锐角三角函数的解题技巧

解：
在矩形中AB=DC=4，
∠2＋∠α=90°
又DE⊥AC，
∠1＋∠2=90°
∴∠1=∠α
点评：注意把条件集中到一起．
例9.如图，点A是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，现要在B、C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通，经测得∠ABC=45o，∠ACB=30o，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。
解：如图，设BC=3m，则AB=5m，
(2)如图所示，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则sin∠ABD的值是（ ）
分析：
因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°．因为BC=6，AC=8，所以AB=10．因为∠ABD=∠ACD=∠ABC，所以在Rt△ACB中， 故正确答案为D．
(二)同角的三角函数之间的关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α=1
(2)商数关系：
（三）两角的关系
任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，任意锐角的正切值与它的余角的正切值的积等于1．即若A+B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1．
图4
参考数据：
分析：（1）由图可知 是直角三角形，于是由勾股定理可求。
（2）利用三角函数的概念即求。
解：设需要t小时才能追上。
则
（1）在 中， ，
则 （负值舍去）故需要1小时才能追上。
（2）在 中
即巡逻艇沿北偏东 方向追赶。
例20.如图5，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有平整地带，该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H，可供使用的测量工具有皮尺，测倾器。
例13在 中， ，那么cotB等于（）
分析：在 中，已知tanA，求cotB可利用互余角的三角函数关系求解，应选C。
例14已知 为锐角，下列结论：
<2>如果 ，那么
<3>如果 ，那么 <4>
正确的有（）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
分析：利用三角函数的增减性和有界性即可求解。
解：由于 为锐角知<1>不成立
解：
例11.如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带，该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H，可供使用的测量工具有皮尺、测倾器。
（1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案。具体要求如下：测量数据尽可能少，在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示；如果测角，用α、β、γ表示）。
(四)特殊锐角的三角函数值
0°
30°
45°
60°
90°
sinA
0
1
cosA
1
0
tanA
0
1
—
(五)锐角三角函数值解法
1、用计算器
求整数度数的锐角三角函数值．
在计算器的面板上涉及三角函数的键有 和 键，当我们计算整数度数的某三角函数值时，可先按这三个键之一，然后再从高位向低位按出表示度数的整数，然后按 ，则屏幕上就会显示出结果．
(5)0＜sinA＜1，0＜cosA＜1
2、同名三角函数值的变化规律
当角α在0°～90°间变化时，它的正切和正弦三角函数值随着角度的增大而增大；余弦三角函数值随着角度的增大而减少．
三、解题方法技巧点拨
1、求锐角三角函数的值
例1、(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，若 ，求cosB，tanB的值．
分析：本题主要考查锐角三角函数的定义，结合图形求解可化繁为简，迅速得解．
4、已知三角函数值求角
对于非特殊角可用计算器求角，若是特殊角的三角函数值则可以直接得角度．
例如：已知cosα=0.5237，求锐角α．
解：
按键 ，再依次按键 ．
则屏幕上显示结果为58.41923095．
例5、求适合下列各式的锐角α．
点拨：所有锐角三角函数值都是正数，而且正弦和余弦值都不大于1，不符合条件的三角函数值应舍去．
例如：计算sin44°．
解：
按键 ，再依次按键 ．
则屏幕上显示结果为0.69465837．
求非整数度数的锐角三角函数值．
若度数的单位是用度、分、秒表示的，在用计算器计算三角函数值时，同样先按 和 三个键之一，然后再依次按度 分 秒 键，然后按 键，则屏幕上就会显示出结果．
2、已知三角函数值，用计算器求角度
（2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG（用字母表示，测倾器高度忽略不计）。
解：（1）在A处放置测倾器，测得点H的仰角为α
在B处放置测倾器，测得点H的仰角为β
例12.某一时刻，一架飞机在海面上空C点处观测到一人在海岸A点处钓鱼。从C点处测得A的俯角为45o；同一时刻，从A点处测得飞机在水中影子的俯角为60o。已知海岸的高度为4米，求此时钓鱼的人和飞机之间的距离（结果保留整数）。
图5
（1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案，具体要求如下：<1>测量数据尽可能少；<2>在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示；如果测角，用 等表示，测倾器高度不计）。
（2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG（用字母表示）。
锐角三角函数的解题技巧
一、知识点回忆
(一)锐角的三角函数的意义
1、正切
在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比，叫做∠A的正切，记作tanA．
2、正弦和余弦
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即
3、三角函数：在直角三角形中，锐角A的正切(tanA)、正弦(sinA)、余弦(cosA)，都叫做∠A的三角函数．
（2）依据购买量判断，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由。
4.某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨1/3，小利家去年12月的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元。已知小利家今年7月的用水量比去年12月份的用水量多5立方米，求该市今年居民的用水价格。
解：由
例18.如图3，沿AC方向开山修路，为了加快施工速度，要在小山的另一边同时施工。从AC上的一点B，取 米， 。要使A、C、E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是（）
A. 米B. 米
C. 米D. 米
图3
分析：在 中可用三角函数求得DE长。
解： A、C、E成一直线
在 中，
米，
米，故应选B。
例19.人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置O点的正北方向10海里处的A点有一涉嫌走私船只正以24海里/小时的速度向正东方向航行。为迅速实验检查，巡逻艇调整好航向，以26海里/小时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问（1）需要几小时才能追上？（点B为追上时的位置）（2）确定巡逻艇的追赶方向（精确到 ）（如图4）
二、重点难点疑点突破
1、（1）sinA和cosA都是一个整体符号，不能看成sin·A或cos·A．
(2) 是一个比值，没有单位，只与角的大小有关，而与三角形的大小无关．
(3)sinA＋sinB≠sin(A＋B)sinA·sinB≠sin(AB)
(4)sin2A表示(sinA)2，cos2A=(cosA)2
分析：本题实际是一道图形设计和数据的测量计算，依题意可有几种方案。如测三个数据、测四个数据、测五个数据等。但又要使测得的数据尽可能少，于是以三个数据为例。
解：如图5（1）测三个数据。
（2）设
在 中， 在 中，
，即
同步练习：
1.测量底部不可以到达的物体的高度，可以按下列步骤进行：（如图所示，以测量MN的高度为例）
例7、如图所示．在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠D=∠B=90°，求此四边形ABCD的面积．
分析：
由已知∠B=90°，∠A=60°这两个条件想到延长BC，AD，使它们相交，构成直角三角形．
例8、在矩形ABCD中DE⊥AC于E，设∠ADE=α，且 ，AB=4，求AD．
分析：
在矩形中AB=DC=4，可证∠α=∠1，于是条件转移到△DCE中来了，求出DE．
3.某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者，果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案。甲方案：每千克9元，由基地送货上门。乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回。已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元。
（1）分别写出该公司两种购买方案的付款y（元）与所购买的水果质量x（千克）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。
①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角 。
②在测点A与物体之间的B处安置测倾器（A、B与N在一条直线上），测得此时M的仰角 。
③量出测倾器的高度 ，以及测点
A、B之间的距离AB=b。
（1）根据测量数据，你能求出物体MN的高度吗？
说说你的理由。
（2）若 ，
试计算MN的高度。
2.公路MN和公路PQ在点P处交汇，且 ，点A处有一所中学，AP=160m，一辆拖拉机以3.6km/h的速度在公路MN上沿PN方向行驶，假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受噪声影响，那么，学校是否会受到噪声影响？如果不受影响，请说明理由；如果受影响，会受影响几分钟？
解：
点评：
学过锐角三角函数后，特殊角的三角函数的计算是常考不衰的内容，做这类题主要分两步：(一)代入；(二)计算．因此，特殊角的三角函数值必须牢记．