高三数学第一轮复习专题---数系的扩充与复数的引入

第五十三讲 数系的扩充与复数的引入
班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________
一､选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)
1.(2010·山东)已知2a i
i +=b+i(a,b∈R),其中i 为虚数单位,则a+b=( )
A.-1
B.1
C.2
D.3
解析:由2a i
i +=b+i 得a+2i=bi-1,所以a=-1,b=2,所以a+b=1,故选B.
答案:B
2.(2010·江西)已知(x+i)(1-i) =y,则实数x,y 分别为( )
A.x=-1,y=1
B.x=-1,y=2
C.x=1,y=1
D.x=1,y=2
解析:由(x+i)(1-i)=y 得(x+1)+(1-x)i=y,
又因x,y 为实数,所以有1
,10y x x =+⎧⎨-=⎩
解得1
.2x y =⎧⎨=⎩
答案:D
3.(2010·新课标全国)已知复数
z 是z 的共轭复数,则z·z =( )
1
1
..42.1.2
A B C D
解析:∵z======
∴z =∴z•z =|z|2=1
4,
故选A.
答案:A
4.(2010·广东)若复数z 1=1+i,z 2=3-i,则z 1·z 2=( )
A.4+2i
B.2+i
C.2+2i
D.3+i
解析:z 1•z 2=(1+i)(3-i)=3-i+3i-i 2
=4+2i.
答案:A
5.(2010·浙江)对任意复数z=x+yi(x,y∈R),i 为虚数单位,则下列结论正确的是
( ) A.|z-z |=2y B.z 2=x 2+y 2
C.|z-z |≥2x
D.|z|≤|x|+|y|
解析:|z|=
=|x|+|y|,D 正确,易知A ､B ､C 错误.
答案:D
6.(2010·福建)对于复数a,b,c,d,若集合S={a,b,c,d}具有性质“对任意x,y∈S,必
有xy∈S”,则当2211a b c b =⎧⎪=⎨⎪=⎩
时,b+c+d 等于( )
A.1
B.-1
C.0
D.i
解析:根据集合元素的唯一性,知b=-1,由c 2=-1得c=±i,因对任意x,y∈S,必有xy∈S,所以当c=i 时,d=-i;当c=-i 时,d=i,所以b+c+d=-1.
答案:B
二､填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)
7.(2010·北京)在复平面内,复数21i i
-对应的点的坐标为________. 解析:22(1)1(1)(1)
i i i i i i +=--+ =-1+i,故其对应的点的坐标是(-1,1). 答案:(-1,1)
8.(2010·重庆)已知复数z=1+i,则2
z
-z=________.
解析:222(1)
(1)
1(1)(1)
i
z i
z i i i
-
-=-+=-
++-
(1+i)=(1-i)-(1+i)=-2i.
答案:-2i
9.(2010·江苏)设复数z满足z(2-3i)=6+4i(i为虚数单位),则z的模为________. 解析:∵z(2-3i)=6+4i,
∴z=64
23
i
i
+
-
,
∴|z|=2|32|
2.
|23|
i
i
+
=
-
答案:2
10.已知复数z=x+yi且则y
x
的最大值是________;最小值是________.
解析:∵|z
∴(x-2)2+y2=3,
则y
x
可看作是圆(x-2)2+y2=3上的点与原点连线的斜率,
设y
x
=k,则直线y=kx与圆相切时,k可以取到最大或最小值.
=解得k=k=
最小值为
答案
三､解答题:(本大题共3小题,11､12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)
11.当实数m为何值时,z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i
(1)为纯虚数;
(2)为实数;
(3)对应的点在复平面内的第二象限内.
解:(1)若z为纯虚数,
则有
2
2
(22)0
320
lg m m
m m
⎧--=⎪
⎨
++≠
⎪⎩
即2221(1)(2)0
m m m m ≠⎧--=⎨++⎩
⇒(3)(1)0(1)(2)0m m m m ≠-+=⎧⎨++⎩
∴m=3;
(2)若z 为实数,则有22220320
m m m m ⎧-->⎪⎨++=⎪⎩ ⇒m=-1或m=-2;
(3)若z 对应的点在复平面内的第二象限,
则有2222220(22)0221320(1)(2)0m m lg m m m m m m m m ⎧-->⎧--<⎪⎪--<⎨⎨++>⎪⎩⎪++>⎩
⇒111321m m m m m ⎧<>+⎪-<<⎨⎪<->-⎩
或
⇒
或
12.复数z 1=3+4i,z 2=0,z 3=c+(2c-6)i 在复平面内对应的点分别为A ､B ､C,若∠BAC 是钝角,求实数c 的取值范围.
解:在复平面内三点坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,2c-6),由∠BAC 是钝角得AB AC <0,且B ､A ､C 不共线,
由(-3,-4)·(c -3,2c-10)<0解得c>49,11
其中当c=9时,(6,8)2AC AB ==- ,三点共线,故c≠9.
∴c 的取值范围是c>4911
且c≠9. 13.已知复数z=1+i,求实数a,b,使得az+2b z =(a+2z)2.
分析:充分利用共轭复数的性质､复数相等的充要条件即可解出,在求解过程中,整体代入可获得简捷明快､别具一格的解法.
解:因为z=1+i,
因为a,b都是实数,所以可得
2
24,
24(2).
a b a a a b a
⎧+=+
⎨
-=+
⎩
解得1
12 1
a b =-
⎧
⎨
=-
⎩
或
2 2
4, 2.
a b =-
⎧
⎨
=
⎩
即a=-2,b=-1或a=-4,b=2.。