【初中数学同步练习】二次函数拓展(三)

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北京版-数学-九年级上册- 二次函数拓展练习

《二次函数》拓展练习1．下列各式中，y 是x 的二次函数的是 ( )A ．x －2y 2－3＝0B ．y =(x ＋2)(x －2)－(x －5)2C ．y ＝21x＋x D ．(x －1)2－2y ＋1＝0 2．y ＝(a －β)x 2＋2x ＋β是二次函数的条件是 ( )A ．a ，β是常数，a ≠0B ．a ，β是常数，a ≠βC ．a ,β是常数，β≠0D ．a ，β可为任意实数3．已知3122y x +=-，那么y 是x 的 ( ) A ．一次函数 B ．二次函数 C.正比例函数 D ．反比例函数4．当路程S 一定时，速度υ与时间t 之间的函数关系是 ( )A.正比例函数 B ．反比例函数 C.一次函数 D ．二次函数5．图2-3中的三角形是有规律地从里到外逐层排列的．设y 为第n 层(n 为正整数)三角形的个数，则下列函数关系式正确的是 ( )A ．y ＝4n －4B ．y ＝4nC ．y =4n ＋4D ．y ＝n 26．当m 时，函数y ＝(m －2)x 2＋4x －5(m 是常数)是二次函数．7．若y ＝(m 2－3m )x 2m -2m-1是二次函数，则m ＝．8．若函数y ＝3x 2的图象与直线y =kx ＋3的交点为(2，b )，则k = ，b ＝ .9．如果水流的速度为a m /min (定量)，那么每分钟的进水量Q (m 3)与所选择的水管直径D (m )之间的函数关系式是什么?10．一台机器原价为60万元，如果每年的折旧率为x ，两年后这台机器的价位为y 万元，写出y 与x 的函数关系式．11．已知函数y ＝(m 2－4)x 2＋(m 2－3m ＋2)x －m －1．(1)当m 为何值时，y 是x 的二次函数?(2)当m 为何值时，y 是x 的一次函数?12．如图2 - 4所示，长方形ABCD 的长为5 cm ，宽为4 cm ，如果将它的长和宽都减去x (cm )，那么它剩下的小长方形AB ′C ′D ′的面积为y (cm 2)．(1)写出y 与x 的函数关系式；(2)上述函数是什么函数?(3)自变量x 的取值范围是什么?参考答案1．D2．B3．A4．B5．B6．≠27．－18．92 12 9．解：函数关系式为Q ＝a ·π·(2D )2＝ 24aD . 10．解：由题意，得y ＝60(1－x )(1－x )＝60(1－x )2，x 的取值范围为0＜x ＜1．11．提示：(1)当二次项系数m 2－4≠0时，原函数是二次函数．(2)当二次项系数m 2－4＝0且一次项系数m 2－3m ＋2≠0时，原函数是一次函数，由此确定m 的值．解：(1)由m 2－4≠0，解得m ≠±2．故当m ≠±2时，y 是x 的二次函数． (2)由m 2－4＝0，解得m =±2．由m 2－3m ＋2≠0，解得m ≠1，m ≠2．所以m ＝－2．因此，当m ＝－2时，y 是x 的一次函数．12．解：(1)根据长方形的面积公式，得y ＝(5－x )·(4－x )＝x 2－9x ＋20，所以y 与x 的函数关系式为y ＝x 2－9x ＋20． (2)上述函数是二次函数． (3)自变量x 的取值范围是0＜x＜4．。

初中数学二次函数综合基础训练题3(附答案详解)

初中数学二次函数综合基础训练题3（附答案详解）1．在同一坐标系中，函数y ＝ax 2+bx 与y ＝b x的图象大致为（） A ． B ． C ． D ． 2．已知 23M x x =-， 5N x =-(x 为任意实数)，则M 、N 的大小关系为( ) A ．M N < B ．M N > C ．M N D ．不能确定 3．课堂上，老师给出一道题：如图，将抛物线C ：y ＝x 2﹣6x +5在x 轴下方的图象沿x 轴翻折，翻折后得到的图象与抛物线C 在x 轴上方的图象记为G ，已知直线l ：y ＝x +m 与图象G 有两个公共点，求m 的取值范围甲同学的结果是﹣5＜m ＜﹣1，乙同学的结果是m ＞54．下列说法正确的是（）A ．甲的结果正确B ．乙的结果正确C ．甲、乙的结果合在一起才正确D ．甲、乙的结果合在一起也不正确4．如图，抛物线y=-x 2+2x+m+1交x 轴于点A （a ，0）和B （B ，0），交y 轴于点C ，抛物线的顶点为D ．下列四个判断：①当x>0时，y>0；②若a=-1，则b=4；③抛物线上有两点P （x 1,y 1）和Q （x 2,y 2），若x 1<1< x 2，且x 1+ x 2>2，则y 1> y 2；④点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ，点G ，F 分别在x 轴和y 轴上，当m=2时，四边形EDFG 周长的最小值为，其中正确判断的序号是（）A ．①B ．②C ．③D ．④5．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +2经过A （﹣1，0），B （2，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）M 在抛物线上，线段MA 绕点M 顺时针旋转90°得MD ，当点D 在抛物线的对称轴上时，求点M 的坐标；（3）P 在对称轴上，Q 在抛物线上，以P ，Q ，B ，C 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P 的坐标．6．如图，抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点D ，抛物线的顶点为C ．（1）求A ，B ，C ，D 的坐标；（2）求四边形ABCD 的面积．7．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A ，B ，与y 轴交下点C ，请仅用无刻度直尺按要求作图：（1）在图1中，直线l 为对称轴，请画出点C 关于直线l 的对称点；（2）在图2中，若CD x 轴，请画出抛物线的对称轴.8．抛物线y ＝ax 2与直线y ＝2x －3交于点A (1，b )．(1)求a ，b 的值；(2)求抛物线y ＝ax 2与直线y ＝－2的两个交点B ，C 的坐标(B 点在C 点右侧)；(3)求△OBC 的面积．9．抛物线y ＝﹣x 2+mx +n 与x 轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴是直线x ＝1，（1）抛物线与x 轴的另一个交点坐标为；m ＝，n ＝．（2）画出此二次函数的图象；（3）利用图象回答：当x 取何值时，y ≤0？10．二次函数2642y x x =--(1)写出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴.(2)判断点()3, 4-是否在该函数图象上，并说明理由.(3)求出以该抛物线与两坐标轴的交点为顶点的三角形的面积.11．若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数.(2)已知关于x 的二次函数y 1=2x 2﹣4mx+2m 2+1，和y 2=x 2+bx+c ，其中y 1的图象经过点A(1，1)，若y 1+y 2与y 1为“同簇二次函数”，求函数y 2的表达式，并求当0≤x≤3时，y 2的取值范围.12．定义：对于抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若b2＝ac，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y＝2x2﹣2x+2是黄金抛物线．（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；（2）若抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；（3）将黄金抛物线y＝2x2﹣2x+2沿对称轴向下平移3个单位．①直接写出平移后的新抛物线的解析式；②设①中的新抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，动点Q在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明．13．已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）图象的对称轴是直线x＝2，且经过点P（3，0）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若y≤0，请直接写出x的取值范围；（3）若抛物线y＝ax2+bx+3﹣t（a≠0，t为实数）在0＜x＜3.5的范围内与x轴有公共点，求出t的取值范围．14．如图，抛物线y=﹣12x2﹣x+4与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A，点B的坐标；（2）P为第二象限抛物线上的一个动点，求△ACP面积的最大值．15．一个抛物线形状与二次函数y ＝x 2的图象形状和顶点相同，但开口方向不同．（1）求抛物线解析式．（2）如果该抛物线与一次函数y ＝kx ﹣2相交于A 、B 两点，已知A 点的纵坐标为﹣1，求△OAB 的面积．16．如图，已知抛物线2142y x x =--+与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）若点E 与点C 关于抛物线的对称轴对称，求梯形AOCE 的面积.17．已知抛物线y ＝ax 2+bx+3过A(﹣3，0)，B(1，0)两点，交y 轴于点C ,(1)求该抛物线的表达式．(2)设P 是该抛物线上的动点，当△PAB 的面积等于△ABC 的面积时，求P 点的坐标． 18．已知函数y 1＝－13x 2 和反比例函数y 2的图象有一个交点是 A a 1）．（1）求函数y 2的解析式；（2）在同一直角坐标系中，画出函数y 1和y 2的图象草图；（3）借助图象回答：当自变量x 在什么范围内取值时，对于x 的同一个值，都有y 1＜y 2？ 19．已知：抛物线2y x bx c =-++，经过点A(-1,-2)，B(0,1).（1）求抛物线的关系式及顶点P 的坐标.（2）若点B′与点B 关于x 轴对称，把（1）中的抛物线向左平移m 个单位，平移后的抛物线经过点B′，设此时抛物线顶点为点P′.①求∠P′B B′的大小.②把线段P′B′以点B′为旋转中心顺时针旋转120°，点P′落在点M 处，设点N 在（1）中的抛物线上，当△MN B′的面积等于63时，求点N 的坐标.20．如图，抛物线223y x mx m =-+与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点()0,3C -.（1）求该抛物线的解析式；（2）若点E 为线段OC 上一动点，试求22AE EC +的最小值；（3）点D 是y 轴左侧的抛物线上一动点，连接AC ，当DAB ACO =∠∠时，求点D 的坐标.21．如图，在正方形ABCD 中，点E 在对角线BD 上，EF ∥AB 交AD 于点F ，连接BF ．（1）如图1，若AB ＝4，DE 2，求BF 的长；（2）如图2．连接AE ，交BF 于点H ，若DF ＝HF ＝2，求线段AB 的长；（3）如图3，连接BF ，AB ＝2，设EF ＝x ，△BEF 的面积为S ，请用x 的表达式表示S ，并求出S 的最大值；当S 取得最大值时，连接CE ，线段DB 绕点D 顺时针旋转30°得到线段DJ，DJ与CE交于点K，连接CJ，求证：CJ⊥CE．22．已知抛物线y=kx2-4kx+3k(k>0)与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y 轴交于点C，顶点为D.（1）如图1，请求出A、B两点的坐标；（2）点E为x轴下方抛物线y=kx2-4kx+3k(k>0)上一动点.①如图2，若k=1时，抛物线的对称轴DH交x轴于点H，直线AE交y轴于点M，直线BE交对称轴DH于点N，求MO+NH的值；②如图3，若k=2时，点F在x轴上方的抛物线上运动，连接EF交x轴于点G，且满足∠FBA=∠EBA，当线段EF运动时，∠FGO的度数大小发生变化吗？若不变，请求出tan∠FGO的值；若变化，请说明理由.23．在Rr△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，点O为AB的中点，点D、E分别为AC、AB边上的动点，且保持DO⊥EO，连接CO、DE交于点P．（1）求证：OD＝OE；（2）在运动的过程中，DP•EP是否存在最大值？若存在，请求出DP•EP的最大值；若不存在，请说明理由．（3）若CD＝2CE，求DP的长度．24．如图，A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）三点在抛物线y＝ax2+bx+c上，D为直线BC上方抛物线上一动点，E在CB上，∠DEC＝90°（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE 长度的最大值；（3）如图2，F 为AB 的中点，连接CF ，CD ，当△CDE 中有一个角与∠CFO 相等时，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．25．在平面直角坐标系中，抛物线21y x 6x 42=-+的顶点M 在直线L ：y kx 2=-上． ()1求直线L 的函数表达式；()2现将抛物线沿该直线L 方向进行平移，平移后的抛物线的顶点为N ，与x 轴的右交点为C ，连接NC ，当tan NCO 2∠=时，求平移后的抛物线的解析式．26．二次函数 223y x x =++ 图像的对称轴是直线____.27．已知抛物线y ＝x 2﹣4x +h 的顶点A 在直线y ＝﹣4x ﹣1上，则抛物线的顶点坐标为_____．28．二次函数223y x =的图象如图所示，点A 0位于坐标原点，A 1，A 2，A 3，…，A 2009在y 轴的正半轴上，B 1，B 2，B 3，…，B 2009在二次函数223y x =第一象限的图象上，若△A 0B 1A 1，△A 1B 2A 2，△A 2B 3A 3，…，△A 2008B 2009A 2009都为等边三角形，计算出△A 2008B 2009A 2009的边长为_____．29．（在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a＜0）交x轴于A，B两点，若此抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）有且只有8个整点（横、纵坐标都是整数的点），则a的取值范围是__．30．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3…如此进行下去，则C2019的顶点坐标是_____．参考答案1．D【解析】试题解析：A、根据反比例函数得出b＞0，根据二次函数得出a＞0，b＜0，所以b的范围不同，故本选项错误；B、根据反比例函数得出b＞0，根据二次函数得出a＜0，b＜0，所以b的范围不同，故本选项错误；C、根据反比例函数得出b＜0，根据二次函数得出a＞0，b＞0，所以b的范围不同，故本选项错误；D、根据反比例函数得出b＞0，根据二次函数得出a＜0，b＞0，所以b的范围相同，故本选项正确；故选D．2．B【解析】【分析】首先根据题意分别画出两个函数图像，然后根据图像即可比较大小.【详解】根据题意，分别画出函数图像，如图所示根据图像即可判定M N故答案为B.【点睛】此题主要考查利用函数图像进行比较大小，熟练掌握，即可解题. 3．C【解析】【分析】当直线过抛物线与x轴右侧的交点时，恰有一个交点；直线y＝x+m向上移，经过g左侧交点之前均为两个交点；继续向上平移，直到经过G中间的顶点（3，4）之前均为三个交点；最终向上平移，均有两个交点.【详解】解：令y＝x2﹣6x+5＝0，解得（1，0），（5，0）将点（1，0），（5，0）分别代入直线y＝x+m，得m＝﹣1，﹣5；∴﹣5＜m＜﹣1由题可知，图象C关于x轴对称的抛物线的顶点为（3，4），a=-1则解析式为y=-x2+6x-5联立265y x m y x x =+⎧⎨=-+-⎩25(5)0x x m -++=254200m ∆=--≤∴m ＞54综上所述，m ＞54或﹣5＜m ＜﹣1 故选C ．【点睛】本题主要考查抛物线与直线的交点问题，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.4．C【解析】【分析】【详解】试题解析：①当x ＞0时，函数图象过一四象限，当0＜x ＜b 时，y ＞0；当x ＞b 时，y ＜0，故本选项错误；②二次函数对称轴为x=-22(1)⨯-=1，当a=-1时有12b -+=1，解得b=3，故本选项错误； ③∵x 1+x 2＞2， ∴122x x +＞1，又∵x 1-1＜1＜x 2-1，∴Q 点距离对称轴较远，∴y 1＞y 2，故本选项正确；④如图，作D 关于y 轴的对称点D′，E 关于x 轴的对称点E′，连接D′E′，D′E′与DE 的和即为四边形EDFG 周长的最小值．当m=2时，二次函数为y=-x2+2x+3，顶点纵坐标为y=-1+2+3=4，D为（1，4），则D′为（-1，4）；C点坐标为C（0，3）；则E为（2，3），E′为（2，-3）；则22(21)(34)2-+-=22(12)(34)58--+--=；∴四边形EDFG258故选C．考点：抛物线与x轴的交点．5．（1）y＝﹣x2+x+2；（2）点M（1021012-）或（102-，1102--）或（1+102，13310+1﹣10213310-）；（3）点P（12，14）或（12，﹣154）或（12，34）．【解析】【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2）＝a（x2﹣x﹣2），即可求解；（2）设点M（m，﹣m2+m+2）顺时针旋转90°此时点M即为点D（﹣m2+m+2，﹣m﹣1），即可求解；（3）分BC是平行四边形的边、BC是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2）＝a（x2﹣x﹣2），﹣2a＝2，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）设点M（m，﹣m2+m+2），过点M作y轴的平行线HN，交过点A与x轴的平行线于点H，交x轴于点N，∵∠DMH+∠HDM＝90°，∠DMH+∠AMN＝90°，∴∠DHM＝∠AMN，又∵∠MHD＝∠ANM＝90°，AM＝MD，∴△MDH≌△AMN（ASA），∴DH＝MN，即：﹣m2+m+2＝|12﹣m|，解得：m＝10±或110，故点M 10101-）或（10110--）或（1013310+11013310-）；（3）设点Q（m，n），n＝﹣m2+m+2，点P（12，s），点B、C的坐标分别为：（2，0）、（0，2），①当BC是平行四边形的边时，点C向右平移2个单位向上平移2个单位得到B，同样点Q（P）向右平移2个单位向上平移2个单位得到点P（Q），则m+2＝12，n﹣2＝s或m﹣2＝12，n+2＝s，解得：s＝14或﹣154，故点P（12，14）或（12，﹣34）；②当BC是平行四边形的对角线时，m+12＝2，n+s＝2，解得：s＝34，故点P（12，34），综上，故点P的坐标为：（12，14）或（12，﹣154）或（12，34）．【点睛】本题考查了二次函数的综合性问题，能够正确求出函数解析式以及读懂题干意思，画出具体图形，求出点的坐标是解题的关键6．（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（1，﹣4），D（0，﹣3）；（2）9．【解析】【分析】（1）根据题目中的函数解析式可以求得A，B，C，D的坐标；（2）根据（1）中求得的点A，B，C，D的坐标，可以求得四边形ABCD的面积．【详解】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）＝（x﹣1）2﹣4，∴当y＝0时，x1＝3，x2＝﹣1，当x＝0时，y＝﹣3，该函数的顶点坐标为（1，﹣4），∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（1，﹣4），点D的坐标为（0，﹣3）；（2）连接OC，如图所示，∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（1，﹣4），点D的坐标为（0，﹣3），∴四边形ABCD的面积是：S△AOD+S△ODC+S△OCB＝313134++=9 222⨯⨯⨯．【点睛】本题考查了二次函数中点的特征以及四边形的面积，掌握二次函数的性质是解题的关键7．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）运用画对称轴的作图技巧，连接CB交于对称轴一点，再连接A点与此点，与函数图像的交点即对称点，（2）用无刻度直尺连接CB,AD交于一点，连接AC,BD并延长交于一点，再连接这两点，此线即直线m.【详解】解：（1）如图1，点E即为所求（画法不唯一）；（2）如图2，直线m即为所求.【点睛】本题考查轴对称图形的画法，抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质以及画对称轴的作图技巧是解题的关键.8．（1）a= -1 b= -1 (2) B(2,-2) 2,-2) （3）面积是2,【解析】试题分析：()1将点A 代入23y x =-求出b ，再把点A 代入抛物线2y ax =求出a 即可． ()2解方程组2{2,y x y =-=-即可求出交点坐标． ()3利用三角形面积公式即可计算．试题解析：()1∵点()1,A b 在直线23y x =-上，1b ∴=-，∴点A 坐标()1,1-，把点()1,1A -代入2y ax =得到1a =-， ()1 1.a b ∴==-()2由2{2,y x y =-=-解得2{2x y ==-2{ 2.x y =-=-∴点C 坐标()2,2,--点B 坐标)2,2.- ()3 12222 2.2BOC S =⨯=9．（1）（3，0），m ＝2，n ＝3；（2）图象见解析；（3）当x ≤﹣1或x ≥3时y ≤0．【解析】【分析】（1）根据二次函数的对称性求得另一个交点，然后根据待定系数法即可求得m 、n 的值；（2）求得顶点，画出图象即可；（3）观察图形可直接得出y ≤0时，x 的取值范围；【详解】解：（1）∵抛物线y ＝﹣x 2+mx +n 与x 轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴是直线x ＝1， ∴抛物线与x 轴另一个交点坐标为（3，0），把（﹣1，0），（3，0）代入y ＝﹣x 2+mx +n 得-1-0930m n m n +=⎧⎨-++=⎩，解得23m n =⎧⎨=⎩，故答案为（3，0），m ＝2，n ＝3；（2）∵y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，∴顶点为（1，4）；画出此图象如图：（3）由图象可知：当x ≤﹣1或x ≥3时y ≤0．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键.10．（1）开口向下，对称轴为直线1x =-,顶点为(1,8)-；（2）不在函数图象上，理由详见解析；（3） 12.【解析】【分析】（1）先把抛物线解析式配成顶点式得到22(1)8y x =-++，然后根据二次函数的性质写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标；（2）将3x =代入函数解析式求出对应的y 即可判断；（3）确定抛物线与y 轴的交点坐标为(0,6)，然后根据三角形面积公式求解．【详解】解：（1）解：（1）226422(1)8y x x x =--=-++20a =-<，∴抛物线开口向下；22(1)8y x =+-，∴抛物线对称轴方程为1x =-，顶点坐标(1,8)--；开口向下，对称轴为直线1x =-,顶点为1,8-（）（2）不在函数图象上.理由：当3x =时，29436244y =-⨯-⨯+=-≠-所以点4-（3，）不在函数图象上. （3）令0y =，得26420x x --=，解得13x =-，21x =，所以抛物线与x 轴的交点坐标为(3,0)-，(1,0)，当x=0时，y=6.抛物线与y 轴交于点0,6A （），()1136122ABC S ∆=⨯+⨯= 【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象为抛物线；对称轴为直线2b x a=-；抛物线与y 轴的交点坐标为(0,)c . 11．(1) y=（x －1）2+3和y=2（x －1）2+3（答案不唯一）；(2)y 2 =x 2 -2x+1，02y 4≤≤.【解析】【分析】（1）根据“同簇二次函数”的定义写出两个即可；（2）将A 代入y 1=2x 2−4mx+2m 2+1中，可求出y 1与x 的函数关系式，并求出此抛物线的顶点坐标，从而求出y 1+y 2与x 的函数关系式，再根据“同簇二次函数”的定义即可求出b 、c ，从而求出函数y 2的表达式，最后根据二次函数的性质自变量的取值范围和对称轴的位置关系求最值即可.【详解】(1)根据“同簇二次函数”的定义：两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，故这两个二次函数可以为：y=（x －1）2+3和y=2（x －1）2+3；(2)把A(1,1)代入y 1=2x 2−4mx+2m 2+1得2−4m+2m 2+1=1，解得m=1，则y 1=2x 2−4x+3=2（x －1）2+1,∴y 1=2x 2−4x+3顶点坐标为（1,1），且y 1+y 2=3x 2+（b−4）x+c+3∵y 1+y 2与y 1为“同簇二次函数” ∴()()241234334143b c b -⎧-=⎪⨯⎪⎨⨯+--⎪=⎪⨯⎩解得：b=-2，c=1y 2 =x 2 -2x+1 此抛物线的开口向上，对称轴为：21221b x a -=-=-=⨯ ∴0≤x≤3包含对称轴∴当1x =时，y 2取最小值，此时y 2=0，当x=3时，y 2取最大值，此时y 2=4∴02y 4≤≤【点睛】此题考查的是新定义问题，掌握二次函数的图像及性质和“同簇二次函数”的定义是解决此题的关键.12．（1）如y ＝x 2，y ＝x 2﹣x +1，y ＝x 2+2x +4等（答案不唯一）；（2）详见解析；（3）①y ＝2x2﹣2x﹣1；②符合条件的点P的坐标：（0，﹣1），（1，﹣1），（﹣12，12），（32，12）．【解析】【分析】（1）按照黄金抛物线的定义给a、b、c赋值即可；（2）将ac＝b2代入判别式当中，消去ac，然后对b分等于0和不等于0两种情讨论即可；（3）①根据“上加下减”写出平移后的抛物线解析式即可；②根据所给的限制条件，只能画出四种图形，分别写出相应的P点坐标即可；【详解】（1）答：如y＝x2，y＝x2﹣x+1，y＝x2+2x+4等；（2）依题意得b2＝ac，∴△＝b2﹣4ac＝b2﹣4b2＝﹣3b2，∴当b＝0时，△＝0，此时抛物线与x轴有一个公共点，当b≠0时，△＜0，此时抛物线与x轴没有公共点；（3）①抛物线y＝2x2﹣2x+2向下平移3个单位得到的新抛物线的解析式为y＝2x2﹣2x﹣1，②存在．如图：若BQ＝AO，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点P，P点的坐标为：（0，﹣1），（1，﹣1），此时，△AOB≌△BQP；若BQ＝BO，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点P，令2x2﹣2x﹣1＝12，解得：x＝﹣12或x＝32，∴P点的坐标为：（﹣12，12），（32，12）．此时，△AOB≌△PQB；综上所述，有四个符合条件的点P的坐标：（0，﹣1），（1，﹣1），（﹣12，12），（32，12）．【点睛】此题主要考查新定义下抛物线的性质，熟练掌握，即可解题.13．（1）y＝x2﹣4x+3；（2）1≤x≤3；（3）﹣1≤t＜3．【解析】【分析】（1）利用对称性得到抛物线经过点（1，0）．然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可；（3）对于抛物线y＝x2﹣4x+3﹣t，当△＝（﹣4）2﹣4（3﹣t）＝0时，满足条件，此时t＝﹣1，当△＝（﹣4）2﹣4（3﹣t）＞0时，若x＝0，y＝x2﹣4x+3﹣t＞0，满足条件，此时﹣1＜t＜3，然后综合两种情况即可．【详解】（1）∵对称轴为x＝2，点B（3，0），∴抛物线经过点（1，0）．将（1，0）、（3，0）代入得：9a+3b+3＝0且a+b+3＝0解得a＝1，b＝﹣4，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）由（1）得知抛物线过点（1，0）和（3，0），且a＝1，可判定开口向上，故当1≤x≤3时，y≤0；（3）由（1）可知y＝ax2+bx+3﹣t的解析式为y＝x2﹣4x+3﹣t，当△＝（﹣4）2﹣4（3﹣t）＝0时，解得t＝﹣1，抛物线与x轴的交点为（2，0）；当△＝（﹣4）2﹣4（3﹣t）＞0时，解得t＞﹣1，若x＝0，y＝x2﹣4x+3﹣t＞0，抛物线y＝ax2+bx+3﹣t（a≠0，t为实数）在0＜x＜3.5的范围内与x轴有公共点，即t＜3，∴t的范围为﹣1≤t＜3．【点睛】此题主要考查抛物线的对称性、待定系数法求解析式以及根的判别式的运用，熟练掌握，即可解题.14．(1) A（﹣4，0），B（2，0）；(2)△ACP最大面积是4.【解析】【分析】（1）令y=0，得到关于x 的一元二次方程﹣12x2﹣x+4=0，解此方程即可求得结果；（2）先求出直线AC解析式，再作PD⊥AO交AC于D，设P（t，﹣12t2﹣t+4），可表示出D点坐标，于是线段PD可用含t的代数式表示，所以S△ACP=12PD×OA=12PD×4=2PD，可得S△ACP关于t 的函数关系式，继而可求出△ACP面积的最大值．【详解】(1)解：设y=0，则0=﹣12x2﹣x+4∴x1=﹣4，x2=2∴A（﹣4，0），B（2，0）(2)作PD⊥AO交AC于D设AC解析式y=kx+b∴404bk b=⎧⎨=-+⎩解得：14 kb=⎧⎨=⎩∴AC解析式为y=x+4.设P（t，﹣12t2﹣t+4）则D（t，t+4）∴PD=（﹣12t2﹣t+4）﹣（t+4）=﹣12t2﹣2t=﹣12（t+2）2+2∴S△ACP=12PD×4=﹣（t+2）2+4∴当t=﹣2时，△ACP最大面积4.【点睛】本题考查二次函数综合，解题的关键是掌握待定系数法进行求解.15．（1）y＝﹣x2；（2）3．【解析】【分析】（1）由图象形状和顶点相同，但开口方向不同可知二次项系数a互为相反数即可得出函数解析式.（2）利用抛物线解析式和点A的纵坐标求出A的坐标，把A的坐标代入y=kx-2，根据待定系数法求得解析式，然后解析式联立求得B的坐标，利用S△OAB=S△AOG+S△BOG求解即可．【详解】解：（1）形状与二次函数y＝x2的图象形状和顶点相同，但开口方向不同，此抛物线解析式为y＝﹣x2．（2）∵A点的纵坐标为﹣1，把y＝﹣1代入y＝﹣x2，解得x＝±1，∴A（1，﹣1）或（﹣1，﹣1）把A（1，﹣1）代入y＝kx﹣2得，﹣1＝k﹣2，解得k＝1，把A（﹣1，﹣1）代入y＝kx﹣2得﹣1＝﹣k﹣2，解得k＝﹣1，∴一次函数表达式为y＝x﹣2或y＝-x﹣2，∴令x ＝0，得y ＝﹣2，∴G （0，﹣2），I .当一次函数表达式为y ＝﹣x ﹣2时，由一次函数与二次函数联立可得22y x y x =--⎧⎨=-⎩，解得11x y =-⎧⎨=-⎩或24x y =⎧⎨=-⎩， ∴B （2，﹣4）， ∴S △OAB ＝S △AOG +S △BOG ＝()122+12⨯⨯＝3， II .同理证得当一次函数表达式为y ＝x ﹣2时，S △OAB ＝3，故△OAB 的面积为3．【点睛】本题主要考查了待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是分两种情况正确的求出点B 的坐标．16．（1）A （-4,0），B （2,0），C,0,4）；（2）12【解析】【分析】（1）在抛物线的解析式中，令x=0可以求出点C 的坐标，令y=0可以求出A 、B 点的坐标；（2）先求出E 点坐标，然后求出OA ，OC ，CE 的长计算面积即可.【详解】解：（1）当y=0时，212x --x+4=0，解得x 1=－4，x 2=2， ∴A （－4，0），B （2，0），当x=0时，y=4，∴C （0，4）；（2）y=212x -﹣x+4=12-（x+1）2+92，∴抛物线y=212x -﹣x+4的对称轴是直线x=－1， ∴E 的坐标为（－2，4），则OA=4，OC=4，CE=2，S 梯形AOCE =(24)4122+⨯= 【点睛】本题是对二次函数的基础考查，熟练掌握二次函数与x 轴，y 轴交点坐标的求解及梯形面积知识是解决本题的关键.17．(1)y ＝﹣x 2﹣2x+3；(2)P 点坐标为(﹣，﹣3)或(﹣1，﹣3)．【解析】【分析】（1）把A 与B 坐标代入求出a 与b 的值，即可确定出表达式；（2）先求出点C 的坐标，从而确定△ABC 的面积，再根据△PAB 的面积等于△ABC 的面积求出P 的坐标即可．【详解】解：(1)把A 与B 坐标代入得：933030a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：12a b =-⎧⎨=-⎩，则该抛物线的表达式为y ＝﹣x 2﹣2x+3；(2)由抛物线解析式得：C(0，3)，∴△ABC 面积为12×3×4＝6， ∴△PAB 面积为6，即12×|y P 纵坐标|×4＝6，即y P 纵坐标＝3或﹣3，当y P 纵坐标＝3时，可得3＝﹣x 2﹣2x+3，解得：x ＝﹣2或x ＝0(舍去)，此时P 坐标为(﹣2，3)；当y P 纵坐标＝﹣3时，可得﹣3＝﹣x 2﹣2x+3，解得：x ＝﹣，此时P 坐标为(﹣，﹣3)或(﹣1，﹣3)．此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 18．（1）23y x =-；（2）作图见解析；（3）x ＜0，或x ＞3. 【解析】分析：（1）利用A 点在二次函数的图象上，进而利用待定系数法求反比例函数解析式即可；（2）根据二次函数的性质以及反比例函数的性质画出草图即可；（3）利用函数图象以及交点坐标即可得出x 的取值范围．详解：（1）把点A （a ，-1）代入y 1=−13x 2，得-1=−13a ， ∴a=3．设y 2=k x，把点A （3，-1）代入，得 k=−3，∴y 2=−3．（2）画图；（3）由图象知：当x ＜0，或x 3时，y 1＜y 2．点睛：此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式以及二次函数的性质和比较函数的大小关系，利用数形结合得出是解题关键．19．（1）221y x x =-++，顶点坐标()12P ，；（2）①120P BB ''∠=，②当63MNB S '∆=时，点N 的坐标为()47N -，或()27N --，.【分析】（1）把点A （-1，-2）B （0,1）代入2y x bx c =-++即可求出解析式；（2）①设抛物线平移后为()2112y x m =--++，代入点B’(0,-1)即可求出m ，得出顶点坐标 ()P '，连结P B '，P’B’，作P’H ⊥y 轴，垂足为H ，得P H '=，P’B=2求出tan P H P BH BH∠='='得60P BH ∠=',故可得P BB ∠''的度数②根据题意作出图形，根据旋转的性质与MNB S '∆=，解得三角形的高6h =；故设()7N a -，或()5N a ，分别代入221y x x =-++即可求出N 的坐标.【详解】（1）把点A （-1，-2）B （0,1）代入2y x bx c =-++得2=11b c c ---+⎧⎨=⎩解得=21b c ⎧⎨=⎩∴抛物线的关系式为：221y x x =-++，得y=-(x-1)2+2； ∴顶点坐标为()12P ，. （2）①设抛物线平移后为()2112y x m =--++，代入点B’(0,-1)得，-1=-(m-1)2+2解得11m =，21m =（舍去）；∴(212y x =-++，得顶点()P ' 连结P B '，P’B’，作P’H ⊥y 轴，垂足为H ，得P H '=，=2∵tan P H P BH BH∠='=' ∴60P BH ∠=',∴18060120P BB ∠=-=''.②∵2BB '=,2P B '=即BB P B '=',∴30BP B P B B ''''∠=∠=;∵线段P B ''以点B '为旋转中心顺时针旋转120，点P '落在点M 处; ∴90OB M ∠=',B M B P '=''∴//MB x '轴，23B M B P ''='=;设MNB ∆'在B M '边上的高为h ，得：632MNB B M h S '∆⋅'==，解得6h =； ∴设()7N a -，或()5N a ，分别代入221y x x =-++得 2721a a -=-++解得：4a =或2a =-∴()47N -，或()27N --，， 2521a a =-++方程无实数根舍去，∴综上所述：当63MNB S '∆=时，点N 的坐标为()47N -，或()27N --，.【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质，并根据题意作出图形进行求解.20．（1）223y x x =+-；（2）22AE EC +=（3）D 的坐标为1013,39⎛⎫- ⎪⎝⎭ 或811,39⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）把点()0,3C 代入抛物线表达式即可求出m ，即可得到抛物线的解析式；（2）连接BC ,过点A 作AF BC ⊥于点F ，交y 轴于点E ，当A E F 、、三点共线时，22AE EC +最小值为AF ，再根据由三角形面积公式得：11•·22BC AF AB OC =，即可求出22AF = ；（3）过D 点作x 轴的垂线，交x 轴于点H ，设点D 的坐标为()2,23m m m +- ，利用tan tan DAB ACO ∠=∠即BH AOAH CO=，代入即可求出m 的值，再求出D 点坐标【详解】解：（1）把点()0,3C 代入抛物线表达式得：9630m m ++= ，解得：1m =-故该抛物线的解析式为：223y x x =+-（2）连接BC ,过点A 作AF BC ⊥于点F ，交y 轴于点E由223y x x =+-，得：()3,0B - ，()0,3C -OB OC ∴= ,即45ABC ∠=，4,32AB BC ∴==由三角形面积公式得：11•·22BC AF AB OC = 即：11324322AF ⨯=⨯⨯ ，解得：22AF =在Rt CEF ∆中，2EF =，2AE AE EF AF ∴=+=∴当A E F 、、三点共线时，2AE EC +最小值为22AF =2222AE EC ∴+= （3）过D 点作x 轴的垂线，交x 轴于点H ，设点D 的坐标为()2,23m m m +-DAB ACO ∠=∠ tan tan DAB ACO ∴∠=∠，即BH AOAH CO=223113m m m +-∴=-或223113m m m --+=-解得：103m =-或1（舍去1m =），或1m =或83- （舍去1m =）过点D 的坐标为1013,39⎛⎫- ⎪⎝⎭ 或811,39⎛⎫-- ⎪⎝⎭【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知三角函数的定义与性质及最值的求法. 21．（1）5；（2）8；（3）21329S (x 224=--+，92，见解析. 【解析】【分析】（1）由正方形的性质可得AB ＝AD ＝4，∠A ＝90°，∠BDA ＝45°＝∠DBA ，由平行线性质可得∠DFE ＝∠A ＝90°，∠DEF ＝∠DBA ＝∠EDF ＝45°，可得DF ＝1，AF ＝3，由勾股定理可求BF 的长；（2）由题意可得DF ＝EF ＝FH ＝2，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠BAE ＝∠FHE ＝∠BHA ，可得AB ＝BH ，由勾股定理可求AB 的长；（3）由三角形面积公式可求S △BEF ＝12EF×AF ＝12x （﹣x ）＝219224x ⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭由二次函数性质可得x ＝2时，S 取得最大值，即点E 是BD 中点，由旋转的性质和直角三角形的性质可证四边形JCEN 是矩形，可证CJ ⊥CE ．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ＝4，∠A ＝90°，∠BDA ＝45°＝∠DBA ， ∵EF ∥AB∴∠DFE ＝∠A ＝90°，∠DEF ＝∠DBA ＝∠EDF ＝45° ∴DF ＝EF∴DE DF ∴DF ＝1∴AF ＝AD ﹣DF ＝3∴BF 5（2）∵DF ＝EF ，DF ＝HF ＝2， ∴EF ＝2＝FH ∴∠FEH ＝∠FHE ∵EF ∥AB∴∠FEH ＝∠BAE ， ∴∠BAE ＝∠FHE ＝∠BHA ∴AB ＝BH∵在Rt △ABE 中，BF 2＝AF 2+AB 2， ∴（AB+2）2＝（AB ﹣2）2+AB 2， ∴AB ＝8，AB ＝0（不合题意舍去） ∴AB ＝8（3）如图，过点J 作JN ⊥BD 于，∵S△BEF＝12EF×AF＝12x（2x）＝2132924x⎛-+⎝⎭∴当x＝322时，S△BEF最大值为94，∵x＝322，∴EF＝32 2∵EF∥AB∴12 EF DE DFAB BD AD===∴BD＝2DE，AD＝2DF∵CB＝CD，BD＝2DE，∴CE⊥BD，BD＝2CE，∵旋转∴JD＝BD，∠JDB＝30°，又∵JN⊥BD∴JD＝2JN，∴BD＝2JN，∴JN＝CE，∵JN⊥BD，CE⊥BD∴JN∥CE，且CE＝JN∴四边形JCEN是平行四边形，∵JN⊥BD∴四边形JCEN是矩形∴CJ⊥CE【点睛】本题是四边形综合题，正方形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，旋转的性质，二次函数的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．22．（1）A (1,0)、B (3,0)；（2）①2MO NH +=，②不会变化，tan FGO ∠=4. 【解析】【分析】（1）令y =kx 2-4kx +3k=0，求得x 1=1,x 2=3,故A （1,0）B （3,0）（2）①过点 E 作 EK ⊥ x 轴于点k ，设 E (m , m 2-4m +3)，易证∆BKE ∽ ∆BHN , ∆AKE∽ ∆AOM ，则K KB KE KE A HB HN MO AO ，==，故23431m m m HN --+-=,24311m m m MO -+--=，求出NH = m -1, MO = -m + 3得()132MO NH m m +=-+-+=；②过点 E 作 EN ⊥ x 轴于点N ，作FH ⊥ x 轴于点H 过点 E作 EM ⊥ FH , 交 FH 的延长线于点 M ，设 F (n ,2n 2 - 8n + 6), E (a ,2a 2 - 8a + 6)当n > 3 时，不能满足∠FBA = ∠EBA ,当 n < 1，由∆FHB ∽ ∆ENB ，则N FH HBE NB=，故2228632863n n w n a a a-+-=-+--，得：n + a = 2()22286286tan tan n n a a FM FGO FEM EM a n-+--+∠=∠==- ， = 8 - 2(n + a) = 4为定值，即tan ∠FGO 的值不变. 【详解】解：（1）令y =kx 2-4kx +3k=0，求得x 1=1,x 2=3,故A （1,0）B （3,0）（2）① y = x 2-4x +3 ，如图 1 过点 E 作 EK ⊥ x 轴于点k ，∵KE ∥HN ∥x 轴，∴∆BKE ∽ ∆BHN , ∆AKE ∽ ∆AOM ，设 E (m , m 2-4m +3)K KB KE KE A HB HN MO AO ，==，即：23431m m m HN --+-=,24311m m m MO -+--= 得： NH = m -1, MO = -m + 3()132MO NH m m ∴+=-+-+=②不会变化。

初中数学人教版九年级上册第二十二章二次函数单元复习-章节测试习题(3)

章节测试题1.【答题】已知，三点在抛物线上，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】D【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．分别计算自变量为-1、1和2所对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．【解答】当x=-1时，y1=x2-2x+m=1+2+m=3+m；当x=1时，y2=x2-2x+m=1-2+m=-1+m；当x=2时，y3=x2-2x+m=4-4+m=m，∵-1+m＜m＜3+m，∴y2＜y3＜y1．选D．2.【答题】如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度米，顶点距水面米（即米），小孔顶点距水面米（即米）．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，则此时大孔的水面宽度长为（）A. 米B.C. 米D. 米【答案】D【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．根据题意，可以得到A、B、M的坐标，设出函数关系式，待定系数求解函数式．根据NC的长度，得出函数的y坐标，代入解析式，即可得出E、F的坐标，进而得出答案．【解答】由题意得，M点坐标为（0，6），A点坐标为（−10，0），B点坐标为（10，0），设中间大抛物线的函数式为代入三点的坐标得到解得∴函数式为∵NC=4.5米，∴令y=45米，代入解析式得∴可得EF=5−（−5）=10米．选D．3.【答题】二次函数，当______时，有最小值．【答案】1【分析】本题考查二次函数的最值问题，二次函数y=a（x-h）2+k的图象的顶点是（h，k），最值在顶点处取得．根据二次函数的最值问题解答即可．【解答】∵a=1＞0，∴当x=1时，y有最小值2．故答案为1．4.【答题】抛物线y=x2﹣5x+6与x轴的交点坐标是______．【答案】，【分析】本题考查了二次函数的性质，解答此题要明白函数y=x2-5x+6与x轴的交点的坐标为y=0时方程-2x2-x+3=0的两个根．【解答】令y=0，则x2-5x+6=0，解得x=3或x=2．则抛物线y=x2-5x+6与x轴的交点坐标是（3，0），（2，0）．故答案是：（3，0），（2，0）．5.【答题】已知的对称轴方程为，并且其图象与轴交于点，则该函数解析式为______．【答案】【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，关键掌握用待定系数法求函数解析式及二次函数图象的性质．由y=x2+ax+b的对称轴方程为x=-2，可求出a的值，再根据图象与y轴交于点（0，-12），即可求出b的值．【解答】∵y=x2+ax+b的对称轴方程为x=-2，∴-=-2，解得a=4，又图象与y轴交于点（0，-12），∴b=-12，故答案是：y=x2+4x-12．6.【答题】飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是S=80t﹣2t2，飞机着陆后滑行的最远距离是______m．【答案】800【分析】本题考查二次函数的应用.根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值．【解答】∵﹣2＜0，∴函数有最大值．当t=﹣=20时，s最大值==800（米），即飞机着陆后滑行800米才能停止．故答案为800．7.【答题】如图，一抛物线弧的最大高度为，跨度为，则距离中点与的地方，弧的高度是______．【答案】【分析】本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．根据所给的条件，建立合适的坐标系，写出二次方程，结合图形可知，点C为顶点，求出顶点坐标即可得出弧的高度．【解答】如图所示，以M为坐标原点，直线AB为x轴，直线MC为y轴，建立坐标系；则抛物线为二次函数y=ax2+15的图象，点B（30，0）；即900a+15=0；得a=-；故函数式为y=-x2+15，当x=12时，y=-×144+15=12；故答案是12．8.【答题】在平面直角坐标系中，点是直线与轴之间的一个动点，且点是抛物线的顶点，则方程的解的个数是______．【答案】，或【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，本题涉及分类思想和方程思想的应用．点M的纵坐标小于2；点M的纵坐标等于2；点M的纵坐标大于2；进行讨论即可得到方程x2+bx+c=2的解的个数．【解答】点M的纵坐标小于2，方程x2+bx+c=2的解是2个不相等的实数根；点M的纵坐标等于2，方程x2+bx+c=2的解是2个相等的实数根；点M的纵坐标大于2，方程x2+bx+c=2的解的个数是0．∴方程x2+bx+c=2的解的个数是0，1或2．故答案是：0，1或2．9.【题文】一球从地面抛出的运动路线呈抛物线状，如图，当球离抛出地的水平距离为时，达到最大高度为，记当球离抛出地的水平距离为，对应高度为，则与的关系式．【答案】．【分析】本题考查了顶点式求二次函数解析式的方法，正确假设出顶点式是解题关键．根据已知得出抛物线经过点（0，0），（20，10），进而利用顶点式求出函数解析式即可．【解答】由题意可得出抛物线过点，故设解析式为，将代入得出，解得，则关于的函数解析式为．10.【题文】已知抛物线，（1）求抛物线与轴的交点坐标；（2）求抛物线与轴的两个交点及两个交点间的距离．（3）求抛物线与轴的交点及与轴交点所围成的三角形面积．（4）把抛物线改为顶点式，说明顶点和对称轴．【答案】（1）抛物线与轴的交点坐标为；（2）两个交点间的距离；（3）12；（4）抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线．【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点.△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了二次函数的三种形式．（1）根据y轴上点的坐标特征，求出自变量为0时的函数值即可；（2）根据抛物线与x轴的交点问题，解方程-2x2-4x+6=0即可得到抛物线与x轴的交点坐标，然后利用两个交点的横坐标之差得到两交点的距离；（3）根据三角形面积公式计算；（4）先利用配方法把一般式化为顶点式y=-2（x+1）2+8，然后根据二次函数的性质求解．【解答】（1）把代入得，∴抛物线与轴的交点坐标为；（2）把代入得，解得，，∴抛物线与轴的两个交点坐标为，，两个交点间的距离；（3）抛物线与轴的交点及与轴交点所围成的三角形面积；（4），∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线．11.【题文】某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共台，空调和冰箱的采购单价与销售单价如表所示：采购单价销售单价空调冰箱（1）若采购空调台，且所采购的空调和冰箱全部售完，求商家的利润；（2）厂家有规定，采购空调的数量不少于台，且空调采购单价不低于元，问商家采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．【答案】（1）9840元；（2）商家采购空调台时，获得的总利润最大，最大利润为元．【分析】本题考查了二次函数的应用以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）结合数量关系列式计算；（2）根据数量关系找出W关于x的函数关系式．（1）当采购空调12台时，冰箱采购8台，根据“总利润=单台冰箱利润×冰箱采购数量+单台空调利润×空调采购数量”列式计算，即可得出结论；（2）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20-x）台，设总利润为W（元），根据“采购空调的数量不少于10台，且空调采购单价不低于1200元”即可得出关于x的一元一次方程组，解方程组即可得出x的取值范围，再结合二次函数的性质即可解决最值问题．【解答】（1）采购空调12台，则采购冰箱20-12=8台．所售空调利润=[1760-（-20×12+1500）]×12=6000（元），所售冰箱利润=[1700-（-10×8+1300）]×8=3840（元），∴总利润=6000+3840=9840（元）．（2）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20-x）台，设总利润为W（元），根据题意得，解得10≤x≤15．W=1760x-（-20x+1500）x+1700（20-x）-[-10（20-x）+1300]（20-x）=30x2-540x+12000=30（x-9）2+9570，∵30＞0，∴当x＞9时，W随着x的增大而增大，∵10≤x≤15，∴当x=15时，W取最大值，最大值=30×（15-9）2+9570=10650（元）．答：商家采购空调15台时，获得的总利润最大，最大利润为10650元．12.【题文】如图，，为抛物线上的两点，且轴，与轴交于点，以点为圆心，为半径画圆，若，求图中阴影部分的面积．【答案】π．【分析】本题考查了二次函数的图象．根据AB的长度求出BC，从而得到点B的横坐标，再代入抛物线解析式求出点B的纵坐标，即可得到OC的长度，也就是圆的半径，再根据二次函数的对称性判断出阴影部分的面积等于圆的面积的，然后列式计算即可得解．【解答】∵，∴，∴点的横坐标为，代入抛物线解析式得，∴，即圆的半径为，由图可知，阴影部分的面积等于圆的面积的．13.【题文】一场篮球赛中，球员甲跳起投篮，已知球在处出手时离地面，与篮筐中心的水平距离为，当球运行的水平距离是时，达到最大高度（处），篮筐距地面，篮球运行的路线为抛物线（如图所示）．（1）建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式；（2）判断此球能否投中？【答案】（1）；（2）球能准确投中．【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，待定系数法求函数的解析式，正确的求得函数的解析式是解题的关键．（1）建立适当的平面直角坐标系，根据已知条件即可得到结论；（2）根据（1）中的篮球运动抛物线的解析式，把坐标（7，3）代入判断是否满足，则即可确定篮球是否能准确投中．【解答】（1）过作水平线的垂线，垂直为，以为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系，由题意得，顶点，设抛物线的解析式为，∴，解得．∴抛物线的解析式为；（2）当时，，∵点在抛物线上，∴球能准确投中．14.【答题】若关于x的函数y＝（2﹣a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（）A. a≠0B. a≠2C. a＜2D. a＞2【答案】B【分析】本题考查二次函数的定义.【解答】∵函数y=（2-a）x2-x是二次函数，∴2-a≠0，即a≠2，选B．15.【答题】下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（）A. 开口向下B. 对称轴是y轴C. 经过原点D. 在对称轴右侧部分是下降的【答案】C【分析】本题考查二次函数的图象和性质.【解答】A.∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，选项A不正确；B.∵﹣，∴抛物线的对称轴为直线x=，选项B不正确；C.当x=0时，y=x2﹣x=0，∴抛物线经过原点，选项C正确；D.∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x=，∴当x＞时，y随x值的增大而增大，选项D不正确，选C．16.【答题】二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（）A. B. 且C. D. 且【答案】D【分析】本题考查二次函数与一元二次方程.【解答】∵二次函数y=kx2−6x+3的图象与x轴有交点，∴方程kx2−6x+3=0（k≠0）有实数根，即△=36−12k⩾0，k⩽3，由于是二次函数，故k≠0，则k的取值范围是k⩽3且k≠0．选D．17.【答题】竖直向上的小球离地面的高度h（米）与时间t（秒）的关系函数关系式为h=-2t2+mt+，若小球经过秒落地，则小球在上抛过程中，第（）秒离地面最高．A. B. C. D.【答案】A【分析】本题考查二次函数的应用——其他问题.【解答】∵竖直上抛的小球离地面的高度h（米）与时间t（秒）的函数关系式为h＝﹣2t2+mt+，小球经过秒落地，∴t＝时，h＝0，则0＝﹣2×（）2+m+，解得m＝，当t＝＝=时，h最大，故答案为．18.【答题】已知二次函数y=2（x﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【分析】本题考查二次函数的图象和性质.【解答】结合二次函数解析式，根据函数的性质对各小题分析判断解答即可：①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本说法错误；②图象的对称轴为直线x=3，故本说法错误；③其图象顶点坐标为（3，1），故本说法错误；④当x＜3时，y随x的增大而减小，故本说法正确．综上所述，说法正确的有④共1个．选A．19.【答题】函数y=ax+b和y=ax2+bx+c（a≠0）在同一个坐标系中的图象可能为（）A. B.C. D.【答案】D【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系.【解答】A．由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由抛物线图象可知，开口向上，a＞0，对称轴x=﹣＞0，b＜0；两者相矛盾，错误；B．由一次函数的图象可知a＞0，b＜0，由抛物线图象可知a＜0，两者相矛盾，错误；C．由一次函数的图象可知a＜0，b＞0，由抛物线图象可知a＞0，两者相矛盾，错误；D．由一次函数的图象可知a＞0，b＜0，由抛物线图象可知a＞0，对称轴x=﹣＞0，b＜0；正确．选D．20.【答题】抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（）A. 先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B. 先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C. 先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D. 先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度【答案】D【分析】本题考查二次函数的图象与几何变换.【解答】抛物线y=x2的顶点为（0，0），抛物线y=（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x﹣2）2﹣1的图象．选D．。

(完整版)人教九年级数学下册同步练习题及答案

2
－
3，如果
y 随 x 的增大而减小，那么
x 的取值范围是 ______.
2．抛物线 y= (x-1) 2+2 的对称轴是直线 ____顶点坐标为 ____。
3 ．抛物线 y 3(x 1)2 2 可由抛物线 y 3 x 2 先向 ____ 平移 ______ 单位，再向 _____ 平移
_______ 单位得到。
1
1．形如 _______ ________ 的函数叫做二次函数 .
2．扇形周长为 10，半径为 x，面积为 y，则 y 与 x 的函数关系式为 _______________ 。
3．下列函数中 , 不是二次函数的是 ( )
A.y=1- 2 x 2
B.y=2(x-1) 2+4 C.y= 1 (x-1)(x+4) D.y=(x-2)
式 :a____0,b____0,c_____0;a+b+c_____0,a-b+c_____0.
2．函数 y=(x+1)(x-2) 的图像的对称轴是 _____, 顶点为 ____.
2
3．若二次函数 y=x － 2x+c 图象的顶点在 x 轴上，则 c 等于 ( )
A. － 1 B.1 4．已知一次函数
3 ．如果二次函数 y x2 2 x c 的图象过点（ 1 ， 2 ），则这个二次函数的解析式为
_____________ 。
4．抛物线 y=x2+1 的图象大致是（
）
y
y
y
y
O
-1
x
O
-1
x
1
O
x
1

人教版九年级数学上册专题三求二次函数的解析式同步测试

求二次函数的解析式一设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)求二次函数的解析式(教材P40练习第2题)一个二次函数的图象经过(0，0)，(－1，－1)，(1，9)三点，求这个二次函数的解析式．解：设这个二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a －b ＋c ＝－1，a ＋b ＋c ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝5，c ＝0，所以所求的二次函数的解析式为y ＝4x 2＋5x .【思想方法】若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，将已知条件代入，求出a ，b ，c 的值．如图1，抛物线的函数解析式是( D )A ．y ＝x 2－x ＋2B ．y ＝x 2＋x ＋2C ．y ＝－x 2－x ＋2D ．y ＝－x 2＋x ＋2【解析】根据题意，设二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，因为抛物线过点(－1，0)，(0，2)，(2，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，c ＝2，4a ＋2b ＋c ＝0，解得a ＝－1，b ＝1，c ＝2，所以这个二次函数的解析式为y ＝－x 2＋x ＋2.图1图2如图2，二次函数y ＝ax 2－4x ＋c 的图象经过坐标原点，与x 轴交于点A (－4，0)．(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线上存在点P ，满足S △AOP ＝8，请直接写出点P 的坐标．解：(1)由已知条件得：⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a ×（－4）2－4×（－4）＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a ＝－1，∴此二次函数的解析式为y ＝－x 2－4x .(2)∵点A 的坐标为(－4，0)，∴AO ＝4.设点P 的坐标为(x ，h )，则S △AOP ＝12AO ·|h |＝12×4×|h |＝8，解得|h |＝4. ①当点P 在x 轴上方时，－x 2－4x ＝4，解得x ＝－2，∴点P 的坐标为(－2，4)；②当点P 在x 轴下方时，－x 2－4x ＝－4，解得x 1＝－2＋22，x 2＝－2－22，∴点P 的坐标为(－2＋22，－4)或(－2－22，－4)，综上所述，点P 的坐标为(－2，4)或(－2＋22，－4)或(－2－22，－4)．如图3，抛物线经过A (－1，0)，B (5，0)，C (0，－52)三点．图3(1)求抛物线的解析式；(2)点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝025a ＋5b ＋c ＝0c ＝－52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－2c ＝－52， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－2x －52； (2)存在．(i)当点N 在x 轴的下方时，如图所示，∵四边形ACNM 是平行四边形，∴CN ∥x 轴，∴点C 与点N 关于对称轴x ＝2对称，∵C 点的坐标为(0，－52)， ∴点N 的坐标为(4，－52)． (ii)当点N ′在x 轴上方时，如图所示，作N ′H ⊥x 轴于点H ，∵四边形ACM ′N ′是平行四边形，∴AC ＝M ′N ′，∠N ′M ′H ＝∠CAO ，∴Rt △CAO ≌Rt △N ′M ′H ，∴N ′H ＝OC ，∵点C 的坐标为(0，－52)， ∴N ′H ＝52，即点N ′的纵坐标为52， ∴12x 2－2x －52＝52，解得x 1＝2＋14，x 2＝2－14.∴点N ′的坐标为(2－14，52)和(2＋14，52)．综上所述，满足题目条件的点N 共有三个，分别为(4，－52)，(2－14，52)和(2＋14，52)．二设顶点式y ＝a (x ＋m )2＋k (a≠0)求二次函数的解析式(教材P36例4)要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m 处达到最高，高度为3 m ，水柱落地处离池中心3 m ，水管应多长？解：以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x 轴，水管所在直线为y 轴，建立直角坐标系．点(1，3)是这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式是y ＝a (x －1)2＋3(0≤x ≤3)．由这段抛物线过点(3，0)，可得0＝a (3－1)2＋3解得a ＝－34因此y ＝－34(x －1)2＋3 (0≤x ≤3) 当x ＝0时，y ＝2.25，也就是说，水管应2.25 m 长．【思想方法】若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，可设所求二次函数的解析式为y ＝a (x ＋m )2＋k ，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式即可．已知某二次函数的图象如图4所示，则这个二次函数的解析式为( D )图4A ．y ＝2(x ＋1)2＋8B ．y ＝18(x ＋1)2－8C ．y ＝29(x －1)2＋8 D ．y ＝2(x －1)2－8 一抛物线的形状、开口方向与y ＝12x 2－4x ＋3相同，顶点坐标为(－2，1)，则此抛物线的解析式为( C )A ．y ＝12(x －2)2＋1 B ．y ＝12(x ＋2)2－1 C ．y ＝12(x ＋2)2＋1 D ．y ＝－12(x ＋2)2＋1 【解析】抛物线的形状、开口方向与y ＝12x 2－4x ＋3相同，所以a ＝12.顶点在(－2，1)，所以抛物线的解析式是y ＝12(x ＋2)2＋1. 已知抛物线y ＝x 2－2x ＋c 的顶点在x 轴上，你认为c 的值应为( C )A ．－1B ．0C ．1D ．2【解析】根据题意得4c －（－2）24×1＝0，所以c ＝1. 抛物线y ＝x 2－2(m ＋1)x ＋2m 2－m 的对称轴为x ＝3，则m 的值是( B )A ．1B ．2C ．3D ．4三利用平移规律求二次函数的解析式(教材P34思考)抛物线y ＝－12(x ＋1)2，y ＝－12(x －1)2与抛物线y ＝－12x 2有什么关系？解：把抛物线y ＝－12x 2向左平移1个单位，就得到抛物线y ＝－12(x ＋1)2；把抛物线y ＝－12x 2向右平移1个单位，就得到抛物线y ＝－12(x －1)2. 【思想方法】 (1)可按照口诀“左加右减，上加下减”写出平移后的解析式；(2)平移所得函数的解析式与平移的先后顺序无关．抛物线y ＝x 2－4x ＋3的图象向左平移2个单位后所得新抛物线的顶点坐标为( A )A ．(0，－1)B ．(0，－3)C ．(－2，－3)D ．(－2，－1)将抛物线y ＝x 2＋x 向下平移2个单位，所得新抛物线的解析式是__y ＝x 2＋x －2__．在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2－4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的新抛物线的解析式为( B )A ．y ＝(x ＋2)2＋2B ．y ＝(x －2)2－2C ．y ＝(x －2)2＋2D ．y ＝(x ＋2)2－2已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (1，0)，B (3，0)，且过点C (0，－3)．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y ＝－x 上，并写出平移后抛物线的解析式．图5解：(1)∵抛物线与x 轴交于点A (1，0)，B (3，0)，∴可设抛物线解析式为y ＝a (x －1)(x －3)，把C (0，－3)代入得：3a ＝－3，解得：a ＝－1，故抛物线解析式为y ＝－(x －1)(x －3)，即y ＝－x 2＋4x －3，∵y ＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1，∴顶点坐标为(2，1)；(2)先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y＝－x2，平移后抛物线的顶点为(0，0)，落在直线y＝－x上．人教版七年级上册期末测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．某天的最高气温是8℃，最低气温是－3℃，那么这天的温差是() A．－3℃B．8℃C．－8℃D．11℃2．下列立体图形中，从上面看能得到正方形的是()3．下列方程是一元一次方程的是()A．x－y＝6 B．x－2＝xC．x2＋3x＝1 D．1＋x＝34．今年某市约有108 000名应届初中毕业生参加中考，108 000用科学记数法表示为()A．0.108×106B．10.8×104C．1.08×106D．1.08×1055．下列计算正确的是()A．3x2－x2＝3 B．3a2＋2a3＝5a5C．3＋x＝3x D．－0.25ab＋14ba＝06．已知ax＝ay，下列各式中一定成立的是()A．x＝y B．ax＋1＝ay－1C．ax＝－ay D．3－ax＝3－ay7．某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利10%，则该商品每件的进价为()A．100元B．105元C ．110元D ．120元8．如果一个角的余角是50°，那么这个角的补角的度数是( )A ．130°B ．40°C ．90°D ．140°9．如图，C ，D 是线段AB 上的两点，点E 是AC 的中点，点F 是BD 的中点，EF ＝m ，CD ＝n ，则AB 的长是( )A ．m －nB ．m ＋nC ．2m －nD ．2m ＋n10．下列结论：①若a ＋b ＋c ＝0，且abc ≠0，则a ＋c 2b ＝－12；②若a ＋b ＋c ＝0，且a ≠0，则x ＝1一定是方程ax ＋b ＋c ＝0的解；③若a ＋b ＋c ＝0，且abc ≠0，则abc ＞0；④若|a |>|b |，则a －b a ＋b >0. 其中正确的结论是( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④二、填空题(每题3分，共24分)11．－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23的相反数是________，－15的倒数的绝对值是________． 12．若－13xy 3与2x m －2y n ＋5是同类项，则n m ＝________.13．若关于x 的方程2x ＋a ＝1与方程3x －1＝2x ＋2的解相同，则a 的值为________．14．一个角的余角为70°28′47″，那么这个角等于____________．15．下列说法：①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③若∠AOC ＝12∠AOB ，则射线OC 是∠AOB 的平分线；④连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；⑤学校在小明家南偏东25°方向上，则小明家在学校北偏西25°方向上，其中正确的有________个．16．在某月的月历上，用一个正方形圈出2×2个数，若所圈4个数的和为44，则这4个日期中左上角的日期数值为________．17．规定一种新运算：a△b＝a·b－2a－b＋1，如3△4＝3×4－2×3－4＋1＝3.请比较大小：(－3)△4________4△(－3)(填“>”“＝”或“<”)．18．如图是小明用火柴棒搭的1条“金鱼”、2条“金鱼”、3条“金鱼”……则搭n 条“金鱼”需要火柴棒__________根．三、解答题(19，20题每题8分，21～23题每题6分，26题12分，其余每题10分，共66分)19．计算：(1)－4＋2×|－3|－(－5)；(2)－3×(－4)＋(－2)3÷(－2)2－(－1)2 018.20．解方程：(1)4－3(2－x)＝5x；(2)x－22－1＝x＋13－x＋86.21．先化简，再求值：2(x2y＋xy)－3(x2y－xy)－4x2y，其中x＝1，y＝－1.22．有理数b在数轴上对应点的位置如图所示，试化简|1－3b|＋2|2＋b|－|3b－2|.23．如图①是一些小正方体所搭立体图形从上面看得到的图形，方格中的数字表示该位置的小正方体的个数．请在如图②所示的方格纸中分别画出这个立体图形从正面看和从左面看得到的图形．24．已知点O是直线AB上的一点，∠COE＝90°，OF是∠AOE的平分线．(1)当点C，E，F在直线AB的同侧时(如图①所示)，试说明∠BOE＝2∠COF.(2)当点C与点E，F在直线AB的两侧时(如图②所示)，(1)中的结论是否仍然成立？请给出你的结论，并说明理由．25．为鼓励居民节约用电，某市电力公司规定了电费分段计算的方法：每月用电不超过100度，按每度电0.50元计算；每月用电超过100度，超出部分按每度电0.65元计算．设每月用电x度．(1)当0≤x≤100时，电费为________元；当x>100时，电费为____________元．(用含x的整式表示)(2)某用户为了解日用电量，记录了9月前几天的电表读数．日期9月1日9月2日9月3日9月4日9月5日9月6日9月7日电表读123130137145153159165 数/度该用户9月的电费约为多少元？(3)该用户采取了节电措施后，10月平均每度电费0.55元，那么该用户10月用电多少度？26．如图，O为数轴的原点，A，B为数轴上的两点，点A表示的数为－30，点B表示的数为100.(1)A，B两点间的距离是________．(2)若点C也是数轴上的点，点C到点B的距离是点C到原点O的距离的3倍，求点C表示的数．(3)若电子蚂蚁P从点B出发，以6个单位长度/s的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/s的速度向左运动，设两只电子蚂蚁同时运动到了数轴上的点D，那么点D表示的数是多少？(4)若电子蚂蚁P从点B出发，以8个单位长度/s的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/s的速度向右运动．设数轴上的点N到原点O的距离等于点P到原点O的距离的一半(点N在原点右侧)，有下面两个结论：①ON＋AQ的值不变；②ON－AQ的值不变，请判断哪个结论正确，并求出正确结论的值．(第26题)答案一、1.D 2.A 3.D 4.D 5.D 6.D7．A8.D9.C10.B二、11.23；512.－813.－514．19°31′13″15.316.717．>18.(6n＋2)三、19.解：(1)原式＝－4＋2×3＋5＝－4＋6＋5＝7；(2)原式＝12＋(－8)÷4－1＝12－2－1＝9.20．解：(1)去括号，得4－6＋3x＝5x.移项、合并同类项，得－2x＝2.系数化为1，得x＝－1.(2)去分母，得3(x－2)－6＝2(x＋1)－(x＋8)．去括号，得3x－6－6＝2x＋2－x－8.移项、合并同类项，得2x＝6.系数化为1，得x＝3.21．解：原式＝2x2y＋2xy－3x2y＋3xy－4x2y＝(2x2y－3x2y－4x2y)＋(2xy＋3xy)＝－5x2y＋5xy.当x＝1，y＝－1时，原式＝－5x2y＋5xy＝－5×12×(－1)＋5×1×(－1)＝5－5＝0.22．解：由题图可知－3<b<－2.所以1－3b>0，2＋b<0，3b－2<0.所以原式＝1－3b－2(2＋b)＋(3b－2)＝1－3b－4－2b＋3b－2＝－2b－5.23．解：如图所示．24．解：(1)设∠COF＝α，则∠EOF＝90°－α.因为OF是∠AOE的平分线，所以∠AOE＝2∠EOF＝2(90°－α)＝180°－2α.所以∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－(180°－2α)＝2α.所以∠BOE＝2∠COF.(2)∠BOE＝2∠COF仍成立．理由：设∠AOC＝β，则∠AOE＝90°－β，又因为OF是∠AOE的平分线，所以∠AOF＝90°－β2.所以∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－(90°－β)＝90°＋β，∠COF＝∠AOF＋∠AOC＝90°－β2＋β＝12(90°＋β)．所以∠BOE＝2∠COF.25．解：(1)0.5x；(0.65x－15)(2)(165－123)÷6×30＝210(度)，210×0.65－15＝121.5(元)．答：该用户9月的电费约为121.5元．(3)设10月的用电量为a度．根据题意，得0.65a－15＝0.55a，解得a＝150.答：该用户10月用电150度．26．解：(1)130(2)若点C在原点右边，则点C表示的数为100÷(3＋1)＝25；若点C在原点左边，则点C表示的数为－[100÷(3－1)]＝－50.故点C表示的数为－50或25.(3)设从出发到同时运动到点D经过的时间为t s，则6t－4t＝130，解得t＝65.65×4＝260，260＋30＝290，所以点D表示的数为－290.(4)ON－AQ的值不变．设运动时间为m s，则PO＝100＋8m，AQ＝4m. 由题意知N为PO的中点，得ON＝12PO＝50＋4m，所以ON＋AQ＝50＋4m＋4m＝50＋8m，ON－AQ＝50＋4m－4m＝50.故ON－AQ的值不变，这个值为50.。

初中数学重点梳理：二次函数拓展

二次函数拓展知识定位本节主要内容有运用两点式求二次函数表达式，以及二次函数中一些技巧规律和方法，综合题函数与方程的转化思想，二次函数也一直都是高考和高中联赛一试的重要内容之一.本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中与二次函数相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。

知识梳理1、二次函数的定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.注意点：二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；当a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .注意点：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.3.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=， ∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 4.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故： ①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧； ③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. （3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点;②0>c ,与y 轴交于正半轴； ③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab. 5.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）两点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 6.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点； ③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故ac x x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121例题精讲【试题来源】1996年全国高中数学联赛【题目】如果在区间[1，2]上，函数f (x )=x 2+px +q 与g (x )=x +1x 2在同一点取相同的最小值，求f (x )在该区间上的最大值【答案】4－5232+34【解析】解：由于g(x)= x +1x 2=12x +12x+1x 2≥3314=3232．当且仅当12x=1x 2，即x=32时等号成立．由于32∈[1，2]，故x=32时g(x)取得最小值．因为f (x )=x 2+px +q =22()24p p x q ++-，所以－p 2=32且 4q －p 24=3232，解得p =－232，q =3232+34．由于32－1<2－32．故在[1．2]上f(x)的最大值为f(2)=4－5232+34．【知识点】二次函数拓展【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】1992年全国高中数学联赛【题目】求函数f (x )=x 4－3x 2－6x +13－x 4－x 2+1的最大值。

完整版)初三数学二次函数专题训练(含标准答案)-

完整版)初三数学二次函数专题训练(含标准答案)-二次函数专题训练（含答案）一、填空题1.把抛物线y=-1/2x向左平移2个单位得抛物线，接着再向下平移3个单位，得抛物线.2.函数y=-2x+x^2图象的对称轴是x=1，最大值是1.3.正方形边长为3，如果边长增加x面积就增加y=x^2+6x+9.4.二次函数y=-2x+8x-6，通过配方化为y=a(x-2)^2-2的形为.5.二次函数y=ax+c（c不为零），当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则x1与x2的关系是x1+x2=-2a/c.6.抛物线y=ax^2+bx+c当b=0时，对称轴是x=0，当a，b同号时，对称轴在y轴侧，当a，b异号时，对称轴在x=-b/2a 处.7.抛物线y=-2(x+1)^2-3开口向下，对称轴是x=-1，顶点坐标是(-1,-3).如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是x<-1.8.若a5/2a时，函数值随x的增大而减小.9.二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）当a>0时，图象的开口向上；当a<0时，图象的开口向下，顶点坐标是(-b/2a,c-b^2/4a).10.抛物线y=-2(x-2)^2+2，开口向下，顶点坐标是(2,2)，对称轴是x=2.11.二次函数y=-3(x-1)^2+2的图象的顶点坐标是（1，2）.12.已知y=(x+1)^2-2，当x≥1时，函数值随x的增大而减小.13.已知直线y=2x-1与抛物线y=5x+k交点的横坐标为2，则k=9，交点坐标为(2,13).14.用配方法将二次函数y=x^2+x-2化成y=a(x-(-1/2))^2-9/4的形式是y=(x+1/2)^2-9/4.15.如果二次函数y=x^2-6x+m的最小值是1，那么m的值是10.二、选择题：16.在抛物线y=2x^2-3x+1上的点是（D）（3，4）17.直线y=5x/2-2与抛物线y=x^2-x的交点个数是（C）2个18.关于抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0），下面几点结论中，正确的有（A、B、C）①当a>0时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大，当a<0时，情况相反。

中考数学复习同步练习10 二次函数3及答案

中考数学复习同步练习（10）（二次函数）3解答题：1．（07贵阳）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3分）（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3分）（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？（4分）2．（06贵阳）某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个；（1）假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是元；这种篮球每月的销售量是个；（用含x的代数式表示）（4分）（2）8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，此时篮球的售价应定为多少元？（8分）3．（08贵阳适应性）为配合社会主义农村建设，某农资公司销售一种农村市场需求较大的新型节能产品，已知每件产品的进价为40元，经销过程中测出销售量y (万件)与销售单价x (元)存在如图14所示的一次函数关系,每年销售该种产品的总开支 z (万元)(不含进价)与年销量y (万件)存在函数关系5.4210+=y z .(1)求y 关于x 的函数关系式;(2)试写出该公司销售该种产品年获利w (万元)关于销售单价x (元)的函数关系式;(年获利=年销售总金额-年销售产品的总进价-年总开支金额)当销售单价x 为何值时,年获利最大?最大值是多少?(3)若公司希望该产品一年的销售获利不低于57.5万元,请你利用(2)小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围.在此条件下要使产品的销售量最大，你认为销售单价应定为多少元?4．（08贵阳）某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加元．求：（1）房间每天的入住量（间）关于（元）的函数关系式．（3分）（2）该宾馆每天的房间收费（元）关于（元）的函数关系式．（3分）（3）该宾馆客房部每天的利润（元）关于（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，有最大值？最大值是多少？（6分）x y x z x w x w参考答案一、1．（1）903(50)y x =--化简得：3240y x =-+ ··············································· 3分（2）2(40)(3240)33609600w x x x x =--+=-+- ············································ 3分（3）233609600w x x =-+-0a <，∴抛物线开口向下． ·········································································· 1分当602b x a=-=时，w 有最大值又60x <，w 随x 的增大而增大 ········································································ 2分 ∴当55x =元时，w 的最大值为1125元 ····························································· 3分 ∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润． ··························· 4分2．解：（1）x +10，x 10500- ----------------------------------------------------------4分（2）设月销售利润为y 元 -----------------------------------------------------------5分由题意得：)10500)(10(x x y -+=-----------------------------------------------7分整理得：9000)20(102+--=x y ----------------------------------------------9分当20=x 时，y 有最大值9000 ------------------------------------------------------10分 705020=+ ------------------------------------------------------------------------------11分答：8000元不是最大利润，最大利润是9000元，此时篮球售价为70元； 12分3．解:(1)由题意,设b kx y +=，图象过点(70，5)，(90，3)， ∴570,390.k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得1,1012.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴12101+-=x y （4分） (2)由题意得: 5.42)12101(10)10)(12101()5.4210()40()40(-+---+-=+--=--=x x x y x y z x y w 80)85(1015.642171.022+--=-+-=x x x （10分）当85元时,年获利的最大值为80万元. （12分）()()()()()()分元有最大值，且最大值是元时，天当每个房间的定价为每就是说，，此时，有最大值时，当分分分分.....6.............................. .15210410 410200.2104 (152102101011080042101)2.......................................106020106020033.........................120004010110602002 3. (10)601.25222w x w x x x x x x x w x x x x z x y =+=+--=++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-=。

人教版初中数学二次函数专项训练及解析答案

x
A．
B．
C．
D．
【答案】D 【解析】【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出 a，b，c 的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．【详解】 ∵二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向下， ∴a＜0，
∵二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过原点， ∴c=0， ∵二次函数 y=ax2+bx+c 的图象对称轴在 y 轴左侧， ∴a，b 同号， ∴b＜0， ∴一次函数 y=ax+c，图象经过第二、四象限，
A．①④
B．②④
C．②③
D．①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】
①抛物线与 x 轴由两个交点，则 b2 4ac 0 ，即 b2 4ac ，所以①正确；②由二次函
数图象可知， a 0 ， b 0 ， c 0 ，所以 abc 0 ，故②错误；
③对称轴：直线 x b 1， b 2a ，所以 2a b c 4a c ， 2a
有两个不相等的实数根，其中正确的有（）
A．2 个【答案】B 【解析】
B．3 个
C．4 个
D．5 个
解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵顶点坐标（1，n），∴对称轴为直线 x=1，∴ b 2a
=1，∴b=﹣2a＞0，∵与 y 轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），∴3≤c≤4， ∴abc＜0，故①错误； 3a+b=3a+（﹣2a）=a＜0，故②正确； ∵与 x 轴交于点 A（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，∴a﹣（﹣2a）+c=0，∴c=﹣3a，∴3≤﹣
∴函数 y＝的图象在第二、第四象限，
故选 B．【点睛】本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求 m 的取值范围是本题的关键．

人教版数学九年级上册第22章二次函数综合能力拓展练习

【二次函数】综合能力拓展练习一．选择题1．将抛物线C1：y＝x2﹣2x+3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为（）A．y＝﹣x2﹣2B．y＝﹣x2+2C．y＝x2﹣2D．y＝x2+22．已知某二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（）①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③a＝﹣；④8a+c＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个3．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（）A．abc＞0B．4ac﹣b2＜0C．3a+c＞0D．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1无实数根5．二次函数y＝m在其图象对称轴右侧，y随x值的增大而增大，则m的值为（）A．m≠0B．m＝±1C．m＝1D．m＝﹣16．二次函数y＝x2+2x﹣4的顶点坐标为（）A．（1，5）B．（﹣1，5）C．（﹣1，﹣5）D．（1，﹣5）7．对于二次函数y＝﹣（x+1）2﹣2的图象，下列说法正确的是（）A．有最低点，坐标是（1，2）B．有最高点，坐标是（﹣1，﹣2）C．有最高点，坐标是（1，2）D．有最低点，坐标是（﹣1，﹣2）8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a）．下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8．其中正确的结论有（）个．A．2B．3C．4D．59．一副三角板（△ABC与△DEF）如图放置，点D在AB边上滑动，DE交AC于点G，DF交BC 于点H，且在滑动过程中始终保持DG＝DH，若AC＝2，则△BDH面积的最大值是（）A．3B．3C．D．10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A，B，交y轴于点C．若点A坐标为（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论错误的是（）A．二次函数的最大值为a﹣b+cB．a+b+c＞0C．b2﹣4ac＞0D．2a+b＝0二．填空题11．如果二次函数的图象与已知二次函数y＝x2﹣2x的图象关于y轴对称，那么这个二次函数的解析式是．12．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝（x+1）2先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是．13．若﹣3≤a＜1，则满足a（a+b）＝b（a+1）﹣3a的整数b的值有个．14．把二次函数y＝x2+4x﹣1变形为y＝a（x+h）2+k的形式为．15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2＞4ac，②abc＜0，③2a+b ﹣c＞0，④a+b+c＜0．其中正确的是．三．解答题16．已知抛物线y＝x2+4x﹣5；（1）求出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）求该抛物线与x轴、y轴的交点坐标．17．为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天（1≤x≤15，且x为整数）每件产品的成本是p 元，p与x之间符合一次函数关系，部分数据如下表：天数（x）13610每件成本p（元）7.58.51012任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y（件）与x（天）满足如下关系：y＝设李师傅第x天创造的产品利润为W元．（1）直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？18．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0）与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式及C点坐标；（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；（3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1＝2S2，求m的值．19．某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：55606570销售单价x（元/千克）销售量y（千克）70605040（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？20．已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点P．（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；（2）若点P关于坐标系原点O的对称点仍然在抛物线上，求此时m的值；（3）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围．。

二次函数提高拓展题(含答案)

二次函数提高拓展题一、选择题1. 如图所示，已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象的顶点P 的横坐标是4，图象交x 轴于点A(m ，0)和点B ，且m>4，那么AB 的长是( ) A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m2.已知函数y ＝(k －3)x 2＋2x ＋1的图象与x 轴有交点，则k 的取值围是( ) A ．k ＜4 B ．k ≤4 C．k ＜4且k ≠3 D ．k ≤4且k ≠33.若x 1，x 2（x 1＜x 2）是方程（x-a ）（x-b ）=1（a ＜b ）的两个根，则实数x 1，x 2，a ，b 的大小关系为（）A 、x 1＜x 2＜a ＜bB 、x 1＜a ＜x 2＜bC 、x 1＜a ＜b ＜x 2D 、a ＜x 1＜b ＜x 2 4.如图，四边形ABCD 中，∠BAD =∠ACB =90°，AB =AD ，AC =4BC ，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是（） A ．2425y x =B ．225y x =C ．2225y x =D ．245y x =5.如图，等腰梯形ABCD 的底边AD 在x 轴上，顶点C 在y 轴正半轴上，B （4,2），一次函数1y kx =-的图象平分它的面积，关于x 的函数()232y mx m k x m k =-+++的图象与坐标轴只有两个交点，则m 的值为（）. A ．0B ．21-C ．－1D ．0或21-或－1二、填空题6.如图所示，P 是边长为1的正三角形ABC 的BC 边上一点，从P 向ABA BC D第5图第6图作垂线PQ，Q为垂足．延长QP与AC的延长线交于R，设BP=x（0≤x≤1），△BPQ与△CPR的面积之和为y，把y表示为x的函数是______________________．7.如图是二次函数y1＝ax2＋bx＋c和一次函数y2＝mx＋n的图象，观察图象写出y 2≥y1时，x的取值围______________．8.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是---------------------。

人教版数学九年级上册第22章【二次函数】拓展练习

九年级上册第22章【二次函数】拓展练习一．选择题1．对于抛物线y＝ax2+2ax，当x＝1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知抛物线y＝ax2+1过点（﹣2，0），则方程a（x﹣2）2+1＝0的根是（）A．x1＝0，x2＝4B．x1＝﹣2，x2＝6C．x1＝﹣4，x2＝0D．x1＝，x2＝3．已知二次函数y＝ax2+bx+c中x和y的值如下表（）x0.100.110.120.130.14y﹣5.6﹣3.1﹣1.50.9 1.8则ax2+bx+c＝0的一个根的范围是（）A．0.10＜x＜0.11B．0.11＜x＜0.12C．0.12＜x＜0.13D．0.13＜x＜0.144．二次函数y＝ax2+bx+c的x，y的对应值如下表：x…﹣1012…y…﹣1m1n…下列关于该函数性质的判断①该二次函数有最大值；②当x＞0时，函数y随x的增大而减小；③不等式y＜﹣1的解集是﹣1＜x＜2；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根分别位于﹣1＜x＜和＜x＜2之间．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），若点M、N的坐标分别为（﹣1，﹣2）、（1，﹣2），抛物线顶点P在线段MN上移动．点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．36．下列关于二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（）A．只有一个交点，且它位于y轴的右侧B．只有一个交点，且它位于y轴的左侧C．有两个交点，且它们位于y轴的两侧D．有两个交点，且它们位于y轴的右侧7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于（﹣1，0），（3，0）两点：则下列判断中正确的是（）①图象的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线②当x＞1时，y随x的增大而减小③一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣1和3④当﹣1＜x＜3时，y＜0A．①②B．①②④C．①②③D．④8．如图，抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（）A．或B．或C．或D．或9．对于每个自然数n，抛物线与x轴交于A n、B n两点，以|A n B n|表示该两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2011B2011|的值为（）A．B．C．D．10．已知点A（x1，y1）和B（x2，y2）均在二次函数y＝ax2﹣6ax+9a﹣4的图象上，且|x1﹣3|＜|x2﹣3|，则下列说法错误的是（）A．直线x＝3是该二次函数图象的对称轴B．当a＜0时，该二次函数有最大值﹣4C．该二次函数图象与坐标轴一定有一个或三个交点D．当a＞0时，y1＜y2二．填空题11．抛物线y＝（m﹣1）x2+4x+1与x轴有公共点，则实数m的取值范围是．12．若二次函数y＝x2﹣（m﹣1）x的图象经过点（3，0），则关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x＝0的根为．13．若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点为（4，0）与（2，0），则抛物线的对称轴为直线x＝．14．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是．15．如图，抛物线y＝﹣（x+1）（x﹣9）与坐标轴交于A、B、C三点，D为顶点，连结AC，BC．点P是该抛物线在第一象限内上的一点．过点P作y轴的平行线交BC于点E，连结AP交BC于点F，则的最大值为．三．解答题16．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣1与x轴交于点A，B．（1）若AB＝2，求该抛物线的顶点坐标；（2）过点（0，1）作与x轴平行的直线，交抛物线于点M，N．当MN≥2时，结合函数图象，求m的取值范围．17．已知抛物线y＝x2﹣4x+3（1）求这条抛物线与x轴的交点的坐标；（2）当y＞0时，直接写出x的取值范围；（3）当﹣1＜x＜3时，直接写出y的取值范围．18．已知二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣101234…y…50﹣3﹣4﹣30m…（1）二次函数图象的开口方向，顶点坐标是，m的值为；（2）点P（﹣3，y1）、Q（2，y2）在函数图象上，y1y2（填＜、＞、＝）；（3）当y＜0时，x的取值范围是；（4）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的解为．19．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），对称轴是直线x＝1，且关于x的方程ax2+bx+c＝x 有两个相等的实数根．（1）求抛物线的解析式；（2）设（m，y1），（m+2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，请比较y2﹣y1与0的大小，并说明理由．20．如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3交于A、B两点，点A在y轴上，抛物线交x轴于C、D两点，已知C（﹣3，0）（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，请求出点M的坐标及这个最大值．参考答案一．选择题1．解：当x＝1时，y＝a+2a＝3a＞0，函数的对称轴为：x＝﹣1，顶点纵坐标为：0﹣＝﹣a＜0，故顶点的横坐标和纵坐标都为负数，故选：C．2．解：抛物线y＝ax2+1的对称轴为：x＝0，抛物线与x轴的一个交点为：（﹣2，0），则另外一个交点为：（2，0），抛物线y＝ax2+1向右平移2个单位得到：y＝a（x﹣2）2+1，故a（x﹣2）2+1＝0的根是：x＝0或4，故选：A．3．解：由表可以看出，当x取0.12与0.13之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根．ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为0.12＜x＜0.13．故选：C．4．解：由表格可知，x＝﹣与x＝时y的值相同，∴函数的对称轴为x＝，由表格可知顶点为（，），∴y＝a（x﹣）2+，将点（1，1）代入解析式可得，a＝﹣1，∴y＝﹣x2+x+1；①∵a＜0，∴函数有最大值，故①正确；②当x＞时，y随x值的增大而减小，故②错误；③y＜﹣1即﹣x2+x+1＜﹣1，∴x＞2或x＜﹣1，故③错误；④由表格可知，ax2+bx+c＝0的一个根在﹣1＜x＜，由函数的对称性可知另一个在＜x＜2之间．故④正确；故选：B．5．解：根据题意知，点B的横坐标的最大值为3，即可知当对称轴过N点时，点B的横坐标最大，此时的A点坐标为（﹣1，0），当可知当对称轴过M点时，点A的横坐标最小，此时的B点坐标为（1，0），此时A点的坐标最小为（﹣3，0），故点A的横坐标的最小值为﹣3，故选：A．6．解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2﹣a+1（a＞1），∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝1，当y＝0时，△＝（﹣2a）2﹣4a×1＝4a2﹣4a＝（2a﹣1）2﹣1＞0，即该函数与x轴有两个交点，当x＝0时，y＝1＞0，∴该函数与x轴两个交点，且它们位于y轴的右侧，故选项D正确，选项A、B、C错误；故选：D．7．解：二次函数的图象与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），抛物线的对称轴直线为：x＝＝1，故①正确；∵抛物线开口向下，对称轴为x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故②正确；∵二次函数的图象与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），∴一元二次方程的两个根是﹣1，3，故③正确；∵当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴的上方，∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，故④错误．综上，正确的选项有①②③．故选：C．8．解：∵y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x+1）2﹣4a，∴点A的坐标为（﹣3，0），点B（1，0），点D（﹣1，﹣4a），∴D′（3，4a），C（5，0），∵△CDD′是直角三角形，∴当∠DD′C＝90°时，4a＝×（5﹣1）＝2，得a＝，当∠D′CD＝90°时，CB＝DD′，∴5﹣1＝，解得，a1＝，a2＝﹣（舍去），由上可得，a的值是或，故选：A．9．解：当n＝1时，y＝x2﹣x+，设y＝x2﹣x+＝0的两根式a，b，则a+b＝，ab＝，A1B1＝＝＝＝1﹣，当n＝2时，y＝x2﹣x+，同法可求出：A2B2＝＝﹣，当n＝3 时，y＝x2﹣x+，同法可求出：A3B3＝＝﹣，…当n＝2011 时，y＝x2﹣x+×，同法可求出：A2011B2011＝×＝﹣，∴|A1B1|+|A2B2|+…+|A2011B2011|的值为1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝，故选：D．10．解：∵二次函数y＝ax2﹣6ax+9a﹣4＝a（x﹣3）2﹣4，∴直线x＝3是该二次两数图象的对称轴，当a＜0时，该二次函数有最大值﹣4，故选项A、B正确；∵|x1﹣3|＜|x2﹣3|，点A（x1，y1）和B（x2，y2）均在二次函数y＝ax2﹣6ax+9a﹣4的图象上，∴当a＞0时，y1＜y2，故选项D正确；当x＝0，y＝0时，得a＝，即a＝时，该函数图象与坐标轴有两个交点，故选项C错误；故选：C．二．填空题11．解：由题意得：△＝42﹣4（m﹣1）＝16﹣4m+4＝20﹣4m≥0且m≠1，解得：m≤5，故答案为：m≤5且m≠1．12．解：当x＝0时，y＝x2﹣（m﹣1）x＝0，即二次函数y＝x2﹣（m﹣1）x的图象经过点（0，0），而二次函数y＝x2﹣（m﹣1）x的图象也经过点（3，0），故二次函数y＝x2﹣（m﹣1）x与x轴的交点为（0，0）和（3，0），故关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x＝0的根为0或3，故答案为0或3．13．解：函数的对称轴为：x＝（4+2）＝3，故答案为：3．14．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．故答案为：﹣3＜x＜1．15．解：∵抛物线y＝﹣（x+1）（x﹣9）与坐标轴交于A、B、C三点，∴A（﹣1，0），B（9，0），令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），∴BC＝＝3设直线BC的解析式为y＝kx+b．∵将B、C的坐标代入得：，解得k＝﹣，b＝3，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．设点P的横坐标为m，则纵坐标为﹣（m+1）（m﹣9），点E（m，﹣m+3），∴PE＝﹣（m+1）（m﹣9）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m．作PN⊥BC，垂足为N．∵PE∥y轴，PN⊥BC，∴∠PNE＝∠COB＝90°，∠PEN＝∠BCO．∴△PNE∽△BOC．∴＝＝＝．∴PN＝PE＝（﹣m2+3m）．∵AB2＝（9+1）2＝100，AC2＝12+32＝10，BC2＝90，∴AC2+BC2＝AB2．∴∠BCA＝90°，又∵∠PFN＝∠CFA，∴△PFN∽△AFC．∴＝＝＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+．∴当m＝﹣＝时，的最大值为．故答案为．三．解答题16．解：（1）抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣1的对称轴为直线x＝﹣＝1．∵点A、B关于直线x＝1对称，AB＝2，∴抛物线与x轴交于点A（0，0）、B（2，0），将（0，0）代入y＝mx2﹣2mx+m﹣1中，得m﹣1＝0，即m＝1，∴该抛物线解析式为y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴该抛物线的顶点坐标是（1，﹣1）；（2）抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣1与x轴有两个交点，∴△＞0即（﹣2m）2﹣4m（m﹣1）＞0，解得：m＞0，∴该抛物线开口向上，当MN≥2时，则有m﹣1≤1，解得m≤2，所以，可得0＜m≤2．17．解：（1）y＝x2﹣4x+3，令y＝0，则x＝1或3，故抛物线与x轴的交点的坐标为：（1，0）或（3，0）；（2）y＞0时，x＞3或x＜1；（3）当x＝﹣1时，y＝8，函数顶点坐标为：（2，﹣1），故当﹣1＜x＜3时，y的取值范围为：﹣1≤y＜8．18．解：（1）由表格可见，函数的对称轴为x＝1，对称轴右侧，y随x的增大而增大，故抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣4），根据函数的对称性m＝5；故答案为：向上；（1，﹣4）；5；（2）从P、Q的横坐标看，点Q离函数的对称轴近，故y1＞y2；故答案为：＞；（3）从表格看，当y＜0时，x的取值范围是：﹣1＜x＜3，故答案为：﹣1＜x＜3；（4）从表格看，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的解为：x＝﹣2或4，故答案为：x＝﹣2或4．19．解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a+2b+c①，函数的对称轴为x＝1＝﹣，即b＝﹣2a②，关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，则△＝（b﹣1）2﹣4ac＝0③，联立①②③并解得：，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x；（2）（m，y1），（m+2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，则y2﹣y1＝﹣（m+2）2+（m+2）+m2﹣m＝﹣2m，故当m≥0时，y2﹣y1≤0；当m＜0时，y2﹣y1＞0．20．解：（Ⅰ）当x＝0时，y＝x+3＝3，则A（0，3），把A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2+x+3；（Ⅱ）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣，∵C点和D点关于直线x＝﹣对称，∴MC＝MD，∵|MB﹣MC|≤BC（当B、C、M共线时，取等号），∴|MB﹣MC|的最大值为BC的长，解方程组，解得，则B（﹣4，1），∴BC＝＝，设直线BC的解析式为y＝kx+t，把B（﹣4，1），C（﹣3，0）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3，当x＝﹣时，y＝﹣x﹣3＝﹣，则此时M点的坐标为（﹣，﹣），∴点M的坐标为（﹣，﹣）时，|MB﹣MD|的值最大，最大值为．。

九年级数学二次函数专项训练含答案-精选5份

九年级数学二次函数专题精练含答案一、单选题1．关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（） A ．有最大值4 B ．有最小值4 C ．有最大值6 D ．有最小值6 2．已知抛物线24y x x c =-++经过点(4,3)，那么下列各点中，该抛物线必经过的点是（）A ．(0,2)B ．(0,3)C ．(0,4)D ．(0,5) 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线245y x x =-+，将该抛物线沿y 轴翻折所得的抛物线的表达式为（）A ．245y x x =--+B ．245y x x =++C ．245y x x =-+-D ．245y x x =--- 4．正方形的边长为4，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 关于x 的函数表达式为( ) A ．216y x =+ B ．2(4)y x =+ C ．28y x x =+ D ．2164y x =- 5．把抛物线22y x =向右平移2个单位，然后向下平移1个单位，则平移后得到的抛物线解析式是（）A ．22(2)1y x =-+-B ．22(2)1y x =--+C ．22(2)1y x =++D ．22(2)1y x =--6．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象关于直线1x =对称，与x 轴交于1(,0)A x ，2(,0)B x 两点，若121x -<<-，则下列四个结论：①234x <<，①320a b +>，①24b a c ac >++，①a c b >>．正确结论的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．对于抛物线23(1)2y x =-+-，下列说法正确的是（）A ．抛物线开口向上B ．当1x >-时，y 随x 增大而减小C ．函数最小值为﹣2D ．顶点坐标为（1，﹣2）8．关于二次函数()215y x =-+，下列说法正确的是（）A ．函数图象的开口向下B ．函数图象的顶点坐标是()1,5-C ．该函数有最大值，是大值是5D ．当1x >时，y 随x 的增大而增大 9．已知A (−3，−2) ，B (1，−2)，抛物线y =ax 2+bx +c (a >0)顶点在线段AB 上运动，形状保持不变，与x 轴交于C ，D 两点（C 在D 的右侧），下列结论：①c ≥−2 ；①当x >0时，一定有y 随x 的增大而增大；①若点D 横坐标的最小值为−5，点C 横坐标的最大值为3；①当四边形ABCD 为平行四边形时，a =12．其中正确的是（）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①① 10．已知二次函数2243y mx m x =--（m 为常数，0m ≠），点(),p p P x y 是该函数图象上一点，当04p x ≤≤时，3p y ≤-，则m 的取值范围是（）A ．m 1≥或0m <B ．m 1≥C ．1m ≤-或0m >D ．1m ≤-11．已知函数()211y ax a x =-++，则下列说法不正确的个数是（）①若该函数图像与x 轴只有一个交点，则1a =①方程()2110ax a x -++=至少有一个整数根①若11x a<<，则()211y ax a x =-++的函数值都是负数 ①不存在实数a ，使得()2110ax a x -++≤对任意实数x 都成立A ．0B ．1C ．2D ．312．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点P 从点A 出发沿路径A B C →→向终点C 运动，连接DP ，作DP 的垂直平分线MN 与正方形ABCD 的边交于M ，N 两点，设点P 的运动路程为x ，PMN 的面积为y ，则下列图象能大致反映y 与x 函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知点（3，a ）在抛物线y =-2x 2+2x 上，则=a ______．14．如图是二次函数21y ax bx c =++ 和一次函数y 2＝kx +t 的图象，当y 1≥y 2时，x 的取值范围是_____．15．小亮同学在探究一元二次方程2ax bx c 0++=的近似解时，填好了下面的表格：根据以上信息请你确定方程2ax bx c 0++=的一个解的范围是________．16．已知二次函数223y x x =--+，当12a x时，函数值y 的最小值为1，则a 的值为_______．17．已知抛物线2122y x bx =+-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点．（1）若(1,0)A -，则b =______．（2）若(1,0)M -，(1,0)N ，抛物线2122y x bx =+-与线段MN 没有交点，则b 的取值范围为______．三、解答题18．已知抛物线经过点()1,0A -，()5,0B ，()0,5C ，求该抛物线的函数关系式 19．如图，抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+分别相交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上，且此抛物线与x 轴的一个交点为()3,0C -．（1）求抛物线的解析式（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使MBC ∆的周长最小，请求出这个周长的最小值．20．如图，一次函数y A 、B ，二次函数2y bx c ++图象过A 、B 两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B 关于抛物线对称轴的对称点为点C ，点P 是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q ，使得以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A (﹣2，0)和点B (8，0)，与y 轴交于点C (0，﹣8)，连接AC ，D 是抛物线对称轴上一动点，连接AD ，CD ，得到①ACD ．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）①ACD 周长能否取得最小值，如果能，请求出D 点的坐标；如果不能，请说明理由．（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点E ，使得①ACE 与①ACD 面积相等，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案1--10DBCCD BBDDA 11--12CA13．-1214．﹣1≤x ≤215．3.24x 3.25<<16．1-17． 32- 3322b -<< 18．解：①抛物线经过点()1,0A -，()5,0B ，()0,5C ，①设抛物线的表达式为()()15y a x x =+-，将点()0,5C 代入得：55a =-，解得：1a =-，①()()21545y x x x x =-+-=-++．①该抛物线的函数关系式为245y x x =-++．19．.解：（1）抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+交于y 轴上一点A ，令0,x = 则3,y = ∴ 点()0,3A把()0,3A ，()3,0C -代入212y x bx c =++得： 39302c b c =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得：523b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式是215322y x x =++；（2）将直线132y x =+与二次函数215322y x x =++联立得方程组： 213215322y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ 215133,222x x x ∴++=+ 240,x x ∴-=解得：0x =或4x =-，04,,31x x y y ==-⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩()0,3A ，()4,1B ∴-BC ∴==如图，要使MBC △的周长最小，则MB MC +最小，设二次函数215322y x x =++与x 轴的另一交点为D ，抛物线的对称轴为：552,1222x=-=-⨯()3,0C-∴点()2,0D-，连接,BD交对称轴于,MMD MC∴=，此时，MB MC MB MD BD+=+=最小，此时：BD=MBC∴20．解：（1）对于y x=x=0时，y=当y=0时，03x-=，妥得，x=3①A（3，0），B（0，把A（3，0），B（0，2y bx c++得：+=0b cc⎧⎪⎨=⎪⎩解得，bc⎧=⎪⎨⎪=⎩①抛物线的解析式为：2y x x=-（2）抛物线的对称轴为直线12bxa=-==故设P（1，p），Q（m，n）①当BC为菱形对角线时，如图，①B ，C 关于对称没对称，且对称轴与x 轴垂直，①①BC 与对称轴垂直，且BC //x 轴①在菱形BQCP 中，BC ①PQ①PQ ①x 轴①点P 在x =1上，①点Q 也在x =1上，当x =1时，211y①Q （1，）； ①当BC 为菱形一边时，若点Q 在点P 右侧时，如图，①BC //PQ ，且BC =PQ①BC //x 轴，①令y =2y 解得，120,2x x ==①(2,C①PQ=BC=22①PB=BC=2①迠P在x轴上，①P(1,0)①Q(3，0)；若点Q在点P的左侧，如图，同理可得，Q（-1，0）综上所述，Q点坐标为（1，）或(3，0)或（-1，0）21．解：（1）由题意可得：0=4206488a b ca b cc-+⎧⎪=++⎨⎪=-⎩，解得：1238abc⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，①抛物线的解析式为：y＝12x2﹣3x﹣8；（2）△ACD周长能取得最小值，①点A（﹣2，0），点B（8，0），①对称轴为直线x＝3，①①ACD周长＝AD+AC+CD，AC是定值，①当AD+CD取最小值时，△ACD周长能取得最小值，①点A，点B关于对称轴直线x＝3对称，①连接BC交对称轴直线x＝3于点D，此时AD+CD有最小值，设直线BC 解析式为：y ＝kx ﹣8，①0＝8k ﹣8，①k ＝1，①直线BC 解析式为：y ＝x ﹣8，当x ＝3，y ＝﹣5，①点D （3，﹣5）；（3）存在，①点A （﹣2，0），点C （0，﹣8），①直线AC 解析式为y ＝﹣4x ﹣8，如图，①①ACE 与①ACD 面积相等，①DE ①AC ，①设DE 解析式为：y ＝﹣4x +n ，①﹣5＝﹣4×3+n ，①n ＝7，①DE 解析式为：y ＝﹣4x +7，联立方程组可得：2471382y x y x x =-+⎧⎪⎨=--⎪⎩，解得：12111x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，22111x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ①点E1，﹣1，）．九年级上册数学二次函数同步练习一、单选题1．下列函数中，是二次函数的是（） A ．y ＝（2x ﹣1）2 B ．y ＝（x +1）2﹣x 2 C ．y ＝ax 2D ．y ＝2x +32．若抛物线258(3)23m m y m x x -+=-+-是关于x 的二次函数，那么m 的值是（）A ．3B ．2-C ．2D ．2或33．若抛物线y =x 2-x -2经过点A （3，a ），则a 的值是（） A ．2B ．4C ．6D ．84．已知二次函数2135y x x =-+，则其二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c 分别是（） A ．1,3,5a b c ==-= B ．1,3,5a b c ===C ．5,3,1a b c ===D ．5,3,1a b c ==-=5．如果函数2(2)25y a x x =-+-是二次函数，则a 的取值范围是（） A ．2a ≠ B ．a≥0C ．a=2D ．a>06．下列函数中①31y x ；①243y x x =-；①1y x=；①225=-+y x ，是二次函数的有（） A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①7．若抛物线2y x bx c =-++经过点()2,3-，则247c b --的值是（） A ．6B ．7C ．8D ．208．函数y=ax2+bx+c(a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是( ) A ．a≠0，b≠0，c≠0 B ．a<0，b≠0，c≠0 C ．a>0，b≠0，c≠0 D ．a≠0二、填空题 9．若()2321m m y m x --=+是二次函数，则m 的值为______．10．若22ay x -=是二次函数，则=a ________．11．在二次函数21y x =-+中，二次项系数、一次项系数、常数项的和为_____． 12．下列函数一定是二次函数的是__________．①2y ax bx c =++；①3y x =-；①2431y x x =-+；①2(1)y m x bx c =-++；①y =(x -3)2-x 213．当常数m ≠______时，函数y =（m 2﹣2m ﹣8）x 2+（m +2）x +2是二次函数；当常数m =___时，这个函数是一次函数． 14．已知函数2135m y x -=-① 当m ＝ _________时，y 是关于x 的一次函数； ① 当m ＝_________时，y 是关于x 的二次函数．15．二次函数()22339y m x x m =+++-的图象经过原点，则m =__________．16．已知二次函数2y x bx 3=-++，当x 2=时，y 3=．则这个二次函数的表达式是________．三、解答题17．下列函数中（x ，t 是自变量），哪些是二次函数？ 22322113,25,22,1522y x y x x y x s t t =-+=-+=+=++．18．已知函数y =（m 2-2）x 2+（m x +8．（1）若这个函数是一次函数，求m 的值；（2）若这个函数是二次函数，求m 的取值范围.19．若函数y=（a -1）x b+1+x 2+1是二次函数，试讨论a 、b 的取值范围.20．篱笆墙长30m ，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m 2)与长x 之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围.参考答案：1．A 2．C 3．B 4．D 5．A 6．B 7．B 8．D 9．4 10．2± 11．0 12．①13． 4，-2 4 14． 1 3215．316．2y x 2x 3=-++17．2132y x =-+和215s t t =++是二次函数18．（1）m （2）m ≠m ≠19．①a≠0；①b=0或-1，a 取全体实数①当a=1，b 为全体实数时，y=x 2+1是二次函数 20．y= 21152x x -+, x 的取值范围为0<x<30.九年级数学上册二次函数的图象与性质练习题（附答案）一．选择题1．如果在二次函数的表达式y ＝ax 2+bx +c 中，a ＞0，b ＜0，c ＜0，那么这个二次函数的图象可能是（）A．B．C．D．2．已知y＝（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（）A．﹣2B．2C．±2D．03．已知A（，y1），B（2，y2），C（﹣，y3）是二次函数y＝3（x﹣1）2+k图象上三点，则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y2＞y1D．y2＞y3＞y14．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则这个二次函数的表达式为（）A．y＝﹣x2+2x+3B．y＝x2+2x+3C．y＝﹣x2+2x﹣3D．y＝﹣x2﹣2x+3 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（）A．B．C．D．6．关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的判断，下列说法正确的是（）A．抛物线的开口方向向上B．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1C．抛物线对称轴左侧部分是下降的D．抛物线顶点到x轴的距离是27．已知二次函数y＝x2﹣4x+5（0≤x≤3），则它的最大值是（）A．1B．2C．3D．58．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c＞0；④当x＜1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3．其中，正确的说法有（）A．①②④B．①②⑤C．①③⑤D．②④⑤9．已知函数y＝2（x+1）2+1，则（）A．当x＜1 时，y随x的增大而增大B．当x＜1 时，y随x的增大而减小C．当x＜﹣1 时，y随x的增大而增大D．当x＜﹣1 时，y随x的增大而减小10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的有（）个．①abc＞0；②2a+b＝0；③9a+3b+c＜0；④4ac﹣b2＜0；⑤a+b≥m（am+b）（m为任意实数）．A．3B．2C．1D．0二．填空题11．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是．（请用“＞”连接排序）12．抛物线y＝3x2+6x+11的顶点坐标为．13．二次函数y＝3（x﹣1）2+5的最小值为．14．已知二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，则b＝．15．二次函数y＝x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为．16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；②a+c＞b；③抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc＞0．其中正确的结论是（填写序号）．三．解答题17．已知二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），且经过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）判断点C（2，﹣3）是否在该函数图象上，并说明理由．18．如图，已知直线l过点A（4，0），B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP＝4，试求二次函数的表达式．19．如图，直线L1：y＝bx+c与抛物线L2：y＝ax2的两个交点坐标分别为A（m，4），B（1，1）．（1）求m的值；（2）过动点P（n，0）且垂直于x轴的直线与L1，L2的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，请直接写出n的取值范围．20．已知二次函数y＝a（x+a）（x+a﹣1）．（1）当a＝2时，求该二次函数图象的对称轴．（2）当a＜0时，判断该二次函数图象的顶点所在的象限，并说明理由．（3）当0＜x＜3时，y随着x增大而增大，求a的取值范围．21．已知二次函数y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx﹣2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中A（﹣1，﹣1），求△OAB的面积．22．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和点B（0，3），且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积．23．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣1，0）和B（2，3）两点，抛物线与y轴交于点C．（1）求一次函数和二次函数的解析式；（2）求△ABC的面积．参考答案一．选择题1．解：∵a＞0，b＜0，c＜0，∴﹣＞0，∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，故选：C．2．解：∵y＝（m+2）x|m|+2是y关于x的二次函数，∴|m|＝2且m+2≠0．解得m＝2．故选：B．3．解：∵二次函数y＝3（x﹣1）2+k图象的对称轴为直线x＝1，而A（，y1）到直线x＝1的距离最近，C（﹣，y3）到直线x＝1的距离最远，∴y3＞y2＞y1．故选：C．4．解：由图象知抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，将（﹣3，0）、（0，3）代入，得：，解得：，则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，故选：D．5．解：A、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误．故选：A．6．解：∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，∴抛物线开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，﹣2），在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴A、B、C不正确；∵抛物线顶点到x轴的距离是|﹣2|＝2，∴D正确，故选：D．7．解：y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，由于0≤x≤3，所以当x＝2时，y有最小值1，当x＝0时，y有最大值5．故选：D．8．解：根据图象可知：①对称轴﹣＞0，故ab＜0，正确；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3，正确；③x＝1时，y＝a+b+c＜0，错误；④当x＜1时，y随x值的增大而减小，错误；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3，正确．正确的有①②⑤．故选：B．9．解：∵y＝2（x+1）2+1，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，故选项A错误，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项B错误、选项C错误、选项D正确；故选：D．10．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点坐标在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵b＝﹣2a，∴2a+b＝0，所以②正确；∵x＝3时，y＜0，∴9a+3b+c＜0，所以③正确．∵抛物线与x轴有2个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，所以④正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴函数的最大值为a+b+c，∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），即a+b≥m（am+b），所以⑤正确．故选：C．二．填空题11．解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，③y＝a3x2的开口大于④y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，故a1＞a2＞a3＞a4．故答案为：a1＞a2＞a3＞a412．解：∵y＝3x2+6x+11＝3（x+1）2+8，∴抛物线y＝3x2+6x+11的顶点坐标为（﹣1，8），故答案为（﹣1，8）．13．解：由于二次函数y＝3（x﹣1）2+5中，a＝3＞0，所以当x＝1时，函数取得最小值为5，故答案为5．14．解：∵二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，∴＝0，解得b＝，故答案为：±4．15．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，∴在2≤x≤5范围内，当x＝2时，y取得最小值，此时y＝（2﹣1）2＝1，故答案为：1．16．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴2a+b＝0，所以①正确；∵x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，即a+c＜b，所以②错误；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），所以③错误；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴b＝﹣2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，所以④正确．故答案为①④．三．解答题17．解：（1）设二次函数的解析式是y＝a（x﹣h）2+k，∵二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），∴y＝a（x﹣1）2﹣4，∵经过点B（3，0），∴代入得：0＝a（3﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4，即二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）点C（2，﹣3）在该函数图象上，理由是：把C（2，﹣3）代入y＝x2﹣2x﹣3得：左边＝﹣3，右边＝4﹣4﹣3＝﹣3，即左边＝右边，所以点C在该函数的图象上．18．解：设直线l的解析式为y＝kx+b，把A（4，0），B（0，4）分别代入得，解得，∴直线l的关系式为y＝﹣x+4，设P（t，﹣t+4），∵S△AOP＝4，∴×4×（﹣t+4）＝4，解得t＝2，∴P（2，2），把P（2，2）代入y＝ax2得4a＝2，解得a＝，∴二次函数的表达式为y＝x2．19．解：（1）把B（1，1）代入y＝ax2得：a＝1，∴抛物线解析式为y＝x2．把A（m，4）代入y＝x2得：4＝m2，∴m＝±2．∵点A在二象限，∴m＝﹣2．（2）观察函数图象可知：当﹣2＜x＜1时，直线在抛物线的上方，∴n的取值范围为：﹣2＜n＜1．20．解：（1）当a＝2时，y＝2（x+2）（x+1），∴二次函数的对称轴为x＝．（2）由题知二次函数与x轴的交点坐标为（﹣a，0），（1﹣a，0）；∵a＜0，∴二次函数的开口方向向下；又﹣a＞0，1﹣a＞0，所以对称轴所在直线为x＝＝＞0，当x＝时，y＝﹣＞0，所以顶点坐标（，﹣）在第一象限．（3）由（2）知，二次函数的对称轴为直线x＝，∵当0＜x＜3时，y随着x增大而增大，∴当a＞0时，≤0，解得a≥；当a＜0，≥3，解得a≤﹣．∴a的取值范围为a≥或a≤﹣．21．解：∵一次函数y＝kx﹣2的图象相过点A（﹣1，﹣1），∴﹣1＝﹣k﹣2，解得k＝﹣1，∴一次函数表达式为y＝﹣x﹣2，∴令x＝0，得y＝﹣2，∴G（0，﹣2），∵y＝ax2过点A（﹣1，﹣1），∴﹣1＝a×1，解得a＝﹣1，∴二次函数表达式为y＝﹣x2，由一次函数与二次函数联立可得，解得，，∴S△OAB＝OG•|A的横坐标|+OG•点B的横坐标＝×2×1+×2×2＝1+2＝3．22．解：（1）∵抛物线经过A、B（0，3）∴由上两式解得∴抛物线的解析式为：；（2）由（1）抛物线对称轴为直线x＝把x＝代入，得y＝4则点C坐标为（，4）设线段AB所在直线为：y＝kx+b，则有，解得∴AB解析式为：∵线段AB所在直线经过点A、B（0，3）抛物线的对称轴l于直线AB交于点D∴设点D的坐标为D将点D代入，解得m＝2∴点D坐标为，∴CD＝CE﹣DE＝2过点B作BF⊥l于点F∴BF＝OE＝∵BF+AE＝OE+AE＝OA＝∴S△ABC＝S△BCD+S△ACD＝CD•BF+CD•AE∴S△ABC＝CD（BF+AE）＝×2×＝23．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣1，0）和B（2，3）两点∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，设直线AB的解析式为y＝mx+n（m≠0），则，解得，∴直线AB的解析式为y＝x+1；（2）令x＝0，则y＝﹣x2+2x+3＝3，∴C（0，3），则OC＝3，BC＝2，BC∥x轴，∴S△ABC＝×BC×OC＝＝3．九年级数学上册《二次函数》专题测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分32分）1．若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（）A．1B．﹣5C．﹣1D．﹣5或﹣12．下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论错误的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而减小B．该函数的图象一定经过点（0，1）C．该函数图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上D．该函数图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同3．已知：抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣2）2+1，则抛物线的对称轴是直线（）A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝2D．x＝﹣24．将二次函数y＝2x2向左平移5个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线表达式为（）A．y＝2（x+5）2﹣3B．y＝2（x+5）2+3C．y＝2（x﹣5）2﹣3D．y＝2（x﹣5）2+35．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：（1）4ac＜b2；（2）abc＜0；（3）2a+b＜0；（4）（a+c）2＜b2其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．46．已知抛物线y＝ax2+4ax﹣8与直线y＝n相交于A，B两点（点A在点B左侧），AB＝4，且抛物线与x轴只有一个交点，则n的值为（）A．﹣8B．﹣4C．4D．87．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m ＝0（m＞0）有两个整数根，其中一个根是3，则另一个根是（）A．﹣5B．﹣3C．﹣1D．38．物理课上我们学习了竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：①小球在空中经过的路程是40m②小球抛出3s后，速度越来越快③小球抛出3s时速度为0④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s其中正确的是（）A．①②③B．①②C．②③④D．②③二．填空题（共8小题，满分32分）9．已知抛物线y＝x2+bx+c关于直线x＝2对称，设x＝1，2，4时对应的函数值依次为y1，y2，y4，那么y1，y2，y4的大小关系是．（用“＜”连接）10．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）（I）抛物线的对称轴为；（2）若当﹣2≤x≤2时，y的最大值是1，求当﹣2≤x≤2时，y的最小值是．11．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的两根之积是．12．已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是．13．将抛物线y＝﹣（x﹣3）2﹣1向右平移5个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的解析式为．14．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，9），B（1，1），则方程ax2﹣bx﹣c＝0的解是．15．抛物线y＝ax2+bx+tc（a＜0）交x轴于点A、B，交y轴于点C（0，3），其中点B坐标为（1，0），同时抛物线还经过点（2，﹣5）．（1）抛物线的解析式为；（2）设抛物线的对称轴与抛物线交于点E，与x轴交于点H，连接EC、EO，将抛物线向下平移n（n＞0）个单位，当EO平分∠CEH时，则n的值为．16．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y （个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为元（利润＝总销售额﹣总成本）．三．解答题（共6小题，满分56分）17．已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）．（1）求m的值；（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．18．对于向上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：h＝v0t﹣gt2（h是物体离起点的高度，v0是初速度，g是重力系数，取10m/s2，t是抛出后经过的时间）．杂技演员抛球表演时，以10m/s的初速度把球向上抛出．（1）球抛出后经多少秒回到起点？（2）几秒后球离起点的高度达到1.8m？（3）球离起点的高度能达到6m吗？请说明理由．19．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1．（1）若该函数的图象经过点（1，2），求该二次函数图象的顶点坐标．（2）若（x1，y1），（x1，y2）为此函数图象上两个不同点，当x1+x2＝﹣2时，恒有y1＝y2，试求此函数的最值．（3）当a＜0且a≠﹣1时，判断该二次函数图象的顶点所在象限，并说明理由．20．某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？（3）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？21．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（4，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点D、N．（1）求直线AB的表达式和抛物线的表达式；（2）若DN＝3DM，求此时点N的坐标；（3）若点P为直线AB上方的抛物线上一个动点，当∠ABP＝2∠BAC时，求点P的坐标．22．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，﹣2），点C（0，﹣5），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交二次函数y＝x2+bx+c的图象于点B，连接BC．（1）求该二次函数的表达式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向上平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；（3）若E为线段AB上一点，且BE：EA＝3：1，P为直线AC上一点，在抛物线上是否存在一点Q，使以B、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：∵函数y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，∴|a+3|＝2且a+1≠0，解得a＝﹣5，故选：B．2．解：A．∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数），∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，∴x＞m时，y随x增大而减小，故A错误，符合题意；∵当x＝0时，y＝1，∴该函数的图象一定经过点（0，1），故B正确，不合题意；∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1，∴抛物线顶点坐标为（m，m2+1），∴抛物线顶点在抛物线y＝x2+1上，故C正确，不合题意；∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1与y＝﹣x2的二次项系数都为﹣1，∴两函数图象形状相同，故D正确，不合题意．故选：A．3．解：∵y＝﹣3（x﹣2）2+1，∴抛物线对称轴为直线x＝2．故选：C．4．解：将二次函数y＝2x2向左平移5个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线表达式为y＝2（x+5）2+3，故选：B．5．解：根据图象知道抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，故（1）正确．∵抛物线开口朝下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，∴abc＜0，故（2）正确；∵对称轴x＝﹣＞1，∴2a+b＞0，故（3）错误；根据图象知道当x＝1时，y＝a+b+c＞0，根据图象知道当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴（a+c）2﹣b2＝（a+c+b）（a+c﹣b）＜0，故（4）正确；故选：C．6．解：∵抛物线与x轴只有一个交点，∴a≠0且Δ＝16a2﹣4a×（﹣8）＝0，∴a＝﹣2，∴抛物线解析式为y＝﹣2x2﹣8x﹣8，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，而AB平行x轴，AB＝4，∴A点的横坐标为﹣4，B点的横坐标为0，当x＝0时，y＝﹣8，∴n的值为﹣8．故选：A．7．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，∴函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝﹣m的一个交点的横坐标为3，∵对称轴是直线x＝﹣1，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝﹣m的另一个交点的横坐标为﹣5，∴关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根是﹣5，故选：A．8．解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故①错误；②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；④设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40，把O（0，0）代入得0＝a（0﹣3）2+40，解得，∴函数解析式为，把h＝30代入解析式得，，解得：t＝4.5或t＝1.5，∴小球的高度h＝30m时，t＝1.5s或4.5s，故④错误；故选D．二．填空题（共8小题，满分32分）9．解：∵抛物线y＝x2+bx+c的开口向上，对称轴是直线x＝2，∴当x＝2时取最小值，又|1﹣2|＜|4﹣2|，∴y1＜y4，故答案为：y2＜y1＜y4．10．解：（1）抛物线的对称轴为：直线x＝﹣＝1，故答案为：直线x＝1；（2）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1（a＜0），∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，当x＝1时，取得最大值﹣a﹣1，∵当﹣2≤x≤2时，y的最大值是1，∴x＝1时，y＝﹣a﹣1＝1，得a＝﹣2，∴y＝﹣2（x﹣1）2+1，∵﹣2≤x≤2，∴x＝﹣2时，取得最小值，此时y＝﹣2（﹣2﹣1）2+1＝﹣17，故答案为：﹣17．11．解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴该函数的对称轴是直线x＝﹣＝1，∴该函数图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），∴关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的两实数根是x1＝﹣1，x2＝3，∴两根之积为﹣3，故答案为：﹣3．12．解：如图，当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，则A（﹣1，0），B（5，0），将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+1）（x﹣5），即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），当直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时，1+b＝0，解得b＝﹣1；当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时，方程x2﹣4x﹣5＝﹣x+b有相等的实数解，解得b＝﹣，所以当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为﹣＜b＜﹣1．故答案为：﹣＜b＜﹣1．13．解：将抛物线y＝﹣（x﹣3）2﹣1向右平移5个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3﹣5）2﹣1+2，即y＝﹣（x﹣8）2+1，故答案为：y＝﹣（x﹣8）2+1．14．解：∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，9），B（1，1），∴方程ax2＝bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝1，∴ax2﹣bx﹣c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．15．解：（1）将点C（0，3）、B（1，0）、（2，﹣5）代入抛物线y＝ax2+bx+tc中，得：a+b+c＝0，c＝3，4a+2b+c＝﹣5；解得：a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．（2）抛物线向下平移n个单位后，E为（﹣1，4﹣n），C为（0，3﹣n），∴EC＝，∵CO∥EH，∴当CO＝CE＝时，∠CEO＝∠COE＝∠OCH，∴3﹣n＝或n﹣3＝，即n＝3﹣或3+．16．解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：，解得，∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，∵﹣1＜0，∴当x＝19时，w有最大值为121，故答案为：121．三．解答题（共6小题，满分56分）17．解：（1）将（2，4）代入y＝x2+mx+m2﹣3得4＝4+2m+m2﹣3，解得m1＝1，m2＝﹣3，又∵m＞0，∴m＝1．（2）∵m＝1，∴y＝x2+x﹣2，∵Δ＝b2﹣4ac＝12+8＝9＞0，∴二次函数图象与x轴有2个交点．18．解：∵初速度为10m/s，g取10m/s2，∴h＝10t﹣×10t2＝10t﹣5t2，（1）当h＝0时，10t﹣5t2＝0，解得t＝0或t＝2，∴球抛出后经2秒回到起点；（2）当h＝1.8时，10t﹣5t2＝1.8，解得t＝0.2或t＝1.8，∴0.2秒或1.8秒后球离起点的高度达到1.8m；（3）球离起点的高度不能达到6m，理由如下：若h＝6，则10t﹣5t2＝6，整理得5t2﹣10t+6＝0，Δ＝（﹣10）2﹣4×5×6＝﹣20＜0，∴原方程无实数解，∴球离起点的高度不能达到6m．19．解：（1）∵函数图象过点（1，2），∴将点代入y＝ax2+（a﹣1）x﹣1，解得a＝2，∴二次函数的解析式为y＝2x2+x﹣1，∴x＝﹣＝﹣，∴y＝2×﹣﹣1＝﹣，∴该二次函数的顶点坐标为（﹣，﹣）；（2）函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1的对称轴是直线x＝﹣，∵（x1，y1），（x2，y2）为此二次函数图象上的两个不同点，且x1+x2＝﹣2，则y1＝y2，∴﹣＝＝＝﹣1，∴a＝﹣1，∴y＝﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2≤0，∴当x＝﹣1时，函数有最大值0；（3）∵y＝ax2+（a﹣1）x﹣1，∴由顶点公式得：x＝﹣＝﹣+，y＝＝﹣，∵a＜0且a≠﹣1，∴x＜0，y＞0，∴该二次函数图象的顶点在第二象限．20．解：（1）设一次函数的关系式为y＝kx+b，由题图可知，函数图象过点（25，50）和点（35，30）．把这两点的坐标代入一次函数y＝kx+b，得，解得，∴一次函数的关系式为y＝﹣2x+100；（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是x元，由题意得，（x﹣10）×（﹣2x+100）＝600，解得：x1＝40，x2＝20，∴当天玩具的销售单价是40元或20元；（3）根据题意，则w＝（x﹣10）×（﹣2x+100），整理得：w＝﹣2（x﹣30）2+800；∵﹣2＜0，∴当x＝30时，w有最大值，最大值为800；∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．21．解：（1）设直线AB的解析式为y＝px+q，把A（4，0），B（0，2）代入得，，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2；把A（4，0），B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得；∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）∵MN⊥x轴，M（m，0），点D在直线AB上，点N在抛物线上，∴N（m，﹣m2+m+2），D（m，﹣m+2），∴DN＝﹣m2+2m，DM＝﹣m+2，∵DN＝3DM，∴﹣m2+2m＝3（﹣m+2），解得m＝3或m＝4（舍），∴N（3，2）．（3）如图，作点B关于x轴的对称点B′，∴OB＝OB′，B′（0，﹣2），∵∠AOB＝∠AOB′＝90°，OA＝OA，∴△AOB≌△AOB′，∴∠OAB′＝∠OAB，∴∠BAB′＝2∠BAC，∵A（4，0），B′（0，﹣2），∴直线AB′的解析式为：y＝x﹣2，过点B作BP∥AB′交抛物线于点P，则∠ABP＝∠BAB′＝2∠BAC，即点P即为所求，∴直线BP的解析式为：y＝x+2，令x+2＝﹣x2+x+2，解得x＝2或x＝0（舍），∴P（2，3）．22．解：（1）将点A（3，﹣2），点C（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣5，∴M（1，﹣6）；（2）平移后的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣6+m，∴平移后的顶点坐标为（1，m﹣6），∴抛物线的顶点在x＝1的直线上，设直线CA的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣5，当x＝1时，y＝﹣4，∴﹣4＜m﹣6＜﹣2，解得2＜m＜4；（3）存在一点Q，使以B、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：当y＝﹣2时，x2﹣2x﹣5＝﹣2，解得x＝﹣1或x＝3，∴B（﹣1，﹣2），∴AB＝4，∵BE：EA＝3：1，∴AE＝1，∴E（2，﹣2），设P（t，t﹣5），Q（x，x2﹣2x﹣5），①当BE为平行四边形的对角线时，，解得或，∴Q（，）或（，）；②当BP为平行四边形的对角线时，，解得或，∴Q（，）或（，）；③当BQ为平行四边形的对角线时，，此时无解；综上所述：Q点坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．九年级数学上册二次函数单元综合测试卷一．选择题（共10小题）1．下列各式中，是y关于x的二次函数的是（）A．y＝4x B．y＝3x﹣5C．y＝D．y＝2x2+12．已知：a＞b＞c，且a+b+c＝0，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．3．二次函数y＝（x﹣2）（x﹣4）+6的顶点坐标是（）A．（2，6）B．（4，6）C．（3，﹣5）D．（3，5）4．将二次函数y＝x2+2x﹣1转化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y＝（x﹣1）2B．y＝（x+1）2C．y＝（x+1）2﹣1D．y＝（x+1）2﹣2 5．已知0≤x≤，则函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣66．顶点坐标为（3，1），形状与函数y＝的图象相同且开口方向相反的抛物线的解析式为（）A．y＝+1B．y＝+1C．y＝﹣+1D．y＝﹣+17．已知点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1 8．抛物线y＝ax2+bx+c纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…04664…则下列说法中正确的个数是（）①方程ax2+bx+c＝0，有两根为x1＝﹣2，x2＝3；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是直线x＝1；④抛物线开口向上．A．1B．2C．3D．49．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，E，F分别为边BC，CD上的点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合），BE＝CF，连接OE，OF，EF．关于以下三个结论，下列判断正确的是（）结论Ⅰ：∠BOF始终是90°；结论Ⅱ：△OEF面积的最小值是2；结论Ⅲ：四边形OECF的面积始终是8．A．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错B．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅱ错C．结论Ⅱ和Ⅲ都对，结论Ⅰ错D．三个结论都对10．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0＜x≤90）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）。

人教版数学九年级上册第22章二次函数拓展训练

九年级上册第22章拓展训练一．选择题（共10小题）1．下列函数是二次函数的是（）A ．B ．C．y＝x+1D．y＝2（x2+2）﹣2x22．对于二次函数y＝﹣2x2+3的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣3C．顶点坐标为（0，3）D．x＞0时，y随x的增大而减小3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中正确的是（）A．b＜0B．c＜0C．a﹣b+c＞0D．4a+2b+c＞0第1页（共1页）4．若点（1，y1），（2，y2），（3，y3）都在二次函数y＝﹣x2的图象上，则（）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y1＞y2C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y2 5．在平面直角坐标系中，把抛物线y＝x2﹣2x+5向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的为（）A．y＝（x﹣5）2+4B．y＝（x+3）2+8C．y＝（x+3）2+1D．y＝（x﹣5）2+1 6．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当0≤x≤3时，y的取值范围是（）A．﹣3≤y≤0B．﹣4＜y≤0C．﹣3＜y＜0D．﹣4≤y≤0 7．无论m取任何实数，抛物线y＝ax2+2max+am2+m（a≠0）的顶点都（）A．在y＝x直线上B．在y＝﹣x直线上C．在x轴上D．在y轴上8．二次函数y＝2x2的顶点坐标是（）A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，2）D．（0，0）9．点P1（﹣2，y1），P2（2，y2），P3（4，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＞y3＞y1B．y2＞y1＝y3C．y1＝y3＞y2D．y1＝y2＞y3 10．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax﹣a的图象可能是（）A ．B ．第1页（共1页）C ．D ．二．填空题（共5小题）11．点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝﹣x2+4x﹣1的图象上，若1＜x1＜2，3＜x2＜4，则y1y2．（填“＞”，“＝”或“＜”）．12．二次函数y＝（a﹣1）x2+2x﹣1的图象与x轴有2个交点，则a的取值范围是．13．若方程ax2﹣2ax+c＝0（a≠0）有一个根为x＝﹣1，那么抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴正半轴的交点坐标为．14．将抛物线y＝3x2向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，所得到的抛物线为．15．已知二次函数y＝mx2+nx与y＝nx2+mx（其中m，n为常数），若这两个函数图象的顶点关于x轴对称，则m和n满足的关系为．三．解答题（共5小题）16．已知二次函数y＝2（x﹣1）2﹣3．（1）写出二次函数图象的开口方向和对称轴；（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值．第1页（共1页）17．如图，抛物线y ＝﹣（x+1）（x﹣n）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y 轴交于点C，△ABC的面积为5．动点P从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B运动，过P作PN⊥x轴交BC于M，交抛物线于N ．（1）求抛物线的解析式；（2）当MN最大时，求运动的时间；（3）经过多长时间，点N到点B、点C的距离相等？18．某名贵树木种植公司计划从甲，乙两个品种中选取一个种植并销售，市场预测每年产销x棵，已知两个品种的有关信息如表：品种每棵售价（万元）每棵成本（万元）每年其他费用（万元）预测每年最大销量（棵）甲12a20160乙201260﹣2x+0.05x280其中a为常数，且7≤a≤10，销售甲，乙两个品种的年利润分别为y1万元，y2万元．第1页（共1页）（1）直接写出y1与x的函数关系式为．y2与x的函数关系式为．（2）分别求出销售这两个品种的最大年利润．（3）为了获得最大年利润，该公司应该选择哪个品种？请说明理由．19．已知二次函数y＝ax2+10x+c（a≠0）的顶点坐标为（5，9）．（1）求a，c的值；（2）二次函数y＝ax2+10x+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，求△ABC的面积．20．已知抛物线y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c为常数）．（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围；（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好有≥≥，求m，n的值．第1页（共1页）参考答案一．选择题（共10小题）1．解：A、不是二次函数，故本选项不符合题意；B、是二次函数，故本选项符合题意；C、是一次函数，故本选项不符合题意；D、化简得y＝4，不是二次函数，故本选项不符合题意；故选：B．2．解：∵二次函数y＝﹣2x2+3，∴该函数的图象开口向下，故选项A正确；对称轴是直线x＝0，故选项B错误；顶点坐标为（0，3），故选项C正确；当x＞0时，y随x的增大而减小，故选项D正确；故选：B．3．解：A、抛物线开口方向向下，则a＜0；对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＞0，故本选项不符合题意．B、抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，故本选项不符合题意．C、当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，故本选项不符合题意．D、根据抛物线的对称性质得到：当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，故本选项符合题意．故选：D．第1页（共1页）4．解：由二次函数y＝﹣x2可知，图象的开口向下，对称轴是y轴（直线x＝0），∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵1＜2＜3，∴y1＞y2＞y3，故选：A．5．解：∵y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2+4，∴把抛物线y＝x2﹣2x+5，向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣1﹣4）2+4﹣3，即y＝（x﹣5）2+1．故选：D．6．解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4中a＝1＞0，∴有最小值﹣4，当x＝3时y有最大值＝（3﹣1）2﹣4＝0，∴当0≤x≤3时，y的取值范围﹣4≤y≤0，故选：D．7．解：∵y＝ax2+2max+am2+m＝a（x+m）2+m，∴顶点坐标是（﹣m，m），∴顶点在直线y＝﹣x上．故选：B．8．解：∵y＝2x2，∴顶点坐标为（0，0），第1页（共1页）故选：D．9．解：∵y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+1+c，∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，A（﹣2，y1）关于对称轴的对称点为（4，y1），∵2＜4，∴y2＞y1＝y3，故选：B．10．解：由一次函数y＝ax﹣a＝a（x﹣1）可知，直线经过点（1，0），故A可能是正确的，故选：A．二．填空题（共5小题）11．解：由二次函数y＝﹣x2+4x﹣1＝﹣（x﹣2）2+3可知，其图象开口向下，且对称轴为x ＝2，∵1＜x1＜2，3＜x2＜4，∴A点横坐标离对称轴的距离小于B点横坐标离对称轴的距离，∴y1＞y2．故答案为：＞．12．解：令y＝（a﹣1）x2+2x﹣1＝0，∵y＝（a﹣1）x2+2x﹣1是二次函数，∴a﹣1≠0，∴a≠1，第1页（共1页）∵二次函数y＝（a﹣1）x2+2x﹣1的图象与x轴有两个交点，∴△＝4+4（a﹣1）＞0，∴a＞0，∴a的取值范围是a＞0且a≠1，故答案为：a＞0且a≠1．13．解：抛物线的对称轴是直线x ＝﹣＝1．∴方程ax2﹣2ax+c＝0（a≠0）的另一根为x＝3．则抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴正半轴的交点坐标为（3，0）．故答案是：（3，0）．14．解：抛物线y＝3x2向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的函数图象解析式是y＝3（x+1）2+2，故答案为：y＝3（x+1）2+2．15．解：函数y＝mx2+nx＝m（x +）2﹣的顶点坐标为（，﹣），y＝nx2+mx＝n（x +）2﹣的顶点坐标为（，﹣），∵这两个函数图象的顶点关于x轴对称，∴，解得，m＝﹣n，故答案为：m＝﹣n．三．解答题（共5小题）第1页（共1页）16．解：（1）在y＝2（x﹣1）2﹣3中，∵a＝2＞0，∴二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线x＝1；（2）∵二次函数开口向上，∴函数y有最小值，∵其顶点坐标为（1，﹣3），∴y的最小值为﹣3．17．解：（1）∵抛物线y ＝﹣（x+1）（x﹣n）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，∴A（﹣1，0），B（n，0），C（0，），n＞0，∴AB＝n+1，OC ＝n，由S△ABC ＝×AB×OC＝5，∴n（n+1）＝5，∴n（n+1）＝20，∴取正根n＝4，∴y ＝﹣（x+1）（x﹣4）＝﹣x2+x+2；（2）由（1），B（4，0），C（0，2），∴直线BC为y ＝﹣x+2，第1页（共1页）设M（m ，﹣m+2），N（m ，﹣m2+m+2），∴MN ＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m ＝﹣（m﹣2）2+2，∴当m＝2时，MN最大，∴OP＝2，∴AP＝3，即经过3s，MN最大；（3）如下图所示，作BC的中垂线，与BC交于点D，与y轴交于点E，与抛物线交于点N，∴△CDE～△COB∴＝＝，由（2），BC＝2，D（2，1），∴DE＝2CD＝2，∴CE＝5，∴OE＝3，∴E（0，﹣3），∴直线DE为y＝2x﹣3，第1页（共1页）由﹣x2+x+2＝2x﹣3，移项整理得：x2+x﹣5＝0，∴x2+x﹣10＝0，取正根x ＝，∴OP ＝，∴AP ＝，即经过秒，点N到点B、点C的距离相等．18．解：（1）y1＝（12﹣a）x﹣20，（0＜x≤160），y2＝（20﹣12）x﹣60+2x﹣0.05x2＝﹣0.05x2+10x﹣60．（0＜x≤80）．故答案为：y1＝（12﹣a）x﹣20，（0＜x≤160）；y2＝﹣0.05x2+10x﹣60．（0＜x≤80）；（2）对于y1＝（12﹣a）x﹣20，∵12﹣a＞0，∴x＝160时，y1的值最大＝（1900﹣160a）万元．对于y2＝﹣0.05（x﹣100）2+440，∵0＜x≤80，∴x＝80时，y2最大值＝420万元．（3）①1900﹣160a＝420，解得a＝9.25，②1900﹣160a＞420，解得a＜9.25，③1900﹣160a＜420，解得a＞9.25，第1页（共1页）∵7≤a≤10，∴当a＝9.25时，选择甲乙两个品种的利润相同．当7≤a＜9.25时，选择甲品种利润比较高．当9.25＜a≤10时，选择乙品种利润比较高．19．解：（1）根题意，得，，解得；故a＝﹣1，c＝﹣16；（2）由（1）可知该二次函数的解析式为y＝﹣x2+10x﹣16，今x＝0，则y＝﹣16．∴点C的坐标为（0，﹣16），令y＝0，则﹣x2+10x+16＝0，解得x1＝2，x2＝8，AB＝8﹣2＝6．∴S△ABC ＝AB•OC ＝×6×16＝48．20．解：（1）由题意可知，抛物线解析式是：y＝﹣2（x﹣1）2+1＝﹣2x2+4x﹣1，∴，∴b＝6，c＝2019；（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x0，y0），（﹣x0，﹣y0），代入解析式可得：，∴两式相加可得：﹣4x02+2（c﹣2020）＝0，第1页（共1页）化简得：c＝2x02+2020，又∵x0≠0，∴c＞2020；（3）由（1）可知抛物线为y＝﹣2x2+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）2+1．∴y≤1，∵0＜m＜n，当m≤x≤n 时，恰好有≥≥，化简得：≥≥，∵反比例函数在第一象限内y随x的增大而减小，∴m+2≤y+2≤n+2，∴m≤y≤n，又∵y≤1，∴m≤y≤n≤1或m≤y≤1≤n，当m≤y≤n≤1时，∵抛物线的对称轴是直线x＝1，且开口向下，∴当m≤x≤n时，y随x的增大而增大．∴当x＝m时，y最小值＝﹣2m2+4m﹣1．当x＝n时，y最大值＝﹣2n2+4n﹣1，又∵m≤y≤n，∴有，第1页（共1页）解得：m＝1或，n＝1或，∵m＜n≤1，∴．当m≤y≤1≤n时，∵y的最大值为1，∴n＝1，x＝m时，最小值为m，即m＝﹣2m2+4m﹣1，解得m＝1或，∵m＜1，∴m ＝，综上所述，满足条件的m 的值为，n的值为1．第1页（共1页）。

2020初中数学中考一轮复习能力达标训练：二次函数3(附答案)

2020初中数学中考一轮复习能力达标训练：二次函数3（附答案） 1．二次函数224y x x c =-+的最小值是0，那么c 的值等于（） A ．4B ．2C ．-2D ．82．二次函数()220y ax bx a =+-≠的图象经过点（-1,0），则代数式-a b 的值为（）A ．0B ．-2C ．-1D ．23．定义：在平面直角坐标系中，若点A 满足横、纵坐标都为整数，则把点A 叫做“整点”．如：B （3，0）、C （﹣1，3）都是“整点”．抛物线y ＝ax 2﹣2ax+a+2（a ＜0）与x 轴交于点M ，N 两点，若该抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a 的取值范围是（） A ．﹣1≤a ＜0B ．﹣2≤a ＜﹣1C ．﹣1≤a ＜12-D ．﹣2≤a ＜04．如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从A 出发，沿AB →BC 方向运动，当点E 到达点C 时停止运动，过点E 做FE ⊥AE ，交CD 于F 点，设点E 运动路程为x ，FC ＝y ，如图2所表示的是y 与x 的函数关系的大致图象，当点E 在BC 上运动时，FC 的最大长度是25，则矩形ABCD 的面积是（）A ．235B ．5C ．6D ．2545．如图，边长为2的正△ABC 的边BC 在直线l 上，两条距离为1的平行直线a 和b 垂直于直线l .a 和b 同时向右移动(a 的起始位置在B 点)，速度均为每秒1个单位，运动时间为t (秒)，直到b 到达C 点停止，在a 和b 向右移动的过程中，记△ABC 夹在a 和b 之间的部分的面积为S ，则S 关于t 的函数图象大致为（）A ．AB ．BC ．CD ．D6．如图所示的二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：①240b ac ->；②1c >；③20a b -<；④0a b c ++<.你认为其中错误的有（）个.A ．1B ．2C ．3D ．47．已知函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，给出下列4个结论：①abc ＞0； ②b 2＞4ac ； ③4a +2b +c ＞0；④2a +b ＝0．其中正确的有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．48．已知:抛物线y 1=x 2+2x-3与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，抛物线y 2=x 2-2ax-1(a>0)与x 轴交于C 、D 两点(点C 在点D 的左侧)，在使y 1>0且y 2≤0的x 的取值范围内恰好只有一个整数时，a 的取值范围是（） A ．0<a≤34B ．a≥34C ．34≤a ＜43D ．34<a≤439．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：①abc>0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④a+b+c>m(am+b)+c(m≠1的实数)，其中正确的结论有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．下列函数中：①y ＝﹣ax 2(a ＞0)；②y ＝(a ﹣1)x 2(a ＜1)；③y ＝﹣2x+a 2(a≠0)；④3(0)2y x a a =-≠．具有过原点，且当x ＞0时，y 随x 增大而减小，这两个特征的有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．二次函数221213y x x =-+的最小值是___________.12．有一个二次函数的图象,三位同学分别说了它的一些特点:甲:图象与x 轴只有一个交点；乙:图象的对称轴是直线3x =；丙:图象有最高点，请你写出一个满足上述全部特点的二次函数的解析式__________.13．若二次函数261(0)y mx mx m =-+>的图象经过A （2，a ），B （﹣1，b ），C （5，c ）三点，则a ，b ，c 从小到大排列是_____．14．当﹣4≤x≤2时，函数y=﹣(x+3)2+2的取值范围为_____________.15．已知抛德物线y ＝214x +1有下性质：该抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为（2，3），P 是抛物线y ＝214x +1上一个动点，则△PMF 周长的最小值是_____．16．抛物线y ＝x 2﹣6x+5向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线解析式是_____．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+3x +2与y 轴交于点A ，点B 是抛物线的顶点，点C 与点A 是抛物线上的两个对称点，点D 在x 轴上运动，则四边形ABCD 的两条对角线的长度之和的最小值为_____．18．二次函数y ＝3（x ﹣2）2﹣6的最小值是_____．19．当x变化时,分式22365112x xx x++++的最小值是___________.20．把抛物线y=2x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线的解析式是_______.21．某工厂大门是一抛物线水泥建筑物(如图)，大门地面宽AB＝4 m，顶部C离地面高为4.4 m.(1)以AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式；(2)现有一辆载满货物的汽车欲通过大门，货物顶点距地面2.8 m，装货宽度为2.4 m，请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门．22．二次函数225yax x=-+与直线23y x=-+交于点(1,)P b-.（1）求出此二次函数的解析式；（2）求此二次函数的顶点坐标，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小。

二次函数同步练习题

二次函数基础分类练习题（练习一）（2）当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积.1、一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t （秒）的数据如下表：9、如图，矩形的长是4cm，宽是3cm，如果将长和cm,那么面积增加ycm2,①求y与x之间的函数关系式.②求当边长增加多少时，面积增加8cm2.2 2 1y=x x x -4 :④y= 2 + x:⑤y=x1-x，其中是二次函数的是____________________________ ，其x中a = ______ ,b = ______ ,c = ________23、当m ____ 时，函数y=m-2x 3x -5 （m为常数）是关于x的二次函数24、当m= ____ 时，函数y = （m2+ m）x m -2m-1是关于x的二次函数5、当m= _____ 时，函数y二m-4 x m~m6+3x是关于x的二次函数26、若点A （ 2, m ）在函数y=x —1的图像上，贝y A点的坐标是_____________ .7、在圆的面积公式S= n2中，s与r的关系是（）A、一次函数关系B、正比例函数关系C、反比例函数关系D、二次函数关系8、正方形铁片边长为15cm,在四个角上各剪去一个边长为x （cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子.（1）求盒子的表面积S （cm2）与小正方形边长x （cm）之间的函数关系式；2y = ax c(a = 0),当x=1 时,11、富根老伯想利用一边长为a米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，.建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形口卩（1）如果设猪舍的宽AB为x米，则猪舍的总面积B C S （米2）与x有怎样的函数关系？（2）请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2,应该如何安排猪舍的长BC和宽AB的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？二次函数基础分类练习题（练习二）2函数y = ax的图象与性质1 2 一1、填空：（1）抛物线y = ?x的对称轴是_____________ （或___________ ）,顶点坐标是__________ ,当x _______ 时，y随x的增大而增大，当x ________ 时，y随x的增大而减小，当x= _________ 时,写出时间t （秒）1234用t表示s的函数关系式•2、下距离s （米）281832列函数：①y = J3x2；②10、已知二次函数y= -1;当x=2时，y=2,求该函数解析式该函数有最值是_______________ ;1 2(2)抛物线y=-— x2的对称轴是 ______________ (或____________ ),顶点坐标是___________ ，当x2时，y随x的增大而增大，当x _________ 时，y随x的增大而减小，当x= _________ 时，该函数有最值是__________ ；2、对于函数y =2x2下列说法：①当x取任何实数时，y的值总是正的；②x的值增大，y的值也增大；③y随x的增大而减小；④图象关于y轴对称.其中正确的是23、抛物线y=—x不具有的性质是(1 2s与下落时间t满足S=_2gt (g= 9.8),贝y s与t的(1)满足条件的m的值；(2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时x为何值时，y随x的增大而增大；(3)m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y随x的增大而减小？210、如果抛物线y二ax与直线y = X-1交于点(b, 2),求这条抛物线所对应的二次函数的关系式.函数图像大致是(二次函数基础分类练习题(练习三)函数y = ax2• c的图象与性质C D-ax ■ b的图象可能是(m26、已知函数mx m-4的图象是开口向下的抛物线，求7、二次函数y = mx m 4在其图象对称轴的左侧，y随x的增大而增大，求m的值.1、抛物线y二-2x2 -3的开口 ____________,对称轴是___________ ,顶点坐标是____________ ,当x 时,y随x的增大而增大，当x ________ 时,y随x的增大而减小.1 22、将抛物线y x向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 _________________ ，再向上平移3个单3位得到的抛物线的解析式为____________________________ ,并分别写出这两个函数的顶点坐标________ 、__________ .3、任给一些不同的实数k,得到不同的抛物线y =x2• k，当k取0, 一1时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最底点.其中判断正3&二次函数y x2，当X1>X2>0时，求y1与y2的大小关系229、已知函数y = [m 2 x m皿4是关于x的二次函数，求：A、开口向下B、对称轴是y轴C、与y轴不相交D、最咼点是原点4、苹果熟了，从树上落下所经过的路程4、将抛物线y =2x 2 -1向上平移4个单位后，所得的抛物线是 _________________ ，当x= ______ 时，该抛物线有最 _ (填大或小)值，是 ______________ .2 25、已知函数y=mx +(m —m)x+2的图象关于y 轴对称，则 m = ________________ ；6、二次函数y = ax 2 • c a = 0中，若当x 取x i 、X 2 (x i i )时，函数值相等，则当 x 取X 1+X 2时，函数值等于 ________________.二次函数基础分类练习题(练习四)2函数y =a(x — h )的图象与性质1 2 一1、抛物线y x - 3 ,顶点坐标是，当x ______ 时,y 随x 的增大而减小，函数有2最值式.(2)说明函数值y 随x 值的变化情况27、已知抛物线y = x - (k 2)x9的顶点在坐标轴上，求 k 的值.二次函数基础分类练习题(练习五)y=a(x — h)2 + k 的图象与性质1、请写出一个二次函数以(2, 3)为顶点，且开口向上. _____________________________ .2、二次函数 y = (x — 1)2+ 2,当x = __________ 时，y 有最小值.3、函数丫=舟(x — 1)2 + 3,当x __________ 时，函数值 y 随x 的增大而增大•4、函数y=-1 (x+3)2-2的图象可由函数 y=1 x 2的图象向 __________ 平移3个单位，再向 _________ 平移2个单位得到.5、已知抛物线的顶点坐标为(2,1)，且抛物线过点(3,0)，则抛物线的关系式是 ______________22、试写出抛物线 y =3x 经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标2 (1)右移2个单位；(2)左移一个单位；(3)先左移1个单位，再右移4个单位. 3 3、请你写出函数 y =(x +1 丫和y =x 2 +1具有的共同性质(至少 2 个) 6、如图所示，抛物线顶点坐标是围是()A 、 x>3B 、 x<3C 、 x>1P (1, 3),则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范4、二次函数y=a(x —h f 的图象如图：已知试求该抛物线的解析式 27、已知函数y = -3x-2 9 .D 、x<125、抛物线y =3(x -3)与x 轴交点为A ,与y 轴交点为B,求A 、B 两点坐标及"AOB 的面积.26、二次函数y =a(x-4)，当自变量x 由0增加到2时，函数值增加6. (1 )求出此函数关系(1)确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2) ______________ 当x= ______________时，抛物线有最 _ 值，是 .(3) ____________ 当x ____________________________ 时，y 随x 的增大而增大；当 x ___________ 时，y 随x 的增大而减小(4) 求出该抛物线与x轴的交点坐标及两交点间距离；(5) 求出该抛物线与y轴的交点坐标；(6) 该函数图象可由2y二-3x的图象经过怎样的平移得到的?4、将y= x2—2x+ 3 化成y= a (x—h)2+ k 的形式，则y= ________1 2 55、把二次函数rs的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的函数图象的关系式是_______________________d 2&已知函数y = x • 1 -4.（1）指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）若图象与x轴的交点为A、B和与y轴的交点。

2020初中数学中考一轮复习基础达标训练：二次函数3(附答案)

2020初中数学中考一轮复习基础达标训练：二次函数3（附答案）1．二次函数2(1)y a x c =-+的图象如图所示，则直线y ax c =--不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．如图,函数221y ax x =-+和y ax a =-(a 是常数,且0a ≠)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A ．B ．C ．D ． 3．二次函数2y 3(x 2)4=--+的最大值是（）A ．2B ．-2C ．-3D ．44．抛物线y=x 2﹣2x+1与坐标轴交点个数为（）A ．无交点B ．1个C ．2个D ．3个5．若二次函数y=ax 2+bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表：x ﹣2 ﹣1 0 1 2y 8 3 0 ﹣1 0则抛物线的顶点坐标是（）A ．（﹣1，3）B ．（0，0）C ．（1，﹣1）D ．（2，0）6．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数y bx a =+与反比例函数a b c y x++=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（） A ．B ． C ． D ．7．已知关于x 的函数22(1)(32)1m y m x m x =-+++是二次函数，则此解析式的一次项系数是（）．A ．1-B ．5C ．2-D ．18．二次函数24y mx m =--+，开口向下，其图象的顶点在y 轴的正半轴上，则m 的取值范围是（）A ．m<0B ．m>0C ．m>4D ．0<m<49．二次函数223y x =-的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（）A ．抛物线开口向下B ．抛物线与x 轴有两个交点C ．抛物线的对称轴是直线x =1D ．抛物线经过点（2,3）10．二次函数y=x 2-2x-1的顶点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 11．用“描点法”画二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象时，列出了如下表格：x … 1 2 3 4 … y=ax 2+bx+c … 0 ﹣1 0 3 … 那么该二次函数在x=0时，y=_____．12．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()1,0和()3,0两点，交y 轴与()0,3，当x ________时，0y >．13．已知抛物线y=x 2﹣x+3与y 轴相交于点M ，其顶点为N ，平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M′与点N 重合，则平移后的抛物线的解析式为_____．14．喜迎圣诞，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件．设每件商品的售价上涨x 元（x 为整数），每星期销售该商品的利润为y 元，则y 与x 的函数表达式为________．15．抛物线y=﹣x 2+mx+2的对称轴与y=x 2+4x ﹣4的对称轴的距离为2，则m=_____． 16．已知m 是正实数，关于x 的方程2x 2﹣mx ﹣30=0的两个根为x 1、x 2，且5x 1+3x 2=0，在直角坐标系中，抛物线y=mx 2+（4+k ）x+k 与x 轴有_____个交点．17．抛物线2(0)y ax bx c a =++>与x 轴有两个交点()2,0A 、()1,0B -，则不等式20ax bx c ++<的解集为________．18．若抛物线的对称轴是1x =，函数有最大值为4，且过点()0,3，则其解析式为________．19．将抛物线y=﹣x 2+1向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的抛物线解析式为_____．20．不论x 取何值，二次函数y=－x 2+6x+c 的函数值总为负数，•则c•的取值范围为_______．21．已知点()2,A n -在抛物线2y x bx c =++上．()1若1b =，3c =，求n 的值；()2若此抛物线经过点()4,B n ，且二次函数2y x bx c =++的最小值是4-，请画出点()21,P x x bx c -++的纵坐标随横坐标变化的图象，并说明理由．22．二次函数y =ax 2+bx +c 的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：根据表格中的信息，完成下列各题：（1）当x =3时，y =________ ；（2）当x =_____时，y 有最________ 值为________；（3）若点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）是该二次函数图象上的两点，且﹣1＜x 1＜0，1＜x 2＜2，试比较两函数值的大小：y 1________ y 2 ；（4）若自变量x 的取值范围是0≤x ≤5，则函数值y 的取值范围是________．23．温州水果批发市场内有一种水果，保鲜期一周，如果冷藏，可以延长保鲜时间，但每天仍有一定数量的这种水果变质，假设这种水果保鲜期内的个体重量基本保持不变．现有一个体户，按市场价收购了这种水果200kg 放在冷藏室内，收购价为2元/kg ，据测算，此后这种鲜水果的价格每天上涨0.2元/kg ，但存放一天需各种费用20元，日平均每天还有1kg 变质丢弃．（1）设x 天后鲜水果的市场价为每千克y 元，写出y 关于x 的函数关系式；（2）若存放x 天后将这批鲜水果一次性出售，设鲜水果的销售总金额为W 元，写出W 关于x 的函数关系式；（3）该个体户将这批水果存放多少天后出售，可获利润Q 最大？最大利润是多少？ 24．如图，直线y x 4=-与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线21y x bx c 3=++经过A 、B 两点，与x 轴的另一个交点为C ，连接BC ．（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）点 M 在抛物线上，连接 MB ，当 MBA CBO 45∠∠+=o 时，求点M 的坐标；（3）点P 从点C 出发，沿线段CA 由C 向A 运动，同时点Q 从点B 出发，沿线段BC 由B 向C 运动， P 、Q 的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q 点到达C 点时，P 、Q 同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D ，使P 、Q 运动过程中的某一时刻，以C 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点D 的坐标；若不存在，说明理由．25．如图，在平面直角坐标系xoy 中，O 为原点，▱ABCD 的边AB 在x 轴上，点D 在y 轴上，点A 的坐标为（﹣2，0），AB=6，∠BAD=60°，点E 是BC 边上一点，CE=3EB ，⊙P 过A 、O 、D 三点，抛物线y=ax 2+bx+c 过点A 、B 、D 三点．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：DE 是⊙P 的切线；（3）若将△CDE 绕点D 顺时针旋转90°，点E 的对应点E′会落在抛物线y=ax 2+bx+c 上吗？请说明理由；（4）若点M 为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N ，使得以点B 、D 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．26．已知二次函数的对称轴为x=2，且在x轴上截得的线段长为6，与y轴的交点为（0，﹣2），求此二次函数的解析式．27．如图：河上有一座抛物线形桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部3m时，水面宽AB ＝6m，建立如图所示的坐标系．（1）当水位上升0.5m时，求水面宽度CD为多少米？（结果可保留根号）（2）有一艘游船它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在上述河流中航行，若这船宽（最大宽度）2米，从水面到棚顶高度为1.8米．问这艘船能否从桥下洞通过？28．如图，△ABC中,∠B=90°,点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动,点Q 从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经几秒钟，使△PBQ的面积等于8cm2？参考答案1．B【解析】【分析】根据抛物线的位置，判断a 、c 的符号；再根据a 、c 的符号，判断直线y ax c =--经过的象限，得出不经过的象限．【详解】解：由二次函数2(1)y a x c =-+的图象可知：0a <，二次函数2(1)y a x c =-+的顶点坐标为()1,c ， ∴0c >，∴0a ->，0c -<，所以，直线y ax c =--经过一、三、四象限，不经过第二象限．故选：B.【点睛】属于二次函数和一次函数的综合题，熟练掌握一次函数y kx b =+在不同情况下的图象，还要熟练掌握二次函数的性质.2．B【解析】分析：可先根据一次函数的图象判断a 的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．详解：A ．由一次函数y =ax ﹣a 的图象可得：a ＜0，此时二次函数y =ax 2﹣2x +1的图象应该开口向下．故选项错误；B ．由一次函数y =ax ﹣a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y =ax 2﹣2x +1的图象应该开口向上，对称轴x =﹣22a-＞0．故选项正确； C ．由一次函数y =ax ﹣a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y =ax 2﹣2x +1的图象应该开口向上，对称轴x =﹣22a -＞0，和x 轴的正半轴相交．故选项错误； D ．由一次函数y =ax ﹣a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y =ax 2﹣2x +1的图象应该开口向上．故选项错误．故选B ．点睛：本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y =ax ﹣a 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．3．D【解析】【分析】根据二次函数2y (x )a h k =-+的性质解答即可.【详解】二次函数2y 3(x 2)4=--+中，当x=2时，y 最大=4.故选D.【点睛】本题考查了二次函数2y (x )a h k =-+的性质，熟记二次函数2y (x )a h k =-+的性质是解决问题的关键.4．C【解析】当x=0时，y=1，则与y 轴的交点坐标为（0，1），当y=0时，x 2﹣2x+1=0，△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，所以，该方程有两个相等的解，即抛物线y=x 2﹣2x+2与x 轴有1个点．综上所述，抛物线y=x 2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是2个．故选：C ．5．C【解析】分析：由表中所给数据，可求得二次函数解析式，则可求得其顶点坐标．详解：Q 当0x =或2x =时，0y =，当1x =时，1y =-，04201c a b c a b c =⎧⎪∴++=⎨⎪++=-⎩，解得120a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ ，∴二次函数解析式为222(1)1y x x x =-=--，∴抛物线的顶点坐标为()1,1-，故选C ．点睛：本题主要考查二次函数的性质，利用条件求得二次函数的解析式是解题的关键． 6．B【解析】分析：根据二次函数的图象与系数的关系，判断,,a b c 的符号，根据一次函数和反比例函数的图象与系数的关系即可求出一次函数y bx a =+与反比例函数a b c y x ++=在同一平面直角坐标系中的图象.详解：根据图象可得：抛物线开口向上，则a >0.抛物线与y 交与正半轴，则0c >，对称轴：0,2b x a =-> ∴0,b <把x =1代入2y ax bx c a b c =++=++，由图象可得a +b +c <0，一次函数y bx a =+的图象应该经过第一、二、四象限. 反比例函数a b c y x ++=的图象应该在第二、四象限. 故选B.点睛：考查二次函数与系数的关系.二次项系数a 决定抛物线的开口方向，,a b 共同决定了对称轴的位置，常数项c 决定了抛物线与y 轴的交点位置.7．A【解析】分析：根据二次函数定义可得m =－1，再代入3m +2即可得到答案．详解：∵关于x 的函数221321m y m x m x =-+++（）（）是二次函数，∴2221m m ⎧=⎨≠⎩， ∴m =－1，∴3m +2=－1．故此解析式的一次项系数是：－1．故选A ．点睛：本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．8．D【解析】【分析】首先根据二次函数y＝−mx2−m＋4的图象开口向下，可得−m＜0；然后根据二次函数的图象的顶点在y轴的正半轴上，可得−m＋4＞0，据此求出m的取值范围即可．【详解】∵二次函数y＝−mx2−m＋4的图象开口向下，∴−m＜0，∴m＞0，又∵二次函数的图象的顶点在y轴的正半轴上，∴−m＋4＞0，∴m＜4，∴m的取值范围是0＜m＜4．故选：D．【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．9．B【解析】【详解】A、a=2，则抛物线y=2x2-3的开口向上，所以A选项错误；B、当y=0时，2x2-3=0，此方程有两个不相等的实数解，即抛物线与x轴有两个交点，所以B选项正确；C、抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项错误；D、当x=2时，y=2×4-3=5，则抛物线不经过点（2，3），所以D选项错误，故选B．10．D【解析】试题解析：将二次函数进行配方为y =（x -1）2-2，∴顶点坐标为（1，-2），∴在第四象限．故选D ．11．3【解析】【分析】根据题目提供的满足二次函数解析式的x 、y 的值，确定二次函数的对称轴，利用抛物线的对称性找到当x=0时，y 的值即可．【详解】由上表可知函数图象经过点(1,0)和点(3,0)，∴对称轴为x =2，∴当x =4时的函数值等于当x =0时的函数值，∵当x =4时，y =3，∴当x =0时，y =3.故答案是：3.【点睛】本题主要考查二次函数的图象性质，利用表格找到二次函数的对称点是解决此题的关键. 12．1<或3x >【解析】【分析】写出函数图象x 轴上方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：由图可知，x ＜1或x ＞3时，y ＞0．故答案为：＜1或x ＞3．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．13．y=（x ﹣1）2+52【解析】【分析】直接利用抛物线与坐标轴交点求法结合顶点坐标求法分别得出M 、N 点坐标，进而得出平移方向和距离，即可得出平移后解析式．【详解】解：y=x 2-x+3=（x-12）2+114， ∴N 点坐标为：（12，114），令x=0，则y=3，∴M 点的坐标是（0，3）．∵平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M′与点N 重合，∴抛物线向下平移14个单位长度，再向右平移12个单位长度即可， ∴平移后的解析式为：y=（x-1）2+52．故答案是：y=（x-1）2+52．【点睛】此题主要考查了抛物线与坐标轴交点求法以及二次函数的平移，正确得出平移方向和距离是解题关键．14．2101002000y x x =-++【解析】【分析】根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出y 与x 的函数关系式．【详解】设每件商品的售价上涨x 元(x 为正整数)，则每件商品的利润为：(60−50+x)元，总销量为：(200−10x)件，商品利润为：y=(60−50+x)(200−10x)，=(10+x)(200−10x)，=−10x 2+100x+2000.故答案为：y=−10x 2+100x+2000.【点睛】本题考查了二次函数的相关知识，解题的关键是根据实际问题列出二次函数的关系式. 15．6或0【解析】∵y=﹣x 2+mx+2，∴此函数的对称轴x 1=﹣=，同理可求y=x 2+4x ﹣4的对称轴x 2=﹣2，∵|x 1﹣x 2|=2， ∴﹣2=±2，解得m 1=6，m 2=0，故答案是6或0．16．1或2．【解析】【分析】由一元二次方程方程根与系数的关系可知x 1+x 2=2m ，由因为5x 1+3x 2=0，从而x 1=﹣34m ，由求根公式可求x 2240m m ±+，进而得到﹣34m 2240m m -+，求出m 的值后，根据根的判别式解答即可.【详解】∵关于x 的方程2x 2﹣mx ﹣30=0的两个根为x 1、x 2，∴x 1+x 2=2m ， ∵5x 1+3x 2=0，∴3x 1+3x 2+2x 1=0，3×2m +2x 1=0，x 1=﹣34m ，x ∵m ＞0，∴﹣34m ，﹣4m =解得：m =±4， ∴m =4，△=（4+k ）2﹣4mk =16+8k +k 2﹣16k =（k ﹣4）2，当k =4时，△=0，抛物线y=mx 2+（4+k ）x +k 与x 轴有1个交点．当k ≠4时，△＞0，抛物线y =mx 2+（4+k ）x +k 与x 轴有2个交点．故答案为：1或2．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的求根公式. 熟记抛物线与x 轴的交点个数和一元二次方程根的关系是解决问题的关键．17．12x -<<【解析】【分析】将解不等式转化为y ＜0的问题进行求解.【详解】解：由抛物线开口方向及与x 轴的交点可判断，当-1＜x ＜2时，20y ax bx c =++＜，故不等式的解集为：12x -<<.【点睛】本题考察了数形结合的思想解决问题，将解不等式的问题转化为运用图像判定二次函数值小于0的问题.18．y=223x x -++【解析】【分析】根据题意得出顶点坐标，设出顶点形式，将（0，3）代入即可确定出函数解析式．【详解】解：根据题意得：顶点坐标为（1，4），设抛物线解析式为y=a（x-1）2+4，将（0，3）代入得：3=a+4，即a=-1，则抛物线解析式为y=-（x-1）2+4=-x2+2x+3．故答案为：-x2+2x+3.【点睛】此题考查了待定系数法确定二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．19．y=﹣（x﹣2）2+4【解析】【分析】先得到抛物线y=﹣x2+1的顶点坐标为（0，1），再把点（0，1）向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度所得点的坐标为（2，4），得到平移后抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式写出解析式即可．【详解】抛物线y=﹣x2+1的顶点坐标为（0，1），再把点（0，1）向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度所得点的坐标为（2，4），所以平移后抛物线的解析式为y=﹣（x﹣2）2+4．故答案为：y=﹣（x﹣2）2+4．【点睛】本题考查了二函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．20．c<－9【解析】【分析】因为二次函数y=-x2+6x+c的图象开口向下，所以一元二次方程-x2+6x+c=0无实数根，从而解得c的取值范围．【详解】∵二次函数y=-x2+6x+c的函数值总为负数，∴一元二次方程-x2+6x+c=0无实数根，即△=36+4c＜0，解得c＜-9．故答案为：c＜-9．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：当抛物线y=ax2+bx+c与轴有两个交点时，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根即△＞0；当抛物线y=ax2+bx+c与轴有一个交点时，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根即△=0；当抛物线y=ax2+bx+c与轴无交点时，一元二次方程ax2+bx+c=0无实数根即△＜0．21．（1）5；（2）见解析.【解析】【分析】（1）代入b=1，c=3，以及A点的坐标即可求得n的值；（2）根据题意求得抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣4，从而求得点P（x﹣1，x2+bx+c）的纵坐标随横坐标变化的关系式为y=x′2﹣4，然后利用5点式画出函数的图象即可．【详解】（1）∵b=1，c=3，A（﹣2，n）在抛物线y=x2+bx+c上，∴n=4+（﹣2）×1+3=5．（2）∵此抛物线经过点A（﹣2，n），B（4，n），∴抛物线的对称轴x=242-+=1．∵二次函数y=x2+bx+c的最小值是﹣4，∴抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣4，令x﹣1=x′，∴点P（x﹣1，x2+bx+c）的纵坐标随横坐标变化的关系式为y=x′2﹣4，点P（x﹣1，x2+bx+c）的纵坐标随横坐标变化的如图：【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值等，根据题意求得抛物线的解析式是解题的关键．22．（1）﹣1；（2）1、小、﹣2；（3）＞；（4）﹣2≤y≤2【解析】【分析】（1）由表中给出的三组数据，列方程组求得二次函数的解析式，再求出x=3时，y的值；（2）实际上是求二次函数的顶点坐标；（3）求得抛物线与x轴的两个交点坐标，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；再进行判断即可；（4）根据抛物线的顶点，当x=5时，y最大，当x=1时，y最小．【详解】（1）由表得1742a b cca b c-+=-⎧⎪⎪=-⎨⎪++=-⎪⎩，解得：141274abc⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，∴二次函数的解析式为y=14x2﹣12x﹣74，当x=3时，y=11793424⨯-⨯-=﹣1．（2）将y=14x2﹣12x﹣74配方得：y=14（x﹣1）2﹣2．∵a=14＞0，∴函数有最小值，当x=1时，最小值为﹣2．（3）令y=0，则x=±+1，抛物线与x轴的两个交点坐标为（+1，0）（﹣+1，0）∵﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，∴x1到1的距离大于x2到1的距离，∴y1＞y2．（4）∵抛物线的顶点为（1，﹣2），∴当x=5时，y最大，即y=2；当x=1时，y最小，即y=﹣2，∴函数值y的取值范围是﹣2≤y≤2．故答案为：﹣1；1、小、﹣2；＞；﹣2≤y≤2．【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，是中考压轴题，难度较大．23．（1）y=0.2x+2；（2）W=﹣0.2x2+38x+400；（3）这批水果存放45天后出售，可获得最大利润405元．【解析】试题分析：(1)本题属于市场营销问题,销售额=每千克市场价×销售量,每千克市场价,销售量都与天数有关；(2)根据题意表达这两个式子很关键.利润=销售额-收购价-各种费用；(3)最大利润为:销售总金额-x 天的总费用-成本,由二次函数性质求利润的最大值.解：（1）设x 天后每千克鲜水果的市场价为y 元，则有y=0.2x+2；（2）若存放x 天后将水果一次性出售，设鲜水果的销售总额为W 元，则有W=（200﹣x ）（0.2x+2），即W=﹣0.2x 2+38x+400；（3）设将这批水果存放x 天后出售，则有Q=（200﹣x ）（0.2x+2）﹣400﹣20x=﹣0.2x 2+18x=﹣0.2（x ﹣45）2+405，因此这批水果存放45天后出售，可获得最大利润405元．点睛：本题是一道较为基础的题型，考查的是学生对于一次函数和二次函数的实际应用，熟练掌握一次函数和二次函数的图像与性质是解答本题的关键.24．（1）()3,0C -（2）45MBA CBO ∠+∠=o ，1325,416⎛⎫- ⎪⎝⎭或85,3⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）4024,1111⎛⎫-- ⎪⎝⎭或()1,2-或1820,1111⎛⎫-⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）首先求出点A 、B 的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标；（2）满足条件的点M 有两种情形，需要分类讨论：①当BM ⊥BC 时，如答图2-1所示；②当BM 与BC 关于y 轴对称时，如答图2-2所示．（3）△CPQ 的三边均可能成为菱形的对角线，以此为基础进行分类讨论：①若以CQ 为菱形对角线，如答图3-1．此时BQ=t ，菱形边长=t ；②若以PQ 为菱形对角线，如答图3-2．此时BQ=t ，菱形边长=t ；③若以CP 为菱形对角线，如答图3-3．此时BQ=t ，菱形边长=5-t ．【详解】解：()1直线解析式4y x =-，令0x =，得4y =-；令0y =，得4x =．∴()4,0A 、()0,4B -．∵点A 、B 在抛物线213y x bx c =++上， ∴164034b c c ⎧++=⎪⎨⎪=-⎩，解得134b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线解析式为：211433y x x =--．令2114033y x x =--=，解得：3x =-或4x =，∴()3,0C -．()245MBA CBO ∠+∠=o，设(),M x y ，①当BM BC ⊥时，如答图21-所示．∵45ABO ∠=o ，∴45MBA CBO ∠+∠=o ，故点M 满足条件．过点1M 作1M E y ⊥轴于点E ，则1M E x =，OE y =-， ∴4BE y =+． ∵14tan tan 3M BE BCO ∠=∠=， ∴443x y =+， ∴直线1BM 的解析式为：344y x =-．联立344y x =-与211433y x x =--，得：231144433x x x -=--，解得：10x =，2134x =， ∴14y =-，22516y =-， ∴11325,416M ⎛⎫- ⎪⎝⎭；②当BM 与BC 关于y 轴对称时，如答图22-所示．∵45ABO MBA MBO ∠=∠+∠=o ，MBO CBO ∠=∠， ∴45MBA CBO ∠+∠=o ，故点M 满足条件．过点2M 作2M E y ⊥轴于点E ，则2M E x =，OE y =，∴4BE y =+．∵23tan tan 4M BE CBO ∠=∠=， ∴344x y =+， ∴直线2BM 的解析式为：443y x =-．联立443y x =-与211433y x x =--得：241144333x x x -=--，解得：10x =，25x =，∴14y =-，283y =，∴285,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭．综上所述，满足条件的点M 的坐标为：1325,416⎛⎫- ⎪⎝⎭或85,3⎛⎫ ⎪⎝⎭． ()3设BCO θ∠=，则4tan 3θ=，4sin 5θ=，3cos 5θ=．假设存在满足条件的点D ，设菱形的对角线交于点E ，设运动时间为t ．①若以CQ 为菱形对角线，如答图31-．此时BQ t =，菱形边长t =．∴()11522CE CQ t ==-．在Rt PCE V 中，()1532cos 5t CE CP t θ-===，解得2511t =． ∴30511CQ t =-=．过点Q 作QF x ⊥轴于点F ，则24sin 11QF CQ θ=⋅=，18cos 11CF CQ θ=⋅=， ∴15311OF CF =-=． ∴1524,1111Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． ∵点1D 与点Q 横坐标相差t 个单位，∴14024,1111D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；②若以PQ 为菱形对角线，如答图32-．此时BQ t =，菱形边长t =．∵BQ CQ t ==， ∴52t =，点Q 为BC 中点， ∴3,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． ∵点2D 与点Q 横坐标相差t 个单位，∴()21,2D -；③若以CP 为菱形对角线，如答图33-．此时BQ t =，菱形边长5t =-．在Rt CEQ V 中，132cos 55t CE CQ t θ===-，解得3011t =． ∴11833211OE CE t =-=-=，330420sin 511511D E QE CQ θ⎛⎫==⋅=-⨯= ⎪⎝⎭． ∴31820,1111D ⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上所述，存在满足条件的点D ，点D 坐标为：4024,1111⎛⎫-- ⎪⎝⎭或()1,2-或1820,1111⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题是二次函数压轴题，着重考查了二次函数的图象与性质、解直角三角形、菱形的性质、解方程等知识点.第(3)问为存在型与运动型的综合问题，涉及两个动点，要按照菱形对角线进行分类讨论，做到条理清晰、不重不漏.解题过程中注意数形结合以及分类讨论的数学思想的运用.25．（1）抛物线的解析式为y=2；（2）证明见解析；（3）点E'不在抛物线上，理由见解析；（4）N 1（3，N 2（5，N 3（﹣3）．【解析】分析：（1）先确定出点B 的坐标，进而求出点D 的坐标，最后用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先求出CE=3，利用两边对应成比例，夹角相等判断出△OAD∽△ECD即可得出∠ODA=∠EDC，即可得出∠ODE=90°，结论得证；（3）先利用旋转求出点E'的坐标，最后判定点E'是否在抛物线上；（4）分三种情况，利用线段的中点坐标公式，和平行四边形的对角线互相平分建立方程求解即可得出结论．详解：（1）∵A（﹣2，0），AB=6，∴B（4，0），∴OB=4，∵DO⊥AB，∠BAD=60°，∴OD=OAtan60°=2，∴D（0，2），∵抛物线y=ax2+bx+c过点A，B，D；∴，∴，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2；（2）A（﹣2，0），∴OA=2，在Rt△AOD中，∠BAD=60°，∴OD=2，AD=4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CAD=∠C=60°，CD=AB=6，BC=AD=4，∵CE=3EB，∴CE=3，∴，，∴，∵∠OAD=∠C，∴△OAD∽△ECD，∴∠ODA=∠EDC，∵∠ODC=90°，∴∠ADE=∠ODA+∠ODE=∠EDC+∠ODE=90°，∵点D在⊙P上，∴DE是⊙P的切线；（3）点E'不在抛物线上，理由：如图1，∵∠ADE=90°，∴点E'落在DA的延长线上，点C'落在y轴上，∴C'（0，﹣6），由旋转知，∠DC'E'=∠C=60°，C'E'=CE=3，过点E'作E'H⊥DC'于H，∴E'H=C'E'sin60°=，C'H=C'E'cos60°=，∴OH=DC'﹣C'H﹣OD=，∵点E'落在第三象限，∴E'（﹣，2﹣），当x=﹣时，y=﹣×（﹣）2+×（﹣）+2=﹣≠2﹣，∴点E'不在抛物线上；（4）如图2，由（1）知，抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2；∴M（1，），∵B（4，0），D（0，2），设N（m，n），∵以点B、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，①当BD与MN是对角线时，∴（m+1）=×4，（n+）=×2，∴m=3，n=﹣，∴N1（3，﹣），②当BM与DN是对角线时，同①的方法得，N2（5，），③当BN与DM是对角线时，同①的方法得，N3（﹣3，）．点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判断和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，旋转的旋转，解（1）的关键是求出点D的坐标，解（2）的关键是判断出△OAD∽△ECD，解（3）的关键是利用旋转确定出点E'的坐标，解（4）的关键是分类讨论的思想解决问题．26．y=25x2﹣85x﹣2．【解析】【分析】先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（5，0），于是可设交点式y=a（x+1）（x-5），然后把（0，-2）代入求出a的值即可．【详解】∵二次函数的对称轴为x=2，且在x轴上截得的线段长为6，∴抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（5，0），设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5），把（0，-2）代入得a•1•（-5）=-2，解得a=25，∴抛物线解析式为y=25（x+1）（x-5）=25x2-85x-2．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．27．（1）（2）这艘游船能从桥洞下通过【解析】【分析】（1）设抛物线形桥洞的函数解析式为y=ax2+c，把A与E坐标代入求出a与c的值，确定出抛物线解析式，令y=0.5求出x的值，即可确定出CD的长；（2）把x=1代入函数解析式求出y的值，由y-3的值与1.8比较大小即可做出判断．【详解】(1)设抛物线形桥洞的函数解析式为y=ax2+c，把A(3,0),E(0,3)代入得：解得：∴由题意得：点C与D的纵坐标为0.5，∴解得：∴(米)，则水面的宽度CD为米；(2)当x=1时,∵∴这艘游船能从桥洞下通过.【点睛】考查二次函数的应用，掌握待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，比较基础.28．经过2秒或4秒时△PBQ的面积为8 cm2.【解析】【分析】设移动时间为t秒，则BQ＝2t，AP＝t，PB＝6−t，利用三角形面积公式表示S△PBQ，利用二次函数的性质解题．【详解】设移动时间为t秒，则BQ＝2t，AP＝t，PB＝6−t，依题意，得S△PBQ＝12×PB×BQ＝12×（6−t）×2t＝−t2＋6t，当S△PBQ＝8时，−t2＋6t＝8，解得t1＝2，t2＝4，∴经2秒或4秒钟，△PBQ的面积等于8cm2.【点睛】本题考查了二次函数的运用．关键是根据题意，列出相应的函数关系式，运用二次函数的性质解题．。

九年级数学下册 2.4 二次函数的应用拓展3素材 (新版)北师大版

心理学家发现，通常情况下，学生
对知识的接受能力y与学习知识所用的连续时间xmin之间满足函数关系
y0.1x22.6x4（ 30x3） 0，
y的值越大，表示接受能力越强. （1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x又在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
解：观察函数关系式可知该函数
是一条开口向下的抛物线，所以当x 在对称轴左侧时，y逐步递增，当x在对称轴右侧时，y逐步下降.
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14、抱最大的希望，作最大的努力。2022年3月1日星期二2022/3/12022/3/12022/3/1
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15、一个人炫耀什么，说明他内心缺少什么。。2022年3月 2022/3/12022/3/12022/3/13/1/2022
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2022/3/12022/3/1Marc h 1, 2022
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11、人总是珍惜为得到。2022/3/12022/3/12022/3/1M ar-221- Mar-22
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12、人乱于心，不宽余请。2022/3/12022/3/12022/3/1Tuesday, March 01, 2022
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13、生气是拿别人做错的事来惩罚自己。2022/3/12022/3/12022/3/12022/3/13/1/2022
解：当x=13时，函数y到达顶点，即 ymax=-0.1×132+2.6×13+43
=59.9 即当x=13min时，学生的接受能力最强为59.9.
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9、人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定。2022/3/12022/3/1Tuesday, March 01, 2022
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10、低头要有勇气，抬头要有低气。2022/3/12022/3/12022/3/13/1/2022 7:59:59 PM