人教版高中数学必修四 1.4.3正切函数的性质与图像

一、选择题 1．函数y ＝log 12tan x 的定义域是( )

A ．{x |0

} B ．{x |2k π

＋2k π，k ∈Z} C ．{x |k π

＋k π，k ∈Z} D ．{x |－π2＋2k π

＋k π，k ∈Z} 解析：由log 12

tan x ≥0，知0

2．函数y ＝tan(cos x )的值域是( )

A ．[－π4，π4]

B ．[－22，22]

C ．[－tan 1，tan 1]

D ．以上均不对

解析：∵－1≤cos x ≤1，且函数y ＝tan x 在[－1,1]上为增函数，∴tan(－1)≤tan x ≤tan 1.

即－tan 1≤tan x ≤tan 1.

答案：C

3．函数y ＝cos x ·|tan x |⎝⎛⎭

⎫－π2

解析：当－π2

时，y ＝sin x ； x ＝0时，y ＝0.

图像为C.

答案：C

4．下列图形分别是①y ＝|tan x |；②y ＝tan x ；③y ＝tan(－x )；④y ＝tan |x |在x ∈(－3π2

，3π2

)内的大致图像，那么由a 到d 对应的函数关系式应是( )

A ．①②③④

B ．①③④②

C ．③②④①

D ．①②④③

解析：y ＝tan(－x )＝－tan x 在(－π2，π2

)上是减函数，只有图像d 符合，即d 对应③. 答案：D

二、填空题

5．满足tan(x ＋π3

)≥－3的x 的集合是________． 解析：由k π－π3≤x ＋π3＜π2

＋k π，k ∈Z ，解得 k π－2π3≤x ＜k π＋π6

，k ∈Z. 答案：{x |k π－2π3≤x ＜k π＋π6

，k ∈Z} 6．若y ＝tan(2x ＋θ)图像的一个对称中心为(π3，0)，若－π2<θ<π2

，则θ的值是________． 解析：由x ＝π3时2x ＋θ＝k π2

，得 2×π3＋θ＝k π2，∴θ＝k π2－23

π(k ∈Z)． 又θ∈(－π2，π2)，∴θ＝－π6或π3. 答案：－π6或π3

7．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图像的相邻两支截直线y ＝1所得线段长为π4，则f (π12

)的值是________．

解析：由题意知π4

＝πω，∴ω＝4. ∴f (π12)＝tan π3

＝ 3.

答案： 3

8．已知函数y ＝2tan(2x ＋φ)是奇函数，则φ＝________. 解析：∵函数为奇函数，故φ＝k π(k ∈Z)．

答案：k π(k ∈Z)

三、解答题

9．利用函数图像解不等式－1≤tan x ≤33

. 解：作出函数y ＝tan x ，x ∈(－π2，π2

)的图像，如图所示．观察图像可得： 在(－π2，π2)内，自变量x 应满足－π4≤x ≤π6

， 由正切函数的周期性可知，不等式的解集为

{x |－π4＋k π≤x ≤π6

＋k π，k ∈Z}． 10．若x ∈[－π3，π4]，求函数y ＝1cos 2x

＋2tan x ＋1的最值及相应的x 值． 解：y ＝1cos 2x

＋2tan x ＋1 ＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x

＋2tan x ＋1 ＝tan 2x ＋2tan x ＋2

＝(tan x ＋1)2＋1.

∵x ∈[－π3，π4

]，∴tan x ∈[－3，1]． 故当tan x ＝－1，即x ＝－π4

时，y 取最小值1； 当tan x ＝1，即x ＝π4

时，y 取最大值5.