概率论-南京大学教程

Sol.
n j Ckj Cm k P P ( m) n Cm
p ( m) ~ m
n j n 2 Ckj Cm / C p ( m) m km nm kn k m j n j 2 1 n p (m 1) Ck Cm 1 k / Cm 1 m km nm jm
第一部分
概率论基础
Ch1. 概率论的基本概念
§1.1
随机事件
人们在实践活动中所遇到的现象一般来说可分 为两类： 一类是必然现象，或称确定现象； 一类是随机现象，或称不确定现象。
随机现象
随机现象是指在相同条件下重复试验，所得的结果不一定 相同的现象，即试验结果是不确定的现象；对这种现象来 说，在每次试验之前哪一些结果发生，是无法预言的。 例如：
2 C5 93 0.0729 5 10
分配
把m个元素分 配到n个盒子 里 一个盒子可以 放任意个元素 元素可以区分
元素不可以区 分
nm
m Cn m1
一个只能放一 个元素
元素可以区别
元素不可以区 分
Pnm
m Cn
例 将r个人随机地分配到n个房间里，求下列事件的概率
设 A1=“某指定的r个房间中各有一人”， A2=“恰有r个房间中各有一人”， A3=“某指定房间恰有k人”。
2）由于r个房间可以任意的，即可以从n个房间中任意选出r个来，这种选 法共有 C r 种。对于每种选定的r个房间，每一房间分配一个人的方法
n
有 r !种。故中包含的基本事件数为
r Cn r ! 。因此
r Cn r! P A2 ... r n
3）由于某指定房间中分配k个人的分法有 C k 种，而其余 r-k 个人任意 r 分配到n-1个房间的分法有 n 1 r k 种，所以其中包含的基本事件数 为 C k n 1 r k 。因此 r
E2：抛一枚骰子，观察出现的点数。{1,2,…,6}
E3：将一枚硬币抛掷三次，观察正、反面出现的情况。 {{ H,H,H},{H,H,T},{H,T,H},{H,T,T},{T,H,H},{T,H,T},{T,T,H}, {T,T,H} } E5：记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数 {0,1,2,3……} E4：观察灯泡的寿命。 [0, +∞) E6：记录某地一昼夜的最低和最高温度
概率论与集合论中的符号表示
记号
概率论
样本空间、必然事件 不可能事件
集合论
全集 空集
S Φ
e
A
基本事件，样本点
事件A
元素
子集
A
A B
A的对立事件
事件A必然导致事件B的发生
A的补集
A是B的子集 A与B相等
A B 事件A导致事件B的发生，且B导致A发生
事件间的运算律
1. 2. 3. 4.
交换律 结合律 分配律 德摩根律
推广：有限可加 可列可加
频率的稳定性
eg 掷硬币实验
n
4040
12000 24000
nH
2048
6019 12012
fn(H)
0.5070
0.5016 0.5005
频率随着n的增加而逐渐趋于一个常数 （存在）
1.2 古典概型
一. 定义 <特点>
1。样本空间有限 2。每个结果是等可能发生的
<计算>
四.
频率
1. 频率：设事件A在n次试验中出现nA次，则比值
f n ( A) nA n
叫做事件A在这n次试验中出现的频率
2.
频率的性质：设E：S，A、B、n
1。非负性:
0 fn 1
f n (S ) 1
2。规范性:
3。可加性: 若 A· B=Φ
则
fn ( A
B) f n ( A B) fn ( A) f n ( B)
[讨论]
(1) “三四两册相邻”＝A1
A1包含的样本点数 2×3! 所以 P(A1)=2×3!/4!=1/2
(2) “第一册在旁边”＝A2
A2包含的样本点数 2×3! 所以 P(A2)=2×3!/4!=1/2 (3) “第一、四册均在旁边”=A3 A3包含的样本点数 2!+2! 所以 P(A3)=2×2!/4!=1/6 (4) “第二或三册在旁边”＝A4
出生婴儿，可能是男孩，也可能是女孩；
向一目标进行射击，可能命中目标，也可能不命中目标；
从一批产品中，随机抽检一件产品，结果可能是合格品，也
可能是次品；
是否有规律可循呢？
一. 随机试验与事件
随机试验 E E : 描述
有如下试验：
E1：抛一枚硬币，观察正面H,反面T出现的情况。{H,T}
设 A1=“5个数码全相同”，
A2=“5个数码全不相同”，
A3=“5个数码中有两个3”，
解 将每一可能的电话号码作为基本事件，它们可认为是等可 能的。由于数码是可重复的，故基本事件总数为105
1)显然，A1中包含的基本事件数为10，故
P A1
10 1 105 104
续 2) A2中包含的基本事件数为，P 5 10 9 8 7 6 故 10
m n m n
n
m
P n! n m C Cn m! m!(n m)!
m n
m n
抽样
从n个元素里 选出m个元素 重复 有序
无序
nm
m Cn m1
不重复
有序
ห้องสมุดไป่ตู้无序
Pnm
m Cn
例
抛一个均匀的硬币两次，观察两次出现的情 况，计算以下事件的概率： A：出现两次正面朝上 B：出现两次相同的面朝上
E3：将一枚硬币抛掷三次，观察正、反面出现的情况。 {{ H,H,H},{H,H,T},{H,T,H},{H,T,T},{T,H,H},{T,H,T},{T,T,H}, {T,T,H} }
E5：记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数 {0,1,2,3……}
E4：观察灯泡的寿命。 [0, +∞)
设事件A，定义A发生的概率
P( A) A所包含的样本点个数 k 全体样本点个数 n
eg. 掷硬币1/2；掷骰子偶数3/6
做题步骤
step1. E是什么，s＝？有限否
2. 基本事件是否等可能
3. P(A)=k/n
计数法则
【乘法定理】
设完成一件任务有k个步骤，第i个步骤有ni种方法， 且必须通过k个步骤才算完成，则完成此任务共有方法 数：
A4 A3 , P( A4 ) 1 P( A3 ) 1 1/ 6 5 / 6 或 P( B C ) P( B) P(C ) P( BC ) 1 1 1 5 2 2 6 6
例5. 在1-2000中任取一整数，问取到整数 不能被6或8除尽的概率
Sol. 设 A事件为“取到整数能被6除尽”
E6：记录某地一昼夜的最低和最高温度 {(t1, t2)| TL ≤ t1 < t2 ≤TH}
样本空间：
所有可能的结果的集合——样本空间
记作S或者Ω
每个可能的结果——样本点；
二、事件
称随机试验E的样本空间S的子集为E的随机事件,简称事件。
在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这 一事件发生
P( AB) 83/ 2000
P(C ) 1 [ P( A) P( B) P( AB )] 1 333 250 83 3 2000 4
例7. <估计问题> 接待站在某一周里共接待12次来访
1）若12次均在周二或周四，问接待时间是否有规定
Sol. 假设等可能接待，设事件A为12次来访恰都在 周二和周四，则有
B事件为“取到整数能被8除尽” C事件为“取到整数不能被6和8整尽”，则C=AUB
先求1-2000中，能被6除尽的整数个数：[2000/6]=333 P( A) 333/ 2000 能被8除尽的整数个数：[2000/8]=250 P( B) 250 / 2000 能被6和8除尽的整数个数：[2000/24]=83
P A2
10 9 8 7 6 0.3024 5 10
2 3) A3中包含的基本事件数是 C5 93 ，这是因为数码3在电话号码中
占两个位置的方法有
2 种，而其余3个数码中的每一个都可以从剩 C5
下的9个数码0，1，2，4，，9中重复选取，有9种方法。故
P A3
解 由于每一个人都可以分配到 n个房间中的任一房间，所以将r个人分 配到个房间去共有 nr 种分法。每种分法当作一个基本事件，那么基本事 件总数为 r
n
1）将r个人分配到指定的r个房间，每个房间一人，共有 r ! 种分法。故
r! P A1 r n
特别地，当n=365，r=100时, P(A1)=0.000 000 3 n=r=6时， P(A1)=0.01543
n1 n2 ... ni ... nk
【加法定理】
设完成一件任务有k类办法，在第i类 种方法，则完成此任务共有方法数
办法中有ni
n1 n2 ... ni ... nk
计数
n! P (或A ) n(n 1)...( n m 1) (n m)!
例
观察三次射击命中情况，用A1表示事件”第 一次射击命中”, A2表示事件”第二次射击命 中”, A3表示事件”第三次射击命中”。 试表示事件：
1、全部落靶 2、命中一次 3、命中两次 4、全部命中
例
5、至少命中一次 6、至少一次没命中 7、至少命中两次 8、至多命中两次 9、至少两次没命中 10、事件 A1 A2 A3 A1 A2 A3的意义