) [ x ( t )]"
w (x ,t) x00
w (x ,t) xl 0
w ( x ) v t 0 t 0
w ( x ) v tt 0 tt 0
8.3 非齐次边界条件的处理 例 弦的 x=0 端固定， x=l 端受迫在谐振动 Asinωt， 弦的初始位移和初始速度均为零，求弦的振动。 泛定方程
A sin( x /a ) . sin( l/a )
2 w a w 0 tt xx
n at n atn x w ( x , t ) ( A cos B sin ) sin . n n l l l n 1
非齐次边界条件齐次化的处理方法
非齐次边界条件齐次化的处理方法是一种处理非齐次边界条件的有效方法。
这种方法通过将非齐次边界条件转换为齐次边界条件来解决问题。
非齐次边界条件是指边界条件中含有非齐次项的情况，这种情况下，解决问题会变得更加复杂。
因此，将非齐次边界条件转换为齐次边界条件，可以极大地简化问题的解决过程。
非齐次边界条件齐次化的处理方法主要有以下几种：
1、增加自由度法。
这种方法的基本思想是在原有的自由度上增加新的自由度，从而将非齐次边界条件转换为齐次边界条件。
2、拉格朗日乘子法。
这种方法的基本思想是通过引入拉格朗日乘子，将非齐次边界条件转换为齐次边界条件。
3、变分法。
这种方法的基本思想是通过变分的方法，将非齐次边界条件转换为齐次边界条件。
4、积分变换法。
这种方法的基本思想是通过积分变换的方法，将非齐次边界条件转换为齐次边界条件。
非齐次边界条件齐次化的处理方法可以有效地解决非齐次边界条件带来的问题，并且可以简化问题的解决过程。
数学物理方法习题解答
习题解答
向安平
B xiangap@ xiangap@
成都信息工程学院光电技术系 2006 年 9 月 11 日
前 言
本书供电子科学与技术专业和光信息科学与技术专业《数学物理方法》课程教学使用． 本教学参考书仅供授权读者在计算机上阅读，不能编辑、拷贝和打印．经作者授权，可取消全 部限制． 在第一版中只收录了必要的试题，以后将增补习题的数量和类型，在每章增加内容小结和解题 方法讨论．欢迎读者提供建议． 作为本书的第一版，错误和排版差错在所难免，敬请读者指正．
§ 1.1 复数与复数运算
1. 下列式子在复平面上各具有怎样的意义? (1) | x |≤ 2. (2) | z − a |=| z − b | （a 、b为复常数）. (3) Rez > 1 2. (1) | x |≤ 2 解一：|z| = | x + iy| = 部． x2 + y2 ≤ 2，或 x2 + y2 ≤ 4．这是以原点为圆心而半径为2的圆及其内
z?az?bx?a12y?a22x?b12y?b22于是x?a12y?a22x?b12y?b22即2y?a2?b2b2?a22x?a1?b1a1?b1y?a2b22x?a1b12a1?b1b2?a22a2b2这是一条直线是一条过点a和点b连线的中点a1b12且与该直线垂直的直线
数 学 物 理 方 法
解二：按照模的几何意义，|z|是复数z = x + iy与原点间的距离，若此距离总是≤ 2，即表示 以原点为圆心而半径为2的圆内部． (2) |z − a| = |z − b| ( a、b为复常数)． 解一：设z = x + iy, z = a1 + ia2 , b = b1 + ib2 ； ( x − a1 )2 + (y − a2 )2 , ( x − b1 )2 + (y − b2 )2 ,
非齐次边界条件齐次化
而v（x,t）满足
vtt a vxx f ( x, t ) wtt a wxx
2 2
v(0, t ) v(l , t ) 0 v( x,0) ( x) w ( x,0) vt ( x,0) ( x) wt ( x,0) ••••••
（8.4.5）
利用§8.3可求得v(x,t)，与w(x,t)迭加起来就 是原问题的解。选取w(x,t)的方法很多，最简单 是设w(x,t)是x的线性函数
2
w(x,t)满足非齐次边界条件 w w x 0 (t ), x l (t ) x x 而v(x,t)是下面定解问题的解
vtt a u xx f ( x, t ) wtt a wxx
2 2
vx (0, t ) 0, vx (l , t ) 0 x v( x,0) ( x) x (0) ( (0) (0)) 2l x2 vt ( x,0) ( x) x (0) ( (0) (0))•••• 2l
2
（8.4.9）
8.4.3第三类边界条件
utt a 2u xx f ( x, t ) u ( hu) x 0 (t ) x u ( hu) x l (t ) • • • • • • • x u t 0 ( x)
ut
t 0
(8.4.10)
( x) • • • • • •
设
u( x, t ) v( x, t ) w( x, t )
式中w(x,t)满足边界条件，可设它为x的二次函数
w( x, t ) x A(t ) xB(t )• • • •
2
注意
w hw 2 xA(t ) B(t ) hx2 A(t ) hxB(t ) x 2 hx A(t ) (2 A(t ) hB(t ))x B(t ) • • • • • •
vtt a vxx f ( x, t ) wtt a wxx
2 2
v(0, t ) v(l , t ) 0 v( x,0) ( x) w ( x,0) vt ( x,0) ( x) wt ( x,0) ••••••
（8.4.5）
利用§8.3可求得v(x,t)，与w(x,t)迭加起来就 是原问题的解。选取w(x,t)的方法很多，最简单 是设w(x,t)是x的线性函数
2
w(x,t)满足非齐次边界条件 w w x 0 (t ), x l (t ) x x 而v(x,t)是下面定解问题的解
vtt a u xx f ( x, t ) wtt a wxx
2 2
vx (0, t ) 0, vx (l , t ) 0 x v( x,0) ( x) x (0) ( (0) (0)) 2l x2 vt ( x,0) ( x) x (0) ( (0) (0))•••• 2l
2
（8.4.9）
8.4.3第三类边界条件
utt a 2u xx f ( x, t ) u ( hu) x 0 (t ) x u ( hu) x l (t ) • • • • • • • x u t 0 ( x)
ut
t 0
(8.4.10)
( x) • • • • • •
设
u( x, t ) v( x, t ) w( x, t )
式中w(x,t)满足边界条件，可设它为x的二次函数
w( x, t ) x A(t ) xB(t )• • • •
2
注意
w hw 2 xA(t ) B(t ) hx2 A(t ) hxB(t ) x 2 hx A(t ) (2 A(t ) hB(t ))x B(t ) • • • • • •
第八章 非齐次边界条件处理(3节).
§8.3非齐次边界条件的处理
本节中心内容
非齐次边界转化为齐次边界的问题；
本节基本要求
掌握非齐次边界齐次化的方法 着重掌握求解四种非齐次边界问题的解题思 路、解题步骤。 掌握求解非齐次边界问题的特殊方法
以前处理方程都是对齐次边界条件，而生活实践中大多数 是对于非齐次边界条件如何处理？ 一般处理方法是要经过 代换转换为齐次的。
2 0 1 ( 0 0 ) l l
l
2 Cn { 0 ( x) ( x 0) 0 ( x) [ x (l o)]} l 0 n x con dx l 2 2 n [ 0 0 cos n ] 0 [1 () ] l l 0 (n为奇数) 4 0 （n为偶数, n 2k , k 1, 2,3,...） l
四、
X ( x) X ( x) 0 X (0) 0 X (l ) 0
1 n 2 x (n 0,1, 2,) X n ( x) Cnco s l
其本征值和本征函数分别为
1 2 2 (n ) 2 l2
五、
( ) ( ) 0 ( 2 ) ( )
一、齐次化的一般方法：
1、第一种边界条件：
x 0 , x l两端都是第二类
非齐次边界条件
utt a 2u xx 0
u x0 (t ), u xl (t )
u
y 0
( x), u t
t 0
( x)
此时，边界条件为非齐次的。选取一个函数
v( x, t )
( x ) t
t 0
尽管
的方程一般是非齐次的， w( x, t )
u(t ) u xl (t )
本节中心内容
非齐次边界转化为齐次边界的问题；
本节基本要求
掌握非齐次边界齐次化的方法 着重掌握求解四种非齐次边界问题的解题思 路、解题步骤。 掌握求解非齐次边界问题的特殊方法
以前处理方程都是对齐次边界条件，而生活实践中大多数 是对于非齐次边界条件如何处理？ 一般处理方法是要经过 代换转换为齐次的。
2 0 1 ( 0 0 ) l l
l
2 Cn { 0 ( x) ( x 0) 0 ( x) [ x (l o)]} l 0 n x con dx l 2 2 n [ 0 0 cos n ] 0 [1 () ] l l 0 (n为奇数) 4 0 （n为偶数, n 2k , k 1, 2,3,...） l
四、
X ( x) X ( x) 0 X (0) 0 X (l ) 0
1 n 2 x (n 0,1, 2,) X n ( x) Cnco s l
其本征值和本征函数分别为
1 2 2 (n ) 2 l2
五、
( ) ( ) 0 ( 2 ) ( )
一、齐次化的一般方法：
1、第一种边界条件：
x 0 , x l两端都是第二类
非齐次边界条件
utt a 2u xx 0
u x0 (t ), u xl (t )
u
y 0
( x), u t
t 0
( x)
此时，边界条件为非齐次的。选取一个函数
v( x, t )
( x ) t
t 0
尽管
的方程一般是非齐次的， w( x, t )
u(t ) u xl (t )
第3节(非齐次边界条件的处理)
自由振动问题
utt a 2u xx 0 u | x 0 (t ), u | x l (t ) u |t 0 ( x), ut |t 0 ( x)
非齐次边界条件
选取函数v（x，t）使其满足非齐次边界条件，不妨取
2
v( x, t ) A(t ) x B(t )
第三节 非齐次边界条件的处理
在前边的讨论中，不管是齐次泛定方程还是非齐次泛定 方程他们定解问题中的解法有个前提：边界条件是齐次的！ 但在实际应用中，常有非齐次边界条件，此时由于定解
1
问题是线性的，处理的原则是利用叠加原理，把非齐次边界 条件化为另一未知函数的齐次边界条件问题。
（一）一般处理方法 例1
即特解有分离变数的形式：
v( x, t ) X ( x) sin t
X ( x) C cos(x / a) D sin(x / a)
将上式代入常微分方程的条件 X (0) 0, X (l ) A 可得 X ( x) [ A sin(l / a)]sin(x / a)
而此定解问题为齐次方程，齐次边界条件，可分离变数求解！
na na n t Bn sin t ) sin x 即 w( x, t ) ( An cos l l l n 0
6
其中系数An，Bn可计算得：An 0
2 t sin( / a) n Bn A sin d 0 na sin(l / a) l
所以可得一般解：
sin(x / a) u ( x, t ) A sin t sin(l / a) 2 A 1 nat nx sin sin 2 2 2 2 2 al n 1 / a n / l l l
88
utt a 2u xx 0 u | x 0 (t ), u | x l (t ) u |t 0 ( x), ut |t 0 ( x)
非齐次边界条件
选取函数v（x，t）使其满足非齐次边界条件，不妨取
2
v( x, t ) A(t ) x B(t )
第三节 非齐次边界条件的处理
在前边的讨论中，不管是齐次泛定方程还是非齐次泛定 方程他们定解问题中的解法有个前提：边界条件是齐次的！ 但在实际应用中，常有非齐次边界条件，此时由于定解
1
问题是线性的，处理的原则是利用叠加原理，把非齐次边界 条件化为另一未知函数的齐次边界条件问题。
（一）一般处理方法 例1
即特解有分离变数的形式：
v( x, t ) X ( x) sin t
X ( x) C cos(x / a) D sin(x / a)
将上式代入常微分方程的条件 X (0) 0, X (l ) A 可得 X ( x) [ A sin(l / a)]sin(x / a)
而此定解问题为齐次方程，齐次边界条件，可分离变数求解！
na na n t Bn sin t ) sin x 即 w( x, t ) ( An cos l l l n 0
6
其中系数An，Bn可计算得：An 0
2 t sin( / a) n Bn A sin d 0 na sin(l / a) l
所以可得一般解：
sin(x / a) u ( x, t ) A sin t sin(l / a) 2 A 1 nat nx sin sin 2 2 2 2 2 al n 1 / a n / l l l
88
3.3 非齐次边界条件的处理
令 v v I v II，且满足
I I vtt a 2vxx 0 分离变量法求解 I I v (0, t ) 0, v (l , t ) 0 v I ( x, 0) ( x) w( x, 0), v I ( x, 0) ( x) w ( x, 0) t t II II vtt a 2vxx a 2 wxx wtt II II v (0, t ) 0, v (l , t ) 0 v II ( x, 0) 0, v II ( x, 0) 0 t
接下来令 v v I v II，使得v I具有齐次的方程和非齐次的初始 条件，v II具有非齐次的方程和齐次的初始条件。用分离变量 法求v I，用冲量原理法或本征函数法求解v II，最终 u ( x, t ) w( x, t ) v I ( x, t ) v II ( x, t ) 。
冲量原理法或本征 函数法求解
说明：边界条件的齐次化，一般将导致方程的非齐次化和初 始条件的复杂化，但这是必须的！没法子啊！
例1 试研究一端固定，一端作周期运动 sin t 的弦振动。
utt a 2uxx 0 u (0, t ) 0, u (l , t ) sin t u ( x, 0) u ( x, 0) 0 t
2l nπat nπx 解得 v ( x, t ) (1) siБайду номын сангаас sin 2 a(nπ) l l n 1
2 l sin t sin nt sin t sin nt nπx II n 1 v ( x, t ) (1) sin 2 a ( nπ ) n n l n 1
则 v |x 0 0, v |x l 0.
I I vtt a 2vxx 0 分离变量法求解 I I v (0, t ) 0, v (l , t ) 0 v I ( x, 0) ( x) w( x, 0), v I ( x, 0) ( x) w ( x, 0) t t II II vtt a 2vxx a 2 wxx wtt II II v (0, t ) 0, v (l , t ) 0 v II ( x, 0) 0, v II ( x, 0) 0 t
接下来令 v v I v II，使得v I具有齐次的方程和非齐次的初始 条件，v II具有非齐次的方程和齐次的初始条件。用分离变量 法求v I，用冲量原理法或本征函数法求解v II，最终 u ( x, t ) w( x, t ) v I ( x, t ) v II ( x, t ) 。
冲量原理法或本征 函数法求解
说明：边界条件的齐次化，一般将导致方程的非齐次化和初 始条件的复杂化，但这是必须的！没法子啊！
例1 试研究一端固定，一端作周期运动 sin t 的弦振动。
utt a 2uxx 0 u (0, t ) 0, u (l , t ) sin t u ( x, 0) u ( x, 0) 0 t
2l nπat nπx 解得 v ( x, t ) (1) siБайду номын сангаас sin 2 a(nπ) l l n 1
2 l sin t sin nt sin t sin nt nπx II n 1 v ( x, t ) (1) sin 2 a ( nπ ) n n l n 1
则 v |x 0 0, v |x l 0.
第八章第三节 非齐次边界条件的处理
0 vtt a 2vxx
t t x2 tx a2 t t
2l
l
wx x0 0, wx xl 0
w x 0 0 x2 0x
t0
2l
wt
t0
x
0 0
2l
x2
0x
2009年5月7日
补充练习：
将下面非齐次边界条件的问题转变为齐次边界条件的定解问题
ut a2uxx 0 x l,t 0 ux 0,t w1t,ux l,t w2t ux,0 x
l l
xdx 2 A
n
Tn
n2 2a2
l2
Tn
Fn
2A
n
根据
dy Pxy Qx
dx
y Ce Pxdx e Pxdx Q x e Pxdxdx
得:
Tn t
B e
n2 2a
l2
2
t
n
2Al2
n3 3a2
代入w(x,t)得
w x,t
Bne
n
2 2a2
l2
t
n1
2 Al2
由此确定 X x A sinl asinx a,从而
vx, t
A
sin l
sin
x
a
sin t....8.3.17
a
令ux,t vx,t wx,t....... 8.3.18
将(8.3.17),(8.3.18)代入(8.3.11)~(8.3.13)
wtt a 2 wxx vtt a 2 vxx 0...8.3.19
w 60 t 0
应用傅里叶级数法求解w(x,t)—非齐次项不含t，不宜用冲量定
理法。
wx,t
Tn tsin
8 3非齐次边界条件的处理
Wuhan University
⎧ 五、思考⎪u xx + u yy = 0 , 0 < x < a ,0 < y < b ⎪ ⎨u ( 0 , y ) = b − y , u ( a , y ) = 0 ⎪ π ⎪u ( x ,0 ) = h sin x , u ( x , b ) = 0 a ⎩ 法三： 令 u ( x , t ) = v ( x , t ) + w ( x , t )
§8.3 非齐次边界条件的处理
Inhomogeneous boundary Conditions
Wuhan University
8.3 非齐次边界条件的处理
一、定解问题：
⎧ u tt − a u xx = 0 , 0 < x < l , t > 0 (1) ⎪ (2) ⎨u | x = 0 = g ( t ), u | x = l = h (t ) ⎪ u | = ϕ ( x ), u | = ψ ( x ) ( 3) t =0 t t =0 ⎩
(1 ) − ( 3 ) →
vtt − a 2 v xx = − ( wtt − a 2 w xx ) (8) v | x = 0 = 0, v | x = l = 0 (9 ) v |t = 0 = ϕ ( x ) − w ( x , 0 ) ⎫ ⎬ (10 ) vt |t = 0 = ψ ( x ) − wt ( x ,0 ) ⎭
nπ x ④ 令 v ( x, t ) = ∑ Tn (t ) sin l n =1 ⎧∞ nπx ω2 (anπ )2 = x sinωt ⎪∑[Tn′′(t ) + 2 Tn (t )]sin
∞ II
8.3 非齐次边界条件的处理
⎧ 五、思考⎪u xx + u yy = 0 , 0 < x < a ,0 < y < b ⎪ ⎨u ( 0 , y ) = b − y , u ( a , y ) = 0 ⎪ π ⎪u ( x ,0 ) = h sin x , u ( x , b ) = 0 a ⎩ 法三： 令 u ( x , t ) = v ( x , t ) + w ( x , t )
§8.3 非齐次边界条件的处理
Inhomogeneous boundary Conditions
Wuhan University
8.3 非齐次边界条件的处理
一、定解问题：
⎧ u tt − a u xx = 0 , 0 < x < l , t > 0 (1) ⎪ (2) ⎨u | x = 0 = g ( t ), u | x = l = h (t ) ⎪ u | = ϕ ( x ), u | = ψ ( x ) ( 3) t =0 t t =0 ⎩
(1 ) − ( 3 ) →
vtt − a 2 v xx = − ( wtt − a 2 w xx ) (8) v | x = 0 = 0, v | x = l = 0 (9 ) v |t = 0 = ϕ ( x ) − w ( x , 0 ) ⎫ ⎬ (10 ) vt |t = 0 = ψ ( x ) − wt ( x ,0 ) ⎭
nπ x ④ 令 v ( x, t ) = ∑ Tn (t ) sin l n =1 ⎧∞ nπx ω2 (anπ )2 = x sinωt ⎪∑[Tn′′(t ) + 2 Tn (t )]sin
∞ II
8.3 非齐次边界条件的处理
数理方程与特殊函数8非齐次边界条件定界问题的解
Vx0 0,uxL0
Vt0 1(x)V , t t0 1(x)
其中 f1(x, t) = f(x, t) – Wtt(x, t)
1 (x ) (x ) W (x ,0 )1(x) (x) W t(x ,0 )
8/13
例1(P. 73)
u u
tt x
0
a 2 u xx 0, u
A
xL
B
u t 0 0, u t t 0 0
3. 为什么边界条件齐次化方法中的特殊函数是关于 x的线性函数？
4. 边界条件齐次化方法中的特殊函数是否是方程的 特解？
习题3. 6：2，3
《数学物理方程》第三章§6
非齐次方程齐次化例子 非齐次边界条件处理 边界条件齐次化例子
u tt a 2 u x xA co L x ssit,n 0 x L ,t 0
ux x0 0,ux xL 0
ut0 0,ut t0 0
将问题分解, 使u(x,t)= V+ W
WCcosxsint CA/[(a)22]
7/13
由: u(x, t) = V(x, t ) + W(x, t),求导数得
utt= Vtt+ Wtt , uxx = Vxx, 代入方程 得 , Vtt+ Wtt = a2 Vxx + f(x , t) 即, Vtt = a2 Vxx + [f(x , t) –Wtt ]
Vtt a2Vxxf1(x,t),0xL,t0
utt a2uxxf(x,t),0xL,t0
ux0 1(t),uxL2(t) ut0 (x),ut t0 (x)
边界条件的齐次化方法
1 (t )
构造特殊函数 W(x,t) 使
Vt0 1(x)V , t t0 1(x)
其中 f1(x, t) = f(x, t) – Wtt(x, t)
1 (x ) (x ) W (x ,0 )1(x) (x) W t(x ,0 )
8/13
例1(P. 73)
u u
tt x
0
a 2 u xx 0, u
A
xL
B
u t 0 0, u t t 0 0
3. 为什么边界条件齐次化方法中的特殊函数是关于 x的线性函数？
4. 边界条件齐次化方法中的特殊函数是否是方程的 特解？
习题3. 6：2，3
《数学物理方程》第三章§6
非齐次方程齐次化例子 非齐次边界条件处理 边界条件齐次化例子
u tt a 2 u x xA co L x ssit,n 0 x L ,t 0
ux x0 0,ux xL 0
ut0 0,ut t0 0
将问题分解, 使u(x,t)= V+ W
WCcosxsint CA/[(a)22]
7/13
由: u(x, t) = V(x, t ) + W(x, t),求导数得
utt= Vtt+ Wtt , uxx = Vxx, 代入方程 得 , Vtt+ Wtt = a2 Vxx + f(x , t) 即, Vtt = a2 Vxx + [f(x , t) –Wtt ]
Vtt a2Vxxf1(x,t),0xL,t0
utt a2uxxf(x,t),0xL,t0
ux0 1(t),uxL2(t) ut0 (x),ut t0 (x)
边界条件的齐次化方法
1 (t )
构造特殊函数 W(x,t) 使
数理方程特殊函数非齐次边界条件定解问题求解
通过比较系数得：
B0
0
b
A0 B0 Lna 1
A2a 2 B2a 2 a 4
u2
(t) u1 L
(t)
x
1( x)
(x)
u1 (0)
u2 (0)
L
u1 (0)
x
1
(
x
)
( x) u1
(0)
u2
(0) u1 L
(0)
x
(**)属于齐次边界条件下的非齐次方程定解问题，可用齐次化原理或级 数法进一步求解！
注：上面定解问题边界条件是第一类的，如果是其它情形，只需恰当设 置待定多项式的形式，也可以求出需要的W(x,t),具体过程如下：
可将其分解为：
2V Vtx20
a2 V
2V x2 , (0 xL 0
x
L, t
0)
V
t0
W (x), V t
t0 0
a2W (x) A 0 W x0 0,W xL B
于是得：
W (x)
A 2a 2
x2
AL 2a 2
B x L
19
由分离变量得一般解为：
V (x,t)
n1
u2
(t) u1(t) 2L
x2
10
(4)、若边界条件为：
u 1ux x0 u1(t),u 2ux xL u2 (t)
作代换： u(x, t) V (x, t) W (x, t)
得W(x,t)需要满足的条件为：
W 1Wx x0 u1(t),W 2Wx xL u2 (t)
可令： W (x,t) A(t)x2 B(t)x
V
x t0 W (x) 3(1 l ),Vt
ew6
2
w 0, t 0, w l , t 0
sin x / a w x, 0 0, wt x, 0 A sin l / a
往下略
解：由非齐次边界条件的形式可设：
ห้องสมุดไป่ตู้
v( x, t ) X ( x)sin t
从而有
v( x, t )
由
A sin
l
a
sin
x
a
sin t
utt a uxx 0, 0 x l , t 0
2
u( x, t ) v( x, t ) w( x, t ) 可得：
wtt a wxx 0, 0 x l , t 0
以上的问题就归结为前节的问题了
注：两边都是第二类边界条件时该取为 vt x, t At x Bt
,也即我们上节课的特解法：
方程和边界条件同时齐次化！
例：求定解问题
utt a uxx 0, 0 x l , t 0
2
u 0, t 0, u l , t A sin t u x, 0 ut x, 0 0
l
x
经此代换，得到关于 wx, t 的定解问题为：
wtt a wxx f x, t
2
w0, t wl , t 0
w x,0 x , wt x,0 x
其中， f x, t
x x
§8.3非齐次边界条件的齐次化
原因在于：
为了利用分离变量法和本征函数法，对 于实际问题中带有非齐次的边界条件， 我们就得把边界条件齐次化！
下面举例说明
这样的曲线当然有无穷多种，根据实 际运算的简便起见，就取为直线：
w 0, t 0, w l , t 0
sin x / a w x, 0 0, wt x, 0 A sin l / a
往下略
解：由非齐次边界条件的形式可设：
ห้องสมุดไป่ตู้
v( x, t ) X ( x)sin t
从而有
v( x, t )
由
A sin
l
a
sin
x
a
sin t
utt a uxx 0, 0 x l , t 0
2
u( x, t ) v( x, t ) w( x, t ) 可得：
wtt a wxx 0, 0 x l , t 0
以上的问题就归结为前节的问题了
注：两边都是第二类边界条件时该取为 vt x, t At x Bt
,也即我们上节课的特解法：
方程和边界条件同时齐次化！
例：求定解问题
utt a uxx 0, 0 x l , t 0
2
u 0, t 0, u l , t A sin t u x, 0 ut x, 0 0
l
x
经此代换，得到关于 wx, t 的定解问题为：
wtt a wxx f x, t
2
w0, t wl , t 0
w x,0 x , wt x,0 x
其中， f x, t
x x
§8.3非齐次边界条件的齐次化
原因在于：
为了利用分离变量法和本征函数法，对 于实际问题中带有非齐次的边界条件， 我们就得把边界条件齐次化！
下面举例说明
这样的曲线当然有无穷多种，根据实 际运算的简便起见，就取为直线：
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wtt a2 wxx (vtt a2vxx ) 0
v ( x, t ) A sin(x / a) sin t sin(l / a)
vtt a 2vxx 0
v( x, t ) x0 0 v( x, t ) xl Asin t
v t 0 0
w( x, t ) x0 0
u( x, t ) x0 (t )
第一类非齐次边界条件
v ( x, t )
(t ) (t )
l
x (t )
u( x, t ) xl (t )
wtt a 2 wxx (vtt a 2 v xx ) [ wtt a wxx (vtt a vxx )
2 2
(t ) (t )
l l
x (t )]" x " (t )
" (t ) " (t )
wtt a wxx
2
" (t ) " (t )
l
w( x, t ) xl 0
x " (t )
非齐次方程 齐次边界条件
w( x, t ) x0 0
w t 0 ( x) v t 0
wt
t 0
( x) vt
t 0
8.3 非齐次边界条件的处理 例 弦的 x=0 端固定， x=l 端受迫在谐振动 Asinωt， 弦的初始位移和初始速度均为零，求弦的振动。 泛定方程
解
utt a 2uxx 0
u( x, t ) xl Asin t
令：
v( x, t ) X ( x) sin t
X ' '
2
a
2
X 0
X (0) 0,
X (l ) A
X ( x) C cos(x / a) D sin(x / a)
X (0) 0
X (l ) A
C 0
D A / sin(l / a)
A v ( x, t ) sin(x / a) sin t sin(l / a)
初始条件： 系数
An 0
l
2 A sin( / a) n Bn sin d na sin( l / a ) l 0
2A n sin( / a ) sin d na sin(l / a) l 0
l
( ) n
2A 1 la 2 / a 2 (n ) 2 / l 2
w( x, t )
u t 0 0
ut
t 0
0.
满足非齐次边界条件 满足 设 齐次边界条件
非齐次方程 初始条件为零
v( x, t ) ( A sin t ) x / l
w( x, t ) x0 0
v( x, t ) x0 0 v( x, t ) xl A sin t
w( x, t ) xl 0
vt
t 0
A sin(x / a) sin(l / a)
w t 0 0
wt
t 0
A sin(x / a) . sin(l / a)
wtt a 2 wxx 0
w( x, t ) ( An cos
n 1
nat nat nx Bn sin ) sin . l l l
w( x, t ) xl 0
wt
t 0
v t 0 0
vt
t 0
0.
w t 0 0
0.
wtt a2 wxx (vtt a2vxx ) ( Asin t ) 2 x / l
方法2
求齐次边界条件的齐次方程 （初始位移或速度不为零）。
wtt a2 wxx (vtt a2vxx ) 0
8.3 非齐次边界条件的处理
方法1 例
utt a 2uxx 0
u( x, t ) x0 (t )
齐次方程
第一类 非齐次边界条件 非零初值
u( x, t ) xl (t )
u t 0 ( x)
令
ut
t 0
( x)
u( x, t ) v( x, t ) w( x, t )
u ( x, t )
A sin(x / a) sin t sin(l / a) 2 A 1 nat nx sin sin al n 1 2 n 2 2 l l a2 l2
u( x, t ) x0 0
Hale Waihona Puke u t 0 0ut
t 0
0.
源（在边界上）
utt a 2uxx 0
u( x, t ) x0 0
u( x, t ) xl Asin t
方法1 基本想法 u( x, t ) v( x, t ) w( x, t ) 设定 待求
v( x, t )