初中数学九年级《探究四点共圆的条件》公开课教学设计

第24章活动2 《探究四点共圆的条件》教学设计

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一、课型：综合活动课

二、活动目标：

1、探究四边形四个顶点共圆的条件。

2、通过观察、比较、分析不同的四边形四个顶点能否共圆，提高学生识图能力，发展学生合情推理和演绎推理的能力。

3、在探究四边形四个顶点能够共圆的问题中，学会运用从特殊到一般的数学思想，能利用转化思想来解决问题，感受解决问题的多样性。

三、重点：通过活动探究四点共圆的条件。

难点：对角互补的四边形四个顶点共圆的证明方法。

四、学情分析：经历《圆》的全章单元学习后，学生对圆的相关知识点还未能透彻贯通，需要加强能力方面的训练。让学生自己结合线索推理发现、得出结论，课堂教学既要重视数学结论的探索过程，又要强化各种技能之间的综合运用。

五、教具：多媒体设备（含几何画板、PPT、投影展台）

六、教学反思：四点共圆研究方法具有多样性和灵活性，理解点和圆的位置关系，实现位置关系和数量关系的相互转化，体现知识的普遍联系和深入发展特性，丰富学生的研究方法。通过观察、实验操作、归纳猜想、验证活动，使不同层次学生思维水平和推理水平有不同的提高。表格式梳理对照，自学复习相关知识点，以数学活动为契机，培养探索精神，调动全章圆的知识的相关储备，串联综合运用的能力猜想并加以验证。

七、课堂过程

活动一、考题片段引入

如图，已知矩形ABCD,，动点E 从点B 沿线段BC 运动到点C 停止，连结AE,以AE 为边作矩形AEFG,使边FG 过点D.直接写出点G 所经过的路径长。

关键：点G 路径是什么样的轨迹？

★（设计意图）从考题片段引入，清晰给出学习目标，引发学生思考。在完成表格二猜想一后再进

行展开，结合几何画板演示动态过程，运用新结论，形成基本数学图形模式。

活动二、复习旧知类比迁移

表格一

三个顶点到定点（ 心）的距离都等于定长（即 ） 即：OA=OB=OC

个顶点到定点（ 心）的距离都等于定长（即 ） 即：OA=OB=OC=OD

定点（外心）任意两边 交点 任意两边 交点

思考：过任意一个四边形的四个顶点也一定可以作一个圆吗?你打算怎样去尝试呢？

如果能共圆，四边形的四个顶点应满足什么条件？

★（设计意图）学生联系对比复习链接的知识定义，为后续探究打下基础，对照巩固原有思维水平。

6AB BC ==

活动三、从性质到判定逆向猜想

表格二：与圆周角有关的性质定理在四边形里的逆向猜想 文字语言：

半圆或直径所对的圆周角都等于 . 图形语言：

几何语言：的直径是0⊙BC

∴ = = 0

猜想一：

若 = = 0

则A 、B 、C 、D 四点共圆.

文字语言：圆的内接四边形对角 。 图形语言：

几何语言：

=∠+∠C A =∠+∠D B

猜想二： 的四边形的四个顶点共圆。 图形语言：

几何语言： =∠+∠C A =∠+∠D B

∴A 、B 、C 、D 四点共圆.

文字语言：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的圆周角相等。 图形语言：

几何语言：对弧BC,有 = 猜想三：

若 =

则A 、B 、C 、D 四点共圆.

（可借鉴猜想二的反证法，课后尝试证明）

★（设计意图）让学生从无从下手到主动探究，从逆向思维的角度获得可能的条件的方向，一步步

接近探究的目标。同时也注意渗透几何语言、文字语言、图形语言三种语言的熟练转换。

活动四、验证猜想一、猜想二

验证猜想一、如图，ABC Rt ∆与ADC Rt ∆共斜边，问D 点是否在ABC Rt ∆的外接圆上？你找到了

A 、

B 、

C 、

D 四点共圆的方法吗？

同侧 异侧

★分析：从圆的定义出发，借助直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，从而得到

OD OC OB OA ===,D C B A ,,,∴落在以AC 为直径的同一圆圆周上。从特殊到一般，也趁势将其发散到四点共圆或者N 点共圆的情况上。

猜想二、1、能否分别画一个圆，使下图中的（1）—（6）四边形的四个顶点在同一个圆上？尝试一下。

2、学生测量四边形的边和角，四点共圆的四边形都具有怎样的共同特征呢？ 共圆有：对角 ；不共圆的图形：对角 ；

3、学生猜想： 的四边形的四个顶点共圆。

4、验证。已知：在四边形ABCD 中，∠B ＋∠D ＝180°求证：A 、B 、C 、D 四点共圆。

思考1：四点共圆可转化成可以先作出过 个点的圆，再考虑第 个点是否在过 点的圆上。

思考2：如果第 个点（点D)不在圆上，会在哪里呢？ （注意分类思想）

教师巡视学生的解题规范表达，对过程进行点到指导补充。关注学生参加活动的态度，是否能熟练运用已学知识解决问题。

★（设计意图）在学生动手活动的过程中，通过交流和沟通，明确解决一个问题的方案路径。在猜想之后要进行严谨的验证，感受数学结论的确定性和证明的必要性。深入理解运用点和圆的位置关系进行分类讨论，运用反证法使学生懂得证明可以从两个方向进行突破。

活动五、总结归纳

1、通过这节课，你学到了哪些知识呢？

2、回顾本节课的学习过程，你是怎样得到上述知识的？你还有什么收获呢？

★（设计意图）师生共同从知识技能、数学思想等方面小结本节课的活动，并关注不同层次学生的理解差异。学生在积极的数学活动中，达到知识与技能、过程与方法，情感态度价值观等多维度的全面落实。留置表格二的第三个猜想作为新的学习任务，继续激发学生的学习热情。建议学生可查询资料——四点共圆的条件都有什么呢？达到初高中的衔接、课堂内外的延伸。

活动六、当堂作业或检测

1、下列四个命题中，正确的一个是（）

A、过两点一定可以作一个且只可以作一个圆;

B、过三点一定可以作一个且只可以作一个圆;

C、过不在同一直线上的三点一定可以作一个且只可以作一个圆;

D、过不在同一直线上的四点一定可以作一个且只可以作一个圆.