《数学分析》考研浙江大学数学分析考研真题
数学分析与高等代数考研真题详解--浙江大学卷
∴(αT Aβ )2 = (α TCTCβ )2 = (Cα ,Cβ )2 ≤ (Cα ,Cα )(Cβ ,Cβ ) = (αTCTCα )(β TCTCβ ) = (α T Aα )(β T Aβ )
由于上述不等式，等号成立时候当且仅当，存在数 k1, k2 ，使
k1Cα + k2Cβ = 0 ，即 k1α + k2β = 0 ，即α , β 线性相关
2
浙江大学
1999 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题及解答
3
1999 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题解答
一：证明：充分性：若 f ( x) 能表示成一个整数多项式的平方，显然 f ( x) 在有理数域上可
约
必要性：由于 f ( x) 在有理数域上可约，在存在整数系数多项式 g ( x), h ( x) 有
所以 Α 是一个线性变换，
由于 A 和 − A 无公共特征根，即根据 (1) 的结论就有
AX = X (− A) 只有零解，即 AX + XA = 0 只有零解，从而 Α 可逆，即
八：证明：(1) 设 A 的特征多项式为 f (λ ) ， B 的特征多项式为 g (λ ) ，由于 A, B 无公共特
( 征值，从而 f (λ ), g (λ )) = 1，所以 f ( B) 可逆，由于 AX = XB ，故对于 ∀n ∈ ∗ ，均有
An X = XBn ，就有 f ( A) X = Xf ( B) ，所以 Xf ( B) = 0 ⇒ X = 0 ，
⎡⎣En − αα T ⎤⎦−1 = ⎡⎣En + αα T ⎤⎦
三：证明： (1) 由于存在 m 阶可逆矩阵 P1 和 n 阶可逆矩阵 P2 ，有 A = P1 [Em 0] P2 ，即
2009--浙大数学分析考研_及答案
1
x2 2
1.4、 ( x y ) sgn( x y )dxdy ，其中 D [0,1] [0,1] 。
D
解答： 原式= =
dx
0 1 0
1
x
0 x
( x y )dy dy ( x y )dx
0 0
1
y
dx
0
( x y )dy dx ( x y )dy
0
2
总结而有
t e tx f ( x)dx C
0
t e tx [ f ( x) C ]dx
0
t e tx [ f ( x) C ]dx t e tx [ f ( x) C ]dx
0 A
A
所以
2
2
。
t 0
lim t e tx f ( x)dx C
tx而写下txtx上可积而有界设为m于是对上述任意的tx总结而有txdx上不一致连续
浙江大学 2009 年数学分析考研试卷答案
1、计算： 1.1、 解答：
cos 2 x sin 2 x dx a 2 cos 2 x b 2 sin 2 x tan 2 x dx 2 a b 2 tan 2 x
b a
dx dx ) n ( )n n n ( f ( x)) (1 )
1
1
1
由 的任意性知
n
(2 ) n 1 1 , 当n . 1
lim(
b
a
dx )n 1 n ( f ( x))
x
浙江大学2000年研究生数学分析试题参考答案
浙江大学2000年研究生数学分析试题一．（共10分）(1)求极限1(1)lim xx e x x→-+解：原式=12(1)ln(1)2(1)lim(1)xx x xe x x x x ++-+→+=(2)设2101,,,2,3,,lim 2n n n nn x x x a x b x n x --→∞-==== 求解：)(21211-----=-n n n n x x x x ，这可以构造成为一个压缩映象，则数列收敛，以下求解就按照}{1--n n x x 这个数列来进行即可。
二．（共10分）1．设K ab a f b f K f b a =--=+-→→)()(lim,)0(0试证明‘证： K ab a f f f b f ab a f b f b a b a ==--+-=--+-+-→→→→ )()0()0()(lim )()(lim2．设()f x 在[,]a b 上连续，()f x ''在(,)a b 内存在，试证明存在(,)a b ξ∈，使得)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f a f b f ''-=+-+分析：考虑函数)()()(2x f x f x F b a -+=+即可三．（共15分）1．求数项级数∑∞=12n nn的和S分析：S=2S-S2．试证明∑∞==11)(n xnx s 在),1(∞上的连续函数四．（共15分） 1．设方程组⎩⎨⎧=+=+++0sin sin 0v y u x v u y x ，确定了可微函数⎩⎨⎧==),(),(y x v v y x u u ，试求yvx v du ∂∂∂∂,,分析：用隐函数组的方法求解； 2．设2)()d yx y F y x x=，求)1(F '分析：dt dx dx y F tty t y yxyx yxyx ⎰⎰⎰-=+=1cos cos 0cos 0cos 232222)(五．（共30分） 1．计算定积分2sin cos 1cos x x I dx xπ=+⎰分析：令t=cosx ，I=0。
浙大数学分析考研真题
浙大数学分析考研真题浙大数学分析考研真题数学分析是数学的基础学科之一，也是考研数学科目中的重要部分。
浙江大学的数学分析考研真题一直备受考生关注。
本文将从历年的浙大数学分析考研真题中选取一些典型题目进行分析和讨论，以帮助考生更好地理解和应对这一科目。
第一道题目是2018年浙大数学分析考研真题中的一道选择题。
题目要求考生判断函数序列$f_n(x)=\frac{nx}{1+n^2x^2}$在区间$(0,1)$上的一致收敛性。
这是一个经典的一致收敛性问题，需要考生熟练掌握一致收敛的定义和判断方法。
通过计算函数序列的极限函数，可以发现该函数序列在区间$(0,1)$上一致收敛于零函数。
这道题目考查了考生对一致收敛的理解和运用能力。
接下来是2019年浙大数学分析考研真题中的一道计算题。
题目给出一个积分$\int_0^1\frac{x^3}{(1+x^2)^2}dx$，要求考生计算该积分的值。
这是一个典型的定积分计算题，需要考生熟练掌握定积分的计算方法和技巧。
通过变量代换或部分分式分解等方法，可以将该积分化简为简单的有理函数积分，最终得到积分的精确值。
这道题目考查了考生对定积分计算的掌握程度。
第三道题目是2020年浙大数学分析考研真题中的一道证明题。
题目要求考生证明函数$f(x)=\frac{x}{1+x}$在区间$(0,+\infty)$上是严格单调递增的。
这是一个典型的函数单调性证明题，需要考生运用导数的定义和性质进行证明。
通过计算函数的导数，可以得到导函数$f'(x)=\frac{1}{(1+x)^2}$，由导函数的正负性可以证明原函数在区间$(0,+\infty)$上是严格单调递增的。
这道题目考查了考生对函数单调性证明的能力。
最后是2021年浙大数学分析考研真题中的一道应用题。
题目给出一个函数$f(x)=\frac{1}{x}$，要求考生求出该函数在区间$(1,+\infty)$上的最小值。
这是一个典型的最值问题，需要考生熟练掌握最值的求解方法和技巧。
浙江大学1999年——2008年数学分析
1 在 (1, ∞ ) 上连续可微． x n =1 n
x + y + z =R
2 2
∫∫
dS
2
x 2 + y 2 + ( z h) 2
，其中 h ≠ R ．
（2）设 a, b, c 为三个实数，证明：方程 e x = ax 2 + bx + c 的根不超过三个． 四、 （20 分）设 f n ( x) = cos x + cos 2 x +
四、 （20 分）设 f ( x ) 连续， ( x) = ∫ f ( xt )dt ，且 lim
0
x →0
1
论 '( x ) 在 x = 0 处的连续性． 五、 （10 分）定义 Pn ( x ) 为 Pn ( x) = 1 d n ( x 2 1) n ， n = 1, 2, 2n n ! dx n P0 ( x) = 1 ．
D
四、设 f (x ) 在 x > 0 时连续， f (1) = 3 ，并且 ∫
( x > 0, y > 0) ，试求函数 f (x ) ．
xy
1
f (t ) dt = x ∫ f (t ) dt + y ∫ f (t ) dt ，
1 1
y
x
五、设函数 f (t )在(a, b) 连续，若有数列 x n → a, y n → a ( x n , y n ∈ (a, b)) 使 lim f ( xn ) = A 及
2 2
五、 （15 分）设二元函数 f ( x, y ) 在正方形区域 [0,1] × [0,1] 上连续．记 J = [0,1] ． （1）试比较 inf sup f ( x, y ) 与 sup inf f ( x, y ) 的大小并证明之；
浙江大学99-06年研究生数学分析试题
浙江大学1999年研究生数学分析试题一．求极限)(ln )1(∞→-n nn n Limn 二．在xy 平面上求一点,使它到三条直线0,0==y x 及0162=-+y x 的距离平方和最小三．计算二重积分⎰⎰Dxydxdy ,其中D 由曲线 y x y x +=+22 所围城的区域四．设)(x f 在>x 时连续,3)1(=f ，并且⎰⎰⎰+=x yxydt t f y dt t f x dt t f 111)()()(,)0,0(>>y x ，试求函数)(x f五．设函数),()(b a t f 在连续，若有数列)),(,(,b a y x a y a x n n n n ∈→→使)()()()(∞→=∞→=n B y Limf n A x Limf n n 及,则对A,B 之间的任意数μ，可找到数列a x n →,使得μ=)(n z Limf六．设∑===<≤nk k n k a s n k a a 1,....,2,1,0令，证明不等式n nnk kk s n ns a a -≥-∑=11 七．设函数f 在nab v a f f f b a n n vn -=+=>δδ),(,0],[记上连续，且，试证明：)}()(ln 1exp{∞→-=⎰n dx x f a b ba并利用上述等式证明下式r dx r x r ln 2)cos 21ln(21202=+-⎰ππ )1(>r 八．从调和级数 +++++n131211中去掉所有在分母的十进表示中含数码9的项，证明由此所得余下的级数必定是收敛的浙江大学2000年研究生数学分析试题一．(共10分）（1）求极限10(1)limxx e x x →-+（2）设2101,,,2,3,,lim 2n n n nn x x x a x b x n x --→∞-====求二．（共10分）1．设Kab a f b f K f b a =--=+-→→)()(lim ,)0(00试证明‘2．设()f x 在[,]a b 上连续,()f x ''在(,)a b 内存在,试证明存在(,)a b ξ∈，使得)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f a f b f ''-=+-+三．(共15分）1．求数项级数∑∞=12n nn的和S2．试证明∑∞==11)(n xn x s 在),1(∞上的连续函数 四．（共15分)1．设方程组⎩⎨⎧=+=+++0sin sin 0v y u x v u y x ，确定了可微函数⎩⎨⎧==),(),(y x v v y x u u ，试求y vx v du ∂∂∂∂,, 2．设2)()d yx y F y x x =,求)1(F '五．(共30分)1．计算定积分2sin cos 1cos x xI dx x π=+⎰2．求以曲面22y x e z --=为顶,以平面0=z 为底，以柱面122=+y x 为侧面的曲顶柱体的体积V 3．设∑+表示半球面)1(12222≤+--=y x y x z 的上侧,求第二类曲面积分⎰⎰∑++-++=+dxdy y z x dzdx z y x dydz z y x J 222)2()2()(六．（共20分）1．将函数x x f =)( )(ππ≤≤-x 展开成Fourier 级数2．求级数∑∞=121n n 的和 3．计算广义积分⎰-10)1ln(dx xx浙江大学2000年研究生数学分析试题一．（共10分）（1)求极限10(1)limxx e x x →-+解：原式=12(1)ln(1)2(1)lim(1)xx x xe x x x x ++-+→+=(2)设2101,,,2,3,,lim 2n n n nn x x x a x b x n x --→∞-====求解：)(21211-----=-n n n n x x x x ,这可以构造成为一个压缩映象，则数列收敛,以下求解就按照}{1--n n x x 这个数列来进行即可。
浙江大学99-06年研究生数学分析试题-12页word资料
浙江大学2019年研究生数学分析试题一．求极限)(ln )1(∞→-n nn n Limn 二．在xy 平面上求一点，使它到三条直线0,0==y x 及0162=-+y x 的距离平方和最小三．计算二重积分⎰⎰Dxydxdy ，其中D 由曲线 y x y x +=+22 所围城的区域四．设)(x f 在0>x 时连续，3)1(=f ，并且⎰⎰⎰+=xy xy dt t f y dt t f x dt t f 111)()()(，)0,0(>>y x ，试求函数)(x f五．设函数),()(b a t f 在连续，若有数列)),(,(,b a y x a y a x n n n n ∈→→使)()()()(∞→=∞→=n B y Limf n A x Limf n n 及，则对A ，B 之间的任意数μ，可找到数列a x n →，使得μ=)(n z Limf六．设∑===<≤nk k n k a s n k a a 1,....,2,1,0令，证明不等式n nnk kk s n ns a a -≥-∑=11 七．设函数f 在nab v a f f f b a n n vn -=+=>δδ),(,0],[记上连续，且，试证明：)}()(ln 1exp{∞→-=⎰n dx x f a b ba并利用上述等式证明下式r dx r x r ln 2)cos 21ln(21202=+-⎰ππ )1(>r 八．从调和级数 +++++n131211中去掉所有在分母的十进表示中含数码9的项，证明由此所得余下的级数必定是收敛的浙江大学2000年研究生数学分析试题一．（共10分）(1)求极限10(1)limxx e x x →-+(2)设2101,,,2,3,,lim 2n n n nn x x x a x b x n x --→∞-====求二．（共10分）1．设Kab a f b f K f b a =--=+-→→)()(lim ,)0(00试证明‘2．设()f x 在[,]a b 上连续，()f x ''在(,)a b 内存在，试证明存在(,)a b ξ∈，使得)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f a f b f ''-=+-+三．（共15分）1．求数项级数∑∞=12n nn的和S2．试证明∑∞==11)(n xn x s 在),1(∞上的连续函数四．（共15分）1．设方程组⎩⎨⎧=+=+++0sin sin 0v y u x v u y x ，确定了可微函数⎩⎨⎧==),(),(y x v v y x u u ，试求y vx v du ∂∂∂∂,, 2．设2)()d yx y F y x x =，求)1(F '五．（共30分）1．计算定积分2sin cos 1cos x xI dx x π=+⎰2．求以曲面22y xez --=为顶，以平面0=z 为底，以柱面122=+y x 为侧面的曲顶柱体的体积V 3．设∑+表示半球面)1(12222≤+--=y x y x z 的上侧，求第二类曲面积分⎰⎰∑++-++=+dxdy y z x dzdx z y x dydz z y x J 222)2()2()(六．（共20分）1．将函数x x f =)( )(ππ≤≤-x 展开成Fourier 级数2．求级数∑∞=121n n 的和 3．计算广义积分⎰-10)1ln(dx xx浙江大学2000年研究生数学分析试题一．（共10分）(1)求极限10(1)limxx e x x →-+解：原式=12(1)ln(1)2(1)lim(1)xx x xe x x x x ++-+→+=(2)设2101,,,2,3,,lim 2n n n nn x x x a x b x n x --→∞-====求解：)(21211-----=-n n n n x x x x ，这可以构造成为一个压缩映象，则数列收敛，以下求解就按照}{1--n n x x 这个数列来进行即可。
浙江大学 2019 年数学分析考研试题
y
dx
在 x ≥ 0 上一致收敛.（注：此为试卷原题，但疑似是 dy ）
第 I 页（共 II 页）
三、(15′ ) 对于函数 f : R → R, 证明 f 在 R 上连续的充分必要条件是，对于 R 上任意 a, b,
{x : f (x) > a} 和 {x : f (x) < a} 都是开集合.
四、(15′ ) 对于函数 f : [a, b] → R, 证明函数 |f (x)| 在 [a, b] 上黎曼可积的充分必要条件是，函数
f 2 (x) 在 [a, b] 上黎曼可积.
五、(15′ )
（1）(5′ ) 叙述 R 上的聚点定理； （2）(10′ ) 使用聚点定理证明闭区间上的连续函数一致连续.
时,∀n ≥ 1, 有 |fn (x) − fn (y )| < ε; 又设函数列 {fn (x)} 在 [a, b] 上逐点收敛, 证明 {fn (x)} 在 [a, b] 上一 致收敛.
第 II 页（共 II 页）
3. (10′ ) 计算
∫
0
1
ln x
(1 + x)
2 dx.
4. (15′ ) 计算
∫∫ x2 dxdy,
D
其中 D 是由 A (x1 , y1 ) , B (x2 , y2 ) , C (x3 , y3 ) 三点围成的三角形闭区域.
二、(15′ ) 证明
I (x) =
∫
0
∞
x 2 e −x
3
2 2
浙江大学 2019 年数学分析考研试题
一、计算题 (50′ )
1. (10′ ) 计算 In =
0
∫
n
( x )n xa−1 1 − dx. n
浙江大学 (西溪校区) 数学分析 1999年
浙江大学数学分析1999一．求下列极限1。
x x x 2tan 4)(tan lim π→ 2。
)2cos 4cos 2(cos lim n x x x x ∞→ 二．证明若数列{a n }收敛,则{na a a n +++ 21}也收敛,并举例说明反之不真。
三．计算积分 1。
⎰++dx x x x )cos 1(sin sin 1 2。
dx x x x ⎰+π02cos 1sin 四．试证明当x>-1时成立下列不等式x x xx ≤+≤+)1ln(1 五．试求级数∑∞=++01212n n n x 的收敛区间,和函数,并求级数∑∞=+1)12(21n n n 的和。
六．试证明级数∑∞=151sinn n x 在x ∈(0,∞)上非一致收敛 七．设⎪⎩⎪⎨⎧==u v u y u v u x sin cos 求x u , x v 八．求1222222≤++c z b y a x 和22a x +22by ≥22c z 所交部分的体积。
九．求x-2y+2z 在条件2x +2y +2z =1下的极值。
十．求含参变量积分⎰-+2cos 1cos 1ln πx dx acox x (a <1) 十一． 求证设D 为3R 中区域u,v 在D 上二阶连续可微,则(1)dV u v v u D ⎰∆-∆)(=⎰∂∂∂-∂∂D dS n u v n v u )( 其中为体积元素,D ∂为D 的边界,dS 为面积元素,n∂∂沿D 的外法向。
(2)U(p)=-⎰⎰∂∂∂+∆D D dS r n u udV r 141141ππ_⎰∂∂∂D dS r n )1(41π 其中202020000)()()(),,,(z z y y x x r z y x p -+-+-==(3)若=∆u 0，在D 内成立，则⎰∂=∂∂D ds x u 0，从而有⎰∂=B uds a p u 241)(π，其中球B=B(P,Q)。
数学分析考研真题答案
数学分析考研真题答案一、选择题1. 极限的概念是数学分析中最基本的概念之一。
下列选项中，哪一个是极限的定义？A. 函数在某一点的值B. 函数在某一点的左极限与右极限相等时的值C. 函数在某一点的值趋于一个常数D. 函数在某一点附近的行为答案： C2. 以下哪个选项是连续函数的定义？A. 在某点可导B. 在某点的极限存在且等于函数值C. 在某区间内的所有点都有定义D. 在某区间内的所有点都有定义且可导答案： B二、填空题1. 若函数\( f(x) \)在点\( x_0 \)处可导，则\( f(x) \)在\( x_0 \)处的导数定义为\( \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) -f(x_0)}{h} \)。
答案： \( \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \)2. 定积分\( \int_{a}^{b} f(x) \, dx \)的几何意义是函数\( f(x) \)在区间\( [a, b] \)上的曲线与x轴所围成的面积。
答案：曲线与x轴所围成的面积三、解答题1. 证明：若函数\( f(x) \)在区间\( [a, b] \)上连续，则定积分\( \int_{a}^{b} f(x) \, dx \)存在。
证明：由于\( f(x) \)在\( [a, b] \)上连续，根据连续函数的性质，\( f(x) \)在\( [a, b] \)上是一致连续的。
根据达布定理（Darboux's Theorem），对于任意的分割\( P \)，上和\( U(f, P) \)与下和\( L(f, P) \)之差\( U(f, P) - L(f, P) \)可以任意小。
因此，存在一个共同的极限\( I \)，即\( \lim_{||P|| \to 0} U(f, P) = \lim_{||P|| \to 0} L(f, P) = I \)，这就证明了定积分\( \int_{a}^{b} f(x) \, dx \)的存在性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《数学分析》考研浙江大学数学分析考研真题1．浙江大学819数学分析考研真题及详解
浙江大学819数学分析考研真题
浙江大学2013年攻读硕士学位研究生入学考试试题
考试科目：数学分析（A）（819）
考生注意：
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟；
2．答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上均无效。
一、（40分，每小题10分）
（1）；
（2）；
（3）设，表示不超过的最大整数，计算二重积分；
（4）设.求.
二、（10分）论证是否存在定义在上的连续函数使得.
三、（15分）讨论函数项级数的收敛性与一致收敛性.
四、（15分）设均为上的连续函数，且为单调递增的，
，同时对于任意，有.
证明：对于任意的，都有.
五、（5分）；
（10分）.
六、（5分）构造一个在闭区间上处处可微的函数，使得它的导函数在
上无界；
（15分）设函数在内可导，证明存在，使得在内有界.
七、（15分）设二元函数的两个混合偏导数在附近存在，且在处连续.证明：.
八、（20分）已知对于实数，有公式，其中求和是对所有不超过的素数求和.求证：
，
其中求和也是对所有不超过的素数求和，是某个与无关的常数.。